(完整版)定积分的简单应用测试题
定积分及其应用练习带详细包括答案.docx
答案：4.
详解：
设A(x
0)，则ωx＋φ＝2，∴x
＝2ω－ω.
0,
0
π
0
Байду номын сангаасπ φ
2π
又y＝ωcos(ωx＋φ)的周期为ω，
ππφπ
∴|AC|＝，C－＋，0 .
ω2ωωω
依题意曲线段ABC与x轴围成的面积为
πφππφ
S＝－∫2ω－ω＋ω2ω－ωωcos(ωx＋φ)dx＝2.
ππ
∵|AC|＝ ，|yB|＝ω，∴S△ABC＝.
为()．
1
1
1
1
A．4
B．5
C．6
D．7
变式训练一
题面：
函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，其中，P
为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．
欢迎下载2
—
若在曲线段ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．
ω2
π
∴满足条件的概率为4.
变式训练二
题面：
（2012?福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自
阴影部分的概率为（）
欢迎下载3
—
A．B．C．D．
答案：C.
详解：
根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，
而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为∫01（﹣x）dx=（﹣）|01=，
则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=；
故选C．
金题精讲
题一
题面：
（识图求积分，二星）已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面
定积分在物理上的简单应用
v /m/s
30
A
B
20
10
C t/s
oห้องสมุดไป่ตู้
10
20 30
40 50
60
图1.7 3
S 3tdt 30dt 1.5t 90dt
3 2 40 3 2 t 30t 10 t 90t 1350m. 2 0 4 40
10 60
答 汽车在这1min 行驶的路程是 1350m.
• 法二：由定积分的几何意义，直观的可以得出路程 即为如图所示的梯形的面积，即
30 60 s 30 1350 2
练习: 1. 物体以速度 v(t ) 3t 2 2t 3 (m/s) 作直线运动 , 它 在时刻 t 0 (s)到 t 3 (s)这段时间内的位移是( )m (A)9 (B)18 (C)27 (D)36
1.7.2 定积分在物理中的应用
1、变速直线运动的路程
设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0， 则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为
s v(t )dt
a
b
v
v v(t )
O
a
b
t
v /m/s
例: 一辆汽车的 速 度 时间曲 线 如图 1.7 3所示.求汽车在 这1min 行驶的路程 .
30
A
B
20
10
C t/s
o
10
20 30
40 50
60
图1.7 3
解 由速度 时间曲线可知 : 3t , 0 t 10 ; 10 t 40; vt 30 , 1.5t 90, 40 t 60. 因此汽车在这 1min 行驶的路 程是 :
定积分及其应用计算题
3
(1) 求它与 x 轴所围成的面积; (2) 求它的弧长; (3) 求它与 x 轴围成区域绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积和 表面积. 15* 设曲线 y ax a 0, x 0 与 y 1 x 相交于点 A ,过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线 y ax 围成一个平面图形,问 a 为何值时,该 图形绕??轴旋转一周所得的旋转体的体积最大 ?最大体积为多 少? 16. 过点 1,0 作曲线 y x 2 的切线,该切线与上述曲线及 x 轴 围成一个平面图形 A .(1) 求 A 的面积; (2) 求 A 绕 x 轴旋转 一周所成的旋转体的体积. 17* 设函数 f x 在闭区间 0,1 上连续,在开区间 0,1 内大于零, 并满足 3a xf x f x x (a 为常数);
1 2
y a1 cos t ,
(1) 求它绕 x 轴旋转一周生成的旋转体的体积与侧面积; (2) 求它绕 y 轴旋转一周生成的旋转体的体积与侧面积. 12. 13. 14.
x 2 求曲线 y 在 0 x 2 区间段的弧长. 2 x at sin t , 求外旋轮线的方程为 0 t 2 , a 0 的弧长. y a1 cos t ,
要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之 比为常数 r ( 0 r 1 ).问: (1) 汽锤击打 3 次后,可将桩打进地下多深? (2) 若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? 广义积分问题 1. 计算
3 2 1 2
dx xx
x2 0
2
.
1.7 定积分的简单应用(2)
1.7 定积分的简单 应用x)≤0),x∈[a,b], x=a, x=b(a<b)和x轴围成的曲边梯形的面积S b 等于______________. f ( x)dx
a
2.做直线运动的质点在任意位置x处,所受 的力F(x)=1+ex,则质点沿着F(x)相同的方 向,从点x1=0处运动到点x2=1处,力F(x)所 做的功是_____________. e
例1 求由抛物线y2=8x(y>0)与直线x+y-6=0 及y=0所围成的图形的面积.
