盈亏问题及其解法

盈亏问题及其解法
把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完，如果物体还有剩余，就叫盈；如果物体不够分，就叫亏.凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题.盈亏问题最早记载于《九章算术》中的第六章“盈不足”，盈，就是有余；亏，就是不足的意思.
如果用算术方法求解，我们有以下一般解法：
(1)（盈数+亏数）÷两次每份分配之差=份数;
(2)（大盈-小盈）÷两次分配之差=份数;
(3)（大亏--小亏）÷两次分配之差=份数;
(4)一盈一平或一亏一平=盈数或亏数÷两次分配的差=份数;
(5)总数量：每次分的数量*份数+盈=总数量.每次分的数量*份数-亏=总数量.物品数可由其中一种分法的份数和盈亏数求出.
《九章算术》中，结合具体的例子，分别给出以上不同的公式（1）-（4），在我们今天看来，公式（1）-（4）中的加减号可以用“代数和”加以统一.
例1．老猴子给小猴子分梨.每只小猴子分6个梨，就多出12个梨；每只小猴子分7个梨，就少11个梨.有几只小猴子和多少个梨？
例2. 盈不足:今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？答曰：七人，物价五十三.
分析：人数：（3+4）/（8-7）=7(人)；物品价格：7*8-3=53（元）.
以下给出《九章算术》的其他一些“盈不足”问题，供参考.
▲今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数、鸡价各几何？【九人，鸡价七十】▲今有共买璡，人出半，盈四；人出少半，不足三.问人数、璡价各几何？【四十二人，璡价十七】▲今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十.问家数、牛价各几何？【一百二十六家，牛价三千七百五十】
▲今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.问人数、金价各几何？【三十三人.金价九千八百】
▲今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何？【二十一人，羊价一百五十】
▲今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足.问人数、豕价各几何？【一十人，豕价九百】▲今有共买犬，人出五，不足九十；人出五十，适足.问人数、犬价各几何？【二人，犬价一百】▲今有米在十斗桶中，不知其数.满中添粟而舂之，得米七斗.问故米几何？【二斗五升】
▲今有垣高九尺.瓜生其上，蔓日长七寸.瓠生其下，蔓日长一尺.问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？
答曰：五日、十七分日之五.瓜长三尺七寸、十七分寸之一，瓠长五尺二寸、十七分寸之十六.
术曰：假令五日，不足五寸.令之六日，有馀一尺二寸.
▲今有蒲生一日，长三尺.莞生一日，长一尺.蒲生日自半.莞生日自倍.问几何日而长等？
答曰：二日、十三分日之六.各长四尺八寸、十三分寸之六.
术曰：假令二日，不足一尺五寸.令之三日，有馀一尺七寸半.
▲今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢？各穿几何？
答曰：二日、十七分日之二.大鼠穿三尺四寸、十七分寸之十二，小鼠穿一尺五寸、十七分寸之五.
术曰：假令二日，不足五寸.令之三日，有馀三尺七寸半.
▲今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十.今将钱三十，得酒二斗.问醇、行酒各得几何？
答曰：醇酒二升半，行酒一斗七升半.
术曰：假令醇酒五升，行酒一斗五升，有馀一十.令之醇酒二升，行酒一斗八升，不足二.
▲今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛.问大、小器各容几何？
答曰：大器容二十四分斛之十三，小器容二十四分斛之七.
术曰：假令大器五斗，小器亦五斗，盈一十斗.令之大器五斗五升，小器二斗五升，不足二斗.
▲今有漆三得油四，油四和漆五.今有漆三斗，欲令分以易油，还自和馀漆.问出漆、得油、和漆各几何？
答曰：出漆一斗一升、四分升之一，得油一斗五升，和漆一斗八升，四分升之三.
术曰：假令出漆九升，不足六升.令之出漆一斗二升，有馀二升.
▲今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤.问玉、石重各几何？
答曰：玉一十四寸，重六斤二两.石一十三寸，重四斤十四两.
术曰：假令皆玉，多十三两.令之皆石，不足十四两.不足为玉，多为石.各以一寸之重乘之，得玉石之积重.
▲今有人持钱之蜀，贾利十三.初返归一万四千，次返归一万三千，次返归一万二千，次返归一万一千，后返归一万.凡五返归钱，本利俱尽.问本持钱及利各几何？
答曰：本三万四百六十八钱、三十七万一千二百九十三分钱之八万四千八百七十六.利二万九千五百三十一钱、三十七万一千二百九十三分钱之二十八万六千四百一十七.
术曰：假令本钱三万，不足一千七百三十八钱半.令之四万，多三万五千三百九十钱八分.
如此众多的问题，数值有大有小，甚至不全是整数解，以今天的眼光看来，都是同一“题型”，并无太大的差异.但这些问题能反映出，当时的社会生活丰富多姿，中国人已经能有意识地使用数学工具解决生活中的种种问题，且有收藏、归类、总结算法的习惯，这在当时是很难得的.
今天我们求解盈亏问题就方便多了，那就是用方程这一工具.有了方程，解法变得统一而简单，同学们学习一道题目以后，即可举一反三，不需要做太多的习题.
例3. 将一堆糖果分给幼儿园某班的小朋友，如果每人2颗，就多8颗；如果每人3颗，则少12颗.这个班共有多少名小朋友？一共有多少颗糖果？
解法1：设有x个小朋友，则2x+8=3x-12，x=20人，共有糖果2×20+8=48颗.
解法2：设有y颗糖果，则
812
23
y y
，y=48，有小朋友
48-8
=20
2
人.
盈亏问题一共有2个未知数，就对应了两种不同的解法.在例3中，若设人数为未知数，就可以把糖果的数量“算两次”，即可得到方程；类似地，若设糖果数量为未知数，可以用两种方法算出人数，得出方程.
盈亏问题有两种解法，这是此类问题的特征.
有些问题，不会直接看出是盈亏问题，但解法类似。

例4.一种商品因换季准备打折出售，如果按照定价的七五折出售将赔25元，而按照定价的九折出售将赚20元，问这种商品的定价是多少元？
分析：设定价为x元，则0.75x+25=0.9x-20，算出x=300元。

例5. 一艘轮船航行于两地之间，顺水要用4小时，逆水要用5小时，已知轮船在静水中的速度是30千米/小时，求水流的速度。

分析：设水流速度为x千米/小时.则4(x+30)=5(30-x)，算出x=10/3.
同学们在解决盈亏问题时，需要留意式子中的正负号，确认无误以后再求解，否则会发生意料不到的错误。

以本题为例，有同学这样写：
究其原因，没有注意“静水中船速>水速”这一条件，否则，船如何逆流航行呢？。