《尺规作图》中考专题复习课件

9.作图必须满足题意 试题 尺规作图，已知顶角和底边上的高，求作等腰三角形． 已知：如图，∠α，线段a. 求作：△ABC，使AB＝AC，∠BAC＝α，AD⊥BC于D，且AD＝a.
错解 解：(1)如图，作∠EAF＝∠α； (2)作AG平分∠EAF，并在AG上截取AD＝a； (3)过D作直线MN交AE，AF分别于C，B，△ABC为所求作的等腰三角 形．
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
“同课异构”杯2020年度教学技能大赛
一等奖获奖作品
山西专用
第24讲 尺规作图
1．尺规作图的作图工具 圆规和没有刻度的直尺 2．基本尺规作图 类型一：作一条线段等于已知线段 步骤：①作射线 OP； ②以 O 为圆心，a 为半径作弧，交 OP 于 A，OA 即为所求线段．
图示：
类型二：作角的平分线 步骤：①以 O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 OA，OB 于点 N， M； ②分别以点 M，N 为圆心，以大于12MN 长为半径作弧，两弧相交于点 P； ③作射线 OP，OP 即为所求角平分线．
︵ (2)在你按(1)中要求所作的图中，若 BC＝3，∠A＝30°，求DE的长． (导学号 02052451)
解：(1)作图如图所示： (2)∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝3，
∴∠B＝60°，CD＝3 2 3， ∴∠BCD＝30°，∠ACD＝60°，
∴D︵E＝6108°0 π·3 2 3＝ 23π
图示：
类型三：作线段的垂直平分线 步骤：①分别以点 A，B 为圆心，以大于12AB 长为半径，在 AB 两侧作 弧，两弧交于 M，N 点； ②连接 MN，直线 MN 即为所求垂直平分线．
图示：
类型四：作一个角等于已知角： 步骤：①以 O 为圆心，以任意长为半径作弧，交∠α 的两边于点 P，Q； ②作射线 O′A； ③以 O′为圆心，OP 长为半径作弧，交 O′A 于点 M； ④以点 M 为圆心，PQ 长为半径作弧，交前弧于点 N； ⑤过点 N 作射线 O′B，∠AO′B 即为所求角．
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°. (1)利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．(保留 作图痕迹，不写作法) ①作AC的垂直平分线，交AB于点O，交AC于点D; ②以O为圆心，OA为半径作圆，交OD的延长线于点E. (2)在(1)所作的图形中，解答下列问题. ①点B与⊙O的位置关系是__点__B_在__⊙__O__上__；(直接写出答案) ②若DE＝2，AC＝8，求⊙O的半径． (导学号 02052452)
命题点：尺规作图 1．(2013·山西21题8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BA延长线上 的一点，点E是AC的中点． (1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母(保留 作图痕迹，不写作法)； ①作∠DAC的平分线AM；②连接BE并延长，交AM于点F； (2)猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明 理由． (导学号 020524450)
图示：
3．常见几种基本尺规作图作三角形 ①已知三边作三角形； ②已知两边及其夹角作三角形； ③已知两角及其夹边作三角形； ④已知底边及底边上的高作等腰三角形； ⑤已知一直角边和斜边作直角三角形． 4．作图的一般步骤 (1)已知；(2)求作；(3)分析；(4)作法；(5)证明； (6)讨论． 步骤(5)(6)常不作要求，步骤(3)一般不要求，但作图中一定要保留作图 痕迹.
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
简单尺规作图 【例 1】 如图，在△ABC 中，已知∠ABC＝90°. (1)请在 BC 上找一点 P，作⊙P 与 AC，AB 都相切，与 AC 的切点为 Q； (尺规作图，保留作图痕迹) (2)连接 BQ，若 AB＝3，(1)中所作圆的半径为32，求 sin∠CBQ.
