沪科版八年级上册课件：13.2命题与证明2
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下面，通过证明“内错角相等，两直线平 行”等几个例题来说明证明的具体步骤.
例
已知：如图，直线c与直线a、b相交，且∠1=∠2.
求证：a∥b
c
3 1 2
证明 ∵
又
a b
∠1=∠2，（已知）
∵ ∠1=∠3，（对顶角相等）
∴ ∠2=∠3，（等量代换）
∴a∥b.（同位角相等，两直线平行）
教材84页 习题1,2,3
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课后思考题
对于同一平面内三条直线a, b, c,给出下列五个 选项： 1. a ∥ b 3. a ⊥ b 5. a ⊥ c 2. b ∥ c 4. a ∥ c
以其中两个为条件，一个为结论，组成一个你认
为正确的命题 。
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（1）北京是中华人民共和国的首都； （2）如果∠1与∠2是对顶角，那么∠1=∠2；
（3）1+1<2；
（4）如果一个整数的各位上的数字之和是3的倍 数，那么这个数能被3整除
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对某一件事件作出正确或不正确判断的语 句（或式子）叫做命题.正确的命题称之为真命 题；错误的命题称之为假命题
其中一个叫做原命题，
则另一个就叫做原命题的逆命题。
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符合命题条件，但不满足命题结论的例子，
我们称之为反例.要说明一个命题是假命题，
只要举出一个反例即可
注：一个命题是真命题时，它的逆命题不一
定是真命题
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例：写出下列命题的逆命题，并判断所得逆命题
的真假，如果是假命题，请举一个反例： （1）内错角相等，两直线平行； （2）如果a=0，那么ab=0
a是偶数,
那么
a一定能被2整除。
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（二）一般形式为：
“如果P，Байду номын сангаас么q”,或者说成“若P，则q”，其中p是
这个命题的条件（或题设），q是这个命题的结论（或题
断）
注意事项：
（1）题设（条件）是已知事项，结论是由已知事项推出的事 项； （2）有时为了叙述简便，也可以省略关联词“如果”“那么” 例：命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”可以 写成“对顶角相等”
巩固练习
下列语句中：（1）时间都去哪儿了？（2）画一条直 线的平行线；（3）长方形的四个角都是直角；（4）4不 是偶数.命题共有（ ）个 注：（1）不是 （2）不是 （3）是 （4）是
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命题由条件和结论两部分组成的
（一）常写成的形式为：
“如果……，那么……。”
条件 结论
如果
1 2 O C A
证明：
∵ OE平分∠AOB,OF平分∠BOC，（已知） 1 1 2 BOC ∴ ∠1= 2∠AOB， 2 .（角平分线的定义） 又 ∵ ∠AOB+∠BOC=180°,（已知） ∴ ∠1+∠2= 1 （∠AOB+∠BOC） =90°（等式性质） 2 ∴ OE⊥OF
解（1）逆命题是“两直线平行，内错角相等”，是真命题
（2）逆命题是“ab=0，那么a=0”，是假命题 反例，当a=1,b=0时， ab=0
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完成课本77页练习2、3
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这节课你有何收获， 能与大家分享、交流你的感受吗？
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13.2 命题与证明
第二课时 证明
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数学中有些命题的正确性是人们在长期实 践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题 真假的原始依据，这样的真命题叫做基本事实。 有些命题可以从基本事实或其他真命题出 发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并 且可以进一步作为判断其他命题真假的依据， 这样的真命题叫做定理。 基本事实和定理都可作为判断其他命题真假的依 据。
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注：有些命题的题设和结论不明显，可
将它经过适当变形，改写成“如 果······那么······”的 形式
练习巩固
完成课本练习题第2题
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命题“若a是偶数，则a一定能被2整除。”
p
具有“若p则q”的形式。
q
（其中p 是这个命题的条件，q是这个命题的结论。） 命题“若p则q”与命题“若q则p” 这样两个命 题（条件与结论互换）称为互逆命题。
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基本事实举例：
平行公理： 经过直线外一点，有且只有一条 直线与已知直线平行。 定理举例： 平行线的判定定理： 内错角相等，两直线平行。 同旁内角互补，两直线平行。
从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理， 并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理 （或演绎法）.演绎推理的过程，就是演绎证明，简称 证明
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例：指出下列命题的题设、结论： 1)如果两直线相交，那么它们只有一个交点； 2)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内 角互补， 那么这两条直线平行； 3)如果∠1=∠2 , ∠2=∠3，那么∠1=∠3； 4)两条平行线被第三条直线所截，内错角相 等. 5)如果∠1+∠2=90°,那么∠1与∠2互余； 6)如果邻补角相等，那么它们的公共边与另 一边垂直.
