2022年东城区初三数学一模(word版含答案)
2024年北京东城区九年级初三一模数学试卷和答案
东城区2023—2024学年度第二学期初三年级统一测试（一）数学试卷考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID 号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．在下列几何体中，俯视图是矩形的几何体是（ ）A ．B ．C ．D ．2．2024年2月29日，在国家统计局发布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》中，2023年全年完成造林面积400万公顷，其中人工造林面积133万公顷．将数字1330000用科学记数法表示应为（）A ．71.3310⨯B ．513.310⨯C ．61.3310⨯D ．70.1310⨯3．在平面直角坐标系xOy 中，点()0,2A ，()1,0B -，()2,0C 为ABCD 的顶点，则顶点D 的坐标为（ ）A ．()3,2-B ．()2,2C ．()3,2D ．()2,34．若实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（）A ．a b <B ．11a b +<+C ．22a b <D ．a b>-5．在平面直角坐标系xOy 中，点()1,2P 在反比例函数k y x =（k 是常数，0k ≠）的图象上．下列各点中，在该反比例函数图象上的是（）A ．()2,0-B ．()1,2-C ．()1,2--D ．()1,2-6．如图，AB 是O 的弦，CD 是O 的直径，CD AB ⊥于点E ．在下列结论中，不一定成立的是（ ）A ．AE BE =B ．90CBD ∠=︒C ．2COB D∠=∠D ．COB C ∠=∠7．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为（）A ．12B ．13C ．16D ．198．2024年1月23日，国内在建规模最大塔式光热项目——甘肃省阿克塞汇东新能源“光热＋光伏”试点项目，一万多面定日镜（如图1）全部安装完成．该项目建成后，年发电量将达17亿千瓦时．该项目采用塔式聚光热技术，使用国内首创的五边形巨蜥式定日镜，单块定日镜（如图2）的形状可近似看作正五边形，面积约为248m ，则该正五边形的边长大约是（ ）（结果保留一位小数，参考数据：tan 360.7︒≈，tan 54 1.4︒≈ 6.5≈ 4.6≈）A ．5.2mB ．4.8mC ．3.7mD ．2.6m二、填空题（本题共16分，每小题2分）9x 的取值范围是______．10．因式分解：2218xy x -=______．11．方程323x x =-的解为______．12．若关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是______．13．为了解某校初三年级500名学生每周在校的体育锻炼时间（单位：小时），随机抽取了50名学生进行调查，结果如下表所示：锻炼时间x56x ≤<67x ≤<78x ≤<8x ≥学生人数1016195以此估计该校初三年级500名学生一周在校的体育锻炼时间不低于7小时的约有______人．14．在Rt ABC △中，90A ∠=︒，点D 在AC 上，DE BC ⊥于点E ，且DE DA =，连接DB ．若20C ∠=︒，则DBE ∠的度数为______°．15．阅读材料：如图，已知直线l 及直线l 外一点P ．按如下步骤作图：①在直线l 上任取两点A ，B ，作射线AP ，以点P 为圆心，PA 长为半径画弧，交射线AP 于点C ；②连接BC ，分别以点B ，C 为圆心，大于12BC 的长为半径画弧，两弧分别交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点Q ；③作直线PQ ．回答问题：（1）由步骤②得到的直线MN 是线段BC 的______；（2）若CPQ △与CAB △的面积分别为1S ，2S ，则12:S S ______．16．简单多面体的顶点数（V ）、面数（F ）、棱数（E ）之间存在一定的数量关系，称为欧拉公式．（1）四种简单多面体的顶点数、面数、棱数如下表：名称图形顶点数（V ）面数（F ）棱数（E ）三棱锥446长方体8612五棱柱10715正八面体6812在简单多面体中，V ，F ，E 之间的数量关系是______；（2）数学节期间，老师布置了让同学们自制手工艺品进行展示的任务，小张同学计划做一个如图所示的简单多面体作品．该多面体满足以下两个条件：①每个面的形状是正三角形或正五边形；②每条棱都是正三角形和正五边形的公共边．小张同学需要准备正三角形和正五边形的材料共______个．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17()02cos30π12-︒+---．18．解不等式组：26516132x x x +<⎧⎪+-⎨-≥⎪⎩．19．已知290x y --=，求代数式226344x y x xy y--+的值．20．如图，四边形ABCD 是菱形．延长BA 到点E ，使得AE AB =，延长DA 到点F ，使得AF AD =，连接BD ，DE ，EF ，FB ．（1）求证：四边形BDEF 是矩形；（2）若120ADC ∠=︒，2EF =，求BF 的长．21．每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼AB 的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B 的位置，被遮挡部分的水平距离为BC 的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A 的影子D 到点C 的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设AB 的长为x 米，BC 的长为y米．测量数据（精确到0.1米）如表所示：直杆高度直杆影长CD 的长第一次1.00.615.8第二次 1.00.720.1（1）由第一次测量数据列出关于x ，y 的方程是______，由第二次测量数据列出关于x ，y 的方程是______；（2）该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得10y =，则钟楼的高度约为______米．22．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（k 为常数，0k ≠）的图象由函数13y x =的图象平移得到，且经过点()3,2A ，与x 轴交于点B ．（1）求这个一次函数的解析式及点B 的坐标；（2）当3x >-时，对于x 的每一个值，函数y x m =+的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．23．某校初三年级两个班要举行韵律操比赛．两个班各选择8名选手，统计了他们的身高（单位：cm ），数据整理如下：a ．1班 168 171 172 174 174 176 177 1792班 168 170 171 174 176 176 178 183b ．每班8名选手身高的平均数、中位数、众数如下：班级平均数中位数众数1班173.8751741742班174.5m n 根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m ，n 的值；（2）如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高比较整齐．据此推断：在1班和2班的选手中，身高比较整齐的是______班（填“1”或“2”）；（3）1班的6位首发选手的身高分别为171，172，174，174，176，177．如果2班已经选出5位首发选手，身高分别为171，174，176，176，178，要使得2班6位首发选手的平均身高不低于1班6位首发选手的平均身高，且方差尽可能小，则第六位选手的身高是______cm ．24．如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上，EAC CAB ∠=∠，直线CD AE ⊥于点D ，交AB 的延长线于点F ．（1）求证：直线CD 为O 的切线；（2）当1tan 2F =，4CD =时，求BF 的长．25．小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，击球点P 到球网AB 的水平距离 1.5m OB =．小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内．第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()20.2 2.5 2.35y x =--+．第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）的几组数据如下：水平距离x /m01234飞行高度y /m 1.1 1.6 1.92 1.9根据上述信息，回答下列问题：（1）直接写出击球点的高度；（2）求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度y 与水平距离x 满足的函数关系式；（3）设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为1d ，2d ，则1d ______2d （填“＞”，“＜”或“＝”）．26．在平面直角坐标系xOy 中，()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线()210y ax bx a =++>上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x t =．（1）若点()2,1在该抛物线上，求t 的值；（2）当0t ≤时，对于22x >，都有12y y <，求1x 的取值范围．27．在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D ，E 是BC 边上的点，12DE BC =，连接AD ．过点D 作AD 的垂线，过点E 作BC 的垂线，两垂线交于点F ．连接AF 交BC 于点G ．（1）如图1，当点D 与点B 重合时，直接写出DAF ∠与BAC ∠之间的数量关系；（2）如图2，当点D 与点B 不重合（点D 在点E 的左侧）时，①补全图形；②DAF ∠与BAC ∠在（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．（3）在（2）的条件下，直接用等式表示线段BD ，DG ，CG 之间的数量关系．28．在平面直角坐标系xOy 中，已知线段PQ 和直线1l ，2l ，线段PQ 关于直线1l ，2l 的“垂点距离”定义如下：过点P 作1PM l ⊥于点M ，过点Q 作2QN l ⊥于点N ，连接MN ，称MN 的长为线段PQ 关于直线1l 和2l 的“垂点距离”，记作d ．（1）已知点()2,1P ，()1,2Q ，则线段PQ 关于x 轴和y 轴的“垂点距离”d 为______；（2）如图1，线段PQ 在直线3y x =-+上运动（点P 的横坐标大于点Q 的横坐标），若PQ =段PQ 关于x 轴和y 轴的“垂点距离”d 的最小值为______；（3）如图2，已知点(0,A ，A 的半径为1，直线y x b =+与A 交于P ，Q 两点（点P 的横坐标大于点Q 的横坐标），直接写出线段PQ 关于x 轴和直线y =的“垂点距离”d 的取值范围．。
