高中物理竞赛机械振动和机械波知识点讲解
高中物理知识点之机械振动与机械波
高中物理知识点之机械振动与机械波机械振动与机械波是高中物理中的重要知识点，涉及到物理学中的振动和波动的相关理论及应用。
下面将从机械振动的基本概念、机械振动的特性、机械波的传播和机械波的特性等方面进行详细介绍。
一、机械振动的基本概念机械振动是物体在作用力的驱动下沿其中一轴向或其中一平面上来回往复运动的现象。
常见的机械振动有单摆振动、弹簧振动等。
1.单摆振动：单摆是由一根细线或细杆悬挂的可以在竖直平面内摆动的物体。
摆动过程中，单摆的重心沿圆弧形轨迹在竖直平面内来回运动。
2.弹簧振动：弹簧振动是指将一端固定，另一端悬挂质点的弹簧在作用力的驱动下做往复振动的现象。
弹簧振动有线性振动和简谐振动两种形式。
二、机械振动的特性1.幅度：振动中物体运动的最大偏离平衡位置的距离。
2.周期：振动一次所需要的时间，记为T。
3.频率：振动在单位时间内所完成的周期数，记为f。
频率和周期之间的关系为f=1/T。
4.角频率：单位时间内振动角度的增量，记为ω。
角频率和频率之间的关系为ω=2πf。
5.相位：刻画振动状态的物理量。
任何时刻振动的状态都可由物体与参照物的相对位移和相对速度来描述。
三、机械波的传播机械波是指质点或介质在空间传播的波动现象。
按传播方向的不同，机械波可以分为纵波和横波。
1.纵波：波动传播的方向与波的传播方向一致。
纵波的传播特点是质点沿着波动方向做往复运动，如声波就是一种纵波。
2.横波：波动传播的方向与波的传播方向垂直。
横波的传播特点是质点沿波动方向做往复运动，如水波就是一种横波。
四、机械波的特性1.波长：波的传播方向上，相邻两个相位相同的点之间的距离。
记为λ。
2.波速：波的传播速度。
波速和频率、波长之间的关系为v=λf。
3.频率：波动现象中，单位时间内波的传输周期数。
记为f。
4.能量传递：机械波在传播过程中，能量从一个质点传递到另一个质点，并随着传播的距离逐渐减弱。
5.反射和折射：机械波在传播过程中，遇到不同介质的边界时会发生反射和折射现象。
机械振动和机械波知识点总结分析
机械振动和机械波一、知识构造二、重点知识回忆1机械振动〔一〕机械振动物体〔质点〕在*一中心位置两侧所做的往复运动就叫做机械振动，物体能够围绕着平衡位置做往复运动，必然受到使它能够回到平衡位置的力即回复力。
回复力是以效果命名的力，它可以是一个力或一个力的分力，也可以是几个力的合力。
产生振动的必要条件是：a、物体离开平衡位置后要受到回复力作用。
b、阻力足够小。
〔二〕简谐振动1. 定义：物体在跟位移成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动叫简谐振动。
简谐振动是最简单，最根本的振动。
研究简谐振动物体的位置，常常建立以中心位置〔平衡位置〕为原点的坐标系，把物体的位移定义为物体偏离开坐标原点的位移。
因此简谐振动也可说是物体在跟位移大小成正比，方向跟位移相反的回复力作用下的振动，即F=－k*，其中“－〞号表示力方向跟位移方向相反。
2. 简谐振动的条件：物体必须受到大小跟离开平衡位置的位移成正比，方向跟位移方向相反的回复力作用。
3. 简谐振动是一种机械运动，有关机械运动的概念和规律都适用，简谐振动的特点在于它是一种周期性运动，它的位移、回复力、速度、加速度以及动能和势能〔重力势能和弹性势能〕都随时间做周期性变化。
〔三〕描述振动的物理量，简谐振动是一种周期性运动，描述系统的整体的振动情况常引入下面几个物理量。
1. 振幅：振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，常用字母“A 〞表示，它是标量，为正值，振幅是表示振动强弱的物理量，振幅的大小表示了振动系统总机械能的大小，简谐振动在振动过程中，动能和势能相互转化而总机械能守恒。
2. 周期和频率，周期是振子完成一次全振动的时间，频率是一秒钟振子完成全振动的次数。
