2018届南通泰州高三年级第一次模拟(二)数学试卷(含参考答案)

2018届高三年级第一次模拟考试(二)
数 学
(满分160分，考试时间120分钟)
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1. 若集合A ＝{－2，0，1}，B ＝{x|x 2>1}，则集合A ∩B ＝________．
2. 命题“∃x ∈[0，1]，x 2－1≥0”是________命题．(选填“真”或“假”)
3. 若复数z 满足z·2i ＝|z|2＋1(其中i 为虚数单位)，则|z|＝________．
4. 若一组样本数据2 015，2 017，x ，2 018，2 016的平均数为2 017，则该组样本数据的方差为________．
5. 如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是________．
(第5题) (第12题)
6. 函数f(x)＝
1
ln x
的定义域记作集合D.随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子(骰子的每个面上分别标有点数1，2，…，6)，记骰子向上的点数为t ，则事件“t ∈D ”的概率为________．
7. 已知圆锥的高为6，体积为8.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为________．
8. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2a 3a 4＝a 2＋a 3＋a 4，则a 3的最小值为________．
9. 在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：x ＋y ＋1＝0与双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a>0，b>0)
的两条渐近线都相交且交点都在y 轴左侧，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是________．
10. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ≤0，2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，
则x ＋y 的取值范围是________．
11. 已知函数f(x)＝bx ＋ln x ，其中b ∈R.若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，
则k －b 的值为________．
12. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝sin (ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象与x 轴的交点A ，B ，C 满足OA ＋OC ＝2OB ，则φ＝________．
13. 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，BC ＝3，P 为△ABC 内一点(含边界)，若满足BP →＝
1
4BA →＋λBC →(λ∈R)，则BA →·BP →
的取值范围为________．
14. 已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，△ABC 所在平面内存在点P 使得PB 2＋PC 2＝3PA 2
＝3，则△ABC 面积的最大值为________．
二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，3b sin C ＝c cos B ＋c. (1) 求角B 的大小；
(2) 若b 2＝ac ，求1tan A ＋1
tan C
的值．
16. (本小题满分14分)
如图，四棱锥PABCD 的底面ABCD 是平行四边形，PC ⊥平面ABCD ，PB ＝PD ，Q 是棱PC 上异于P ，C 的一点．
(1) 求证：BD ⊥AC ；
(2) 过点Q 和AD 的平面截四棱锥得到截面ADQF(点F 在棱PB 上)，求证：QF ∥BC.
已知小明(如图中AB 所示)身高1.8米，路灯OM 高3.6米，AB ，OM 均垂直于水平地面，分别与地面交于点A ，O.点光源从点M 发出，小明在地面上的影子记作AB′.
(1) 小明沿着圆心为O ，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求AB′扫过的图形面积；
(2) 若OA ＝3米，小明从A 出发，以1米/秒的速度沿线段AA 1走到A 1，∠OAA 1＝π
3，
且AA 1＝10米．t 秒时，小明在地面上的影子长度记为f(t)(单位：米)，求f(t)的表达式与最小值．
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F ，A 是椭圆的
左顶点，过原点的直线与椭圆交于M ，N 两点(点M 在第三象限)，与椭圆的右准线交于点P.已知AM ⊥MN ，垂足为M ，且OA →·OM →＝4
3
b 2.
(1) 求椭圆C 的离心率e ； (2) 若S △AMN ＋S △POF ＝
10
3
a ，求椭圆C 的标准方程．
已知各项均为正数的无穷数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1＝a(其中a为常数)，nS n＋1
＝(n＋1)S n＋n(n＋1)(n∈N*)．数列{b n}满足b n＝a2n＋a2n＋1
a n a n＋1
(n∈N*)．
(1) 证明：数列{a n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式；
(2) 若无穷等比数列{c n}满足：对任意的n∈N*，数列{b n}中总存在两个不同的项b s，b t(s，t∈N*)，使得b s≤c n≤b t，求{c n}的公比q.
已知函数f(x)＝
ln x
（x＋a）2
，其中a为常数．
(1) 若a＝0，求函数f(x)的极值；
(2) 若函数f(x)在(0，－a)上单调递增，求实数a的取值范围；
(3) 若a＝－1，设函数f(x)在(0，1)上的极值点为x0，求证：f(x0)<－2.
2018届高三年级第一次模拟考试(二)
数学附加题
(本部分满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. [选修41：几何证明选讲](本小题满分10分)
在△ABC 中，N 是边AC 上一点，且CN ＝2AN ，AB 与△NBC 的外接圆相切，求BC
BN 的值．
B. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤42a 1不存在逆矩阵，求：
(1) 实数a 的值；
(2) 矩阵A 的特征向量．
C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线
C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α＋1，y ＝2sin α
(α为参数)，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π
4＝2，直线
l 与曲线C 交于M ，N 两点，求MN 的长．
D. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分) 已知a >0，b >0，求证：a 3＋b 3
a 2＋b
2≥ab .
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. (本小题满分10分)
已知正四棱锥PABCD 的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量ξ的值：
若这两条棱所在的直线相交，则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小(弧度制)； 若这两条棱所在的直线平行，则ξ＝0；
若这两条棱所在的直线异面，则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制)． (1) 求P(ξ＝0)的值；
(2) 求随机变量ξ的分布列及数学期望E(ξ)．
23. (本小题满分10分)
记(x ＋1)×⎝⎛⎭⎫x ＋12×…×⎝⎛⎭⎫x ＋1
n (n ≥2且n ∈N)的展开式中含x 项的系数为S n ，含x 2项的系数为T n .
(1) 求S n ；
(2) 若T n
S n
＝an 2＋bn ＋c ，对n ＝2，3，4成立，求实数a ，b ，c 的值；
(3) 对(2)中的实数a ，b ，c ，用数学归纳法证明：对任意n ≥2且n ∈N *，T n
S n
＝an 2＋bn ＋
c 都成立．。