北京市东城区2022-2023学年九年级数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）1．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程216600x x -+=的一个实数根，则该三角形的面积是( ) A ．24 B ．48 C ．48或85 D ．24或852．ABC ∆中，30A ∠=︒，BD 是AC 边上的高，若BD CD AD BD =，则ABC ∠等于（ ） A ．30 B ．30或90︒ C ．90︒D ．60︒或90︒ 3．如图，小明将一个含有45︒角的直角三角板绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成一个几何体，将这个几何体的侧面展开，得到的大致图形是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图所示的几何体，它的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．6．如图，OAB是等边三角形，且OA与x轴重合，点B是反比例函数83yx=-的图象上的点，则OAB的周长为（）A．122B．102C．92D．827．若x=2y，则xy的值为（）A．2 B．1 C．12D．138．下列事件中，必然事件是（）A．抛掷1个均匀的骰子，出现6点向上B．366人中至少有2人的生日相同C．两直线被第三条直线所截，同位角相等D．实数的绝对值是非负数9．若反比例函数y=kx图象经过点（5，-1），该函数图象在（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限10．若方程x2+3x+c＝0有实数根，则c的取值范围是（）A．c≤94B．c≤49C．c≥49D．c≥9411．如图，AB与⊙O相切于点A，BO与⊙O相交于点C，点D是优弧AC上一点，∠CDA＝27°，则∠B的大小是（）A．27°B．34°C．36°D．54°12．如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（）A ．ACPB ∠∠= B ．APC ACB ∠∠= C ．AC CP AB BC =D ．AC AB AP AC= 二、填空题（每题4分，共24分）13．从一副扑克牌中取出两张红桃和两张黑桃，将这四张扑克牌洗匀后背面朝上，从中随机摸出两张牌，那么摸到两张都是红牌的概率是__________．14．一个口袋中装有10个红球和若干个黄球．在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中红球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程20次，得到红球数与10的比值的平均数为0.1．根据上述数据，估计口袋中大约有_______个黄球15．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB ，点O 是这段弧所在圆的圆心，AB ＝40 m ，点C 是AB 的中点，且CD ＝10 m ，则这段弯路所在圆的半径为__________m ．16．如图，扇形AOB 的圆心角是为90︒，四边形OCDE 是边长为1的正方形，点,C E 分别在,,OA OB D 在弧AB 上，那么图中阴影部分的面积为__________．(结果保留π)17．请写出一个符合以下两个条件的反比例函数的表达式：___________________．①图象位于第二、四象限；②如果过图象上任意一点A 作AB ⊥x 轴于点B ，作AC ⊥y 轴于点C ，那么得到的矩形ABOC 的面积小于1．18．如图，四边形ABCD 是边长为4的正方形，若AF ＝3，E 为AB 上一个动点，把△AEF 沿着EF 折叠，得到△PEF ，若△BPE 为直角三角形，则BP 的长度为_____．三、解答题（共78分）19．（8分）中国经济的快速发展让众多国家感受到了威胁，随着钓鱼岛事件、南海危机、萨德入韩等一系列事件的发生，国家安全一再受到威胁，所谓“国家兴亡，匹夫有责”，某校积极开展国防知识教育，九年级甲、乙两班分别选5名同学参加“国防知识”比赛，其预赛成绩如图所示：（1）根据上图填写下表：平均数 中位数 众数 方差 甲班8.5 8.5 乙班 8.5 10 1.6（2）根据上表数据，分别从平均数、中位数、众数、方差的角度分析哪个班的成绩较好．20．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2-2x +m-1=1．（1）若此方程有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围；（2）当Rt △ABC 的斜边长3，且两直角边a 和b 恰好是这个方程的两个根时，求Rt △ABC 的面积．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(4,0)A ，B 两点，与y 轴交于点()0,2C ，对称轴32x =与x 轴交于点H. （1）求抛物线的函数表达式（2）直线10y kx k =+≠（）与y 轴交于点E ，与抛物线交于点P,Q （点P 在y 轴左侧，点Q 在y 轴右侧），连接CP ，CQ ，若CPQ 17，求点P ，Q 的坐标. （3）在（2）的条件下，连接AC 交PQ 于G ，在对称轴上是否存在一点K ，连接GK ，将线段GK 绕点G 逆时针旋转90°，使点K 恰好落在抛物线上，若存在，请直接写出点K 的坐标不存在，请说明理由.22．（10分）问题背景：如图1设P 是等边△ABC 内一点，PA ＝6，PB ＝8，PC ＝10，求∠APB 的度数．小君研究这个问题的思路是：将△ACP 绕点A 逆时针旋转60°得到△ABP'，易证：△APP'是等边三角形，△PBP'是直角三角形，所以∠APB ＝∠APP'+∠BPP'＝150°．简单应用：（1）如图2，在等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°．P 为△ABC 内一点，且PA ＝5，PB ＝3，PC ＝22，则∠BPC ＝ °．（2）如图3，在等边△ABC 中，P 为△ABC 内一点，且PA ＝5，PB ＝12，∠APB ＝150°，则PC ＝ ． 拓展廷伸：（3）如图4，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，AB ＝BC ．求证：2BD ＝AD+DC ．（4）若图4中的等腰直角△ABC 与Rt △ADC 在同侧如图5，若AD ＝2，DC ＝4，请直接写出BD 的长．23．（10分）如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A （﹣1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，直线23y x =-+经过点C ，与x 轴交于点D ．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）点P 是（1）中的抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为t （0＜t ＜3）．①求△PCD 的面积的最大值；②是否存在点P ，使得△PCD 是以CD 为直角边的直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．24．（10分）如图，在ABC ∆中，点D 在边AB 上，且BD DC AC ==，已知108ACE ∠=︒，2BC =． （1）求B 的度数；（2）我们把有一个内角等于36︒的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比512-． ①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD 的长．25．（12分）如图为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，请在下面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上．（1）在图中画一个以AB 为一边的菱形ABCD ，且菱形ABCD 的面积等于1．（2）在图中画一个以EF 为对角线的正方形EGFH ，并直接写出正方形EGFH 的面积．26．某公司2019年10月份营业额为64万元，12月份营业额达到万100元，求该公司1112、两个月营业额的月平均增长率.参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】先利用因式分解法解方程得到所以16x =，210x =，再分类讨论：当第三边长为6时，如图，在ABC ∆中，6AB AC ==，8BC =，作AD BC ⊥，则4BD CD ==，利用勾股定理计算出25AD =式；当第三边长为10时，利用勾股定理的逆定理可判断此三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式计算三角形面积．【详解】解：216600x x -+=(6)(10)0x x --=，60x -=或100x -=，所以16x =，210x =，I ．当第三边长为6时，如图，在ABC ∆中，6AB AC ==，8BC =，作AD BC ⊥，则4BD CD ==，22226425AD AB BD =-=-=， 所以该三角形的面积1825852=⨯⨯=； II ．当第三边长为10时，由于2226810+=，此三角形为直角三角形，所以该三角形的面积186242=⨯⨯=， 综上所述：该三角形的面积为24或85．故选：D ．【点睛】本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．2、B【分析】根据题意画出图形，当△ABC 中为锐角三角形或钝角三角形两种情况解答，结合已知条件可以推出△ABD ∽△BCD ，即可得出∠ABC 的度数．【详解】（1）如图，当△ABC 中为锐角三角形时，∵BD ⊥AC ，BD CD AD BD= ∴△ABD ∽△BCD ，∵∠A=30°，∴∠ABD=∠C=60°，∠A=∠CBD=30°，∴∠ABC=90°．（2）如图，当△ABC 中为钝角三角形时，∵BD ⊥AC ，BD CD AD BD= ∴△ABD ∽△BCD ，∵∠A=30°，∴∠ABD=∠DCB=60°，∠A=∠DBC=30°，∴∠ABC=30°．故选择B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，将三角形分锐角三角形和钝角三角形分别讨论是解题的关键．3、C【分析】先根据面动成体得到圆锥，进而可知其侧面展开图是扇形，根据扇形的弧长公式求得扇形的圆心角，即可判别．【详解】设含有45︒角的直角三角板的直角边长为12，将一个含有45︒角的直角三角板绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成一个几何体是圆锥，此圆锥的底面周长为：22R ππ=，圆锥的侧面展开图是扇形，2180n r l ππ==扇形，即22180n ππ=， ∴1802255n =≈︒，∵180255270︒<︒<︒，∴图C 符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查了点、线、面、体中的面动成体，解题关键是根据扇形的弧长公式求得扇形的圆心角．4、D【解析】分析：根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．详解：从左边看是等长的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线，故选D．点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．5、C【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐项进行判断即可.【详解】A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意.故选：C.【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的定义，熟练掌握定义是关键.6、A【分析】设△OAB的边长为2a，根据等边三角形的性质，可得点B的坐标为（-a，3a），代入反比例函数解析式可得出a的值，继而得出△OAB的周长．