2004南昌二中奥数班选拔考试数学试卷-人教社(1)
2004年高考试题——数学(江西卷)(理)
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）第I 卷（选择题共60分）一、选择题(5分×12=60分)1．设集合P={1，2，3，4}，Q={R x x x ∈≤,2}，则P ∩Q 等于 （ ）A ．{1，2}B ． {3，4}C ． {1}D ． {-2，-1，0，1，2} 2．函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为 （ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π43．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 （ ） A ．140种 B ．120种 C ．35种 D ．34种4．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是 （ ） A ．33π100cm B ． 33π208cmC ．33π500cmD ．33π3416cm 5．若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．22C ． 4D ．246．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 （ ） A ．0.6小时 B ．0.9小时 C ．1.0小时 D ．1.5小时7．4)2(x x +的展开式中x 3的系数是 （ ）A ．6B ．12C ．24D ．488．若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则 （ ）A ．a =2,b=2B ．a = 2 ,b=2C ．a =2,b=1D ．a = 2 ,b= 29．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 （ ）A ．5216B ．25216C ．31216D ．9121610．函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 （ ）A ．1，-1B ．1，-17C ．3，-17D ．9，-1911．设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于 （ ）A ．3B ．32C ．43D ．6512．设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数多个第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题(4分×4=16分)13．二次函数y=ax 2+bx+c(x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式ax 2+bx+c>0的解集是_______________________.14．以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________.15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2)13(1-n a (对于所有n ≥1)，且a 4=54，则a 1的数值是_______________________.16．平面向量a ，b 中，已知a =(4，-3)，b =1，且a ·b =5，则向量b =__________. 三、解答题(12分×5+14分=74分) 17．已知0<α<2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin(3πα-)的值.18．在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP.(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； (Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ；(Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离.19．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损率分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？20．设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n .(Ⅰ)若首项=1a 32，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ；(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S =成立.21．已知椭圆的中心在原点，离心率为12 ，一个焦点是F （-m,0）(m 是大于0的常数).(Ⅰ)求椭圆的方程；· B 1P A C D A 1C 1D 1 B O H·(Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M. =，求直线l 的斜率.22．已知函数))((R x x f ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有 )]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤-和2121)()(x x x f x f -≤-，其中λ是大于0的常数. 设实数a 0，a ，b 满足 0)(0=a f 和)(λa f a b -= (Ⅰ)证明1λ≤，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ； (Ⅱ)证明20220))(λ1()(a a a b --≤-； (Ⅲ)证明222)]()[λ1()]([a f b f -≤.参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分. 1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．C 8．A 9．D 10．C 11．B 12．A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．),3()2,(+∞--∞ 14．25)2()1(22=-+-y x 15．216．)53,54(-三、解答题17．本小题主要考查三角函数的基本公式和三角函数的恒等变换等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分12分.解：由已知54sin ,25sin 22cot2tan===+αααα得..53s i n 1c o s ,202=-=∴<<ααπα从而 3s i n c o s 3c o s s i n )3s i n (παπαπα⋅-⋅=-)334(10123532154-=⨯-⨯=. 18．本小题主要考查线面关系和正方体性质等基本知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分. 解法一：（I ）连结BP.∵AB ⊥平面BCC 1B 1， ∴AP 与平面BCC 1B 1所成的角就是∠APB, ∵CC 1=4CP,CC 1=4，∴CP=I.在Rt △PBC 中，∠PCB 为直角，BC=4，CP=1，故BP=17.在Rt △APB 中，∠ABP 为直角，tan ∠APB=,17174=BP AB∴∠APB=.17174arctan19．本小题主要考查简单线性规划的基本知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.解：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目.由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,8.11.03.0,10y x y x y x目标函数z =x +0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域. 作直线05.0:0=+y x l ，并作平行于直线0l 的一组直线,,5.0R z z y x ∈=+ 与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且 与直线05.0=+y x 的距离最大，这里M 点是直线10=+y x和8.11.03.0=+y x 的交点.解方程组⎩⎨⎧=+=+,8.11.03.0,10y x y x 得x =4，y=6此时765.041=⨯+⨯=z （万元）.07> ∴当x =4，y=6时z 取得最大值.答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.20．本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.满分12分. 解：（I ）当1,231==d a 时， n n n n n d n n na S n +=-+=-+=21212)1(232)1(由22242)21(21,)(2k k k k S S k k +=+=得，即 0)141(3=-k k 又4,0=≠k k 所以.（II ）设数列{a n }的公差为d ，则在2)(2n n S S =中分别取k=1,2,得⎪⎩⎪⎨⎧⨯+=⨯+=⎪⎩⎪⎨⎧==211211224211)2122(2344,,)()(d a d a a a S S S S 即由（1）得 .1011==a a 或 当,60)2(,01===d d a 或得代入时若21)(,0,0,0,0k k n n S S S a d a =====从而则成立若知由则216,324)(,18),1(6,6,02331===-===n n S S S n a d a ,)(239S s ≠故所得数列不符合题意. 当20,)2(64)2(,121==+=+=d d d d a 或解得得代入时若;)(,,1,0,1212成立从而则k k n n S S n S a d a =====若成立从而则221)(,)12(31,12,2,1n n n S S n n S n a d a ==-+++=-=== .综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：①{a n } : a n =0，即0，0，0，…； ②{a n } : a n =1，即1，1，1，…； ③{a n } : a n =2n －1，即1，3，5，…，21．本小题主要考查直线、椭圆和向量等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分12分.（1） （2）解：（I ）设所求椭圆方程是).0(12222>>=+b a by a x由已知，得 ,21,==a c m c 所以m b m a 3,2==. 故所求的椭圆方程是1342222=+my m x （II ）设Q （Q Q y x ,），直线),0(),(:km M m x k y l 则点+=当),,0(),0,(,2km M m F -=由于时由定比分点坐标公式，得,62.139494,)3,32(.31210,32212022222±==+-=++=-=+-=k mm k m m kmm Q km km y m m x Q Q 解得所以在椭圆上又点km kmy m m x Q Q -=-=-=--⨯-+=-=21,221)()2(0,2时当.于是.0,134422222==+k m m k m m 解得 故直线l 的斜率是0，62±. 22．本小题主要考查函数、不等式等基本知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分. 