改进的粒子群算法
多目标粒子群算法的改进
多目标粒子群算法的改进多目标粒子群算法（Multi-Objective Particle Swarm Optimization, MOPSO）是对传统粒子群算法的改进和扩展，用于解决多目标优化问题。
在多目标优化问题中，存在多个冲突的目标函数，传统的单目标优化算法无法直接应用于解决这类问题。
因此，多目标粒子群算法应运而生。
多目标粒子群算法的改进主要体现在两个方面：多目标适应度函数的定义和多目标解的维护策略。
多目标适应度函数的定义是多目标粒子群算法的核心。
在传统的粒子群算法中，适应度函数一般为单个目标函数，通过最小化或最大化目标函数的值来寻找最优解。
而在多目标粒子群算法中，需要定义多个目标函数，并将其结合起来构成一个多目标适应度函数。
多目标适应度函数的定义需要考虑目标之间的冲突和权重分配问题，以便在搜索过程中对不同目标进行平衡和权衡。
多目标解的维护策略是多目标粒子群算法的另一个关键点。
传统的粒子群算法通过更新粒子的位置和速度来搜索解空间，但在多目标优化问题中，需要维护一组解集合，即粒子群的帕累托最优解集合。
多目标解的维护策略需要考虑解集合的多样性和收敛性，以便在搜索过程中保持一组较好的非劣解。
多目标粒子群算法的改进可以从多个方面展开。
一方面，可以改进目标函数的定义，采用更加合理和准确的目标函数来描述实际问题。
另一方面，可以改进粒子的更新策略，引入更加灵活和高效的更新算子，以提高搜索的效率和性能。
此外，还可以改进多目标解的维护策略，设计更加有效的解集合更新算法，以保证解集合的多样性和收敛性。
近年来，研究者们在多目标粒子群算法的改进方面做出了许多有益的尝试和探索。
例如，有研究者提出了基于领域知识的多目标粒子群算法，通过利用问题的领域知识来引导搜索过程，提高算法的搜索性能。
还有研究者提出了基于自适应权重的多目标粒子群算法，通过自适应调整目标函数的权重，实现对不同目标的平衡和权衡。
此外，还有研究者提出了基于机器学习的多目标粒子群算法，通过利用机器学习方法来提高算法的搜索性能和学习能力。
基于改进粒子群算法的机器人几何参数标定研究
基于改进粒子群算法的机器人几何参数标定研究作者：温秀兰吕仲艳贺顺王东霞康传帅赵艺兵来源：《南京信息工程大学学报（自然科学版）》2019年第02期摘要为了提高机器人末端绝对定位精度，提出了基于改进粒子群算法（IPSO）的机器人几何参数标定方法.首先，为避免当机器人相邻两轴线平行或接近平行时，模型存在奇异性，建立了串联机器人MDH模型;其次，针对机器人几何参数标定特点，提出用改进粒子群算法优化标定机器人几何参数，其中粒子初始位置和速度由拟随机Halton序列产生，采用浓缩因子法修改粒子飞行速度，建立了用IPSO标定机器人几何参数目标函数数学模型，确立了用该算法优化标定几何参数的具体步骤.通过对ER10L-C10工业机器人仿真与实测标定，结果证实：采用该方法能够快速标定机器人几何参数，经标定后的机器人末端绝对定位精度有大幅提高.该算法简单，鲁棒性强，易于在工业机器人标定中推广应用.关键词机器人;几何参数标定;改进粒子群算法;绝对定位精度中图分类号 TP391;TB92文献标志码 A0 引言高端制造业的持续发展提高了对工业机器人的精度要求，尤其是在激光焊接、激光切割以及航空航天等应用领域.工业机器人定位性能的衡量指标主要有重复定位精度和绝对定位精度[1].目前工业机器人的重复定位精度可达到0.02～0.1 mm，而绝对定位精度仅为毫米级.传统的机器人在制造业中主要担任着一些重复性的简单工作，而且多采用示教再现的模式.这类工作的特点是仅需要机器人多次重复到达同一位置，因此机器人的高重复定位精度起了很大作用[2-3].随着机器人在航空航天、柔性制造等领域应用日渐广泛，对机器人系统的高精度控制提出了更严格的要求，与其现有的绝对定位精度及定位稳定性之间存在突出的矛盾.机器人标定能够较好地提高机器人的绝对定位精度[4-5].机器人标定分为关节级标定、几何参数（即运动学）标定与非几何参数（非运动学）标定.由于机械加工误差、装配误差、磨损等因素影响，使得工业机器人实际参数和理论设计参数存在着偏差，导致其工作性能降低，而且由于结构特征、安装位姿等要素的影响，现场直接测量获得的机器人结构参数往往不够准确，直接导致了末端位姿精度的降低[6].研究发现，机器人几何参数误差是影响机器人作业精度的主要误差源，约占总误差的90%，通过对机器人几何参数的标定，可以有效提高机器人定位精度[7].因此机器人几何参数标定问题是机器人高精度定位控制的基础和核心问题，也是机器人领域的难点问题[8].机器人几何参数标定通常分为建模、测量、辨识和补偿4步.其中，DH模型是常用的几何参数模型之一，该模型通过齐次变换矩阵来描述相邻连杆之间的空间关系.但是，当机器人相邻关节旋转轴线平行或接近平行及垂直或接近垂直时出现奇异点，无法满足模型连续性的要求，直接影响标定结果的准确性.为了解决该问题，在传统的DH模型基础上Hayati提出了改进的DH模型（MDH模型）[9]，通过增加一个旋转参数，弥补了DH模型的缺陷，解决了相邻关节旋转轴线平行或接近平行时出现奇异点的问题[10].辨识是从测量数据中获取机器人实际模型参数信息的过程，其辨识的结果对机器人绝对定位精度的提高有直接影响.传统的辨识方法有最小二乘法、LM 方法、卡尔曼滤波法等.考虑到几何参数标定属于复杂的非线性优化问题，智能计算在解决复杂优化问题时有独到之处，因此，近年来已有学者尝试将遗传算法、粒子群优化算法等智能计算应用于对机器人参数辨识并取得了一定效果[11-14].