【详解】解：如图，设△OAB的边长为2a，过B点作BM⊥x轴于点M．又∵△OAB是等边三角形，∴OM=12OA=a，3a，∴点B的坐标为（-a3a），∵点B是反比例函数83图象上的点，∴-33解得a=±2（负值舍去），∴△OAB的周长为：3×2．故选：A．【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，设△OAB的边长为2a，用含a的代数式表示出点B的坐标是解题的关键．7、A【解析】将x=2y代入xy中化简后即可得到答案.【详解】将x=2y代入xy得：22x yy y==，故选：A.【点睛】此题考查代数式代入求值，正确计算即可.8、D【分析】根据概率、平行线的性质、负数的性质对各选项进行判断．【详解】A.抛掷1个均匀的骰子，出现6点向上的概率为16，错误．B.367人中至少有2人的生日相同，错误．C.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，错误．D.实数的绝对值是非负数，正确．故答案为：D．【点睛】本题考查了必然事件的性质以及判定，掌握概率、平行线的性质、负数的性质是解题的关键．9、D【解析】∵反比例函数y=kx的图象经过点（5，-1），∴k=5×（-1）=-5＜0，∴该函数图象在第二、四象限．故选D．10、A【分析】由方程x2+3x+c=0有实数解，根据根的判别式的意义得到△≥0，即32-4×1×c≥0，解不等式即可得到c的取值范围．【详解】解：∵方程x2+3x+c＝0有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×c≥0，解得：c≤94，故选：A．【点睛】本题考查了根的判别式，需要熟记：当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根.11、C【分析】由切线的性质可知∠OAB=90°，由圆周角定理可知∠BOA=54°，根据直角三角形两锐角互余可知∠B=36°．【详解】解：∵AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥BA．∴∠OAB=90°．∵∠CDA=27°，∴∠BOA=54°．∴∠B=90°-54°=36°．故选C．考点：切线的性质．12、C【分析】A、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；B、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；C、其夹角不相等，所以不能判定相似；D、其夹角是公共角，根据两边的比相等，且夹角相等，两三角形相似．【详解】A、∵∠A=∠A，∠ACP=∠B，∴△ACP∽△ABC，所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；B、∵∠A=∠A，∠APC=∠ACB，∴△ACP∽△ABC，所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；C、∵AC CP AB BC=，当∠ACP=∠B时，△ACP∽△ABC，所以此选项的条件不能判定△ACP∽△ABC；D、∵AC AB AP AC=，又∠A=∠A，∴△ACP∽△ABC，所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC，本题选择不能判定△ACP∽△ABC的条件，故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、1 6【分析】根据题意列出所有等可能的结果数，然后根据概率公式求解. 【详解】所有情况数：红桃1，红桃2红桃1，黑桃1红桃1，黑桃2红桃2，黑桃1红桃2，黑桃2黑桃1，黑桃2共有6种等可能的情况，其中符合的有1种，所以概率为1 6【点睛】本题主要考查概率的求法.14、2【详解】解：∵小明通过多次摸球实验后发现其中摸到红色球的频率稳定在0.1，设黄球有x个，∴0.1（x+10）=10，解得x=2．答：口袋中黄色球的个数很可能是2个．15、25m【分析】根据垂径定理可得△BOD为直角三角形，且BD=12AB，之后利用勾股定理进一步求解即可.【详解】∵点C是AB的中点，∴OC平分AB，∴∠BOD=90°，BD=12AB=20m ， 设OB=x ，则：OD=(x-10)m ，∴()2221020x x =-+，解得：25x =，∴OB=25m ，故答案为：25m.【点睛】本题主要考查了垂径定理与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.16、12π- 【分析】由正方形的性质求出扇形的半径，求得扇形的面积，再减去正方形OEDC 的面积即可解答，【详解】解：∵正方形OCDE 的边长为1，∴∵扇形AOB 的圆心角是为90︒∴扇形的面积为2903602ππ⋅⋅= ∴阴影部分的面积为2π-1 故答案为2π-1. 【点睛】本题考查了扇形的面积计算，确定扇形的半径并求扇形的面积是解答本题的关键.17、5y x=-，答案不唯一 【解析】设反比例函数解析式为y=k x ， 根据题意得k<0，|k|<1，当k 取−5时,反比例函数解析式为y=−5x . 故答案为y=−5x.答案不唯一. 18、2．【分析】根据题意可得分两种情况讨论：①当∠BPE ＝90°时，点B 、P 、F 三点共线，②当∠PEB ＝90°时，证明四边形AEPF 是正方形，进而可求得BP 的长．【详解】根据E 为AB 上一个动点，把△AEF 沿着EF 折叠，得到△PEF ，若△BPE 为直角三角形，分两种情况讨论：①当∠BPE ＝90°时，如图1，点B 、P 、F 三点共线，根据翻折可知：∵AF ＝PF ＝3，AB ＝4，∴BF ＝5，∴BP ＝BF ﹣PF ＝5﹣3＝2；②当∠PEB ＝90°时，如图2，根据翻折可知：∠FPE ＝∠A ＝90°，∠AEP ＝90°，AF ＝FP ＝3，∴四边形AEPF 是正方形，∴EP ＝3，BE ＝AB ﹣AE ＝4﹣3＝1，∴BP 22EP BE +2231+10综上所述：BP 的长为：210．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、正方形的性质一勾股定理的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）8.50.78，，；（2）答案见解析 【分析】（1）根据“中位数”、“众数”的定义及“方差”的计算公式结合统计图中的数据进行分析计算即可； （2）按照题中要求，分别根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行说明即可.【详解】解：（1）甲的众数为：8.5， 方差为：(222221[(8.58.5)(7.58.5)(88.5)(8.58.5)108.5)5⎤-+-+-+-+-⎦ 0.7=，乙的中位数是：8；故答案为8.50.78，，；（2）从平均数看，两班平均数相同，则甲、乙两班的成绩一样好；从中位数看，甲班的中位数大，所以甲班的成绩较好；从众数看，乙班的众数大，所以乙班的成绩较好；从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定．【点睛】理解“平均数、中位数、众数、方差的意义和计算方法”是正确解答本题的关键.20、（1）m ＜2；（2）14【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根即可得到判别式大于1，由此得到答案；（2）根据根与系数的关系式及完全平方公式变形求出ab ，再利用三角形的面积公式即可得到答案.【详解】（1）关于x 的一元二次方程x 2-2x +m-1=1有两个不相等的实数根，∴△＞1，即△=4-4（m-1）＞1，解得m ＜2；（2）∵Rt △ABC 的斜边长，且两直角边a 和b 恰好是这个方程的两个根，∴a+b=2，a 2+b 22=3 ，∴(a+b)2-2ab=3，∴4-2ab=3，∴ab=12， ∴Rt △ABC 的面积=12ab=14. 【点睛】 此题考查一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系式，直角三角形的勾股定理，完全平方式的变形，直角三角形面积的求法.21、（1）213222y x x =-++；（2）,P Q ⎝⎭⎝⎭；（3）123939,,214214K K ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭【分析】（1）利用对称轴和A 点坐标可得出(1,0)B -，再设(1)(4)y a x x =+-，代入C 点坐标，求出a 的值，即可得到抛物线解析式；（2）求C 点和E 点坐标可得出CE 的长，再联立直线与抛物线解析式，得到2131022x k x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，设点P,Q 的横坐标分别为12,x x ，利用根与系数的关系求出12x x -，再根据CPQ 的面积12122=⋅⋅-=CE x x 可求出k 的值，将k 的值代入方程求出12,x x ，即可得到P 、Q 的坐标； （3）先求直线AC 解析式，再联立直线PQ 与直线AC ，求出交点G 的坐标，设3K 2，⎛⎫ ⎪⎝⎭m ，()K ，'x y ,过G 作MN ∥y 轴，过K 作KN ⊥MN 于N ，过K'作K'M ⊥MN 于M ，然后证明△MGK'≌△NKG ，推出MK'=NG ，MG=NK ，建立方程求出K '的坐标，再代入抛物线解析式求出m 的值，即可得到K 的坐标.【详解】解：（1）∵抛物线对称轴32x =，点(4,0)A ∴(1,0)B -设抛物线的解析式为(1)(4)y a x x =+-将点(0,2)C 代入解析式得：(01)(04)=2+-a ， 解得12a =-， ∴抛物线的解析式为1(1)(4)2y x x =-+-,即213222y x x =-++（2）当x=0时，2132=222=-++y x x ∴C 点坐标为(0,2)，OC=2直线1(0)y kx k =+≠与y 轴交于点E ，当x=0时，1=1=+y kx∴点(0,1)E ，OE=1∴1CE =联立1(0)y kx k =+≠和213222y x x =-++得： 2131=222+-++kx x x 整理得：2131022x k x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭ 设点P,Q 的横坐标分别为12,x x 则12,x x 是方程2131022x k x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭的两个根, ∴121232,2+=-⋅=-x x k x x ∴()221212124(32)8x x x x x x k -=+-=-+∴CPQ 的面积1211722=⋅⋅-=CE x x 2117(32)822k -+= 解得1230，==k k （舍）将k=3代入方程2131022x k x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭得：2131022+-=x x 解得：12317317,22x x ---+== ∴2112731773173,12213+=+---+===x y y x ∴31773173177317,,,2222P Q ⎛⎫⎛⎫-----+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）存在，设AC 直线解析式为='+y k x b ，代入A(4,0)，C(0,2)得4=02k b b '+⎧⎨=⎩，解得1=22k b ⎧'-⎪⎨⎪=⎩， ∴AC 直线解析式为122y x =-+ 联立直线PQ 与直线AC 得 12231y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩，解得27137x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴213G 