6不等式与线性规划-1981-2019年历年数学联赛50套真题WORD版分类汇编含详细答案
1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编
不等式部分
2019B 一、（本题满分40分）设正实数12100,,,a a a L 满足101i i a a -≥（1,2,,50i =L ）．
记112k k k
ka x a a a +=
+++L （1,2,,99k =L ），证明：299
12
991x x x ≤L 。 ★证明：注意到12100,,,0a a a >L ．对1,2,,99k =L ，由平均值不等式知
12
121
0k
k k k a a a a a a ??<≤ ?
+++??L L ， ……………10 分 从而有99
99
2991
12991111212k
k k k k k k k k
a k x x x a a a a a a a ++==??=≤ ?+++??∏∏L L L ． ① ………………20 分 记①的右端为T ，则对任意1,2,,100i =L ，i a 在T 的分子中的次数为1i -，在T 的分
母中的次数为100i -．从而()1012100
50
50
2101101
21012101101101111i
i i i i i i i
i i i i a T a a a a -------===??=== ???
∏∏∏。……30 分
又1010i i a a -<≤（1,2,,50i =L ） ，故1T ≤，结合①得299
12
991x x x T ≤≤L …………40分
2018B 一、（本题满分40分）设b a ,是实数，函数x
b ax x f 9
)(+
+=。证明：存在[]9,10∈x ，使得2)(0≥x f 。
★证明:用反证法.假设对任意的[]9,1∈x ，均有2)( 2)1( 即29<++b a ，233<++b a ，219<++b a 注意到16)1(3)2(4)3(=+-f f f 又<=+-16)1(3)2(4)3(f f f +)1(f )3(4f 16)9(3=+f 矛盾！ 所以原命题得证。 2017A 9、（本题满分16分） 设m k ,为实数，不等式12 ≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立，证明：22≤-a b 。 ★证明：记 m kx x x f --=2 )(，[]b a x ,∈，则[]1,1)(-∈x f 。于是 1)(2≤--=m ka a a f ①； 1)(2≤--=m kb b b f ② 1)2 ()2()2( 2-≥-+-+=+m b a k b a b a f ③ ①+②-?2③知 ()4)2 (2)()(22 ≤+--=-b a f b f a f b a ， 即22≤-a b 。 2017A 10、（本题满分20分）设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求 ()?? ? ? ?+ +++53 5332 1321x x x x x x 的最小值和最大值。 ★解析：由柯西不等式 ()1553353532 332211321321=??? ? ???+?+?≥??? ??++ ++x x x x x x x x x x x x 当11=x ，02=x ，03=x 时取等号，故所求的最小值为1； 又()()?? ? ??++++=??? ? ?++ ++32132132132135553515353x x x x x x x x x x x x ()2 3212 32132163146201355534151?? ? ???++=????????? ??+++++?≤x x x x x x x x x 59631862012 321=?? ? ???++≤x x x ，当211=x ，02=x ，213=x 时取等号，故所求的最小值为59； 2017B 9、（本题满分16分） 设为实数，不等式x x a 252-<-对所有[]2,1∈x 成立，求实数a 的取值范围。 ★解析：设2x t =，则[2,4]t ∈，于是|||5|t a t -<-对所有[2,4]t ∈成立，由于 22|||5|()(5)t a t t a t -<-?-<-，(25)(5)0t a a ?---<， 对给定实数a ，设()(25)(5)f t t a a =---，则()f t 是关于t 的一次函数或常值函数，注意[2,4]t ∈， 因此()0f t <等价于(2)(1)(5)0 (4)(3)(5)0f a a f a a =--- ，解得35a << 所以实数a 的取值范围是35a <<. 2017B 一、（本题满分40分）设实数c b a ,,满足0=++c b a ，令{} c b a d ,,max =，证明： 21)1)(1)(1(d c b a -≥+++ ★证明：当1d ≥时，不等式显然成立 以下设01d ≤<，不妨设,a b 不异号，即0ab ≥，那么有 (1)(1)11110a b a b ab a b c d ++=+++≥++=-≥-> 因此2 2 2 (1)(1)(1)(1)(1)111a b c c c c c d +++≥-+=-=-≥- 2016A1、设实数a 满足a a a a <-<1193，则实数a 的取值范围为 ◆答案：)3 10 ,332(-- ∈a ★解析：由||a a <可得0 |11913-=>-> a a a a a 即111912<-<-a ，所以)3 4,910(2 ∈a ．