证明：（I ）任取则由,,,2121x x R x x ≠⊂ )]()()[()(2121221x f x f x x x x --≤-λ 和|||)()(|2121x x x f x f -≤- ②可知 22121212121221|||)()(|||)]()()[()(x x x f x f x x x f x f x x x x -≤-⋅-≤--≤-λ， 从而1≤λ. 假设有则由使得,0)(,000=≠b f a b ①式知.0)]()()[()(00000200矛盾=--≤-<b f a f b a b a λ∴不存在.0)(,000=≠b f a b 使得（II ）由)(a f a b λ-= ③可知 220202020)]([)()(2)()]([)(a f a f a a a a a f a a a b λλλ+---=--=- ④ 由和0)(0=a f ①式，得20000)()]()()[()()(a a a f a f a a a f a a -≥--=-λ ⑤ 由0)(0=a f 和②式知，20202)()]()([)]([a a a f a f a f -≤-= ⑥ 由⑤、⑥代入④式，得 2022022020)()(2)()(a a a a a a a b -+---≤-λλ202))(1(a a --=λ（III ）由③式可知22)]()()([)]([a f a f b f b f +-=22)]([)]()()[(2)]()([a f a f b f a f a f b f +-+-=22)]([)]()([2)(a f a f b f ab a b +--⋅--≤λ（用②式）222)]([)]()()[(2)]([a f a f b f a b a f +---=λλ2222)]([)(2)([a f a b a f +-⋅⋅-≤λλλ （用①式）2222222)]()[1()]([)]([2)]([a f a f a f a f λλλ-=+-=。
2004年全国初中数学竞赛预选赛试题(湖[下学期] 新人教版
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2004年全国初中数学竞赛预选赛试题(湖北赛区)一、填空题(每小题4分，共32分)1.已知：|x|=3，|y|=2，且xy＜0，则x+y的值等于______.2.设a-b=2+，b-c=2-，则a2+b2+c2-ab-bc-ac的值为______.3.已知实数x1，x2满足-6x1+2=0和-6x2+2=0，求的值为______.4.如果一次函数y=mx+n与反比例函数的图象相交于点(,2)，那么该直线与双曲线的另一个交点为______.5.如图1，要把边长为6的正三角纸板剪去三个三角形，得到正六边形，则它的边长为___.6.如图2，直角梯形ABCD的中位线EF的长为a，垂直于底的腰AB的长为b，则图中阴影部分的面积为______.7.如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，CM的延长线交AB于N，则AN:AB的值为______.8.如图4，BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，若AD:DB=2:3，AC=10，sinB的值为_____.二、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知|a+b|+|a-b|-2b=0，在数轴上给出关于a，b的四种位置关系如图所示，则可能成立的有( )(A)1种(B)2种(C)3种(D)4种2.已知a、b、c均为正数，方程ax2+bx+c=0有实根，则方程acx2+b2x+ac=0( )(A)有两个不相等的正根 (B)有一个正根，一个负根(C)不一定有实根 (D)有两个不相等的负根3.当k取任何实数时，抛物线y=(x-k)2+k2的顶点所在曲线是( )(A)y=x2 (B)y=-x2(C)y=x2(x＞0) (D)y=-x2(x＞0)4.如图5，已知AB⊥CD，△ABD、△BC E都是等腰直角三角形，如果CD=8，BE=3，则AC等于( )(A)8 (B)5 (C)3 (D)5.如图6，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的有( )①∠APB=∠EPC②∠APE=90°③P是BC的中点④BP:BC=2:3(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个6.如图7，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B，已知两圆的半径r1=10，r2=17，圆心距O1O2=21，则公共弦等于( )(A)2(B)16 (C)6(D)17三、解答题1.(12分)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根.甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了某项系数的符号，误求得两根为-1和4，求的值.2.(12分)如图8，正方形表示一张纸片，根据要求需多次分割，把它分割成若干个直角三角形.操作过程如下：第一次分割，将正方形纸片分成4个全等的直角三角形，第二次分割将上次得到的直角三角形中一个再分成4个全等的直角三角形；以后按第二次分割的作法进行下去.(1)请你设计出两种符合题意的分割方案图;(2)设正方形的边长为a，请你就其中一种方案通过操作和观察将第二、第三次分割后所得的最小的直角三角形的面积(S)填入下表：a2(3)在条件(2)下，请你猜想：分割所得的最小直角三角形面积S与分割次数n有什么关系？用数学表达式表示出来.3.(17分)某中学预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定减少10个，总金额多用29元.又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么买甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元.(1)求x、y的关系式；(2)若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x，y的值.4.(17分)如图9，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1.(1)求△AOD和△BCD的面积；(2)若F是线段BE上任一点，FG⊥AG，G是垂足，设线段CG和OF的长分别是x和y，试写出y与x之间的关系式.(不要求写出x的取值范围).参考答案一、1.1或-1 2.15 3.16，2 4.(-1,-) 5.2 6.ab7.1:3 8.二、1.B 2.D 3.A 4.D 5.A 6.B三、1.甲看错了二次项系数，设他所解的方程为a′x2+bx+c=0，于是有：2+4=-，2×4=，∴. ①设乙看错了一次项系数的符号，则他所解的方程为ax2-bx+c=0.于是-1+4=. ②由①，②知，△=b2-4ac=b2-4··(-b)=b2≥0，与题设矛盾.故乙看错的只是常数项，即他所解的方程为ax2+bx-c=0，则-1+4=-. ③由①，③可知：.2.(1)(2)，.(3)(n≥1，且n为整数)3.(1)设预计购买甲、乙商品的单价分别为a元和b元，则原计划是：ax+by=1500，①由甲商品单价上涨1.5元，乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个情形，得：(a+1.5)(x-10)+(b+1)y=1529. ②再由甲商品单价上涨1元，而数量比预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形得：(a+1)(x-5)+(b+1)y=1563.5. ③由①，②，③得：④-⑤×2并化简，得x+2y=186.(2)依题意有：205＜2x+y＜210及x+2y=186.得54＜y＜.由于y是整数，得y=55，从而得x=76. 答：略.4.(1)由切割线定理，得AE·AB=AD2.∴1×(1+2OE)=22，解得EO=.∵D为切点，∴AD⊥OD.∵S△AOD=AD·OD=AD·OE=.又由切线长定理，CD=CB.在Rt△ABC中，AB2+BC2=(AD+CD)2.∵AB=2EO+AE=4，∴42+CD2=(2+CD)2.解得：CD=3.∴AC=AD+CD=5.过点D作DM∥AB交BC于M.∵，∴，∴S△BCD=BC·DM=×3×=.(2)当AO≤AF≤AB时，∵△AFG∽△ACB，∴，..当AE≤AF＜AO时，同时有：，化简得：.。
江西省南昌市2004年初中毕业暨中等学校招生考试.
江西省南昌市2004年初中毕业暨中等学校招生考试数学试卷二．正确选项，请把正确选项的代号填在题后的括号内。
1．计算（－２）３的值等于【】（A）－６（Ｂ）６（Ｃ）－８（Ｄ）８２．如图，在△ＡＢＣ中，Ｄ是ＡＣ延长线上的一点，∠ＢＣＤ等于【】（Ａ）７２°（Ｂ）８２°（Ｃ）９８°（Ｄ）１２４°３．用代数式表示“2a 与3的差”为【】（A）2a－3 （Ｂ）3－2a （Ｃ）2(a－3) （Ｄ）2(3－a)４．如图，数轴上的点Ａ所表示的是实数a，则点Ａ到原点的距离是【】】那么物像长,】42计划平均每１７.先化简,再求值：［（x－y）2+(x+y)(x－y)］÷2x,其中x=3,y=－１.518．已知关于x 的方程x 2－2(m+1)x+m 2=0.(1)当m 取什么值时，原方程没有实数根；(2)对m 选取一个合适的非零整数．．．．，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和，四、（本大题共2小题，每小题分，区划16分）19，如图，∠PAQ 是直角，半径为5的⊙0与AP相切于点Ｔ，与AQ相交于两点B 、C 。
（1） BT 是否平分∠OBA ？证明你的结论；（2） 若已知AT=4，试求AB 的长。
20．如图，已知△ABC 、△DCE 、△FEG 是三个全等的等腰三角形，底边BC 、CE 、E Ｇ在同一直线上， 且AB=3 ，BC=1，连结BF ，分别交AC 、DC 、DE 于点P 、Q 、R 。
（1）求证：△BFG ∽△FEG ，并求出BF 的长； （2） 观察图形，请你提出一个与点．．P ．相关．．的 问题，并进行解答（根据提出问题的层次和解答过程评分）。
21．仔细观察下图，认真阅读对话：根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？22．某学校对初中毕业班经过初步比较后，决定从初三（1）、（4）、（8）班这三个班中推荐一个班为市级先进班集体的候选班，现对这三个班进行综合素质考评，下表是它们五项素质考评的得分表（以分为单位，每项满分为10分）。
江西省南昌市第二中学2024届中考四模数学试题含解析