反之，若一个语句没有对某一事件的正确与 否作出任何判断，则它不是命题 例：（1）你的作业做完了吗？ （2）欢迎前来参观！ （3）以点O为圆心、3cm长为半径画弧
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（1）命题必须是一个完整的句子，且具有“判断”作用； （2）命题只需具有“判断”功能，而不论这个判断正确 与否
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证明命题的一般步骤：
（1）分清命题的条件和结论；
（2）画出符合条件的图形，标出有关字母 与符号； （3）结合图形写出已知、求证；
（4）分析因果关系，找出证明途径；
（5）有条理地写出证明过程
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课本练习1、2
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例4
已知：如图所示，∠AOB+∠BOC=180°,OE 平分∠AOB,OF平分∠BOC. B E F 求证：OE⊥OF
13.2 命题与证明
第一课时 命题
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请同学们观察下面两幅图中的线段长度相等吗
学习几何需要观察和实验，同时也需要学会推理。从这一节起我们将系统学 习用逻辑推理方法对几何中的结论进行论证
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下列各语句中,是不是作出判断的句子？
下面，通过证明“内错角相等，两直线平 行”等几个例题来说明证明的具体步骤.
例
已知：如图，直线c与直线a、b相交，且∠1=∠2.
求证：a∥b
c
3 1 2
证明 ∵
又
a b
∠1=∠2，（已知）
∵ ∠1=∠3，（对顶角相等）
∴ ∠2=∠3，（等量代换）
∴a∥b.（同位角相等，两直线平行）
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课后思考题
对于同一平面内三条直线a, b, c,给出下列五个 选项： 1. a ∥ b 3. a ⊥ b 5. a ⊥ c 2. b ∥ c 4. a ∥ c
以其中两个为条件，一个为结论，组成一个你认
为正确的命题 。
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（1）北京是中华人民共和国的首都； （2）如果∠1与∠2是对顶角，那么∠1=∠2；
（3）1+1<2；
（4）如果一个整数的各位上的数字之和是3的倍 数，那么这个数能被3整除
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对某一件事件作出正确或不正确判断的语 句（或式子）叫做命题.正确的命题称之为真命 题；错误的命题称之为假命题
其中一个叫做原命题，
则另一个就叫做原命题的逆命题。
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符合命题条件，但不满足命题结论的例子，
我们称之为反例.要说明一个命题是假命题，
只要举出一个反例即可
注：一个命题是真命题时，它的逆命题不一
定是真命题
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例：写出下列命题的逆命题，并判断所得逆命题
的真假，如果是假命题，请举一个反例： （1）内错角相等，两直线平行； （2）如果a=0，那么ab=0
a是偶数,
那么
a一定能被2整除。
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（二）一般形式为：
“如果P，Байду номын сангаас么q”,或者说成“若P，则q”，其中p是
这个命题的条件（或题设），q是这个命题的结论（或题
断）
注意事项：
（1）题设（条件）是已知事项，结论是由已知事项推出的事 项； （2）有时为了叙述简便，也可以省略关联词“如果”“那么” 例：命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”可以 写成“对顶角相等”
巩固练习
下列语句中：（1）时间都去哪儿了？（2）画一条直 线的平行线；（3）长方形的四个角都是直角；（4）4不 是偶数.命题共有（ ）个 注：（1）不是 （2）不是 （3）是 （4）是
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命题由条件和结论两部分组成的
（一）常写成的形式为：
“如果……，那么……。”
条件 结论
如果
1 2 O C A
证明：
∵ OE平分∠AOB,OF平分∠BOC，（已知） 1 1 2 BOC ∴ ∠1= 2∠AOB， 2 .（角平分线的定义） 又 ∵ ∠AOB+∠BOC=180°,（已知） ∴ ∠1+∠2= 1 （∠AOB+∠BOC） =90°（等式性质） 2 ∴ OE⊥OF
解（1）逆命题是“两直线平行，内错角相等”，是真命题
（2）逆命题是“ab=0，那么a=0”，是假命题 反例，当a=1,b=0时， ab=0
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这节课你有何收获， 能与大家分享、交流你的感受吗？
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13.2 命题与证明
第二课时 证明
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数学中有些命题的正确性是人们在长期实 践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题 真假的原始依据，这样的真命题叫做基本事实。 有些命题可以从基本事实或其他真命题出 发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并 且可以进一步作为判断其他命题真假的依据， 这样的真命题叫做定理。 基本事实和定理都可作为判断其他命题真假的依 据。
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注：有些命题的题设和结论不明显，可
将它经过适当变形，改写成“如 果······那么······”的 形式
练习巩固
完成课本练习题第2题
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命题“若a是偶数，则a一定能被2整除。”
p
具有“若p则q”的形式。
q
（其中p 是这个命题的条件，q是这个命题的结论。） 命题“若p则q”与命题“若q则p” 这样两个命 题（条件与结论互换）称为互逆命题。
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基本事实举例：
平行公理： 经过直线外一点，有且只有一条 直线与已知直线平行。 定理举例： 平行线的判定定理： 内错角相等，两直线平行。 同旁内角互补，两直线平行。
从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理， 并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理 （或演绎法）.演绎推理的过程，就是演绎证明，简称 证明
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例：指出下列命题的题设、结论： 1)如果两直线相交，那么它们只有一个交点； 2)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内 角互补， 那么这两条直线平行； 3)如果∠1=∠2 , ∠2=∠3，那么∠1=∠3； 4)两条平行线被第三条直线所截，内错角相 等. 5)如果∠1+∠2=90°,那么∠1与∠2互余； 6)如果邻补角相等，那么它们的公共边与另 一边垂直.