又0 2016A 一、（本题满分40分）设实数2016321,,,,a a a a Λ满足2 1119+>i i a a （2015,,2,1Λ=i ）. 求))(())((2 12016220162015232221a a a a a a a a ----Λ的最大值。 ★解析：令))(())((2 12016220162015232221a a a a a a a a P ----=Λ 由已知得，对2015,,2,1Λ=i ，均有0911212 12 1≥-> -+++i i i i a a a a 。 若02 12016≤-a a ，则0≤P ；下面考虑02 12016 >-a a 的情况.不妨记12017a a =，由平均不等式得 () ()?? ? ??-=??? ??-=??? ??-=-≤∑∑∑∑∑∑====+==+201612016 122016120161212016120161212016 1120161201612016120161i i i i i i i i i i i i i i a a a a a a a a P 41412016201612)1(201612 20161=??=?? ? ??-+≤∑=i i i a a ，当且仅当21 2016 321=====a a a a Λ时取等号。又2 1119+>i i a a （2015,,2,1Λ=i ），此时201641=P ,即所求最大值为20164 1。 2016B 2、设{}21|≤≤-=a a A ，则平面点集{}0,,|),(≥+∈=y x A y x y x B 的面积为 ◆答案：7 ★解析：点集B 如图中阴影部分所示，其面积为 1 33227.2MRS MNPQ S S -=?-??=正方形 2015A6、在平面直角坐标系xOy 中，点集 {}0)63)(63(|),(≤-+-+=y x y x y x K 所对应的平面 区域（如图所示）的面积为 ◆答案：24 ★解析：设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤． 先考虑1K 在第一象限中的部分，此时有36x y +≤,故这些点对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知，1K 对应的区域是图中以原点O 为中心的菱形ABCD 及其内部． 同理，设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤，则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部． 由点集K 的定义知，K 所对应的平面区域是被1K 、2 K 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S ． 由于直线CD 的方程为36x y +=，直线GH 的方程为36x y +=，故它们的交点P 的坐标为 33(,)22．由对称性知，13 8842422 CPG S S ?==???=． 2015A 一、（本题满分40分）设实数n a a a a ,,,,321Λ（2≥n ）是实数.证明：可以选取 {}1,1,,,21-∈n εεεΛ使得()?? ? ??+≤??? ??+??? ??∑∑∑===n i i n i i i n i i a n a a 122 1211ε。 ★证明： 证法一：我们证明：2 []2 22111[] 2()(1)()n n n n i i j i n i i i j a a a n a ====?? ?+-≤+ ? ??? ∑∑∑∑，① 即对1,2,,[]2n i =L ，取1i ε=，对[]1,,2 n i n =+L ，取1i ε=-符合要求．（这里，[]x 表示实 数x 的整数部分．） 10分 事实上，①的左边为 2 2 2 2 [][][]222111[]1[]1 []122222n n n n n n i j i j i j n n n i i i j j j a a a a a a ====+=+=+???????? ? ? ? ?++-=+ ? ? ? ? ? ? ? ?????????∑∑∑∑∑∑ []2 221[]122222n n i j n i j n n a n a ==+?????????? ? ?≤+- ????? ? ?????? ? ? ????? ∑∑（柯西不等式）30分 []2 221[]1212222n n i j n i j n n a a ==+?????+????? ? ?=+ ????? ? ??????? ? ????? ∑∑（利用122n n n +????-=????????） []2 221[]12(1)n n i j n i j n a n a ==+???? ? ?≤++ ? ? ? ? ???? ∑∑（利用[]x x ≤） 21 (1)()n i i n a =≤+∑． 