江西省南昌市第二中学2024届中考四模数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．用加减法解方程组323415x y x y -=⎧⎨+=⎩①②时，如果消去y ，最简捷的方法是（ ） A ．①×4﹣②×3 B ．①×4+②×3 C ．②×2﹣① D ．②×2+①2．根据如图所示的程序计算函数y 的值，若输入的x 值是4或7时，输出的y 值相等，则b 等于（ ）A ．9B ．7C ．﹣9D ．﹣7 3．如图1，点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，沿以的速度匀速运动到点C ，图2是点P 运动时，APD ∆的面积2()y cm 随运动时间()x s 变化而变化的函数关系图象，则矩形ABCD 的面积为（ ）A ．36B ．C ．32D ．4．下列说法：① ； ②数轴上的点与实数成一一对应关系；③﹣2是的平方根；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，其中正确的个数有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5．π这个数是( )A ．整数B ．分数C ．有理数D ．无理数 6．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东70°方向的M 处， 它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到 达位于灯塔P 的北偏东40°的N 处，则N 处与灯塔P 的 距离为A ．40海里B ．60海里C ．70海里D ．80海里7．点A （a ，3）与点B （4，b ）关于y 轴对称，则（a+b ）2017的值为（ ）A ．0B ．﹣1C ．1D ．720178．如图，已知E ，B ，F ，C 四点在一条直线上，EB CF =，A D ∠∠=，添加以下条件之一，仍不能证明ABC ≌DEF 的是( )A ．E ABC ∠∠=B ．AB DE =C ．AB//DED ．DF//AC9．下列事件中必然发生的事件是（ ）A ．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等B ．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式C ．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品D ．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数10．实数a 22(4)(11)a a -- ）A ．7B ．﹣7C ．2a ﹣15D ．无法确定二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE ⊥BD ，垂足为点E ，若∠EAC =2∠CAD ，则∠BAE =__________度．12．已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别为2和5，圆心距为d,若⊙O 1与⊙O 2相交，那么d 的取值范围是_________．13．若代数式4x -在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围为_____．14．如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE=3，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为 .15．二次根式x 3-中，x 的取值范围是 ．16．已知关于x 的一元二次方程（k ﹣5）x 2﹣2x+2=0有实根，则k 的取值范围为_____．17．二次根式2x -在实数范围内有意义，x 的取值范围是_____．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，已知反比例函数1k y x=和一次函数21y ax =+的图象相交于第一象限内的点A ，且点A 的横坐标为1.过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为1.求反比例函数和一次函数的解析式.若一次函数21y ax =+的图象与x 轴相交于点C ，求∠ACO 的度数.结合图象直接写出：当1y ＞2y ＞0时，x 的取值范围.19．（5分） “知识改变命运，科技繁荣祖国”．在举办一届全市科技运动会上．下图为某校2017年参加科技运动会航模比赛（包括空模、海模、车模、建模四个类别）的参赛人数统计图：（1）该校参加航模比赛的总人数是 人，空模所在扇形的圆心角的度数是 ；（2）并把条形统计图补充完整；（3）从全市中小学参加航模比赛选手中随机抽取80人，其中有32人获奖．今年全市中小学参加航模比赛人数共有2500人，请你估算今年参加航模比赛的获奖人数约是多少人？20．（8分）如图，在Rt △ABC 中∠ABC=90°，AC 的垂直平分线交BC 于D 点，交AC 于E 点，OC=OD ． （1）若3sin 4A ，DC=4，求AB 的长； （2）连接BE ，若BE 是△DEC 的外接圆的切线，求∠C 的度数．21．（10分）随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？22．（10分）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．求每个月生产成本的下降率；请你预测4月份该公司的生产成本．23．（12分）如图，△ABC 中，点D 在AB 上，∠ACD=∠ABC ，若AD=2，AB=6，求AC 的长．24．（14分）某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书的数量比第一次多10本，当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．（1）第一次购书的进价是多少元？（2）试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少；若赚钱，赚多少？参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、D【解题分析】试题解析：用加减法解方程组323415x yx y-=⎧⎨+=⎩①②时，如果消去y，最简捷的方法是②×2+①,故选D.2、C【解题分析】先求出x=7时y的值，再将x=4、y=-1代入y=2x+b可得答案．【题目详解】∵当x=7时，y=6-7=-1，∴当x=4时，y=2×4+b=-1，解得：b=-9，故选C．【题目点拨】本题主要考查函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法．3、C【解题分析】由函数图象可知AB=2×2=4,BC=(6-2) ×2=8,根据矩形的面积公式可求出．【题目详解】由函数图象可知AB=2×2=4,BC=(6-2) ×2=8,∴矩形ABCD的面积为4×8=32,故选:C.【题目点拨】本题考查动点运动问题、矩形面积等知识，根据图形理解△ABP面积变化情况是解题的关键，属于中考常考题型．4、C【解题分析】根据平方根，数轴，有理数的分类逐一分析即可.【题目详解】①∵，∴是错误的；②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确；③∵＝4，故-2是的平方根，故说法正确；④任何实数不是有理数就是无理数，故说法正确；⑤两个无理数的和还是无理数，如和是错误的；⑥无理数都是无限小数，故说法正确；故正确的是②③④⑥共4个；故选C.【题目点拨】本题考查了有理数的分类，数轴及平方根的概念，有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数，如等，也有π这样的数.5、D【解题分析】由于圆周率π是一个无限不循环的小数，由此即可求解．【题目详解】解：实数π是一个无限不循环的小数．所以是无理数．故选D．【题目点拨】本题主要考查无理数的概念，π是常见的一种无理数的形式，比较简单．6、D【解题分析】分析：依题意，知MN ＝40海里/小时×2小时＝80海里， ∵根据方向角的意义和平行的性质，∠M ＝70°，∠N ＝40°，∴根据三角形内角和定理得∠MPN ＝70°．∴∠M ＝∠MPN ＝70°．∴NP ＝NM ＝80海里．故选D ．7、B【解题分析】根据关于y 轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，可得答案．【题目详解】解：由题意，得a=-4，b=1．（a+b ）2017=（-1）2017=-1，故选B ．【题目点拨】本题考查了关于y 轴对称的点的坐标，利用关于y 轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数得出a ，b 是解题关键． 8、B【解题分析】由EB=CF ，可得出EF=BC ，又有∠A=∠D ，本题具备了一组边、一组角对应相等，为了再添一个条件仍不能证明△ABC ≌△DEF ，那么添加的条件与原来的条件可形成SSA ，就不能证明△ABC ≌△DEF 了．【题目详解】A.添加E ABC ∠∠=，根据AAS 能证明ABC ≌DEF ，故A 选项不符合题意．B.添加DE AB =与原条件满足SSA ，不能证明ABC ≌DEF ，故B 选项符合题意；C.添加AB//DE ，可得E ABC ∠∠=，根据AAS 能证明ABC ≌DEF ，故C 选项不符合题意；D.添加DF//AC ，可得DFE ACB ∠∠=，根据AAS 能证明ABC ≌DEF ，故D 选项不符合题意，故选B ．【题目点拨】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL.注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．9、C【解题分析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件分别分析得出答案．【题目详解】A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误；B、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；C、200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误；故选C．【题目点拨】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件，正确把握相关定义是解题关键．10、C【解题分析】根据数轴上点的位置判断出a﹣4与a﹣11的正负，原式利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．【题目详解】解：根据数轴上点的位置得：5＜a＜10，∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，则原式＝|a﹣4|﹣|a﹣11|＝a﹣4+a﹣11＝2a﹣15，故选：C．【题目点拨】此题考查了二次根式的性质与化简，以及实数与数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、22.5°【解题分析】四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OB═OC，∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，∴∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，∠EAC=2∠CAD，∴∠EAO=∠AOE，AE⊥BD，∴∠AEO=90°，∴∠AOE=45°，∴∠OAB=∠OBA=67.5°，即∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．考点：矩形的性质；等腰三角形的性质．12、3<d<7【解题分析】若两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：相交，则R-r<d<R+r，从而得到圆心距O1O2的取值范围．【题目详解】∵⊙O1和⊙O2的半径分别为2和5，且两圆的位置关系为相交，∴圆心距O1O2的取值范围为5-2<d<2+5，即3<d<7.故答案为：3<d<7.【题目点拨】本题考查的知识点是圆与圆的位置关系，解题的关键是熟练的掌握圆与圆的位置关系.13、x≤1【解题分析】根据二次根式有意义的条件可求出x的取值范围．【题目详解】由题意可知：1﹣x≥0，∴x≤1故答案为：x≤1．【题目点拨】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是利用被开方数是非负数解答即可．14、36或5【解题分析】（3）当B′D=B′C时，过B′点作GH∥AD，则∠B′GE=90°，当B′C=B′D 时，AG=DH=12DC=8，由AE=3，AB=36，得BE=3． 