反之，若一个语句没有对某一事件的正确与 否作出任何判断，则它不是命题 例：（1）你的作业做完了吗？ （2）欢迎前来参观！ （3）以点O为圆心、3cm长为半径画弧
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（1）命题必须是一个完整的句子，且具有“判断”作用； （2）命题只需具有“判断”功能，而不论这个判断正确 与否
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证明命题的一般步骤：
（1）分清命题的条件和结论；
（2）画出符合条件的图形，标出有关字母 与符号； （3）结合图形写出已知、求证；
（4）分析因果关系，找出证明途径；
（5）有条理地写出证明过程
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课本练习1、2
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例4
已知：如图所示，∠AOB+∠BOC=180°,OE 平分∠AOB,OF平分∠BOC. B E F 求证：OE⊥OF
13.2 命题与证明
第一课时 命题
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请同学们观察下面两幅图中的线段长度相等吗
学习几何需要观察和实验，同时也需要学会推理。从这一节起我们将系统学 习用逻辑推理方法对几何中的结论进行论证
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下列各语句中,是不是作出判断的句子？
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13.2 命题与证明第1课时命题课件课件(共22张PPT)八年级上册沪科版数学
解：(1)两条直线平行形成的内错角，这两个角不是对顶角，但是它们相 等； (2)当a＝5，b＝0时，ab＝0，但a＋b≠0. (3) 180° 的角大于 90°，但 180° 不是钝角，而是平角．
课堂小结
定义
对某一事件作出正确或不正确判断的语句
命题
组成 分类 互逆命题
若p,则q”,其中p是这个命题的条件(或题设), q是这个命题的结论(或题断).
新知学习 一 命题
推理是一种思维活动.人们在思维活动中,常要对事物的情况作出种种 判断.判断是通过语言来表达的.
思考
以下判断哪些是正确的？哪些是错误的？
(1)北京是中华人民共和国的首都; (2)如果∠1与∠2是对顶角,那么∠1=∠2;
() ()
(3)1 +1 <2;
()
(4)如果一个整数的各位上的数字之和是3的倍数,那么这个数能被3整除.
例1 指出下列命题的条件与结论: (1)两条直线都平行于同一条直线,这两条直线平行; (2)如果∠A = ∠B,那么∠A 的补角与∠B的补角相等.
解：(1)“两条直线都平行于同一条直线”是条件,“两条直线平行”是 结论. (2)“∠A = ∠B”是条件,“∠A 的补角与∠B的补角相等”是结论.
例2 把下列命题改写成“如果p，那么q”的形式，并指出它们的条件和
数学命题通常由题设和结论两部分组成,命题常写成“如果…… 那么……”的形式.
以“如果……那么……”为关联词的命题的一般形式是“如果p ,那么 q” ,或者说成“若p,则q”,其中p是这个命题的条件(或题设),q是这个命 题的结论(或题断).
有时为了叙述简便,也可以省略关联词“如果”“那么”. 如命题“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”可以写成“对顶角相 等”.
课堂小结
定义
对某一事件作出正确或不正确判断的语句
命题
组成 分类 互逆命题
若p,则q”,其中p是这个命题的条件(或题设), q是这个命题的结论(或题断).
新知学习 一 命题
推理是一种思维活动.人们在思维活动中,常要对事物的情况作出种种 判断.判断是通过语言来表达的.
