空间几何体的结构及其三视图和直观图随堂练习(含答案)
数学(文)专题提分训练：空间几何体的结构、三视图和直观图(含答案解析)
空间几何体的结构、三视图和直观图高考试题考点一 空间几何体的结构1.(2013年辽宁卷,文10）已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB=3,AC=4,AB ⊥AC,AA 1=12，则球O 的半径为( ） (A ）3172(B)210 （C ）132（D)310解析：如图所示，由题得BC=5,BO 2=52，OO 2=6，则球O 的半径 22562⎛⎫+ ⎪⎝⎭1694132. 故选C.答案:C2.（2012年福建卷，文4）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是( ）(A ）球 （B ）三棱锥 （C ）正方体 (D ）圆柱 解析：球、正方体的三视图形状都相同，大小均相等，首先排除选项A 和C;当三棱锥的三条侧棱两两垂直且相等时,其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B,不论圆柱如何放置,其三视图的形状都不会完全相同。
答案:D3.（2010年辽宁卷,文16）如图，网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 .解析：由三视图知多面体为四棱锥，底面为边长为2的正方形，有一条长度为2的侧棱垂直于底面,因此最长的一条棱长为()222222++=23.答案:23考点二空间几何体的三视图与直观图2. (2013年山东卷，文4）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形,其正（主)视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是（）（A）45，8 (B）45,83(C)4(5+1）,83(D)8，8解析:如图所示，四棱锥的直观图,分别取底边AD、BC中点E、F，则△PEF即对应正视图，由正视图数据知,四棱锥高h=2。
则V=13×2×2×2=83,侧面△PBC底边BC上高5则S△PBC=12×2×55即四棱锥侧面积为45。
故选B。
答案：B2.(2013年新课标全国卷Ⅱ，文9）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz中的坐标分别是(1，0,1)，(1,1，0）,(0,1,1)，（0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )解析:在空间直角坐标系中作出四面体OABC的直观图如图所示,作顶点A、C在zOx平面的投影是A′，C′,可得四面体的正视图。
高三数学空间几何体的三视图与直观图试题答案及解析
高三数学空间几何体的三视图与直观图试题答案及解析1.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：V正方体-2V棱锥侧2×2×2−2×．故选：A．【考点】三视图求解几何体的体积．2.在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于.【答案】24【解析】由题意割去的两个小长方体的体积为.【考点】三视图，几何体的体积..3.某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆)，则该几何体的表面积为()A．92＋14πB．82＋14πC．92＋24πD．82＋24π【答案】A【解析】由几何体的三视图，知该几何体的下半部分是长方体，上半部分是半径为2，高为5的圆柱的一半．长方体中EH＝4，HG＝4，GK＝5，所以长方体的表面积为(去掉一个上底面)2(4×4＋4×5)＋4×5＝92．半圆柱的两个底面积为π×22＝4π，半圆柱的侧面积为π×2×5＝10π，所以整个组合体的表面积为92＋4π＋10π＝92＋14π，选A．4.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()【答案】D【解析】由题目所给的几何体的正视图和俯视图，可知该几何体为半圆锥和三棱锥的组合体，如图所示，可知左视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D．5.一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图为()【答案】C【解析】依题意可知该几何体的直观图如图所示，故其俯视图应为C．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．12B．18C．24D．30【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱的一部分，其直观图如上图所示，其中,侧面是矩形，其余两个侧面是直角梯形，由于,平面平面,所以平面,所以几何体的体积为：故选C.【考点】1、空间几何体的三视图；2、空间几何体的体积.7.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱,因为正视图,侧视图,俯视图的内切圆半径最小的是正视图(直角三角形)所对应的内切圆,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径,则,故选B.【考点】三视图内切圆球三棱柱8. [2013·四川高考]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是()A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台【答案】D【解析】由正视图和侧视图可知，该几何体不可能是圆柱，排除选项C；又由俯视图可知，该几何体不可能是棱柱或棱台，排除选项A、B.故选D.9.[2013·宁波质检]如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥平面A1B1C1，正视图是正方形，俯视图是正三角形，该三棱柱的侧视图面积为()A．2B．C．2D．