由翻折的性质，得B′E=BE=3，∴EG=AG ﹣AE=8﹣3=5，∴B′G=22'B E EG -=22135-=33，∴B′H=GH ﹣B′G=36﹣33=4，∴DB′=22'B H DH +=2248+=45；（3）当DB′=CD 时，则DB′=36（易知点F 在BC 上且不与点C 、B 重合）；（3）当CB′=CD 时，∵EB=EB′，CB=CB′，∴点E 、C 在BB′的垂直平分线上，∴EC 垂直平分BB′，由折叠可知点F 与点C 重合，不符合题意，舍去．综上所述，DB′的长为36或45．故答案为36或45．考点：3．翻折变换（折叠问题）；3．分类讨论．15、x 3≥．【解题分析】x 3-x 30x 3-≥⇒≥． 16、1152k k ≤≠且 【解题分析】若一元二次方程有实根，则根的判别式△=b 2-4ac≥0，且k-1≠0，建立关于k 的不等式组，求出k 的取值范围．【题目详解】解：∵方程有两个实数根，∴△=b2-4ac=（-2）2-4×2×（k-1）=44-8k≥0，且k-1≠0，解得：k≤112且k≠1，故答案为k≤112且k≠1．【题目点拨】此题考查根的判别式问题，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．17、x≤1【解题分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．【题目详解】解：由题意得，1﹣x≥0，解得，x≤1，故答案为x≤1．【题目点拨】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）y1=2x；y2=x+1；（2）∠ACO=45°；（3）0<x<1.【解题分析】（1）根据△AOB的面积可求AB，得A点坐标．从而易求两个函数的解析式；（2）求出C点坐标，在△ABC中运用三角函数可求∠ACO的度数；（3）观察第一象限内的图形，反比例函数的图象在一次函数的图象的上面部分对应的x的值即为取值范围．【题目详解】(1)∵△AOB的面积为1，并且点A在第一象限，∴k=2,∴y1=2x；∵点A的横坐标为1，∴A(1,2).把A(1,2)代入y 2=ax+1得，a=1.∴y 2=x+1.(2)令y 2=0，0=x+1，∴x=−1,∴C(−1,0).∴OC=1，BC=OB+OC=2.∴AB=CB,∴∠ACO=45°.(3)由图象可知,在第一象限,当y 1>y 2>0时,0<x<1.在第三象限,当y 1>y 2>0时,−1<x<0(舍去).【题目点拨】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于结合函数图象进行解答.19、（1）24，120°；（2）见解析；（3）1000人【解题分析】（1）由建模的人数除以占的百分比，求出调查的总人数即可，再算空模人数，即可知道空模所占百分比，从而算出对应的圆心角度数；（2）根据空模人数然后补全条形统计图；（3）根据随机取出人数获奖的人数比，即可得到结果．【题目详解】解：（1）该校参加航模比赛的总人数是6÷25%＝24（人），则参加空模人数为24﹣（6+4+6）＝8（人），∴空模所在扇形的圆心角的度数是360°×824＝120°， 故答案为：24，120°；（2）补全条形统计图如下：（3）估算今年参加航模比赛的获奖人数约是2500×3280＝1000（人）． 【题目点拨】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．20、（1）2；（2）30°【解题分析】（1）由于DE垂直平分AC，那么AE=EC，∠DEC=90°，而∠ABC=∠DEC=90°，∠C=∠C，易证，△ABC∽△DEC，∠A=∠CDE，于是sin∠CDE=sinA＝34，AB：AC=DE：DC，而DC=4，易求EC，利用勾股定理可求DE，易知AC=6，利用相似三角形中的比例线段可求AB；（2）连接OE，由于∠DEC=90°，那么∠EDC+∠C=90°，又BE是切线，那么∠BEO=90°，于是∠EOB+∠EBC=90°，而BE是直角三角形斜边上的中线，那么BE=CE，于是∠EBC=∠C，从而有∠EOB=∠EDC，又OE=OD，易证△DEO是等边三角形，那么∠EDC=60°，从而可求∠C．【题目详解】解：（1）∵AC的垂直平分线交BC于D点，交AC于E点，∴∠DEC=90°，AE=EC，∵∠ABC=90°，∠C=∠C，∴∠A=∠CDE，△ABC∽△DEC，∴sin∠CDE=3sin4A=，AB：AC=DE：DC，∵DC=4，∴ED=3，∴=，∴AC=6，∴AB：4，∴AB=2；（2）连接OE，∵∠DEC=90°，∴∠EDC+∠C=90°，∵BE是⊙O的切线，∴∠BEO=90°，∴∠EOB+∠EBC=90°，∵E 是AC 的中点，∠ABC=90°，∴BE=EC ，∴∠EBC=∠C ，∴∠EOB=∠EDC ，又∵OE=OD ，∴△DOE 是等边三角形，∴∠EDC=60°，∴∠C=30°．【题目点拨】考查了切线的性质、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质．解题的关键是连接OE ，构造直角三角形．21、（1）打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．（2）打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元．【解题分析】分析：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x 元，乙品牌粽子每盒y 元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据节省钱数=原价购买所需钱数-打折后购买所需钱数，即可求出节省的钱数．详解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x 元，乙品牌粽子每盒y 元，根据题意得：63600500.8400.755200x y x y +⎧⎨⨯+⨯⎩＝＝， 解得：40120x y ⎧⎨⎩＝＝． 答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．（2）80×40+100×120-80×0.8×40-100×0.75×120=3640（元）．答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元．点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，列式计算．22、（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【解题分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【题目详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据题意得：400（1﹣x ）2=361，解得：x 1=0.05=5%，x 2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【题目点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．23、【解题分析】试题分析：可证明△ACD ∽△ABC ，则AD AC AC AB=，即得出AC 2=AD•AB ，从而得出AC 的长． 试题解析：∵∠ACD=∠ABC ，∠A=∠A ， ∴△ACD ∽△ABC ． ∴AD AC AC AB =，∵AD=2，AB=6，∴26ACAC =．∴212AC =．∴AC=考点：相似三角形的判定与性质．24、赚了520元【解题分析】（1）设第一次购书的单价为x 元，根据第一次用1200元购书若干本，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书的数量比第一次多10本，列出方程，求出x 的值即可得出答案；（2）根据（1）先求出第一次和第二次购书数目，再根据卖书数目×（实际售价﹣当次进价）求出二次赚的钱数，再分别相加即可得出答案．【题目详解】（1）设第一次购书的单价为x 元，根据题意得：1200x+10＝1500(120)0x，解得：x＝5，经检验，x＝5是原方程的解，答：第一次购书的进价是5元；（2）第一次购书为1200÷5＝240（本），第二次购书为240+10＝250（本），第一次赚钱为240×（7﹣5）＝480（元），第二次赚钱为200×（7﹣5×1.2）+50×（7×0.4﹣5×1.2）＝40（元），所以两次共赚钱480+40＝520（元），答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了520元．【题目点拨】此题考查了分式方程的应用，掌握这次活动的流程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．。
江西省南昌二中2024_2025学年高二数学上学期开学考试试题
江西省南昌二中2024-2025学年高二数学上学期开学考试试题一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}220M x x x =--<， {}1N x y x ==-，则M N ⋃=（ ）A. {}1x x >- B. {}12x x ≤< C. {}12x x -<< D. {}0x x ≥ 2． 若cos sin 63cos18cos63cos108x =+，则cos2x =（ ） A ．12-B ．34- C.0 D ．123．已知实数,x y 满意()1xya aa >>，则下列关系式恒成立的是（ ）A.1111x y <++ B. sin sin x y > C. ()()22lg 1lg 1x y +>+ D. 33x y >4．设a 、b 、c 是非零向量，则下列说法中正确．．是（ ） A ．()()a b c c b a ⋅⋅=⋅⋅ B. a b a b -≤+ C ．若a b a c ⋅=⋅，则b c = D ．若//,//a b a c ，则//b c 5．已知,x y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（ ） A. 24 B. 32 C. 20 D . 28 6．在ABC ∆中， ,,a b c 分别是角,,A B C 所对边的边长，若2cos sin 0cos sin C C B B+-=+，则a bc+的值是（ ） A. 21- B. 21+ C. 31+ D. 2 7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且634S S =，则96S S =（ ） A.94 B.23 C.53D.4 8.已知函数在上的最大值为M ，最小值为m ，则A. 1B. 2C. 3D. 49．已知ABC ∆中， ,,A B C 的对边长度分别为,,a b c ，已知点O 为该三角形的外接圆圆心，点,,D E F 分别为边,,BC AC AB 的中点，则::OD OE OF =（ ） A. ::a b c B.111::a b cC. sin :sin :sin A B CD. cos :cos :cos A B C10.若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ,且745()3n n S n n N T n *+=∈+，则使得nna b 为整数的正整数n 的个数是（ ）A.3B.4C.5D.611.已知是定义在R 上的奇函数，且当时，，则函数在区间上的全部零点之和为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8 12.已知是数列的前n 项和，，且，若，其中，，则的最小值是（ ） A.B. 4C.D. 2024二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13．已知点(1,1)(0,3)(3,4)A B C -、、，则向量AB 在AC 方向上的投影为_______． 14.