等差数列前n项和ppt教案-数学高一必修5第二章数列2.3人教A版
例2.(2014·济南高二检测)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a8+a11=30,则S13的值是()
A.130B.65C.70D.75
解:选A.设等差数列{an}的公差为d,
因为a2+a8+a11=30,所以3a1+18d=30,即a7=10,
所以S13= =13a7=130.
【方法技巧】等差数列前n项和公式的运算方法与技巧
当n取接近于 的正整数，
即n＝84时，Sn达到最大值S84＝2 108.4.
法二∵d＝－0.6<0，a1＝50>0，
由(1)知a84>0，a85<0，
∴S1<S2<…<S84，且S84>S85>S86>….
∴(Sn)max＝S84＝50×84＋ ×(－0.6)＝2 108.4.
规律方法：等差数列前n项和的最值问题
(1)利用an：当a1＞0，d＜0时，前n项和有最大值，可由an≥0，且an＋1≤0，求得n的值；当a1＜0，d＞0时，前n项和有最小值，可由an≤0，且an＋1≥0，求得n的值．
(2)利用Sn：二次函数Sn＝ n2＋ n由配方法求得Sn取最值时n的值．
例6.等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn为前n项和，求 ＋ ＋…＋ .
答：1.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
2.等差数列的通项公式是怎样的？
等差数列的通项公式为 .
3.两数x，y的等差中项是如何定义的？
如果三个数x，A，y成等差数列，那么A叫做x与y的等差中项.即 .
（2）已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是1.725‰，问李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元？(“零存整取”需缴20％的利息税）
解：（1）100元“教育储蓄”存款的月利息是
第1个100元存36个月，得利息0.27×36元
……
第36个100元存1个月，得利息0.27×1元
因此，到期时李先生获得利息0.27×（36+35+…………+1）=179.82元
六．板书设计
等差数列的前n项和
七．当堂检测
1．在等差数列｛an｝中，d＝1，S98＝137，则a2＋a4＋a6＋…＋a98等于( )
A.91 B.92 C.93 D.94
2.等差数列{an}的前n项和为Sn，S30=12S10，S10+S30=130，则S20=( )
A.40 B.50 C.60 D.70
●探究新知
探究：等差数列前n项和
思考1请同学们思考一下如何快速地求出1+2+3+4+ 5+…+99+100=？
解：1就是首项，100就是末项，一共有100项，
1+2+3+…+100 =(1+100)×100/2 =101×100/2 =10100/2 =5050
思考2如图，表示堆放的钢管共8层，自上而下各层的钢管数组成等差数列4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11，求钢管的总数.
故an＝4n－5.
(2)当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1；
当n≥2时，Sn－1＝3n－1－2，
则an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝3n－3n－1
＝3·3n－1－3n－1＝2·3n－1.
此时若n＝1，an＝2·3n－1＝2·31－1＝2≠a1，
故an＝
规律方法：若数列{an}的前n项和为Sn，则Sn与an存在如下关系：
∴当n≥2时，Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2
＝－2n2＋5n－1，
∴an＝Sn－Sn－1
＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)
＝－4n＋3.
又a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3，
∴数列{an}的通项公式是an＝
(2)由(1)知，当n≥2时，
an＋1－an＝[－4(n＋1)＋3]－(－4n＋3)＝－4，
四．教ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方法
自学训练法小组讨论法
五．教学过程
●情景导入
高斯，让我们一起认识一下：C.F. Gauss是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家.他有数学王子的美誉，被誉为历史上最伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名.下面让我们一起学习一下著名的“高斯算法”.
●复习回顾
1.等差数列的概念是什么？
但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4，
∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列．
例5.数列{an}是等差数列，a1＝50，d＝－0.6.
(1)从第几项开始有an<0；
(2)求此数列的前n项和的最大值．
【思路探究】(1)怎样求an？an<0的含义是什么？不等式的解集的含义是什么？
(2)能否用二次函数的方法处理前n项和的最值问题？由an的变化可以推测吗？
解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数组成等差数列，记为 .
因为
所以
答：V形架上共放着7260支铅笔.
例4.已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求{an}的通项公式．
(1)Sn＝2n2－3n；
(2)Sn＝3n－2.
【思路探究】(1)已知Sn如何求通项公式an?
∵ ＝ ，
∴Tn＝
＝ ＝ .
2．常用到的裂项公式有如下形式：
(1) ＝ ；
(2) ＝ ( － )．
●课堂小结
1.等差数列前n项和公式的推导过程----倒序相加法；
2.等差数列前n项和公式的两种形式：
3.若数列{an}的前n项和为Sn，则Sn与an存在如下关系：
an＝
4.等差数列前n项和的最值问题
5.裂项相消法求数列的和
解： ,
，
，
.
即 .
这就是说，等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.
由于an=a1+(n-1)d,则 .