4【答案】A【解析】由题意可知，该三棱柱的侧视图应为矩形，如图所示．在该矩形中，MM1＝CC1＝2，CM＝C1M1＝·AB＝.所以侧视图的面积为S＝2.10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的最大值为 .【答案】【解析】该几何体是类似墙角的三棱锥，假设一条直角的棱长为x，则三条直角棱长分别为.所以体积为.当且仅当时取等号.【考点】1.三视图.2.函数最值问题.3.空间想象能力.11.（2012•广东）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．12πB．45πC．57πD．81π【答案】C【解析】由三视图可知，此组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱故它的体积是5×π×32+π×32×=57π故选C12. (2014·咸宁模拟)某几何体的三视图如图所示(其中侧视图中的圆弧是半圆),则该几何体的表面积为( )A．92+14πB．82+14πC．92+24πD．82+24π【答案】A【解析】由几何体的三视图知该几何体的下半部分是长方体,上半部分是半径为2,高为5的圆柱的一半.所以长方体的表面积为(去掉一个上底面)2(4×4+4×5)+4×5=92.半圆柱的两个底面积为π×22=4π,半圆柱的侧面积为π×2×5=10π,所以整个组合体的表面积为92+4π+10π=92+14π. 13.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为【答案】D【解析】条件对应的几何体是由底面棱长为r的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。
8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图 练出高分(含答案解析)
§8.1空间几何体的结构、三视图和直观图A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．给出四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是() A．0 B．1 C．2 D．3答案 A解析反例：①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③④显然错误，故选A.2．(2012·福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是() A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱答案 D解析考虑选项中几何体的三视图的形状、大小，分析可得．球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等，首先排除选项A和C.对于如图所示三棱锥O－ABC，当OA、OB、OC两两垂直且OA＝OB＝OC时，其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B.不论圆柱如何设置，其三视图的形状都不会完全相同，故答案选D.3．(2011·课标全国)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()答案 D解析由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形，故应选D.4．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是()答案 D解析由俯视图可知是B和D中的一个，由正视图和侧视图可知B错．二、填空题(每小题5分，共15分)5．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为________．答案6 2解析由斜二测画法，知直观图是边长为1的正三角形，其原图是一个底为1，高为6的三角形，所以原三角形的面积为6 2 .6. 如图所示，E 、F 分别为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面DCC 1D 1上的投 影是________．(填序号)答案 ②解析 四边形在面DCC 1D 1上的投影为②，B 在面DCC 1D 1上的投影为C ，F 、E 在面DCC 1D 1上的投影应在边CC 1与DD 1上，而不在四边形的内部，故①③④错误． 7． 图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm 3的几何体的三视图，则h ＝________cm.答案 4解析 如图是三视图对应的直观图，这是一个三棱锥，其中SA ⊥平面ABC ， BA ⊥AC .由于V ＝13S △ABC ·h ＝13×12×5×6×h ＝5h ，∴5h ＝20，∴h ＝4.三、解答题(共22分)8． (10分)一个几何体的三视图及其相关数据如图所示，求这个几何体的表面积．解 这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．根据图中数据可知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为3，母线长为2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何体的表面积为S ＝12π×12＋12π×22＋12π×(1＋2)×2＋12(2＋4)×3＝11π2＋3 3.9． (12分)已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm 和20 cm ，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．解 如图所示，正三棱台ABC —A1B 1C 1中，O 、O 1分别为两底面中 心，D 、D 1分别为BC 和B 1C 1的中点，则DD 1为棱台的斜高． 