设的三个内角A ，B ，C 所对应的边为a ，b ，c ，若A ，B ，C 依次成等差数列且，则实数k 的取值范围是_______．15．设二次函数()()2f x ax bx c a b c =++，，为常数.若不等式()2f x ax b ≥+的解集为R ，则222b ac +的最大值为__________． 16．给出下列结论：①,A B 是ABC ∆的内角，且A B >，则sin sin A B >; ②若{}n a 是等比数列，则{}1n n a a ++也为等比数列；③在数列{}n a 中,假如n 前项和22n S n n =++，则此数列是一个公差为2的等差数列；④O 是ABC ∆所在平面上肯定点，动点P 满意：sin sin AB AC OP OA C B λ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,λ∈+∞，则直线AP 肯定通过ABC ∆的内心；则上述结论中正确的有 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题10分)已知全集，集合，，．（1）求；（2）若，求实数a 的取值范围．18．（本小题12分）设的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．（1）求B ； （2）若为锐角三角形，求的取值范围．19．（本小题12分）设函数．（1）当时，若对于，有恒成立，求a 的取值范围；（2）已知，若对于一切实数x 恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值．20．（本小题12分）如图在ABC ∆中，11, 42OC OA OD OB ==，AD 与BC 交于M 点．设, OA a OB b ==． （1）用, a b 表示OM ；（2） 已知线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过点M ．设OE pOA =，OF qOB =，则13p q+是否为定值，假如是定值，求出这个定值.BF21．（本小题12分）已知数列满意：，2，3，（1）求证：数列是等比数列；（2）令2，3，，假如对随意，都有，求实数t的取值范围．22．（本小题12分）已知函数，，且函数是偶函数．（1）求的解析式；．（2）若不等式在上恒成立，求n 的取值范围；（3）若函数恰好有三个零点，求k 的值及该函数的零点高二文理分科考试数学试卷参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分． 13. 2 14. 15. 222 16. ①④小题详解：1．A [)[){|12},1,1,2M x x N M N =-<<=+∞∴⋃=，选A .题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDDCBABDCDB2．C ()45sin 1863sin 18sin 63cos 18cos 63sin cos =-=-=x ， 故090cos 2cos == x ，故选C.3．D 因为1a >，所以x y >，因此33x y >，选D .4．D 由题意得，对于A 中，()a b c ⋅⋅表示与c 共线的向量，()c b a ⋅⋅表示与a 共线的向量，所以不正确；对于B 中，0a b -=时，此时0a b +=，而20a b b -=>，所以不正确；对于C 中，若0a b a c ⋅=⋅=，而此时b 与c 不肯定是相等向量，所以不正确；对于D 中，因为a 、b 、c 是非零向量，若//,//a b a c ，则//b c 是正确，故选D . 5.C 因为,x y 均为正实数，所以()()()()][11224622462242022x y x y x y x x ⎡⎤⎡⎤+=+++-=++++-≥+-=⎣⎦⎢⎥++⎣⎦，选C. 6．B 在ABC ∆中，由2cos sin 0cos sin C C B B+-=+，依据两角和的正弦公式可得2244sin C sin B ππ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而得442C B πππ+=+=，解,42C B A ππ==∴=，所以由正弦定理可得21242242sinsina bcsinπππ+++==21=+，故选B. 7．A 因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以36396,,S S S S S --成等差数列，所以633962()S S S S S -=+-（1），∵634S S =，∴634S S =，设96Sx S =，则9634S xS xS ==，所以（1）式可化为333332(4)44S S S xS S -=+-，解得94x =.故选A ． 8.B 解：， 设，，为奇函数，，，，故选B ．9．D 在三角形AOD 中，同理，所以OD:OE:OF =： ：，由正弦定理，可得OD:OE:OF = cosA:cosB:cosC ，选D.10．C ()()1212112121214387191227222112n n n n n n n n n a a a a A n n n b b b b B n n n ----+++======+++++ 验证知，当n=1，2，3，5，11时nna b 为整数.11.D 解：有题意可得：，，函数的周期为4，，的图象关于对称．作出函数的图象如图所示，函数的零点即为图象与的图像的交点的横坐标， 四个交点分别关于点对称，则，故全部零点之和为8．选D ．12.B 解：由题意得，，，，，，，以上各式相加得，，，．又，，即，又，，当且仅当时等号成立，故选B ．13．2 由已知(1,2)AB =，(4,3)AC =，142310AB AC ⋅=⨯+⨯=，22435AC =+=，向量AB 在AC 方向上的投影为1025AB AC AC⋅==． 14.解：，且角A 、B 、C 成等差数列， ，解之得，，，，，，，，实数k 的取值范围是．15.222- 由题设可得()220ax b a x c b +-+-≥对一切实数恒成立， 取1x =可得0c a -≥且判别式对一切实数恒成立，即2244{0,0b a ac a c a +≤>-≥对一切实数恒成立，所以，令0c a t -=≥，则c a t =+代入（当且仅当2c a =取等号），故222b a c+的最大值是222-. 16．①④ ①中，依据三角形的性质可得A B a b >⇒>，再由正弦定理可得sin sin A B >，所以是正确的；②中，当等比数列{}n a 的公比为1q =-时，此时10n n a a ++=，此时数列{}1n n a a ++不是等比数列，所以是错误的；③中，由22n S n n =++，则此数列从其次项起先是一个公差为2的等差数列，所以是错误的；④中，O 是ABC ∆所在平面上肯定点，动点P 满意：sin sin AB AC OP OA C B λ⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭，()0,λ∈+∞，则直线AP 为角A 的平分线，所以AP 肯定通过ABC ∆的内心，所以是正确的，故选①④． 17.解：全集，集合，，或，． 集，集合，，．，又，当即时，；当即时，要使，有，又，，的取值范围是．18．解： 1，由正弦定理可得：，，，，．2由题意，，可得，又为锐角三角形，，可得， ，可得，的取值范围是． 19. 解：依据题意知，对于，有恒成立， 即恒成立， 设，，所以，函数在区间上是单调递减的，，；由对于一切实数x 恒成立，可得 由存在，使得成立可得，故，，，则，，当且仅当时等号成立，故的最小值为．20．（1）设OM ma nb =+，则(1)AM OM OA ma nb a m a nb =-=+-=-+，1122AD OD OA OB OA a b =-=-=-+． ∵A M D 、、三点共线，∴AM 与AD 共线，故存在实数t ，使得 AM t AD =，即1(1)()2m a nb t a b -+=-+，(1)2tm a nb ta b -+=-+，∴1,.2m t tn -=-⎧⎪⎨=⎪⎩，消去t 得12m n -=-，即21m n += ① ∵ 11()44CM OM OC ma nb a m a nb =-=+-=-+，14CB OB OC b a =-=-， 又C M 、、B 三点共线∴CM 与CB 共线， 同理可得 41m n += ② 联立①②，解得13, 77m n ==． 故1377OM a b =+． （2）137p q +=．∵1313()7777EM OM OE a b pOA p a b =-=+-=-+， EF OF OE qOB pOA pa qb =-=-=-+，又EM 与EF 共线，故存在实数k ，使得EM kEF =，即13()()77p a b k pa qb kpa kqb -+=-+=-+.1737p pk kq⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，消去k 得1377p p q -=-⋅，整理得137p q +=．21.1证明：由题可知：，，可得即：，又所以数列是以为首项，以为公比的等比数列2解：由1可得，分 由可得由可得所以，故有最大值所以，对随意，都有，等价于对随意，都有成立 所以解得或，所以实数t 的范围是.22.解：，．是偶函数，，．，令，，不等式在上恒成立，等价于在上恒成立，．令，，则，，令，则，方程可化为，即，也即．又偶函数恰好有三个零点，所以必有一个零点为0，有一个根为2，．，解得或．由，得，由，得，零点为0，，。
2004年全国高中数学联赛试题及解答
2004年全国高中数学联赛试卷第一试一．选择题(本题满分36分，每小题6分)1．设锐角θ使关于x 的方程x 2+4x cos θ+cos θ=0有重根，则θ的弧度数为 ( )A ．π6B ．π12或5π12C ．π6或5π12D ．π122．已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ≠∅，则b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62] B ．(－62，62) C ．(－233，233] D ．[－233，233] 3．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4]4．设点O 在∆ABC 的内部，且有→OA +2→OB +3→OC=→0，则∆ABC 的面积与∆AOC 的面积的比为( ) A ．2 B ．32 C ．3 D ．535．设三位数n=¯¯¯abc ，若以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有( )A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个 6．顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且P A=4，C为P A 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为( ) A ．53 B ．253 C ．63 D ．263二．填空题(本题满分54分，每小题9分)7．在平面直角坐标系xOy 中，函数f (x )=a sin ax +cos ax (a >0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g (x )= a 2+1的图像所围成的封闭图形的面积是 ；8．设函数f ：R →R ，满足f (0)=1，且对任意x ，y ∈R ，都有f (xy +1)=f (x )f (y )－f (y )－x +2，则f (x )= ； 9．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BD 1—A 1的度数是 ； 10．设p 是给定的奇质数，正整数k 使得k 2－pk 也是一个正整数，则k= ；11．已知数列a 0，a 1，a 2，…，a n ，…满足关系式(3－a n +1)(6+a n )=18，且a 0=3，则n∑i=01a i 的值是 ；12．