3.3.2图形的对称
小学数学知识归纳对称的性质
小学数学知识归纳对称的性质数学中的对称性质指的是物体或图形在某种变换下保持不变的性质。
在小学数学中，对称性质是非常重要的一个概念，它帮助学生理解和分析图形以及解决各种与对称性有关的问题。
本文将对小学数学中与对称性质相关的知识进行归纳和总结。
1. 点的对称性质在数学中，点是最基本的图形。
在平面坐标系中，点沿着任何轴对称时，仍保持不变。
以原点O为中心，通过点A作一条直线，其延长线与原线对称，即OA与OA'为对称线，A与A'为对称点。
2. 图形的对称性质图形的对称性质分为轴对称和旋转对称两种情况。
2.1 轴对称轴对称是指图形绕着某条轴线对称，即图形的一部分与其余部分关于轴线对称。
轴对称的轴线可以是横轴、纵轴或对角线。
2.1.1 横轴对称当图形绕着横轴对称时，图形的上下部分是镜像关系。
比如字母"A"就是一个具有横轴对称性质的图形，将字母"A"沿横轴翻转180度后，得到的图形与原来的字母"A"完全一样。
2.1.2 纵轴对称当图形绕着纵轴对称时，图形的左右部分是镜像关系。
例如，数字"8"就是一个具有纵轴对称性质的图形，将数字"8"沿纵轴翻转180度后，得到的图形与原来的数字"8"完全一样。
2.1.3 对角线对称当图形绕着对角线对称时，图形的两侧是镜像关系。
比如正方形就具有对角线对称性质，将正方形沿对角线翻转180度后，得到的图形与原来的正方形完全一样。
2.2 旋转对称旋转对称是指图形绕着某个点旋转一定角度后仍保持不变。
旋转对称可以是90度、180度或360度。
3. 对称性质的应用对称性质在解题过程中有很多应用，以下是几个常见的例子。
3.1 图形的重要性质对称性质可以帮助我们发现图形的一些重要性质，例如，一个图形的对称轴的存在可以帮助我们判断其对称性。
如果一个图形存在对称轴，则可以根据对称性质得出一些结论，比如图形的某些角度相等、线段相等等。
3.3.2-垂径定理
例题
M
C
D
A 已知：⊙O中弦 AB∥CD。
B
.O
求证：A⌒C＝B⌒D
证明：作直径MN⊥AB。
N
∵BMA，B∥CMCD＝，D∴MM（⌒N垂⊥直C平⌒D。分则弦A的⌒M直＝径⌒平
分弦所对的弦）
A⌒M－C⌒M＝B⌒M－D⌒M
∴A⌒C＝B⌒D
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• 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的 弧相等吗?
第三章 圆
3.3.2 垂径定理
1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理；并能运 用垂径定理及其逆定理解决问题．
2.经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步 体会和理解研究几何图形的各种方法．
3.培养学生类比分析，猜想探索的能力．
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回顾旧知
什么是垂径定理？
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分 弦所对的两条弧。
1.两条弦在圆心的同侧 N
2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
C
D
M
A C
B ●O
D
垂径定理的推论:圆的两条平行弦所夹的弧
相等.
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思考：
如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所 夹的弧相等吗？为什么？
A
OB
A C
O
B D
A C
B O
D
C
D
有三种情况：1、圆心在平行弦外；
2、圆心在其中一条弦上；
O
A
A
E
B
A
O
D
B
D
B
O
D
A
O
C
C
A
B
3.3.2第1课时 抛物线的简单几何性质 导学案正文
3.3.2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质【学习目标】能类比椭圆、双曲线几何性质的研究方法得到抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质及其代数表达.◆知识点一抛物线的几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形焦点坐标(p2,0)(-p2,0)(0,p2)(0,-p2)准线方程x=-p2x=p2y=-p2y=p2开口方向范围对称轴顶点坐标离心率【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛物线关于原点对称.( )(2)抛物线只有一个焦点、一条对称轴,无对称中心. ( )(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.( )◆知识点二抛物线的焦半径、焦点弦与通径1.焦半径与焦点弦(1)抛物线上一点与焦点F连接的线段叫作焦半径.(2)过抛物线焦点的直线与抛物线相交,直线被抛物线所截得的线段称为抛物线的.设A(x0,y0)为抛物线上任意一点,则四种标准方程形式下的焦半径公式和焦点弦长|MN|(M(x1,y1),N(x2,y2))为标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)焦半径|AF|焦点弦长|MN|x1+x2+p-x1-x2+p y1+y2+p-y1-y2+p2.