由题意知A 1B 1＝20，AB ＝30， 则OD ＝53，O 1D 1＝1033，由S 侧＝S 上＋S 下，得12×(20＋30)×3DD 1＝34×(202＋302)， 解得DD 1＝1333，在直角梯形O 1ODD 1中，O 1O ＝DD 21－(OD －O 1D 1)2＝43， 所以棱台的高为4 3 cm.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2011·山东)右图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、 俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的 个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0答案 A解析 底面是等腰直角三角形的三棱柱，当它的一个矩形侧面放置在水平面上时，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此①正确；若长方体的高和宽相等，则存在满足题意的两个相等的矩形，因此②正确；当圆柱侧放时(即侧视图为圆时)，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此③正确．2. 一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图为()答案 C解析依题意可知该几何体的直观图如下图所示，故其俯视图应为C.3．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，得四边形BFD1E，给出下列结论：①四边形BFD1E有可能为梯形；②四边形BFD1E有可能为菱形；③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D；⑤四边形BFD1E面积的最小值为6 2 .其中正确的是()A．①②③④B．②③④⑤C．①③④⑤D．①②④⑤答案 B解析四边形BFD1E为平行四边形，①显然不成立，当E、F分别为AA1、CC1的中点时，②④成立，四边形BFD1E在底面的投影恒为正方形ABCD.当E、F分别为AA1、CC1的中点时，四边形BFD1E的面积最小，最小值为6 2 .二、填空题(每小题5分，共15分)4. 在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在xOy坐标系中，四边形ABCO为________，面积为________ cm2.答案矩形8解析由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在xOy坐标系中，四边形ABCO 是一个长为4 cm ，宽为2 cm 的矩形，所以四边形ABCO 的面积为8 cm 2. 5． 用半径为r 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是________．答案32r 解析 由题意可知卷成的圆锥的母线长为r ，设卷成的圆锥的底面半径为r ′，则2πr ′＝πr ，所以r ′＝12r ，所以圆锥的高h ＝r 2－⎝⎛⎭⎫12r 2＝32r .6. 如图，点O 为正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的中心，点E 为面B ′BCC ′的中心，点F 为B ′C ′的中点，则空间四边形D ′OEF 在 该正方体的各个面上的投影可能是________(填出所有可能的序号)．答案 ①②③解析 空间四边形D ′OEF 在正方体的面DCC ′D ′上的投影是①；在面BCC ′B ′上的投影是②；在面ABCD 上的投影是③，故填①②③. 三、解答题7． (13分)已知正三棱锥V —ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积． 解 (1)直观图如图所示：(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23，∴侧视图中VA ＝42－⎝⎛⎭⎫23×32×232＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.。
高一数学空间几何体的三视图与直观图试题答案及解析
高一数学空间几何体的三视图与直观图试题答案及解析1.已知一个几何体的三视图如图所示.（Ⅰ）求此几何体的表面积；（Ⅱ）在如图的正视图中，如果点为所在线段中点，点为顶点，求在几何体侧面上从点到点的最短路径的长.【答案】（1）；（2）【解析】（1）以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素的位置关系和数量关系；（2）多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理；（3）圆锥、圆柱、圆台的侧面是曲面，计算侧面积或长度时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和. 试题解析：（Ⅰ）由三视图知：此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.所以． 6分（Ⅱ）沿点到点所在母线剪开圆柱侧面，如图：则，所以从点到点在侧面上的最短路径的长为． 12分【考点】空间几何体的表面积.2.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为，腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是_______-【答案】【解析】如图，根据斜二测画法，可得原平面图形是直角梯形，在直观图中，分别过顶点作底面的高，由于是等腰梯形，可得底面边长为，所以在平面图形中，可知DC=2，所以S= ( AD+BC)·DC=.【考点】直观图和平面图的关系.3.下列命题中正确的是（）A．空间三点可以确定一个平面B．三角形一定是平面图形C．若A、B、C、D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合D．