10.3三重积分(1)
三重积分公式
三重积分公式三重积分是数学中的一个重要概念，对于很多同学来说，可能一开始会觉得有点头疼。
但别担心，咱们一起来把它拿下！先来说说啥是三重积分。
想象一下，咱们有一个三维的空间，就像一个大大的立体盒子。
在这个盒子里，有个函数值在每一个点上都有定义。
三重积分呢，就是要把这个函数在这个立体盒子里的总体“效果”给算出来。
比如说，咱们假设这个立体盒子是一个大蛋糕。
这个蛋糕的密度不是均匀的，有的地方松软，有的地方紧实。
咱们想知道这个蛋糕的总质量，这时候就得用到三重积分啦。
那三重积分的公式是咋来的呢？这可不是凭空冒出来的。
它其实是从一重积分、二重积分慢慢“进化”来的。
一重积分呢，就像是在一条线上算面积；二重积分呢，就在一个平面上算体积；那三重积分，自然就是在一个三维空间里算某种“量”啦。
给大家举个具体的例子吧。
有一次我在课堂上讲三重积分，有个同学怎么都理解不了。
我就问他：“你想想，假如你有一堆形状不规则的积木堆在一起，你怎么知道这堆积木的总体积呢？”这同学挠挠头说不知道。
我就接着说：“咱们把这堆积木所在的空间划分成很多很多小格子，每个小格子的体积咱们能算出来，然后再根据每个小格子里积木的情况，乘以对应的函数值，把这些都加起来，不就得到总体的量了嘛！”这同学恍然大悟，眼睛一下子亮了起来。
再来说说三重积分的公式形式。
它看起来有点复杂，一堆的符号和表达式。
但别怕，咱们一点点拆解。
三重积分的一般形式是这样的：∭Ω f(x,y,z) dV 。
这里的Ω 表示积分区域，f(x,y,z) 就是咱们要积分的那个函数，dV 呢，表示体积元素。
计算三重积分的时候，咱们得根据积分区域的形状，选择合适的坐标。
常见的有直角坐标、柱坐标和球坐标。
直角坐标大家都比较熟悉啦，就是咱们平常的 x、y、z 轴。
柱坐标呢，就是多了个极径 r 和极角θ 。
球坐标呢，则是多了个球半径ρ 和两个角度φ 和θ 。
每种坐标都有自己的适用情况。
比如说，如果积分区域是个圆柱体，那用柱坐标可能就会简单很多；要是积分区域是个球体，那球坐标就派上用场啦。
三重积分计算法
Dxy
0
1x
第8页/共44页
0 y 1 x
:1 x y z 1, Dxy :
0 x1
f ( x, y, z)dv
y
x y 1
1
dxdy
f ( x, y, z)dz Dxy
1 x y
Dxy
0
1x
1
1 x
1
dx dy f (x, y, z)dz
0
0
1 x y
r sind
dr
d r sin
r
r sind rd
d
dr
o
y
积分元素
x
d
dr
r sind
v dv r2 sindrdd rd
第31页/共44页
体积元素 dv r2 sindrdd
三重积分在球面坐标系下的形式：
f ( x, y, z)dv F (r,, )r2 sindrdd
其中 F(r,, ) f (r sin cos ,r sin cos, r cos)
z x2 y2与平面 z 4 围成的区域.