77，⎛⎫ ⎪⎝⎭设3K 2，⎛⎫ ⎪⎝⎭m ，()K ，'x y ,如图，过G 作MN ∥y 轴，过K 作KN ⊥MN 于N ，过K'作K'M ⊥MN 于M ，∵∠KGK'=90°，∴∠MGK'+∠NGK=90°又∵∠NKG+∠NGK=90°∴∠MGK'=∠NKG在△MGK'和△NKG 中，∵∠M=∠N=90°，∠MGK'=∠NKG ，GK'=GK∴△MGK'≌△NKG （AAS ）∴MK'=NG ，MG=NK ∴213771332727x m y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得1574314x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即K'坐标为(157-m ,4314) 代入213222y x x =-++得：2431153152142727⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m m解得：914m ±= ∴K的坐标为32⎛ ⎝⎭或32⎛ ⎝⎭【点睛】本题考查二次函数的综合问题，是中考常考的压轴题型，难度较大，需要熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数与一元二次方程的关系，第（3）题构造全等三角形是解题的关键.22、（1）135；（2）13；（3）见解析；（4【分析】简单应用：（1）先利用旋转得出BP'＝AP ＝5，∠PCP'＝90°，CP'＝CP ＝，再根据勾股定理得出PP'CP ＝4，最后用勾股定理的逆定理得出△BPP'是以BP'为斜边的直角三角形，即可得出结论；（2）同（1）的方法得出∠APP'＝60°，进而得出∠BPP'＝∠APB ﹣∠APP'＝90°，最后用勾股定理即可得出结论； 拓展廷伸：（3）先利用旋转得出BD'＝BD ，CD'＝AD ，∠BCD'＝∠BAD ，再判断出点D'在DC 的延长线上，最后用勾股定理即可得出结论；（4）先利用旋转得出BD'＝BD ，CD ＝AD'，∠DBD'＝90°，∠BCD ＝∠BAD'，再判断出点D'在AD 的延长线上，最后用勾股定理即可得出结论．【详解】解：简单应用：（1）如图2，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△CBP'，连接PP'，∴BP'＝AP＝5，∠PCP'＝90°，CP'＝CP＝22，∴∠CPP'＝∠CP'P＝45°，根据勾股定理得，PP'＝2CP＝4，∵BP'＝5，BP＝3，∴PP'2+BP2＝BP'，∴△BPP'是以BP'为斜边的直角三角形，∴∠BPP'＝90°，∴∠BPC＝∠BPP'+∠CPP'＝135°，故答案为：135；（2）如图3，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AC＝AB，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，连接PP'，∴BP'＝CP，AP'＝AP＝5，∠PAP'＝60°，∴△APP'是等边三角形，∴PP'＝AP＝5，∠APP'＝60°，∵∠APB＝150°，∴∠BPP'＝∠APB﹣∠APP'＝90°，根据勾股定理得，BP'＝2'2＝13，BP PP∴CP＝13，故答案为：13；拓展廷伸：（3）如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，将△ABD绕点B顺时针旋转90°得到△BCD'，∴BD'＝BD，CD'＝AD，∠BCD'＝∠BAD，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD+∠BCD'＝180°，∴点D'在DC的延长线上，∴DD'＝CD+CD'＝CD+AD，在Rt△DBD'中，DD'＝2BD，∴2BD＝CD+AD；（4）如图5，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，连接BD，将△CBD绕点B顺时针旋转90°得到△ABD'，∴BD'＝BD，CD＝AD'，∠DBD'＝90°，∠BCD＝∠BAD'，AB 与CD 的交点记作G ，∵∠ADC ＝∠ABC ＝90°，∴∠DAB+∠AGD ＝∠BCD+∠BGC ＝180°，∵∠AGD ＝∠BGC ，∴∠BAD ＝∠BCD ，∴∠BAD ＝∠BAD'，∴点D'在AD 的延长线上，∴DD'＝AD'﹣AD ＝CD ﹣AD ＝2，在Rt △BDD'中，BD＝2DD'． 【点睛】本题主要考查了三角形的旋转变换，涉及了旋转的性质、等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，灵活的利用三角形的旋转变换添加辅助线是解题的关键. 23、（1）2y x 2x 3=-++；（2）①3；②315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或3348⎛+-+ ⎝⎭ 【分析】（1）根据直线解析式求出点C 坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）①过点P 作PE y ⊥轴于点F ，交DC 于点E ，用t 表示出点P 和点E 的坐标，PCD 的面积用12PE CO ⋅表示，求出最大值；②分两种情况进行讨论，90PCD ∠=︒或90PDC ∠=︒，都是去构造相似三角形，利用对应边成比例列式求出t 的值，得到点P 的坐标．【详解】解：（1）令0x =，则3y =，求出()0,3C ， 将A 、B 、C 的坐标代入抛物线解析式，得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴2y x 2x 3=-++；（2）①如图，过点P 作PE y ⊥轴于点F ，交DC 于点E ，设点P 的坐标是()2,23t t t -++，则点E 的纵坐标为223t t -++， 将223y t t =-++代入直线解析式，得222t t x -=，∴点E 坐标是222,232t t t t ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭， ∴222422t t t t PE t --+=-=， ∴()()22211433342322244PCD t t S PE CO t t t -+=⋅=⨯⨯=--=--+， ∴PCD 面积的最大值是3；②PCD 是以CD 为直角边的直角三角形分两种情况，第一种，90PCD ∠=︒，如图，过点P 作PG y ⊥轴于点G ，则PGC COD ，∴PG CG CO DO =，即223 1.5t t t -+=， 整理得2230t t -=，解得132t =，20t =（舍去）， ∴315,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；第二种，90PDC ∠=︒，如图，过点P 作PH x ⊥轴于点H ，则PHD DOC ， ∴PH DH DO CO =，即223 1.51.53t t t -++-=， 整理得246150t t --=，解得13694t +=，23694t -=（舍去）， ∴369369,48P ⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭，综上，点P 的坐标是315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或369369+-+⎝⎭． 【点睛】本题考查二次函数的综合，解题的关键是掌握待定系数法求解析式的方法，三角形面积的表示方法以及构造相似三角形利用数形结合的思想求点坐标的方法．24、（1）36︒；（2）①有三个：,,BDC ADC BAC ∆∆∆，理由见解析；②35【分析】（1）设B x ∠=，根据题意得到,2DCB x CDA A x ∠=∠=∠=，由三角形的外角性质，即可求出x 的值，从而得到答案；（2）①根据黄金三角形的定义，即可得到答案；②由①可知，BAC ∆是黄金三角形，则根据比例关系，求出51BD AC ==，然后求出AD 的长度. 【详解】解：（1）BD DC AC ==， 则,B DCB CDA A ∠=∠∠=∠， 设B x ∠=，则,2DCB x CDA A x ∠=∠=∠=，又108ACE ∠=︒，108B A ︒∴∠+∠=，2108x x ∴+=，解得：36x ︒=，36B ︒∴∠=；（2）①有三个：,,BDC ADC BAC ∆∆∆,36DB DC B ︒=∠=DBC ∴∆是黄金三角形；或,18036CD CA ACD CDA A =∠=︒-∠-∠=︒，CDA ∆∴是黄金三角形；或108ACE ︒∠=，72ACB ︒∴∠=，又272A x ∠==︒，A ACB ∴∠=∠，BA BC ∴=，BAC ∆∴是黄金三角形；②∵BAC ∆是黄金三角形，AC BC ∴= 2BC =，1AC ∴=，2,1BA BC BD AC ====，21)3AD BA BD ∴=-=-=-【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及黄金三角形的定义，三角形的内角和定理以及三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的外角性质．25、（1）图见解析；（2）图见解析，2．【分析】（1）根据菱形面积公式可得，底边AB 的高为4，结合AD=5即可得到点D 的坐标，同理得到点C 的坐标，连接A ，C ，D 即可．（2）作线段EF 的中线与网格交于G 、H ，且10EH HF GF FG ====，依次连接E 、G 、F 、H 即可，利用正方形面积公式即可求得正方形EGFH 的面积．【详解】解：（1）根据菱形面积公式可得，底边AB 的高为4，结合AD=5即可得到点D 的坐标，同理得到点C 的坐标，连接A ，C ，D.如图所示.（2）作线段EF 的中线与网格交于G 、H ，且10EH HF GF FG ====，依次连接E 、G 、F 、H 即可，如图所示.正方形EGFH 面积为2.【点睛】本题考查了网格作图的问题，掌握菱形的性质以及面积公式、正方形的性质以及面积公式、勾股定理是解题的关键． 26、25%【分析】设该公司1112、两个月营业额的月平均增长率为x ，根据题目中的等量关系列出方程即可求解.【详解】设该公司1112、两个月营业额的月平均增长率为x ，依题意，得:()2641100x +=， 解得:120.2525%, 2.25x x ===-(不合题意，舍去). 答:该公司1112、两个月营业额的月平均增长率为25%.【点睛】本题考查的是增长率问题，比较典型，属于基础题型，关键是掌握增长率问题数量关系及其一般做法.。
2022年北京东城区数学二模(Word版含答案)
＝1＋2－3＋1……………………………………………………………4分
＝1………………………………………………………………………………5分
18．解：6－4x≥3x－8
－7x≥－14………………………………………………………………………………2分
x≤2………………………………………………………………………………3分
①当n=2时，判断CD与CP的数量关系；
②当CD≤CP时，结合图象，直接写出n的取值范围．
23．如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC=90°，在CB上截取CD=CA，过点D作DE⊥AB于点E，连接AD，以点A为圆心，AE长为半径作圆⊙A．
（1）求证：BC是⊙A的切线；
（2）若AC=5，BD=3，求DE的长．
24．某研究中心建立了自己的科技创新评估体系，并对2021年中国城市的科技创新水平进行了评估．科技创新综合指数由科技创新总量指数和科技创新效率指数组成（以下简称：综合指数、总量指数和效率指数）．该研究中心对2021年中国城市综合指数得分排名前40的城市的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线 (a≠0)的对称轴是直线x＝3.