四条边都相等的四边形是平面图形【答案】B【解析】不在同一直线的三点确定一个平面，故A错，B对；共线的四点可以构成无数个平面，故C错；正四面体的四个边都相等，但它不是平面图形，故D错.故选B.【考点】平面的基本性质.4.将棱长为2的正方体切割后得一几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为___________.【答案】.【解析】由三视图可知，该几何体为正方体先切割得到的三棱柱后切割一三棱锥，如图所示，则其体积为.【考点】空间几何体的体积.5.某一几何体的三视图如图所示.按照给出的尺寸（单位:cm），(1)请写出该几何体是由哪些简单几何体组合而成的;（2）求出这个几何体的体积.【答案】(1) 正方体和直三棱柱；（2）10cm3．【解析】(1)画出已知三视图的直观图,就很容易获得此几何体是由哪些简单几何体组合而成的;(1)既然几何体是由简单几何体组合而成的,那就只需先求得各个简单几何体的体积,然后相加即得所求几何体的体积.试题解析：(1)如图是题中所给几何体的直观图，所以这个几何体可看成是由正方体及直三棱柱的组合体．（2）由，，可得．所求几何体的体积：【考点】1.三视图;2.直观图;3.体积公式.6.某向何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图可知,该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体,所以体积为。
空间几何体的三视图及直观图础训练题(有详解)
空间几何体的三视图及直观图础训练题（有详解) 1．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为a ，那么这个几何体的体积为（ ）A ．316aB ．313aC ．312aD ．3a 2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某棱锥的三视图，则该棱锥中最长的棱长为（ ） A ．B ．6 C ．D ． 3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．210 B ．208 C ．206 D ．204 4．下图虚线网格的最小正方形边长为1，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为（ ）A ．4πB ．2πC ．43π D ．π 5．某多面体的三视图（单位：）如图所示，则此多面体外接球的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图是一个水平放置的正四棱柱被截掉一只角后的实物图形，则它的侧视图是( )A ．B ．C ．D ．7．某柱体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的侧面积（单位：）是（ ）A ．6B ．C ．D ． 8．如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A ．圆柱 B ．球 C ．圆锥 D ．棱柱9．如图所示，画出四面体AB 1CD 1三视图中的正视图，以面AA 1D 1D 为投影面，则得到的正视图可以为 ( ) A ． B ． C ． D ． 10．一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ） A ． B ． C ． D ．A ．B ．C ．D ． 12．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）A ．4B ．73. C ．43 D ．8313．若一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的周长为（ ）A ．4+B ．3C ．2D ．314．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的等腰三角形，其中1OA OB ==，则原平面图形的面积为（ ）A ．1BC ．32 D ．215．如图，正方形////O A B C 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（ ）A ．2B ．1C ．D ．16．如下图，是用“斜二测画法”画出的直观图，其中，那么是一个（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．三边互不相等的三角形17．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，如图所示，则原平面图形的面积为( ) A ．4 B ．8 C ．8 D ．8 18．斜二测图的轴间角分别为（ ） A ．， B ．， C ．， D ．，二、填空题 19．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（________） 20．一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示，其中主视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积是________．21．一个四棱锥的三视图如右图所示，已知该四棱锥的体积为20，则高h=____________.22．利用斜二测画法得到的结论正确的是_________①三角形的直观图是三角形③正方形的直观图是正方形 ④菱形的直观图是菱形； 23．若正ABC ∆的边长为a ，则ABC ∆的平面直观图A B C ∆'''的面积为=____________. 24．如图， '''O A B ∆是水平放置的ABC ∆的直观图，则ABC ∆的周长为 ______.三、解答题 25．画出如图所示几何体的三视图．参考答案1．A【解析】【分析】该几何体为三棱锥，且同一点出发的三条棱长度为1，可以以其中两条棱组成的直角三角形为底，另一棱为高，利用体积公式求得其体积【详解】根据几何体得三视图转换为几何体为：底面为直角边长为a 的等腰直角三角形，高为a 的三棱锥． 故：3111326V a a a a =⨯⨯⨯⨯=. 故选：A ．【点睛】本题考查简单的三视图问题，属于基础题2．