●典例精讲
例1.等差数列 的公差为2，第20项 ，求前20项的和 .
解：因为
解得 所以 .
思考:在求等差数列前n项和时如何选用公式？
提示：在求等差数列前n项和时，若已知a1,an和项数n，则使用公式 若已知首项a1,公差d及项数n，可利用公式
第二章数列
2．3等差数列前n项和
一．学习目标
1．知识与技能
(1)了解等差数列前n项和公式的推导过程，掌握等差数列五个量a1，n，d，an，sn之间的关系.
(2)掌握等差数列前n项和公式、性质及其应用.(重点）
(3)能熟练应用公式解决实际问题，并能体会方程思想.（难点）
2．过程与方法
经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，培养观察、归纳、反思和逻辑推理的能力．
本息和为3600+179.82=3779.82元
答：李先生一次可支取本息共3779.82元.
(2)100元“零存整取”的月利息是
存三年的利息是
故李先生多收益
答：李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益87.912元.
变式练习：
一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支.这个V形架上共放着多少支铅笔？
【自主解答】(1)∵a1＝50，d＝－0.6，
∴an＝50－0.6(n－1)＝－0.6n＋50.6.
令－0.6n＋50.6≤0，则n≥ ≈84.3.
由于n∈N*，故当n≥85时，an<0，
即从第85项起以后各项均小于0.
(2)法一Sn＝50n＋ ×(－0.6)
＝－0.3n2＋50.3n＝－0.3 2＋ .
3．情感、态度与价值观
通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功．
二．重点难点
重点：等差数列前n项和公式、性质及其应用
难点：用等差数列前n项和公式解决实际问题，并能体会方程思想.
三．专家建议
通过学习前n项和公式的推导，明确倒序相加的求解策略，给学生渗透公式求和以及倒序相加法求和的数学方法。
【思路探究】(1)由a1，d能否求出Sn？ 为多少？(2) 能否为裂项成为正负相消的项？
【自主解答】∵等差数列{an}的首项a1＝3，公差d＝2，
∴前n项和Sn＝na1＋ d＝3n＋ ×2＝n2＋2n(n∈N*)，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴ ＋ ＋…＋ ＝
＝ ＝ － .
规律方法：
1．若数列{an}是等差数列，公差为d(d≠0)，则和式Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ 可用裂项法求和，具体过程如下：
【解析】由S8-S3=a4+a5+a6+a7+a8=5a6=20,解得a6=4,又S11= 答案：44
例3.李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”.从8月1号开始，每个月的1号都存入100元，存期三年：
（1）已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰,问到期时，李先生一次可支取本息共多少元？
（“教育储蓄”不需缴利息税）
an＝
一定要注意分n＝1和n≥2两种情况讨论，当n＝1时，也适合an＝Sn－Sn－1，最后的结论可以合二为一，若不适合，必须写成分段函数an＝ 的形式．
变式训练：
已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋n＋2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)判断{an}是否为等差数列？
【解】(1)∵Sn＝－2n2＋n＋2，
类型
“知三求二型”
A.130B.65C.70D.75
解:选A.设等差数列{an}的公差为d,
因为a2+a8+a11=30,所以3a1+18d=30,即a7=10,
所以S13= =13a7=130.
【方法技巧】等差数列前n项和公式的运算方法与技巧
当n取接近于 的正整数，
即n＝84时，Sn达到最大值S84＝2 108.4.
法二∵d＝－0.6<0，a1＝50>0，
由(1)知a84>0，a85<0，
∴S1<S2<…<S84，且S84>S85>S86>….
∴(Sn)max＝S84＝50×84＋ ×(－0.6)＝2 108.4.
规律方法：等差数列前n项和的最值问题
(1)利用an：当a1＞0，d＜0时，前n项和有最大值，可由an≥0，且an＋1≤0，求得n的值；当a1＜0，d＞0时，前n项和有最小值，可由an≤0，且an＋1≥0，求得n的值．
(2)利用Sn：二次函数Sn＝ n2＋ n由配方法求得Sn取最值时n的值．
例6.等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn为前n项和，求 ＋ ＋…＋ .
答：1.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
2.等差数列的通项公式是怎样的？
等差数列的通项公式为 .
3.两数x，y的等差中项是如何定义的？
如果三个数x，A，y成等差数列，那么A叫做x与y的等差中项.即 .
