2015年高考数学(文)一轮课件：10-5椭圆
2015届高考数学一轮总复习 10-5古典概型与几何概型
2015届高考数学一轮总复习 10-5古典概型与几何概型基础巩固强化一、选择题1．已知α、β、γ是不重合平面，a 、b 是不重合的直线，下列说法正确的是( ) A ．“若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α”是随机事件 B ．“若a ∥b ，a ⊂α，则b ∥α”是必然事件 C ．“若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β”是必然事件 D ．“若a ⊥α，a ∩b ＝P ，则b ⊥α”是不可能事件 [答案] D [解析]⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α，故A 错；⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊂α⇒b ∥α或b ⊂α，故B 错；当α⊥γ，β⊥γ时，α与β可能平行，也可能相交(包括垂直)，故C 错；如果两条直线垂直于同一个平面，则此二直线必平行，故D 为真命题．2．(文)4张卡片上分别写有数字1、2、3、4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )A.13B.12 C.23 D.34 [答案] C[解析] 取出两张卡片的基本事件构成集合Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}共6个基本事件．其中数字之和为奇数包含(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)共4个基本事件， ∴所求概率为P ＝46＝23.(理)(2013·宿州质检)一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，将这颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为( )A.112B.118 C.136 D.7108 [答案] A[解析] 连续抛掷三次共有63＝216(种)情况，记三次点数分别为a 、b 、c ，则a ＋c ＝2b ，所以a ＋c 为偶数，则a 、c 的奇偶性相同，且a 、c 允许重复，一旦a 、c 确定，b 也唯一确定，故a ，c 共有2×32＝18(种)，所以所求概率为18216＝112，故选A.3．(文)(2013·惠州调研)一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为( )A.12B.13C.14D.25[答案] A[解析] P ＝2×2＋2×24×4＝12.(理)(2013·皖南八校联考)一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是( )A.15 B.310 C.25D.12[答案] C[解析] P ＝C 23＋C 22C 25＝25.4．(文)(2013·郑州第一次质量预测)一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验计算圆周率，他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆，测得正方形区域有豆5120颗，正方形的内切圆区域有豆4009颗，则他们所测得的圆周率为(保留三位有效数字)( )A ．3.13B ．3.14C ．3.15D ．3.16[答案] A[解析] 根据几何概型的定义有π·(12)21＝40095120，得π≈3.13.(理)点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到定点A 的距离|P A |<1的概率为( ) A.14 B.12 C.π4D ．π[答案] C[解析] 由题意可知，当动点P 位于扇形ABD 内时，动点P 到定点A 的距离|P A |<1，根据几何概型可知，动点P 到定点A 的距离|P A |<1的概率为S 扇形ABD S 正方形ABCD ＝π4，故选C.5．(文)(2013·石家庄质检)在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为( )A.14B.13C.12D.32[答案] C[解析] 如图，设圆的半径为r ，圆心为O ，AB 为圆的一条直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为M ，若CD 为圆内接正三角形的一条边，则O 到CD 的距离为r2，设EF 为与CD 平行且到圆心O 距离为r2的弦，交直径AB 于点N ，所以当过AB 上的点且垂直于AB 的弦的长度超过CD 时，该点在线段MN 上移动，所以所求概率P ＝r 2r ＝12，选C.(理)(2013·湖南)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则ADAB＝( )A.12 B.14C.32 D.74[答案] D [解析]由题意知AB >AD ，如图，当点P 与E (或F )重合时，△ABP 中，AB ＝BP (或AP )，当点P 在EF 上运动时，总有AB >AP ，AB >BP ，由题中事件发生的概率为12知，点P 的分界点E 、F 恰好是边CD的四等分点，由勾股定理可得AB 2＝AF 2＝(34AB )2＋AD 2，解得(AD AB )2＝716，即AD AB ＝74，故选D.6．(2013·武昌区联考)若从区间(0,2)内随机取两个数，则这两个数的比不小于4的概率为( ) A.18 B.78 C.14D.34[答案] C[解析] 设这两个数分别为x ，y ，则由条件知0<x <2,0<y <2，y ≥4x 或x ≥4y ，则所求概率P ＝2×(12×2×12)2×2＝14.二、填空题7．(2013·郑州二检)连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，设向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈⎝⎛⎤0，π2的概率是________． [答案]712[解析] ∵cos θ＝m －n2·m 2＋n 2，θ∈⎝⎛⎦⎤0，π2， ∴m ≥n ，满足条件m ＝n 的概率为636＝16，m >n 的概率与m <n 的概率相等， ∴m >n 的概率为12×⎝⎛⎭⎫1－16＝512， ∴满足m ≥n 的概率为P ＝16＋512＝712.8．(文)(2012·浙江文，12)从边长为1的正方形的中心和顶点这五个点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为22的概率是________． [答案] 25[解析]由五个点中随机取两点共有10种取法．由图可知两点间的距离为22的是中心和四个顶点组成的4条线段，故概率为P ＝410＝25. (理)在区间[1,5]和[2,4]分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________．[答案] 12[解析] ∵方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .由题意知，在矩形ABCD 内任取一点P (m ，n )，求P 点落在阴影部分的概率，易知直线m ＝n恰好将矩形平分，∴p ＝12.9．(文)在区间[－1,1]上随机取一个数k ，则直线y ＝k (x ＋2)与圆x 2＋y 2＝1有公共点的概率为________．[答案]33[解析] ∵直线与圆有公共点，∴|2k |k 2＋1≤1， ∴－33≤k ≤33.故所求概率为P ＝33－(－33)1－(－1)＝33.(理)(2013·大连、沈阳联考)若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a 和b ，则方程x ＝22a －2bx有不等实数根的概率为________．[答案]12[解析]方程x ＝22a －2bx 化为x 2－22ax ＋2b ＝0，∵方程有两个不等实根， ∴Δ＝8a －8b >0，∴a >b ， 如图可知，所求概率P ＝12.三、解答题10．(文)设平面向量a m ＝(m,1)，b n ＝(2，n )，其中m 、n ∈{1,2,3,4}． (1)请列出有序数组(m ，n )的所有可能结果；(2)记“使得a m ⊥(a m －b n )成立的(m ，n )”为事件A ，求事件A 发生的概率． [解析] (1)有序数组(m ，n )的所有可能结果为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个．