（1）求抛物线与y轴的交点坐标；
（2）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；
（3）若抛物线与x轴相交于A、B两点，且AB≤4，求a的取值范围．
27．在△ABC中，AB=AC，∠CAB＝2α，在△ABC的外侧作直线AP（90°－α＜∠PAC＜180°－2α），作点C关于直线AP的对称点D，连接AD、BD，BD交直线AP于点E．
21．如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
学年北京市东城区初三一模数学测试卷( 含答案 )
北京市东城区第二学期初三综合练习（一）1．与2-的和为0的数是 A ．2- B ．12-C ．12D ．22．2015年元旦期间，北京各大公园接待游客达245 000万人次。
其中， “冰雪乐园”吸引了大批游客亲身感受冰雪带来的快乐，一起为北京申办2022年冬奥会助力加油.用科学记数法表示245 000 ，正确的是A ．424.510⨯B ．52.4510⨯C ．62.4510⨯D ．60.24510⨯ 3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是 A ．圆柱 B ．球 C ．圆锥 D ． 棱柱4．在某校初三年级古诗词比赛中,初三(1)班42名学生的成绩统计如下,则该班学生成绩的中位数和众数分别是分数 50 60 70 80 90 100 人数 12813144A ． 70,80B ． 70,90C ． 80,90D ． 80,1005． 在六张卡片上分别写有1π,, 1.5,3,0,23-,从中任意抽取一张,卡片上的数为无理数的概率是 A ． 16B ．13C ． 12D ． 236．正五边形的每个外角等于A. 36︒B. 60︒C. 72︒D. 108︒ 7．如图，AB 是O e 的直径，点C 在O e 上，过点C 作O e 的切线交AB 的 延长线于点D ，连接OC ，AC . 若50D ∠=︒，则A ∠的度数是 A. 20︒ B ．25︒C ．40︒D ．50︒8．小李驾驶汽车以50千米/小时的速度匀速行驶1小时后，途中靠边停车接了半小时电话，然后继续匀速行驶.已知行驶路程y（单位：千米）与行驶时间t（单位：小时）的函数图象大致如图所示，则接电话后小李的行驶速度为( )A. 43.5B. 50C. 56D. 589. 如图，已知∠MON =60°，OP是∠MON的角平分线，点A是OP上一点，过点A作ON的平行线交OM于点B,AB=4.则直线AB与ON之间的距离是( )A. 3B.2C.23D.410.如图1，ABC△和DEF△都是等腰直角三角形，其中90C EDF∠=∠=︒，点A与点D重合，点E在AB上，4AB=，2DE=.如图2，ABC△保持不动，DEF△沿着线段AB从点A向点B移动，当点D与点B重合时停止移动.设AD x=，DEF△与ABC△重叠部分的面积为S，则S关于x的函数图象大致是A B C D图1图241.52.24二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：224mx my -= ． 128272+3 ．13. 关于x 的一元二次方程230x x m +-=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围 是 ．14. 北京的水资源非常匮乏，为促进市民节水，从2014年5月1日起北京市居民用水实行阶梯水价，实施细则如下表: 北京市居民用水阶梯水价表 单位: 元/立方米分档水量户年用水量（立方米）水价其中自来水费 水资源费污水处理费 第一阶梯 0-180（含） 5.00 2.07 1.571.36第二阶梯 181-260（含） 7.00 4.07 第三阶梯260以上9.00 6.07某户居民从2015年1月1日至4月30日,累积用水190立方米,则这户居民4个月共需缴纳水费 元.15．已知女排赛场球网的高度是2.24米，某排球运动员在一次扣球时，球恰好擦网而过，落在对方场地距离球网4米的位置上，此时该运动员距离球网1.5米，假设此次排球的运行路线是直线，则该运动员击球的高度是 米．16．l 1A l y 1A O 边做正方形111A OC B ,使点1C 落在在x 轴正半轴上，作射线11C B 交直线l 于点2A ，以 21A C 为边作正方形2122A C C B ,使点2C 落在在x 轴正半轴上，依次作下去，得到如图第15题图 第16题图ODBC所示的图形.则点4B 的坐标是 ，点n B 的坐标是 ．17．如图，AC 与BD 交于点O ，OA OC =，OB OD =． 求证：DC AB ∥．18. 计算：()11336043-⎛⎫-︒+-+- ⎪⎝⎭π.19．解不等式组：()2131,5 4.2x x x x --⎧⎪⎨-+⎪⎩＞＜20．先化简，再求值：222442111a a a a a a -+-+÷+--，其中21a =．21．列方程或方程组解应用题：2015年“植树节”前夕，某小区为绿化环境，购进200棵柏树苗和120棵枣树苗，且两种树苗所需费用相同.每棵枣树苗的进价比每棵柏树苗的进价的2倍少5元，每棵柏树苗的进价是多少元？22．在平面直角坐标系xOy 中，过点()4,2A -向x 轴作垂线，垂足为B ，连接AO .双曲线 ky x=经过斜边AO 的中点C ，与边AB 交于点D ． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△BOD 的面积．四、解答题（本题共20分，每小题5分）F23． 如图，ABC △中，90BCA ∠=︒,CD 是边AB 上的中线，分别过点C ，D 作BA ，BC 的平行线交于点E ，且DE 交AC 于点O ，连接AE . （1）求证：四边形ADCE 是菱形； （2）若2AC DE =，求sin CDB ∠的值．24．为弘扬中华传统文化,某学校决定开设民族器乐选修课.为了更贴合学生的兴趣，对学生最喜爱的一种民族乐器进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查 名学生； （2）请把条形图（图1）补充完整；（3）求扇形统计图（图2）中，二胡部分所对应的圆心角的度数； （4）如果该校共有学生1500名，请你估计最喜爱古琴的学生人数．25. 如图,在⊙O 中，AB 为直径，OC AB ⊥，弦CD 与OB 交于点F ，过点,D A 分别作⊙O 的切线交于点G ，且GD 与AB 的延长线交于点E ．（1）求证：12∠=∠;（2）已知：:1:3OF OB =，⊙O 的半径为3，求AG 的长．26. 在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，E 是OC 上任意一点，AG BE ⊥于点G ，交BD 于点F ．(1)如图1,若四边形ABCD 是正方形,判断AF 与BE 的数量关系;明明发现，AF 与BE 分别在AOF △和BOE △中，可以通过证明AOF △和BOE △全等,得到AF 与BE 的数量关系;请回答：AF 与BE 的数量关系是 .(2) 如图2,若四边形ABCD 是菱形, 120ABC ∠=︒,请参考明明思考问题的方法，求AFBE的值.G BF EO DCA图1 图2五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()210y ax bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ,与y轴交于点C ．（1）求抛物线()210y ax bx a =++≠的函数表达式；（2）若点D 在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上，当ACD △的周长最小时，求点D的坐标;（3）在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上是否存在点P ,使ACP △成为以AC 为直角边的直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由.BAC28. 已知：Rt △A ′BC ′和 Rt △ABC 重合，∠A ′C ′B =∠ACB =90°，∠BA ′C ′=∠BAC =30°，现将Rt △A ′BC ′ 绕点B 按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线C ′C 和线段AA ′相交于点D ,连接BD ．（1）当α=60°时，A ’B 过点C ，如图1所示，判断BD 和A ′A 之间的位置关系，不必证明； （2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明；（3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由.29．定义符号{}min a b ,的含义为：当a b ≥时,{}min a b b =,；当a b ＜时, {}min a b a =,．如：{}min 122-=-,，{}min 121-=-,． (1)求{}2min x -1,-2;(2)已知2min{2,3}3x x k -+-=-, 求实数k 的取值范围;图1 图2 图3(3) 已知当23x -≤≤时，22min{215,(1)}215x x m x x x --+=--.直接写出实数m 的取值范围.东城区2014-2015学年第二学期初三综合练习（一）数学试题参考答案及评分标准 2015.5二、填空题（本题共18分，每小题3分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17． 证明：∵在ODC △和OBA △中，∵,,,OD OB DOC BOA OC OA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ODC OBA △≌△. …………3分 ∴C A ∠=∠. …………4分 ∴DC AB ∥． …………5分()()1118.36043134415-⎛⎫-︒+-+- ⎪⎝⎭=-+=-L L L L 解：π分分19． ()2131,8x x x x --⎧⎪⎨-+⎪⎩①②＞解：5＜2，2x 由①得，＜，…………2分 1x-由②得，＞，…………4分所以，不等式组的解集为12x -＜＜. …………5分()()()22224421112211112221131a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-+÷+----=+⋅++---=+++=+L L L 20.解：分当1a =时，2=原式．…………5分21．解：设每棵柏树苗的进价是x 元，则每棵枣树苗的进价是()25x -元. …………1分 根据题意，列方程得：200=120(25)x x -， …………3分 解得： 15x =. …………5分 答：每棵柏树苗的进价是15元. 22． 解：（1）过点C 向x 轴作垂线，垂足为E .∵CE x ⊥轴，AB x ⊥轴，()4,2A-，∴CE AB ∥，()4,0B -. ∴12OE OC CE OB OA AB ===. ∵4OB =，2AB =， ∴2OE =，1CE =.∴()2,1C -. …………2分 ∵双曲线ky x=经过点C ， ∴2k =-.∴反比例函数的解析式为2y x=-. …………3分 （2）∵点D 在AB 上，∴点D 的横坐标为4-. ∵点D 在双曲线2y x=-上， ∴点D 的纵坐标为12. …………4分 ∴BODS △11141222OB BD =⋅⋅=⨯⨯=.…………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）23.（1）证明：∵DE BC ∥,CE AB ∥， ∴四边形DBCE 是平行四边形. ∴CE BD =. 又∵CD 是边AB 上的中线，∴BD AD =.∴CE DA =. 又∵CE DA ∥，∴四边形ADCE 是平行四边形. ∵90BCA ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，∴AD CD =.F∴四边形ADCE 是菱形. …………3分（2）解：作CFAB ⊥于点F . 由(1) 可知, .BC DE =设BC x =,则2AC x =.在Rt ABC △中,根据勾股定理可求得5AB x =. ∵1122AB CF AC BC ⋅=⋅, ∴25AC BC CF x AB ⋅==. ∵152CD AB x ==, ∴4sin 5CF CDB CD ∠==.…………5分 24.解：（1）20÷10%=200（名），…………1分答：一共调查了200名学生；（2）最喜欢古筝的人数：200×25%=50（名），最喜欢琵琶的人数：200×20%=40（名）；补全条形图如图； …………3分（3）二胡部分所对应的圆心角的度数为：60200×360°=108°； …………4分 （4）1500×30200=225（名）． …………5分 答：1500名学生中估计最喜欢古琴的学生人数为225．25.（1）证明：连结OD ，如图.∵DE 为⊙O 的切线，OD 为半径，∴OD DE ⊥.∴90ODE ∠=︒，即290ODC ∠+∠=︒.∵OC OD =，∴C ODC ∠=∠.∴290C ∠+∠=︒.而OC OB ⊥，∴390C ∠+∠=︒.∴23∠=∠.∵13∠=∠，∴12∠=∠. …………2分（2）解：∵:1:3OF OB =，⊙O 的半径为3，∴1OF =.∵12∠=∠，∴EF ED =.在Rt ODE △中，3OD =,设DE x =，则EF x =，1OE x =+.∵222OD DE OE +=，∴()22231x x +=+，解得4x =.∴4DE =，5OE =.∵AG 为⊙O 的切线，OA 为半径，GD 为⊙O 的切线，∴AG AE ⊥，GA GD =.∴90GAE ∠=︒.在Rt AGE △中,设DG t =，则4GE t =+.∵222AG AE GE +=. ∴()22284t t +=+，解得，6t =.∴6AG =. -------------------5分26. 解：（1）AF =BE ； …………1分（2）AF BE= …………2分 理由如下：∵四边形ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒,∴AC BD ⊥,60ABO ∠=︒.∴90FAO AFO ∠+∠=︒.∵AG BE ⊥，∴90EAG BEA ∠+∠=︒．∴AFO BEA ∠=∠.又∵90AOF BOE ∠=∠=︒，∴AOF BOE △∽△. …………3分∴AF AO BE OB= . ∵60ABO ∠=︒，AC BD ⊥，∴tan 60AO OB=︒=.∴AF BE =. …………5分 五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．