（2）已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是1.725‰，问李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元？(“零存整取”需缴20％的利息税）
解：（1）100元“教育储蓄”存款的月利息是
第1个100元存36个月，得利息0.27×36元
……
第36个100元存1个月，得利息0.27×1元
因此，到期时李先生获得利息0.27×（36+35+…………+1）=179.82元
六．板书设计
等差数列的前n项和
七．当堂检测
1．在等差数列｛an｝中，d＝1，S98＝137，则a2＋a4＋a6＋…＋a98等于( )
A.91 B.92 C.93 D.94
2.等差数列{an}的前n项和为Sn，S30=12S10，S10+S30=130，则S20=( )
A.40 B.50 C.60 D.70
●探究新知
探究：等差数列前n项和
思考1请同学们思考一下如何快速地求出1+2+3+4+ 5+…+99+100=？
解：1就是首项，100就是末项，一共有100项，
1+2+3+…+100 =(1+100)×100/2 =101×100/2 =10100/2 =5050
思考2如图，表示堆放的钢管共8层，自上而下各层的钢管数组成等差数列4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11，求钢管的总数.
故an＝4n－5.
(2)当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1；
当n≥2时，Sn－1＝3n－1－2，
则an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝3n－3n－1
＝3·3n－1－3n－1＝2·3n－1.
此时若n＝1，an＝2·3n－1＝2·31－1＝2≠a1，
故an＝
规律方法：若数列{an}的前n项和为Sn，则Sn与an存在如下关系：
∴当n≥2时，Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2
＝－2n2＋5n－1，
∴an＝Sn－Sn－1
＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)
＝－4n＋3.
又a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3，
∴数列{an}的通项公式是an＝
(2)由(1)知，当n≥2时，
an＋1－an＝[－4(n＋1)＋3]－(－4n＋3)＝－4，
四．教ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方法
自学训练法小组讨论法
五．教学过程
●情景导入
高斯，让我们一起认识一下：C.F. Gauss是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家.他有数学王子的美誉，被誉为历史上最伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名.下面让我们一起学习一下著名的“高斯算法”.
●复习回顾
1.等差数列的概念是什么？
但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4，
∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列．
例5.数列{an}是等差数列，a1＝50，d＝－0.6.
(1)从第几项开始有an<0；
(2)求此数列的前n项和的最大值．
【思路探究】(1)怎样求an？an<0的含义是什么？不等式的解集的含义是什么？
(2)能否用二次函数的方法处理前n项和的最值问题？由an的变化可以推测吗？
解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数组成等差数列，记为 .
因为
所以
答：V形架上共放着7260支铅笔.
例4.已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求{an}的通项公式．
(1)Sn＝2n2－3n；
(2)Sn＝3n－2.
【思路探究】(1)已知Sn如何求通项公式an?
∵ ＝ ，
∴Tn＝
＝ ＝ .
2．常用到的裂项公式有如下形式：
(1) ＝ ；
(2) ＝ ( － )．
●课堂小结
1.等差数列前n项和公式的推导过程----倒序相加法；
2.等差数列前n项和公式的两种形式：
3.若数列{an}的前n项和为Sn，则Sn与an存在如下关系：
an＝
4.等差数列前n项和的最值问题
5.裂项相消法求数列的和
解： ,
，
，
.
即 .
这就是说，等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.
由于an=a1+(n-1)d,则 .
●典例精讲
例1.等差数列 的公差为2，第20项 ，求前20项的和 .
解：因为
解得 所以 .
思考:在求等差数列前n项和时如何选用公式？
提示：在求等差数列前n项和时，若已知a1,an和项数n，则使用公式 若已知首项a1,公差d及项数n，可利用公式
第二章数列
2．3等差数列前n项和
一．学习目标
1．知识与技能
(1)了解等差数列前n项和公式的推导过程，掌握等差数列五个量a1，n，d，an，sn之间的关系.
(2)掌握等差数列前n项和公式、性质及其应用.(重点）
(3)能熟练应用公式解决实际问题，并能体会方程思想.（难点）
2．过程与方法
经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，培养观察、归纳、反思和逻辑推理的能力．
本息和为3600+179.82=3779.82元
答：李先生一次可支取本息共3779.82元.
(2)100元“零存整取”的月利息是
存三年的利息是
故李先生多收益
答：李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益87.912元.
变式练习：
一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支.这个V形架上共放着多少支铅笔？
【自主解答】(1)∵a1＝50，d＝－0.6，
∴an＝50－0.6(n－1)＝－0.6n＋50.6.
令－0.6n＋50.6≤0，则n≥ ≈84.3.
由于n∈N*，故当n≥85时，an<0，
即从第85项起以后各项均小于0.
(2)法一Sn＝50n＋ ×(－0.6)
＝－0.3n2＋50.3n＝－0.3 2＋ .
3．情感、态度与价值观
通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功．
二．重点难点
重点：等差数列前n项和公式、性质及其应用
难点：用等差数列前n项和公式解决实际问题，并能体会方程思想.
三．专家建议
通过学习前n项和公式的推导，明确倒序相加的求解策略，给学生渗透公式求和以及倒序相加法求和的数学方法。
【思路探究】(1)由a1，d能否求出Sn？ 为多少？(2) 能否为裂项成为正负相消的项？
【自主解答】∵等差数列{an}的首项a1＝3，公差d＝2，
∴前n项和Sn＝na1＋ d＝3n＋ ×2＝n2＋2n(n∈N*)，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴ ＋ ＋…＋ ＝
＝ ＝ － .