振动的周期T 跟频率f 之间是倒数关系，即T=1/f 。
振动的周期和频率都是描述振动快慢的物理量，简谐振动的周期和频率是由振动物体本身性质决定的，与振幅无关，所以又叫固有周期和固有频率。
〔四〕单摆：摆角小于5°的单摆是典型的简谐振动。
机械振动和机械波知识点总结
机械振动和机械波知识点总结机械振动和机械波是力学中重要的研究对象，涵盖了许多基本的物理概念和理论。
本文将对机械振动和机械波的知识点进行总结和概述。
一、机械振动机械振动是指物体在作用力或外界激励下，围绕平衡位置做周期性的运动。
其基本概念和理论如下：1. 平衡位置和位移：机械振动的平衡位置是物体在受到作用力后不再发生位移的位置，位移则是指物体在振动过程中距离平衡位置的偏离量。
2. 振幅和周期：振幅是指物体在振动过程中位移的最大值，周期是指物体完成一个完整振动所需要的时间。
3. 频率和角速度：频率是指单位时间内振动的次数，通常用赫兹（Hz）来表示；角速度则是指单位时间内角位移的变化率，通常用弧度/秒来表示。
4. 谐振和简谐振动：谐振是指物体在受到与其固有振动频率相同的外力激励时产生的振动现象，简谐振动是一种特殊的谐振，其运动方式是由正弦函数所描述的。
二、机械波机械波是指由固体、液体、气体等介质传递的一种能量和动量的传播形式。
以下是机械波相关的知识点总结：1. 波的性质：波的振幅、频率、波速、波长是描述波的基本性质。
振幅是指波动的最大位移，波速是指波在介质中传播的速度，波长是指波动的最小周期。
2. 纵波和横波：根据传播方向和振动方向的关系，波可以分为纵波和横波。
纵波的振动方向与波的传播方向一致，横波的振动方向与波的传播方向垂直。
3. 声波和机械波：声波是一种机械波，是由介质分子振动引起的机械波。
声波的传播需要介质的存在，例如空气、水等。
4. 声速和音频：声速是指声波在介质中传播的速度，与介质的密度和弹性有关。
音频是指人类能够听到的声波的频率范围，通常在20Hz到20kHz之间。
三、振动和波的应用振动和波有着广泛的应用领域，以下是部分应用的概述：1. 振动传感器：振动传感器可以检测物体的振动状态，并将其转换为电信号输出。
其在机械故障监测、地震预警等领域有着重要作用。
2. 声纳技术：声纳技术利用声波在水中传播的特性，用于海洋勘探、潜艇探测等军事和民用领域。
高中物理机械振动和机械波知识点
高中物理机械振动和机械波知识点机械振动和机械波是高中物理中一个重要的内容，下面将以1200字以上的篇幅详细介绍这两个知识点。
一、机械振动1.振动的定义及特点振动是指物体在平衡位置附近做往复运动的现象。
振动具有周期性、往复性和简谐性等特点。
2.物理量与振动的关系振动常涉及到的物理量有位移、速度、加速度、力等。
振动的物体在其中一时刻的位移与速度、加速度之间存在着相位差的关系。
3.简谐振动简谐振动是指振动物体的加速度与恢复力成正比，且方向相反。
简谐振动的周期、频率和角频率与振幅无关，只与振动系统的特性有关。
4.阻尼振动阻尼振动是指振动物体受到阻力的影响而逐渐减弱并停止的振动。
阻尼振动可以分为临界阻尼、过阻尼和欠阻尼三种情况。
5.受迫振动受迫振动是指振动物体受到外界周期力的作用而发生的振动。
当外力的频率与振动系统的固有频率相同时，产生共振现象。
6.驱动力与振幅的关系外力作用下，振动物体的振幅由驱动力的频率决定。
当驱动力的频率与振动物体的固有频率接近时，振幅达到最大值。
二、机械波1.波的定义及特点波是指能量或信息在空间中的传递。
波有传播介质，传播介质可以是固体、液体或气体。
波分为机械波和电磁波两种。
2.机械波的分类及特点机械波分为横波和纵波两种，它们的传播方向与介质振动方向有关。
横波的振动方向与波的传播方向垂直，而纵波的振动方向与波的传播方向平行。
3.波的传播速度波的传播速度与介质的性质和波的频率有关。
在同一介质中，传播速度与波长成正比，与频率成反比。