解 在xoy面上的投影区域为圆域:
Dxy : x2 y2 4
z4
z
0 2,0 2
z 2 z x2 y2 : 2 z 4,0 2,0 2 x
y D
第23页/共44页
: 2 z 4,0 2,0 2
这样得到
先二后一
f ( x, y, z)dv c2 dz f (x, y, z)dxdy
c1
Dz
D . 先求出 上的二重积分再求定积分 Z
D 此法常用于 上的二重积分易求的情形 z
第12页/共44页
例3 计算
微积分练习题
一、单项选择题（1）函数()f x 在0x x =处连续是()f x 在0x x =处可微的（ ）条件.A.充分B.必要C.充分必要D.无关的 （2）当0x →时，()21x e -是关于x 的（ ）A.同阶无穷小B.低阶无穷小C.高阶无穷小D.等价无穷小（3）2x =是函数()222x xf x x -=-的（ ）.A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点 （4）函数()2f x x=及其图形在区间()1,+∞上（ ）. A.单调减少上凹 B.单调增加上凹 C.单调减少上凸 D.单调增加上凸（5）设函数()2; 1;1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =处可导，则（ ）A. 0,1a b ==B. 2,1a b ==-C. 3,2a b ==-D.1,2a b =-=（6）设()f x 为可微函数，则在点x 处，当0x ∆→时，y dy ∆-是关于x ∆的（ ）A. 同阶无穷小B. 低阶无穷小C. 高阶无穷小D. 等价无穷小 （7）设()1;012;12x x f x x x -<≤⎧=⎨-<≤⎩在1x =处为（ ）A. 连续点B. 可去型间断点C. 跳跃型间断点D. 无穷型间断点 二、填空题（1）()12lim 1sin x x →+=（2）已知xy xe =，n 为自然数，则()n y=（3）曲线ln y x =上经过点（1，0）的切线方程是：y =（4）2x f dx ⎛⎫'= ⎪⎝⎭⎰（5）已知()2xt G x e dt -=⎰，则()0G '=（6）曲线22sin y x x =+上点（0，0）处的法线方程为 （7）已知()32f '=，则()()33lim2x f x f x→--=（8）()=+∞→1!sin lim 32n n n n （9）已知()f x 的一个原函数为cos x ，则()f x '=（10）() 122 1sin 5x x x dx -+=⎰三、计算题1. 011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭2. 231lim 2x x x x +→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭3. 设ln tan 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy 4. 设()()sin ln xy y x x +-=确定y 是x 的函数，求0x y ='5. ()sin y f x =，其中f 具有二阶导数，求22d ydx6. 23225x dx x x --+⎰7. 18.22ππ-⎰9.1 ln eex x dx ⎰10. ()011lim ln 1x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦11. arctan x xdx ⎰12.13.4⎰14.求0,8y x y ===所围成的图形分别绕y 轴及直线4x =旋转所得的旋转体体积.15. 222x y a +=绕直线x a =旋转的旋转体的体积.四、应用题（1）已知销售量Q 与价格P 的函数关系Q = 10000－P ，求销售量Q 关于价格P 的弹性函数. （2）设某工厂生产某产品的产量为Q 件时的总成本()21500081000C Q Q Q =+-元，产品销售后的收益()2120500R Q Q Q =-元，国家对每件产品征税2元，问该工厂生产该产品的产量为多少件时才能获得最大利润？最大利润是多少？ 五、证明题1.设()f x 在区间[0，1]上可微，且满足条件()()1212f xf x dx =⎰，试证：存在()0,1ξ∈，使得()()0f f ξξξ'+=§8.1向量及其线性运算（1）、（2）、（3）、（4）一、设2,2u a b c v a b c =-+=++，试用,,a b c 表示24u v -．二、,,a b c 为三个模为1的单位向量，且有0a b c ++=成立，证明：,,a b c 可构成一个等边三角形．三、把△ABC 的BC 边四等分，设分点依次为123D D D 、、，再把各分点与点A 连接，试以AB c BC a ==、表示向量12D A D A 、和3D A ．四、已知两点()11,2,3M 和()21,2,1M --，试用坐标表示式表示向量12M M 及123M M -．五、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？并画出前两个：()1,1,1A ，()2,1,1B -，()2,3,4C ---，()3,4,5D --．六、指出下列各点的位置，观察其所具有的特征，并总结出一般规律：)0,4,3(A ，)3,0,4(B ，)0,0,1(-C ，)0,8,0(D ．七、求点(),,x y z 关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标．§8.1向量及其线性运算（5） §8.2数量积 向量积一、 试证明以三点()()()10,1,64,1,92,4,3A B C -、、为顶点的三角形是等腰直角三角形．二、设已知两点()()124,0,3M M 和，计算向量12M M 的模、方向余弦和方向角，并求与12M M 方向一致的单位向量．三、 设234,4223m i j k n i j k p i j k =++=-+=-++及，求232a m n p =+-在x 轴上的投影及在z 轴上的分向量． 四、 已知,,a b c 为三个模为1的单位向量，且0a b c ++=，求a b b c c a ++之值．五、已知23,a i j k b i j k c i j =++=--=+和，计算：()()()1a b c a c b -； ()()()2a b b c +⨯+； ()()3a b c ⨯．六、 设()()2,1,3,1,2,1a b =-=--，问λμ和满足何关系时，可使a b λμ+与z 轴垂直？