通径经过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线交抛物线于A,B两点,线段AB称为抛物线的通径,通径的长|AB|为.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛物线x2=4y,y2=4x的焦点到准线的距离是相同的,离心率也相同.( )(2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p(p>0).( )(3)P(x1,y1)是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线的焦点,则|PF|=x1+p.( )◆探究点一抛物线的几何性质例1 (1)已知抛物线y2=8x,求出变量x的范围及该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴.(2)抛物线的顶点在原点,对称轴与椭圆9x2+4y2=36的短轴所在的直线重合,抛物线的焦点到顶点的距离为3,求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程.变式已知等边三角形AOB的边长为2,O为坐标原点,AB⊥x轴,且点A在第一象限.(1)求以O为顶点且过点A,B的抛物线的方程;(2)求(1)中所求抛物线的焦点坐标、准线方程及离心率e.[素养小结]运用抛物线的几何性质要把握三个要点:(1)定性:由抛物线的标准方程看抛物线的开口方向,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.(2)定量:确定焦点到准线的距离p(p>0).(3)转化:抛物线上的一点到焦点的距离与到准线的距离相等,解题时适时转化可起到事半功倍的效果.◆探究点二焦点弦的性质问题例2已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.变式 (多选题)经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则下列说法中正确的是( )A.当AB与x轴垂直时,|AB|最小B.1|AF|+1|BF|=p2C.以弦AB为直径的圆与直线x=-p2相离D.y1y2=-p2[素养小结]抛物线焦点弦长的求法:设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),利用弦所在直线的方程(注意方程的设法)与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出x1+x2,由公式|AB|=x1+x2+p求出焦点弦长.◆探究点三抛物线几何性质的应用例3 (1)已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=4x上,则这个等边三角形的边长为( )A.8√3B.4√2C.4√3D.3√2(2)已知抛物线C:y2=4√2x的焦点为F,O为坐标原点,P为抛物线C上一点,且满足|PF|=3√2,则△POF的面积为.变式 (1)以抛物线C:y2=4x的焦点F为端点的射线与C及C的准线l分别交于A,B两点,过B且平行于x轴的直线交C于点P,过A且平行于x轴的直线交l于点Q,若|AQ|=43,则△PBF的周长为( )A.16B.12C.10D.6(2)已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上不同的两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线AB的方程.[素养小结]利用抛物线的性质可以解决的问题:(1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题.(2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题.(3)范围:解决与抛物线有关的最值问题.(4)焦点:解决焦点弦问题.。
人教A版选择性必修第一册3.3.2抛物线的简单几何性质课件
2p
y
F O lx
y
l OF x
x∈R, y≥0
x∈R, y≤0
关于y轴对称
p 2 y0
y1 y2 p
p 2
y0
( y1 y2 ) p
二、抛物线的几何性质
直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系：相交、相切和相离． 设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)位置关系判定方法：方程法
当y02=p2时，易知结论成立。 所以，直线DB平行于抛物线的对称轴．
三、题型与方法
题型四 抛物线的综合应用 例6.如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)， B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N. (1)求y1y2的值；
解：（1）依题意，设AB的方程为x＝my＋2， 代入y2＝4x，得y2－4my－8＝0，从而y1y2＝－8. 证明:（2）设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
由定义知, 抛物线y2 =2px(p>0)的离心率为e=1.
二、抛物线的几何性质
5.焦半径：
连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径.
焦半径公式：
MF
x0
p 2
6.焦点弦：
过抛物线的焦点的弦，叫做抛物线的焦点弦.