在不同介质中，波长相等时，传播速度与频率成正比。
4.波的反射、折射和干涉波在传播过程中会遇到障碍物或介质边界，导致发生反射和折射现象。
当波的传播路径中存在两个或多个波源时，会发生波的干涉现象。
5.波的衍射波在通过缝隙或物体边缘时会发生波的弯曲现象，这种现象称为波的衍射。
波的衍射现象是波动性质的重要表现之一6.声波的特点及应用声波是一种机械波，的传播媒质是物质的弹性介质。
机械振动和机械波知识点复习及总结
机械振动和机械波知识点复习一 机械振动知识要点1． 机械振动：物体（质点）在平衡位置附近所作的往复运动叫机械振动，简称振动条件：a 、物体离开平衡位置后要受到回复力作用。
b 、阻力足够小。
回复力：效果力——在振动方向上的合力 平衡位置：物体静止时，受（合）力为零的位置： 运动过程中，回复力为零的位置（非平衡状态） 描述振动的物理量位移x （m ）——均以平衡位置为起点指向末位置振幅A （m ）——振动物体离开平衡位置的最大距离（描述振动强弱） 周期T （s ）——完成一次全振动所用时间叫做周期（描述振动快慢） 全振动——物体先后两次运动状态（位移和速度）完全相同所经历的过程频率f （Hz ）——1s 钟内完成全振动的次数叫做频率（描述振动快慢） 2． 简谐运动概念：回复力与位移大小成正比且方向相反的振动 受力特征：kx F -= 运动性质为变加速运动 从力和能量的角度分析x 、F 、a 、v 、E K 、E P 特点：运动过程中存在对称性平衡位置处：速度最大、动能最大；位移最小、回复力最小、加速度最小 最大位移处：速度最小、动能最小；位移最大、回复力最大、加速度最大✧ v 、E K 同步变化；x 、F 、a 、E P 同步变化，同一位置只有v 可能不同3． 简谐运动的图象（振动图象）物理意义：反映了1个振动质点在各个时刻的位移随时间变化的规律 可直接读出振幅A ，周期T （频率f ） 可知任意时刻振动质点的位移（或反之） 可知任意时刻质点的振动方向（速度方向） 可知某段时间F 、a 等的变化4． 简谐运动的表达式：)2sin(φπ+=t TA x 5． 单摆（理想模型）——在摆角很小时为简谐振动回复力：重力沿切线方向的分力 周期公式：glT π2= （T 与A 、m 、θ无关——等时性） 测定重力加速度g,g=224T Lπ 等效摆长L=L 线+r6． 阻尼振动、受迫振动、共振阻尼振动（减幅振动）——振动中受阻力，能量减少，振幅逐渐减小的振动 受迫振动：物体在外界周期性驱动力作用下的振动叫受迫振动。
机械振机械波相关知识点
第二章机械振机械波§1、简谐振动、振动图像一、机械振动1、机械振动：物体（或物体的一部分）在某一中心位置两侧做的往复运动．振动的特点:①存在某一中心位置;②往复运动,这是判断物体运动是否是机械振动的条件. 产生振动的条件:①振动物体受到回复力作用;②阻尼足够小;2、回复力：振动物体所受到的总是指向平衡位置的合外力．①回复力时刻指向平衡位置;②回复力是按效果命名的, 可由任意性质的力提供．可以是几个力的合力也可以是一个力的分力; ③合外力：指振动方向上的合外力，而不一定是物体受到的合外力．④在平衡位置处：回复力为零，而物体所受合外力不一定为零．如单摆运动，当小球在最低点处，回复力为零，而物体所受的合外力不为零．3、平衡位置：是振动物体受回复力等于零的位置；也是振动停止后，振动物体所在位置；平衡位置通常在振动轨迹的中点。
“平衡位置”不等于“平衡状态”。
平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。