所以 ① 得证，从而本题得证． 证法二：首先，由于问题中12,,,n a a a L 的对称性，可设12n a a a ≥≥≥L ．此外，若将12,,,n a a a L 中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的2 1) ( ∑=n i i a 不减，而右边的 2 1 n i i a =∑不变，并且这一手 续不影响1i ε=±的选取，因此我们可进一步设120n a a a ≥≥≥≥L ． 10分 引理：设120n a a a ≥≥≥≥L ，则1 11 0(1) n i i i a a -=≤ -≤∑． 事实上，由于1(1,2,,1)i i a a i n +≥=-L ，故当n 是偶数时， 1 123411(1) ()()()0n i i n n i a a a a a a a --=-=-+-++-≥∑L ， 1 1232111(1) ()()n i i n n n i a a a a a a a a ---=-=------≤∑L ． 当n 是奇数时， 1 1234211(1) ()()()0n i i n n n i a a a a a a a a ---=-=-+-++-+≥∑L ， 1 123111 (1) ()()n i i n n i a a a a a a a --=-=-----≤∑L ． 引理得证． 30 分 回到原题，由柯西不等式及上面引理可知 2 2 1222 1 1111(1)(1)n n n n i i i i i i i i i a a n a a n a -====??????+-≤+≤+ ? ? ??????? ∑∑∑∑， 这就证明了结论． 40分 证法三：加强命题：设12,,,n a a a ???（2n ≥）是实数，证明：可以选取12,,,{1,1}n εεε???∈-， 使得 2 2 2 11 11()()()()n n n i i i i i i i a a n a n ε===+≤+∑∑∑. 证明 不妨设222 12n a a a ≥≥???≥，以下分n 为奇数和n 为偶数两种情况证明. 当n 为奇数时，取1212 1n εεε-==???==，132 2 1n n n εεε++==???==-，于是有 12 2 2 11 12 ()[()( )] n n n i i j n i i j a a a -+===+-∑∑∑12 2 2 11 2 2[()+( )]n n i j n i j a a -+===∑∑ 12 2 21 12 112()+2()()22n n i j n i j n n a n a -+==--≤??-∑∑（应用柯西不等式）. 12 2 211 2 (1)()+(1)( )n n i j n i j n a n a -+===-+∑∑ ① 另外，由于222 12 n a a a ≥≥???≥，易证有 12 2 21 12 11(1)(1)n n i j n i j a a n n -+==+≥-∑∑， 因此，由式①即得到12 2 2 112 (1)()+(1)()n n i j n i j n a n a -+== -+∑∑2 11()()n i i n a n =≤+∑， 故n 为奇数时，原命题成立，而且由证明过程可知，当且仅当1212 1n εεε-==???==， 132 2 1n n n εεε++==???==-，且12n a a a ==???=时取等号. 当n 为偶数时，取122 1n εεε==???==，242 2 1n n n εεε++==???==-，于是有 2 2 2 21 12 ()[()( )]n n n i i j n i i j a a a +=== +-∑∑∑ 2 2 2221 2 2[()+( )]n n i j n i j a a +== =∑∑ 2 2 22 12 2()+2()()22n n i j n i j n n a n a +==≤??-∑∑（应用柯西不等式）. 2 2 2212 [()+()]n n i j n i j n a a +== =∑∑22 111()()()n n i i i i n a n a n ===≤+∑∑， 故n 为偶数时，原命题也成立，而且由证明过程可知，当且仅当120n a a a ==???==时取等号，若12,,,n a a a ???不全为零，则取不到等号. 综上，联赛加试题一的加强命题获证. 2015B 一、（本题满分40分）证明：对任意三个不全相等的非负实数c b a ,,都有： 21 )()()()()()(2 22222≥-+-+--+-+-a c c b b a ab c ac b bc a ，并确定等号成立的充要条件．。 ★解析：当,,a b c 不全相等时，原不等式等价于 2222222()2()2()()()()a bc b ca c ab a b b c c a -+-+-≥-+-+-．上式可化简为 22222222212222a b b c c a abc ab bc ca ++-≥---, 即 2222226a b b c c a ab bc ca abc +++++≥． ① 考虑到222222 ,,,,,0a b b c c a ab bc ca ≥，故由平均不等式得， 2222226a b b c c a ab bc ca abc +++++≥=． ② 因此原不等式成立． 