规律方法：
1．若数列{an}是等差数列，公差为d(d≠0)，则和式Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ 可用裂项法求和，具体过程如下：
【解析】由S8-S3=a4+a5+a6+a7+a8=5a6=20,解得a6=4,又S11= 答案：44
例3.李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”.从8月1号开始，每个月的1号都存入100元，存期三年：
（1）已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰,问到期时，李先生一次可支取本息共多少元？
（“教育储蓄”不需缴利息税）
an＝
一定要注意分n＝1和n≥2两种情况讨论，当n＝1时，也适合an＝Sn－Sn－1，最后的结论可以合二为一，若不适合，必须写成分段函数an＝ 的形式．
变式训练：
已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋n＋2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)判断{an}是否为等差数列？
【解】(1)∵Sn＝－2n2＋n＋2，
类型
“知三求二型”
合集下载
人教版高中数学必修5(A版) 等差数列的前n项和 PPT课件
10 9 S10 10 500 50 7250 (万元 ) 2
答：从2001到2010年，该市在“校校通”工程中的总投入 是7250元。
等差数列的前 n 项和公式：
n（a1 an ) Sn 2 n（n 1) S n na1 d 2
问题：1.两个公式中共有几个量？
若一个数列的前 n项和为Sn pn2 qn, 其中p, q为常数， 且p 0, 那么这个数列一定是等 差数列吗？
若一个数列的前 n项和为Sn pn2 qn r (r 0), 其中p, q 为常数，且 p 0, 那么这个数列一定是等 差数列吗？
小结：
1.知识点小结：1）等差数列的前
例1：2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校
校通”工程的通知》，某市计划从2001年起用10年的时间，在 全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于 “校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施， 计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001年起 的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？ 解：由题可知，从2001年起各年投入的资金构成等差数列， 设为{an }，则 a1 500, d 50 则到2010年，投入的资金总额为
16
等差数列的前 n 项和公式：
n（n 1) S n na1 d 2
d 2 d n (a1 )n 2 2
当
d 0 时， Sn 是 n的二
次函数形式，且常数项为 0
例2：已知一个等差数列{an }前10项的和是310，前20项的和是
解：由题意知 代入公式 得
1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
高中数学课件：第二章 2.3 等差数列的前n项和 第一课时 等差数列的前n项和
99 an＝ 9×10n
n＝1 n≥2.
返回
在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
[解] 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，
1010－1 d＝100， 10a1＋ 2 公差为 d，则 100a ＋100100－1d＝10. 1 2
2
返回
返回
点击此图片进入 NO.1 课堂强化
返回
点击此图片进入 NO.2 课下检测
返回
1 022，求公差d；
(2)已知等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.
返回
nn－1 解：(1)因为 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋ 2 d， 又 a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022， 1＋n－1d＝－512， 所以 1 n＋2nn－1d＝－1 022. ① ②
返回
返回
[研一题] [例1] 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝
35，求a1和n.
返回
[自主解答]
an＝a1＋n－1d， 由 nn－1 Sn＝na1＋ 2 d，
பைடு நூலகம்
a1＋2n－1＝11， 得 nn－1 na1＋ 2 ×2＝35，
n＝5， 解方程组得 a1＝3， n＝7， 或 a1＝－1.
2 . 3
课前预习·巧设计
第 二 章 数 列
等 差 数 列 的 前
第一 课时 等差 数列 的前 n项 和
名 师 课 堂 · 一 点 通
创 新 演 练 · 大 冲 关
考点一 考点二 考点三
n
项 和
N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测
返回
返回
n＝1 n≥2.
返回
在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
[解] 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，
1010－1 d＝100， 10a1＋ 2 公差为 d，则 100a ＋100100－1d＝10. 1 2
2
返回
返回
点击此图片进入 NO.1 课堂强化
返回
点击此图片进入 NO.2 课下检测
返回
1 022，求公差d；
(2)已知等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.
返回
nn－1 解：(1)因为 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋ 2 d， 又 a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022， 1＋n－1d＝－512， 所以 1 n＋2nn－1d＝－1 022. ① ②
返回
返回
[研一题] [例1] 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝
35，求a1和n.
返回
[自主解答]
an＝a1＋n－1d， 由 nn－1 Sn＝na1＋ 2 d，
பைடு நூலகம்
a1＋2n－1＝11， 得 nn－1 na1＋ 2 ×2＝35，
n＝5， 解方程组得 a1＝3， n＝7， 或 a1＝－1.