思考
以下判断哪些是正确的？哪些是错误的？
(1)北京是中华人民共和国的首都; (2)如果∠1与∠2是对顶角,那么∠1=∠2;
() ()
(3)1 +1 <2;
()
(4)如果一个整数的各位上的数字之和是3的倍数,那么这个数能被3整除.
例1 指出下列命题的条件与结论: (1)两条直线都平行于同一条直线,这两条直线平行; (2)如果∠A = ∠B,那么∠A 的补角与∠B的补角相等.
解：(1)“两条直线都平行于同一条直线”是条件,“两条直线平行”是 结论. (2)“∠A = ∠B”是条件,“∠A 的补角与∠B的补角相等”是结论.
例2 把下列命题改写成“如果p，那么q”的形式，并指出它们的条件和
数学命题通常由题设和结论两部分组成,命题常写成“如果…… 那么……”的形式.
以“如果……那么……”为关联词的命题的一般形式是“如果p ,那么 q” ,或者说成“若p,则q”,其中p是这个命题的条件(或题设),q是这个命 题的结论(或题断).
有时为了叙述简便,也可以省略关联词“如果”“那么”. 如命题“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”可以写成“对顶角相 等”.
沪科版数学八年级上册13.2.4三角形内角和定理的推论——三角形外角的性质课件(共15张PPT)
新知引入
知识点2 三角形内角和定理的推论3
推论3 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
三角形内角和推论3：
例题示范
典例
求下列各图中∠1的度数.
95°
85°
130°
知识点3 三角形内角和定理的推论4
新知引入
推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
问题：你能用文字描述你的发现吗？
由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
E
C
B
A
D
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；②角的一边是三角形的一边；③另一边是三角形中一边的延长线.
新知引入
三角形的外角的性质
如图，外角∠BCD与△ABC的内角有什么关系呢？
性质：三角形的外角与它相邻的内角互补.
第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明
13.2 命题与证明13.2.4 三角形内角和定理的推论——三角形外角的性质
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.了解三角形外角的概念，掌握三角形外角的性质；2.能够利用学过定理证明三角形外角的性质；3.能够灵活运用三角形外角的性质解决数学问题.
பைடு நூலகம்堂练习
如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点E,若∠A=40°，∠BDC=55°，求∠AED的度数.
练习
解：∵∠A=40°，∠BDC=55°，∴∠ABD=∠BDC-∠A=15°.∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABC=2∠ABD=30°.∵DE∥BC，∴∠AED=∠ABC=30°.
∠1＞∠A ∠1＞∠B
如图 ，你能用”＞”或“＜”表示∠1和∠A、∠1和∠B的大小吗？
知识点2 三角形内角和定理的推论3
推论3 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
三角形内角和推论3：
例题示范
典例
求下列各图中∠1的度数.
95°
85°
130°
知识点3 三角形内角和定理的推论4
新知引入
推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
问题：你能用文字描述你的发现吗？
由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
E
C
B
A
D
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；②角的一边是三角形的一边；③另一边是三角形中一边的延长线.
新知引入
三角形的外角的性质
如图，外角∠BCD与△ABC的内角有什么关系呢？
性质：三角形的外角与它相邻的内角互补.
第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明
13.2 命题与证明13.2.4 三角形内角和定理的推论——三角形外角的性质
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.了解三角形外角的概念，掌握三角形外角的性质；2.能够利用学过定理证明三角形外角的性质；3.能够灵活运用三角形外角的性质解决数学问题.
பைடு நூலகம்堂练习
如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点E,若∠A=40°，∠BDC=55°，求∠AED的度数.
练习
解：∵∠A=40°，∠BDC=55°，∴∠ABD=∠BDC-∠A=15°.∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABC=2∠ABD=30°.∵DE∥BC，∴∠AED=∠ABC=30°.
∠1＞∠A ∠1＞∠B
如图 ，你能用”＞”或“＜”表示∠1和∠A、∠1和∠B的大小吗？
沪科版度八年级数学上册13.命题与证明课件
作业：请同学们回去想想证明三角形 内角和为180°的证明方法，越多越 好！看谁想的方法最多！
课堂练习
证明：直角三角形两个锐角互余。 已知：如图，△ABC中，∠C=90°.
求证：∠A＋∠B＝90°.
证明:∵∠A＋∠B＋∠C=180°,(三角形的 内角和定理)
∴ ∠A＋∠B=180°-∠C. 又∵ ∠C=90°, ∴ ∠A＋∠B=180°- 90°= 90°.