其中：文献[11]建立了六自由度机器人的MDH模型，通过计算种群的适应值按照赌轮法选择个体，根据事先设定的概率进行交叉和变异操作，通过仿真证实了算法的有效性;文献[12]提出了基于改进遗传算法的空间机器人动力学参数辨识研究;文献[13]提出通过采用扩展卡尔曼滤波和神经网络算法提高机器人标定精度;文献[14]利用闭环矢量链法和DH矩阵法分别建立并联机器人和串联机器人的运动学误差模型，采用量子粒子群优化算法对五轴并联机床几何参数进行实验标定.总结现有研究结果发现，目前将智能计算用于机器人几何参数标定，多是通过仿真结果验证算法的有效性.本文建立了串联机器人MDH模型，提出将基于拟随机序列产生初始位置和浓缩因子法修改粒子速度的改进粒子群算法用于机器人几何参数标定，通过仿真实验和实测机器人来提高机器人绝对位置精度.1 機器人几何参数标定的数学模型1.1 MDH模型建立机器人常用模型为DH模型，该模型当机器人相邻两轴平行或接近平行时存在奇异性，为解决该问题，本文建立图1所示串联机器人MDH模型.依据MDH模型可以得到机器人连杆相邻坐标系之间的变换关系[15]，即：式中ai，di，αi，θi，βi分别表示机器人第i个关节的连杆长度、连杆偏距、关节扭角、关节角及关节扭角的名义值，i=1，2，…，n，n为关节数目，s和c分别表示sin和cos的缩写.机器人末端的名义位姿可由名义位姿矩阵Tn求取：式（2）中，Rn∈R3×3和Pn∈R3×1分别为名义姿态旋转和位置平移矩阵.由式（1）和（2）可见，机器人末端位姿是机器人几何参数ai，di，αi，βi及关节角θi的函数.当几何参数ai，di，αi，βi，θi存在误差Δai，Δdi，Δαi，Δβi，Δθi时，机器人末端实际位姿可由实际转换矩阵Tr计算：根据机器人微分运动学原理，机器人末端的位姿变化矩阵dT可以用相对于基坐标系的微分变换矩阵μ以及名义位姿矩阵Tn表示为其中微分变换矩阵μ可表示为式（5）中d=（dx，dy，dz）T代表一阶微分平移向量，δr代表一阶微分旋转矩阵，其中Δδ=（δx，δy，δz）T表示机器人末端实际姿态相对于名义姿态的误差.将式（2）、（5）代入式（4）得：式中Δp=（δpx，δpy，δpz）T代表机器人末端实际位置相对名义位置的误差.1.2 目标函数采用改进粒子群算法搜索优化机器人几何参数误差时，其目标函数定义为式（7）中N为标定点数目，k为调节因子.由式（1）—（7）可见，f是几何参数误差集（Δai，Δdi，Δαi，Δβi，Δθi）的函数，机器人几何参数标定实质是通过设定机器人在不同组关节角（θ1j，θ2j，θ3j，θ4j，θ5j，θ6j）下获得其末端位置和姿态的实际值与名义值的误差，通过优化搜索机器人几何参数误差集（Δai，Δdi，Δαi，Δβi，Δθi），使目标函数f为最小.例如图1所示待标定的六自由度串联机器人，因第 2、3 轴线在理论上是互相平行的，参数d2，β1，β3，β4，β5，β6不需要辨识，因此待优化的几何参数误差为Δa1，Δa2，Δa3，Δa4，Δa5，Δa6，Δd1，Δd3，Δd4，Δd5，Δd6，Δα1，Δα2，Δα3，Δα4，Δα5，Δα6，Δβ2，Δθ1，Δθ2，Δθ3，Δθ4，Δθ5，Δθ6，共24個参数，属于复杂约束的非线性优化问题，非常适宜于用粒子群算法求解.2 改进粒子群算法用于几何参数标定粒子群算法是由J.Kennedy和R.C.Eberhart提出的一种新的智能算法.其优化机理也是从随机解出发，根据适应度或目标函数来评价解的品质，通过追随当前搜索到的最优值来寻找全局最优解.该算法以其实现容易、精度高、收敛快等优点引起了学术界的重视，在移动机器人路径规划、基于网络的数据分类、Lévy 噪声数据拟合等实际工程问题中得到成功应用[16-18].2.1 拟随机Halton序列考虑到传统粒子群算法中粒子的初始位置采用伪随机数随机产生，而伪随机数序列随机性过强而均匀性不足，比伪随机数序列更加均匀地充满采样空间的序列是拟随机数，可以加快收敛速度.本文采用拟随机Halton序列在区间[0，1]上产生参数值ti（i=1，2，…，M），M通常取足够大的值使ti均匀地充满采样空间[0，1]，表示如下：Halton序列中的第k个元素由式（9）求得.2.2 基于IPSO的机器人几何参数标定用IPSO标定机器人几何参数误差时，粒子的速度由下述浓缩因子法修改：vt+1i=K（vti+C1r1（ptbest，i-pti）+C2r2（gtbest-pti）），其中φ=c1+c2，φ>4，vti 和pti 分别为第i个粒子在第t代的速度和位置，r1 、r2为[0，1]之间均匀分布随机数，c1、c2 为加速系数，决定了第i个粒子飞向局部最优个体ptbest，i 和全局最优个体gtbest的能力，粒子的收敛速度由φ控制.采用IPSO标定机器人几何参数步骤如下：步骤1.设置算法初始化控制参数.步骤2.输入被标定机器人几何参数的名义值.步骤3.生成粒子的初始位置和初始速度.采用拟随机Halton序列产生两组psize×N维的实数向量作为粒子的初始位置pti 和初始速度vti，i=1，2，…，psize，psize为种群规模，N为待优化变量的个数;t=1时设定粒子i的初始位置为其最优位置ptbest，i，选取初始粒子中目标函数值最小的粒子的位置作为初始全局最佳粒子位置gtbest.步骤4.根据机器人所有标定点关节角、实测位姿及名义位姿计算粒子的目标函数值f （pti），目标函数值越小，粒子越趋于最优解..步骤5.采用式（10）浓缩因子法修改粒子速度vt+1i.步骤6.根据修改后的粒子速度改变粒子位置pt+1i.pt+1i=pti+vt+1i Δt，其中Δt 是时间步长，设置为1，步骤7.计算粒子位置改变后的所有粒子目标函数值f（pt+1i）.步骤8.更新局部最佳粒子位置ptbest，i.步骤9.