2 . 3
课前预习·巧设计
第 二 章 数 列
等 差 数 列 的 前
第一 课时 等差 数列 的前 n项 和
名 师 课 堂 · 一 点 通
创 新 演 练 · 大 冲 关
考点一 考点二 考点三
n
项 和
N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测
返回
返回
人教版高中数学第二章 数列3 等差数列的前n项和(共20张PPT)教育课件
等差数列前n项和
教学目标
知识与技能目标： 掌握等差数列前n项和公式，能较熟练运用等差前n项 和公式求和。 过程与方法目标： 经历公式的推导过程，体会数形结合的思想，体验从特 殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。 情感、态度与价值观目标： 获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提 高代数推理的能力。
公式1
Sn
n(a1an) 2
ana1(n1)d
公 式 2 Snna1n(n21)d
认识公式
前者反映了等差数列的任意的第k项与倒数第 k项的和等于首项与末项的和这个性质：后者 反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差 之间的关系，而且是关于n的“二次函数”） 变用公式
应用公式
利用下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和 Sn
、p、q N ）则 amanapaq
问题呈现
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世 纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃 所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而 成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界 七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案 之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同 大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见 左图），奢靡之程度，可见一斑。
根据下列各题中的条件，求相应的等差数列
a
n
的前n项和 S n
（1）a 1 4 ,a 8 1,n 8 8
（2）a11.5 4 ,d0.7,an32
五、课堂小结
•从特殊到一般的研究方法； •知道等差数列的基本量表示方法，倒序相加的求和 方法，以及数形结合的数学思想； •熟记等差数列的两个求和公式并能简单应用。
:
那
你
的
第
一
口
罗
没
教学目标
知识与技能目标： 掌握等差数列前n项和公式，能较熟练运用等差前n项 和公式求和。 过程与方法目标： 经历公式的推导过程，体会数形结合的思想，体验从特 殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。 情感、态度与价值观目标： 获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提 高代数推理的能力。
公式1
Sn
n(a1an) 2
ana1(n1)d
公 式 2 Snna1n(n21)d
认识公式
前者反映了等差数列的任意的第k项与倒数第 k项的和等于首项与末项的和这个性质：后者 反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差 之间的关系，而且是关于n的“二次函数”） 变用公式
应用公式
利用下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和 Sn
、p、q N ）则 amanapaq
问题呈现
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世 纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃 所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而 成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界 七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案 之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同 大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见 左图），奢靡之程度，可见一斑。
根据下列各题中的条件，求相应的等差数列
a
n
的前n项和 S n
（1）a 1 4 ,a 8 1,n 8 8
（2）a11.5 4 ,d0.7,an32
五、课堂小结
•从特殊到一般的研究方法； •知道等差数列的基本量表示方法，倒序相加的求和 方法，以及数形结合的数学思想； •熟记等差数列的两个求和公式并能简单应用。
:
那
你
的
第
一
口
罗
没
高中数学人教A版必修5《等差数列》PPT课件
本节课主要学习：
一个定义： an-an-1=d（d是常数，n≥2， n∈N*） 一个公式：an=a1+（n-1）d 一种思想：方程思想 一个概念： A=a+b/2
方法二
由递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
可得:
a2-a1=d
a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
列。 这也是判断，证明一个数列是等差数列的一种方 法。 等差中项法
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
5.证明数列为等差数列的方法： (1)定义法： an an1 d (n 2) (2)等差中项法：2an an1 an1(n 2)
解法一
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
证明： 1 , 1 , 1 成等差数列 abc
2 11 b ac
bcba bcabac2
ac
a
c
(a b c)(1 1) 2 ac
(a b c) 2 2 b
2(a c) 2b 2 bb
4
4 an1
(n
1)记bn
1 an 2
（1）求证：数列bn 是等差数列；
（2）求数列an 的通项公式
构造法
解：（2）由（1）知，b n
1 2
(n 1)
1 2
n 2
bn
1 an 2
an
1 bn
2
2 n
2
求数列通项公式的方法：
（1）公式法；
（2）累加法；an1 an f (n)
（3）累乘法；an1 f (n)
一个定义： an-an-1=d（d是常数，n≥2， n∈N*） 一个公式：an=a1+（n-1）d 一种思想：方程思想 一个概念： A=a+b/2
方法二
由递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
可得:
a2-a1=d
a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
列。 这也是判断，证明一个数列是等差数列的一种方 法。 等差中项法
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
5.证明数列为等差数列的方法： (1)定义法： an an1 d (n 2) (2)等差中项法：2an an1 an1(n 2)
解法一
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
证明： 1 , 1 , 1 成等差数列 abc
2 11 b ac
bcba bcabac2
ac
a
c
(a b c)(1 1) 2 ac
(a b c) 2 2 b
2(a c) 2b 2 bb
4
4 an1
(n
1)记bn
1 an 2
（1）求证：数列bn 是等差数列；
（2）求数列an 的通项公式
构造法
解：（2）由（1）知，b n
1 2
(n 1)
1 2
n 2
bn
1 an 2
an
1 bn
2
2 n
2
求数列通项公式的方法：
（1）公式法；
（2）累加法；an1 an f (n)
（3）累乘法；an1 f (n)
第二章 2.3 第1课时 等差数列的前n项和(优秀经典公开课比赛课件)
人教A版数学·必修5
返回导航 上页 下页
2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和
人教A版数学·必修5
返回导航 上页 下页
内容标准
1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路． 2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an， Sn的关系，能够由其中三个求另外两个． 3.能用an与Sn的关系求an.