B【解析】【分析】作出直观图，根据三视图的数据和勾股定理计算各棱长即可．【详解】解：作出四棱锥A ﹣BCDE 的直观图如图所示：由三视图可知底面BCDE 是直角梯形， DE ∥BC ，BC ⊥BE ，DE ⊥面ABE ，AE ⊥BE ，且AE ＝BE ＝DE ＝4，BC ＝2，∴AD ＝AB ＝，AC ＝6，CD =∴AC 为四棱锥的最长棱．故选：B ．【点睛】本题考查了棱锥的结构特征和三视图，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题． 3．D【解析】【分析】根据三视图还原出原几何体，并得到各棱的长度，通过切割法求出其体积.【详解】由已知中的三视图可得：该几何体是由一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体， 正方体的边长为6，切去一个三棱锥的底面是直角边长分别为6，6的等腰直角三角形，高为2， 故该几何体的体积为311666220432V =-⨯⨯⨯⨯=. 故选D 项.【点睛】本题考查三视图还原几何体，切割法求几何体体积，属于简单题.4．B【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．【详解】解：应用可知几何体的直观图如图：是圆柱的一半， 可得几何体的体积为：211422ππ⨯⨯=． 故选：B ．【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．5．C【解析】【分析】通过三视图还原几何体，可得多面体为正方体去掉一个角。
高二数学空间几何体的三视图与直观图试题答案及解析
高二数学空间几何体的三视图与直观图试题答案及解析1.设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为_________m3．【答案】4【解析】由三视图的知识可知几何体为一侧面与底面垂直的三棱锥，且底面三角形长为4，高为3，几何体高为2，所以答案为4.【考点】1.三视图；2.空间几何体的体积计算公式2.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为直三棱锥，底面为等腰直角三角形，把三棱锥补成长方体，三棱锥和长方体具有相同的外接球，，因此，.【考点】球的体积.3.某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图所示，可知,所以,,所以最长边为.【考点】空间几何体，三视图.4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的高为3，底面三角形的一条边长为3，该边上的高为1，∴几何体的体积【考点】由三视图求体积5.如图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为．【答案】【解析】由三视图可知,其为三棱锥,且一侧棱垂直于底面.所以根据棱锥体积公式有.【考点】三视图,棱锥体积.6.已知四棱锥的三视图如图，则四棱锥的全面积为( )A．B．C．5D．4【答案】B【解析】三视图复原的几何体是四棱锥，判断底面形状，四棱锥的特征，利用三视图的数据，求出全面积即可．【考点】三视图.7.右图是某几何体的三视图，其中正视图是正方形，侧视图是矩形，俯视图是半径为2的半圆，则该几何体的表面积等于（）B．24πA．C．D．12π【答案】A【解析】由题意可得，直观图为底面直径为4，高为4的圆柱的一半，所以该几何体的表面积是正方形面积+圆柱侧面积的一半+圆的面积，即，故选A．【考点】由三视图求表面积．8.已知某几何体的三视图(单位： cm)如右图所示，则该几何体的体积是。
高三数学空间几何体的三视图与直观图试题答案及解析
高三数学空间几何体的三视图与直观图试题答案及解析1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是圆锥的四分之一，其底半径为，高为，所以其体积为，故选.【考点】1.三视图；2.几何体的体积.2.若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图可知，空间几体体的直观图如下图所示：所求几何体的体积故选C.【考点】1、三视图；2、空间几何体的体积.3.如图，一个几何体的三视图（正视图、侧视图和俯视图）为两个等腰直角三角形和一个边长为1的正方形，则其外接球的表面积为A．πB．2πC．3πD．4π【答案】C【解析】原几何体为有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，且底面是边长为1的正方形，垂直于底面的侧棱长也为1，因此，该几何体可以补形为一个棱长为1的正方体，其外接球就是这个正方体的外接球，直径为正方体的对角线长，即2R＝，故R＝故外接球表面积为：4πR2＝3π.【考点】三视图，几何体的外接球及其表面积4.如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形(单位： cm)，则该三棱锥的外接球的表面积为________cm2．【答案】29π【解析】从三棱锥的三视图可知，三棱锥有两侧面与底面垂直，把三棱锥补成长，宽，高分别为4,2,3的长方体，设外接球的半径为R，由42＋22＋32＝4R2得，S＝4πR2＝29π(cm2)．球5.某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为()A．4B．2C．D．8【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体如图所示，其底面为正方形，正方形的边长为2．HD＝3，BF ＝1，将相同的两个几何体放在一起，构成一个高为4的长方体，所以该几何体的体积为×2×2×4＝8．6.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()【答案】D【解析】由题目所给的几何体的正视图和俯视图，可知该几何体为半圆锥和三棱锥的组合体，如图所示，可知左视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D．7.