(2)由a m ⊥(a m －b n )得m 2－2m ＋1－n ＝0，即n ＝(m －1)2由于m 、n ∈{1,2,3,4}，故事件A 包含的基本事件为(2,1)，(3,4)，共2个．又基本事件的总数为16，故所求的概率为P (A )＝216＝18. (理)(2013·北京东城区统一检测)袋内装有6个球，这些球依次被编号为1、2、3、…、6，设编号为n 的球重n 2－6n ＋12(单位：g)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响)．(1)从袋中任意取出一个球，求其重量大于其编号的概率； (2)如果不放回地任意取出2个球，求它们重量相等的概率． [解析] (1)若编号为n 的球的重量大于其编号， 则n 2－6n ＋12>n ，即n 2－7n ＋12>0. 解得n <3，或n >4. 所以n ＝1,2,5,6.所以从袋中任意取出一个球，其重量大于其编号的概率P ＝46＝23.(2)不放回地任意取出2个球，这两个球编号的所有可能情形为(不分取出的先后次序)： 1,2；1,3；1,4；1,5；1,6； 2,3；2,4；2,5；2,6； 3,4；3,5；3,6； 4,5；4,6； 5,6. 共有15种．设编号分别为m 与n (m ，n ∈{1,2,3,4,5,6}，且m ≠n )的球的重量相等，则有m 2－6m ＋12＝n 2－6n ＋12，即有(m －n )(m ＋n －6)＝0.所以m ＝n (舍去)，或m ＋n ＝6.满足m ＋n ＝6的情形为：1,5；2,4，共2种． 故所求事件的概率为215.能力拓展提升一、选择题11．(2013·北京海淀期末)一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为( )A.112B.512C.712D.56 [答案] A[解析] 先从4个位置中选一个排4，再从剩下位置中选一个排3，所有可能的排法有4×3＝12种，满足要求的排法只有1种，∴所求概率为P ＝112.12．(文)(2012·辽宁文，11)在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.45[答案] C[解析] 在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，设AC ＝x ，则BC ＝12－x ，∴x (12－x )>20，∴2<x <10，因此总的几何度量为12，满足矩形面积大于20cm2的点在C 1与C 2之间的部分，如图∴P ＝812＝23.关键在于找出总长度及事件“矩形的面积大于20cm 2”所表示区域的长度．(理)(2012·湖北理，8)如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA 、OB 为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π[答案] A[分析] 在扇形OAB 内随机取一点，此点落在阴影部分的概率属于几何概型问题，关键是求阴影部分的面积，如图设阴影部分两块的面积分别为S 1、S 2，OA ＝R ，则S 1＝2(S 扇形DOC －S △DOC )，S 2＝S 扇形OAB －S ⊙D ＋S 1.[解析] 设图中阴影面积分别为S 1，S 2，令OA ＝R ，由图形知，S 1＝2(S 扇ODC －S △ODC ) ＝2[π·(R 2)24－12·(R 2)2]＝πR 2－2R 28，S 2＝S 扇形OAB －S ⊙D ＋S 1＝14πR 2－π·(R 2)2＋πR 2－2R 28＝πR 2－2R 28， ∴所求概率P ＝S 1＋S 2S 扇形OAB＝πR 2－2R 2414πR 2＝1－2π.[点评] 1.当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；2．利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的计算，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．13．在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于65的概率是( )A.1225B.1625C.1725D.1825 [答案] C[解析] 设两数为x 、y ，则0<x <1,0<y <1，满足x ＋y <65的点在图中阴影部分，∴所求概率为P ＝1－12×(1－15)21＝1725，故选C .二、填空题14．(文)(2013·大连模拟)在长为16cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为一边作正方形，则此正方形的面积介于25cm 2与81cm 2之间的概率为________．[答案] 14[解析] 正方形的面积介于25cm 2与81cm 2之间，即线段AM 长介于5cm 与9cm 之间，即点M 可以在5～9cm 之间取，长度为4cm ，总长为16cm ，所以，所求概率为416＝14.(理)(2013·南昌一模)张先生订了一份《南昌晚报》，送报人在早上6:30—7:30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7:00—8:00之间，则张先生在离开家之前能拿到报纸的概率是________．[答案] 78[解析]以横坐标x 表示报纸送到时间，以纵坐标y 表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，如图．因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意当y >x 时，即只要点落到阴影部分，就表示张先生在离开家之前能拿到报纸，即所求事件A 发生，所以P (A )＝1×1－12×12×121×1＝78.15．(2013·南京模拟)在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 落在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为________．[答案] 13[解析] 点P 的取法有2×3＝6种，点P 在圆内部，则m 2＋n 2<9，∴m ＝2，n ＝1或2.∴所求概率P ＝26＝13. 三、解答题16．(文)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料．若该员工3杯都选对，测评为优秀；若3杯选对2杯测评为良好；否测评为合格．假设此人对A 和B 饮料没有鉴别能力．(1)求此人被评为优秀的概率；(2)求此人被评为良好及以上的概率．[解析] 将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1、2、3表示A 饮料，编号4、5表示B 饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)(235)，(245)，(345)，共有10种令D 表示此人被评为优秀的事件，E 表示此人被评为良好的事件，F 表示此人被评为良好及以上的事件，则(1)P (D )＝110， (2)P (E )＝35，P (F )＝P (D )＋P (E )＝710. (理)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是12. (1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .①设事件A 表示“a ＋b ＝2”，求事件A 的概率；②在区间[0,2]内任取两个实数x 、y ，求事件“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”的概率．[解析] (1)由题意可知：n 1＋1＋n ＝12，解得n ＝2. (2)将标号为2的小球记作a 1，a 2①两次不放回抽取小球的所有基本事件为：(0,1)，(0，a 1)，(0，a 2)，(1,0)，(1，a 1)，(1，a 2)，(a 1,0)，(a 1,1)，(a 1，a 2)，(a 2,0)，(a 2,1)，(a 2，a 1)，共12个，事件A 包含的基本事件为：(0，a 1)，(0，a 2)，(a 1,0)，(a 2,0)，共4个．∴P (A )＝412＝13. ②记“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”为事件B ，则事件B 等价于“x 2＋y 2>4”，(x ，y )可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2，x ，y ∈R }，而事件B 所构成的区域B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2>4，x ，y ∈Ω}，∴P (B )＝S B S Ω＝2×2－π2×2＝1－π4.