归纳法由数列前几项求数列的通项公式课件
人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件 第4章 数列 4.4 数学归纳法
4.4*
数学归纳法
内
容
索
引
01
自主预习 新知导学
02
合作探究 释疑解惑
自主预习 新知导学
数学归纳法
1.问题1:根据观察,今天第一个到教室的是男同学,第二个到教室的是男
同学,第三个到教室的也是男同学,于是得出结论:第四个到教室的是男同
学.
问题2:已知数列1,2,4,8,则它的通项公式为an=2n-1(n≤4,n∈N*).
an=(2-1),且
(1)求a2,a3.
(2)猜想数列{an}的通项公式,并证明.
2
解:(1)由题意可知,a2=2×(2×2-1)
1
类似地,求得 a3=35 .
=
1 + 2
1
,a1=3,则
6
1
a2=15 .
1
a1=3.
(2)由
1
1
1
1
a1= ,a2= ,a3= ,猜想:an=
.
1×3
(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,
即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2.
那么当n=k+1时,
1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]
=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k2+4k+4)
=(k+1)[(k+1)+1]2,即当n=k+1时等式也成立.
求数列通项公式、前n项和sn常用方法F
求数列通项公式常用方法1.归纳法：由给出已知项寻找规律 ，求同存异，猜想通项公式2.公式法：等差数列与等比数列.3.作差法：利用⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n , 求n a特别的：已知前n 项积，求n a 使用（作商法）.4、累加法：数列}{n a 的递推公式为)(1n f a a n n =-+型时，且{)(n f }中n 项和可求。
5、累乘法：数列}{n a 的递推公式为)(1n f a a n n =+型时，且{)(n f } 中n 项积可求。
6、构造法：形如q a p a n n+∙=-1（q p 、为常数）的形式，往往变为)(1λλ-=--n n a p a ，构成等比数列，求}{λ-na 的通项公式，再求n a .7、倒数法：形如)()()(n h a n g a n f n n++，可取倒数后换元，变为q a p a n n +∙=-18.周期法：计算出前n 项，寻找周期精题自测(1)已知数列}{n a 满足)1(23-=n n a S ，则n a =_____________(2)已知数列}{n a 满足11=a ，n n n a a 21+=+，则n a =_____________(3)已知数列}{n a 满足11=a ，)11ln(1na a n n ++=+，则n a =_____________(4)已知数列}{n a 满足11=a ，n nn a a 21=+，则n a =_____________(5)已知数列}{n a 满足11=a ，0>n a ，0)1(1221=∙+-+++n n n n a a na a n ，则n a =____________(6)已知数列}{n a 满足11=a ，121+=+n nn a a a ，则n a =_____________(7)已知数列}{n a 满足31=a ，62=a ，n n n a a a -=++12，则2013a =_____________(8)已知数列}{n a 满足333313221na a a a n n =∙++∙+∙+- ，则n a =_____________（9）已知数列的前n 项积为2n ，则当≥n 2时，则n a =_____________求前n 项和nS 常用方法1、公式法：等差数列的前n 项和公式： 等比数列的前n 项和公式：①d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= ②⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q qq a a q q a q na S n n nn )1(211+=∑=n n k nk∑=nk k 12=)12)(1(613212222++=++++n n n n 213)]1(21[+=∑=n n k nk 例1：已知3log 1log 23-=x ，求 +++++n x x x x 32的前n 项和.2、分组求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列．例2：求数列211，413，815，…，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-n n 2112）（的前n 项和。
数学归纳法课件
根据(1)和(2),可知等式 对任何 n N*都成立.
