椭圆常见题型与典型方法归纳.

椭圆常见题型与典型方法归纳

考点一 椭圆的定义

椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数 1.22(2)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆.这两

定点12,F F 叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距.

椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=

a

c

(0

注意：当平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F =的点的轨迹是线段12F

F ; 当平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F <的点的轨迹不存在. 例 动点P 到两个定点1F （- 4，0）、2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为 （ ） A 、椭圆 B 、线段12,F F C 、直线12,F F D 、不能确定

考点二 椭圆的标准方程

一 标准方程

1焦点在x 轴上 标准方程是：22

221x y a b +=（其中222,0).b a c a b =->>焦点的坐标分别为(,0),(,0)c c -

2焦点在y 轴上 标准方程是：22

221y x a b +=（其中222,0).b a c a b =->>焦点的坐标分别为(0,),(0,)c c -

3焦点位置判断 哪项分母大焦点就在相应的轴上 如 求22

179

x y +=的焦点坐标 4 椭圆过两定点，焦点位置不确定时可设椭圆方程为2

2

1mx ny +=（其中0,0m n >>）

例 已知椭圆过两点1),(A B -，求椭圆标准方程

5 与122

22=+b y a x （a ＞b ＞0）共焦点的椭圆为12222=+++k b y k a x

二 重难点问题探析: 1.要有用定义的意识

例 已知12,F F 为椭圆

22

1259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若2212F A F B += 则AB =________。2.标准方程要注意焦点的定位 例椭圆

22

14x y m

+=的离心率为12，=m 。 练习.1如果方程2

2

x ky k +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为

2点P 在椭圆252x +9

2

y =1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，求点P 的横坐标

二 典型练习

1.椭圆22

143

x y +=的长轴位于 轴，长轴长等于 ；短轴位于 轴，短轴长等于 ；焦点在 轴上,焦点坐标分别是 和 ；离心率e = ；左顶点坐标是 ;下顶点坐标是 ；椭圆上点的横坐标的范围 是 ，纵坐标的范围是 ；00x y +的取值范围是 。

2.(1)若椭圆短轴一端点到椭圆一焦点的距离是该点到同侧长轴一端点距离的3倍,则椭圆的离心率 （2）若椭圆的长轴长不大于短轴长的2倍,则椭圆的离心率e ∈

（3）若椭圆短轴长的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率e = 。

考点四 点、线与椭圆的位置关系

一 点00(,)p x y 和椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的位置关系

（1）点00(,)p x y 在椭圆外22

00221

x y a b

?+>（2）点00(,)p x y 在椭圆上22

00221

x y a b

?+=

（3）点00(,)p x y 在椭圆内22

00221

x y a b

?+<

二.直线与椭圆的位置关系：

1 判断 直线与椭圆相交0>??;直线与椭圆相切0=??;直线与椭圆相离0

（1）步骤：由椭圆方程与直线l 方程联立方程组；消元得一元二次方程；用韦达定理写成两根和积 （2）弦长公式 直线y ＝kx ＋b(k ≠0)与椭圆相交于A(1x ，1y )，B(2x ，2y )两点，则

①当直线的斜率存在时，弦长公式： 212

1x x k l -+==[]

2122124)()1(x x x x k -+?+

②当k 存在且不为零时212

1

1y y k

l -+=2122124)(11y y y y k -++=。 三 常用方法

1设而不求法 例 经过椭圆22

143

x y +=的右焦点作一条斜率为-1的直线，与椭圆相交于A,B ； （I ）求线段AB 的中点的坐标；（II ）求线段AB 的长

2 点差法 例 求椭圆1222=+y x 中斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程.

【小结】设12(,)A x y ，22(,)B x y 是椭圆

12

2

22=+b y a x 上不同的两点，且1x ≠2x ，1x ＋2x ≠0，00(,)M x y 为AB 的中点，则两式相减可得22

21212121a

b x x y y x x y y -=++?--即 ．

3．中点弦问题：例 若椭圆19

362

2=+y x 的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为

练习：设1F 、2F 分别是椭圆22

154

x y +=的左、右焦点. （1）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF ?的最大值和最小值；

（2）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|2F C |=|2F D |？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.

考点五 焦点三角形的性质及应用

一 定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形

设P(00,y x )为椭圆上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)

1方法 (1) 定义：122r r a ＋＝ (2) 余弦定理：2221212(2)2cos c r r rr θ=＋－

(3) 面积1212011

sin 222

pF F S r r c y θ?=

=