在平面直角坐标系xOy 中，给定两点M (－1，2)和N (1，4)，点P 在x 轴上移动，当∠MPN 取最大值时，点P 的横坐标为 ； 三．解答题(本题满分60分，每小题20分)13．一项“过关游戏”规则规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数的和大于2n ，则算过关．问：B 1A 1BCD AC 1D 1⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关？ ⑵ 他连过前三关的概率是多少？14．在平面直角坐标系xOy 中，给定三点A (0，43)，B (－1，0)，C (1，0)，点P 到直线BC 的距离是该点到直线AB 、AC 距离的等比中项．⑴ 求点P 的轨迹方程；⑵ 若直线L 经过∆ABC 的内心(设为D )，且与P 点轨迹恰好有3个公共点，求L 的斜率k 的取值范围．15．已知α，β是方程4x 2－4tx －1=0(t ∈R )的两个不等实根，函数f (x )=2x －tx 2+1的定义域为[α，β]．⑴ 求g (t )=max f (x )－min f (x )；⑵ 证明：对于u i ∈(0，π2)(i=1，2，3)，若sin u 1+sin u 2+sin u 3=1，则1g (tan u 1)+1g (tan u 2)+1g (tan u 3)<364．二试题一．(本题满分50分)在锐角三角形ABC 中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交于点K ，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK 的长．二．(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY 中，y 轴正半轴上的点列{A n }与曲线y=2x (x ≥0)上的点列{B n }满足|OA n |=|OB n |=1n ，直线A n B n 在x 轴上的截距为a n ，点B n 的横坐标为b n ，n ∈N *．⑴ 证明a n >a n +1>4，n ∈N *；⑵ 证明有n 0∈N *，使得对∀n >n 0，都有b 2b 1+b 3b 2+…+b n b n －1+b n +1b n<n －2004．三．(本题满分50分)对于整数n ≥4，求出最小的整数f (n )，使得对于任何正整数m ，集合{m ，m +1，…，m+n －1}的任一个f (n )元子集中，均至少有3个两两互素的元素．EFBCDAGHK2004年全国高中数学联赛试卷第一试一．选择题(本题满分36分，每小题6分)1．设锐角θ使关于x 的方程x 2+4x cos θ+cot θ=0有重根，则θ的弧度数为 ( )A ．π6B ．π12或5π12C ．π6或5π12D ．π12解：由方程有重根，故14∆=4cos 2θ－cot θ=0，∵ 0<θ<π2，⇒2sin2θ=1，⇒θ=π12或5π12．选B ．2．已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ≠∅，则b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62] B ．(－62，62) C ．(－233，233] D ．[－233，233] 解：点(0，b )在椭圆内或椭圆上，⇒2b 2≤3，⇒b ∈[－62，62]．选A ． 3．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4] 解：令log 2x=t ≥1时，t －1>32t －2．t ∈[1，2)，⇒x ∈[2，4)，选C ．4．设点O 在∆ABC 的内部，且有→OA +2→OB +3→OC=→0，则∆ABC 的面积与∆AOC 的面积的比为( ) A ．2 B ．32 C ．3 D ．53解：如图，设∆AOC=S ，则∆OC 1D=3S ，∆OB 1D=∆OB 1C 1=3S ，∆AOB=∆OBD=1.5S ．∆OBC=0.5S ，⇒∆ABC=3S ．选C ．5．设三位数n=¯¯¯abc ，若以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有( )A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个 解：⑴等边三角形共9个；⑵ 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a ，b )，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b <a <2b ．a=9或8时，b=4，3，2，1，(8种)；a=7，6时，b=3，2，1(6种)；a=5，4时，b=2，1(4种)；a=3，2时，b=1(2种)，共有20种不能取的值．共有236－20=52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数．选C ．6．顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且P A=4，C 为P A 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为 ( )A ．53 B ．253 C ．63 D ．263解：AB ⊥OB ，⇒PB ⊥AB ，⇒AB ⊥面POB ，⇒面P AB ⊥面POB ． OH ⊥PB ，⇒OH ⊥面P AB ，⇒OH ⊥HC ，OH ⊥PC ，1又，PC ⊥OC ，⇒PC ⊥面OCH ．⇒PC 是三棱锥P －OCH 的高．PC=OC=2． 而∆OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)． 当OH=2时，由PO=22，知∠OPB=30︒，OB=PO tan30︒=263．又解：连线如图，由C 为P A 中点，故V O －PBC =12V B －AOP ，而V O －PHC ∶V O －PBC =PH PB =PO 2PB 2(PO 2=PH ·PB )．记PO=OA=22=R ，∠AOB=α，则V P —AOB =16R 3sin αcos α=112R 3sin2α，V B －PCO =124R 3sin2α．PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2α=11+cos 2α=23+cos2α．⇒V O －PHC =sin2α3+cos2α⨯112R 3． ∴ 令y=sin2α3+cos2α，y '=2cos2α(3+cos2α)－(－2sin2α)sin2α(3+cos2α)2=0，得cos2α=－13，⇒cos α=33， ∴ OB=263，选D ．二．填空题(本题满分54分，每小题9分)7．在平面直角坐标系xOy 中，函数f (x )=a sin ax +cos ax (a >0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g (x )= a 2+1的图像所围成的封闭图形的面积是 ；解：f (x )= a 2+1sin(ax +ϕ)，周期=2πa ，取长为2πa ，宽为2a 2+1的矩形，由对称性知，面积之半即为所求．故填2πaa 2+1．又解：∫ϕ1ϕ0a 2+1[1－sin(ax +ϕ)]dx=a 2+1a ∫π2(1－sin t )dt=2p a a 2+1． 8．设函数f ：R →R ，满足f (0)=1，且对任意x ，y ∈R ，都有f (xy +1)=f (x )f (y )－f (y )－x +2，则f (x )= ；解：令x=y=0，得，f (1)=1－1－0+2，⇒f (1)=2．令y=1，得f (x +1)=2f (x )－2－x +2，即f (x +1)=2f (x )－x ．①又，f (yx +1)=f (y )f (x )－f (x )－y +2，令y=1代入，得f (x +1)=2f (x )－f (x )－1+2，即f (x +1)=f (x )+1．② 比较①、②得，f (x )=x +1． 9．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BD 1—A 1的度数是 ； 解：设AB=1，作A 1M ⊥BD 1，AN ⊥BD 1，则BN ·BD 1=AB 2，⇒BN=D 1M=NM=33． ⇒A 1M=AN=63．∴ AA 12=A 1M 2+MN 2+NA 2－2A 1M ·NA cos θ，⇒12=23+23+13－2⨯23cos θ，⇒cos θ=12．⇒θ=60︒．10．设p 是给定的奇质数，正整数k 使得k 2－pk 也是一个正整数，则k= ；解：设k 2－pk=n ，则(k －p 2)2－n 2=p 24，⇒(2k －p +2n )(2k －p －2n )=p 2，⇒k=14(p +1)2．11．已知数列a 0，a 1，a 2，…，a n ，…满足关系式(3－a n +1)(6+a n )=18，且a 0=3，则n∑i=01a i 的值是 ；A B POH C MNB 1A1BC D AC 1D 1解：1a n +1=2a n +13，⇒令b n =1a n +13，得b 0=23，b n =2b n －1，⇒b n =23⨯2n ．即1a n =2n +1－13，⇒n∑i=1a i =13(2n +2－n －3)．12．在平面直角坐标系xOy 中，给定两点M (－1，2)和N (1，4)，点P 在x 轴上移动，当∠MPN 取最大值时，点P 的横坐标为 ；解：当∠MPN 最大时，⊙MNP 与x 轴相切于点P (否则⊙MNP 与x 轴交于PQ ，则线段PQ 上的点P '使∠MP 'N 更大)．于是，延长NM交x 轴于K (－3，0)，有KM ·KN=KP 2，⇒KP=4．P (1，0)，(－7，0)，但(1，0)处⊙MNP 的半径小，从而点P 的横坐标=1． 三．解答题(本题满分60分，每小题20分) 13．一项“过关游戏”规则规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数的和大于2n ，则算过关．问：⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关？ ⑵ 他连过前三关的概率是多少？解：⑴ 设他能过n 关，则第n 关掷n 次，至多得6n 点， 由6n >2n ，知，n ≤4．即最多能过4关．⑵ 要求他第一关时掷1次的点数>2，第二关时掷2次的点数和>4，第三关时掷3次的点数和>8．第一关过关的概率=46=23；第二关过关的基本事件有62种，不能过关的基本事件有为不等式x+y ≤4的正整数解的个数，有C 24个 (亦可枚举计数：1+1，1+2，1+3，2+1，2+2，3+1)计6种，过关的概率=1－662=56；第三关的基本事件有63种，不能过关的基本事件为方程x +y +z ≤8的正整数解的总数，可连写8个1，从8个空档中选3个空档的方法为C 38=8⨯7⨯63⨯2⨯1=56种，不能过关的概率=5663=727，能过关的概率=2027；∴连过三关的概率=23⨯56⨯2027=100243．14．在平面直角坐标系xOy 中，给定三点A (0，43)，B (－1，0)，C (1，0)，点P 到直线BC 的距离是该点到直线AB 、AC 距离的等比中项．⑴ 求点P 的轨迹方程；⑵ 若直线L 经过∆ABC 的内心(设为D )，且与P 点轨迹恰好有3个公共点，求L 的斜率k 的取值范围． 解：⑴ 设点P 的坐标为(x ，y )，AB 方程：x －1+3y4=1，⇒4x －3y +4=0， ①BC 方程：y=0， ②AC 方程：4x +3y －4=0， ③ ∴ 25|y |2=|(4x －3y +4)(4x +3y －4)|，⇒25y 2+16x 2－(3y －4)2=0，⇒16x 2+16y 2+24y －16=0， ⇒2x 2+2y 2+3y －2=0．或25y 2－16x 2+(3y －4)2=0，⇒16x 2－34y 2+24y －16=0， ⇒8x 2－17y 2+12y －8=0．