七、 已知()1,2,3OA =，()2,1,1OB =-，求△AOB 的面积．§8.3曲面及其方程一、 一动点与两定点()()1,2,33,0,7和等距离，求这动点的轨迹方程．二、 方程2222460x y z x y z ++-+-=表示什么曲面？三、 将xoz 平面上的双曲线224936x z -=分别绕x 轴及z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．四、 指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形？ 1.24y x =+； 222.326x y -=．五、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？2221.226x y z ++=； ()2222.z a x y +=+．六、指出下列方程所表示的曲面：2221.22x y z+-=；2222.33x y z--=；223.345x y z+=．§8.4空间曲线及其方程 §8.5平面及其方程(1)一、填空题：1．曲面22x y +-209z =与平面3z =的交线圆的方程是 ，其圆心坐标是 ，圆的半径为 ．2．曲线222221(1)(1)1x y x y z ⎧+=⎪⎨+-+-=⎪⎩在yoz 面上的投影曲线为 ． 3．螺旋线cos x a θ=,sin y a θ=,z b θ=在yoz 面上的投影曲线为 ．4．上半锥面z =（01z ≤≤）在xoy 面上的投影为 ，在xoz 面上的投影为 ，在面上的投影为 ．二、选择题：1．方程22149x y y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在空间解析几何中表示 ． （Ａ）、椭圆柱面 （Ｂ）、椭圆曲线 （Ｃ）、两个平行平面 （Ｄ）、两条平行直线2．参数方程cos sin x a y a z b θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩的一般方程是 ．（Ａ）、222x y a += (B)、cos z x a b = (C)、sin z y a b = (D)、cos sin z x a b zy a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3．平面20x z -=的位置是 ． （Ａ）、平行xoz 坐标面。
三重积分详解
1
x2 y xz 1 dy 0
1
1 x 2
( x x 2 2 xy )dy
2
0 ( x x ) y xy
2
2
0
1 x 2
1 1 dx 0 ( x 2 x 2 x 3 )dx 4
1
x 1 2 1 3 4 x x 1 . 4 2 3 4 0 48
Ω
计算 I f ( x , y , z )dxdydz
6
x+y+z=6
3x+y=6
0
.
6
2
y
x
6
例
：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域
Ω
计算 I f ( x , y , z )dxdydz
z
6
x+y+z=6
3x+y=6
1
1 x
I
.
dxdy
D
xy
0
f ( x , y , z )dz
dx
0
1
0
dy
xy
0
f ( x , y , z )dz
x
2.截面法（先二后一法）
I f ( x , y , z )dxdydz
c2
z
其中 Ω ( x , y , z ) | c1 z c 2 ,( x , y ) Dz
0
.
6
2
y
x
6
：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = z6所围成的区域
三重积分1
f ( x, y,z) f ( x, y, z) ( f ( x, y,z) f ( x, y, z)) 则称f关于变量z的奇(偶) 函数.
7
9.3 三 重 积 分
例 设域为 x2 y2 z2 a2, 1为的z 0部分
则 x2 y2zdv 0
yz2dv 2 yz2dv 0
1
2 f ( x, y, z)dv
f 为 x, y, z的奇函数, f 为 x, y, z的偶函数,
4
其中Ω4为 Ω中关于原点对称的一半区域.
12
9.3 三 重 积 分
三、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分 在直角坐标系中, 如果用平行于坐标面的 平面的来划分Ω, 则 vi x jykzl . (vi是小长方体). 故直角坐标系下的体积元素为
1
dx
dy 1 x2
2 x2
f ( x, y, z)dz
1
1 x2
x2 2y2
20
9.3 三 重 积 分
例 化三重积分I f ( x, y, z)dxdydz为三次
积分,其中积分区域为由曲面 z x2 2 y2 及z 2 x2 所围成的闭区域.
解
由 z z
x2 2y2 2 x2
D
(x, y)
x
y y1(x)
y
y y2( x)
16
9.3 三 重 积 分
f ( x, y, z)dv
b
dx
y2 ( x) dy
z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz
a
y1 ( x )
z1 ( x, y )
注 这是平行于z轴且穿过闭区域Ω
内部的直线与闭区域Ω的边界曲面S相
高等数学三重积分计算方法总结
高等数学三重积分计算方法总结 1、利用直角坐标计算三重积分： （1）投影法（先一后二）： 1）外层(二重积分)：区域Ω在xoy面上的投影区域Dxy 2）内层(定积分)： 从区域Ω的底面上的z值，到区域Ω的顶面上的z值。 （2）截面法（先二后一）： 1)外层(定积分): 区域Ω在z 轴上的投影区间。 2)内层(二重积分):Ω垂直于z 轴的截面区域。 2、利用柱坐标计算三重积分
3、利用球面坐标计算三重积分 定限方法: (1)转面定θ(2)转线定φ (3)线段定r 4、利用对称性化简三重积分计算 设积分区域Ω关于xoy平面对称， (1)若被积函数 f(x,y,z) 是关于z 的奇函数，则三重积分为零。 (2)若被积函数 f(x,y,z) 是关于z 的偶函数，则三重积分等于：在xoy平面上方的半个Ω，区域上的三重积分的两倍. 使用对称性时应注意： 1）积分区域关于坐标面的对称性； ２）被积函数关于变量的奇偶性。
(cos,sin,)fzdddz(,,)fxyzdv(,,)fxyzdxdydz(sincos,sinsin,cos)frrr2sinrdrdd 例 计算 ，其中Ω是由曲面z = x2 + y2和x2 + y2 + z2 =2所围成的空间闭区域.