பைடு நூலகம்
四、练习巩固，深化认识
1 1 1 1 练习：已知数列 , , , , ,..., 3n 23n 1 1 4 4 7 7 10 计算S1 , S 2 , S3 , S 4, , 根据计算结果，猜想 S n的表达式，并 用数学归纳法进行证明 。
根据（1）和（2）可知 由 1 和2 知，对任意的n n0 , n N 命题成立 不论有多少块骨牌，都 能全部倒下。
二、讲授新知
数学归纳法：
验证n n0时 命题成立
归纳奠基
若n k (k n0 )时命题成立 证明n k 1时命题也成立
归纳递推
命题对从n0开始所 有的正整数n都成立
当n 1, a1 1
a1 1 当n 2, a2 1 a1 2 a2 1 当n 3, a3 1 a2 3 a3 1 当n 4, a4 1 a3 4
猜想这个数列的通项公式
1 an n
二、讲授新知
多米诺骨牌
二、讲授新知 思考：多米诺骨牌是怎么全部倒下的呢？
根据（1）和（2）可知 不论有多少块骨牌，都 能全部倒下。
根据(1)和(2)，可知对任意的 正整数n猜想都成立
二、讲授新知
数学归纳法：
对于数学问题中，有一类问题是与自然数有关的 命题，因为自然数有无限多个，我们不可能对所有 自然数进行一一验证，因此就需要研究一种新的方 法——数学归纳法。 数学归纳法——通过有限个步骤的推理，证明n 取无限个正整数的情形。
第四步: 下结论，由上可知结论 对任意n n0 , n N *成立。
数学归纳法适用的范围：仅限于与正整数有关的数学命题 数学归纳法的优点：克服完全归纳法的繁杂，又克服不完 全归纳法的不可靠性，使我们认识到有简到繁，由特殊到 一般，由有限到无穷的思想方法。
高中数学课件-2 3数学归纳法(1)
倒下。
也成立。
根据（1）和 （2）， 根据（1）和（2），可 可知不论有多少块骨 知对任意的正整数n， 牌，都能全部倒下。 猜想都成立。
什么是数学归纳法？
对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的
方法来证明它的正确性： 1.先证明当n取第一个值n0时命题成立； 2.然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成 立，证明当n=k+1时命题也成立。
证明（：1）当n=1时左边＝12＝1，右边＝1 23 1 6
等式成立。 （2）假设当n=k时，等式成立，就是
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1) 那么 6
12 22 32 k 2 (k 1)2
k(k 1)(2k 1) (k 1)2 6
12 22 32 k 2 (k 1)2
ak
1 k
,那么当n=k+1时猜
1
事实上,
ak 1
ak 1 ak
k 1
1
1 k 1
k
即n=k+1时猜想也成立.
你能得到哪些启示？
多米诺骨牌游戏原理 通项公式的证明方法
（1）第一块骨牌倒下1）当n=1时，猜想成立
（2）若第k块倒下时，2）假设当n=k时猜想
则相邻的第k+1块也 成立，当n=k+1时猜想
=2×2k-1 =2k+1-1 这就是说，当n=k+1时，等式也成立。
因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何 n∈N*都成立。
【课堂练习】
1、用数学归纳法证明：1 a a2 an1 1 an2
C 1 a
(a 1)，在验证n＝1时，左端计算所得项为_____ .
A、1
B、1 a
由数列的递推关系求通项公式PPT优秀课件
3，
设 bn
an1
an
，则 b1
a2
a1
6 ，且 bn1 bn
3，
所以 bn 6 3n1 2 3n ，即 an1 an 2 3n ，
有 3an 3 an 2 3n
所以
an
3n
3 2
.
解：由已知递推式得
an 3an1 3 ，
an
2n .
1
例题分析
例 1.
已知数列an 中， a1
3 2
,
an1
3an
3
(n N *), 求数列an 的通项公式.
.
巩固练习
1. 已知数列 an 中， a1 1, an1 3an 3n (n N *), 求数列an 的通项公式.
an n3n1
an 2n1
课堂热身
2．已知数列
an
中,
a1
1 2
,
an1
an
1 3n
(n N*), 求数列an 的通项公式.
1
an
1
.
2
3n1
课堂热身
3．已知数列 an 中 a1 3, an1 3an (n N*).求数列an 的通项公式.
an 3n
1 3n
，所以 an1 3n1
an 3n
1 3n
，
设 bn
an 3n
, 则 b1
a1 3
1,， 2
且 bn1
bn
1 3n
归纳法(由数列前几项求数列的通项公式)
(3)各项的分母分别为 21,22,23,24，…，易看出第 2,3,4 项的绝对值的 2－3 分子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为－ ，至此原数列已化为－ 2 21－3 22－3 23－3 24－3 21 ， 22 ，－ 23 ， 24 ，…，
n 2 －3 n ∴an＝(－1) · 2n .
般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变 化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．
3．观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规
律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决．
写出下列各数列的一个通项公式： 1 3 7 15 31 (1)4,6,8,10，…；(2)2，4，8，16，32，…； 2 10 17 26 37 (3)3，－1， 7 ，－ 9 ， 11，－13，…； (4)3,33,333,3 333，….