更新全局最佳粒子位置gtbest.步骤10.判断是否满足终止条件，若不满足，则t=t+1转步骤5.终止条件设定为算法的最大进化代数.步骤11.输出被标定机器人几何参数值，并计算标定前后机器人末端位置和方向误差.3 实验与结果3.1 仿真实验3.1.1 位姿产生为了验证算法的有效性，从ER10L-C10工业机器人手册中获取该机器人DH模型几何参数见表1.分别在[-0.01，0.01]（单位：rad）和[-0.05，0.05]（单位：mm）区间范围内随机均匀产生几何参数误差如表2所示，几何参数实际值根据表1理论值和表2设定的误差获得.〖KH+1D〗表1 ER10L-C10机器人名义参数在[-π，π]（单位：rad）区间内按照均匀分布随机产生32组理论关节角θ1j，θ2j，θ3j，θ4j，θ5j，θ6j，j=1，2，…，32.考虑到机器人因加工、装配、磨损等误差会导致由机器人示教器设定的关节角与实际关节角间有误差存在，实际关节角为在理论关节角上加入[-0.1，0.1]（单位：rad）服从均匀分布的随机噪声.将关节角及几何参数的理论值和实际值分别代入式（2）—（6），即可求出机器人末端位置和方向的理论值与实际值及位置和方向误差.3.1.2 仿真实验结果根据上述随机生成的几何参数误差和关节角，采用IPSO优化求解机器人几何参数，算法的控制参数设定为：粒子种群规模psize为20、加速系数c1、c2均为2.05、最大进化代数为2 000.初始种群中角度和长度几何参数误差分别在±0.01 rad和±0.5 mm区间范围内采用拟随机Halton序列产生.图2为IPSO在Intel（R） Core（TM） i5-4570 CPU主频3.20 GHz计算机上采用Matlab10.0优化搜索机器人的几何参数过程，完成2 000代进化所需时间分别为220 s.图3绘制了机器人末端绝对位置误差在标定前及经IPSO标定后的比较结果，图4和图5分别给出了机器人末端在标定前后绕X轴、Y轴和Z轴旋转的方向误差，由仿真实验结果可见：提出的ICSA不仅能够快速完成机器人几何参数标定，而且标定后的位置和方向误差均小于标定前，特别是绝对位置精度大幅提高.1.2 目标函数采用改进粒子群算法搜索优化机器人几何参数误差时，其目标函数定义为式（7）中N为标定点数目，k为调节因子.由式（1）—（7）可见，f是几何参数误差集（Δai，Δdi，Δαi，Δβi，Δθi）的函数，机器人几何参数标定实质是通过设定机器人在不同组关节角（θ1j，θ2j，θ3j，θ4j，θ5j，θ6j）下获得其末端位置和姿态的实际值与名义值的误差，通过优化搜索机器人几何参数误差集（Δai，Δdi，Δαi，Δβi，Δθi），使目标函数f为最小.例如图1所示待标定的六自由度串联机器人，因第 2、3 轴线在理论上是互相平行的，参数d2，β1，β3，β4，β5，β6不需要辨识，因此待优化的几何参数误差为Δa1，Δa2，Δa3，Δa4，Δa5，Δa6，Δd1，Δd3，Δd4，Δd5，Δd6，Δα1，Δα2，Δα3，Δα4，Δα5，Δα6，Δβ2，Δθ1，Δθ2，Δθ3，Δθ4，Δθ5，Δθ6，共24个参数，属于复杂约束的非线性优化问题，非常适宜于用粒子群算法求解.2 改进粒子群算法用于几何参数标定粒子群算法是由J.Kennedy和R.C.Eberhart提出的一种新的智能算法.其优化机理也是从随机解出发，根据适应度或目标函数来评价解的品质，通过追随当前搜索到的最优值来寻找全局最优解.该算法以其实现容易、精度高、收敛快等优点引起了学术界的重视，在移动机器人路径规划、基于网络的数据分类、Lévy 噪声数据拟合等实际工程问题中得到成功应用[16-18].2.1 拟随机Halton序列考虑到传统粒子群算法中粒子的初始位置采用伪随机数随机产生，而伪随机数序列随机性过强而均匀性不足，比伪随机数序列更加均匀地充满采样空间的序列是拟随机数，可以加快收敛速度.本文采用拟随机Halton序列在区间[0，1]上产生参数值ti（i=1，2，…，M），M通常取足够大的值使ti均匀地充满采样空间[0，1]，表示如下：Halton序列中的第k个元素由式（9）求得.2.2 基于IPSO的机器人几何参数标定用IPSO标定机器人几何参数误差时，粒子的速度由下述浓缩因子法修改：vt+1i=K（vti+C1r1（ptbest，i-pti）+C2r2（gtbest-pti）），其中φ=c1+c2，φ>4，vti 和pti 分别为第i个粒子在第t代的速度和位置，r1 、r2为[0，1]之间均匀分布随机数，c1、c2 为加速系数，决定了第i个粒子飞向局部最优个体ptbest，i 和全局最优个体gtbest的能力，粒子的收敛速度由φ控制.采用IPSO标定机器人几何参数步骤如下：步骤1.设置算法初始化控制参数.步骤2.输入被标定机器人几何参数的名义值.步骤3.生成粒子的初始位置和初始速度.采用拟随机Halton序列产生两组psize×N维的实数向量作为粒子的初始位置pti 和初始速度vti，i=1，2，…，psize，psize为种群规模，N为待优化变量的个数;t=1时设定粒子i的初始位置为其最优位置ptbest，i，选取初始粒子中目标函数值最小的粒子的位置作为初始全局最佳粒子位置gtbest.步骤4.根据机器人所有标定点关节角、实测位姿及名义位姿计算粒子的目标函数值f （pti），目标函数值越小，粒子越趋于最优解..步骤5.采用式（10）浓缩因子法修改粒子速度vt+1i.步骤6.根据修改后的粒子速度改变粒子位置pt+1i.pt+1i=pti+vt+1i Δt，其中Δt 是时间步长，设置为1，步骤7.计算粒子位置改变后的所有粒子目标函数值f（pt+1i）.步骤8.更新局部最佳粒子位置ptbest，i.步骤9.