结构力学力矩分配法
结构力学下多结点力矩分配法
结构力学下多结点力矩分配法引言在结构力学中，力矩分配法是一种常见的分析方法，用于计算多结点约束下的力矩分配。
多结点力矩分配法通过将外加载荷分配给结构中的各个节点，以确定每个节点承载的力矩。
本文将介绍结构力学下的多结点力矩分配法的基本原理和计算方法。
原理多结点力矩分配法的原理基于以下假设：1.结构是一个刚体，可以忽略其变形。
2.结构中的每个节点都可以承受力矩，且力矩的分配是均匀的。
基于这些假设，我们可以将外加载荷分配给结构中的各个节点，并计算每个节点承载的力矩。
力矩的分配是根据节点间的刚性关系来确定的。
计算方法多结点力矩分配法可以通过以下步骤进行计算：1.确定结构的节点个数和节点编号。
2.根据结构的几何形状和边界条件，建立节点间的刚性关系。
3.将外加载荷均匀地分配给每个节点。
可以根据结构的几何形状和边界条件，考虑节点之间的距离和角度来确定各个节点的分配比例。
4.根据节点间的刚性关系，计算每个节点承载的力矩。
可以使用刚体平衡条件来计算力矩的分配。
5.检查计算结果的合理性。
根据结构的几何形状和边界条件，验证计算得到的力矩分配是否符合工程实际。
示例下面以一个简单的桁架结构为例，介绍多结点力矩分配法的计算方法。
假设桁架结构的节点个数为4，节点编号分别为1, 2, 3和4。
外加载荷为M，沿结构的纵向均匀分布。
根据桁架结构的几何形状和边界条件，建立节点间的刚性关系。
假设节点1和节点2之间的刚性系数为k1，节点2和节点3之间的刚性系数为k2，节点3和节点4之间的刚性系数为k3。
将外加载荷均匀地分配给每个节点。
假设节点1承载的力矩为M1，节点2承载的力矩为M2，节点3承载的力矩为M3，节点4承载的力矩为M4，可以得到以下关系：M1 + M2 + M3 + M4 = M根据节点间的刚性关系，可以得到以下关系：k1 * (M2 - M1) = 0k2 * (M3 - M2) = 0k3 * (M4 - M3) = 0通过这些关系，我们可以求解出每个节点承载的力矩。
力矩分配法公式
力矩分配法公式力矩分配法是结构力学中求解超静定结构的一种重要方法。
这玩意儿听起来好像挺高深莫测的，但其实只要咱们一步步来，也能把它搞明白。
我记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个叫小李的同学，那表情简直就像是被扔进了一团迷雾里，完全找不着北。
我就问他：“小李，咋啦？”他苦着脸说：“老师，这力矩分配法的公式我咋看都像外星文，根本理解不了啊！”其实啊，力矩分配法的核心就是通过逐次分配和传递不平衡力矩，来逐步逼近真实的内力解。
那力矩分配法的公式到底是啥呢？咱们来瞅瞅。
先说基本的分配系数。
分配系数μij 等于连接在节点 i 的 j 杆端的转动刚度 Sij 除以交于节点 i 的各杆端转动刚度之和∑Sik 。
这就好比一群小伙伴分糖果，每个人能分到的糖果数取决于自己手里的“筹码”（转动刚度）占总“筹码”的比例。
再看传递系数 Cij。
对于不同的杆件，传递系数是不一样的。
比如两端固定的梁，近端的传递系数是 1/2，远端是 0；一端固定一端铰支的梁，固定端的传递系数是 1/2，铰支端是 0 。
然后就是不平衡力矩的分配和传递啦。
先计算不平衡力矩 M，它等于固端弯矩之和。
接着将不平衡力矩按照分配系数分配给各杆端，得到分配弯矩。
分配弯矩再乘以传递系数传递到远端，就得到传递弯矩。
就拿一个简单的连续梁来说吧。
假设我们有一个两跨连续梁，AB跨和 BC 跨，B 节点处有一个集中力。
我们先计算各杆端的转动刚度，确定分配系数。
算出不平衡力矩后进行分配和传递，一次次地重复这个过程，直到误差在允许范围内。
在实际解题的时候，可别被那些密密麻麻的数字和符号给吓住了。
要像剥洋葱一样，一层一层地来。
就像小李同学，在我给他耐心讲解，又带着他做了几道练习题后，他终于恍然大悟，一拍脑门说：“哎呀，老师，原来也没那么难嘛！”总之，力矩分配法公式虽然看起来有点复杂，但只要我们理解了其中的原理，多做几道题练练手，就能把它拿下。
同学们，加油哦！。
结构力学——力矩分配法分解
3 . 一般最终的杆端力矩与固端力矩是同量级的，要求精确 到三位有效数字，计算中取4位计算，以保证前三位的 精确度
第三节 多结点力矩分配法
计算的指导思想由两个步骤说明：
固定状态的计算（与单点固定一样）。
即刚臂→荷载→固端力矩→约束力矩；
100k0N
EI
1 EI
2 EI
0.43 0.57 0.57 0.43
-500 -1000
M3B＝1000
例题：有支座移动（已知结点线位移）E=200GPa，I = 2500cm4
绘制弯矩图。
A
B
C
D
EI
EI
=1cm
10m
10m
10m
0.429 0.571
0.571 0.429
MF
3000
3000 -1500
2 . 不相邻 点可同时 释放.
