非线性系统分析 PPT课件

5．李雅普诺夫法 李雅普诺夫法是根据广义能量函数概念分析非线性系统稳 定性。原则上适用所以非线性系统，但对大多数非线性系统， 寻找李雅普诺夫函数相当困难，关于李雅普诺夫法在现代控
制理论中作祥解。
6．计算机辅助分析 利用计算机模拟非线性系统，特别上采用MATLAB软件
工具中的Simulink来模拟非线性系统方便且直观，为非线性
严格地说，由于控制元件或多或少地带有非线性特性，所以 实际的自动控制系统都是非线性系统。
本章主要介绍分析非线性系统的两种常用方法：相平面法和
描述函数法。
知识要点
非线性系统的特点，非线性系统的相平面法分
析---相轨迹、奇点、奇线、极限环，非线性系
统的描述函数法---描述函数的定义、非线性环
节的描述函数、自持振荡的条件，非线性系统 的校正。
M y M
x0 x0
（2）死区继电器特性
M y 0 M
x a x a xa
（3）回环继电器特性
x＜a M M x＞a y x＜－a M x＜－a M
（4）死区加回环继电器特性
0 M M y 0 M M a1 x a2 x a2 x a1 a2 x a1 x a1 x a2
7.3.1 相平面的基本概念 设二阶非线性系统的微分方程为：
f ( x, x ) 0 x
若令
x1 x, x2 x
则二阶系统可写成两个一阶微分方程，即
x1 x2 x2 f ( x1 , x2 )
dx2 f ( x1 , x2 ) dx1 x2
考察二阶非线性时不变微分方程:
f (x , x ) x
引入相平面的概念，将二阶微分方程改写成二 元一阶微分方程组:
x1 x x2 x
1 x2 x 2 f ( x1 , x2 ) x
一般形式为
x f (x , x ) x f ( x , x )
死区特性对系统性能的影响： （1）由于死去的存在，增大了系统的稳态误差，降低了 系统的控制精度； （2）若干扰信号落在死区段，可大大提高系统的抗干扰
能力。
2．饱和特性
y
M
a
k
0
M
a
x
M y kx M
x a | x | a xa
饱和特性对系统性能的影响： （1）将使系统的开环增益有所降低，对系统的稳定性有 利； （2）使系统的快速性和稳态跟踪精度下降。
1 1 1 2 2 2 1 2
消去时间变量t，得到相轨迹的斜率方程
dx f (x , x ) dx f (x , x )
有时从系统安全性的考虑，常常加入各种限幅装置，其
特性也属饱和特性。
3．间隙特性（回环特性）
y
b
a
k
0 a
x
bsign. y y K ( x asign y )
y0 y0


பைடு நூலகம்
-b
间隙特性对系统的影响： 一般来说，间隙使系统输出相位滞后，降低了系统的稳 定裕量，控制系统的动态特性变坏，甚至使系统振荡； 间隙的存在使系统的稳态误差扩大，稳态特性变差。
4．继电器特性
y y
M
继电器特性可 包含理想继电 器特性、死区 继电器特性、 回环继电器特 性和死区加回
M
0
-M
（a） 理想继电器
x
a
0
-M
a
x
（b） 死区继电器
y
M
－a２ a１
y
M
环继电器特性
如图所示。
a
0
-M
（ｃ） 回环继电器
a
x
0
-M
a１
a２
x
（ｄ） 死区＋回环继电器
（1）理想继电器特性
7.1 非线性系统概述 控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件 或环节时，此系统则为非线性系统。 7.1.1 非线性系统的特点 1．非线性系统的数学描述 2.系统的瞬态响应 3.系统的稳定性 4.系统的自持振荡（自激振荡） 5.多值响应和跳跃谐振
7.1.2非线性系统的分析和设计方法
非线性系统采用非线性微分方程描述，至今尚没有统一 的求解方法，其理论也还不完善。由于非线性系统的特点， 线性系统的分析方法均不能采用。分析非线性系统工程上 常采用的方法有：
系统的分析提供了有效工具。
7.2 典型非线性特性 按非线性环节特性的形状可以将非线性环节划分为死 区特性、饱和特性、继电特性、间隙特性等。
1.死区特性（不灵敏区） 死区特性的的数学描述为：
k
y
a
0 a
x
k ( x a ) y 0 k ( x a)
x a | x | a xa
1．线性化近似法
对于某些非线性特性不严重的系统，或系统仅仅只研究平 衡点附近特性时，可以用小偏差线性化方法，将非线性系 统近似线性化。
2．分段线性近似法
将非线性系统近似为几个线性区域，每个区域有对应
的线性化微分方程描述。 3．相平面法
相平面法是非线性系统的图解分析法，采用在相平面
上绘制相轨迹曲线，确定非线性系统在不同初始条件下 系统的运动形式。该方法只适用最高为二阶的系统。 4．描述函数法 描述函数法是线性系统频率特性法的推广，采用谐波线 性化将非线性特性近似表示为复变增益环节，应用频率法 分析非线性系统的稳定性和自持振荡。该方法适用于非线 性系统中线性部分具有良好的低通滤波特性的系统。
1.相平面，相点和相轨迹
以 x 为横坐标，x 为纵坐标的平面称为相 平面，相应的分析法称为相平面法；
1 2
相平面上的点称为相点； 由某一初始条件出发在相平面上绘出的曲线称 为相平面轨迹，简称相轨迹；
不同初始条件下构成的相轨迹，称为相轨迹族， 由相轨迹族构成的图称为相平面图，简称相图。
2.相轨迹方程和平衡点
0 x
0 x
0 x
0 x
7.3 相平面分析法 相平面法是庞加莱（Poincare）提出的，它是一种求 解二阶非线性微分方程组的图解法，它比较直观、准
确地反映系统的稳定性、平衡状态的特性、不同初始
状态和输入信号下系统的运动形式。虽然相平面法适 用一阶、二阶非线性控制系统的分析，但它形成特定 的相平面法，它对弄清高阶非线性系统的稳定性、极 限环等特殊现象，也起到了直观形象的作用。