例2 已知抛物线y=x2-2x及直线x=0,x=a,y=0 围成的平面图形的面积为4/3,求a的值.
若”面积为4/3”,改为”面积不超过4/3” 呢?
练习:
已知直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围 图形为面积相等的两部分,求k的值.
例3 一点在直线上从时刻t=0(s)开始以速 度v=t2-4t+3 (m/s)运动,求: (1)在t=4 s的位置;
(2)在t=4 s运动的路程.
例4 列车以72 km/h的速度行驶,当制动时列车 获得加速度a=-0.4 m/s2,问列车应在进站前多长 时间,以及离车站多远处开始制动?
练习: A 、B两站相距7.2km,一辆电车从A站开 往B站,电车开出t s后到达途中C点,这一 段速度为1.2t (m/s),到C点速度达24 m/s, 从C点到B站前的D点以等速行驶,从D点 开始刹车,经过t s后,速度为(24-1.2t)m/s, 在B点恰好停车,试求: (1)A、C间的距离; (2) B、D间的距离; (3)电车从A站到B站所需的时间.
定积分试题及答案详解
定积分试题及答案详解1. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。
答案：首先，我们需要找到被积函数 \(x^2\) 的原函数。
原函数为\(\frac{1}{3}x^3\)。
接下来，我们计算定积分：\[\int_{0}^{1} x^2 dx = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}(1)^3 - \frac{1}{3}(0)^3 = \frac{1}{3} - 0 =\frac{1}{3}\]所以，定积分的值为 \(\frac{1}{3}\)。
2. 求定积分 \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx\)。
答案：对于被积函数 \(\frac{1}{x}\)，其原函数为 \(\ln|x|\)。
计算定积分：\[\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx = [\ln|x|]_{1}^{2} = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2)\]因此，定积分的值为 \(\ln(2)\)。
3. 计算定积分 \(\int_{0}^{\pi} \sin(x) dx\)。
答案：被积函数 \(\sin(x)\) 的原函数是 \(-\cos(x)\)。
计算定积分：\[\int_{0}^{\pi} \sin(x) dx = [-\cos(x)]_{0}^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 2\]所以，定积分的值为 2。
4. 求定积分 \(\int_{0}^{1} (2x + 3) dx\)。
答案：被积函数 \(2x + 3\) 的原函数为 \(x^2 + 3x\)。
计算定积分：\[\int_{0}^{1} (2x + 3) dx = [x^2 + 3x]_{0}^{1} = (1^2 + 3\cdot 1) - (0^2 + 3 \cdot 0) = 1 + 3 - 0 = 4\]因此，定积分的值为 4。
定积分练习题
定积分练习题一、基本概念题1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} (3x^2 + 4) \, dx$。
2. 计算定积分 $\int_{1}^{2} (x^3 2x) \, dx$。
3. 设函数 $f(x) = x^2 3x + 2$，求 $\int_{1}^{3} f(x) \,dx$。
4. 已知函数 $g(x) = \sqrt{1 x^2}$，求 $\int_{1}^{1} g(x) \, dx$。
5. 计算 $\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$。
二、定积分的性质题6. 利用定积分的性质，计算 $\int_{0}^{2} (3x^2 + 4x) \,dx$。
7. 已知 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2$，求 $\int_{1}^{2}f(x) \, dx$。
8. 设 $f(x)$ 是奇函数，证明 $\int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0$。
9. 已知 $\int_{0}^{1} (f(x) + g(x)) \, dx = 5$，$\int_{0}^{1} (f(x) g(x)) \, dx = 3$，求 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx$ 和 $\int_{0}^{1} g(x) \, dx$。
三、定积分的计算题10. 计算 $\int_{0}^{\pi} x \cos x \, dx$。
11. 计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) \, dx$。
12. 计算 $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$。
13. 计算 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 x^2}} \, dx$。
14. 计算 $\int_{0}^{2} |x 1| \, dx$。
四、定积分的应用题15. 计算由曲线 $y = x^2$，直线 $x = 2$ 和 $y = 0$ 所围成的图形的面积。
定积分应用题附答案(可编辑修改word版)
⎩ y ⎨ ⎩ 2 《定积分的应用》复习题一．填空：1. 曲线 y = ln x , y = ln a , y = ln b (0 < a < b )及y 轴所围成的平面图形的面积为 A =ln be y dy =b-aln a2. 曲线y = x 2和y = x 所围成的平面图形的面积是 1 3二．计算题：1. 求由抛物线 y 2= 2x 与直线 2x + y – 2 = 0 所围成的图形的面积。
解：（1）确定积分变量为 y ，解方程组⎧ y 2 = 2x ⎧x 1 = 1/ 2 ⎧ x 2 = 2 ⎨y = -2x + 2 得 ⎩ y 1 = 11 , ⎨ = -2 即抛物线与直线的交点为（ ，1）和( 2 , - 2 ).故所求图形在直线 y = 1 和 y 2= - 2 之间，即积分区间为［－2，1 ］。