例题：用力矩分配法求图示结构弯矩图(利用传递系数的概念) 。
A
EI
10m
1 EI
10m
100k0N 2 EI 3 B 3B是悬臂梁，
转动结点3 时，
10m 1m 悬臂可自由转
0.43 0.57 0.5 0.5 1 0
动，固其转动
MF
1000 刚度为零
或A
MF
100k0N
放松状态的计算（与单点放松不同）。
力矩的分配和传递是在远端约束已知的情况下进行的， 因此，分配单元的相邻结点不应同时放松。每次只能 放松一个结点，同时相邻结点保持固定，所以，整个 放松过程是轮流放松每一个结点来逐步完成的。
第三节 多结点力矩分配法
结构力学(I)力矩分配法
M1B M1FB
M1C M1FC
S1 B ( R ) M1FB 1B ( R1P ) S 1P
1
1
S1C ( R ) M 1FC 1C ( R1P ) S 1P
1
力矩分配法采用了与位移法相同的基本结 构，即固定刚结点，在固定状态下刚臂上产生 约束力矩，为恢复到原状态，将刚臂放松（加 反方向约束力矩），求出放松状态产生的杆端 力矩，将固定状态与放松状态的杆端力矩叠加 即得结构的实际杆端力矩.
一. 基本概念
远端支撑 固定 铰支 滑动 转动刚度S 4i 3i i 传递系数C 1/2 0 -1
1
1
1
可避免解联立方程 不需要求出角位移 计算程式简单机械
哈工大 土木工程学院
4i
1 / 31
2i
3i
哈工大 土木工程学院
i
2 / 31
讨论 1 点在M作用下各杆端的弯矩 1M m1 0
列表法
练习：用力矩分配法求图示结构弯矩图
B
EI
A
EI
C
40 kN
10m
10m
q 10 kN/m
M F 100
分 配 传 递
0.571 0.429 100 0 57.1 42.9 42.9 42 .9
0 0
A
4m
EI
BБайду номын сангаас
4m
EI
C
6m
28.6
M 128.6
128 .6
0
42.9
M
哈工大 土木工程学院
ql 2 /12
A
F F M BC M CB 0
结构力学——力矩分配法
结构力学——力矩分配法结构力学是研究物体在外力作用下的变形和破坏行为的学科。
其中，力矩分配法是一种求解结构梁的内力和变形的常用方法之一、本文将介绍力矩分配法的基本理论和应用。
首先，对于结构力学的研究，我们需要了解一些基本概念。
力矩是由力的作用点与旋转轴之间的距离和力的大小决定的。
在结构力学中，我们通常考虑作用在梁上的力和力矩。
梁是一种常见的结构元件，可以将其看作是在两个固定点之间作用的力的集合。
在力矩分配法中，我们将梁分割成若干个小段，然后逐段计算每个小段的内力和变形。
假设有一根长度为L，截面形状均匀的梁，并且在两个固定点之间施加了一系列分布力。
我们可以将梁分割成n个小段，每个小段的长度为Δx=L/n。
接下来，我们需要计算每个小段的内力和变形。
首先，我们可以根据材料力学的基本原理得出梁的拉伸、压缩和弯曲的力学方程。
然后，我们可以根据小段的切线方向和切线上的任意一点来推导出该小段的内力和弯曲方程。
最后，我们将内力分量在小段两端的力矩分配系数和位置矩分配系数进行合成，从而得出该小段的内力和弯曲方程。
在力矩分配法中，一个重要的概念是力矩分配系数。
力矩分配系数是一个无量纲的参数，用来表示力和力矩在小段两端分配的比例。
在计算力矩分配系数时，我们可以根据梁的几何形状和分布力的位置，利用力矩的基本原理进行推导。
力矩分配系数是力矩分配法的核心，它可以帮助我们计算出每个小段的内力和变形。
在实际应用中，力矩分配法通常用于求解多跨梁的内力和变形。
我们可以将多跨梁分割成若干个小段，并根据力矩分配法计算出每个小段的内力和变形。
然后，我们可以将各个小段的内力和变形进行叠加，得出整个多跨梁的内力和变形。