∴ 所求轨迹为圆：2x 2+2y 2+3y －2=0， ④或双曲线：8x 2－17y 2+12y －8=0． ⑤ 但应去掉点(－1，0)与(1，0)．⑵ ∆ABC 的内心D (0，12)：经过D 的直线为x=0或y=kx +12． ⑥(a ) 直线x=0与圆④有两个交点，与双曲线⑤没有交点；(b ) k=0时，直线y=12与圆④切于点(0，12)，与双曲线⑤交于(±582，12)，即k=0满足要求．(c ) k=±12时，直线⑥与圆只有1个公共点，与双曲线⑤也至多有1个公共点，故舍去．(c ) k ≠0时，k ≠12时，直线⑥与圆有2个公共点，以⑥代入⑤得：(8－17k 2)x 2－5kx －254=0．当8－17k 2=0或(5k )2－25(8－17k 2)=0，即得k=±23417与k=±22．∴ 所求k 值的取值范围为{0，±23417，±22}．15．已知α，β是方程4x 2－4tx －1=0(t ∈R )的两个不等实根，函数f (x )= 2x －tx 2+1的定义域为[α，β]． ⑴ 求g (t )=max f (x )－min f (x )；⑵ 证明：对于u i ∈(0，π2)(i=1，2，3)，若sin u 1+sin u 2+sin u 3=1，则1g (tan u 1)+1g (tan u 2)+1g (tan u 3)<364．解：⑴ α+β=t ，αβ=－14．故α<0，β>0．当x 1，x 2∈[α，β]时，∴ f '(x )= 2(x 2+1)－2x (2x －t )(x 2+1)2=－2(x 2－xt )+2(x 2+1)2．而当x ∈[α，β]时，x 2－xt <0，于是f '(x )>0，即f (x )在[α，β]上单调增．∴ g (t )= 2β－t β2+1－2α－t α2+1=(2β－t )(α2+1)－(2α－t )(β2+1)(α2+1)(β2+1)=(β－α)[t (α+β)－2αβ+2]α2β2+α2+β2+1=t 2+1(t 2+52)t 2+2516=8t 2+1(2t 2+5)16t2+25 ⑵ g (tan u )= 8sec u (2sec 2u +3)16sec 2u +9=16+24cos 2u 16cos u +9cos 3u ≥16616+9cos 2u ， ∴1g (tan u 1)+1g (tan u 2)+1g (tan u 3)≤1166[16⨯3+9(cos 2u 1+cos 2u 2+cos 2u 3)]= 1166[75－9(sin 2u 1+sin 2u 2+sin 2u 3)]而13(sin 2u 1+sin 2u 2+sin 2u 3)≥(sin u 1+sin u 2+sin u 33)2，即9(sin 2u 1+sin 2u 2+sin 2u 3)≥3． ∴1g (tan u 1)+1g (tan u 2)+1g (tan u 3)≤1166(75－3)= 364．由于等号不能同时成立，故得证．二试题一．(本题满分50分)在锐角三角形ABC 中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交于点K ，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK 的长．解：∵ BC=25，BD=20，BE=7，∴ CE=24，CD=15．∵ AC ·BD=CE ·AB ，⇒ AC=65AB ， ①∵ BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，⇒B 、E 、D 、C 共圆，⇒AC (AC －15)=AB (AB －7)，⇒65AB (65AB －15)=AB (AB －18)，∴ AB=25，AC=30．⇒AE=18，AD=15． ∴ DE=12AC=15．延长AH 交BC 于P ， 则AP ⊥BC ． ∴ AP ·BC=AC ·BD ，⇒AP=24． 连DF ，则DF ⊥AB ，∵ AE=DE ，DF ⊥AB ．⇒AF=12AE=9．∵ D 、E 、F 、G 共圆，⇒∠AFG=∠ADE=∠ABC ，⇒∆AFG ∽∆ABC ， ∴ AK AP =AF AB ，⇒AK=9⨯2425=21625．二．(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY 中，y 轴正半轴上的点列{A n }与曲线y=2x (x ≥0)上的点列{B n }满足|OA n |=|OB n |=1n，直线A n B n 在x 轴上的截距为a n ，点B n 的横坐标为b n ，n ∈N *．⑴ 证明a n >a n +1>4，n ∈N *；⑵ 证明有n 0∈N *，使得对∀n >n 0，都有b 2b 1+b 3b 2+…+b n b n －1+b n +1b n <n －2004．解：⑴ 点A n (0，1n )，B n (b n ，2b n )⇒由|OA n |=|OB n |，⇒b n 2+2b n =(1n )2，⇒b n =1+(1n)2－1(b n >0)． ∴ 0<b n <12n 2．且b n 递减，⇒n 2b n =n (n 2+1－n )= nn 2+1+n=11+(1n)2+1单调增．∴ 0<n b n <12．⇒令t n =1n b n>2且t n 单调减． 由截距式方程知，b n a n +2b n1n=1，(1－2n 2b n =n 2b n 2)∴ a n =b n 1－n 2b n =b n (1+n 2b n )1－2n 2b n =1+n 2b n n 2b n =(1n b n )2+2(1n b n )=t n 2+2t n =(t n +22)2－12≥(2+22)2－12=4． 且由于t n 单调减，知a n 单调减，即a n >a n+1>4成立．亦可由1n 2b n =b n +2．1n b n =b n +2，得 a n =b n +2+2b n +2，．∴ 由b n 递减知a n 递减，且a n >0+2+2⨯2=4．24187252015E FBC DAGHK P⑵ 即证n∑k=1(1－b k +1b k)>2004．1－b k +1b k =b k －b k +1b k=1+(1k )2－1+(1k +1)21+(1k)2－1=k 2((1k )2－(1k +1)2)1+(1k )2+11+(1k)2+1+(1k +1)2≥2k +1(k +1)21+(1k )2+121+(1k)2>2k +1(k +1)2⨯12>1k +2．∴n∑k=1(1－b k +1b k )>n∑k=11k +2>(13+14)+(15+16+17+18)+…+>12+12+12+…．只要n 足够大，就有n∑k=1(1－b k +1b k)>2004成立．三．(本题满分50分)对于整数n ≥4，求出最小的整数f (n )，使得对于任何正整数m ，集合{m ，m +1，…，m+n －1}的任一个f (n )元子集中，均至少有3个两两互素的元素．解：⑴ 当n ≥4时，对集合M (m ，n )={m ，m +1，…，m+n －1}，当m 为奇数时，m ，m +1，m +2互质，当m 为偶数时，m +1，m +2，m +3互质．即M 的子集M 中存在3个两两互质的元素，故f (n )存在且f (n )≤n ． ①取集合T n ={t |2|t 或3|t ，t ≤n +1}，则T 为M (2，n )={2，3，…，n +1}的一个子集，且其中任3个数无不能两两互质．故f (n )≥card (T )+1．但card(T )=[n+12]+[n+13]－[n+16]．故f (n )≥[n+12]+[n+13]－[n+16]+1． ②由①与②得，f (4)=4，f (5)=5．5≤f (6)≤6，6≤f (7)≤7，7≤f (8)≤8，8≤f (9)≤9．现计算f (6)，取M={m ，m +1，…，m +5}，若取其中任意5个数，当这5个数中有3个奇数时，这3个奇数互质；当这3个数中有3个偶数k ，k +2，k +4(k ≡0(mod 2))时，其中至多有1个被5整除，必有1个被3整除，故至少有1个不能被3与5整除，此数与另两个奇数两两互质．故f (6)=5．而M (m ，n +1)=M (m ，n )∪{m +n }，故f (n +1)≤f (n )+1． ③ ∴ f (7)=6，f (8)=7，f (9)=8．∴ 对于4≤n ≤9，f (n )= [n+12]+[n+13]－[n+16]+1成立． ④设对于n ≤k ，④成立，当n=k +1时，由于M (m ，k +1)=M (m ，k －5)∪{m +k －5，m +k －4，…，m +k }．在{m +k －5，m +k －4，…，m +k }中，能被2或3整除的数恰有4个，即使这4个数全部取出，只要在前面的M (m ，k －5)中取出f (n )个数就必有3个两两互质的数．于是当n ≥4时，f (n +6)≤f (n )+4=f (n )+f (6)－1．故f (k +1)≤f (k －5)+f (6)－1=[k+22]+[k+23]－[k+26]+1，比较②，知对于n=k +1，命题成立．∴对于任意n ∈N *，n ≥4，f (n )= [n+12]+[n+13]－[n+16]+1成立．又可分段写出结果：f(n)=4k+1，(n=6k，k∈N*)，4k+2，(n=6k+1，k∈N*)，4k+3，(n=6k+2，k∈N*)，4k+4，(n=6k+3，k∈N*)，4k+4，(n=6k+4，k∈N*)，4k+5，(n=6k+5，k∈N*)．。
2004年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)
NABCDP2004年全国初中数学联合数学竞赛试题第一试一．选择题1．已知abc ≠0，且a ＋b ＋c ＝0, 则代数式 a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab的值是（ ）(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 02．已知p ,q 均为质数，且满足5p 2＋3q ＝59，则以p ＋3,1－p ＋q ,2p ＋q －4为边长的三角形是（ ）(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰三角形3． 一个三角形的边长分别为a ,a ,b ，另一个三角形的边长分别为b ,b ,a ，其中a ＞b ，若两个三角形的最小内角相等，则 a b的值等于（ ）(A)3＋1 2 (B) 5＋1 2 (C) 3＋2 2 (D) 5＋224．过点P (-1,3)作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（ ） (A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条5．已知b 2－4ac 是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的一个实数根，则ab 的取值范围为（ ） (A) ab ≥1 8(B) ab ≤1 8(C) ab ≥1 4(D) ab ≤1 46．如图，在2×3矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（ ）(A) 24 (B) 38 (C) 46 (D) 50二．填空题1．计算1 1＋2＋1 2＋3＋1 3＋4＋……＋12003＋2004＝ .2．如图ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆交于另一点P ，延长AP 交BC 于点N ，则BNNC ＝ .3．实数a ,b 满足a 3＋b 3＋3ab ＝1，则a ＋b ＝ .4．设m 是不能表示为三个合数之和的最大整数，则m ＝ .l G B C H F A E P QMD 第二试一、 已知方程x 2－6x －4n 2－32n ＝0的根都是整数，求整数n 的值。
2004年全国高中数学联合竞赛试题一试及答案