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，= .【答案】【解析】由三视图知，原几何体是一个四棱锥，底面是面积为的矩形，高为，所以，解得.【考点】三视图，空间几何体的体积.8.如图，水平放置的正三棱柱的主视图是一边长为2的正方形，则该三棱柱的左视图的面积为．【答案】【解析】左视图为一个矩形，长宽分别为，因此面积为.【考点】三视图9.若一个正三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为() A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意得，该正三棱柱的底面正三角形的边长为2，侧棱长为1．设该正三棱柱的外接球半径为R，易知该正三棱柱的底面正三角形的外接圆半径是2sin 60°×＝，所以R2＝＋＝，则该球的表面积为4πR2＝．10.图中的网格是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为________．【答案】16【解析】从三视图可知，这是一个四棱锥，.【考点】三视图.11.如图所示，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为的正方形，俯视图是一个直径为的圆，那么这个几何体的体积为 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】几何体是圆柱，.【考点】三视图，圆柱的体积.12.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为( )A．1B．C．D．【答案】B【解析】由三视图可知，此几何体为三棱锥，如图，其中正视图为，是边长为2的正三角形，，且，底面为等腰直角三角形，，所以体积为，故选B.13.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】由题意知，正视图的最大面积为对角面的面积，最小面积为，而，故选C．【考点】三视图.14.已知某几何体的三视图如右图所示，其中俯视图是圆，且该几何体的体积为；直径为2的球的体积为．则()A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥得到的几何体，，，∴.选B.【考点】三视图，体积.15.三棱锥S-ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】过B作BD⊥AC于点D，则BD=2，CD=2，所以BC=,因为SC⊥平面ABC，所以SC⊥BC，所以SB=,故选B.【考点】三视图、直线与平面垂直的性质.16.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥拼接而成，且半圆柱的底面是半径为的半圆，高为，其底面积为，故其体积为，三棱锥的底面是一个直角三角形，三棱锥的高也为，其底面积为，故其体积为，所以该几何体的体积为，故选A.【考点】1.三视图；2.组合体的体积17.右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 .【答案】【解析】所求几何体为一个底面半径为1，高为1的圆柱与半径为1的四分之一的球的组合体，所以体积为【考点】三视图18.一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为______.【答案】96【解析】几何体为一个三棱柱，底面为一个等腰三角形，底边长为6，底边上高为4，棱柱的高为8.因此所求体积为【考点】三视图19.把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成三棱锥C－ABD，它的主视图与俯视图如右上图所示，则二面角 C－AB－D的正切值为．【答案】【解析】如图所示,做BD,AB的中点分别为点E,F.则有CE面ABD,由于EF为等腰直角三角形ABD的中位线,故EF AB,则为二面角 C－AB－D的代表角,所以,故填.【考点】二面角三视图20.已知水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′(斜二测画法)是边长为a的正三角形，则原△ABC 的面积为()A．a2B．a2C．a2D．a2【答案】D【解析】斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为1∶，则易知S＝ ( a)2，∴S＝a2.21.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A．πcm3B．3πcm3C．πcm3D．πcm3【答案】D【解析】由三视图可知,此几何体为底面半径为1cm、高为3cm的圆柱上部去掉一个半径为1cm的半球,所以其体积为V=3π-π=π(cm 3).22. 右图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD ＝AD ＝2EC ＝2.(1)请画出该几何体的三视图； (2)求四棱锥B-CEPD 的体积．【答案】(1)见解析 (2)2【解析】解：(1)该组合体的三视图如图所示．(2)∵PD ⊥平面ABCD ， PD ⊂平面PDCE ，∴平面PDCE ⊥平面ABCD. ∵四边形ABCD 为正方形，∴BC ⊥CD ，且BC ＝DC ＝AD ＝2. 又∵平面PDCE∩平面ABCD ＝CD ， BC ⊂平面ABCD. ∴BC ⊥平面PDCE.∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥DC.又∵EC ∥PD ，PD ＝2，EC ＝1，∴四边形PDCE 为一个直角梯形，其面积： S 梯形PDCE ＝ (PD ＋EC)·DC ＝×3×2＝3， ∴四棱锥B-CEPD 的体积V B-CEPD ＝S 梯形PDCE ·BC ＝×3×2＝2.23. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π【答案】A【解析】将三视图还原成直观图为：上面是一个正四棱柱，下面是半个圆柱体．