考纲要求1．理解古典概型及其概率计算公式．2．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．3．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．4．了解几何概型的意义．补充说明1．求解与角度有关的几何概型的注意点当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．2．.求解古典概型概率，首先要找准基本事件，判断的标准就是有限性和等可能性．基本事件空间中基本事件的计算方法和事件A 中包含的基本事件计算方法必须保持一致，计数时可以采取一一列举的方法，也可以采用模型化方法或用计数原理求，并辅以必要的文字说明．3．注意事件是否互斥；遇到“至多”、“至少”等事件时，注意对立事件概率公式的应用． 备选习题 1.(2013·哈尔滨二模)如图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可以估计出阴影部分的面积约为( )A.165B.215C.235D.195[答案] C[解析] 由几何概型的概率公式，得S 10＝138300，所以阴影部分面积约为235，故选C. 2．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )A.110B.18C.16D.15[答案] D[解析] 如图正六边形ABCDEF ，从6个顶点中随机选择4个顶点有ABCD ，ABCE ，ABCF ，ABDE ，ABDF ，ACDE ，ACDF ，ACEF ，ADEF ，BCDE ，BCDF ，BCEF ，ABEF ，BDEF ，CDEF 共15种选法，基本事件总数为15，其中四边形是矩形的有ABDE ，BCEF ，CDF A 共3种，所以所求概率为P ＝315＝15.3．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(他们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则log 2x y ＝1的概率为( )A.16B.536C.112D.12[答案] C[解析] 先后抛掷两枚骰子，向上点数共有6×6＝36种不同结果，其中满足log 2x y ＝1， 即y ＝2x 的情况如下：x ＝1时，y ＝2；x ＝2时，y ＝4；x ＝3时，y ＝6，共3种．∴所求概率为P ＝336＝112. [点评] 注意细微差别，若把题目中的条件log 2x y ＝1改为log 2x y >1，则所求概率为( ) 此时答案为A这是因为抛掷两枚骰子共有62＝36种不同结果，∵log 2x y >1，∴y >2x .当x ＝1时，y 有4种取法；当x ＝2时，y 有2种取法；当x ＝3时，没有y 满足，∴满足y >2x 的取法共有4＋2＝6种，故所求概率P ＝636＝16. 若改为log x 2y <1呢？4．设a ∈[0,2]，b ∈[0,4]，则函数f (x )＝x 2＋2ax ＋b 在R 上有两个不同零点的概率为________．[答案] 13[解析]∵f (x )有两个不同零点，∴Δ＝4a 2－4b >0，∴b <a 2，如图，设点(a ，b )落在阴影部分(即满足0≤a ≤2,0≤b ≤4且b <a 2)的事件为A ，由于阴影部分面积S ＝⎠⎛02a 2d a ＝13a 3|20＝83， 故所求事件A 的概率P (A )＝832×4＝13. 5．盒子内装有10张卡片，分别写有1～10的10个整数，从盒子中任取1张卡片，记下它的读数x ，然后放回盒子内，第二次再从盒子中任取1张卡片，记下它的读数y .试求：(1)x ＋y 是10的倍数的概率；(2)xy 是3的倍数的概率．[解析] 先后取两次卡片，每次都有1～10这10个结果，故形成的数对(x ，y )共有100个．(1)x ＋y 是10的倍数的数对包括以下10个：(1,9)，(9,1)，(2,8)，(8,2)，(3,7)，(7,3)，(4,6)，(6,4)，(5,5)，(10,10)．故“x ＋y 是10的倍数”的概率为P 1＝10100＝0.1. (2)xy 是3的倍数，只要x 是3的倍数，或y 是3的倍数，由于x 是3的倍数且y 不是3的倍数的数对有21个，而x 不是3的倍数且y 是3的倍数的数对有21个，x 是3的倍数且y 也是3的倍数的数对有9个．故xy 是3的倍数的数对有21＋21＋9＝51(个)．51故xy是3的倍数的概率为P2＝100＝0.51.。
高考数学全程一轮复习第八章解析几何第五节椭圆课件
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必备知识
1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于___常_数____(大于|F1F2|)的点 的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的_____焦_点______，两焦点间的 距离叫做椭圆的_____焦__距_____．
2．椭圆的标准方程和几何性质
AABB121___(2(－____0(____a，(a____，0，____，－____00____)bb)____)) ，，，_
AABB121___(2(0____－(，0____(，____bb－____，，a____a)____00)____)) ，，，_
长轴A1A2的长为___2_a____； 短轴B1B2的长为__2_b_____
(6)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
夯实基础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭 圆．( × )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( × )
(3)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( √ )
(4)
椭
圆
x2 a2
+
y2 b2
∴|PF2|＝12－3＝9，
即点P到另一个焦点的距离为9.
5
．
(
易
错
)
已
知
椭
圆
x2 5
+
y2 m
＝
1(m>0)
的
离
心
率
e
＝
10 5
，
则
m
的
值
为
___3_或__23_5 _．
高考数学一轮复习第9章第5节椭圆课件理2
3．(2019 年全国卷Ⅰ)已知椭圆 C 的焦点为 F1(－1，0)，F2(1，0)，过 F2 的直线与椭
圆 C 交于 A，B 两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则椭圆 C 的方程为( )
A．x22＋y2＝1
B．x32＋y22＝1
C．x42＋y32＝1
D．x52＋y42＝1
解析：选 B 设|F2B|＝x(x>0)，则|AF2|＝2x，|AB|＝3x， |BF1|＝3x，|AF1|＝4a－(|AB|＋|BF1|)＝4a－6x，由椭圆的定 义知|BF1|＋|BF2|＝2a＝4x，所以|AF1|＝2x.
(4)方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( )
(5)ay22＋bx22＝1(a≠b)表示焦点在 y 轴上的椭圆．(
)
(6)ax22＋by22＝1(a>b>0)与ay22＋bx22＝1(a>b>0)的焦距相等．(
)
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)√
解析：不妨设 F1，F2 分别是椭圆 C 的左、右焦点，由 M 点在第一象限，△MF1F2 是等腰三角形，知|F1M|＝|F1F2|，又由椭圆方程3x62 ＋2y02 ＝1，知|F1F2|＝8，|F1M|＋|F2M|＝ 2×6＝12，所以|F1M|＝|F1F2|＝8，|F2M|＝4.
2
课 堂 ·考 点 突 破
考点一 椭圆的定义及标准方程
|题组突破|
1．设椭圆 C：x42＋y2＝1 的左焦点为 F，直线 l：y＝kx(k≠0)与椭圆 C 交于 A，B 两
点，则|AF|＋|BF|的值是( )
A．2
B．2 3
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第八章 平面解析几何第5节 椭 圆
则|PA|=r+1,|PB|=8-r,
可得|PA|+|PB|=9,又9>2=|AB|,
则动圆的圆心P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为9的椭圆.故选A.