焦点弦公式：
二、抛物线的几何性质
7.通径： 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反应 抛物线基本特征的草图. 2p越大，抛物线张口越大
8
32
二、抛物线的几何性质
方程
y2 = 2px
y2 = -2px
x2 = 2py
x2 = -2py
抛
物 图形
3.3.2中心对称图形
中心对称图形（2015•闸北区模拟）一个正多边形绕它的中心旋转45°后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形（）A．是轴对称图形，但不是中心对称图形B．是中心对称图形，但不是轴对称图形C．既是轴对称图形，又是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【专题】几何图形问题；综合题；压轴题．【分析】先根据旋转对称图形的定义得出这个正多边形是正八边形、再根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可解答．【解答】解：∵一个正多边形绕着它的中心旋转45°后，能与原正多边形重合，360°÷45°=8，∴这个正多边形是正八边形．正八边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选C．【点评】本题综合考查了旋转对称图形的概念，中心对称图形和轴对称图形的定义．根据定义，得一个正n边形只要旋转的倍数角即可．奇数边的正多边形只是轴对称图（2012•闵行区二模）等边三角形绕它的一个顶点旋转90°后与原来的等边三角形组成一个新的图形，那么这个新的图形（）A．是轴对称图形，但不是中心对称图形B．是中心对称图形，但不是轴对称图形C．既是轴对称图形，又是中心对称图形D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形【考点】中心对称图形；等边三角形的性质；轴对称图形．【专题】压轴题．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：等边三角形绕它的一个顶点旋转90°后与原来的等边三角形组成一个新的图形，沿着一条直线对折后两部分完全重合，故是轴对称图形；找不到一点把图形绕该点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，故不是中心对称图形．故选A．【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴．（2011•郴州）【点评】本题考查轴对称图形及中心对称图形的知识，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．（2010•金东区模拟）（2008•杨浦区模拟）有以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、圆、菱形、正五边形其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】中心对称图形；轴对称图形．【专题】几何图形问题；压轴题．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合几何图形的特点进行判断．【解答】解：矩形、线段、圆、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；等腰三角形、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．故既是轴对称图形又是中心对称图形的是：矩形、线段、圆、菱形，共4个．故选B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．（1）如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．（2）如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．（2007•徐州）如图，将两张完全相同的正方形透明纸片完全重合地叠放在一起，中心是点O，按住下面的纸片不动，将上面的纸片绕点O逆时针旋转15°，所得重叠部分的图形（）A．既不是轴对称图形也不是中心对称图形B．是轴对称图形但不是中心对称图形C．是中心对称图形但不是轴对称图形D．既是轴对称图形也是中心对称图形【考点】中心对称图形；正方形的性质；轴对称图形；旋转的性质．【专题】压轴题．【分析】根据旋转的概念和正方形的性质即可解答．【解答】解：通过旋转，得到8个全等的三角形，故得到的重叠部分的图形各边相等；故所得重叠部分的图形，既是轴对称图形也是中心对称图形．故选D．【点评】轴对称图形和中心对称图形的概念：把一个图形沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴；一个图形绕着某个点旋转180°，能够和原来的图形重合，则为中心对称图形．（2001•昆明）等腰三角形、等边三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆等图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图的共有（）A．2个B．4个C．5个D．7个【考点】中心对称图形；轴对称图形．【专题】压轴题．【分析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．绕一个点旋转180度后所得的图形与原图形完全重合的图形叫做中心对称图形．【解答】解：等腰三角形、等边三角形、等腰梯形只是轴对称图形；矩形、菱形、正方形、圆既是轴对称图形又是中心对称的图形．故选B．【点评】考查了轴对称图形和中心对称图形的概念．注意：只有拥有偶数条对称轴的轴对称图形才同时是中心对称图形．（2011•西盟县模拟）请写出一个既是轴对称，又是中心对称的几何图形名称：矩形．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【专题】压轴题；开放型．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，结合所学过的图形即可写出如矩形，菱形等．【解答】解：既是轴对称又是中心对称的图形如矩形等．故答案为：矩形．【点评】此题为开放性试题，答案不唯一，考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．注意：只要是偶数条对称轴的轴对称图形一定是中心对称图形．