• 如果一个三角形中一个角为90°， 根据三 角形内角和定理，另两个角的和应为90°, 于是得
• 推论1 直角三角形的两锐角互余.
在这里,我们通过三角形内角 和定理直接推导出两个新定理. 像这样,由基本事实或定理直 接推出的真命题,叫做推论.
• 推论2 有两个角互余的三角形是直角 三角形.
课堂练习
四边形的内角和等于多少度？证明你的结论.
已知：四边形ABCD 求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
你试过了吗？.
但是组成的BC和CD真的就是一条直线吗？
很明显，这是无法确定的
如果△ABC是画在一块不能分割的平面上，如在 黑板上，这时就不可能做到把∠A、∠B撕下来 再分别放在∠1、∠2的位置上，那么又如何论 证∠A+∠B+∠C= 180゜呢？
分析：可延长BC到D，过点C作射线 CE∥AB，得∠1、∠2，
一、复习“三角形内角和定理”
三角形的三个内角之和等于180゜。 即：在△ABC中，
有A+∠B+∠C=180゜ A
B
C
二、论证“三角形内角和定理”
怎样验证三角形 的三个角的和等 于180°呢？？
前面我们是采用拼接的方法来说明的。
即把∠A撕下来放在∠1的位置上，把∠B撕下来放 在∠2的位置上。这时就可得∠ACB和∠1和∠2组成 了一条直线，得到∠ACB+∠1+∠2=180゜， 就可说明 ∠A+∠B+∠C=180゜了
沪科初中数学八上《13.2 命题与证明》PPT课件 (2)
实践检验所证实的真命题； 定理的正确性是依赖推理证实的.
演绎推理
从已知条件出发，依据定义、基 本事实、已证定理，并按照逻辑 法则，推导出结论，这一方法称 为演绎推理（或演绎法）演绎推 理的过程，就是演绎证明，简称 证明
证明真命题的步骤：
（1）根据题意画出图形； （2）根据题设和结论，结合图形，写出
举例：两点之间，线段最短；
两直线平行，同位角相等. 定理：从公理或其他真命题出发，用推理方
法证明为正确的、并进一步作为判断其他命 题真假的依据，这样的真命题叫做定理。
举例：两直线平行，内错角相等；
如果两个三角形三条边相等，那么两 个三角形全等.
公理和定理的共同点和不同点：
共同点：都是真命题 不同点：公理的正确性是人们长期
第二步：
在“已知”中写出条件， 在“求证”中写出结论
l3
3 1
l1
已条知件：： 如图，直线 l 1 与 l 2 被 l3 所 截，∠1=∠2
求结证论：： 题“两条直线被第三条所截，如果内错角 相等，那么同位角也相等”是真命题。
已知：
如图，直线 l 1 与 l 2 被 l3 所 截，∠1=∠2
定义的概念： 能界定某个对象含义的句子叫做定义.
举例 （1）能够被2整除的整数叫做偶数； （2）由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所
组成的封闭图形叫做三角形； （3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
问：你还能举出 一些例子吗？
公理和定理
公理：人们从长期的生活实践中总结出来的 真命题叫做公理，可以作为判断其他命题真 假的原始依据。
第三步：
在“证明”中写出推理过程， 并且步步有依据。
求证： ∠2=∠3 证明： ∵∠1=∠2 （ 已知 ）
演绎推理
从已知条件出发，依据定义、基 本事实、已证定理，并按照逻辑 法则，推导出结论，这一方法称 为演绎推理（或演绎法）演绎推 理的过程，就是演绎证明，简称 证明
证明真命题的步骤：
（1）根据题意画出图形； （2）根据题设和结论，结合图形，写出
举例：两点之间，线段最短；
两直线平行，同位角相等. 定理：从公理或其他真命题出发，用推理方
法证明为正确的、并进一步作为判断其他命 题真假的依据，这样的真命题叫做定理。
举例：两直线平行，内错角相等；
如果两个三角形三条边相等，那么两 个三角形全等.
公理和定理的共同点和不同点：
共同点：都是真命题 不同点：公理的正确性是人们长期
第二步：
在“已知”中写出条件， 在“求证”中写出结论
l3
3 1
l1
已条知件：： 如图，直线 l 1 与 l 2 被 l3 所 截，∠1=∠2
求结证论：： 题“两条直线被第三条所截，如果内错角 相等，那么同位角也相等”是真命题。
已知：
如图，直线 l 1 与 l 2 被 l3 所 截，∠1=∠2
定义的概念： 能界定某个对象含义的句子叫做定义.
