等比数列的通项公式学习教材PPT课件

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人教A版高中数学必修五2.4.1等比数列的概念及通项公式课件(共34张PPT)

例3 在等比数列{an}中.
②要判(定1每)一已项，知不能有a例2外＝. 4，a5＝－21，求 an；
解 a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，
a q＝4，题型二等比数列通项公式的应用
a与b的等比中项有个，且互为__
解设等比数列的公比为 q，则网课结束日，学校见面时。 1 若an＋1＝qan，n∈N*，且q≠0，则{an}是等比数列. a q ＝－ . 对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都等于__; 2 (3)数列：-1，-2，-4，-8，-16，…
√C.①②④
解析 ①②显然是等比数列；
由于x可能为0，③不是；
a不能为0，④符合等比数列定义，故④是.
D.①②③④
命题角度2 已知递推公式判断是否为等比数列
例2 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1)证明：数列{an＋1}是等比数列；证明 ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1).由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
(2)－1,1,2,4,8，…；解记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…， ∵aa21＝－1≠aa32＝2， ∴此数列不是等比数列. (3)a1，a2，a3，…，an，….
解当a＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列；当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，an，…，显然此数列为等比数列，且公比为a.
3.等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量.
知识点四等比数列的类型
思考：等比数列的公比与该数列的类型有关系吗？ (1)数列：1，2，4，8，16，… (2)数列：8,4,2,1, 1 , 1 , 1 ,

等比数列的概念及通项公式PPT

如果将“一尺之棰”视为单位“1”，
则每日剩下的部分依次为：
1， 1， 1， 1，1 ， … 2 4 8 16
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4
引例：
❖ ③计算机病毒传播时，假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，则这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是：
1，20，202，203，…
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5
1,2,4,8,16,32,...
么G叫做a与b的等比中项。
G ab 即G2 ab
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13
an a1qn1
例1. 一个等比数列的第３项和第４项分别是１２和１８，求它的第１项和第２项．
解：用｛an｝表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有
a312 ,a418 ,
即
a1q a1q
2 3
12 18
an a1•qn1 思考与讨论：对于本例
解：由a5=a1q4, a15=a1q14
q10a15 5 1 a5 20 4
q5 1 2
a 20 a 1q 5 551 25 2或 a 20 5 2
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15
随堂练习
❖ （1）一个等比数列的第9项是 4 ，公比
是 1 ，求它的第1项；
9
3
❖ （2）一个等比数列的第2项是10，第3项是
an a1qn1
(1)2，4，8，16，32，64，... an22n12n
(2)1，3，9，27，81，243，… (3) 5，5，5，5，5，5，…
an13n13n1
an 51n15
(4) 1，-1，1，-1，1，… (5)0.5,0.25,0.125,0.0625，... (6)1.2，-2.4，4.8，-9.6，...

等比数列通项公式PPT优秀课件

5 1
27 , 128
5 1
(4)
2 a 4 2 2
2 2, 1 , , 2 4 1
2 1 , a 5 2 2 2
2 , 4
例2、P57例2
例3 培育水稻新品种，如果第1代得到120粒种子，并且从第1代起，以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5 代大约可以得到这种新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）？解：由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍，因此，逐代的种子数组成等比数列，记为 a n
Байду номын сангаас业：
（1）P60习题2.4、1、2
（2）、已知 a n 是无穷等比数列，公比 a a , a a , a a , 1 2 3 4 5 6 为q ，在数列 a n 中，，组成一个新数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？结论可以推广吗？
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰· B· 塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔· 卡内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯· 瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士· 雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰] 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿· 休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯· 奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰· 纳森· 爱德瓦兹] 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰· 拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉· 班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳] 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔· 普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉· 彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔· 卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰· 罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳· 厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝· C· 科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔· 卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟· 倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克· 佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根· 皮沙尔· 史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。 ――[阿萨· 赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉· 海兹利特] 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯· 里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可· 汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰· 夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯· 米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子] 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼] 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron] 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温] 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰· 鲁斯金]

4.3.1 第一课时等比数列的概念及通项公式(课件(人教版))

不存在等比中项．
[做一做]
1．如果－1，a，b，c，－9 成等比数列，那么
()
A．b＝3，ac＝9
B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9
D．b＝－3，ac＝－9
解析：因为 b2＝(－1)×(－9)＝9，且 b 与首项－1 同号，
所以 b＝－3，且 a，c 必同号．
所以 ac＝b2＝9. 答案：B
a2，a3，a4 成等比数列，a3，a4，a5 的倒数成等差数列，证明：a1，a3，a5 成等比数列．
证明：由已知，有 2a2＝a1＋a3，
①
a23＝a2·a4，
②
a24＝a13＋a15.
③
由③得a24＝aa3＋ 3·aa55，所以 a4＝a23a＋3·aa55.
④
a1＋a3
由①得 a2＝ 2 .
4．3 等比数列
4．3.1 等比数列的概念
新课程标准解读
核心素养
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.
数学抽象
2.能在具体的问题情境中，发现数列逻辑推理、数学运
的等比关系，并解决相应的问题.
算
3.体会等比数列与指数函数的关系.
数学抽象
第一课时等比数列的概念及通项公式
[问题导入] 预习课本第 27～30 页，思考并完成以下问题 1．等比数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等比数列？
2．等比数列的通项公式是什么？
3．等比中项的定义是什么？
[新知初探]
知识点一等比数列的定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母_q__表示(q≠0)．