需要注意的是，力矩分配法具有一定的局限性。
首先，它只适用于存在弯曲变形的梁，对于其他类型的结构，如框架和板，需要采用其他的分析方法。
其次，力矩分配法仅适用于分布力作用在梁的直线部分上，对于弯曲部分或非均匀分布力的情况，需要采用其他的方法进行分析。
结构力学——力矩分配法分解课件
THANK YOU
复杂结构的力矩分配法分析
总结词
需要对复杂结构进行精细的力矩分配
详细描述
对于复杂结构，如桥梁、高层建筑等，力矩分配法需要更加精细的分析。这需要对结构的各种参数进 行详细的计算和调整，包括转动刚度、分配系数、传递系数等。通过合理的简化模型和精细的计算， 可以获得结构的整体性能和局部细节，满足工程设计的需要。
应用范围
适用于具有刚性转动 部分的连续梁和框架
适用于具有弹性支撑 的连续梁和框架
适用于具有弹性转动 部分的连续梁和框架
适用条件
结构体系为连续梁或框架 结构具有刚性转动部分，且转动部分在分配力矩后不会出现弹性变形
结构具有弹性支撑，且弹性支撑在分配力矩后不会出现弹性变形
计算复杂度与精度要求
力矩分配法的计算复杂度取决于梁和框 架的自由度数量，自由度越多，计算越
。
误差传递
由于传递系数和分配系数的近似 计算，可能会引入一定的误差，
影响分析结果的准确性。
计算复杂度
对于大型复杂结构，力矩分配法 的计算量可能会变得很大，需要
借助计算机辅助分析。
改进与发展方向
01
02
03
04
数值优化
通过改进算法和优化计算方法 ，提高力矩分配法的计算效率
和精度。
考虑非线性因素
将非线性因素纳入力矩分配法 中，以适应更广泛的结构类型
在力矩分配法中，将结构中的结点分为两类：基本结点和附属结点。基本结点是承 受力矩的结点，附属结点则是传递力矩的结点。
力矩分配法的原理是将所有结点的力矩自由度进行分配，通过调整传递系数来使各 结点的力矩平衡，从而求解出各个结点的位移。
刚度系数与传递系数
刚度系数是指单位力矩作用下结 点的位移，它反映了结点的刚度
7 力矩分配法 结构力学
第7章 力矩分配法
Moment Distribution Method
工程技术学院土木教研室
主要内容:
§9-1
力矩分配法的基本概念 点线位移刚架
§9-2 力矩分配法计算连续梁和无结
§9-3 超静定结构超静定结构小结
§9－1 力矩分配法的基本概念
一、转动刚度：
（3）计算分配弯矩 A 和传递弯矩
3m
40KN B EI 3m
16KN/m C EI 3m
1.分配系数 2.固端弯矩 -30 3.分配弯矩 传递弯矩 -2.4
' M BA 0.4 ( 12) 4.8 KNm
0.4 0.6 30 -18 －4.8 -7.2
0
0
' M BC 0.6 ( 12) 7.2 KNm
1 j
S1 j
S
(1)
M1 j 1 j M
ij
S ij
S
(i )
ij
S ij
S
(i )
M ij ij M
各杆的分配弯矩 Mij 各杆在i端的分配系数之和等于1。 校核分配系数的计算是否正确？
ij 1
(i )
三、传递系数：
• 传递系数：远端弯矩与近端（转动端）弯矩的 比值称为近端向远端的传递系数，简称传递系 数。用Cij表示。 • 传递弯矩：远端弯矩
(1) (1)
M1 j
S1 j
S14 M S
(1)
S
(1)
M
M1 j
S1 j
S
(1 )
M
各杆在1端的弯矩与该杆在1端的转 动刚度成正比。 下标 j 为汇交于1点的各杆之远端， j＝ 2、 3、 4、 5 各杆在1端的弯矩等于外力矩乘上 一个相应的系数 1j－－分配系数。 下标 i 为近端、j 为汇交于 i 点的 各杆之远端。
结构力学 课件 力矩分配法
SAB
1
2 传递系数C
传递系数： 一单跨超静定梁的一端（A端）单位转角时，发生于远 端（B端）的弯矩与近端（A端）的弯矩之比。