角度二
椭圆的焦点三角形
[例2] (多选题)(2024·山东青岛模拟)已知椭圆 C: + =1 的左、
右焦点分别是F1,F2, M( ,y0) 为椭圆C上一点,则下列结论正确的是
轴三等分,则此椭圆的方程是(
A.+=1
B.+ =1 源自 √C.+=1
D. +=1
)
解析:根据题意可设椭圆方程为 + =1,易知 2a=18,且 2c= ×2a,
解得a=9,c=3,
所以a2=81,b2=a2-c2=72,
所以 a=2 ,则离心率 e== .故选 C.
)
5.若方程
为
(0, )
+
=1 表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围
-
.
解析:由题可知,1-m>m>0,解得 0<m< ,所以实数m的取值范围为
(0,).
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
椭圆的定义及应用
角度一
根据定义判断曲线的形状
[例1] 一动圆P与圆A:(x+1)2+y2=1外切,而与圆B:(x-1)2+y2=64内切,
那么动圆的圆心P的轨迹是(
√
A.椭圆
B.双曲线
椭圆(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)
专题9.3 椭圆（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】一．椭圆的定义及其应用1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)代数式形式：集合①若，则集合P为椭圆；1212P={M||MF|+|MF|=2a|FF|=2c.}a c>②若，则集合P 为线段； ③若，则集合P 为空集．2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，二．椭圆的标准方程 1. 椭圆的标准方程：（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，.2．满足条件：三．椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围对称性曲线关于轴、原点对称 曲线关于轴、原点对称 顶点 长轴顶点 ,短轴顶点长轴顶点 ,轴顶点焦点a c =a c <x 2222=1(a>b>0)x y ab +y 2222=1(a>b>0)y x a b+x 2222+=1(a>b>0)x y a by 2222y +=1(a>b>0)x a b22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞2222+=1(a>b>0)x y a b 2222y +=1(a>b>0)x a bx a y b ≤≤,x b y a ≤≤,,x y ,x y (),0a ±()0,b ±()0,a ±(),0b ±(),0c ±()0,c ±焦距离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为四．直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y ，整理得到关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系． 2．直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或 （2）弦中点问题，适用“点差法”. （3）椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝22b a-，即k AB ＝2020b x a y -.【常考题型剖析】题型一：椭圆的定义及其应用例1.（2021·全国高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答222122()F F c c a b -＝＝() 0,1ce a∈＝c ＝22a b -22b a1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-2222+=1(a>b>0)x y a b案． 【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ．例2. （2021·全国）已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点(2,4)A ，则||||PA PF -的最小值为（ ） A ．1 B ．－1 C 17 D ．17-【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为F '，得到||4PF PF '=-，得出||||||4PA PF PA PF '-=+-，结合图象，得到当且仅当P ，A ，F '三点共线时，||PA PF '+取得最小值，即可求解.【详解】设椭圆的左焦点为F '，则||4PF PF '+=，可得||4PF PF '=-， 所以||||||4PA PF PA PF '-=+-，如图所示，当且仅当P ，A ，F '三点共线（点P 在线段AF '上）时， 此时||PA PF '+取得最小值，又由椭圆22:143x y C +=，可得(1,0)F '-且(2,4)A ，所以2(21)165AF '=++=，所以||||PA PF -的最小值为1． 故选：A ．例3.（2023·全国·高三专题练习）已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（ ）A ．33B ．3C 3D ．9【答案】A【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解. 【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又224c a b =-=记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 12332322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A【规律方法】1.应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2.2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.3.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 题型二：椭圆的标准方程例4.（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（ ）A ．2211816x y +=B ．22198x yC ．22132x y +=D ．2212x y +=【答案】B【分析】根据离心率及12=1⋅-BA BA ，解得关于22,a b 的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率22113c b e a a ==-=，解得2289b a =，2289=b a ，12,A A 分别为C 的左右顶点，则()()12,0,,0A a A a -，B 为上顶点，所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=-BA a b BA a b ，因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ，将2289=b a 代入，解得229,8a b ==，故椭圆的方程为22198x y .12F PF △⎧⎪⎨⎪⎩定义式的平方余弦定理面积公式2212222121212(2a)212S θθ∆⎧⎪=⎪=-⋅⎨⎪⎪=⋅⎩⇔（|PF|+|PF|）(2c)|PF|+|PF||PF||PF|cos |PF||PF|sin故选：B.例5.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得3n =． 22224233312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．22224233,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 例6.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）点1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 方程可以是（ ）A ．221259x y +=B ．2212516x y +=C ．221189x y +=D ．221169x y +=【答案】AC【分析】设椭圆上顶点为B ，由题满足1290F BF ∠≥︒，即2221212BF BF F F +≤，可得222a b ≥，即可得出答案.【详解】设椭圆方程为22221x y a b+=()0a b >>，设椭圆上顶点为B ，椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒， 则需1290F BF ∠≥︒， 2221212BF BF F F ∴+≤，即2224a a c +≤，222c a b =-，222424a a b -≤， 则222a b ≥，所以选项AC 满足. 故选：AC. 【总结提升】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置．(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 ． (3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组． (4)求解，得方程．2．(1)方程与有相同的离心率．(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． 题型三：椭圆的几何性质例7.（2022·全国·高考真题（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A 3B 2C ．12D ．13【答案】A【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.221mx ny ＋＝(0)0m n m n ≠＞，＞且a b c m n 、、或、2222y +=1x a b 2222y +=(>0)x a bλλ2222+=1(a>b>0)x y a b 22222+=1(a>b>0,0)x y b k a k b k+>++【详解】解：(),0A a -， 设()11,P x y ，则()11,Q x y -， 则1111,AP AQ y y k k x a x a==+-+， 故21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+， 又2211221x y a b +=，则()2221212b a x y a-=， 所以()2221222114b a x a x a -=-+，即2214b a =， 所以椭圆C 的离心率22312c b e a a ==-=. 故选：A .例8.（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.5M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若MPQ 面积的最大值为36，则椭圆C 的长轴长为（ ） A ．25B ．45C ．