（2008•北海）下列几种图形：菱形、等腰梯形、线段、正八边形．从对称性角度分析，其中与另外三种不同的一种图形是等腰梯形．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据多边形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答出即可．【解答】解：菱形既是轴对称图形又是中心对称图形；等腰梯形是轴对称图形；线段既是轴对称图形又是中心对称图形；正八边形既是轴对称图形又是中心对称图形．故答案为：等腰梯形．【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，牢记定义并能熟练应用是解答的关键．（2004•南宁）如图是两张全等的图案，它们完全重合地叠放在一起，按住下面的图案不动，将上面图案绕点O顺时针旋转，至少旋转60度角后，两张图案构成的图形是中心对称图形．【考点】中心对称图形．【专题】压轴题．【分析】根据中心对称图形的概念并结合图形特征进行分析．【解答】解：正三角形要想变成和正偶数边形有关的多边形，边数最少也应是6边形，而六边形的中心角是60°，所以至少旋转60°角后，两张图案构成的图形是中心对称图形．【点评】注意：在讨论正多边形的对称性的时候，所有的正多边形都是轴对称图形，只有偶数边的正多边形同时是中心对称图形．（2002•广元）写出三个你熟悉的既是中心对称图形又是轴对称图形的名称：矩形，菱形，正方形，线段，圆任选三．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【专题】压轴题；开放型．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【解答】解：既是中心对称图形又是轴对称图形的名称：矩形，菱形，正方形（答案不唯一）．【点评】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．（2001•常州）写出一个你熟悉的既是轴对称又是中心对称的图形名称矩形．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【专题】压轴题；开放型．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，结合所学过的图形即可写出如矩形，菱形等【解答】解：既是轴对称又是中心对称的图形如矩形，菱形等．【点评】此题为开放性试题，答案不唯一．注意：只要是偶数条对称轴的轴对称图形一定是中心对称图形．（2008•泉州）附加题：A、计算：2﹣1=；B、在正方形、直角三角形、梯形这三个图形中，为中心对称图形的是正方形．【考点】中心对称图形；负整数指数幂．【专题】计算题；压轴题．【分析】A、利用幂的负指数运算法则：底数的负指数次幂等于底数的正指数次幂的倒数；B、根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、2﹣1=；B、正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形；直角三角形和梯形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故是中心对称图形的是正方形．【点评】掌握幂运算的法则以及中心对称图形的概念．（2015•无锡）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．矩形D．圆【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念以及等边三角形、平行四边形、矩形、圆的性质解答．【解答】解：A、只是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；B、只是中心对称图形，不合题意；C、D既是轴对称图形又是中心对称图形，不合题意．故选A．【点评】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后重合．（2015•徐州）（2015•剑川县三模）观察下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形不是中心对称图形，故错误；B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故正确；C、是轴对称图形不是中心对称图形，故错误；D、是中心对称图形不是轴对称图形，故错误，故选：B．【点评】本题考查了轴对称与中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．（2014秋•新疆期中）（2013春•石景山区期末）【点评】本题主要考查对中心对称图形和轴对称图形的理解和掌握，能正确判断一个图形是否是中心对称图形和轴对称图形是解此题的关键．（2013秋•泾川县校级期中）既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．正五边形B．等边三角形C．菱形D．平行四边形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、是轴对称图形，也是中心对称图形；D、是中心对称图形，不是轴对称图形．故选C．【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．（2013春•石河子校级月考）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．平行四边形B．圆C．等腰梯形D．正方形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形；B、是轴对称图形，也是中心对称图形；C、是轴对称图形，不是中心对称图形；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故选：C．【点评】本题主要考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后重合．（2013春•根河市校级月考）下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【解答】解：A、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．（2012•台州）（2012秋•单县校级月考）如图所示的4组图形中，图形左边与右边成中心对称的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【考点】中心对称图形．