20 分 下面考虑等号成立的充分必要条件． 注意到②中等号成立的充分必要条件是22 22 2 2 a b b c c a ab bc ca =====． 若0abc ≠，则ab bc ca ==，显然 a b c ==，与条件矛盾！ 若0abc =，则0ab bc ca ===，但,,a b c 不全为0，不妨设0a ≠，则0b c ==．类似可得其余两种情况，即,,a b c 中恰有一个非零．这时原不等式中等式确实成立． 因此，原不等式等号成立当且仅当,,a b c 中有两个是0，另一个为正数．40 分 2010A 三、（本题满分50分）给定整数2>n ，设正实数n a a ,,1Λ满足1≤k a ，n k ,,2,1Λ=，记 k a a a A k k +++= Λ21，n k ,,2,1Λ=。 证明：21 11-<-∑∑==n A a n k n k k k 。 ★证明：由01k a <≤知，对11k n ≤≤-，有1 1 0,0k n i i i i k a k a n k ==+< ≤< ≤-∑∑． 注意到当,0x y >时，有{}max ,x y x y -<，于是对11k n ≤≤-，有 1 1111k n n k i i i i k A A a a n k n ==+??-=-+ ???∑∑ 11 111n k i i i k i a a n k n =+=??=-- ???∑∑ 11111max ,n k i i i k i a a n k n =+=????<-?? ?????∑∑ 111max (),n k k n k n ????≤--?? ????? 1k n =-， 故 1 1 1 n n n k k n k k k k a A nA A ===-=-∑∑∑ ()1 1 11 n n n k n k k k A A A A --===-≤-∑∑ 1 11n k k n -=??< - ?? ?∑1 2n -= ． 2010B 三、（本题满分50分）设,,x y z 为非负实数, 求证： 22232222223()()()()()32 xy yz zx x y z x xy y y yz z z zx x ++++≤-+-+-+≤。 ★证明：首先证明左边不等式. 因为 2 2 22211 [()3()]()44x xy y x y x y x y -+= ++-≥+, 同理,有2221()4y yz z y z -+≥+, 222 1()4 z zx x z x -+≥+; 于是 222222 21()()()[()()()]64 x xy y y yz z z zx x x y y z z x -+-+-+≥+++ 21 [()()]64 x y z xy yz zx xyz =++++-; 由算术-几何平均不等式, 得 1 ()()9 xyz x y z xy yz zx ≤++++,所以 222222 221()()()()()81 x xy y y yz z z zx x x y z xy yz zx -+-+-+≥++++ 22221(222)()81x y z xy yz zx xy yz zx =+++++++3 ()3 xy yz zx ++≥. 左边不等式获证, 其中等号当且仅当x y z ==时成立. 下面证明右边不等式. 根据欲证不等式关于,,x y z 对称, 不妨设 x y z ≥≥, 于是 222222()()z zx x y yz z x y -+-+≤, 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ()()()()x xy y y yz z z zx x x xy y x y -+-+-+≤-+. 运用算术-几何平均 不等式, 得222 2 2 2 2 2 2 ()()( )2 x xy y xy x xy y x y x xy y xy xy xy -++-+=-+??≤? 22222( )()22x xy y xy x y -+++≤?2222233 ()()22 x y x y z +++=≤. 右边不等式获证, 其中等号当且仅当,,x y z 中有一个为0,且另外两个相等时成立. 2009*3、在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为?? ? ??-≤≤≥x y x y y 20，N 是随 t 变化的区域，它由不等式1+≤≤t x t 所确定，t 的取值范围是10≤≤t ， 则M 和N 的公共面积是函数=)(t f ◆答案：2 12 ++-t t ★解析：由题意知阴影部分面积s t f =)( =BEF OCD AOB S S S ???--=2 12 ++-t t 2009*4、若不等式3 120071212111<++++++n n n Λ对一切正整数n 都成立，则最小正整数a 的值为 ◆答案：2009 ★解析：设1 21 ...2111)(++ ++++= n n n n f .显然)(n f 单调递减.则由)(n f 的最大值3 1 2007)1(- 2009*二、（本题满分50分）求证不等式21ln 1112≤-?? ? ??