3D ．43【答案】B【分析】利用椭圆的离心率可得5a c =，分析可知PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，利用勾股定理得出222236MP MQ PQ c +==，再利用基本不等式即可求即解【详解】因为椭圆C 的离心率55c e a ==，所以5a c =. 因为222a b c =+，所以2b c =，所以椭圆C 的蒙日圆的半径为223a b c +=. 因为MP MQ ⊥，所以PQ 为蒙日圆的直径， 所以6PQ c =，所以222236MP MQ PQ c +==. 因为222182MP MQMP MQ c +⋅≤=，当32MP MQ c ==时，等号成立， 所以MPQ 面积的最大值为：2192MP MQ c ⋅=.由MPQ 面积的最大值为36，得2936c =，得2c =，进而有24b c ==，25a =， 故椭圆C 的长轴长为45. 故选：B例9.（2018·全国·高考真题（文））已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C 2D 22【答案】C【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为()20，，从而求得2c =，再根据题中所给的方程中系数，可以得到24b =，利用椭圆中对应,,a b c 的关系，求得22a =，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知2c =，因为24b =， 所以2228a b c =+=，即22a =， 所以椭圆C 的离心率为22222e ==，故选C. 例10.（2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，以坐标原点O 为圆心，线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ．若122AF AF ≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为______． 【答案】25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【分析】根据题意可得1290F AF ∠=，且c b >，再根据焦点三角形中的关系表达出离心率，结合函数的单调性求解即可【详解】由题意，因为线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ． 故半径1OF b >,即 c b >，且1290F AF ∠=.又离心率()22212121212121212222AFAF AF AF AF AF F F c c a a AF AF AF AF AF AF +-⋅+====+++()12212122122112AF AF AF AF AFAF AF AF ⋅=-=-+++，因为122AF AF ≤，结合题意有1212AF AF <≤， 设12AF t AF =，则2112c a t t=-++，易得对勾函数12y t t =++在(]1,2上单调递增， 故2112y t t=-++在(]1,2上单调递增， 故2221111111222212t t -<-≤-++++++，即2523c a <≤故答案为：25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【总结提升】1.关于椭圆几何性质的考查，主要有四类问题，一是考查椭圆中的基本量a ，b ，c ；二是考查椭圆的离心率；三是考查离心率发最值或范围；四是其它综合应用.2.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a －c )，过焦点垂直于长轴的通径长为等．(2)设椭圆上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝a 时，|OP |有最大值a ，这时P 在长轴端点处．(3)椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2. 3．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．4.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建2222e?b b c a =2222+=1(a>b>0)x y a b立关于参数c 、a 、b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用.题型四：直线与椭圆的位置关系例11.（2022·全国·高三专题练习）椭圆2214x y +=，则该椭圆所有斜率为12的弦的中点的轨迹方程为_________________． 【答案】2xy =-()22-<<x 【分析】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法可得答案. 【详解】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ， 设中点坐标为(),x y ，则211221121,,222y y x xy y x y x x -++=-==-， 所以221122221414⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式相减可得()()()()12221214+=-+-x x x x y y y y ，()()22121124-+-=+x x y y y y x x ，即2xy =-，由于在椭圆内部，由221412⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y y x b得22102++-=x bx b ，所以()22210∆=--=b b 时，即2b =±直线与椭圆相切，此时由22102±+=x x 解得2x =或2x =-，所以22x -<<， 所求得轨迹方程为2xy =-()22-<<x ． 故答案为：2xy =-()22-<<x ． 例12.（2022·北京八中高三阶段练习）已知P 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上任意一点，12,F F 为左､右焦点，M 为1PF 中点.如图所示：若1122OM PF +=，离心率3e = 22 ,1c b e e a a=-＝(1)求椭圆E 的标准方程； (2)已知直线l 经过11,2且斜率为12与椭圆交于,A B 两点，求弦长AB 的值.【答案】(1)2214x y +=(2)5【分析】（1）由题意可得21||||2OM PF =结合1122OM PF +=求得a ，继而求得b ，即可得椭圆方程； （2）写出直线l 的方程，联立椭圆方程，可求得交点坐标，从而求得弦长. （1）由题意知，M 为1PF 中点，O 为12F F 的中点，故21||||2OM PF =, 又 1122OM PF +=，故121()22PF PF +=，即124PF PF +=，所以24,2a a == ， 又因为32e =，故3c =，所以2221b a c =-= ， 故椭圆E 的标准方程为2214x y += ；（2）由直线l 经过11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为12可知直线方程为11(1)22y x =+-，即112y x =+，联立2214x y +=，消去y 可得220x x += ，解得120,2x x ==- ，则,A B 两点不妨取为(0,1),(2,0)-， 故22215AB =+=.例13.（2022·天津·高考真题）椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足3BF AB=(1)求椭圆的离心率e ；(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若=OM ON ，且OMN 3 【答案】(1)63e =(2)22162x y +=【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆方程联立，由0∆=可得出()222313m a k =+，求出点M 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得2a 的值，即可得出椭圆的方程.（1）解：()2222222222234332BF b c aa b a a b AB b a b a+===⇒=+⇒=++，离心率为22263c a b e a a -===. （2）解：由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，联立2223y kx mx y a=+⎧⎨+=⎩得()()222213630k x kmx m a +++-=，由()()()222222223641330313k m k m a m a k ∆=-+-=⇒=+，①2331M kmx k =-+，213M Mm y kx m k =+=+，由=OM ON 可得()()222229131m k m k+=+，②由3OMN S =可得2313213km m k⋅=+，③联立①②③可得213k =，24m =，26a =，故椭圆的标准方程为22162x y +=． 【规律方法】一.涉及直线与椭圆的基本题型有： 1.位置关系的判断2.弦长、弦中点问题.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率． 3.轨迹问题4.定值、最值及参数范围问题5.存在性问题二．常用思想方法和技巧有：1.设而不求；2.坐标法；3.根与系数关系.三. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或 题型五：椭圆与圆的相关问题例14. （2019·天津·高考真题（文）） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .3|2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【答案】（I ）12；（II ）2211612x y +=.【分析】（I ）根据题意得到32a b =，结合椭圆中,,a b c 的关系，得到2223()2a a c =+，化简得出12c a =，从而求得其离心率；（II ）结合（I ）的结论，设出椭圆的方程2222143x y c c +=，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得2c =，从而得到椭圆的方程. 【详解】（I ）解：设椭圆的半焦距为c ，由已知有32a b =， 又由222a b c =+，消去b 得2223()2a a c =+，解得12c a =，所以，椭圆的离心率为12.（II ）解：由（I ）知，2,3a c b c ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-， 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-，因为点P 在x 轴的上方，所以3(,)2P c c ，1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，且由（I ）知(2,0)A c -，故3242ct c c =+，解得2t =， 因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l 相切，得23(4)24231()4c +-=+，解得2c =， 所以椭圆的方程为：2211612x y +=.