（2）在区间［－2，1］上，任取一小区间为［ y , y + dy ］,对应的窄条面积近 1 1似于高为［(１－ y ）- y 2 ］,底为 dy 的矩形面积，从而得到面积元素22 11dA = [(１－ y)-y 2 ]dy22(3)所求图形面积 A =1[（1- 11 y ）- y2 ]dy = [y - 1 y 2 – 1 y3 ]1 =9⎰ - 22246-242. 求抛物线 y = - x 2+ 4x - 3 及其在点（0，- 3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。
解：由 y = - x 2 + 4x – 3 得y ' = -2x + 4 , y '(0) = 4, y '(3) = -2 。
抛物线在点（0，- 3）处的切线方程为 y = 4x – 3 ;在点（3，0）处的切线方程为 3 y = - 2x + 6 ; 两切线的交点坐标为 （ ，3 ）。
2故 面积 A =⎰⎰2=⎰2⎪ ⎰ ⎰ ⎰ =3 (1+ 2 c os + )d + 2 (1+ cos 2)d = 3392 [(4x - 3) - (x + 4x - 3)] dx +3 [(-2x + 6) - (x + 4x - 3)] dx = 023. 求由摆线 x = a (t – sint) , y = a( 1- cost) 的一拱（ 0 ≤ t ≤ 2）与横轴所围成的图形的面积。
(完整版)定积分练习题
一、选择题1. 设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的符号( ) A ．一定是正的 B ．一定是负的C ．当0<a <b 时是正的，当a <b <0时是负的D ．以上结论都不对解析： 由⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义及f (x )>0，可知⎠⎛a b f (x )d x 表示x ＝a ，x ＝b ，y ＝0与y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积．∴⎠⎛ab f (x )d x >0.答案：A 2. 若22223,,sin a x dx b x dx c xdx ===⎰⎰⎰，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b解析：a ＝13x 3 |20＝83，b ＝14x 4 |20＝4，c ＝－cos x |20＝1－cos2，∴c <a <b . 答案：D3. 求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .4.11(sin 1)x dx -+⎰的值为( )A. 2B.0C.22cos1+D. 22cos1- 【答案】A 【解析】[][]1111(sin 1)cos (cos11)cos(1)12x dx x x --+=-+=-+----=⎰5. 由曲线22y x x =+与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 （ ）A ．16B ．13C ．56D ．23【答案】 A由22,x x x +=解得两个交点坐标为（-1,0）和（0,0）， 利用微积分的几何含义可得封闭图形的面积为:23201111111((2)()|().32326S x x x dx x x --=-+=--=--=⎰ 二、填空题6. 已知f (x )＝⎠⎛0x(2t －4)d t ，则当x ∈[－1,3]时，f (x )的最小值为________．解析： f (x )＝⎠⎛0x(2t －4)d t ＝(t 2－4t )| x 0＝x 2－4x ＝(x －2)2－4(－1≤x ≤3)，∴当x ＝2时，f (x )min ＝－4.答案： －47. 一物体以v (t )＝t 2－3t ＋8(m/s)的速度运动，在前30 s 内的平均速度为________． 解析：由定积分的物理意义有：s ＝3020(38)t t dt -+⎰＝(13t 3－32t 2＋8t )|300＝7890(m)．∴v ＝s t ＝789030＝263(m/s)．答案：263 m/s 三、解答题8.求下列定积分：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ；(2)(cos e )d x x x π-⎰＋；(3)⎠⎛49x (1＋x )d x ；(4)⎠⎛0πcos 2x 2d x .解析： (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121x d x ＝x 22| 21－x 33| 21＋ln x |21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)(cos e )d x x x π-⎰＋＝00cosxd e d x x x ππ--+⎰⎰＝sin x ||0－π＋e x 0－π＝1－1eπ. (3)⎠⎛49x (1＋x )d x ＝⎠⎛49(x 12＋x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫23x 32＋12x 249＝23×932－23×432＋12×92－12×42＝4516. (4)⎠⎛πcos 2x 2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |0π＋12sin x |0π＝π2.9. 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图：直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274，求f (x )．解：由f (0)＝0得c ＝0， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 由f ′(0)＝0得b ＝0， ∴f (x )＝x 3＋ax 2＝x 2(x ＋a )，由∫－a 0[－f (x )]d x ＝274得a ＝－3. ∴f (x )＝x 3－3x 2.10.已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值． 解析： (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－ab ＝0.