【分析】欲分析两个图形是否成中心对称，主要把一个图形绕一个点旋转180°，观察是否能和另一个图形重合即可．【解答】解：根据中心对称的概念，知①、②、③都是中心对称；④是轴对称．故选C．【点评】本题重点考查了两个图形成中心对称的定义．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．（2012秋•单县校级月考）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．正三角形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出【解答】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，但是轴对称图形，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．（2011•开平区一模）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：图1、图5都是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．图3不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；也不是中心对称图形，因为绕中心旋转180度后与原图不重合．图2、图4既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选B．【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．（2006•北京）在下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形，且对称轴只有两条的是（）A．等腰梯形B．平行四边形C．菱形D．正方形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、是中心对称图形，不是轴对称图形．故错误；C、是中心对称图形，也是轴对称图形，只有两条对称轴．故正确；D、是中心对称图形，也是轴对称图形，有四条对称轴．故错误．故选C．【点评】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．（2005•泰安）一次魔术表演时，桌面上摆放着四张扑克牌．一位观众应邀登台将摩术师的眼睛蒙上黑布并把其中一张扑克牌旋转180°后放回原处，取下黑布后，魔术师立即就指出了哪张牌被旋转过．下面给出了四组牌，假如你是魔术师，你应该选择哪一组才能达到上述效果（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；生活中的旋转现象．【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据定义和扑克牌的花色特点即可求解．【解答】解：A选项只有方块1是中心对称图形，当都没有变化时，旋转的便是方块1，当有一个有变化时，旋转的便是有变化的那个．故选A．【点评】当所有图形都没有变化的时候，旋转的是成中心对称图形的那个；有一个有变化的时候，旋转的便是有变化的那个．（2002•朝阳区）在A、I、O、S、W、X、Z这7个字母中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（）A．2B．3C．4D．5【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：在同一平面内，如果把这个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，这个图形就是中心对称图形，一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这就是轴对称图形．在这7个字母中，符合这两个条件的就只有I、O、X，一共三个字母．故选B．【点评】此题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．下列图形①角，②平行四边形，③圆，④矩形，⑤菱形，⑥正方形，⑦等腰梯形，既是中心对称又是轴对称图形的有（）A．②③④⑥，B．②③④⑤C．①③⑥⑦D．③④⑤⑥【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念求解．【解答】解：题目中：①⑦是轴对称图形，②是中心对称图形，③④⑤⑥既是轴对称又是中心对称图形．故选D．【点评】轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．中心对称图形的判断方法：一个图形绕一个点旋转180度后，与原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．下面的四个图案中，既包含图形的旋转，又包含图形的轴对称的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据图形的特点结合轴对称图形和中心对称图形的概念解答．【解答】解：A、只包含图形的旋转，不符合题意；B、只是轴对称图形，不符合题意；C、只是轴对称图形，不符合题意；D、既包含图形的旋转，又包含图形的轴对称，符合题意．故选：D．【点评】此题考查了旋转的概念以及轴对称图形的概念：直线两旁的部分能够互相重合的两个图形叫做这两个图形成轴对称．把一个图形绕某一点旋转一定角度后得到另一个图形，叫做旋转变换．（2015•浙江模拟）如图，是4×4的正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是3．【考点】中心对称图形．【分析】通过观察发现，当涂黑3时，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，．【解答】解：如图，把标有数字3的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形．故答案为：3．【点评】本题考查了中心对称图形的定义，要知道，一个图形绕端点旋转180°所形成的图形叫中心对称图形．（2014秋•启东市校级月考）如图，所示的美丽图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有3个．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：（1），（3），（4）是轴对称图形，也是中心对称图形．