解：（1）∵抛物线()210y ax bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ，∴10,1 1.a b a b -+=⎧⎨++=⎩∴1,21.2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的函数关系式为211122y x x =-++. …………2分 （2）∵122b x a =-=，()0,1C ∴抛物线211122y x x =-++的对称轴为直线12x =. 设点E 为点A 关于直线12x =的对称点，则点E 的坐标为()2,0. 连接EC 交直线12x =于点D ，此时ACD △的周长最小. 设直线EC 的函数表达式为y kx m =+，代入,E C 的坐标，则2m 0,1.k m +=⎧⎨=⎩解得1,21.k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以，直线EC 的函数表达式为112y x =-+. 当12x =时，34y =. ∴ 点D 的坐标为13,24⎛⎫⎪⎝⎭. …………4分 （3）存在.①当点A 为直角顶点时，过点A 作AC 的垂线交y 轴于点M ，交对称轴于点1P . ∵AO OC ⊥，1AC AP ⊥，∴90AOM CAM ∠=∠=︒.∵()0,1C ，()1,0A -，∴1OA OC ==.∴45CAO ∠=︒.∴45OAM OMA ∠=∠=︒.∴1OA OM ==.∴点M 的坐标为()0,1-.设直线AM 对应的一次函数的表达式为11y k x b =+，代入,A M 的坐标， 则1110,1.k b b -+=⎧⎨=-⎩ 解得111,1.k b =-⎧⎨=-⎩ 所以，直线AM 的函数表达式为1y x =--.令12x =，则32y =-. ∴点1P 的坐标为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭. …………5分 ②当点C 为直角顶点时，过点C 作AC 的垂线交对称轴于点2P ，交x 轴于点N . 与①同理可得Rt CON △是等腰直角三角形，∴1OC ON ==.∴点N 的坐标为()1,0.∵2CP AC ⊥，1AP AC ⊥，∴21CP AP ∥.∴直线2CP 的函数表达式为1y x =-+.令12x =，则12y =. ∴点2P 的坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. …………6分 综上，在对称轴上存在点1P 13,22⎛⎫-⎪⎝⎭，2P 11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，使ACP △成为以AC 为直角边的直角三角形．…………7分28.解:(1) 当60α=︒时, BD A A '⊥. ------------1分（2）补全图形如图1，BD A A '⊥仍然成立；------------3分（3）猜想BD A A '⊥仍然成立.证明：作AE C C '⊥，A F C C ''⊥，垂足分别为点,E F ，如图2，则90AEC A FC ''∠=∠=︒.∵BC BC '=，∴BCC BC C ''∠=∠. ∵90ACB A C B ''∠=∠=︒，∴90ACE BCC '∠+∠=︒，'90A C F BC C ''∠+∠=︒. ∴ACE A C F ''∠=∠.在AEC △和A FC ''△中，90,,,AEC A FC ACE A C F AC A C ''∠=∠=︒⎧⎪''∠=∠⎨⎪''=⎩∴AEC A FC ''△≌△.∴AE A F '=.在AED △和A FD '△中，90,,,AEC A FD ADE A DF AE A F '∠=∠=︒⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩∴AED A FD '△≌△.∴AD A D '=.∵AB A B '=，∴'ABA △为等腰三角形.∴BD A A '⊥------------7分图2图129．解：（1）∵20x ≥，∴2x -1≥-1.∴2-x -1＞2.∴{}2min 2x =--1,-2. ┉┉2分 (2) ∵()2211x x k x k -+=-+-2, ∴()2111x k k -+--≥.∵2min{2,3}3x x k -+-=-， ∴13k --≥.∴2k -≥. ┉┉5分(3) 37m -≤≤. ┉┉8分。
2022-2023学年北京市东城区中考数学提升突破破仿真模拟卷(一模二模)含答案
2022-2023学年北京市东城区中考数学提升突破破仿真模拟卷（一模）一、单选题1.－5的值是()A .－15 B.－5 C.5 D.52.某种计算机完成基本运算的时间约为0.000000001s ，把0.000000001s 用科学记数法可表示为（）A.0.1×10－8sB.0.1×10－9sC.1×10－8sD.1×10－9s3.下列四个图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是（）A. B. C. D.4.计算a ·a 5-(2a 3)2的结果为()A.a 6-2a 5B.-a 6C.a 6-4a 5D.-3a 65.如图，线段AB 平移得到线段A B ''，其中点A ，B 的对应点分别为点A '，B ′，这四个点都在格点上．若线段AB 上有一个点(P a ，)b ，则点P 在A B ''上的对应点P '的坐标为()A.(2,3)a b -+ B.(2,3)a b -- C.(2,3)a b ++ D.(2,3)a b +-6.A 、B 两地相距180km ，新修的高速公路开通后，在A 、B 两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A 地到B 地的时间缩短了1h ．若设原来的平均车速为x km/h ，则根据题意可列方程为A.1801801(150%)x x -=+ B.1801801(150%)x x -=+ C.1801801(150%)x x-=- D.1801801(150%)x x-=-7.如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 长为25cm ，贴纸部分的宽BD 为15cm ，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）A.175πcm 2B.350πcm 2C.8003πcm 2D.150πcm 28.如图，正比例函数11y k x =的图像与反比例函数22k y x=的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的横坐标为2，当12y y >时，x 的取值范围是（）A.x ＜-2或x ＞2B.x ＜-2或0＜x ＜2C.-2＜x ＜0或0＜x ＜2D.-2＜x ＜0或x ＞2二、填空题9.．10.“万人马拉松”组委会计划制作运动衫分发给参与者，为此，了部分参与者，以决定制作橙色、黄色、白色、红色四种颜色运动衫的数量．根据得到的数据，绘制成如图所示的扇形统计图．若本次共有12000名参与者，则估计其中选择红色运动衫的约有________名．11.如图AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD=________．12.把一个长、宽、高分别为3cm、2cm、1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S(cm2)与高h(cm)之间的函数关系式为________.13.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为_____________________．14.如图，以边长为20cm的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形．把它们沿图中虚线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，则它的容积为________cm3．三、解答题15.已知：线段a及∠ACB．求作：⊙O，使⊙O在∠ACB的内部，CO=a，且⊙O与∠ACB的两边分别相切．16.计算（1）化简：2211()n n n n n+-+÷；（2）关于x 的一元二次方程2x 2+3x ﹣m=0有两个没有相等的实数根，求m 的取值范围．17.小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个没有透明的袋子中装有编号为1～4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．18.小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC ，并测得B 、C 两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥BC 与地面在同一水平面上，其长度为100m ，求热气球离地面的高度_________．（结果保留整数）（参考数据：sin 350.57︒=，cos350.82︒=，tan 350.70︒=）19.甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：根据以上信息，整理分析数据如下：平均成绩/环中位数/环众数/环方差甲a 77 1.2乙7b8c（1）写出表格中a，b，c的值；（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员．20.某厂制作甲、乙两种环保包装盒．已知同样用6m的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%的材料．（1）求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料？（2）如果制作甲、乙两种包装盒3000个，且甲盒的数量没有少于乙盒数量的2倍，那么请写出所需材料总长度()l m与甲盒数量n（个）之间的函数关系式，并求出至少需要多少米材料．21.已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．22.如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=16-x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为172m．（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度没有超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？23.问题提出：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种没有同的等腰三角形？问题探究：没有妨假设能搭成m种没有同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以从入手，通过试验、观察、类比，归纳、猜测得出结论．探究一：用3根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的三角形？此时，显然能搭成一种等腰三角形．所以，当n=3时，m=1用4根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的三角形？只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，没有能搭成三角形所以，当n=4时，m=0用5根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的三角形？若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则没有能搭成三角形若分为2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形所以，当n=5时，m=1用6根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的三角形？若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则没有能搭成三角形若分为2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形所以，当n=6时，m=1综上所述，可得表①探究二：用7根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的等腰三角形？（仿照上述探究方法，写出解答过程，并把结果填在表②中）分别用8根、9根、10根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的等腰三角形？（只需把结果填在表②中）你没有妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，……解决问题：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种没有同的等腰三角形？（设n分别等于4k-1、4k、4k+1、4k+2，其中k是整数，把结果填在表③中）问题应用：用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种没有同的等腰三角形？（要求写出解答过程）其中面积的等腰三角形每个腰用了__________________根木棒．（只填结果）24.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；：S△ACD=9：16？若存在，求（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF出t的值；若没有存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若没有存在，请说明理由．2022-2023学年北京市东城区中考数学提升突破破仿真模拟卷（一模）一、单选题1.)A.B. C. D.5【正确答案】C【分析】数轴上表示数a 的点与原点的距离，叫做数a 的值.故选C本题考核知识点：值.解题关键点：理解值的意义.2.某种计算机完成基本运算的时间约为0.000000001s ，把0.000000001s 用科学记数法可表示为（）A .0.1×10－8s B.0.1×10－9s C.1×10－8s D.1×10－9s【正确答案】D【分析】值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法没有同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】0.000000001s 用科学记数法可表示为9110-⨯s ．