【分析】 (1)要求作⊙P与AB、AC相切，根据切线的性质，即点P到 AB、AC的距离相等，且点P在边BC上，想到角平分线上的点到角两边 的距离相等，即作∠BAC的平分线交BC于P点，以点P为圆心，PB为半 径作圆即可；(2)由切线长定理得AB＝AQ，又PB＝PQ，则判定AP为 BQ的垂直平分线，利用等角的余角相等得到∠CBQ＝∠BAP，然后在 Rt△ABP中利用正弦函数求出sin∠BAP，从而可得到sin∠CBQ的值．
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
︵ 个圆”，在AB上另找一点 C，分别作弦 AC，BC 的垂直平分线，交点 即为圆心 O；(2)分别连接 OA、OC、AB，根据所作图形可想到垂径定 理的应用，进而得到直角三角形，想到在直角三角形中利用勾股定理进 行求解．
解：(1)如图①，点 O 为所求；
︵ (2)连接 OA、OC、AB、OC 交 AB 于 D，如图②，∵C 为AB的中点，∴ OC⊥AB，∴AD＝BD＝12AB＝40，设⊙O 的半径为 r，则 OA＝r，OD＝ OC－CD＝r－20，在 Rt△OAD 中，∵OA2＝OD2＋AD2，∴r2＝(r－20)2
2
＝ 5
55，∴sin∠CBQ＝
5 5
2
︵ 【例 2】 (2015·孝感)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB)．
︵ (1)用直尺和圆规作出AB所在圆的圆心 O；(要求保留作图痕迹，不写作法)
︵
︵
(2)若AB的中点 C 到弦 AB 的距离为 20 m，AB＝80 m，求AB所在圆的半
径．
【分析】 (1)根据“不在同一直线上的三点确定一
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高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校：
北京大学光华管理学 院
北京市文科状元 阳光女孩--何旋
图示：
类型五：过一点作已知直线的垂线 步骤：点在直线上：①以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，交直线于 A， B 两点； ②分别以点 A，B 为圆心，以大于12AB 长为半径在直线两侧作弧，交点分 别为 M，N； ③连接 MN，MN 即为所求垂线． 点在直线外：①在直线另一侧取点 M； ②以 PM 为半径画弧，交直线于 A，B 两点； ③分别以 A，B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，交 M 同侧于点 N； ④连接 PN，则直线 PN 即为所求的垂线．
剖析 上述作法考虑AD平分∠BAC，等腰三角形顶角的平分线与底 边上的高重合，但是作法(3)没有注意到要使AD⊥BC，也难以使AB ＝AC. 正解 解：作图如图，(1)作∠EAF＝∠α；(2)作AG平分∠EAF，并 在AG上截取AD＝a；(3)过D作MN⊥AG，MN与AE，AF分别交于B ，C.则△ABC即为所求作的等腰三角形
解：(1)①②如图所示：
(2)AF∥BC 且 AF＝BC.理由如下：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C.∴∠DAC＝∠ABC＋∠C＝2∠C. ∴∠C＝∠FAC.∴AF∥BC.∵E 是 AC 的中点，∴AE＝CE.∵∠AEF＝ ∠CEB，∴△AEF≌△CEB.∴AF＝BC
2．(2011·山西 21 题 10 分)实践与操作：如图，△ABC 是直角三角形，∠ ACB＝90°. (1)尺规作图：作⊙C，使它与 AB 相切于点 D，与 AC 相交于点 E.保留作 图痕迹，不写作法，请标明字母；
︵ ＋402，解得 r＝50，即AB所在圆的半径是 50 m
[对应训练] 1. 如图，在△ABC中．(1)作BC边的垂直平分线分别交AC，BC于点D， E(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法); (2)在(1)条件下，连接BD，若BD＝9，BC＝12，求∠C的余弦值．
解：(1)如图所示：
(2)∵DE 是 BC 的垂直平分线， ∴EC＝12BC＝6，BD＝CD＝9，∴cos∠C＝DECC＝69＝23
解：(1)如图所示，⊙P 即为所求：
(2)∵AB、AQ 为⊙P 的切线，∴AB＝AQ，∵PB＝PQ，∴AP 为 BQ 的 垂直平分线，∴∠BAP＋∠ABQ＝90°，∵∠CBQ＋∠ABQ＝90°，∴
∠CBQ＝∠BAP，在 Rt△ABP 中，AP＝ AB2＋PB2＝ 32＋（23）2＝
3
3
2
5，∴sin∠BAP＝ABPP＝3
解：(1)如图所示： (2)①连接 OC，如图， ∵OD 垂直平分 AC，∴OA＝OC，∴∠A＝∠ACO， ∵∠A＋∠B＝90°，∠OCB＋∠ACO＝90°，∴∠B＝∠OCB，∴OC＝ OB，∴OB＝OA，∴点 B 在⊙O 上；
②∵OD⊥AC，且点 D 是 AC 的中点，∴AD＝12AC＝4， 设⊙O 的半径为 r，则 OA＝OE＝r，OD＝OE－DE＝r－2，在 Rt△AOD 中，∵OA2＝AD2＋OD2，即 r2＝42＋(r－2)2，解得 r＝5.∴⊙O 的半径为 5