所以V＝2×2×4＋×22×π×4＝16＋8π.24.某几何体的三视图如图所示，则其体积为________．【答案】【解析】由三视图还原几何体为半个圆锥，高为2，底面半圆的半径r＝1.∴体积V＝×(π×12×2)＝.25.如图所示为一个几何体的直观图、三视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形)．(1)求四棱锥P-ABCD的体积；(2)若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG.【答案】（1）（2）见解析【解析】(1)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA＝4 ，BE＝2 ，AB＝4.∴VP-ABCD ＝PA·S四边形ABCD＝×4 ×4×4＝.(2)∵＝，∠EBA＝∠BAP＝90°，∴△EBA∽△BAP，∴∠BEA＝∠PBA.∴∠BEA＋∠BAE＝∠PBA＋∠BAE＝90°，∴PB⊥AE又∵BC⊥平面APEB，∴BC⊥AE.∵BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC.∵PG⊂平面PBC，∴AE⊥PG.26.如图所示，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为________．【答案】9【解析】由题意知，此几何体是三棱锥，其高h＝3，相应底面面积为S＝×6×3＝9，∴V＝Sh＝×9×3＝9.27.某几何体的三视图如图所示，主视图和侧视图为全等的直角梯形，俯视图为直角三角形.则该几何体的表面积为( )A. B. C. D【答案】B【解析】此几何体直观图如图所示。
高二数学空间几何体的三视图与直观图试题答案及解析
高二数学空间几何体的三视图与直观图试题答案及解析1.如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的_______．【答案】③【解析】设图甲中直观图为(按逆时针)，因为AB与y’平行，所以是直角，只有③满足【考点】直观图中平行关系不变.2.若某几何体的三视图如右，该几何体的体积为，则俯视图中的.【答案】2【解析】由三视图可知，该几何体为四棱锥，高为2，底面为直角梯形面积，因此，解得.【考点】几何体的体积.3.设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为_________m3．【答案】4【解析】由三视图的知识可知几何体为一侧面与底面垂直的三棱锥，且底面三角形长为4，高为3，几何体高为2，所以答案为4.【考点】1.三视图；2.空间几何体的体积计算公式4.设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为_________m3．【答案】4【解析】由三视图的知识可知几何体为一侧面与底面垂直的三棱锥，且底面三角形长为4，高为3，几何体高为2，所以答案为4.【考点】1.三视图；2.空间几何体的体积计算公式5.某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )A．8B．6C．10D．8【答案】C【解析】由三视图知，该四面体ABCD的底面ABC是AB=4，BC=3，∠ABC为直角的直角三角形，AD⊥面ABC，且AD=4，所以AC=5，BD=，易证BD⊥BC，△ABC，△ABD，△DAC，△DBC的面积分别为6,8,10，，故四个面的面积中的最大的是10，故选C.考点:简单几何的三视图6.如图是多面体和它的三视图．(1)若点是线段上的一点，且,求证：;(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1)利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)证明线面垂直，需证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：解：(1)由题意知AA1，AB，AC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(－2，0，0)，C(0，－2，0)，C1(－1，－1，2)，则＝(－1，1，2)，＝(－1，－1，0)，＝(0，－2，－2)．(1分)设E(x，y，z)，则＝(x，y＋2，z)，＝(－1－x，－1－y，2－z)．(3分)＝2，得E(=设平面C1A1C的法向量为m＝(x，y，z)，则由，得，取x＝1，则y＝－1，z＝1.故m＝(1，－1，1)，=，BE⊥平面A1CC1.(6分)(2)由（1）知，平面C1A1C的法向量为m＝(1，－1，1)而平面A1CA的一个法向量为n＝(1，0，0)，则cos〈m，n〉＝＝＝，故二面角的余弦值.(12分)【考点】利用空间向量证明垂直和夹角问题.7.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，F为AB上一点．该四棱锥的正视图和侧视图如图所示，则四面体P－BFC的体积是_____．【答案】【解析】由三视图知.【考点】空间几何体的三视图、体积的求法.8.一个半径为2的球体经过切割后,剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为；【答案】【解析】此几何体是一个球的，两个截面为半圆。
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空间几何体的结构及其三视图和直观图
(时间：45分钟分值：100分)
一、选择题
1. [2013·惠州模拟]下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()
A. ①②
B. ①③
C. ①④
D. ②④
答案：D
解析：根据题目要求三视图中有且仅有两个视图相同，其中①的三个视图可以都相同，故可以排除选项A，B，C.选D.
2. [2013·南宁模拟]一个几何体的正视图与侧视图相同，均为右图所示，
则其俯视图可能是()
答案：B
解析：由正视图和侧视图可知该几何体是一个上面为正四棱锥，下面是一个圆柱的组合体，故其俯视图为B.