+<-∑=n k k n k ，Λ,2,1=n 。 ★证明：首先证明一个不等式： .0,)1ln(1><+<+x x x x x 事实上，令.1)1ln()(),1ln()(x x x x g x x x h +-+=+-= 则对0>x ，.0)1()1(111)(',0111)('2 2>+=+-+=>+-=x x x x x g x x h 于是.0)0()(,0)0()(=>=>g x g h x h 在（1）中取n x 1= 得 n n n 1)11ln(11<+<+· 令∑=-+=n k n n k k x 12 ln 1 ，则21 1=x ， )111ln(121-+-+=--n n n x x n n n n n 1 12-+< .0)1(12 <+-=n n 因此2 1 ...11=<<<-x x x n n · 又因为)11ln(1ln )1ln 2(ln ...))2ln()1(ln())1ln((ln ln 1 1 ∑-=+= +-++---+--=n k k n n n n n 从而)11ln(11112∑∑-==+-+= n k n k n k k k x 1))11ln(1(2 1 1 2+++-+=∑-=n n k k k n k )1 1 (1 12 k k k n k -+>∑-= ∑-=+-=1 12)1(1 n k k k ∑-=+-≥1 1)1(1 n k k k 11 1->+-=n · 2007*2、设实数a 使得不等式2 232a a x a x ≥-+-对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是 A.??? ???- 31,31 B. ??? ???-21,21 C. ?? ? ???-31,41 D. []3,3- ◆答案：A ★解析：令a x 32 = ，则有3 1||≤a ，排除B 、D 。由对称性排除C ，从而只有A 正确。 一般地，对R k ∈，令ka x 21=，则原不等式为2 |||34|||23|1|||a k a k a ≥-?+-?，由此易知原不等 式等价于|3 4 |23|1|||-+-≤k k a ，对任意的R k ∈成立。 由于?????????<-<≤-≥-=-+-12 533 4121134325 |34|23|1|k k k k k k k k ，所以31 |}34|23|1{|min R =-+-∈k k k ， 从而上述不等式等价于3 1||≤a 。 2005*1、使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解得实数k 的最大值为 A.36- B. 3 C. 36+ D. 6 ◆答案：D ★解析：令=y x x -+-63，63≤≤x ，可得62≤y ，即6max =y ，所以6≤k 2003*7、不等式03422 3 <+--x x x 的解集是 ◆答案：??? ? ??-???? ??-- -3,215215,3Y ★解析：不等式等价于( )02152153 ? ??++???? ? ? -- -x x x ，解得3215<<-x ， 即2153--<<-x 或 32 1 5<<-x 。 2003*13、（本题满分20分）已知 52 3 ≤≤x ,证明：1923153212<-+-++x x x ★证明：由题意得?? ? ??≥-≥-≥+0 3150320 1x x x ，解得523≤≤x 由平均不等式 4 315321143153212x x x x x x x -+-++++? =-+-++x x x x x x +=+?=-+-++++?≤1424144431532114． 注意到x +142在??? ???5,23上单调增．即1925142142=+≤+x ． 故证． 2002*二、（本题满分50分） 实数c b a ,,和正数λ，使得0)(2 3 =+++=c bx ax x x f 有三个实根321,,x x x ，且满足： ⑴λ=-12x x ⑵2 2 13x x x +> 求23 392723 3≤-+λab c a 。 ★解析：∵ [] b ax x x x a x x x x f x f x f +++++-=-=32 33233)()()()()( ∴ 21,x x 是方程b ax x x x a x +++++32 332)(的两个根 ∵ λ=-12x x ∴()() 232 32 34λ=++-+b ax x x a ，即042322323 =-+++a b ax x λ ∵22 13x x x +> ∴ ]3124[3 1223λ--+-=b a a x (Ⅰ)， 且031242 2≥--λb a (Ⅱ) ∵ c bx ax x x f +++=2 3)(ab c a a x b a a x 3 1272)3)(3()3(323-++ +--+= ∵ 0)(3=x f ，∴ )3 )(3()3(2723132333a x b a a x c a ab +--+=--- (Ⅲ) 由(Ⅰ)得 4 3332]3124313222 23λλ- -=--=+b a b a a x 记b a p -=32，由(Ⅱ) 和(Ⅲ)可知42λ≥p 且)(4 9 322723122 3λλ-- =---p p c a ab 令 4 2 λ- = p y ，则0≥y 且 )43 (93227231223λ-=---y y c a ab ∵ 443223λλ+-y y =243)2(432323 λλλλ?