（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以并不处于平衡状态）二、简谐振动及其描述物理量1、振动描述的物理量（1）位移：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段．①是矢量，其最大值等于振幅；②始点是平衡位置，所以跟回复力方向永远相反；③位移随时间的变化图线就是振动图象．（2）振幅：离开平衡位置的最大距离．①是标量；②表示振动的强弱；（3）周期和频率：完成一次全变化所用的时间为周期T，每秒钟完成全变化的次数为频率f．①二者都表示振动的快慢；②二者互为倒数；T=1/f；③当T和f由振动系统本身的性质决定时（非受迫振动），则叫固有频率与固有周期是定值，固有周期和固有频率与物体所处的状态无关．2、简谐振动：物体所受的回复力跟位移大小成正比时，物体的振动是简偕振动．①受力特征：回复力F=—KX 。
②运动特征：加速度a=一kx ／m ，方向与位移方向相反，总指向平衡位置。
机械振动和机械波知识点总结
机械振动和机械波知识点总结一、机械振动的基本概念1.简谐振动：具有恢复力的物体围绕平衡位置作周而复始的往复运动，其运动规律满足简谐振动的规律。
2.振幅：振动的最大偏离量，表示振动的幅度大小。
3.周期：振动完成一次往复运动所经历的时间。
4.频率：单位时间内振动的循环次数。
5.角频率：单位时间内振动的循环角度。
6.动能和势能：振动物体在做往复运动过程中，动能和势能不断转化。
7.谐振：当外力与物体的振动频率相同时，产生共振现象，能量传递效率最高。
二、机械振动的描述方法1.运动方程：描述物体随时间变化的位置。
2.振动曲线：以时间为横轴，位置或速度为纵轴，绘制出的曲线。
3.波形图：以距离为横轴，垂直方向的位移、压强或密度为纵轴，绘制出的曲线。
三、机械振动的特性1.振动的幅度、周期和频率可以通过测量来确定。
2.振动的速度和加速度随时间变化而变化，速度与位置之间呈正弦关系，加速度与位置之间呈负弦关系。
3.振动的能量在物体各个部分之间以波动形式传递，不断发生能量转化。
4.振动物体的相对稳定位置是平衡位置，物体相对平衡位置的偏离量越大，能量传递越快，振幅越大。
四、机械波的基本概念1.机械波是一种能量的传递方式，通过介质中的相互作用使得能量沿介质传播。
2.波的传播速度与介质的性质有关，弹性固体中传播速度最大，液体次之，气体最小。
3.机械波分为横波和纵波。
横波的传播方向与振动方向垂直，如水波；纵波的传播方向与振动方向一致，如声波。
五、机械波的描述方法1.波的频率、波长和传播速度之间存在关系：波速=频率×波长。
2.波谱分析：将波的复杂振动分解成一系列简单谐波的叠加。
3.波的传播可分为反射、折射、干涉、衍射和驻波等现象。
六、机械波的特性1.超前传播：波的传播速度比振动速度快。
2.波的干涉：两个波相遇时，根据叠加原理，产生增强或减弱的效果。
3.波的衍射：波通过孔隙或物体边缘时发生的现象。
4.驻波：两个等幅、频率相同的波在空间中相遇，发生干涉，形成波节和波腹。
机械振动和机械波知识点总结(最新整理)
机械振动和机械波一、知识结构二、重点知识回顾1机械振动（一）机械振动物体（质点）在某一中心位置两侧所做的往复运动就叫做机械振动，物体能够围绕着平衡位置做往复运动，必然受到使它能够回到平衡位置的力即回复力。
回复力是以效果命名的力，它可以是一个力或一个力的分力，也可以是几个力的合力。
产生振动的必要条件是：a、物体离开平衡位置后要受到回复力作用。
b、阻力足够小。
（二）简谐振动1. 定义：物体在跟位移成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动叫简谐振动。
简谐振动是最简单，最基本的振动。
研究简谐振动物体的位置，常常建立以中心位置（平衡位置）为原点的坐标系，把物体的位移定义为物体偏离开坐标原点的位移。
因此简谐振动也可说是物体在跟位移大小成正比，方向跟位移相反的回复力作用下的振动，即F=－k x，其中“－”号表示力方向跟位移方向相反。
2. 简谐振动的条件：物体必须受到大小跟离开平衡位置的位移成正比，方向跟位移方向相反的回复力作用。