如： 当远端（B端）固定，C AB
M
BA
SAB
1 2 S AB
MBA
A B
图(a)
1
C 当远端（B端）铰支 ， AB
M
SAB
A
B
BA
0
SAB
A
1
图(b)
S AB
(1)设想在结点B增加一个附加刚臂，得到位 移法基本结构。阻止其转动如图(g)所示。 查表容易得到各单跨超静定梁的杆 端弯矩。则附加刚臂的约束力矩由 结点B的平衡条件得
M
B
Fp
A
q
B C
图(f)
MB
A
Fp
B
q
C
图(g)
M
F BA
M
F BC
MB MBAF -MB
A B C
附加刚臂的约束力矩MB 是原结构 上所没有的，它反映了基本结构汇 交于B结点的各杆B端弯矩所不能平 衡的差额。我们称之为B结点的不 平衡力矩。
MBCF
图(h)
(2)原结构在结点B本来没有转动约束，即不存在不平衡力矩MB ，因 此，为了与实际情况相符，必须消除人为引入的附加刚臂，即使MB 0，这就相当于在 MB的基础上再施加上一个（- MB ）如图(h)所示。
此时梁将产生新的杆端弯矩M´BA 、 M´BC （分配弯矩），在远端将产生新 的杆端弯矩M´AB 、 M´CB 、（传递弯 矩）。 (3)原结构在荷载的作用下的实际杆端弯 矩应为图(g) 和图(h)两种情况的叠加。 下面举例说明力矩分配法的解题过 程。
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-0.7 - 0.6 → -0.3 -0.5 ← -1
0.5 0.3
22.9 45.7 54.3 40.3 40.3 100 -100
9-3 多结点的力矩分配——渐进运算
100
45.7
40.3
100
22.9
54.3
9-3 多结点的力矩分配——渐进运算
100kNm
8kN/m 100kNm
A
分配系数 固端弯矩
B
0.3 0.4 0.3
D
A
60
-48
72
-3.6 -4.8 -3.6
→
-1.8
56.4 -4.8 51.6
→
70.2
C
↓
-2.4
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
56.4
70.2
51.6
4.8
2.4
M图(kNm)
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
例题
0.8 0.2
Bi C
qi
l
A l
ql 2/12 -4ql 2 /60
ql 2/60
-ql2/60 -ql 2/60
C
ql 2 /60 ql 2/60
ql2/60
M图
7ql2/60
-ql 2/12 -2ql 2/60 -7ql 2/60
A
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
练习
i
i
k
i
Sik=4iik
k
i
S ik =4iik
k Sik=3iik k Sik=0
i
k Sik=4iik
40.2 -40.2
40
100
100
9-3 多结点的力矩分配——渐进运算
100kN
5m 100kN
5m
B
C
EI= 常数
A
D
5m 5m
141.6
250 66.6
250 116.7
杆端弯矩
FPl/2 FPl/2
M图 FPl/2
2i l
10
-FPl FPl 0 FPl -FPl
FPl
FP 0
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
例题
100kN
30kN/m
D
B i=2
A
i=1.5
4m
i=2
C
4m
3m
2m
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
? AB
?
2? 3?