举例 （1）能够被2整除的整数叫做偶数； （2）由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所
组成的封闭图形叫做三角形； （3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
问：你还能举出 一些例子吗？
公理和定理
公理：人们从长期的生活实践中总结出来的 真命题叫做公理，可以作为判断其他命题真 假的原始依据。
第三步：
在“证明”中写出推理过程， 并且步步有依据。
求证： ∠2=∠3 证明： ∵∠1=∠2 （ 已知 ）
沪科版数学八上13.证明课件(共13张)
课堂小结
1.定理：从基本事实或其他真命题出发，用推理方 法判断为正确的，并被选作判断命题真假的根据， 这样的真命题叫做定理.
2.证明：从已知条件出发，根据定义、基本事实、已证定理，并 按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理（或演绎 法）.演绎推理的过程就是演绎证明，简称证明.
求证：直线AB、CD平行.
证明：因为∠2与∠3是对顶角， 所以∠3=∠2. 又因为∠1=∠2， 所以∠1=∠3， 且∠1与∠3是同位角， 所以AB与CD平行.
例2 已知：b∥c， a⊥b ． 求证：a⊥c．
b
c
证明：∵ a ⊥b（已知），
1
2
a
∴ ∠1=90°（垂直的定义）.
∵ b ∥ c（已知），
1.定理：从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为 正确的，并被选作判断命题真假的根据，这样的真命题叫做 定理.
2.证明：从已知条件出发，根据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规 则，推导出结论，这一方法称为演绎推理（或演绎法）.演绎推理的过程就是 演绎证明，简称证明.
例1 如图，∠1=∠2，
∴ ∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）.
∴ a ⊥ c（垂直的定义）.
例3 如图，∠BHE与∠BGF互为补角，∠D=∠A． 求证：∠B=∠C．
证明：因为∠BHE+ ∠BGF=∠1B8H0E°+, ∠BHA=180°,
所以∠BGF= ∠BHA（同角的补角 相所等以）AE, //DF(同位角相等，两直 线所平以行∠A）=, ∠BFD(两直线平行，同位角相 等又)因. 为∠D=∠A，所以∠BFD= ∠D, 所以AB//CD（内错角相等，两直 线所平以行∠B）=.∠C（两直线平行，内错角相 等）.
沪科版八年级数学上册教学课件《命题与证明》ppt
∴∠2=∠C
（ 两直线平行，内错角相等 ）.
课堂小结
证明
定理：经过证明的真命题称为定理.
证明：除了公理外,其他真命题的正 确性都通过推理的方法证实.推理的 过程称为证明.
课后作业
1、必做题：见畅言教育本课时配套《基 础练习》
2、选做题：见畅言教育本课时配套《提 高练习和培优练习》
第3课时
三角形内角和定理的证明 及推论1、2
证明： ∵ OE平分∠AOB，
OF平分∠BOC，
∴∠1= 1∠AOB，∠2= 1∠BOC.
2
2
又∵∠AOB、∠BOC互为邻补角，
∴∠AOB+∠BOC=180°,
∴∠1+∠2= 1 (∠AOB+∠BOC)=90°, 2
∴OE⊥OF.
B E
F 12
A
O
C
当堂练习
1.下列结论中你能肯定的是（ B ） A.今天下雨，明天必然还下雨 B.三个连续整数的积一定能被6整除 C.小明在数学竞赛中一定能获奖 D.两张相片看起来佷像，则肯定照的是同一个人
是
2.写出下列命题的逆命题，并判断命题的真假
（1）如果a=b,那么|a|=|b|．( √ ) 如果|a|=|b|，那么a=b．( × )
（2）等角的余角相等．( √ ) 如果两个角的余角相等，那么这两个角相等．( √ )
（3）同位角相等，两直线平行．( √ ) 两直线平行，同位角相等．( √ )
3.指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那 么……”的形式：
逆命题：原命题为“如果p,那么q”,逆命题 则为“如果q,那么p”.
课后作业
1、必做题：见畅言教育本课时配套《基 础练习》
2、选做题：见畅言教育本课时配套《提 高练习和培优练习》
（ 两直线平行，内错角相等 ）.
课堂小结
证明
定理：经过证明的真命题称为定理.
证明：除了公理外,其他真命题的正 确性都通过推理的方法证实.推理的 过程称为证明.
课后作业
1、必做题：见畅言教育本课时配套《基 础练习》
2、选做题：见畅言教育本课时配套《提 高练习和培优练习》
第3课时
三角形内角和定理的证明 及推论1、2
证明： ∵ OE平分∠AOB，
OF平分∠BOC，
∴∠1= 1∠AOB，∠2= 1∠BOC.