∴f (x )＝ax 2＋(2－a )．又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01[ax 2＋(2－a )]d x＝⎣⎡⎦⎤13ax 3＋(2－a )x | 10＝2－23a ＝－2， ∴a ＝6，∴c ＝－4. 从而f (x )＝6x 2－4.(2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]， 所以当x ＝0时，f (x )min ＝－4； 当x ＝±1时，f (x )max ＝2.B 卷：5+2+2一、选择题1. 已知f (x )为偶函数且61(),2f x dx =⎰则66()f x dx -⎰等于( )A ．2B ．4C ．1D ．-1解析：∵f (x )为偶函数，∴661()(),2f x dx f x dx -==⎰⎰∴6660()2() 1.f x dx f x dx -==⎰⎰答案：C2. (改编题)A ． 3 B. 4 C. 3.5 D. 4.5 【答案】C【解析】2220202101102,0()2,()(2)(2)(2)|(2)|2,02232 3.5.2x x x x f x x f x dx x dx x dx x x x x ----≥⎧=-=∴=++-=++-⎨+<⎩=+=⎰⎰⎰3. 已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k 等于( )A ．2B ．1C ．3D ．4答案：C解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝kx 消去y 得x 2－kx ＝0，所以x ＝0或x ＝k ，则阴影部分的面积为 ∫k 0(kx －x 2)d x ＝(12kx 2－13x 3) |k 0＝92. 即12k 3－13k 3＝92，解得k ＝3. 4. 一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x ＋4 (x >2)(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )作的功为( )A ．44B ．46C ．48D ．50解析： W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝10x | 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42＝46.答案：B5. 函数()x f 满足()00=f ，其导函数()x f '的图象如下图，则()x f 的图象与x 轴所围成的A ．31 B ．34 C ．2 D ．38 【答案】B【解析】由导函数()x f '的图像可知，函数()x f 为二次函数，且对称轴为1,x =-开口方向向上，设函数2()(0),(0)0,0.()2,f x ax bx c a f c f x ax b '=++>=∴==+因过点（-1,0）与（0,2），则有2(1)0,202,1, 2.a b a b a b ⨯-+=⨯+=∴==2()2f x x x ∴=+， 则()x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为232032-22114(2)()|=2)(2).333S x x dx x x -=--=--⨯+-=⎰（- 二、填空题6.（改编题）设20lg ,0(),3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰若((1))1,f f =则a 为 。
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一、选择题
1．如图所示，阴影部分的面积为( )
A.⎠⎛a
b f (x )d x
B.⎠⎛a
b g (x )d x
C.⎠⎛a
b [f (x )－g (x )]d x
D.⎠⎛a
b [g (x )－f (x )]d x
2．如图所示，阴影部分的面积是( )
A ．2 3
B ．2－ 3 C.323
D.353
3．由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )
A.⎠⎛0
2(x 2－1)d x
B ．|⎠⎛0
2(x 2－1)d x |
C.⎠⎛0
2|x 2－1|d x
D.⎠⎛0
1(x 2－1)d x ＋⎠⎛1
2(x 2－1)d x
4．设f (x )在[a ，b ]上连续，则曲线f (x )与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0围成图形的面积为( )
A.⎠⎛a
b f (x )d x
B ．|⎠⎛a
b f (x )d x |
C.⎠⎛a
b |f (x )|d x
D ．以上都不对
5．曲线y ＝1－1681x 2
与x 轴所围图形的面积是( ) A ．4 B ．3 C ．2
D.52
6．比较积分值dx x e ⎰1
02
和
dx e
x
⎰1
的大小( )
A ．dx x e ⎰1
02
大于
dx e
x
⎰1
B ．dx x e
⎰1
02
小于dx e
x
⎰1
C ．dx x e
⎰102
等于
dx e
x
⎰1
D ．dx x e ⎰1
02
和
dx e
x
⎰1
不能比较
7．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.1
12 B.1
4 C.1
3
D.712
8．求⎰-1
1xdx 的解( ) A ．0 B ．1 C ．-1
D ．2 9．求dx x ⎰2
12
的解(
) A.12 B ．3
1 C ．3
2
D ．3
7
10．过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2－2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3
，则直线l 的方程为( )
A ．y ＝±ax
B ．y ＝ax
C ．y ＝－ax
D ．y ＝－5ax
二、填空题
11．由曲线y 2＝2x ，y ＝x －4所围图形的面积是________．
12．求函数y=f(x)=x 2
+1在区间［0,1］上的平均值y -
________．
13．由两条曲线y ＝x 2
，y ＝14x 2
与直线y ＝1围成平面区域的面积
是________．
14．求经过点(0，1)，并且在每一点P （x,y ）处的切线的斜率为2x 的曲线方程＿＿
三、计算题 15.