解：
是关于x 的奇函数，且关于 yoz 面对称 故其积分为零。 2x2 y是关于y 的奇函数,且关于 zox 面对称
dxdydzzyxx2)(
2)(zyxx
22222222)(zxxyzyxzyxx
xyzzyxx2)(222
,022ydvxdxdydzzyxxI2)(
,22zdxdydzxdzddz22cos2
zdzdd23cos2
20104223)2(cosdd
第十章第三节三重积分教学内容
先假设连续函数
并将它看作某物体
通过计算该物体的质量引出下列各计算
最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
的密度函数 ,
方法:
*
优学课堂
方法1. 投影法 (“先一后二” )
该物体的质量为
细长柱体微元的质量为
微元线密度≈
记作
*
优学课堂
方法2. 截面法 (“先二后一”)
由柱面
围成半圆柱体.
*
优学课堂
例4. 计算三重积分
解: 在柱面坐标系下
所围成 .
与平面
其中 由抛物面
原式 =
*
优学课堂
3. 利用球坐标计算三重积分
就称为点M 的球坐标.
直角坐标与球面坐标的关系
坐标面分别为
球面
半平面
锥面
*
优学课堂
如图所示, 在球面坐标系中体积元素为
因此有
其中
适用范围:
1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;
一、三重积分的概念
类似二重积分解决问题的思想, 采用
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的
物质,
求分布在 内的物质的
可得
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
解决方法:
质量 M .
密度函数为
*
优学课堂
定义. 设
存在,
称为体积元素,
若对 作任意分割:
任意取点
则称此极限为函数
方法2. “先二后一”
方法3. “三次积分”
具体计算时应根据
三种方法(包含12种形式)各有特点,
被积函数及积分域的特点灵活选择.
高数 三重积分指导
第三节 三重积分教学目的和要求：1．了解三重积分的概念和性质。
2．会在直角坐标、柱面坐标、球面坐标下计算较简单的三重积分。
重点：三重积分的计算方法。
难点：积分区域的图形及积分限的确定。
主要知识点：一． 三重积分的概念1． 三重积分的定义2． 三重积分的存在性3． 三重积分物理定义（与二重积分相区别）4． 三重积分的性质二． 三重积分的计算方法1． 直角坐标下：1）对积分域的要求。
2）可以看作是“先二后一”的积分，也可化为三次积分。
3）直角坐标适合的类型：积分域为在某坐标面投影为三角形，矩形等带“棱”、“角”的图形，被积函数的特点为一般不带高次的项或高次项的平方和。
4） 积分限的确定方法：第一步：先往某坐标面投影（如xoy 面），得一平面图形，按二重积分的积分限的方法确定x 和y 。
第二步：在区域内沿z 轴方向穿线，穿入的为下限，穿出的为上限；或从边界面方程中去解z ，小的放下限，大的放上限。
5） 可利用对称性和奇偶性。
比如，若积分区域关于xoy 面对称，被积函数关于z 的奇函数，则积分值为0，其它两种情况同理。
2、利用柱面坐标计算三重积分1）柱面坐标的特点：I ．可以看成平面上的极坐标又加上一个z 轴，可按此定积分限。
II ．规定,,r z θ的范围2）利用柱面坐标适合的类型I ．积分本身为圆柱域，或投影域为圆域或圆域的一部分。
II ．被积函数有形如()22f x y +，或含22x y +的因子。
3）柱面坐标计算时应注意的问题I ．关键是变量z 积分限的定法。
II ．被积表达式中dv 要换成rdrd dz θ。
r 不要丢掉3、利用球面坐标计算三重积分1）球坐标变换公式及,,r θϕ的含义和范围。
2）球坐标适合的类型：I ．积分域为球域或部分球域。
II．被积函数有f 的形式。
3）球坐标计算应注意的问题：I ．此处的r 与柱坐标中的r 不同。
但ϑ是一样的。
II ．计算时dv 要换成2sin r d d dr ϕθϕ，2sin r ϕ不要丢掉。