2
2
又∵∠AOB、∠BOC互为邻补角，
∴∠AOB+∠BOC=180°,
∴∠1+∠2= 1 (∠AOB+∠BOC)=90°, 2
∴OE⊥OF.
B E
F 12
A
O
C
当堂练习
1.下列结论中你能肯定的是（ B ） A.今天下雨，明天必然还下雨 B.三个连续整数的积一定能被6整除 C.小明在数学竞赛中一定能获奖 D.两张相片看起来佷像，则肯定照的是同一个人
是
2.写出下列命题的逆命题，并判断命题的真假
（1）如果a=b,那么|a|=|b|．( √ ) 如果|a|=|b|，那么a=b．( × )
（2）等角的余角相等．( √ ) 如果两个角的余角相等，那么这两个角相等．( √ )
（3）同位角相等，两直线平行．( √ ) 两直线平行，同位角相等．( √ )
3.指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那 么……”的形式：
逆命题：原命题为“如果p,那么q”,逆命题 则为“如果q,那么p”.
课后作业
1、必做题：见畅言教育本课时配套《基 础练习》
2、选做题：见畅言教育本课时配套《提 高练习和培优练习》
沪科版数学八年级上册 证明
关于直线的基本事实：两点确定一条直线. 关于线段的基本事实：两点之间，线段最短. 关于平行的基本事实：经过直线外的一点有且仅有一
条直线与已知直线平行.
定理的概念 2.有些命题是从基本事实或其他真命题出发，用推理方
法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据.这样
的真命题叫做定理.
学过的定理： 1. 补角的性质：同角或等角的补角相等. 2. 余角的性质：同角或等角的余角相等. 3. 对顶角的性质：对顶角相等. 4. 垂线的性质： ①在同一平面内过一点有且只有一条
第 13 章 三角形中的边角关系、 命题与证明
13.2 命题与证明
第 2 课时 证明
两图中的中间圆大小一样吗？
这两个色块颜色有什么不同？旋转再看看
线段 AB 和 CD 长度完全相等,虽然它们看起来相
A C
B
D
是 静 还 是 动 ？
平行线：不敢相信图中的横线是平行的，不过它们 就是平行线!
2.下列问题用到推理的是（ A ） A. 根据 a = 10，b = 10，得到 a = b B. 观察得到了三角形有三个角 C. 老师告诉了我们关于金字塔的许多奥秘 D. 由经验可知过两点有且只有一条直线
3. 已知：如图，直线 AB 与直线 CD 相交于点 O， ∠AOC 与∠BOD 是对顶角.
典例精析 证明：内错角相等，两直线平行.
例1 如图，直线 c 与直线 a、b 相交，且∠1 = ∠2，
求证：a∥b.
c
证明：∵∠1 =∠2 (已知)， ∠1 =∠3 (对顶角相等)，
∴∠2 =∠3 (等量代换).
3a 1
2
b
∴ a∥b (同位角相等，两直线平行).
你还能找出几种证法？
条直线与已知直线平行.
定理的概念 2.有些命题是从基本事实或其他真命题出发，用推理方
法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据.这样
的真命题叫做定理.
学过的定理： 1. 补角的性质：同角或等角的补角相等. 2. 余角的性质：同角或等角的余角相等. 3. 对顶角的性质：对顶角相等. 4. 垂线的性质： ①在同一平面内过一点有且只有一条
第 13 章 三角形中的边角关系、 命题与证明
13.2 命题与证明
第 2 课时 证明
两图中的中间圆大小一样吗？
这两个色块颜色有什么不同？旋转再看看
线段 AB 和 CD 长度完全相等,虽然它们看起来相
A C
B
D
是 静 还 是 动 ？
平行线：不敢相信图中的横线是平行的，不过它们 就是平行线!
2.下列问题用到推理的是（ A ） A. 根据 a = 10，b = 10，得到 a = b B. 观察得到了三角形有三个角 C. 老师告诉了我们关于金字塔的许多奥秘 D. 由经验可知过两点有且只有一条直线
3. 已知：如图，直线 AB 与直线 CD 相交于点 O， ∠AOC 与∠BOD 是对顶角.
典例精析 证明：内错角相等，两直线平行.
例1 如图，直线 c 与直线 a、b 相交，且∠1 = ∠2，
求证：a∥b.
c
证明：∵∠1 =∠2 (已知)， ∠1 =∠3 (对顶角相等)，
∴∠2 =∠3 (等量代换).
3a 1
2
b
∴ a∥b (同位角相等，两直线平行).