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.例15.（陕西高考真题）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．【答案】；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）过点的直线方程为， 则原点到直线的距离， 由，得，解得离心率. :E 22221x y a b+=0a b >>c O (),0c ()0,b 12c E AB :M ()()225212x y ++-=E A B E 3221123x y +=()(),0,0,c b 0bx cy bc +-=O 22bcd ab c ==+12d c =2222a b a c ==-32c e a ==（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为. 依题意，圆心是线段的中点，且. 易知，不与轴垂直.设其直线方程为，代入（1）得.设，则，.由，得，解得. 从而.于是.由.故椭圆的方程为.例16.（2021·山东·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知点1(6,0)F -，2(6,0)F ，动点M 满足1243MF MF +=M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)圆224x y +=的切线与C 相交于A ，B 两点，P 为切点，求||||PA PB ⋅的值．【答案】(1)221126x y +=(2)||||4PA PB ⋅=【分析】（1）结合椭圆的定义求得,,a b c ，由此求得C 的方程.（2）当直线AB 斜率不存在时，求得,PA PB ，从而求得PA PB ⋅；当直线AB 斜率存在时，设出直线AB 的方程，根据直线和圆的位置关系列方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，求得0OA OB ⋅=，由此判断出90AOB ∠=︒，结合相似三角形求得PA PB ⋅.E 22244x y b +=()2,1M -AB 10AB =AB x ()21y k x =++()()()22221482142140k x k k x k b +++++-=()()1122,,,A x y B x y ()12282114k k x x k++=-+()22122421414k b x x k+-=-+124x x +=-()2821=414k k k +--+12k =21282x x b =-()()222121212151410222AB x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭10AB ()210210b -=23b =E 221123x y +=（1）为12124326MF MF F F +=>=，所以点M 的轨迹曲线C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆．设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则243a =，226a b -=，解得23a =，6b =，所以曲线C 的方程为221126x y +=．（2）当直线AB 的斜率不存在时，(2,0)P ±，此时||||2PA PB ==，则||||4PA PB ⋅=． 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+， 由直线AB 与圆224x y +=相切可得2||21m k =+，化简得()2241m k =+．联立22,1,126y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222142120k x kmx m +++-=，0∆>．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421km x x k -+=+，212221221m x x k -=+，所以1212OA OB x x y y ⋅=+()()2212121k x x km x x m =++++()()2222222121242121km k mm k k +-=-+++()222312121m k k -+=+()()222121121021k k k +-+==+，所以90AOB ∠=︒，所以AOB 为直角三角形．由OP AB ⊥，可得AOP OBP ∽△△， 所以||||||||PA OP OP PB =，所以2||||||4PA PB OP ⋅==． 综上，||||4PA PB ⋅=． 【总结提升】从高考命题看，与椭圆、圆相结合问题，一般涉及到圆的方程（圆心、半径）、直线与圆的位置关系（相切、相交）、点到直线的距离、直线方程等.。
2025年高考数学一轮复习-9.5.1-椭圆的定义及标准方程【课件】
预计2025年高考求椭圆的标准方程、直线与椭圆的交汇问题仍会
预测 出题,一般以解答题出现,求椭圆的离心率,考查比较灵活,一般以选择
题、填空题的形式出现.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.椭圆的定义
常数
把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于______(大于|F
1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.
(3)
源自教材第113页例6.此题给出椭圆的另一种定义方式
[例1](1)如图,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在
2 2
+y =1
圆上运动时,则线段PD的中点M的轨迹方程为______________.
4
【解析】(1)设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),
(6)焦点三角形的周长为2(a+c).
基础诊断·自测
类型
辨析
改编
易错
高考
题号
1
2
4
3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆.
(
×
)
提示:(1)因为2a=|F1F2|=8,动点的轨迹是线段F1F2,不是椭圆;
(2)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆.
(
×
)
提示:(2)由于2a<|F1F2|,动点不存在,因此轨迹不存在;
(3)平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1,F2的距离之和的
2015届高考数学(浙江文)一轮复习课件：8.5 椭 圆
x2 y2 椭圆 C1： 2＋ 2＝1(a>b>0)的一个顶点，C1 的 a b 长轴是圆 C2：x2＋y2＝ 4 的直径．l1，l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线，其中 l1 交圆 C2 于 A， B 两点，l2 交椭圆 C1 于另一点 D. (1)求椭圆 C1 的方程； (2)求△ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程．
第五节 椭
考 纲 展 示
圆
1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质． 2．了解圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想．
ห้องสมุดไป่ตู้
高频考点全通关——直线与椭圆的综合问题 闯关一：了解考情，熟悉命题角度
【考情分析】
直线与椭圆的综合问题，是近年来高考命题的热点，多以解答题
的形式出现，试题难度较高，多为中档题．
【命题角度】
高考对直线与椭圆的综合问题的考查主要有以下几个命题角度： (1)已知某条件，求直线的方程； (2)求三角形(或其他几何图形)的面积； (3)判断几何图形的形状； (4)弦长问题； (5)中点弦或弦的中点问题．
高频考点全通关——直线与椭圆的综合问题 闯关二：典题针对讲解——求三角形（或其他图形的面积）
高频考点全通关——直线与椭圆的综合问题 闯关三：总结问题类型，掌握解题策略
直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略
(1)求直线方程． 可依题条件，寻找确定该直线的两个条件，进而得到直线方程． (2)求面积． 先确定图形的形状，再利用条件寻找确定面积的条件，进而得出 面积的值． (3)判断图形的形状． 可依据平行、垂直的条件判断边角关系，再依据距离公式得出边 之间的关系． (4)弦长问题． 利用根与系数的关系、弦长公式求解． (5)中点弦或弦的中点． 一般利用点差法求解，注意判断直线与方程是否相交．
2015届高考数学总复习第七章 第五节椭圆(一)课件 理
变式探究
x2 y2 1．(1)已知 F1，F2 为椭圆25＋ 9 ＝1 的两个焦点，过 F1 的直 线交椭圆于 A，B 两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________. x2 (2)已知△ABC 的顶点 A(－4,0)和 C(4,0)，顶点 B 在椭圆25＋ sin A＋sin C y2 ＝________. 9 ＝1 上，则 sin B
思路点拨：对于(1)，由题设条件不能确定椭圆的焦点在哪一 坐标轴上，因此应分别设出焦点在 x 轴、y 轴上的标准方程，进 行讨论求解；或采用椭圆方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且 m≠n) 直接求解，避免讨论；对于(2)，由于椭圆 9x2＋4y2＝36 的焦点坐 x2 y2 标为(0，± 5)，因而可设所求的椭圆方程为 λ ＋ ＝1(λ>0)，再 λ＋5 由题设条件确定 λ 的值即可；对于(3)，注意由椭圆的一个短轴端 点，一个焦点，中心 O 为顶点组成的直角三角形，b，c，a 分别 是它的直角边和斜边； 对于(4)， 由题设条件设出椭圆的标准方程， 求出焦距与长轴长是求解本题的关键．因椭圆的焦点位置未明确 在哪个坐标轴上，故应有两种情况．
2
2
因为 a>b，从而方程组无解；
②当所求椭圆的焦点在 y 轴上时，设它的标准方程为
＋ b ＝1， a y x a ＋b ＝1(a>b>0)，依题意应有 1 － 2 ＝1， a
12 3
2
12 3
2
2
2
2
2
2
2
1 a ＝4， 解得 1 2 b ＝5，
(2)由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝7， 且|PF1|∶|PF2|＝4∶3， 得|PF1|＝4，|PF2|＝3.又|F1F2|＝2c＝2 显然|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 所以△PF1F2 是以 PF1，PF2 为直角边的直角三角形， 1 1 从而所求△PF1F2 的面积为 S＝2×|PF1|×|PF2|＝2×4×3＝6. 49 4 －6＝5，
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第八章 平面解析几何第10节 圆锥曲线中的最值与范围问题
将点(-1, )的坐标代入椭圆方程 + =1,得 +
所以椭圆 E 的方程为 + =1.