更新全局最佳粒子位置gtbest.步骤10.判断是否满足终止条件，若不满足，则t=t+1转步骤5.终止条件设定为算法的最大进化代数.步骤11.输出被标定机器人几何参数值，并计算标定前后机器人末端位置和方向误差.3 实验与结果3.1 仿真实验3.1.1 位姿产生为了验证算法的有效性，从ER10L-C10工业机器人手册中获取该机器人DH模型几何参数见表1.分别在[-0.01，0.01]（单位：rad）和[-0.05，0.05]（单位：mm）区间范围内随机均匀产生几何参数误差如表2所示，几何参数实际值根据表1理论值和表2设定的误差获得.〖KH+1D〗表1 ER10L-C10机器人名义参数在[-π，π]（单位：rad）区间内按照均匀分布随机产生32组理论关节角θ1j，θ2j，θ3j，θ4j，θ5j，θ6j，j=1，2，…，32.考虑到机器人因加工、装配、磨损等误差会导致由机器人示教器设定的关节角与实际关节角间有误差存在，实际关节角为在理论关节角上加入[-0.1，0.1]（单位：rad）服从均匀分布的随机噪声.将关节角及几何参数的理论值和实际值分别代入式（2）—（6），即可求出机器人末端位置和方向的理论值与实际值及位置和方向误差.3.1.2 仿真实验结果根据上述随机生成的几何参数误差和关节角，采用IPSO优化求解机器人几何参数，算法的控制参数设定为：粒子种群规模psize为20、加速系數c1、c2均为2.05、最大进化代数为2 000.初始种群中角度和长度几何参数误差分别在±0.01 rad和±0.5 mm区间范围内采用拟随机Halton序列产生.图2为IPSO在Intel（R） Core（TM） i5-4570 CPU主频3.20 GHz计算机上采用Matlab10.0优化搜索机器人的几何参数过程，完成2 000代进化所需时间分别为220 s.图3绘制了机器人末端绝对位置误差在标定前及经IPSO标定后的比较结果，图4和图5分别给出了机器人末端在标定前后绕X轴、Y轴和Z轴旋转的方向误差，由仿真实验结果可见：提出的ICSA不仅能够快速完成机器人几何参数标定，而且标定后的位置和方向误差均小于标定前，特别是绝对位置精度大幅提高.1.2 目标函数采用改进粒子群算法搜索优化机器人几何参数误差时，其目标函数定义为式（7）中N为标定点数目，k为调节因子.由式（1）—（7）可见，f是几何参数误差集（Δai，Δdi，Δαi，Δβi，Δθi）的函数，机器人几何参数标定实质是通过设定机器人在不同组关节角（θ1j，θ2j，θ3j，θ4j，θ5j，θ6j）下获得其末端位置和姿态的实际值与名义值的误差，通过优化搜索机器人几何参数误差集（Δai，Δdi，Δαi，Δβi，Δθi），使目标函数f为最小.例如图1所示待标定的六自由度串联机器人，因第 2、3 轴线在理论上是互相平行的，参数d2，β1，β3，β4，β5，β6不需要辨识，因此待优化的几何参数误差为Δa1，Δa2，Δa3，Δa4，Δa5，Δa6，Δd1，Δd3，Δd4，Δd5，Δd6，Δα1，Δα2，Δα3，Δα4，Δα5，Δα6，Δβ2，Δθ1，Δθ2，Δθ3，Δθ4，Δθ5，Δθ6，共24个参数，属于复杂约束的非线性优化问题，非常适宜于用粒子群算法求解.2 改进粒子群算法用于几何参数标定粒子群算法是由J.Kennedy和R.C.Eberhart提出的一种新的智能算法.其优化机理也是从随机解出发，根据适应度或目标函数来评价解的品质，通过追随当前搜索到的最优值来寻找全局最优解.该算法以其实现容易、精度高、收敛快等优点引起了学术界的重视，在移动机器人路径规划、基于网络的数据分类、Lévy 噪声数据拟合等实际工程问题中得到成功应用[16-18].2.1 拟随机Halton序列考虑到传统粒子群算法中粒子的初始位置采用伪随机数随机产生，而伪随机数序列随机性过强而均匀性不足，比伪随机数序列更加均匀地充满采样空间的序列是拟随机数，可以加快收敛速度.本文采用拟随机Halton序列在区间[0，1]上产生参数值ti（i=1，2，…，M），M通常取足够大的值使ti均匀地充满采样空间[0，1]，表示如下：Halton序列中的第k个元素由式（9）求得.2.2 基于IPSO的机器人几何参数标定用IPSO标定机器人几何参数误差时，粒子的速度由下述浓缩因子法修改：vt+1i=K（vti+C1r1（ptbest，i-pti）+C2r2（gtbest-pti）），其中φ=c1+c2，φ>4，vti 和pti 分别为第i个粒子在第t代的速度和位置，r1 、r2为[0，1]之间均匀分布随机数，c1、c2 为加速系数，决定了第i个粒子飞向局部最优个体ptbest，i 和全局最优个体gtbest的能力，粒子的收敛速度由φ控制.采用IPSO标定机器人几何参数步骤如下：步骤1.设置算法初始化控制参数.步骤2.输入被标定机器人几何参数的名义值.步骤3.生成粒子的初始位置和初始速度.采用擬随机Halton序列产生两组psize×N维的实数向量作为粒子的初始位置pti 和初始速度vti，i=1，2，…，psize，psize为种群规模，N为待优化变量的个数;t=1时设定粒子i的初始位置为其最优位置ptbest，i，选取初始粒子中目标函数值最小的粒子的位置作为初始全局最佳粒子位置gtbest.步骤4.根据机器人所有标定点关节角、实测位姿及名义位姿计算粒子的目标函数值f （pti），目标函数值越小，粒子越趋于最优解..步骤5.采用式（10）浓缩因子法修改粒子速度vt+1i.步骤6.根据修改后的粒子速度改变粒子位置pt+1i.pt+1i=pti+vt+1i Δt，其中Δt 是时间步长，设置为1，步骤7.计算粒子位置改变后的所有粒子目标函数值f（pt+1i）.步骤8.更新局部最佳粒子位置ptbest，i.