故选：D ．本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．3.下列四个图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义进行分析．【详解】解：选项A 是对称图形；选项B 是对称图形，也是轴对称图形；选项C 是轴对称图形；选项D 是对称图形．故选B ．本题考核知识点：轴对称图形和对称图形.解题关键点：理解轴对称图形和对称图形的定义．4.计算a ·a 5-(2a 3)2的结果为()A.a 6-2a 5B.-a 6C.a 6-4a 5D.-3a 6【正确答案】D 【详解】试题解析：原式66643.a a a =-=-故选D.点睛：同底数幂相乘，底数没有变指数相加.5.如图，线段AB 平移得到线段A B ''，其中点A ，B 的对应点分别为点A '，B ′，这四个点都在格点上．若线段AB 上有一个点(P a ，)b ，则点P 在A B ''上的对应点P '的坐标为()A.(2,3)a b -+ B.(2,3)a b -- C.(2,3)a b ++ D.(2,3)a b +-【正确答案】A【分析】根据点A 、B 平移后横纵坐标的变化可得线段AB 向左平移2个单位，向上平移了3个单位，然后再确定a 、b 的值，进而可得答案．【详解】由题意可得线段AB 向左平移2个单位，向上平移了3个单位，则P （a −2，b ＋3），故选：A ．此题主要考查了坐标与图形的变化−−平移，解题的关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．6.A 、B 两地相距180km ，新修的高速公路开通后，在A 、B 两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A 地到B 地的时间缩短了1h ．若设原来的平均车速为x km/h ，则根据题意可列方程为A.1801801(150%)x x -=+ B.1801801(150%)x x -=+ C.1801801(150%)x x-=- D.1801801(150%)x x-=-【正确答案】A【分析】直接利用在A ，B 两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A 地到B 地的时间缩短了1h ，利用时间差值得出等式即可．【详解】解：设原来的平均车速为x km/h ，则根据题意可列方程为：180x ﹣180150%x+（）=1．故选A ．本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意得出正确等量关系是解题的关键．7.如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 长为25cm ，贴纸部分的宽BD 为15cm ，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）A.175πcm 2B.350πcm 2C.8003πcm 2 D.150πcm 2【正确答案】B【分析】贴纸部分的面积等于大扇形的面积减去小扇形ADE 的面积，由此即可解答．【详解】∵AB=25，BD=15，∴AD=10，∴S 贴纸=2212025120102360360ππ⎛⎫⋅⨯⋅⨯-⨯ ⎪⎝⎭=175π×2=350cm 2，故选B ．本题主要考查扇形面积的计算的应用，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积计算公式．8.如图，正比例函数11y k x =的图像与反比例函数22k y x=的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的横坐标为2，当12y y >时，x 的取值范围是（）A.x ＜-2或x ＞2B.x ＜-2或0＜x ＜2C.-2＜x ＜0或0＜x ＜2D.-2＜x ＜0或x ＞2【正确答案】D【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B 点坐标，再由函数图象即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，∴A 、B 两点关于原点对称，∵点A 的横坐标为2，∴点B 的横坐标为-2，∵由函数图象可知，当-2＜x ＜0或x ＞2时函数y 1=k 1x 的图象在22k y x=的上方，∴当y 1＞y 2时，x 的取值范围是-2＜x ＜0或x ＞2．故选：D ．本题考查的是反比例函数与函数的交点问题，能根据数形求出y 1＞y 2时x 的取值范围是解答此题的关键．二、填空题9.．【正确答案】2【分析】先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后再进行二次根式的除法运算即可得出答案．【详解】原式＝（）＝＝2．故答案为2．本题考查了二次根式的混合运算.把二次根式化为最简二次根式，再根据混合运算顺序进行计算是解题的关键．10.“万人马拉松”组委会计划制作运动衫分发给参与者，为此，了部分参与者，以决定制作橙色、黄色、白色、红色四种颜色运动衫的数量．根据得到的数据，绘制成如图所示的扇形统计图．若本次共有12000名参与者，则估计其中选择红色运动衫的约有________名．【正确答案】2400【详解】解：估计其中选择红色运动衫的约有12000×20%=2400（名），故答案为240011.如图AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD=________．【正确答案】62°【详解】试题分析：连接AD，根据AB 是直径，可知∠ADB=90°，然后根据同弧所对的圆周角可得∠BAD=∠DCB=28°，然后根据直角三角形的两锐角互补可得∠ABD=62°.故62.点睛：此题主要考查了圆周角定理，解题时先利用直径所对的圆周角为直角，得到直角三角形，然后根据同弧所对的圆周角相等即可求解.12.把一个长、宽、高分别为3cm 、2cm 、1cm 的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S(cm 2)与高h(cm)之间的函数关系式为________.【正确答案】6h【详解】试题分析：根据题意可得铜块的体积=3×2×1=6，则圆柱体的体积=Sh=6，则S=.考点：反比例函数的应用13.如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为BC 上一点，CE =5，F 为DE 的中点．若△CEF 的周长为18，则OF 的长为_____________________．【正确答案】72【分析】由直角三角形的中线，求出DE 的长度，利用三角形中位线定理和勾股定理，求出BE 的长度，即可求出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DCE=90°，OD=OB ，∵DF=FE ，∴CF=FE=FD ，∵EC+EF+CF=18，EC=5，∴EF+FC=13，∴DE=13，∴12=，∴BC=CD=12，∴BE=BC-EC=7，∵OD=OB ，DF=FE ，∴OF=12BE=72；故72．本题考查正方形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14.如图，以边长为20cm 的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm 长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形．把它们沿图中虚线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，则它的容积为________cm 3．【正确答案】144【详解】解：如图由题意得：△ABC 为等边三角形，△OPQ 为等边三角形，AD =AK =BE =BF =CG =CH =4cm ，∴∠A =∠B =∠C =60°，AB =BC =AC ，∠POQ =60°，∴∠ADO =∠AKO =90°．连结AO ，作QM ⊥OP 于M ．在Rt △AOD 中，∠OAD =∠OAK =30°，∴OD =33AD =433cm ．∵PQ =OP =DE =20﹣2×4=12（cm ），∴QM =OP •sin60°=12×32=（cm ），∴无盖柱形盒子的容积=1431223⨯⨯=144（cm 3）；故答案为144．三、解答题15.已知：线段a及∠ACB．求作：⊙O，使⊙O在∠ACB的内部，CO=a，且⊙O与∠ACB的两边分别相切．【正确答案】作图见解析【详解】试题分析：根据基本作图作出一个角等于已知角，然后作出这个角的角平分线，然后截取线段OC的长，作垂线，再垂线段的长为半径，以O点作圆即可.试题解析：如图所示：⊙O即为所求．16.计算（1）化简：2 211 ()n nnn n+-+÷；（2）关于x的一元二次方程2x2+3x﹣m=0有两个没有相等的实数根，求m的取值范围．【正确答案】（1）11nn+-；（2）m＞﹣98.【详解】试题分析：（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；（2）根据方程有两个没有相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．试题解析：解：（1）原式=221n n n ++•21n n -=21n n+（）•11n n n +-（）（）=11n n +-；（2）∵方程2x 2+3x ﹣m =0有两个没有相等的实数根，∴△=9+8m ＞0，解得：m ＞﹣98．点睛：本题考查了分式的混合运算，以及根的判别式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．17.小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个没有透明的袋子中装有编号为1～4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．【正确答案】没有公平；理由见解析【详解】试题分析：根据题意画出树状图，再分别求出两次数字之和大于5和两次数字之和没有大于5的概率，如果概率相等，则游戏公平，如果没有概率相等，则游戏没有公平；试题解析：根据题意，画树状图如下：∴P（两次数字之和大于5）＝63168=，P（两次数字之和没有大于5）＝105168=，∵3858∴游戏没有公平；18.小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC ，并测得B 、C 两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥BC 与地面在同一水平面上，其长度为100m ，求热气球离地面的高度_________．（结果保留整数）（参考数据：sin 350.57︒=，cos350.82︒=，tan 350.70︒=）【正确答案】233m【分析】作AD ⊥BC 交CB 的延长线于D ，设AD 为x ，表示出DB 和DC ，根据正切的概念求出x 的值即可．【详解】解：作AD ⊥BC 交CB 的延长线于D ，设AD 为x ，由题意得，∠ABD=45°，∠ACD=35°，在Rt △ADB 中，∠ABD=45°，∴DB=x ，在Rt △ADC 中，∠ACD=35°，tan ADACD CD∴∠=，710010x x ∴=+，解得，x ≈233．所以，热气球离地面的高度约为233米．故233．本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角和俯角的概念、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，解答时，注意正确作出辅助线构造直角三角形．19.甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：根据以上信息，整理分析数据如下：平均成绩/环中位数/环众数/环方差甲a 77 1.2乙7b8c（1）写出表格中a ，b ，c 的值；（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员．【正确答案】（1）a=7，b=7.5，c=4.2；（2）派乙队员参赛，理由见解析【分析】（1）根据加权平均数的计算公式，中位数的确定方法及方差的计算公式即可得到a 、b 、c 的值；（2）根据平均数、中位数、众数、方差依次进行分析即可得到答案.【详解】（1）5162748291712421a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==++++，将乙射击的环数重新排列为：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10，∴乙射击的中位数787.52b +==，∵乙射击的次数是10次，∴2222222(37)(47)(67)2(77)3(87)(97)(107)c ⎡⎤=-+-+-+⨯-+⨯-+-+-⎣⎦=4.2；（2）从平均成绩看，甲、乙的成绩相等，都是7环；从中位数看，甲射中7环以上的次数小于乙；从众数看，甲射中7环的次数至多，而乙射中8环的次数至多；从方差看，甲的成绩比乙稳定，综合以上各因素，若派一名同学参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能性更大.此题考查数据的统计计算，根据方程作出决策，掌握加权平均数的计算公式，中位数的计算公式，方差的计算公式是解题的关键.20.某厂制作甲、乙两种环保包装盒．已知同样用6m 的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%的材料．（1）求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料？（2）如果制作甲、乙两种包装盒3000个，且甲盒的数量没有少于乙盒数量的2倍，那么请写出所需材料总长度()l m 与甲盒数量n （个）之间的函数关系式，并求出至少需要多少米材料．【正确答案】甲盒用0.6m 材料；制作每个乙盒用0.5m 材料；l =0.1n +1500，1700．【分析】首先设制作每个乙盒用x m 材料，则制作甲盒用（1+20%）x m 材料，根据乙的数量－甲的数量=2列出分式方程进行求解；根据题意得出n 的取值范围，然后根据l 与n 的关系列出函数解析式，根据函数的增减性求出最小值．