等比数列的定义及通项公式课件

又∵a7 是 a5 和 a9 的等比中项， ∴a27＝a5a9＝1，即 a7＝±1. 又由方程，可得 a5＞0.∴a7＝a5q2＞0.∴a7＝1.
[方法·规律·小结] 1．准确掌握等比数列的通项公式与定义，由此得出的一些等比数列的性质，掌握推导性质的方法比记忆性质更重要． 2．适当记忆一些性质，利用性质提高解题速度与解题的正确率．如用等比数列的性质：若 k＋l＝m＋n，则 ak·al＝am·an 可以解决很多相关的问题． 3．等比数列的一些项组成的新的等比数列也经常遇到，要准确判断用好定义与通项公式．
③若{an}为等比数列，公比为 q，则{a2n}也是等比数列，公比为____q_2___；
④若{an}，{bn}是等比数列，则__{_a_nb__n}__和____ab_nn___也是等
比数列．
题型 1 等比数列性质【例 1】在等比数列{an}中，若 a2＝2，a6＝162，求 a10. 思维突破：可利用通项公式或等比数列的性质来求．
等比数列的性质
等比数列的性质 (1) 若三个数成等比数列，一般设这三个数分别为 ___aq_，__a_，__a_q__；
(2)①若{an} 为等比数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*) 则_a_k·_a_l＝__a_m_·_a_n；
②若{an} 是等比数列，且 m ＋n ＝2k(k ，m ，n ∈N*) ，则 ___a_m_·a_n_＝__a_2k__；
题型 3 等差、等比数列性质的综合应用【例 3】已知：数列{an}为等差数列，Sn 为其前 n 项和，且 a2＝3,4S2＝S4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：数列{2an }是等比数列； (3)求使得 Sn＋2>2Sn 成立的 n 的集合．

人教A版高中数学选择性必修第二册《等比数列---概念和通项公式》名师课件

+
当＝时,

=
=

−

=
= ；

.
+
故当＝ − 时,数列{}成等比数列,
其首项为,公比为；
当 ≠ −时,数列{}不是等比数列.
典例变型
1.(变条件,变结论)将例题中的条件“＝＋”变为“ = ,
∗
＋ = －＋, ( ∈ )”.
这种细菌从第1次分裂开始,各次分裂产生的后代个数依次是
2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , ⋯.⑤
4.某人存入银行元,存期为5年,年利率为,那么按照复利,他5年内每年末得到的本利
和分别是
+ , + , + , + , + .⑥
, , …;

（2） 2 , 4 , 8 , 32 , 64 , 128 ;
1
1
= , =

不是等比数列
（3） , − , , − , … ;
= , = −
（4） 4 , 00 , 4 , 00 , ….
不是等比数列
思考：有既是等差数列又是等比数列的数列吗？
学科核心素养：
1.通过等比数列的通项公式及等比中项的学习及应用,体现了数学运算素养.
2.借助等比数列的判定与证明,培养逻辑推理素养.
探究新知
1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列：
, , , ⋯ , ;
①
, , , ⋯ , ； ②
∴ − ＝, ＝.
(2)∵ ＝ · − ＝, ＝, ＝,

4.3.1等比数列的概念及通项公式(第1课时)课件(人教版)

是等差数列，也是等比数列；
0,0,0,0,…
是等差数列，不是等比数列；
(2) = 时，{}为非零常数列.
非零常数列既是等差数列，又是等比数列，公差为0，公比为1.
课堂练习
1. 判断下列数列是否为等比数列. 如果是，写出它的公比.
×
1 1 1 1 1 1
(3) ，，，，， ;×
3 6 9 12 15 18
解：因为是与的等比中项，所以
= = × = .
所以 = ± = ±.
因此，的第5项是24或-24.
探究二：等比数列的通项公式
问题3 类比等差数列通项公式的推导，你能根据等比数列的定义及
递推公式推导它的通项公式吗？
取值规律？你发现了什么规律？
共同规律：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.
追问：你能否类比等差数列的概念，归纳出等比数列的概念以及它的
递推关系？
等比数列的概念：
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于
同一个常数, 那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比，
a1 2
2
{an }的通项公式为an 2 n 1 或an 23 n.
例题精讲
课本例2 已知等比数列的公比为，试用的第项表示 .
解：由题意 , 得
am a1q m 1 ,
an a1q
n 1
①
②
,
等比数列的通项公式：
= − ( ≠ , ∈ + )
, , , … , .

