方程_同解方程与同解原理
重点、难点
重点1、掌握方程的基本概念：
①已知数：未知数，已知项未知项。
②元：方程的未知数。
③次数：方程中各项未知数指数和的最大值。
④方程：含有未知数的等式。
⑤方程的解：一般地说，使方程中左，右两边的值相等（简称为使方程成立）的未知数的值叫做方程的解。
方程的根：只有一个未知数的方程的解。
⑥解方程：求方程的解的过程。
2、同解方程的概念：
在两个方程中，如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，我们就说这两个方程的解相同，这两个方程叫做同解方程。
3、方程的同解原理：
①方程的两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得的方程和原方程是同解方程。 ②方程的两边都乘以或除以同一个不等于0的数，所得的方程求原方程是同解方程。 难点 方程同解原理的应用及方程的变形。
【讲一讲】
例1：判断下列各式是不是方程：
①3x +5 ②x =3 ③5x ＞－1 ④3+2=5 ⑤3≠4x ⑥210x x -
= 分析及解答：方程有②与⑥
①不是等式 ③是不等式 ④无未知数 ⑤是不等式
例２：判断下列各数是否为方程的解，
（１） 23515(6,4)x x x x -=-== （２）211110(2,,1)222
y y y y y --+==-== 分析：判断是否为方程的解，只需用方程的解的定义，把未知数的值代入到方程左，右两边，计算，若使左右相等，则未知数的值就是原方程的解。
解（１）把x =6代入原方程 把x =4代入原方程
左边232639x =-=?-= 左边232435x =-=?-=
右边515561515x =-=?-= 右边51554155x =-=?-=
∵左边≠右边 ∵左边＝右边
∴x =6不是原方程的解 ∴x =4是原方程的解。
（2）把y =－2代入原方程，
左边2211111(2)(2)121102222
y y =--+=-?--?-+=-++= 右边＝０ ∵左边＝右边 ∴y =－2是原方程的解
把12
y =代入原方程 左边
右边＝０ ∵左边≠右边 ∴y=
2
1不是原方程的解 把y =1代入原方程 左边
右边＝０ ∵左边＝右边 ∴y =1是原方程的解
由解题过程可以看出，方程是n 次方，往往就有n 个解 如(1)(2)(3)0x x x ---=的解为1,2,3x x x ===，它是一个一元三次方程。 例3：根据题意列方程
（１）某数的3倍减去5等于3
（２）某数的6倍比这个数的5倍少8
分析及解答：
根据题意列方程，首先要设清楚未知数，此题可以设某数为x ，再根据题目中的等量关系，可以列出方程。
解（1）设某数为x ，则由题意可得，353x -=
（2）设某数为x ，则由题意可得：568x x -=或586x x -=或685x x +=……
例4: 请利用同解原理解下列各方程转化为x a =的形式，并说明使用的是方程同解原理①还是②
（1）35x += （2）424x = （3）142
x -= （4）352x x =+ 分析及解答：（1）3353x +-=-（原理①） （3）4(2)x x =-
x =2 x =－8（原理②）
（2）1244
x =?（原理②） （4）32522x x x x -=+-（原理①） ∴x =12 x =5
利用方程的同解原理我们就得到了方程的解
例5：利用方程的同解原理解下列方程
（1）452x +=- （2）2964x x +=+
分析及解答：
（1）45525x +-=--（原理①） （2）299649x x +-=+-（原理①） 解：47x =-（合并同类项） 解：245x x =-（合并同类项） ∴74
x =-
（原理②） 24454x x x -=?--（原理①） ∴74x =- 是原方程的解 25x -=-（合并同类项）
52
x =
（原理②） ∴52x =是原方程的解．
一、填空
1．________叫方程．
2．下列方程中，（1）125x x +=- （2）23y x y +=- （3）0222
=-+x x （4）21
1=+x 是一元二次方程的有_______． 3．若方程02=+x 与x k x 2
14=-是同解方程，则=-2k ________． 4．12
134=-+a x 是一元一次方程，则a =__________． 5．如果方程0205=+x 与方程x +|3a |=－1是同解方程，则a =________
二、判断
1．若|x |=5，则x =5（ ）
2．方程42
=x 与方程x =－2是同解方程（ ）
3．方程265+=m m 的解是2=m ( ) 4．方程
12
1543+=-x x 的解是24=x （ ） 5．x =6是方程15532-=-x x 的解（ ） 6．x 比y 多20％，可解方程%20=-y x （ ）
7．方程8725+=-x x 与方程8275+-=-x x 同解（ ）
8．若bc ac =，则b a =（ ）
三、根据题意列方程
1．某数比它的34大16
15 2．某数的2倍加上5，比它的6倍少7
3．某数绝对值的3倍与－4的差等于5
四、利用方程的同解原理求下列方程的解
1．1453=-x 2．4385=+-x x 3．521=-
x 4．52
13-=+x
参考答案：
一、1．含有未知数的等式叫方程
2．一元二次方程有（3）
3．－49 分析：∵02=+x ∴2-=x ∴)2(2
1)2(4-?=
--?k ∴18-=--k ∴7-=k ∴492-=-k 4．1-=a 分析：134=+a ∴33-=a ∴1-=a
5．1±=a 分析 ∴0205=+x ∴4-=x ∴－4＋3｜a ｜＝－1 ∴3｜a ｜＝3 ∴ |a |=1 ∴1±=a
二、1．× 分析 5±=x
2．× 分析 42
=x 的解为2±=x
3．× 分析 265=-m m ∴2=-m ∴2m -=
4．√ 分析 把24=x 代入 左13518=-= 右＝12＋1＝13 ∵左＝右 ∴x =24是原方程的解
5．× 分析 把6=x 入代方程 左＝9362=-? 右151565=-?= ∵左≠右 ∴6=x 不是原方程的解
6．×
7．×
8．× 分析 若o c =则a 与b 可以取任意值 三、1．设某数为x ∴ 16
15x 34x =-
2．设某数为x ∴ 7652-=+x x 3．设某数为x ∴ 5)4(||3=--x
四、1．1453=-x
利用原理①514553+=+-x
∴193=x 利用原理②3
19=
x 2．4385=+-x x
利用原理① 848385+=++-x x
∴128=x 利用原理②∴8
12=x ∴2
3=x 3．521=-x 利用原理② )2(5x )2(2
1-?=-?-
∴10-=x 4．52
13-=+x 利用原理①2
1521213--=-+
x
∴2
113-
=x 利用原理②3
1211?-=x 611-=x