2004年全国高中数学联合竞赛试题第 一 试 时间：10月16日一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、设锐角θ使关于x 的方程24cos cot 0x x θθ++=有重根，则θ的弧度数为（ ） A.6π B.51212orππ C.5612orππ D.12π 2、已知22{(,)|23},{(,)|}M x y x y N x y y mx b =+===+。
若对所有,m R MN ∈≠∅均有，则b 的取值范围是（ ）A. ,22⎡-⎢⎣⎦B. 22⎛-⎝⎭C. (33-D. 33⎡-⎢⎣⎦ 3、3121log 202x +>的解集为（ ） A. [2,3)B. (2,3]C. [2,4)D. (2,4]4、设O 点在ABC ∆内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为（ ） A. 2B.32C. 3D.535、设三位数n abc =，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n 有（ ） A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个6、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆的圆心，AB OB ⊥，垂足为B ，OH PB ⊥，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长是（ ）A.3B.3C.3D.3二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、在平面直角坐标系xoy 中，函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的区间上的图像与函数()g x 的图像所围成的封闭图形的面积是________________。
8、设函数:,(0)1f R R f →=满足，且对任意,,x y R ∈都有(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，则()f x =_____________________。
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2004南昌二中奥数班选拔考试数学（A ）试卷命题人：唐宇力说明:1、试卷满分120分;考试时间：2小时.2、试卷共三大题，计18道题。
考试结束后，将本卷及演算的草稿纸一并上交。
一、选择题（共6小题，每题4分，共24分）1、记()()()()24256121212121x x =+++⋅⋅⋅++，则是………………（ ）A 、一个奇数B 、一个质数C 、一个整数的平方D 、一个整数的立方 2、如果一个凸多边形有且仅有三个内角是钝角，那么这种多边形的边数不可能是…（ ）A 、4B 、5C 、6D 、7 3、如图1，已知⊙O 的半径是R ，C 、D 是直径AB 同侧圆周上的两点，弧AC 的度数为960，弧BD 的度数为360，动点P 在AB 上，则PC+PD 的最小值为…（ ）A 、2R BCD 、R4、已知实数a ，b ，c 满足20,a ab ac ++<则关于x 的方程 ax 2+bx+c=0………………………………………（ ）A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、没有实数根D 、不能确定 5、用六根火柴棒搭成4个正三角形（如图2），现有一 只虫子从点A 出发爬行了5根不同的火柴棒后，到了 C 点，则不同的爬行路径共有………………（ ） A 、4条 B 、5条 C 、6条 D 、7条6、一次函数5154y x =-的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，O 为坐标原点，则在△OAB 内部（包括边 界），纵坐标、横坐标都是整数的点共有…………（ ） A 、90个 B 、92个 C 、104个 D 、106个二、填空题：（共6小题，每题4分，共24分）7、设a ，b 为两个不相等的实数，且满足22551a a b b -=-=，则33ab a b +的值是8、圆周上共有2n （1,n n >是整数）个等分点，以其中三点为顶点的直角三角形的个数为9、如图3，直角梯形ABCD 中，∠BAD=900，AC ⊥BD，3AC BD =，则BC AD=DC A B O P 图1BC DA图210、如图4，已知AG ⊥BD ，AF ⊥CE ，BD ，CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，若BF=2，ED=3，GC=4，则三角形ABC 的周长是11、设x y ，是大于零的实数,且4444222sin cos cos sin 14x y x y x y θθθθ=+=+，（）， 则x yy x+= 12、如果7889q p <<，,p q 是正整数，则p 的最小值是三、解答题（共6题，共72分）13、（本题满分8分）如图5所示，阴影部分是陆地，折线ABCDE 是河岸，今要将河岸拉直，需在线段DE 上找一点M ，将河岸ABCDM 变成线段AM ，并且河面面积保持不变。
请你在图6中画出线段AM （保留作图痕迹），并说明理由。
（本题8分）图3图414、（本题满分12分）已知二次函数222y x mx n =+-（1）若m n ，变化时，它们的图象是不同的抛物线，如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点，过这三个交点作圆，证明这些圆都经过同一定点，并求出这个定点的坐标。
（2）若此二次函数的图象经过点（1，1），且记4m n +，两数中较大者为P ，试求P 的最小值。
15、（本题满分12分）如图7，O 是Rt △ABC 斜边AB 的中点,CH ⊥AB 于H,延长CH 至D,使得CH=DH,F 为CO 上任意一点,过B 作BE ⊥AF 于E,连结DE 交BC 于G. （1）求证：∠CAF=∠CDE ； （2）求证：CF=GF 。
16、（本题满分14分）如果一个数能表示成2222x xy y ++（,x y 是整数），我们称这个数为“好数”。
（1）判断29是否为“好数”？（2）写出1，2，3，…，20中的“好数”。
（3）如果,m n 都是“好数”，求证：mn 是“好数”。
17、（本题满分14分）图7定义下列操作规则：规则A ：相邻两数a 、b ，顺序颠倒为b 、a ，称为一次“变换”。
（如一行数1、2、3、4要变为3、1、2、4，可以这样操作：1→→、2、3、41、3、2、43、1、2、4。
） 规则B ：相邻三数a 、b 、c ，顺序颠倒为c 、b 、a ，称为一次“变换”。
规则C ：相邻四数a 、b 、c 、d ，顺序颠倒为d 、c 、b 、a ，称为一次“变换”。
现按照顺序排列着1、2、3、…、2004、2005，目标是：经过若干次“变换”，将这一行数变为2005、1、2、…、2003、2004。
问：（1）只用规则A 操作，目标能否实现？（2）只用规则B 操作，目标能否实现？ （3）只用规则C 操作，目标能否实现？18（本题满分12分）如图8，⊙O 的弦AC 、BD 交于点Q ，AP 、CP 是⊙O 的切线，O 、Q 、P 三点共线。
求证：2PA PB PD =⋅。
P图82004南昌二中奥数班选拔考试数学（A ）试卷（参考答案及评分标准）一、选择题：（每小题4分，共24分） 1~6.CDBACD二、填空题：（每小题4分，共24分）7、—27， 8、2n （n-1）， 9、1/3 10、30 1112、17 三、解答题（共6题，共72分）13、（本题满分8分）解答：连接BD ，过C 作CF ∥BD 交DE 于F ，则BDCBDFSS≅。
(6分)连接AF ，过B 作BM ∥AF 交DE 于M ，则求。
（8分）14、（本题满分12[解答]：22121212212000,0,0,,1(0,1),,,,01x x n n x x n x x x x n P OA OB OP OC A B C P =-=∴=-<∴=⋅∴⋅=⋅∴0（1又若则与三个交点不符，分在原点左右两侧。
（3分）又，存在点使得，所以四点共圆这些抛物线必过定点P （，）（6分） （2）由过点（1，1）得到：22n m =图624442128214(2)2m n n m n n n n n +-+=-+=--=-+2要比较，大小，即：（）（）（n ）（）22424 24)n n n P n n ⎧≤-≥⎪∴=⎨⎪+-<<⎩（或）（（9分） 如图所示，当2n =-时min 2P ∴=（12分）15、（本题满分12分）[解答]：（1）证明：连结BD ，16、（本题满分14分）解答：222222()x xy y x y y ++=++（1）222229(32)2323222=++=+⨯⨯+⨯，29是“好数”。
（4分）（2）1，2，3，…，20中的“好数”有1，2，4，5，8，9，10，13，16，17，18，20。
（8分）（3）设2222111222(),()m x y y n x y y =++=++，1122,,,x y x y 是整数。
nPo0904BEA ACB A B C E AB D A B C D E CDE ∠=∠=∴⊥∴∴∴∠∠，，，四点共圆且是此圆直径又CH AB ，CH=DH ，在此圆上，，，，，五点共圆。
CAE=（分）2161012CDB CAO BCD ACO AOCDCB AOF DBG ACFDCGACAO FO AO AC CF CF FO CF CGGFBO CD BD BG BD CD CG CG GB FO GB O CF GF ∠=∠∠=∠∴∆∆∆∆∆∆∴===∴=∴=∴∴=（）由（）得，，（分）还可以证明：，，，（分）是AB 中点（分）[][]2222222211221121221222112212112122()()()()()()()()mn x y x y x y y y x y y y x y x y y y x y y y x y =+++++++=+++++-+令2112122112212()(),()()y x y y y x y x x y x y y y y =+-+=+++-，则,x y 是整数，且2222mn x xy y =++，所以mn 是“好数”。
（14分） 17、（本题满分14分） 解答：（1）能，实行如下操作：122003200420051220032005200412200520032004120052320032004→→→→→、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、2005、1、2、、2003、2004（4分）（2）不能，从左到右，把数所占的位置编上号，按照规则B ，若数m 在k 号位置，一次变换后可能是22k k k -+、、号位置，所以操作过程中数m 所占位置的奇偶性不会改变。
而1、2、3、…、2004、2005中1在1号位，目标2005、1、2、…、2003、2004中1是2号位，这不可能。
（8分）（3）能，通过如下操作（记为“*操作”）：a b e d c b e d c b a e a b c d →→→→→→、b 、c 、d 、e d 、c 、b 、a 、e d 、e 、a 、b 、c 、a 、、、、c 、d 、e 、a 、、、、、、、、可以将一个数往前提4个位置，而其他各数的顺序不变。
(12分) 将2001、2002、2003、2004、2005通过“*操作”，可以变为2005、2001、2002、2003、2004，再对1997，1998，1999，2000，2005施行“*操作”，变为2005、1997、1998、1999、2000，如此反复，1、2、3、…、2004、2005可以变为1、2、3、4、2005、5、6、…、2004，最后对1、2、3、4、2005施行“*操作”得到2005、1、2、…、2003、2004。
（14分） 18、（本题满分12分）证明：连接OA 、OB 、OD ，设DP 交⊙O 于E ，设⊙O 的半径为R ，可证2OQ OP R ⋅=（4分）22()()DQ QB R OQ R OQ R OQ OQ QP∴⋅=+⋅-=-=⋅（8分）P D B ∴、、O 、四点共圆，又OD=OB ，DPO BPO ∴∠=∠，PB PE ∴=∴2PA PB PD =⋅。
（12分）P。