=1,解得 b= ,
(2)设直线l与圆O:x2+y2=a2交于C,D两点,当
求△ABF2面积的取值范围.
2
2
|CD|∈[2 ,
] 时,
解:(2)由(1)知圆 O 的方程为 x +y =4,由题意,直线 l 的斜率不为 0,
=
+-
因为 t∈(1,+∞),所以 ∈(0,1),
所以|AB|+|DE|∈[ ,7).
,
-( - ) +
综上所述,|AB|+|DE|的取值范围为[ ,7].
解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参
得最值的临界条件,得出最值.
(2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则首先建
立目标函数,再求这个函数的最值,求函数最值的常用方法有配方
法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.
[针对训练] (2024·河南襄城模拟)已知抛物线C的顶点在坐标
原点,焦点在y轴的正半轴上,圆x2+(y-1)2=1经过抛物线C的焦点.
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
最值问题
[例1] (2024·安徽蚌埠模拟)在椭圆 C: + =1 (a>b>0)中,c=2,
2015年高考数学(文)一轮课件：10-6双曲线
x2 y2 x y 解析：双曲线 2 － ＝1的渐近线方程为 ± ＝0，整理得 a 9 a 3 3x± ay＝0，故a＝2，故选C.
答案：C
4．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为x－2y＝0，则它的离心率为( 5 A. 5 B. C. 3 2 D．2 )
2b2 2b2 思维启迪：(1)AB为双曲线的通径，其长 a ，由 a ＝4a可求 解；(2)应用双曲线的定义可求解．
x2 y2 2b2 解析：(1)不妨设双曲线为 2－ 2＝1，则可得|AB|＝ ，于是 a b a 2b2 ＝4a，∴b2＝2a2，c2＝3a2，c＝ 3a， a c ∴e＝a＝ 3. (2)由已知：|PF2|＝|F1F2|＝2c，F2到直线PF1的距离为2a，易 求|PF1|＝4b. 由双曲线的定义|PF1|－|PF2|＝2a，
教材回归 自主学习
必考必记 夯基固本
1．双曲线的概念 1 ________等于常数 平面内到两定点F1，F2的距离之差的 □ (大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲 2 ______，两焦点间的距离叫□ 3 ______. 线的□
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数 且a＞0，c＞0}． 4 ______时，P点的轨迹是□ 5 __________； (1)当□ 6 ______时，P点的轨迹是□ 7 __________； (2)当□ 8 ______时，P点不存在． (3)当□
思维启迪：(1)对于双曲线中的坐标问题可运用方程思想解 之；(2)求出交点坐标，再应用三角形的面积公式求解；(3)利用 直线与圆相切，求出b的值，将直线方程与双曲线方程联立，利 用数量积的坐标运算、根与系数的关系等知识，以算代证．
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4 3|m| 所以|AB|＝ 2 ，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． m ＋3 4 3|m| 4 3 因为|AB|＝ 2 ＝ ≤2， 3 m ＋3 |m|＋|m| 且当m＝± 3时，|AB|＝2， 所以|AB|的最大值为2.
3 答案：(1)焦点坐标为(－ 3，0)，( 3，0)，离心率为 2 ； 4 3|m| (2)|AB|＝ 2 ，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，|AB|的最大值 m ＋3 为2.
17 2a □ 18 2b □ 19 2c □ 20 (0,1) □ 21 a2－b2 □
●两条规律 x2 y2 (1)椭圆 m ＋ n ＝1的焦点位置与m、n间的关系：椭圆焦点在x 轴上⇔m＞n＞0；椭圆焦点在y轴上⇔n＞m＞0. (2)椭圆上任意一点M到焦点F的最大距离为a＋c，最小距离 为a－c.
●两种方法 求椭圆标准方程的方法： (1)定义法，根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位 置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法，设出椭圆的标准方程，运用方程思想求出 a2，b2.
●三种技巧 (1)在解答直线与椭圆相交的问题时，常利用根与系数的关 系，设而不求，整体代入． (2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再 结合b2＝a2－c2就可求得e(0＜e＜1)． (3)待定系数法求椭圆方程，应首先判定是否为标准方程，判 断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴．
2 2 2
1 8 3 2 3 2 由S△AF1B＝2a· 5a·2 ＝ 5 a ＝40 3知， a＝10，b＝5 3.
1 答案：(1)2；(2)a＝10，b＝5 3.
考点三
直线与椭圆的位置关系
x2 【例3】 已知椭圆G： 4 ＋y2＝1.过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切 线l交椭圆G于A，B两点． (1)求椭圆G的焦点坐标和离心率； (2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．
答案：3
考点二
椭圆的几何性质
【例2】 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠ F1PF2＝60° . (1)求椭圆离心率的范围； (2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
思维启迪：(1)在△PF1F2中，使用余弦定理和|PF1|＋|PF2|＝ 2a，可求|PF1|· |PF2|与a，c的关系，然后利用基本不等式找出不等 关系，从而求出e的范围； 1 (2)利用S△F1PF2＝2|PF1|· |PF2|sin60° 可证．
c2 1 1 (当且仅当m＝n时取等号)．∴a2≥4，即e≥2.