步骤9.更新全局最佳粒子位置gtbest.步骤10.判断是否满足终止条件，若不满足，则t=t+1转步骤5.终止条件设定为算法的最大进化代数.步骤11.输出被标定机器人几何参数值，并计算标定前后机器人末端位置和方向误差.3 实验与结果3.1 仿真实验3.1.1 位姿产生为了验证算法的有效性，从ER10L-C10工业机器人手册中获取该机器人DH模型几何参数见表1.分别在[-0.01，0.01]（单位：rad）和[-0.05，0.05]（单位：mm）区间范围内随机均匀产生几何参数误差如表2所示，几何参数实际值根据表1理论值和表2设定的误差获得.〖KH+1D〗表1 ER10L-C10机器人名义参数在[-π，π]（单位：rad）区间内按照均匀分布随机产生32组理论关节角θ1j，θ2j，θ3j，θ4j，θ5j，θ6j，j=1，2，…，32.考虑到机器人因加工、装配、磨损等误差会导致由机器人示教器设定的关节角与实际关节角间有误差存在，实际关节角为在理论关节角上加入[-0.1，0.1]（单位：rad）服从均匀分布的随机噪声.将关节角及几何参数的理论值和实际值分别代入式（2）—（6），即可求出机器人末端位置和方向的理论值与实际值及位置和方向误差.3.1.2 仿真实验结果根据上述随机生成的几何参数误差和关节角，采用IPSO优化求解机器人几何参数，算法的控制参数设定为：粒子种群规模psize为20、加速系数c1、c2均为2.05、最大进化代数为2 000.初始种群中角度和长度几何参数误差分别在±0.01 rad和±0.5 mm区间范围内采用拟随机Halton序列产生.图2为IPSO在Intel（R） Core（TM） i5-4570 CPU主频3.20 GHz计算机上采用Matlab10.0优化搜索机器人的几何参数过程，完成2 000代进化所需时间分别为220 s.图3绘制了机器人末端绝对位置误差在标定前及经IPSO标定后的比较结果，图4和图5分别给出了机器人末端在标定前后绕X轴、Y轴和Z轴旋转的方向误差，由仿真实验结果可见：提出的ICSA不仅能够快速完成机器人几何参数标定，而且标定后的位置和方向误差均小于标定前，特别是绝对位置精度大幅提高.。
改进的粒子群优化算法
改进的粒子群优化算法背景介绍：一、改进策略之多目标优化传统粒子群优化算法主要应用于单目标优化问题，而在现实世界中，很多问题往往涉及到多个冲突的目标。
为了解决多目标优化问题，研究者们提出了多目标粒子群优化算法 (Multi-Objective Particle Swarm Optimization，简称MOPSO)。
MOPSO通过引入非劣解集合来存储多个个体的最优解，并利用粒子速度更新策略进行优化。
同时还可以利用进化算法中的支配关系和拥挤度等概念来评估和选择个体，从而实现多目标优化。
二、改进策略之自适应权重传统粒子群优化算法中，个体和全局最优解对于粒子速度更新的权重是固定的。
然而，在问题的不同阶段，个体和全局最优解的重要程度可能会发生变化。
为了提高算法的性能，研究者们提出了自适应权重粒子群优化算法 (Adaptive Weight Particle Swarm Optimization，简称AWPSO)。
AWPSO通过学习因子和自适应因子来调整个体和全局最优解的权重，以实现针对问题不同阶段的自适应调整。
通过自适应权重，能够更好地平衡全局和局部能力，提高算法收敛速度。
三、改进策略之混合算法为了提高算法的收敛速度和性能，研究者们提出了将粒子群优化算法与其他优化算法进行混合的方法。
常见的混合算法有粒子群优化算法与遗传算法、模拟退火算法等的组合。
混合算法的思想是通过不同算法的优势互补，形成一种新的优化策略。
例如，将粒子群优化算法的全局能力与遗传算法的局部能力结合，能够更好地解决高维复杂问题。
四、改进策略之应用领域改进的粒子群优化算法在各个领域都有广泛的应用。
例如，在工程领域中，可以应用于电力系统优化、网络规划、图像处理等问题的求解。
在经济领域中，可以应用于股票预测、组合优化等问题的求解。
在机器学习领域中，可以应用于特征选择、模型参数优化等问题的求解。
总结：改进的粒子群优化算法通过引入多目标优化、自适应权重、混合算法以及在各个领域的应用等策略，提高了传统粒子群优化算法的性能和收敛速度。
改进的粒子群算法
改进的粒子群算法粒子群算法(PSO)是一种优化算法，通过模拟鸟群觅食的行为寻找最优解。
传统的PSO 算法存在着易陷入局部最优解、收敛速度慢等问题，为了解决这些问题，研究人员不断对PSO算法进行改进。
本文将介绍几种改进的PSO算法。
1.变异粒子群算法(MPSO)传统的PSO算法只考虑粒子的速度和位置，而MPSO算法在此基础上增加了变异操作，使得算法更具有全局搜索能力。
MPSO算法中，每一次迭代时，一部分粒子会发生变异，变异的粒子会向当前最优解和随机位置进行搜索。
2.改进型自适应粒子群算法(IAPSO)IAPSO算法采用了逐步缩小的惯性权重和动态变化的学习因子，可以加速算法的收敛速度。
另外，IAPSO算法还引入了多角度策略，加强了算法的搜索能力。
3.带有惩罚项的粒子群算法(IPSO)IPSO算法在传统的PSO算法中加入了惩罚项，使得算法可以更好地处理约束优化问题。
在更新粒子的位置时，IPSO算法会检测当前位置是否违背了约束条件，如果违背了，则对该粒子进行惩罚处理，使得算法能够快速收敛到满足约束条件的最优解。
4.细粒度粒子群算法(GPSO)GPSO算法并不像其他改进的PSO算法那样在算法运行流程中引入新的因素，而是仅仅在初始化时对算法进行改进。
GPSO算法将一部分粒子划分为近似最优的种子粒子，其他粒子从相近的种子粒子出发，从而加速算法的收敛速度。