+--y y 0)()2 (2≥+-=λλy y ∴3318327231λ-≥--c a ab ?23 392723 3≤-+λ ab c a ∴取2,02,32====λc b a ，则0)(2 3=+++=c bx ax x x f 有根13--，13+-，0 显然假设条件成立，且 233)336348(8192723 3=-=-+λ ab c a 综上所述3 39272λ ab c a -+的最大值是233 …………50分 2001*6、已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是 ． A.2枝玫瑰价格高 B.3枝康乃馨价格高 C.价格相同 D.不确定 ◆答案：A ★解析：设玫瑰与康乃馨的单价分别为y x ,元每枝． 则???<+>+22542436y x y x ，令???<=+>=+22 542436b y x a y x ，解出)35(181b a x -=，)23(91 a b y -=。 所以0)22122411(9 1 )1211(91132=?-?>-=-b a y x ，即y x 32>． （也可以根据二元一次不等式所表示的区域来研究．） 2001*10、不等式 2 3 2log 12 1>+x 的解集为 ◆答案：),4()72 2,1()1,0(+∞Y Y ★解析： 23 2log 12 1>+x 等价于 232log 121>+x 或2 32log 12 1-<+x ． 即 21 log 12 1->x 或 27log 12 1- ．此时2log 21- 21< 即解集为),4()72 2,1()1,0(+∞Y Y ． 2001*二、（本题满分50分）设0≥i x （i =1，2，…，n ），且12 11 2 =+∑ ∑≤<≤=n j k j k n i i x x j k x ，求∑=n i i x 1 的最大值与最小值． ★解析：先求最小值，因为? ≥+=∑∑∑≤<≤==12 ) ( 11 2 2 1 n j k j k n i i n i i x x x x ∑=n i i x 1 1≥， 等号成立当且仅当存在i 使得1=i x ，0=j x ，j i ≠．∴∑=n i i x 1 的最小值为1． 再求最大值，令k k y k x = ，∴12 11 2=+∑∑≤<≤=n j k j k n k k y ky ky ．…………① 设M =∑=n k k x 1=∑=n k k y k 1．令?? ? ? ???==++=+++.,,22121n n n n a y a y y a y y y ΛΛΛ 则①?12 2221=+++n a a a Λ．………………………………………………………30分 令01=+n a ，则 = M ∑ =+-n k k k a a k 1 1)(=∑∑∑∑∑====+=--=--=-n k k n k n k k k n k k n k k a k k a k a k a k a k 1 1 1 1 11 )1(1． 由柯西不等式得M 2 11221122 1 12)1()()1(?? ????--=???? ?? --≤∑∑∑===n k n k k n k k k a k k ． 等号成立2 2222 1) 1()1(1--==--==?n n a k k a a n k ΛΛ 2 22 22 2221) 1() 1()12(1--= --++-++++? k k a n n a a a k n ΛΛ 2 1 12)1(1?? ????----= ?∑=n k k k k k k a ．（n k ,,2,1Λ=） 由于n a a a ≥≥≥Λ21，从而= -=+1k k k a a y 0)1()11(22 1 12≥? ? ????---++-∑=n k k k k k k ，即0≥k x ． 所求最大值为2 11 2)1(?? ? ? ? ? --∑=n k k k ． 1999*2、平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么满足不等式 ()() 2112 2 <-+-y x 的整点),(y x 的个数是( ) A. 16 B. 17 C. 18 D. 25 ◆答案：A ★解析：由()()21||1||2 2 <-+-y x ,可得()()()1||,1||--y x 为()0,0， ()1,0，()1,0-，()0,1或()0,1-.从而，不难得到),(y x 共有16个. 1999*13、（本题满分20分）已知当[]1,0∈x 时，不等式0sin )1()1(cos 2 2 >-+--θθx x x x 恒成 立，试求θ的取值范围． ★解析：当[]1,0∈x 时，不等式0sin )1()1(cos 2 2 >-+--θθx x x x 恒成立，则 当0=x ，1=x 时，不等式即0cos >θ，0sin >θ； 当10< 01sin 1cos 1>--+-θθx x x x ， 即01cos sin 2sin 1cos 12 >-+??? ? ? ?