（2）是轴对称图形，不是中心对称图形．故答案为：3．【点评】本题考查了轴对称与中心对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．（2013秋•邹平县校级期末）对于下列图形：①等边三角形；②矩形；③平行四边形；④菱形；⑤正八边形；⑥圆．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是②④⑤⑥．（填写图形的相应编号）【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的定义，结合各项进行判断即可．【解答】解：①是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；②是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；③是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；④是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；⑤是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．⑥是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；故答案为：②④⑤⑥．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．指出下列图形哪些是中心对称图形？并写出每个图形的旋转角．（最小旋转角度）【考点】中心对称图形．【分析】利用中心对称图形的定义求解．【解答】解：（1）（2）（3）（7）（8）是中心对称图形；旋转角分别为：60°，60°，60°，120°，120°，120°60°．【点评】本题考查了中心对称图形的定义，比较简单，属于基础题．对于正n边形，当边数n为奇数时，它是轴对称图形，但不是中心对称图形图形；当边数n为偶数时，它既是轴对称图形，又是中心对称图形图形．正n边形有n 条对称轴．【考点】中心对称图形．【分析】根据正多边形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．【解答】解：对于正n边形，当边数n为奇数时，它是轴对称图形，但不是中心对称图形图形；当边数n为偶数时，它既是轴对称图形，又是中心对称图形图形．正n边形有n 条对称轴．故答案为：轴对称，中心对称图形；轴对称，中心对称图形．n．【点评】此题考查正多边形对称性．关键要记住偶数边的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，奇数边的正多边形只是轴对称图形．在线段、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、正方形、正五边形、正六边形、圆这些图形中，是旋转对称图形的为圆，是中心对称图形的为线段、平行四边形、正方形、正六边形和圆．【考点】中心对称图形；旋转对称图形．【分析】利用旋转对称图形、中心对称图形的定义解答即可．。
三、中心对称图形
第三章中心对称图形（一）§3.1图形的旋转知识点：1、旋转基本内涵。
将一个图形绕一个定点沿某一个方向转动一定的角度，这样的图形运动称为旋转。
这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角。
2、旋转与平移的区别和共同点：变换要素性质共性平移平移的方向和距离对应点的连线段的长度等于平移的距离，对应点的连线段平行（或在同一条直线上）；对应线段平行（或同一条直线上）且相等变换前后的两个图形的形状与大小不变（全等）轴对称对称轴对称点的连线被对称轴垂直平分旋转旋转的中心、方向和旋转角对应点与旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角考点：主要围绕旋转的定义、性质来作图以及解决一些简单数学问题和实际应用问题。
典型例题：例1、（2008 盐城）如图，△ABC是等腰三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，且PA=3，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP’重合，那么线段PP’的长等于---------。
例2、画出△ABC绕点A逆时针90°后的图形。
例3、（2008 南京）如图，菱形ABCD与菱形EFGH的形状、大小完全相同，请从下列序号中选择正确选项的序号填在横线上。
①点E、F、G、H；②点G、F、E、H；③点E、H、G、F；④点G、H、E、F。
D HA C E GB F图1 图2（1）如果图1 经过一次旋转后得到图2，那么点A、B、Ｃ、Ｄ对应点分别是＿＿＿。
P’AB CPAB C（2）如果图1经过一次轴对称后得到图2 ，那么点A ，B ，C ，D 对应点分别是＿＿＿。
（3）如果图1经过一次平移后得到图2 ，那么点A ，B ，C ，D 对应点分别是＿＿＿。
§3.2中心对称与中心对称图形 知识点：1、中心对称与中心对称图形联系和区别：中心对称是指两个图形之间的关系：一个图形绕着一点旋转180°，与另一个图形完全重合，那么着这两个图形叫做中心对称；中心对称图形是一个图形而言，一个图形绕着一点旋转180°，它与自身重合，那么这个图形叫中心对称图形。
《3.3.2 抛物线的几何性质》学历案-中职数学高教版21拓展模块一上册
《抛物线的几何性质》学历案（第一课时）一、学习主题本学习主题为中职数学课程中的《抛物线的几何性质》。
抛物线作为基本几何图形之一，在数学领域有着广泛的应用，同时也是物理、工程等学科的重要研究内容。
通过本课的学习，学生将掌握抛物线的基本概念、几何性质和计算方法，为后续的数学学习及实际应用打下基础。
二、学习目标1. 理解抛物线的基本概念，掌握抛物线的标准方程。
2. 掌握抛物线的几何性质，包括对称性、顶点、焦点和准线等。
3. 学会利用抛物线的几何性质解决简单的数学问题。
4. 培养学生的空间想象能力和数学应用能力。
三、评价任务1. 评价学生对抛物线基本概念的掌握情况，能否正确理解并描述抛物线的基本特征。
2. 评价学生对抛物线标准方程的理解和应用能力，能否正确运用标准方程进行计算。
3. 评价学生对抛物线几何性质的理解和掌握情况，能否准确判断抛物线的对称性、顶点、焦点和准线等。
4. 评价学生解决实际问题的能力，能否将所学知识应用到实际问题中，并正确解答。
四、学习过程1. 导入新课：通过生活中的实例（如喷泉、投篮运动轨迹等）引入抛物线的概念，激发学生的兴趣。