5.基于熵权的粒子群算法(EPSO)EPSO算法在传统的PSO算法中引入了熵权理论，并在更新速度和位置时利用熵权确定权重系数，达到了优化多目标问题的目的。
EPSO算法的权重系数的确定基于熵权理论，具有客观性和系统性。
此外，EPSO算法还增加了距离度量操作，用于处理问题中的约束条件。
综上所述，改进的PSO算法不仅有助于解决算法收敛速度慢、易陷入局部最优解的问题，更可以应用到具体的优化实际问题中。
因此，选择合适的改进的PSO算法，对于实际问题的解决具有重要的现实意义。
一种改进的粒子群遗传算法
一种改进的粒子群遗传算法改进粒子群遗传算法简介改进粒子群遗传算法(Improved Particle Swarm Optimization，IPSO)是一种基于遗传算法理论的新型混合优化算法。
它结合了粒子群算法和最优化原理，有效地解决了复杂的非凸优化问题。
该算法通过将粒子群,pbest,gbest等元素进行综合，实现了全局优化效果。
算法原理IPSO算法结合了粒子群和遗传算法，充分发挥其高效率和平衡能力。
首先，将群体中的所有粒子看作是多个变量的n维向量，将所有粒子的维度构建成一颗搜索树。
随后，采用以下两种基本过程进行优化：(1)粒子群进化。
将群体中的每个粒子看作是遗传算法的一对父母，根据粒子内在的适应度函数迭代调整其位置；(2)最佳位置进化。
根据所有粒子的最佳适应度，采用染色体交叉、变异及筛选等操作，改变父母粒子最优位置的变量，以达到全局优化效果的目的。
算法的优势IPSO算法有效地结合了粒子群算法和遗传算法耦合优化处理和组合优化方法，在局部优化以及全局优化能力上都有很强大的收敛能力和搜索能力。
它不仅可以有效解决复杂的优化问题，而且可以实现更快的收敛速度以及更高的精度。
此外，该算法简单易行，实现成本低廉，能够较好地在复杂的环境中获得有效的搜索结果，具有比较强的优化能力和智能化能力。
应用领域IPSO算法可以广泛应用于智能控制、系统实时优化等领域，特别是能够实现多约束优化问题的求解，具有重要的应用价值。
例如，可以用它实现模糊逻辑控制，用它来解决下面的这类问题：最大化成功次数/最小化失败次数，最小化服务时间/最大化服务质量等。
此外，还可以用它来解决机器学习、网络带宽优化等问题。
结论改进粒子群遗传算法是一种非常有效且智能的优化算法，它可以实现自适应的优化函数的搜索、实现全局优化效果和提高计算效率。
它的优势在于充分发挥粒子群和遗传算法的优势，可以实现快速搜索和自适应解决复杂优化问题。
改进粒子群算法matlab代码
改进粒子群算法matlab代码粒子群算法是一种基于群体智能的优化算法，其主要思想是将优化问题转化为粒子在搜索空间中寻找最优解的过程。
粒子群算法的运作方式是通过定义一群随机粒子，并根据它们在搜索空间中的位置和速度，来引导粒子向着更好的解决方案进行搜索。
以下是改进版粒子群算法的MATLAB代码：%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 粒子群算法-改进版%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 初始化参数和粒子群function [gbest_x, gbest_y] = PSO(num_particles,max_iterations, f, lower_bound, upper_bound)% 定义粒子群基本参数w = 0.7; % 惯性权重c1 = 1.4; % 学习因子1c2 = 1.4; % 学习因子2% 初始化粒子位置和速度particles_position = unifrnd(lower_bound, upper_bound, [num_particles, 2]);particles_velocity = zeros(num_particles, 2);% 初始化个体最优解和全局最优解pbest_position = particles_position;pbest_value = zeros(num_particles, 1);for i = 1:num_particlespbest_value(i) = f(particles_position(i,:));end[global_min_value, global_min_index] = min(pbest_value); gbest_position = particles_position(global_min_index, :);gbest_value = global_min_value;% 迭代优化for iter = 1:max_iterationsfor i = 1:num_particles% 更新粒子速度particles_velocity(i,:) = w *particles_velocity(i,:) ...+ c1 * rand() * (pbest_position(i,:) -particles_position(i,:)) ...