---θθθθx x x x 对10< 0sin 1cos 1=---θθx x x x 得θ θθcos sin sin +=x ，显然()1,0∈ 此时，只要保证0cos >θ，0sin >θ，01cos sin 2>-θθ，解得2 1 2sin > θ，解得12 5212 2ππθπ π+ <<+ k k 。 另解：当10< 2x x x x x f -+--=，则 θθθθsin )1sin 2()sin cos 1()(2++-++=x x x f ，这是一个开口向上的二次函数，其对称轴 ()()()1,01cos 21sin 21sin 2∈++++= θθθx ，此时0)(>x f ，即0 1 2sin >θ。 1998*二、（本题满分50分） 设n a a a ,,,21Λ，n b b b ,,,21Λ[]2,1∈，且 ∑∑===n i i n i i b a 1 21 2 ， 求证：∑∑==≤n i i n i i i a b a 12 131017，并问等号成立的充要条件。 ★证明：由于n a a a ,,,21Λ，n b b b ,,,21Λ[]2,1∈，故 22 1 3≤≤i i i i b a b a ． 于是022133≤???? ??-???? ??-i i i i i i i i b a b a b a b a ，即02532≤+-i i i i i b a a b a ． 求和得∑∑∑===-≤n i i i n i i n i i i b a a b a 1 121325， 又由()0221≤-?? ? ??-i i i i a b a b ，得02522≤+-i i i i a b a b ，故()2252i i i i b a b a +≥． 由∑∑===n i i n i i b a 1 2 12，得∑∑==≥n i i n i i i a b a 12154， ∴ ∑∑∑∑∑∑=======-≤-≤n i n i i i n i i n i i i n i i n i i i a a a b a a b a 112 2121 12131017542525． 当且仅当n 为偶数且n a a a ,,,21Λ中一半取1，一半取2，且i i a b 2 =时等号成立． 1997*12、设[ ] 1)(lg lg 1 ++=-yz x z a ，)1lg(lg 1 ++=-xyz x b ，[] 1)(lg lg 1++=-xyz y c ，记c b a ,,中最大数为M ，则M 的最小值为 ． ◆答案：2lg ★解析：??? ? ??+=z y x a lg ，??? ??+=x yz b 1lg ，??? ??+=y xz c 1lg ． 由于2lg 211lg ≥??? ? ??+++=+x x yz yz c a ．于是c a ,中必有一个2lg ≥．即2lg ≥M ，于是M 的最小值2lg ≥．但取1===z y x ，得2lg ===c b a ．即此时2lg =M ．于是M 的最小值2lg ≤． 即所求值2lg ． 1997*二、（本题满分50分） 试问：当且仅当实数n x x x ,,,10Λ，（2≥n ），满足什么条件时，存在 实数n y y y ,,,10Λ，使得2 222120n z z z z +++=Λ，其中k k k iy x z +=，i 为虚数单位，n k ,,2,1,0Λ=， 证明你的结论。 ★解析：由于 ( )( ) ()i y x y x y x y y y x x x i y x y x z n n n n +++++++-+++=+-=ΛΛΛ221122221222210020202022 ∴ ( )( ) 2 2221222212020n n y y y x x x y x +++-+++=-ΛΛ ，()n n y x y x y x y x +++=Λ221100； 若2222120n x x x x +++>Λ，则2 222120n y y y y +++>Λ． 此时()() ()()2 002 22112 2 22 12 2 22 12 02 0y x y x y x y x y y y x x x y x n n n n =+++≥++++++>ΛΛΛ．矛盾． 故必2 222120n x x x x +++≤Λ． 反之，若2 222120n x x x x +++≤Λ成立．此时，可分两种情况： ⑴ 当2 222120n x x x x +++=Λ成立时，取i i x y = (n i Λ,2,1,0=)， 于是i y x i y x y x z 00002 0202022=+-=， 而()() ()i y x y x y x y y y x x x z z z n n n n n +++++++-+++=+++ΛΛΛΛ22112 222122********* ()() i y x i x i x x x i y x y x y x n n n 00202222122112222==+++=+++=ΛΛ，即2 222120n z z z z +++=Λ成立． ⑵ 当2222120n x x x x +++<Λ成立时，记02 0222212>-+++=x x x x a n Λ，于是i x (n i Λ,2,1=)不能全为0．