学科素养
发展逻辑推理 提升数学运算 应用数学建模
人教A版数学·必修5
返回导航 上页 下页
01 课前 自主预习 02 课堂 合作探究 03 课后 讨论探究 04 课时 跟踪训练
人教A版数学·必修5
返回导航 上页 下页
[基础认识] 知识点一 等差数列前 n 项和公式 阅读教材P42－43，思考并完成以下问题 (1)高斯求和的故事我们一定耳熟能详，高斯是怎样求出 1＋2＋3＋…＋100 的结果的 呢？
人教A版数学·必修5
返回导航 上页 下页
法二：设等差数列{an}的公差为 d， ∵3S3＝S2＋S4，∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4， ∴S3＝a4－a3，∴3a1＋3×2 2d＝d， ∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选 B.
[答案] B
人教A版数学·必修5
人教A版数学·必修5
返回导航 上页 下页
提示：高斯用 1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50 迅速求 出了等差数列前 100 项的和． 高斯的算法妙在“等和性” 1＋2＋3＋4＋…＋98＋99＋100 与 100＋99＋98＋…＋3＋2＋1 相等，对应项相加也相 等．
人教A版数学·必修5
返回导航 上页 下页
[例 1] (1)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 3S3＝S2＋S4，a1＝2，则 a5＝( )
返回导航 上页 下页
2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和
人教A版数学·必修5
返回导航 上页 下页
内容标准
1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路． 2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an， Sn的关系，能够由其中三个求另外两个． 3.能用an与Sn的关系求an.
学科素养
发展逻辑推理 提升数学运算 应用数学建模
人教A版数学·必修5
返回导航 上页 下页
01 课前 自主预习 02 课堂 合作探究 03 课后 讨论探究 04 课时 跟踪训练
人教A版数学·必修5
返回导航 上页 下页
[基础认识] 知识点一 等差数列前 n 项和公式 阅读教材P42－43，思考并完成以下问题 (1)高斯求和的故事我们一定耳熟能详，高斯是怎样求出 1＋2＋3＋…＋100 的结果的 呢？
人教A版数学·必修5
返回导航 上页 下页
法二：设等差数列{an}的公差为 d， ∵3S3＝S2＋S4，∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4， ∴S3＝a4－a3，∴3a1＋3×2 2d＝d， ∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选 B.
[答案] B
人教A版数学·必修5
人教A版数学·必修5
返回导航 上页 下页
提示：高斯用 1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50 迅速求 出了等差数列前 100 项的和． 高斯的算法妙在“等和性” 1＋2＋3＋4＋…＋98＋99＋100 与 100＋99＋98＋…＋3＋2＋1 相等，对应项相加也相 等．
人教A版数学·必修5
返回导航 上页 下页
[例 1] (1)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 3S3＝S2＋S4，a1＝2，则 a5＝( )
2.3等差数列前n项和(公开课)优质课件
?
1 2 3 99 100 100 99 3 2 1
1 100100 5050
2
100 99
1
03
试一试
新
知
探
究
1 2 3 ( n 1) n
n n-1
1
凯里实验高级中学
Kailishiyangaojizhongxue
Kailishiyangaojizhongxue
新
知
探
究
等差求和的数学史
我国数列求和的概念起源很早，到南北朝时，张丘建始创等 差数列求和解法。他在《张丘建算经》中给出等差数列求和 问题： 例如：今有女子不善织布，每天所织的布以同数递减，初日 织五尺，末一日织一尺，共织三十日，问共织几何？
原书的解法是：并初、末日织布数，半之再乘以织日数，即得.
凯里实验高级中学
Kailishiyangaojizhongxue
例
题
讲
解
例2
等差数列｛an｝中，d=4,n=5, Sn =45,求a1的值。
解: 由 S n na 1
n( n 1)d 得： 2
5(5 1) 45 5a1 4 2
解得
a1 1
凯里实验高级中学
Kailishiyangaojizhongxue
想一想
新
知
探
究
如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层 都比它下面一层多放1支，最上面一层放100支. 这个V形架上共放 了多少支铅笔？ 100 99
1
凯里实验高级中学
Kailishiyangaojizhongxue
?