+ c2 * rand() * (gbest_position -particles_position(i,:));% 限制粒子速度范围particles_velocity(i,1) = max(particles_velocity(i,1), lower_bound);particles_velocity(i,1) = min(particles_velocity(i,1), upper_bound);particles_velocity(i,2) = max(particles_velocity(i,2), lower_bound);particles_velocity(i,2) = min(particles_velocity(i,2), upper_bound);% 更新粒子位置particles_position(i,:) = particles_position(i,:) + particles_velocity(i,:);% 限制粒子位置范围particles_position(i,1) = max(particles_position(i,1), lower_bound);particles_position(i,1) = min(particles_position(i,1),upper_bound);particles_position(i,2) = max(particles_position(i,2), lower_bound);particles_position(i,2) = min(particles_position(i,2), upper_bound);% 更新个体最优解temp_value = f(particles_position(i,:));if temp_value < pbest_value(i)pbest_value(i) = temp_value;pbest_position(i,:) = particles_position(i,:);endend% 更新全局最优解[temp_min_value, temp_min_index] = min(pbest_value);if temp_min_value < gbest_valuegbest_value = temp_min_value;gbest_position = pbest_position(temp_min_index,:);endend% 返回全局最优解gbest_x = gbest_position(1);gbest_y = gbest_position(2);end其中，num_particles为粒子数目，max_iterations为最大迭代次数，f为目标函数句柄，lower_bound和upper_bound为搜索空间的下界和上界。
粒子群优化算法ppt
联合优化
粒子群优化算法可以用于联合优化神经网络的参数和结构，进一步提高神经网络的性能。
粒子群优化算法在神经网络训练中的应用
粒子群优化算法可以用于优化控制系统的控制器参数，以提高控制系统的性能和稳定性。
控制器参数优化
鲁棒性优化
联合优化
粒子群优化算法可以用于提高控制系统的鲁棒性，以应对系统中的不确定性和干扰。
粒子群优化算法可以用于联合优化控制系统的参数和结构，进一步提高控制系统的性能和稳定性。
03
粒子群优化算法在控制系统中的应用
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总结与展望
粒子群优化算法是一种高效的全局优化算法，具有速度快、简单易行、易于并行化等优点。它利用群体智慧，通过粒子间的协作与信息共享，可以快速找到全局最优解。
优点
PSO算法的特点包括：简单易懂、易实现、能够处理高维问题、对初始值不敏感、能够处理非线性问题等。
定义与特点
粒子群优化算法的起源与发展
PSO算法的起源可以追溯到1995年，由 Kennedy 和 Eberhart博士提出，受到鸟群觅食行为的启发。
最初的PSO算法主要应用于函数优化问题，后来逐渐发展应用到神经网络训练、模式识别、图像处理、控制等领域。
边界条件的处理
通过对粒子速度进行限制，可以避免粒子在搜索空间中过度震荡，从而更好地逼近最优解。
粒子速度的限制
实例一
针对函数优化问题，通过对粒子速度和位置进行更新时加入随机扰动，可以增加粒子的探索能力，从而寻找到更好的最优解。
实例二
针对多峰函数优化问题，将粒子的个体最佳位置更新策略改为基于聚类的方法，可以使得粒子更好地逼近问题的全局最优解。
粒子的适应度函数用于评估其位置的好坏。
自适应粒子群优化算法
自适应粒子群优化算法自适应粒子群优化算法（Adaptive Particle Swarm Optimization，简称APSO）是一种基于粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization，简称PSO）的改进算法。
PSO算法是一种群体智能优化算法，模拟鸟群觅食行为来求解优化问题。
与传统PSO算法相比，APSO算法在粒子个体的位置和速度更新方面进行了优化，增强了算法的鲁棒性和全局能力。
APSO算法的关键改进之一是引入自适应策略来调整个体的速度和位置更新。
传统PSO算法中，个体的速度与当前速度和历史最优位置有关。
而在APSO算法中，个体的速度与自适应权重有关，该权重能够自动调整以适应不同的空间和优化问题。
自适应权重的调整基于个体的历史最优位置和整个粒子群的全局最优位置。
在每次迭代中，根据粒子群的全局情况来动态调整权重，使得速度的更新更加灵活和可靠。
另一个关键改进是引入自适应的惯性因子（inertia weight）来调整粒子的速度。
传统PSO算法中，惯性因子是一个常数，控制了速度的更新。
在APSO算法中，惯性因子根据粒子群的性能和进程进行自适应调整。
对于空间广阔、优化问题复杂的情况，惯性因子较大以促进全局；对于空间狭窄、优化问题简单的情况，惯性因子较小以促进局部。
通过调整惯性因子，粒子的速度和位置更新更具有灵活性和针对性，可以更好地适应不同的优化问题。
此外，APSO算法还引入了自适应的局域半径（search range）来控制粒子的范围。
传统PSO算法中，粒子的范围是固定的，很容易陷入局部最优解。
而在APSO算法中，根据全局最优位置和当前最优位置的距离进行自适应调整，当距离较大时，范围增加；当距离较小时，范围减小。