不妨设0≠n x ，取02210=====-n y y y y Λ，22 1 1n n n n x x ax y += --， 2211 n n n n x x ax y +- =--，则此时，2 0002020202x i y x y x z =+-=； 而()() ()i y x y x y x y y y x x x z z z n n n n n +++++++-+++=+++ΛΛΛΛ22112 222122********* ( ) i x x ax x x x ax x x x x a x x x a x x x n n n n n n n n n n n n n n n ??? ? ? ?+-++???? ??+++-+++=-------2211 2 2112212 12221222222 12Λ ()()2020222212 2221x x x x x x x x n n =-+++-+++=ΛΛ．仍有2222120n z z z z +++=Λ成立． 故所求条件为2 222120n x x x x +++≤Λ． 1996*二、（本题满分25分）求实数a 的取值范围，使得对任意实数x 和任意?? ? ???∈2, 0πθ，恒有()()8 1cos sin cos sin 2322≥+++++θθθθa a x x ★解析：令u =+θθcos sin ，则1cos sin 22 -=u θθ，当?? ? ???∈2, 0πθ时，[] 2,1∈u ． 并记()()2 2 cos sin cos sin 23)(θθθθa a x x x f +++++=．则 () () 222 222 1 2212)(+-+??? ??+++=au u au u x x f ． ∴ 当() 2212++- =au u x 时，)(x f 取得最小值() 2222 1 +-au u ． ∴2122≥+-au u ，或21 22-≤+-au u ． ∴ u u a 23+≤，或u u a 25 +≥．因为[] 2,1∈u ， 所以?? ? ???∈+247,623u u ，??????∈+ 27,24925u u ． ∴6≤a 或2 7 ≥a ． 1995*10、 直角坐标平面上，满足不等式组? ????≤+≥≤100 33y x x y x y 的整点个数是______． ◆答案：2551 ★解析：如图，即OAB ?内部及边界上的整点．由两轴及100=+y x 围 成区域(包括边界)内的整点数有5151101321=++++Λ个． 由x 轴、x y 31=，100=+y x 围成区域(不包括x y 3 1 =上)内的整点数 (3,2,1=x 时各有1个整点，6,5,4=x 时各有2个整点，…， 75,74,73=x 时有25个整点，100,,77,76Λ=x 时依次有1,,24,25Λ个整点． 共有1300)2521(412324252532313=+++=+++++?++?+?ΛΛΛ．由对称性，由y 轴、x y 3=、100=+y x 围成的区域内也有1300个整点． ∴所求区域内共有2551130013005151=--个整点． 1994*1、设c b a ,,是实数，那么对任何实数x ， 不等式0cos sin >++c x b x a 都成立的充要条件是（ ） A.b a ,同时为0，且0>c B.c b a =+22 C. c b a <+22 D. c b a >+22 ◆答案：C ★解析：[] 222222,)sin(cos sin b a c b a c x b a c x b x a +++-∈++=++?. 只需022>+-b a c 即可，得c b a <+22，故选C ． 1993*11、设任意实数 03210>>>>x x x x ，要使 1993log 1993log 1993log 1993log 3 03 22 11 0x x x x x x x x k ?≥++恒成立，则k 的最大值是_____ __． ◆答案：9 ★解析：显然 13 >x x ，从而01993log 3 0>x x ． 即 3 0322110lg lg lg lg 1lg lg 1lg lg 1x x k x x x x x x -≥-+-+-，即 ()()()[]k x x x x x x x x x x x x ≥???? ? ? -+-+--+-+-322110322110lg lg 1 lg lg 1lg lg 1lg lg lg lg lg lg ． 又0lg lg ,0lg lg ,0lg lg 322110>->->-x x x x x x ，由柯西不等式，知9≤k ．即k 的最大值为9． 1992*13、 (本题满分20 分)求证：171 1680 1 <<∑ =k k ． ★证明：因为 () 121221--=+-<+=k k k k k k k ， 同时() k k k k k k k -+=++>+=121221． 于是得()() ∑∑∑===--+<<-+80 1 8018011211 12k k k k k k k k 即() ()171921180211 1680 1 =-?+<-+<<∑=k k ． 1991*15．已知10< =+y x ，求证：8 12log )(log + ≤+a y