推荐-高二数学人教A版必修5课件2.3.2 等差数列前n项和的性质与应用
=nd;若项数为2n-1(n∈N*),则S2n-1=(2n-1)an(an为中间项),且S奇-S偶
=an,S偶∶S奇=(n-1)∶n.
(3)设{an},{bn}均为等差数列,An 为数列{an}的前 n 项和,Bn 为数列{bn}
的前 n 项和,则������������������������ = ������������22������������--11.
S6=
.
解析:(1)设公差为d,由题意得S偶-S奇=30-15=5d,故d=3.
(2)∵S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,
∴4+(S6-9)=2×5,∴S6=15.
答案:(1)C (2)15
首页
X新知导 I学NZHI DAOXUE
D答疑解惑 A YI JIE HUO
D当堂检测 ANGTANG JIANCE
3
即当 n≤34 时,an>0;
当 n≥35 时,an<0.
首页
X新知导 I学NZHI DAOXUE
D答疑解惑 A YI JIE HUO
D当堂检测 ANGTANG JIANCE
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(1)当 n≤34 时,
Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-32n2+2025n. (2)当 n≥35 时,
分析解答本题可用多种方法,根据S17=S9找出a1与d的关系,转化 为Sn的二次函数求最值,也可以用通项公式找到通项的变号点,再 求解.
首页
X新知导 I学NZHI DAOXUE
D答疑解惑 A YI JIE HUO
D当堂检测 ANGTANG JIANCE
人教版高中数学必修五《数列》2.3等差数列的前n项和(2)
性质1 等差数列的前n 项和的性质 性质2
P46 习题2.3 A组 绿色通道
2012年3月28日星期三
ex2、5、6
§2.3 等差数列 的 前n项和
第二课时
2012年3月28日星期三
1、等差数列的前n项和公式一
2、等差数列的前n项和公式二
2012年3月28日星期三
探究:
结论：
这个结论颠倒过来成立么？ 另外这个结论是不是总是成立的呢？
2012年3月28日星期三
探究:
思考：
2012年3月28日星期三
结论:
2012年3月28日星期三
探究:
结论:
简记为：在等差数列中，依次等段之和仍成等差数列。
2012年3月28日星期三
小结: 方法一：利用了二次函数的性质来判断；方法二：根 据等差数列的单调性及项的正负来判断；方法三：利用求 数列最大项的一般方法。
2012年3月28日星期三
小结:
2012年3月28日星期三
2012年3月28日星期三
2015年新课标A版高中数学必修五课件：2-3-等差数列的前n项和1
第十页，编辑于星期五：十点 三十八分。
(2)若项数为2n，则 S偶－S奇＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n－a1－a3－a5－…－a2n－1＝d＋ d＋…＋d＝nd， SS奇 偶＝n2n2aa1＋2＋aa2n2－n1＝22aan＋n 1＝aan＋n 1.
第十一页，编辑于星期五：十点 三十八分。
(3)若项数为2n－1，则
第二十五页，编辑于星期五：十点 三十八分。
解得AB＝ ＝－ 15473. ， ∴S28＝－73S12＋154S20＝1092.
第二十六页，编辑于星期五：十点 三十八分。
解法4：∵{an}为等差数列， ∴Sn＝na1＋nn－2 1d. ∴Snn＝a1－d2＋d2n. ∴{Snn}是等差数列． ∵12,20,28成等差数列， ∴S1122，S2200，S2288成等差数列． ∴2×S2200＝S1122＋S2288，解得S28＝1092.
规律技巧 应用基本量法求出a1和d是解决此类问题的基本 方法，应熟练掌握.根据等差数列的性质探寻其他解法，可以开 阔思路，有时可以简化计算.
第二十九页，编辑于星期五：十点 三十八分。
三 求数列{|an|}的前n项 【例3】 在等差数列{an}中，已知a1＝－60，a11＝－30，
求数列{|an|}的前n项和． 【分析】 本题实际上是求数列{an}各项绝对值的和．由
第二十四页，编辑于星期五：十点 三十八分。
解法3：设S28＝AS12＋BS20，其中A，B∈R. ∵28a1＋28×2 27d＝A(12a1＋12×2 11d)＋ B·20a1＋20×2 19d， ∴28a1＋14×27d＝(12A＋20B)a1＋(66A＋190B)d. 比较两边对应项的系数，得1626AA＋＋2109B0B＝＝283，78，
(2)若项数为2n，则 S偶－S奇＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n－a1－a3－a5－…－a2n－1＝d＋ d＋…＋d＝nd， SS奇 偶＝n2n2aa1＋2＋aa2n2－n1＝22aan＋n 1＝aan＋n 1.
第十一页，编辑于星期五：十点 三十八分。
(3)若项数为2n－1，则
第二十五页，编辑于星期五：十点 三十八分。
解得AB＝ ＝－ 15473. ， ∴S28＝－73S12＋154S20＝1092.