0n为正奇数 1＋－1n 1＋cos nπ (4)an＝ 或 an＝ 或 an＝ . 2 2 1 n 为正偶数
归纳法（由数列前几项求数列的通项公式）
1．据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．
2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一
(1)－1,7，－13,19，… (2)0.8,0.88,0.888，… 1 1 5 13 29 61 (3) ， ，－ ， ，－ ， ，… 2 4 8 16 32 64 (4)0,1,0,1，…
数学归纳法求数列通项
数学归纳法求数列通项介绍如下：
数学归纳法可以用来证明数列中的某个结论对于所有的正整数都成立，包括求解数列的通项公式。
具体步骤如下：
1.首先，根据数列前几项的值，猜测数列的通项公式，例如假设
数列的通项公式为 $a_n = n^2$。
2.然后，利用数学归纳法证明该猜测成立。
首先证明 $n = 1$ 时
结论成立，即 $a_1 = 1^2 = 1$。
这是数学归纳法的基础步骤。
3.接下来，假设当 $n = k$ 时，结论成立，即 $a_k = k^2$。
则
考虑当 $n = k+1$ 时，结论是否仍然成立。
•首先，利用数列的递推公式，将$a_{k+1}$ 表示为前一项$a_k$ 的表达式，例如 $a_{k+1} = 2a_k + 1$。
•然后，利用归纳假设，将前一项$a_k$ 替换为$k^2$，得到$a_{k+1} = 2k^2 + 1$。
•最后，将 $a_{k+1}$ 化简为一个形式简单的式子，如 $a_{k+1} = (k+1)^2$，就能够证明结论对于 $n = k+1$ 时也成立。
4.综上，由数学归纳法可知，对于所有的正整数 $n$，结论 $a_n
= n^2$ 均成立，即数列的通项公式为 $a_n = n^2$。
需要注意的是，对于某些数列，求解通项公式并不是一件容易的事情，可能需要结合更多的数学知识和技巧才能够得到正确的答案。
课件3-数学归纳法
an ,先计算a2,,a3,a4的值， 1 an
证明思路：先证明“第一项满足公式” （证题基础） （递推关系） 再证明命题“若某一项满足公式，则下一项也满足公式”
条 a1=1,右= 1 =1，所以公式成立。 1 （2）假设当n=k(k∈N)时,公式成立,即 ak= k
那么： ak+1=
ak 1 1 ak 1
k
1 k
1 k 1
∴当n=k+1时,公式成立
由(1) (2)知对任意自然数n, an=
1 成立. n
3.数学归纳法：
对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题我 们常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n取第一个值 n0(例如n0=1) 时命题成立，然后假设当n=k(k∈N,k≥n0)时命题成立 证明当n=k+1时命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法. 证题步骤：
由不完全归纳法得到的一般结论带有猜测的成份，须寻求 数学证明
2.归纳与证明： 如何证明由不完全归纳法得到的一般结论？ 第一个正式研究此课题的是意大利科学家莫罗利科
以问题1为例：
问题1：在数列{an }中，a1=1, an1
再推测通项an的公式. 1 1 1 1 a2= , a3= , a4= , 推测 an= n 2 3 4
课 题： 数学归纳法（一）
1.归纳法： 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法
问题1：在数列{an }中，a1=1, an1 n ,先计算a2 , a3 , a4的值，再推测通 1 an 项an 的公式. 解：
a2 1 1 1 1 , a3 , a4 , an 2 3 4 n
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或
a
n＝1＋?2－1?n或
an＝1＋c2os
nπ .
7
解析： (1)各项是从 4 开始的偶数， 所以 an＝2n＋2. (2)每一项分子比分母少 1，而分母可依次写为 21,22,23,24,25，…，故 所求数列的一个通项公式可写为 an＝2n2－n 1. (3)带有正负号，故每项中必须含有 (－1)n＋1 这个因式，而后去掉负 号，观察可得．
4
将第二项－1 写成－55. 分母可化为 3,5,7,9,11,13，…为正奇数， 而分子可化为 12＋1,22＋1,32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，…，故其一个通 项公式可写为： an＝(－1)n＋1·2nn2＋＋11. (4)将数列各项改写为93，939，9939，9 9399，…，分母都是 3，而分子 分别是 10－1,102－1,103－1,104－1，…， 所以 an＝13(10n－1)．
5
【变式训练】 1.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项 公式：
(1)－1,7，－13,19，… (2)0.8,0.88,0.888，… (3)12，14，－58，1136，－2392，6614，… (4)0,1,0,1，… 解析： (1)符号问题可通过(－1)n 表示，其各项的绝对值的排列规 律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6，故通项公式为 an＝(－ 1)n(6n－5)． (2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…， ∴an＝89???1－110n???.
6
(3)各项的分母分别为 21,22,23,24，…，易看出第 2,3,4 项的绝对值的 分子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为－2－2 3，至此原数列已化为－ 212－1 3，222－2 3，－232－3 3，242－4 3，…，
∴an＝(－1)n·2n2－n 3.
(4)an＝???10??nn为为正正偶奇数数??
归纳法（由数列前几项求数列的通项公式）
1
? 1．据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： ? (1)分式中分子、分母的特征； ? (2)相邻项的变化特征； ? (3)拆项后的特征； ? (4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．
2
? 2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一 般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变 化，可用 (－1)n或(－1)n＋1来调整．
? 3．观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规 律，利用我们熟知的一些基本数列 (如自然数列、奇偶数列等 )转换而使问题得到解决．
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写出下列各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10 ，…；(2)12，34，78，1156，3312，…； (3)23，－ 1，170，－197，2116，－3173，…； (4)3,33,333,3 333 ，….