3. 简谐振动是一种机械运动，有关机械运动的概念和规律都适用，简谐振动的特点在于它是一种周期性运动，它的位移、回复力、速度、加速度以及动能和势能（重力势能和弹性势能）都随时间做周期性变化。
（三）描述振动的物理量，简谐振动是一种周期性运动，描述系统的整体的振动情况常引入下面几个物理量。
1. 振幅：振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，常用字母“A ”表示，它是标量，为正值，振幅是表示振动强弱的物理量，振幅的大小表示了振动系统总机械能的大小，简谐振动在振动过程中，动能和势能相互转化而总机械能守恒。
2. 周期和频率，周期是振子完成一次全振动的时间，频率是一秒钟内振子完成全振动的次数。
振动的周期T 跟频率f 之间是倒数关系，即T=1/f 。
振动的周期和频率都是描述振动快慢的物理量，简谐振动的周期和频率是由振动物体本身性质决定的，与振幅无关，所以又叫固有周期和固有频率。
（四）单摆：摆角小于5°的单摆是典型的简谐振动。
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高中物理竞赛机械振动和机械波知识点讲解知识点击1．简谐运动的描述和基本模型⑴简谐振动的描述：当一质点，或一物体的质心偏离其平衡位置x，且其所受合力kk2???xx?a???0)kx??(k?F满足，故得，F mm则该物体将在其平衡位置附近作简谐振动。
⑵简谐运动的能量：一个弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成，111?222??kx??mkAE即222?F??kx，那么这个物体⑶简谐运动的周期：如果能证明一个物体受的合外力?m2?2??T，式中m一定做简谐运动，而且振动的周期是振动物体的质量。
?k⑷弹簧振子：恒力对弹簧振子的作用：只要m和k都相同，则弹簧振子的振动周期T就是相同的，这就是说，一个振动方向上的恒力一般不会改变振动的周期。
多振子系统：如果在一个振动系统中有不止一个振子，那么我们一般要找振动系统的等效质量。
悬点不固定的弹簧振子：如果弹簧振子是有加速度的，那么在研究振子的运动时应加上惯性力．5⑸单摆及等效摆：单摆的运动在摆角小于l?l和0时可近似地看做是一个简谐运动，振g2T?的含义及值会发生变化。
，在一些“异型单摆”中，动的周期为g（6）同方向、同频率简谐振动的合成：若有两个同方向的简谐振动，它们的圆频率??，则它们的运动学方程分别为和和都是ω，振幅分别为AA，初相分别为2121??)cos(A?t?x111??)cos(A?t?x222x仍应在同一直线因振动是同方向的，所以这两个简谐振动在任一时刻的合位移x?x?x上，而且等于这两个分振动位移的代数和，即21??)tAcos(?x?由旋转矢量法，可求得合振动的运动学方程为这表明，合振动仍是简谐振动，它的圆频率与分振动的圆频率相同，而其合振幅为22??)Acos(?AA?A?2A?121122??sinsinA?A?2211?tan合振动的初相满足??cosA?Acos2112 2．机械波：（1）机械波的描述：如果有一列波沿x 方向传播，振源的振动方程为y=Acosωt，?，那么在离振源x波的传播速度为远处一个质点的振动方程便是x???(t??Acos)y，在此方程中有两个自变量：t和x，当t不变时，这个方程描写?????某一时刻波上各点相对平衡位置的位移；当x不变时，这个方程就是波中某一点的振动方程．（2）简谐波的波动方程：简谐振动在均匀、无吸收的弹性介质中传播所形成的波ox xyo?轴正方向传播，振沿平面内，以波速叫做平面简谐波。
如果一列简谐波在u??)cos(?ty?A，由于波是振动状态的传播，源（设其位于坐标原点）的振动方程为x?t0)?x(x的时间。
这表明若坐标故知坐标原点的振动状态传播到离振源处要滞后0u t?t的时间，于是x处的质点只振动了x处振动质点的位移可表原点振动了t时间，0为x?????Acos?(t)y???u??轴上所有质点的振动，它就是平面简谐波的波函数，显然，上式适用于表述ox 也常称为平面简谐波的波动方程。