3. 如图所示，△O′A′B′是△OAB水平放置的直观图，则△OAB的面积为()
A. 6
B. 3 2
C. 62
D. 12
答案：D
解析：若还原为原三角形，则易知OB＝4，OA⊥OB，OA＝6，所以S△AOB＝1
2×4×6＝
12.
4. 某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为1
3，则该几何体的俯视图
可以是( )
答案：D
解析：当俯视图是D 中的图象时，该几何体是一个四棱锥，其底面是边长为1的正方形，且有一条长为1的侧棱垂直于底面，故此时该几何体的体积是V ＝13×12×1＝1
3
.
5. [2013·西安质检]如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A. 9π
2＋12 B. 9π
2
＋18 C. 9π＋42 D. 36π＋18 答案：B
解析：由题知，该几何体为一个长方体与一个球体的组合体，其体积V ＝3×3×2＋4π3×(32)3＝9π
2
＋18.
6. [2013·佛山质检]用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB 平行于y 轴，BC 、AD 平行于x 轴．已知四边形ABCD 的面积为2 2 cm 2，则原平面图形的面积为( )
A. 4 cm 2
B. 4 2 cm 2
C. 8 cm 2
D. 8 2 cm 2
答案：C
解析：依题意可知∠BAD ＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC 、AD 相等，高为梯形ABCD 的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm 2.
二、填空题
7. [2013·怀化模拟]如图，正三棱柱的棱长和底面边长均为2，正(主)视图是边长为2的正方形，则侧(左)视图的面积为________．
答案：2 3
解析：侧(左)视图的高为2，宽为底面正三角形的高h＝
3
2×2＝3，所以其面积S＝2 3.
8. [2013·长春模拟]如图是一个几何体的三视图．若它的体积是33，则a＝________.
答案： 3
解析：由三视图可知几何体为一个直三棱柱(如图)，底面三角形中边长为2的边上的高为a，
所以V＝3×(1
2×2×a)＝33⇒a＝ 3.
9. [2013·金版原创]长和宽分别相等的两个矩形如图所示．
给定下列四个命题：
①存在三棱柱，其正视图、侧视图如图；
②存在四棱柱，其俯视图与其中一个视图完全一样；
③存在圆柱，其正视图、侧视图如图；
④若矩形的长与宽分别是2和1，则该几何体的最大体积为4.
其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．
答案：①③④
解析：对于①，将三棱柱正放时(三角形面为底面)能满足要求；②不正确，俯视图应该是正方形不是矩形；③正确，将圆柱正放(圆面为底面)满足要求；④正确，当该几何体是长方体时体积最大，最大体积为4.
三、解答题
10. [2013·无锡调研]如图(1)，在四棱锥P－ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD 垂直，图(2)为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形．
(1)根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；
(2)求P A.
解：(1)该四棱锥的俯视图为边长为6 cm的正方形(内含对角线)，如图，其面积为36 cm2.
(2)由侧视图可求得
PD＝PC2＋CD2＝62＋62＝6 2.
由正视图可知AD＝6且AD⊥PD，
所以在Rt△APD中，
P A＝PD2＋AD2＝(62)2＋62
＝63(cm)．
11. [2013·唐山检测]如图，在斜二测画法下，四边形A ′B ′C ′D ′是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为2，则原四边形的面积是多少？
解：如图(1)作D ′E ′⊥A ′B ′于E ′， C ′F ′⊥A ′B ′于F ′，
则A ′E ′＝B ′F ′＝A ′D ′cos45°＝1， ∴C ′D ′＝E ′F ′＝3.
将原图复原(如图(2))，则原四边形应为直角梯形，∠A ＝90°，AB ＝5，CD ＝3，AD ＝22， ∴S 四边形ABCD ＝1
2
×(5＋3)×22＝8 2.
12. [2013·大连模拟]如图是一个几何体的正视图和俯视图． (1)试判断该几何体是什么几何体；
(2)画出其侧视图，并求该平面图形(侧视图)的面积．
解：(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥． (2)该几何体的侧视图，如图．
其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC ＝3a ，AD 是正棱锥的高，则AD ＝3a ，所以该平面图形(侧视图)的面积为S ＝12×3a ×3a ＝32
a 2.。