第二十六页，编辑于星期五：十点 三十八分。
解法4：∵{an}为等差数列， ∴Sn＝na1＋nn－2 1d. ∴Snn＝a1－d2＋d2n. ∴{Snn}是等差数列． ∵12,20,28成等差数列， ∴S1122，S2200，S2288成等差数列． ∴2×S2200＝S1122＋S2288，解得S28＝1092.
规律技巧 应用基本量法求出a1和d是解决此类问题的基本 方法，应熟练掌握.根据等差数列的性质探寻其他解法，可以开 阔思路，有时可以简化计算.
第二十九页，编辑于星期五：十点 三十八分。
三 求数列{|an|}的前n项 【例3】 在等差数列{an}中，已知a1＝－60，a11＝－30，
求数列{|an|}的前n项和． 【分析】 本题实际上是求数列{an}各项绝对值的和．由
第二十四页，编辑于星期五：十点 三十八分。
解法3：设S28＝AS12＋BS20，其中A，B∈R. ∵28a1＋28×2 27d＝A(12a1＋12×2 11d)＋ B·20a1＋20×2 19d， ∴28a1＋14×27d＝(12A＋20B)a1＋(66A＋190B)d. 比较两边对应项的系数，得1626AA＋＋2109B0B＝＝283，78，
高中数学人教A版必修5课件 2-3 等差数列的前n项和 第10课时《等差数列前n项和的性质与应用》
②如果顶点横坐标－2qp不是正整数，Sn 在最接近顶点横坐标的正 整数处取得最大值(p<0)或最小值(p>0)．
【练习 2】 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求 Sn 的最大值．
解：解法一：利用前 n 项和公式和二次函数的性质． 由 S17＝S9，得 25×17＋127×(17－1)d＝25×9＋92×(9－1)d， 解得 d＝－2. ∴Sn＝25n＋n2(n－1)(－2)＝－(n－13)2＋169. ∴由二次函数的性质，得当 n＝13 时，Sn 有最大值 169.
法三：因为等差数列前 n 项和 Sn＝an2＋bn＝a·nn＋ba，根据已知， 可令 An＝(7n＋2)kn，Bn＝(n＋3)kn.
∴a5＝A5－A4 ＝(7×5＋2)k×5－(7×4＋2)k×4＝65k，
b5＝B5－B4＝(5＋3)k×5－(4＋3)k×4＝12k.
∴ab55＝6152kk＝6152. 法四：由AB22nn－－11＝abnn，有ba55＝AB99＝7×9＋9＋3 2＝6152.
解法二：由解法一，得 d＝－2. ∵a1＝25>0，
由aann＝＋1＝252－5－2n2－n≤10≥，0， 得nn≤≥11321212
.
∴当 n＝13 时，Sn 有最大值，最大值为 S13＝13×25＋13×2 12×(－
2)＝169.
解法三：由 S17＝S9，得 a10＋a11＋…＋a17＝0， 而 a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14， 故 a13＋a14＝0. 由解法一，得 d＝－2<0，a1>0， ∴a13>0，a14<0. 故 n＝13 时，Sn 有最大值，最大值为 S13＝13×25＋13×2 12×(－
【练习 2】 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求 Sn 的最大值．
解：解法一：利用前 n 项和公式和二次函数的性质． 由 S17＝S9，得 25×17＋127×(17－1)d＝25×9＋92×(9－1)d， 解得 d＝－2. ∴Sn＝25n＋n2(n－1)(－2)＝－(n－13)2＋169. ∴由二次函数的性质，得当 n＝13 时，Sn 有最大值 169.
法三：因为等差数列前 n 项和 Sn＝an2＋bn＝a·nn＋ba，根据已知， 可令 An＝(7n＋2)kn，Bn＝(n＋3)kn.
∴a5＝A5－A4 ＝(7×5＋2)k×5－(7×4＋2)k×4＝65k，
b5＝B5－B4＝(5＋3)k×5－(4＋3)k×4＝12k.
∴ab55＝6152kk＝6152. 法四：由AB22nn－－11＝abnn，有ba55＝AB99＝7×9＋9＋3 2＝6152.
解法二：由解法一，得 d＝－2. ∵a1＝25>0，
由aann＝＋1＝252－5－2n2－n≤10≥，0， 得nn≤≥11321212
.
∴当 n＝13 时，Sn 有最大值，最大值为 S13＝13×25＋13×2 12×(－
2)＝169.
解法三：由 S17＝S9，得 a10＋a11＋…＋a17＝0， 而 a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14， 故 a13＋a14＝0. 由解法一，得 d＝－2<0，a1>0， ∴a13>0，a14<0. 故 n＝13 时，Sn 有最大值，最大值为 S13＝13×25＋13×2 12×(－