, , , , ,…

2,4,8,16,32,64,…

4311等比数列的概念与通项公式课件共39张PPT

当 q＝－2 时，an＝a1qn－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n， ∴数列{an}的公比为 2 或－2，对应的通项公式分别为 an＝2n 或 an＝(－1)n－12n.
类型二等比中项
[例 2] 已知等比数列的前三项和为 168，a2－a5＝42，求 a5，a7 的等比中项． [思路分析] 根据已知条件，求出等比数列的首项和公比，再利用定义求等比中项．
此时{an}不是等比数列． 4．(知识点二)数列{an}为等比数列，若 a1＝2，a5＝8，则 a3＝±4.正确吗？为
什么？
提示：不正确．设等比数列{an}的公比为 q，则可得 q4＝aa51＝4，解得 q2＝2，所以 a3＝a1·q2＝2×2＝4.
二、练一练
1．等差数列{an}的公差不为零，首项 a1＝1，a2 是 a1 和 a5 的等比中项，则数
课堂篇·互动学习
类型一等比数列的通项公式及应用
[例 1] 在等比数列{an}中， (1)已知 a3＝9，a6＝243，求 a5； (2)已知 a1＝98，an＝13，q＝23，求 n. [思路分析] 根据题设条件，充分利用等比数列的通项公式代入求解．
[解] (1)方法一：由 a3＝9，a6＝243，得 a1q2＝9，a1q5＝243. ∴q3＝2493＝27，∴q＝3.∴a1＝1. ∴a5＝a1q4＝1×34＝81. 方法二：∵a6＝a3q3，∴q3＝aa63＝2493＝27， ∴q＝3. ∴a5＝a3q2＝9×32＝81.
D．84
解析：∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21，∴1＋q2＋q4＝7，解得 q2＝2 或 q2＝－3(舍去)，∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.

等比数列的概念及通项公式(一)PPT课件

2、等差数列的通项公式：
an=a1+(n-1)d (n∈N*)
an=am+(n-m)d (n,m∈N*)
3、等差数列通项公式的推导方法：
归纳法
累加法最新课件
3
一、引入新课：
1.细胞分裂个数组成数列:
1,2,4,8,16,
2.“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”得到数列:
1, 1 , 1 , 1, 1 , 2 4 8 16
最新课件
21
(2)证明：当 n≥2 时，
由 an＝Sn－Sn－1＝13(an－1)－13(an－1－1)，
得 an ＝－1，又a2＝－1，
an－1
2
a1
2
所以{an}是首项为－12，公比为－12的等
比数列．
最新课件
22
你有什么收获？
小结：填写下表
数列定义公差（比）
等差数列 an+1-an=d d 叫公差
如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数 ,那么这个数列叫做等比数列.
这个常数叫做等比数列的公比，用
q表示.
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6
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1，3，9，27，81，…
是,公比 q=3
(2) 1, 1, 1, 1 ,
2 4 8 16
(3) 5，5，5，5，5，5，…
即9为该数列的第5项.
变式： 3m 1是该数列中的项吗？若是，是第几项 ?
n1
分析：令3m1 3 2 ，则n=2m+3
最新课件
17
例 3 ：已知 { a n} 的通项公式 a n 3 n,求证： { a n} 是

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an (3){ }是等比数列吗? bn
练习：
{an}为等比数列,则下列数列中为等比数列的有那些? (1) {an2}, (2){pan}, (3){an· an+1}
设数列an 为等差数列，且 m, n, p, q N ，若m n p q, 则am an a p aq .
若m n 2 p, 则am an 2a p .
思考：等比数列有没有同样的性质？
例2.在等比数列an 中，a2 a8 a3a7是否成立？ a5 a1a9是否成立？
a1q 20 ① 5 a1q 160 ②
q =2 解得 a1 5
所以an a1q
n1
5 2 .
n1
思考：能否不求出首项a1 , 而将an求出？
性质1：设an , am为等比数列an 中任意两项，且公比为q，则an am q
nm
.
例 1.在等比数列an 中已知 , a3 0, a6 160, 求an .
2
思考：你能得到更一般的结论吗？
性质2：设数列an 为等比数列，且m, n, s, t N ，若m n s t , 则am an as at .
若m n 2s, 则am an as .
2
as是am,an的
等比中项
练习：已知等比数列an
1 若an＞0，a2 a4 2a3a5 a4 a6 25, 求a3 a5的值。
2 a6 6, a9 9, 求a3的值.
3 an＞0, a1a100 100, 求lg a1 lg a2
lg a100的值。
活用性质，数列性质与其项数（下标）密切相关
例3:已知{an}、 {bn}是项数相同的等比数列, 求证: {an· bn}是等比数列.
变式:已知{an}、 {bn}是项数相同的等比数列, 则(1) {an+bn}是等比数列吗? (2){c· an}是等比数列吗?
等比数列的通项公式（2）
阳光国际学校高中部数学组 2009.9.28
复习一.等比数列的定义
判断或证明一个数列是否是等比数列的依据。 = q （q是常数，n∈N*）
a ①{a }是等比数列 n 1 an
n
q ②递推公式: an+1=an· q>0时,数列各项同号 q<0时,数列各项正负相间
二.等比数列的通项公式
an = a1q n-1
二.等比中项
a、G、b成等比数列,则称G是a与b的等比中项。
G是a与b的等比中项则G ab
2
条件:ab>0
G ab
解：设等比数列的公比为q,那么例 1.在等比数列a , a3 20, a6 160, 求an . 2 n 中已知