2? 3 2? 4 ? 1.5? 4
100kNm
EI
EI
10m
10m
8kN/m
0.75EI 10m
10kN 10m
分配系数 固端弯矩
分配 与 传递
杆端弯矩
1/2 1/2 4/7 3/7
10
-100
-200/3 200/3 -100
50 50 → 25 16.7 ← 33.3 7.2 ← 14.3 10.7 → 5.4
-3.6 - 3.6 → 1.8 -2.7 ← -5.4 1.3 ← 2.6 1.9 → 1
S ik
?
??3iik ? ? ?iik ?
远端为铰支端 远端为平行支链杆
??0 ? 远端为自由端
2 分配系数：与转动刚度成正比
? ? ik ?
S ik Sik
i
? ? ik ? 1
?i ?
3 传递系数：近端发生转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值.
Cik
?
M ki M ik
? ?
?
1 2
?
? ?0 ?
第9章 渐进法及超静定力的影响线 9-1 力矩分配法的基本概念 9-2 单结点的力矩分配法 9-3 多结点的力矩分配法 9-4 计算结果的校核
9-1力矩分配法的基本概念
M
4
2 i12 1
i14
i13
3
4i12Δ1
2i12Δ1
i13 Δ1 i13Δ1
3i14Δ1
M 12 ??4i12 1 M 13 ? i13 ? 1 M 14 ? 3i141?
远端为固定端 远端为铰支端
? ?
?
1
?
远端为平行支链杆
?
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
例题
M
ii
ii
4/7 3/7
固端弯矩
-M
分配、传递 2M/7
← 4M/7 3M/7
→
0
杆端弯矩 2M/7
4M/7 3M/7
0
M图
2M/7
4M/7 3M/7
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
q
例题
il
i
l
分配 与
传递
EI
B
EI C
10m
10m
0.75EI
D
10m
1/2 1/2
-100
16 42 42
-6.7 3.3 3.4
-0.5 0.2 0.3
16/25 9/25
-100+50 100
32 18 21 -13.4 -7.6 1.7 -1.1 -0.6
杆端弯矩 23 23
45.5 54.5
46 54
4/7 3/7
固端弯矩 分配、传递 2ql2/56
← 4ql2/56
-ql2/8 3ql2/56
杆端弯矩 2ql2/56 ← 4ql2/56 -4ql2/56
4ql2/56
M图 4ql2/56
→0 →0
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
①求固端弯矩； ②将会交于结点的固端弯矩之和按分配系数分配给每一个杆端。 ③各杆按各自的传递系数向远端传递。 ④将固端弯矩和分配（或传递的弯矩）相加，得杆端最后弯矩。
i
k
EI =∞ K
Sik =Kl2
l
i
k Sik=4iik
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
q
i l
Mik=-ql2/12 Mki=ql2/12
k
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
练习 练习
4m 100kNm
i
i
m 4
12kN/m
i
4m
i
i
2Δ
l
l
50kNm i
4m Δ
9-3 多结点的力矩分配——渐进运算
?
0.3
? AD
?
1.5? 4 2? 3 ? 2? 4 ? 1.5? 4
?
0.3
100 ? 22 M AD ? 52 ? ? 48 kNm
?AC
?
2?
3?
2? 4 2? 4?
1.5? 4
?
0.4
1
M AB
?
? 8
30? 16 ?
60kNm
100 ? 2 ? 32
M DA ?
52
? 72kN m
AB AC AD
4i12 ?
i13 i13 ?
3i14
M
M 14
?
3i12 4i12 ? i13 ?
3 i14
M
M 21
?
1 2
M
12
M 31 ? ? M 13
M 41 ? 0 ?M 14
9-1力矩分配法的基本概念
1 转动刚度：梁端发生单位转角产生的弯矩。
M ik ? S ik ? 1
?4iik ? 远端为固定端
M 21 ??2i12 1 M 31 ? ? i13 ? 1 M 41 ? 0
9-1力矩分配法的基本概念
根据平衡条件
? M?0
?1?
M 12 ? M 13 ? M 14 ? M
M ? 1 ? 4i12 ? i13 ? 3i14
M 12
?
4 i12
4 i1 2 ? i13 ?
3 i1 4
M
M 13
?
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
例题
12kN/m
i
6m
16kN
2i
3m
3m
0.4 0.6
固端弯矩 -36
36 -18
分配、传递 -3.6
← -7.2 -10.8 →
0
最后M -39.6
28.8 -28.8
0
39.6
28.8
M图
(kNm )
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
例题
i
l
固端弯矩 分配、传递