x?????)tcos?yA(?轴负方向传播，则波函数为ox同理，如果简谐波沿??u??x?????cos?A)(t?y为例做－讨为了加深对波函数物理含义的理解，下面以??u??论。
x?xx时（好似用摄像机对着坐标为①当，则这一质点进行拍摄）00?xx????????00)(cos?t(t?)???A?yAcosx的质。
它表示的是坐标为????0uu????点在不同时刻的位移，即该处质点的振动方程。
ttt?时刻进行照相），则时（好似用照相机对一组质点在②当00?xx????????t)??Acos?(y?Acos(t?)?t时刻各。
它表示在给定的????000uu????t时刻的波形图。
质点的位移分布情况，相应的图像称为03．波的干涉和多普勒效应⑴波的叠加：几列波在同一介质中传播时，在它们相遇的区域内，每列波都将保持各自原有的频率、波长和传播方向，并不相互干扰．波的这种性质叫做波的独立性．因此在几列波重叠的区域内，每个介质质点都将同时参与几列波引起的振动，每个质点的振动都是由几个分振动合成的．故在任一时刻，每个质点的位移都是几列波各自的分振动引起的位移的矢量和．这种现象称为波的叠加．⑵波的干涉：两列频率相同、振动方向相同、相位差恒定的波叫做相干波。
两列相干波传到同一个区域，可使某些位置的质点振动加强，某些位置的质点振动减弱，而且振动加强和振动减弱的区域相互间隔，这种现象叫做波的干涉。
⑶多普勒效应：当声源和观察者之间存在相对运动时，会发生收听频率和声源频率不一致的现象．该种现象神称为多普勒效应．为了简单，这里仅讨论波源或观察者的运动方向与波的传播方向共线的情况．??ff：，接收到的频率为设波速为，波的频率为0??u?0f?f向波源运动：）观察者以速度a（u?0．???0f?f波源以速度向观察者运动：(b)???0??u?0f?f波源和观察者都运动：(c) ???0根据简谐振动的基本模型和各种变形的振动模型，求振动周期是振动问题的一种基本类kx?a?kx?F?的形式，从中得出有关或型，解题中要注意简谐振动的动力学特征m等效量。
7—1所示，不计一切摩擦，绳不可伸长，例1．一简谐运动的系统如图上下振动的周期。
已知求m及弹簧的劲度系数m、mk212分析和解：本题是一个弹簧振子的变式模型，解题时要根据受力分析由牛顿运动定律得出振动的动力学特征，然后由周期公式就可求出其振动周期x。
，绳上张力是设某一时刻弹簧伸长F T a?Fmkx?mg?：分析m11T1am?F?mg m：分析22T22m2)2kx?2mg?mg?a(2m?：，消去F T1122?x2k?x?mg?2mg m的加速度为零，则有、，此时m假设振子平衡时弹簧伸长211200x??x??x x?，则m偏离平衡位置的位移为设m2)2k(?x??x)?2mg?mg?a(2m?①10122mmg2mg?212)?max??x2k??(2将代10?2)(??Fkx?am?14入①式，可得102k2m4m?mm?212?T2?m所以这个振子系统的等效质量是，周期为14k4波的干涉问题大多是问题简单，解答繁复，根据矢量叠加原理和波的干涉特征，大多产生多值问题，在处理这类问题时，一般先不急于代人数据，文字运算有助于从物理意义角度思考问题．点各有一个相同的扬Q点和圆心P的圆形跑道的45 m所示，在半径为3—7．如图3例声器，发出的都是波长10 m的完全相同的声波，一个人从直径PH的H点出发，沿逆时针方向绕圆周走一圈，问他离开H点后，到达P点前共听到几次最弱的声音？分析和解：本题是根据波的干涉原理来解决声波干涉的现象，解题时可从波程差和振动加强或减弱的条件出发。
如图7—4所示，设人走到圆弧上的A点处，∠APH=θ，则P、Q两点波源到A的路程差ΔS满足：ΔS＝2Rcosθ-R???0?，考虑人的运动范围，对于θ，有2?R??S?R①?(2n??S?1)n?N又应满足：S②为使人能听到最弱的声音，Δ2λ结合①②，将R=45 m， =10 m代入，得到次。