1 又0<e<1，∴e的取值范围是2，1.
4 2 (2)证明：由(1)知mn＝ b ， 3 1 3 2 ∴S△PF1F2＝ mnsin60° ＝ b， 2 3 即△PF1F2的面积只与短轴长有关．
1 答案：(1)2，1；(2)证明略．
3 答案： 3
核心考点
引领通关
考点研析 变式通关
考点一
椭圆的定义及标准方程
【例1】 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦 2 点F1，F2在x轴上，离心率为 2 .过F1的直线l交C于A，B两点，且△ ABF2的周长为16，那么C的方程为_________离心率求得 c，进一步确定b值，写出椭圆方程．
2 2
即m2k2＝k2＋1. 所以|AB|＝ x2－x12＋y2－y12 ＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2] ＝
2 1＋k
44k2m2－4 64k4m2 2 2－ 2 1＋4k 1＋4k
4 3|m| ＝ 2 . m ＋3 由于当m＝± 1时，|AB|＝ 3，
2 2 2
8 3 3 ，得B c，－ c ， 5 5
1 1 16 3 2 3 2 由S△AF1B＝2|AF1|· |AB|· sin∠F1AB＝2a· 5 c·2 ＝ 5 a ＝40 3， 解得a＝10，b＝5 3. 方法二：设|AB|＝t.因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a. 由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t， 8 再由余弦定理(3a－t) ＝a ＋t －2atcos60° 可得，t＝5a.
4 ____________，则集合P为椭圆； (1)若□ 5 ____________，则集合P为线段； (2)若□ 6 ____________，则集合P为空集． (3)若□
2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2 y2 y2 x2 ＋ ＝1(a＞b＞0) 2＋ 2＝1(a＞b＞0) a2 b2 a b
)
5－m＞0， 解析：由方程表示椭圆知m＋3＞0， 5－m≠m＋3， 解得－3＜m＜5且m≠1.
答案：C
x2 y2 4 3．椭圆 ＋ ＝1的离心率为 ，则k的值为( 9 4＋k 5 A．－21 19 C．－25或21 B．21 19 D.25或21
)
解析：若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝ 5－k， 5－k 4 c 4 19 由a＝5，即 3 ＝5，得k＝－25； 若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝ k－5， k－5 4 c 4 由a＝5，即 ＝5，解得k＝21. 4＋k
答案：C
4．已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为 1 2，焦距为8.则该椭圆的方程是__________．
c 4 1 解析：∵2c＝8，∴c＝4，∴e＝ ＝ ＝ ，故a＝8. a a 2 y2 x2 又∵b ＝a －c ＝48，∴椭圆的方程为 ＋ ＝1. 64 48
2 2 2
y2 x2 答案： ＋ ＝1 64 48
5．已知F1，F2是椭圆C的左，右焦点，点P在椭圆上，且满 足|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2＝30° ，则椭圆的离心率为__________．
解析：在三角形PF1F2中，由正弦定理得 π sin∠PF2F1＝1，即∠PF2F1＝2， 设|PF2|＝1，则|PF1|＝2，|F2F1|＝ 3， 2c 3 所以离心率e＝2a＝ 3 .
思维启迪：对于直线和椭圆的交点问题，一般要转化为方程 组解的问题，充分体现数形结合思想．
解析：(1)由已知得a＝2，b＝1，所以c＝ a2－b2＝ 3. 所以椭圆G的焦点坐标为(－ 3，0)，( 3，0)． c 3 离心率为e＝a＝ 2 . (2)由题意知，|m|≥1. 当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为
通关训练1
x2 y2 已知F1、F2是椭圆C： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的两 a b
→ → 个焦点，P为椭圆C上的一点，且 PF1 ⊥ PF2 .若△PF1F2的面积为 9，则b＝__________.
→ → 解析：由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，PF1⊥PF2. → 2 → 2 ∴|PF1| ＋|PF2| ＝|F1F2|2＝4c2， ∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2， ∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2， ∴|PF1||PF2|＝2b2， 1 1 ∴S△PF1F2＝2|PF1||PF2|＝2×2b2＝b2＝9. ∴b＝3.
x2 y2 1．设P是椭圆 4 ＋ 9 ＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦 点，则|PF1|＋|PF2|等于( A．4 C．6 ) B．8 D．18
解析：依定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6.
答案：C
x2 y2 2．方程 ＋ ＝1表示椭圆，则m的范围是( 5－m m＋3 A．(－3,5) C．(－3,1)∪(1,5) B．(－5,3) D．(－5,1)∪(1,3)
1， 3 3 ， 1 ，－ .此时|AB|＝ 3. 2 2
当m＝－1时，同理可得|AB|＝ 3. 当|m|＞1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．
y＝kx－m， 2 由x 2 ＋ y ＝1， 4 得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0. 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 4k2m2－4 8k2m x1＋x2＝ ，x x ＝ . 1＋4k2 1 2 1＋4k2 |km| 又由l与圆x ＋y ＝1相切，得 2 ＝1， k ＋1
图形
1 大于 答案： □
2 焦点 □ 3 焦距 □ 4 a＞c □ 5 a＝c □
6 a ＜c □ 7 坐标轴 □ 8 原点 □ 9 (－a,0) □ 10 (a,0) □ 11 (0， □ －b) 12 (0，b) □ 13 (0，－a) □ 14 (0，a) □ 15 (－b,0) □ 16 (b,0) □
点评：(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦 点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余 弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a、c的关系． 定义式的平方 (2)对△F1PF2的处理方法余弦定理 面积公式
2 2 | PF | ＋ | PF | ＝ 2 a ， 1 2 4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ， ⇔ 1 S ＝ |PF ||PF2|sinθ. △ 2 1
教材回归 自主学习
必考必记 夯基固本
1．椭圆的概念 1 ______|F1F2|) 平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(□ 2 ____，两焦点间的 的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的 □ 3 ______. 距离叫做□ 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞ 0，且a，c为常数}．
通关训练2
x2 y2 如图，F1、F2分别是椭圆C： 2 ＋ 2 ＝1(a>b>0) a b
的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个 交点，∠F1AF2＝60° . (1)求椭圆C的离心率； (2)已知△AF1B的面积为40 3，求a，b的值．
解析：(1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c， 1 所以e＝2. (2)方法一：a2＝4c2，b2＝3c2，直线AB的方程为 y＝－ 3(x－c)， 将其代入椭圆方程3x ＋4y ＝12c 8 16 所以|AB|＝ 1＋3· |5c－0|＝ 5 c.