通过自适应调整范围，可以提高算法的全局能力，减少陷入局部最优解的风险。
综上所述，自适应粒子群优化算法（APSO）是一种改进的PSO算法，通过引入自适应策略来调整个体的速度和位置更新，增强了算法的鲁棒性和全局能力。
一种改进的粒子群算法
一种改进的粒子群算法摘要：粒子群算法是一种基于群体智能的优化算法，具有全局搜索能力和简单易用的特点，但存在收敛速度慢、易陷入局部最优等问题。
本文针对粒子群算法的不足，提出了一种改进的粒子群算法，主要包括两个方面的改进：自适应惯性权重和差分进化算子。
实验结果表明，改进后的算法在求解复杂函数优化问题时具有更快的收敛速度和更高的搜索精度。
关键词：粒子群算法；自适应惯性权重；差分进化算子；全局搜索1.引言粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是一种基于群体智能的优化算法，由Kennedy和Eberhart于1995年提出[1]。
PSO算法通过模拟鸟群捕食、觅食等行为，将待优化问题转化为粒子在搜索空间中的移动过程，通过粒子之间的信息交流和个体经验积累，逐步找到全局最优解。
相比其他优化算法，PSO算法具有简单易用、全局搜索能力强等优点，在多个领域都得到了广泛应用[2]。
然而，PSO算法也存在一些不足之处。
首先，PSO算法的收敛速度较慢，需要较长的迭代次数才能找到较优解。
其次，PSO算法容易陷入局部最优解，导致搜索精度不高。
为了解决这些问题，研究者们提出了许多改进的PSO算法，如自适应权重PSO[3]、混沌PSO[4]、改进收缩因子PSO[5]等。
本文针对PSO算法的不足，提出了一种改进的PSO算法，主要包括自适应惯性权重和差分进化算子两个方面的改进。
2.算法描述2.1 基本PSO算法基本PSO算法是由一群粒子组成的集合，每个粒子表示一个解向量。
每个粒子在搜索空间中随机初始化，然后根据自己的经验和全局最优解进行位置更新，直到满足停止条件为止。
具体算法流程如下：（1）初始化粒子群，包括粒子数量、搜索空间范围、速度范围、惯性权重等参数。
（2）对每个粒子，随机初始化位置和速度。
（3）对每个粒子，计算其适应度函数值。
（4）对每个粒子，更新速度和位置。
（5）更新全局最优解。
（6）判断是否满足停止条件，若不满足则返回第（3）步。
粒子群优化算法课件
实验结果对比分析
准确率
01
在多个数据集上，粒子群优化算法的准确率均高于对比算法，
表明其具有较强的全局搜索能力。
收敛速度
02
粒子群优化算法在多数数据集上的收敛速度较快，能够更快地
找到最优解。
鲁棒性
03
在不同参数设置和噪声干扰下，粒子群优化算法的性能表现稳
定，显示出良好的鲁棒性。
结果讨论与改进建议
讨论
其中，V(t+1)表示第t+1次迭代 时粒子的速度，V(t)表示第t次迭 代时粒子的速度，Pbest表示粒 子自身的最优解，Gbest表示全 局最优解，X(t)表示第t次迭代时
粒子的位置，w、c1、c2、 rand()为参数。
算法优缺点分析
优点
简单易实现、参数少、收敛速度快、 能够处理多峰问题等。
03
强化算法的可视化和解释性
发展可视化工具和解释性方法，帮助用户更好地理解粒子群优化算法的
工作原理和结果。
THANKS
感谢观看
粒子群优化算法的改进与扩展
动态调整惯性权重
惯性权重是粒子群优化算法中的一个 重要参数，它决定了粒子的飞行速度 。通过动态调整惯性权重，可以在不 同的搜索阶段采用不同的权重值，从 而更好地平衡全局搜索和局部搜索。
VS
一种常见的动态调整惯性权重的方法 是根据算法的迭代次数或适应度值的 变化来调整权重值。例如，在算法的 初期，为了更好地进行全局搜索，可 以将惯性权重设置得较大；而在算法 的后期，为了更好地进行局部搜索， 可以将惯性权重设置得较小。
并行粒子群优化算法
并行计算技术可以提高粒子群优化算法的计算效率和收敛 速度。通过将粒子群分成多个子群，并在不同的处理器上 同时运行这些子群，可以加快算法的收敛速度。
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改进的粒子群算法
粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是一种基于群体智能的优化算法，它模拟了鸟群或鱼群等生物群体的行为，通过不断地迭代寻找最优解。
然而，传统的粒子群算法存在着一些问题，如易陷入局部最优解、收敛速度慢等。
因此，改进的粒子群算法应运而生。
改进的粒子群算法主要包括以下几个方面的改进：
1. 多目标优化
传统的粒子群算法只能处理单目标优化问题，而现实中的问题往往是多目标优化问题。
因此，改进的粒子群算法引入了多目标优化的思想，通过多个目标函数的优化来得到更优的解。
2. 自适应权重
传统的粒子群算法中，粒子的速度和位置更新是通过权重因子来控制的，而这些权重因子需要手动设置。
改进的粒子群算法引入了自适应权重的思想，通过自适应地调整权重因子来提高算法的性能。
3. 多种邻域拓扑结构
传统的粒子群算法中，邻域拓扑结构只有全局和局部两种，而改进的粒子群算法引入了多种邻域拓扑结构，如环形、星形等，通过不
同的邻域拓扑结构来提高算法的性能。
4. 多种粒子更新策略
传统的粒子群算法中，粒子的速度和位置更新是通过线性加权和非线性加权两种方式来实现的，而改进的粒子群算法引入了多种粒子更新策略，如指数加权、逆向加权等，通过不同的粒子更新策略来提高算法的性能。
改进的粒子群算法在实际应用中已经得到了广泛的应用，如在机器学习、图像处理、信号处理等领域中都有着重要的应用。
未来，随着人工智能技术的不断发展，改进的粒子群算法将会得到更广泛的应用。