104,3,2,±±±-5时，人能听到最弱的声音，共1,N=0，±波动问题的最大特征就是其多解性，包括速度的正负方向，距离相差整数倍波长时振动的完全等效，都应仔细考虑，在处理这类问题时，一般应先求出产生多解量的表达式，然后通过文字运算得到所求量的表达式，最后根据有关物理意义确定题解。
x时刻的波74例．图—和t=05中的实线和虚线分别表示沿轴方向传播的正弦波t=1s 形。
（1）求该波的频率和波速；（2）写出X=0及X=1 m处的质点振动方程。
分析和解：本题的特点是波的传播方向不确定和周期的不确定（或距离相差整数倍波长时振动的完全等效）形成多解。
（1）由题给图象可知，如果波向x正方向传播，则两时间间隔内该机械波可能向前1?)n?(，…，传播了3，1，2，其中n=041?)n?(?11S?4?Hz)?(nf????/?2(n?s)m，?4t4?t?同理，如果波沿x轴负方向传播3?)n?(?334?Hzn?f?)?(??)m?/s2(n,?4t?4（2）如果波向x轴正方向传播，则有??1)?(4n????tt?)cos(?0.01cos?my?A时，x=0??022????1)n3?(4????)?t?0.01cos?tmy?Acos(时， x=lm??022??同理，如果波向x轴负方向传播，则有??3)?(43n??ty?0.01cos?m x=0时，??22????3)?(4n??t?y?0.01cosm x=1时，??22??等效摆的问题也简谐振动的另一基本模型单摆的变形模型，求振动周期时一般考虑等效摆长和等效重力加速度，但对于刚体构成的复摆，其等效量的计算往往要考虑质心及刚体的转动惯量才能简化解题过程。
例5．如图7—6所示，由匀质金属丝做成的等腰三角形可在图示平面内作小振幅振动．在位置（a）和（b）的情形，长边是水平的．所有三种情形的振动周期均相等．试求出该周期．I?2T?，分析和解：该题中，悬挂的三角形架为一复摆，而复摆的周期公式为mgh对象是刚体，I为刚体对悬点的转动惯量，h为质心与悬点间的距离．另外，题中得出2gTS?S?，与mSS、满足，I无两位置相异、周期相同的置点与质量心间的距离21212?4关，这是一个非常重要的结论。
如图7—7，设三个悬点分别距金属架S，S，S，对于悬cba挂点距质心为S的复摆的周期T，2mS?II??022?T?讨论如下：mghmgS2T200??S①2?m4其中I为系统绕质心的转动惯量。
将①式视为一关于S的一元二次方程，则当T为一确o定G位于AC的中点，22cm21.6?BCS?S?S=S=5cm，ca cb①式的两解为S=5 cm，S=21. 6 cm ba S?S?ba?1.04?T2s 即g类型五、多普勒效应的问题是波源或观察者的运动与波的传播三者间的相对运动的问题，一般地说可化为行程问题来解，但解题过程会比较复杂，所以直接用推导得出的公式比较简单。
??1200Hz），甲、例6．一个人站在广场中央，对着甲、乙、丙三个伙伴吹哨子（频率乙、丙距广场中央都是100m远，且分别在广场中央的南东北面，第四个伙伴丁从西面乘车以40m/s的速度赶来，忽然有一阵稳定的风由南向北吹来，速度为速度为10m/s，如图7—8所示，求甲、乙、丙、丁四人听到哨声的频率各是多少？已知当时声速为320m/s。
分析和解：由于风吹动引起介质相对声源和观察者????u?，应用多普勒效应运动，即以速度FF．??V??????1200Hz公式??V????u??对甲：，FF??V???F?1200?Hz则甲??V F???u?0，在东西方向无速度分量，故对乙：由于F V?0?????1200Hz所以乙V?0??V??????F?1200Hz???u?，，对丙：FF丙??V F??40m/s，u=0，对丁：?320?40?V?????1200??1350Hz丁3200?V。