你还能找出几种证法？
沪科版八年级上册 数学 课件 13.2命题的证明
C
三个式子相加得到
∠1＋ ∠2＋ ∠3 = 2 ( ∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB)
而∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=180°
∠1＋ ∠2＋ ∠3＝360°
三角形外角和等于3600
法2
A4
1
B 2
D 解：过A作AD∥BC
∴ ∠3＝ ∠4
3
(两直线平行,同位角相等)
C
∠2＝ ∠BAD
(两直线平行，同位角相等)
14 、过去只可以是用来回忆，别沉迷在阴影中，那永远看不清前面的路。 1 、勿以恶小而为之，勿以善小而不为。惟贤惟德，能服于人。 11. 如果我们做与不做都会有人笑，如果做不好与做得好还会有人笑，那么我们索性就做得更好，来给人笑吧! 19 、一个人幸运的前提，其实是他有能力改变自己。 17 、一生中你唯一需要回头的时候，是为了看自己到底走了多远。 4. 把容易题作对，难题就会变容易。 11 、一个人只要有梦想，生命就有了依托;一个人只有不懈地追逐着梦想，活着才觉得意义深远，趣味无穷，也才能将生命的潜能发挥到极致 。
命题的证明
国旗上的数学
A
B
E
C
D
火眼金睛：∠ 1在各个图形中的位置，
你能发现它们的共同特征吗？
D
A
A
B
1
B
C
1 ··
A
DB C
1 CD
三个特征: 1. ∠ 1的顶点三角形的一个顶点; 2. ∠ 1的一条边是三角形的一条边; 3. ∠ 1的另一条边是三角形的某条边的延长线
三角形的每个外角 对应一个相邻的内 角和两个不相邻的 内角
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
算一算：
110° 70°
1300 50°
沪科版八年级上册课件：13.2命题与证明2
反之，若一个语句没有对某一事件的正确与 否作出任何判断，则它不是命题 例：（1）你的作业做完了吗？
（2）欢迎前来参观！ （3）以点O为圆心、3cm长为半径画弧
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（1）命题必须是一个完整的句子，且具有“判断”作用； （2）命题只需具有“判断”功能，而不论这个判断正确 与否
巩固练习
C
不相邻内角
外角
A
B
D
? 发现: ∠CBD ∠A+∠C
CBD ABC 180
A C ABC 180
结所论以： ∠CBD=∠A+∠C
∠CBD(外角)=∠A+∠C(不相邻两内角和)
皖ICP 备裕安中学电教中心
上面我们通过计算得到了三角形中外角 与不相邻两内角之间的数量关系．
∠CBD=∠A+∠C
皖ICP 备裕安中学电教中心
（二）一般形式为：
“如果P，那么q”,或者说成“若P，则q”，其中p是 这个命题的条件（或题设），q是这个命题的结论（或题 断）
注意事项：
（1）题设（条件）是已知事项，结论是由已知事项推出的事 项； （2）有时为了叙述简便，也可以省略关联词“如果”“那么”
例：命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”可以 写成“对顶角相等”
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完成课本77页练习2、3
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这节课你有何收获， 能与大家分享、交流你的感受吗？
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教材84页 习题1,2,3
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课后思考题
对于同一平面内三条直线a, b, c,给出下列五个
选项：
1. a ∥ b
（2）欢迎前来参观！ （3）以点O为圆心、3cm长为半径画弧
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（1）命题必须是一个完整的句子，且具有“判断”作用； （2）命题只需具有“判断”功能，而不论这个判断正确 与否
巩固练习
C
不相邻内角
外角
A
B
D
? 发现: ∠CBD ∠A+∠C
CBD ABC 180
A C ABC 180
结所论以： ∠CBD=∠A+∠C
∠CBD(外角)=∠A+∠C(不相邻两内角和)
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上面我们通过计算得到了三角形中外角 与不相邻两内角之间的数量关系．
∠CBD=∠A+∠C
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（二）一般形式为：
“如果P，那么q”,或者说成“若P，则q”，其中p是 这个命题的条件（或题设），q是这个命题的结论（或题 断）
注意事项：
（1）题设（条件）是已知事项，结论是由已知事项推出的事 项； （2）有时为了叙述简便，也可以省略关联词“如果”“那么”
例：命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”可以 写成“对顶角相等”
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完成课本77页练习2、3
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这节课你有何收获， 能与大家分享、交流你的感受吗？
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教材84页 习题1,2,3
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课后思考题
对于同一平面内三条直线a, b, c,给出下列五个
选项：
1. a ∥ b