dx
dy +x 32y=x 626x 2
的通解
16.dx e x x
⎰+1
04)(5 17.⎰+1
02
)1(x x dx
18.dt te t
⎰-2
0 三、解答题 19.求方程
x
x
y x y
sin 1/
=
+
的通解 20．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积． 21．验证：函数x x y 21
+=是方程
x y dx dy -=1和y(2)=2
3
的解 22.计算曲线f(x)=4-x 2
与直线g(x)=-x+2所围成图形的面积 一、 选择题（每题3分，共30分） 1、()dx x ⎰+2
01的定积分是 （ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4 2、已知圆r y x 22
2
=+，则圆的面积是（ ）
A 、πr
B 、πr 2
C 、2πr
D 、2πr 2 3、底面积为S,高为h 的棱锥的体积是（ ）
A 、sh
B 、sh 2
1 C 、sh 3
1 D 、
sh 4
1 4、曲线()x x 2
4-=⎰与直线g ()2+-=x x 所围图形的面积是（ ）
A 、
29 B 、 27 C 、 23
D 、 2
5
5、微分方程xy dx
dy
2=的通解是（ ）
A 、 e
x
c B 、 e x c 2
C 、e x
D 、
x e 2
6、dx x
⎰+∞
1
3
1
的极限值是（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4 7、反常积分⎰-a
x
a dx
2
2的值是（ ）
A 、-1
B 、π
C 、2
1
π D 、π2
3 8、如果函数)(x f 在区间[b a ,]上连续，)(x F 是)(x f 在区间[b a ,]上的任意一个原函数，那么（ ）
A 、⎰-=b
a a F
b F dx x f )()()( B 、⎰=b
a a F dx x f )()( C 、⎰=b
a b F dx x f )()( D 、⎰+=b
a a F
b F dx x f )()()( 9、求微分方程
x x y dx
dy 2
263=+的通解是（ ）
A 、e x c 2
B 、x e 2
C 、e x c 31-+
D 、e x c 3
2-
+
10、如果函数)(x f 在区间[b a ,]上连续，则)(x f 在区间[b a ,]上的积分是（ ）
A 、⎰b a dx x f )(
B 、⎰b a dy x f )(
C 、⎰b a dy y f )(
D 、⎰b
a dx y f )( 二、填空题。
（每题5分，共20分）
1、经过点（0,1），并且在每一点P （),y x 处的切线的斜率为132-x 的曲线是
2、⎰b
a dx x kf )(=
3、比较积分值⎰1
02
x e 和dx e x
⎰1
0的大小
4、函数1)(2
+==x x f y 在区间[0,1]上的平均值是
三、用定积分定义求下列定积分。
（每题4分，共20分）
⎰
5
4xdx dx x
x ⎰-2
12
)
1(
dx e x
⎰1
2
dx x e x ⎰
⎪⎭
⎫
⎝
⎛+2
1
1 dx x
⎰
-210
2
11
四、解答题。
（每题10分，共20分）
（1）、求经过点（0，1），并且在每一点P （),y x 处的切线的斜率为2x 的曲线方程。
（2）、求
x xy dx
dy
42=+的通解。
五、证明题。
（10分） 证明
y
x xy
y x 2
2
)
0,0(),(lim
+→不存在。