2. 新课学习：讲解抛物线的基本概念、标准方程及其几何意义。
重点讲解抛物线的几何性质，包括对称性、顶点、焦点和准线等。
通过图示和实例分析，帮助学生深入理解。
3. 课堂互动：学生提问、讨论，教师解答并引导学生深入思考。
通过小组合作学习，互相交流学习心得和解题方法。
4. 巩固练习：布置相关练习题，包括选择题、填空题和计算题等，让学生运用所学知识进行练习。
5. 课堂总结：总结本节课的学习内容和学习重点，强调抛物线几何性质的理解和应用。
五、检测与作业1. 课堂检测：通过课堂小测验或作业纸等方式，检测学生对本节课知识点的掌握情况。
2. 课后作业：布置适量的课后作业，包括抛物线几何性质的运用和实际问题解决等，帮助学生巩固所学知识。
六、学后反思1. 学生反思：学生应反思自己在本次学习中的收获和不足，总结学习方法和解题技巧。
3.3.2图形的对称
完成、
(3) 横坐标与纵坐标同时变为原来的a倍，图形纵、 横向同时伸长为原来的a倍(a>1) 3、对称：(1)关于y轴对称：纵坐标不变， 横坐标乘以-1 (2)关于x轴对称：横坐标不变， 纵坐标乘以-1 (3)关于原点对称：横坐标乘以-1， 纵坐标乘以-1
1、点M(-2,1)关于x轴对称的点的坐标是 （ ） A(-2,-1) B(2,1) C(2,-1) D(1,-2) 2、点P关于x轴的对称点 P1 的坐标(2,3),那么 点P关于原点 P2 的对称的的坐标是（ ） A(-4,2) B(-4,-2) C(-2,-3) D(-2,3)
小老师讲解
动手做一做，将右边的鱼的各个顶点，横坐标， 纵坐标都变为原来的-1倍， （1）写出得到的鱼的各个顶点的坐标。 （2）所得到的鱼和原来的鱼有什么位置关系？
随堂练习
如图示，在第一象限内有一只“蝴蝶”，在第 二象限内作出一个和它形状，大小完全相同 的蝴蝶？可能有哪些做法？
归纳提升
图形的变化和坐标的变化 1、平移：(1) 纵坐标不变，横坐标分别增加（减少） a个单位时， 图形向右（向左）平移 a个 单位； (2) 横坐标不变，纵坐标分别增加（减少） a个单位时，图形向上（向下）平移a个单位 2、缩放：(1) 纵坐标不变，横坐标分别变为原来 的a倍，图形横向伸长为原来的a倍（a>1）或图 形横向压缩为原来的a倍(0<a<1)。 (2) 横坐标不变，纵坐标分别变为原来的a倍， 图形纵向伸长为原来的a倍（a>1）或图 形纵向压缩为原来的a倍(0<a<1)。
3.3图形的对称（2）
北大附中河南分校八年级数学组
温故知新
1、点的对称问题： 不变 （1）关于x轴对称的点，横坐标_________, 纵坐标__________. 互为相反数 不变 （2）关于y轴对称的点，纵坐标_________, 互为相反数 横坐标__________. 互为相反数 （3）关于原点对称的点，横坐标_________, 互为相反数 纵坐标__________. 2、一个图形各顶点的纵坐标不变，横坐标加 上3，这个图形是怎样变化的？
3.3.2抛物线的简单几何性质(第2课时焦点弦)课件(人教版)
p 2 y0
( x1 x2 ) p y1 y2 p
2p
p 2 y0 ( y1 y2 ) p
02抛物线的简单的几何性质
PART
ONE
抛物线的简单几何性质
焦点弦问题
如图，AB 是抛物线 y2＝2px(p>0)过焦点 F 的一条弦，称为焦
点弦．设 A(x1，y1)，
B(x2，y2)，弦 AB 的中点为 M(x0，y0)，过 A，M，B 分别向抛物 线的准线 l 作垂线，垂足分别为 A1，M1，B1，则根据抛物线的定
ONE
课堂小结
抛物线的简单几何性质
8.直线 l 过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 且与抛物线交于 A，B 两点，若线段|AF|，|BF|
的长分别为 m，n，则m1 ＋1n＝( C )
A.14 C．1
B.12 D．2
由焦点弦性质得 1 ＋ 1 ＝2，即1＋1＝1. |AF| |BF| p m n
03课堂小结
PART抛物线的简单几源自性质（2）分别过 A，B 作抛物线准线的垂线，垂足分别为 A1，B1.根据抛物线定义知 |FA|＝|AA1|＝x1＋p2，|FB|＝|BB1|＝x2＋p2， ∴|F1A|＋|F1B|＝x1＋1 p2＋x2＋1 p2
＝2x12＋p＋2x22＋p＝2（（2x22＋ x1＋p）p）＋（22（x22＋x1p＋）p） ＝4x1x42＋（2xp1＋（xx21）＋＋x2）4p＋p2＝24p（（xx11＋＋xx22＋＋pp））＝2p.
解：设抛物线的方程为 y2＝2px(p>0)，则其准线方程为 x＝－p. 2
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|AF|＋|BF|＝8， ∴x1＋p2＋x2＋p2＝8，
抛物线的简单几何性质
3.3.2抛物线的简单几何性质PPT课件(人教版)
OF
x
B
6、通径 通径的长度：2p
通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交 于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。
思考?：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？
是
归纳特点
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 限延伸,但它没有渐近线;
2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的,为1;
1.解：设两交点为A(x1 , y1) , B(x2 , y2) ，抛物线
方程为
y2=2px
(p>0),
则焦点
F
p 2
,
0
,
AB
:
y
k(
x
p 2
)
y2 2 px y k( x
p) 2
k2x2
p(k 2
2) x
k2 p2 4
0
p(k 2 2)
p2
x1 x2
k2
, x1 x2 4
2
点M在抛物线上，所以 -2 2 2 p 2
即p=2
因此，所求抛物线标准方程是 y2 4 x
说明：当焦点在 x(y)轴上,开口方向不定时, 设为 y2=2mx(m ≠0) (x2=2my (m≠0)), 可避免讨论.
思考
顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴 ,并且经过点
M(2 , 2 2) 的抛物线有几条?求它的标准方程
在方程①中，当 y=0时，x=0， O F
x
因此抛物线①的顶点就是坐标原点。
4、离心率 e=1.
抛物线上的点p到焦点 的距离和它到准线的距
离之比，叫做抛物线的离心率，用e表示。由抛物
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北大附中河南分校初二数学讲评课学案
使用时间：2013年_____月_____日星期___ 课时序号：____ 主备人：_________ 课题图形的对称
学习目标1、巩固图形坐标变化与图形的平移、轴对称、伸长、压缩之间的探索
过程，发展学生的形象思维能力和数形结合意识。
2、观察坐标的变化对图形的影响。
重难点重点：作某一图形关于对称轴的对称图形，并能写出所得图形相应各点的坐标。
难点：作某一图形关于对称轴的对称图形。
学习过程
流
程
学生活动
温故知新2 分钟1、点的对称问题：
(1)关于x轴对称的点，横坐标_________,纵坐标__________.
(2)关于y轴对称的点，纵坐标_________,横坐标__________.
(3)关于原点对称的点，横坐标_________,纵坐标__________.
2、一个图形各顶点的纵坐标不变，横坐标加上3，这个图形是怎样变化的？
自主学习5 分钟1、预习课本P167-P169页的内容。
2、点的对称问题。
(1)点A(a,b)关于x轴的对称点
1
A( , )
(2) 点A(a,b)关于y轴的对称点
2
A( , )
(3) 点A(a,b)关于原点的对称点
3
A( , )
3、图形的对称问题
(1)一个图形各顶点横坐标不变，纵坐标都乘以-1，所得到的图形与原图形关于__________对称。
(2)一个图形各顶点的纵坐标不变，横坐标都乘以-1，所得到的图形与原图形关于___________对称。
(3)一个图形各点的横坐标乘以-1，纵坐标也乘以-1，所得图形与原图形关于___________对称。
小组合作3 分钟如图5—18，左边的鱼和右边的鱼关于y轴对称，
(1)左边的鱼能由右边的鱼通过平移，伸缩得到吗？
(2)它们各个对应点的坐标有怎样的关系？
(3)将右边的鱼向x轴的正方形平移一个单位，为了保持整个图形关于y
轴对称，左边的鱼各个顶点的坐标发生了怎样的变化？
教师精讲5 分钟1、右边鱼的各个顶点纵坐标不变，横坐标分别为原来的-1倍，就可以得
到右边的鱼，它们关于y轴对称。
2、如图5—8，如果将右边的鱼的横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来
的-1倍。
(1)写出得到的鱼的各个顶点的坐标。
(2)得到的鱼和原来的鱼有什么样的位置关系？
小老师讲解5 分钟动手做一做，将右边的鱼的各个顶点，横坐标，纵坐标都变为原来的-1倍，
(1)写出得到的鱼的各个顶点的坐标。
(2)所得到的鱼和原来的鱼有什么位置关系？
随堂练习5 分钟如图示，在第一象限内有一只“蝴蝶”，在第二象限内作出一个和它形状，大小完全相同的蝴蝶？可能有哪些做法？
归纳提升总结：图形的变化和坐标的变化
1、平移：(1)纵坐标不变，横坐标分别增加（减少）a个单位时，图形向右（向左）平移a个单位；
(2)横坐标不变，纵坐标分别增加（减少）a个单位
时，图形向上（向下）平移a个单位
2、缩放：(1)纵坐标不变，横坐标分别变为原来的a倍，图形
横向伸长为原来的a倍（a>1）或图形横向压缩为原来的a倍(0<a<1)。
(2)横坐标不变，纵坐标分别变为原来的a倍，图形纵向伸长为原来的a 倍（a>1）或图形纵向压缩为原来的a倍(0<a<1)。
(3) 横坐标与纵坐标同时变为原来的a倍，图形纵、横向同时伸长为原来的a倍(a>1)
3、对称：(1)关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标乘以-1
(2)关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标乘以-1
(3)关于原点对称：横坐标乘以-1，纵坐标乘以-1
当堂检测10分钟1、点M(-2,1)关于x轴对称的点的坐标是（）
A(-2,-1) B(2,1)
C(2,-1) D(1,-2)
2、点P关于x轴的对称点
1
P的坐标(2,3),那么点P关于原点的对称的
2
P的坐标是（）
A(-4,2) B(-4,-2)
C(-2,-3) D(-2,3)
3、小华将直角坐标系中的点A的横坐标乘以2，再加2，纵坐标加2，再除以2，恰好落在原点上，则点A的坐标为____________.
4、点P(2,3)的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的3倍，得到P’，那么P P’的长度为_________,PP’与x轴的关系是________. PP’与y轴的关系是________.
5.已知点P(a,3),Q(-2,b)关于x轴对称，则a=_______,b=__________.
作业布置。