【详解】解：（1）设制作每个乙盒用x m 材料，则制作甲盒用（1+20%）x m 材料由题可得：()662120%x x-=+解得x =0.5（m ）经检验x =0.5是原方程的解，所以制作甲盒用0.6m答：制作每个甲盒用0.6m 材料；制作每个乙盒用0.5m 材料（2）由题2(3000)3000n n n ≥-⎧⎨≤⎩∴20003000n ≤≤0.60.5(3000)0.11500l n n n =+-=+∵0.10k =>，∴l 随n 增大而增大，∴当2000n =时， 1700l =最小本题考查了分式方程的应用，函数的性质，根据题意得出相关的等量关系式是解题的关键．21.已知：如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 上的点，且AE=CF ，直线EF 分别交BA 的延长线、DC 的延长线于点G ，H ，交BD 于点O ．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．【正确答案】（1）证明见解析；（2）四边形BEDF是菱形；理由见解析.【详解】试题分析：（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，∠BAE=∠DCF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；（2）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，证出DE=BF，得出四边形BEDF是平行四边形，得出OB=OD，再由等腰三角形的三线合一性质得出EF⊥BD，即可得出四边形BEDF是菱形．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠BAE=∠DCF，在△ABE和△CDF中，{AB CD BAE DCF AE CF=∠=∠=，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）四边形BEDF是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AE=CF，∴DE=BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴OB=OD，∵DG=BG，∴EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．22.如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=16-x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为172m．（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度没有超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【正确答案】（1）抛物线的函数关系式为y=16-x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10m；（2）可以通过，理由见解析（3）两排灯的水平距离最小是．【分析】（1）根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标；（2）根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0）），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就没有能通过；（3）将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值．【详解】解：（1）由题知点17(0,4),3,2B C⎛⎫⎪⎝⎭在抛物线上所以41719326cb c=⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩，解得24 bc=⎧⎨=⎩，∴21246y x x =-++，∴当62bx a=-=时，10y =∴抛物线解析式为21246y x x =-++，拱顶D 到地面OA 的距离为10米；（2）由题知车最外侧与地面OA 的交点为（2，0）（或（10，0））当x =2或x =10时，2263y =>，所以可以通过；（3）令8y =，即212486x x -++=，可得212240x x -+=，解得1266x x =+=-12x x -=答：两排灯的水平距离最小是23.问题提出：用n 根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种没有同的等腰三角形？问题探究：没有妨假设能搭成m 种没有同的等腰三角形，为探究m 与n 之间的关系，我们可以从入手，通过试验、观察、类比，归纳、猜测得出结论．探究一：用3根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的三角形？此时，显然能搭成一种等腰三角形．所以，当n=3时，m=1用4根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的三角形？只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，没有能搭成三角形所以，当n=4时，m=0用5根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的三角形？若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则没有能搭成三角形若分为2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形所以，当n=5时，m=1用6根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的三角形？若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则没有能搭成三角形若分为2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形所以，当n=6时，m=1综上所述，可得表①探究二：用7根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的等腰三角形？（仿照上述探究方法，写出解答过程，并把结果填在表②中）分别用8根、9根、10根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的等腰三角形？（只需把结果填在表②中）你没有妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，……解决问题：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种没有同的等腰三角形？（设n分别等于4k-1、4k、4k+1、4k+2，其中k是整数，把结果填在表③中）问题应用：用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种没有同的等腰三角形？（要求写出解答过程）其中面积的等腰三角形每个腰用了__________________根木棒．（只填结果）【正确答案】n=7，m=2；503个；672．【分析】(1)、根据给出的解题方法得出答案；(2)、根据题意将表格填写完整；应用：(1)、根据题意得出k的值，从而得出三角形的个数；根据三角形的性质得出答案.【详解】试题解析：探究二(1)若分成1根木棒、1根木棒和5根木棒，则没有能搭成三角形若分为2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形若分为3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形(2)所以，当n=7时，m=2问题应用：(1)∵2016=4×504所以k=504，则可以搭成k-1=503个没有同的等腰三角形；(2)672考点：规律题24.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若没有存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若没有存在，请说明理由．【正确答案】（1）258或5；（2）213=1232S t t-++；（3）92；（4）2.88.【详解】试题分析：（1）根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10，①当AP=PO=t，如图1，过P作PM⊥AO，根据相似三角形的性质得到AP=t=258，②当AP=AO=t=5，于是得到结论；（2）作EH⊥AC于H，QM⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G，根据全等三角形的性质得到CE=AP=t，根据相似三角形的性质表示出EH，根据相似三角形的性质表示出QM，FQ，根据图形的面积即可得到结论；（3）根据题意列方程得到t的值，于是得到结论；（4）由角平分线的性质得到DM的长，根据勾股定理得到ON的长，由三角形的面积公式表示出OP，根据勾股定理列方程即可得到结论．试题解析：（1）∵在矩形ABCD中，Ab=6cm，BC=8cm，∴AC=10，①当AP=PO=t，如图1，过P作PM⊥AO，∴AM=12AO=52，∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，∴△APM∽△ADC，∴AP AM AC AD=，。
2023届北京东城区初三一模数学试题及答案
东城区2022—2023学年度第二学期初三年级统一测试（一）数学试卷2023．5一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个1．下列四个几何体中，主视图为三角形的是A B C D2．2023年2月28日，国家统计局发布的《中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报》中报道：2022年全年研究与试验发展（R&D ）经费支出30870亿元，比上年增长10.4%，与国内生产总值之比为2.55%.将数字30870用科学记数法表示应为A ．3.087×104B ．30.87×103C ．0.3087×105D ．3.087×1053．下面四个图案均由北京2022年冬奥会比赛项目图标组成，其中可看作轴对称图形的是A B CD4．若实数a b ，在数轴上的对应点的位置如图所示，则a b +的值可能是A ．–1B ．12-C ．0D ．125．用配方法解一元二次方程2630x x ++=时，将它化为2()x m n +=的形式，则m n -的值为A ．–6B ．–3C ．0D ．26．下图是甲、乙两同学五次数学测试成绩的折线图.比较甲、乙两名同学的成绩，下列说法正确的是A ．甲同学平均分高，成绩波动较小B ．甲同学平均分高，成绩波动较大C ．乙同学平均分高，成绩波动较小D ．乙同学平均分高，成绩波动较大7．如图，∠AOB =40°，按下列步骤作图：①在OA 边上取一点C ，以点O 为圆心、OC 长为半径画 MN，交OB 于点D ，连接CD ；②以点C 为圆心、CO 长为半径画 GH，交OB 于点E ，连接CE ，则∠DCE 的度数为A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°8．如图，动点P 在线段AB 上（不与点A ，B 重合），分别以AB ，AP ，BP 为直径作半圆，记图中所示的阴影部分面积为y ，线段AP 的长为x ．当点P 从点A 移动到点B 时，y 随x 的变化而变化，则表示y 与x 之间关系的图象大致是A BCD二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若分式21x x-的值为0，则实数x 的值为．10．分解因式：2242x x -+=．11．如图，已知△ABC ，用直尺测量△ABC 中BC 边上的高约为cm （结果保留一位小数）．12．已知点)Am ，3,2B n ⎛⎫⎪⎝⎭在一次函数2y x b =+的图象上，则mn （填“＞”“=”或“＜”）．13．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是1，点A ，B ，C 是网格线交点，则△ABC 的外角∠ACD 的度数等于°．14．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，抛掷的结果都是正面朝上的概率是________．15．如图，树AB 在路灯O 的照射下形成树影AC ．已知灯杆PO 高为5m ，树影AC 长为3m ，树AB 与灯杆PO 的水平距离AP 为4.5m ，则树AB 的高度为m ．16．一枚质地均匀的骰子放在棋盘上，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，相对两个面上的点数之和为7．骰子摆放的初始位置如图所示．骰子由初始位置翻滚一次，点数为1的面落在1号格内；再从1号格翻滚一次，点数为5的面落在2号格内；继续这样翻滚……．(1)当骰子翻滚到2号格时，朝上一面的点数为________；(2)依次翻滚6次到6号格，每次翻滚后骰子朝上一面的点数之和为________．三、解答题（本题共68分，第17—21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24—26题，每题6分，第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．1703tan3020231︒-+--．18．解不等式组312,221 1.x x x x -⎧<⎪⎨⎪+-⎩≥19．已知2310x x --=，求代数式2(2)(2)(3)x x x +-+-的值．20．下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.已知：如图，点D ，E 分别是ABC △的边AB ，AC 的中点.求证：DE ∥BC ，且DE =12BC .方法一证明：如图，过点C 作CF ∥AB ，交DE 的延长线于点F ．方法二证明：如图，延长DE 到点F ，使得EF =DE ，连接FC ，DC ，AF ．21．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点（-1,3）．（1）求这个反比例函数的解析式；（2）当1x <-时，对于x 的每一个值，函数y x n =-+的值大于反比例函数(0)ky k x=≠的值，直接写出n 的取值范围．22．如图，在平行四边形ABCD中，BD平分∠ABC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）连接AC交BD于点O，延长BC到点E，在∠DCE的内部作射钱CM，使得∠ECM=15°，过点D作DF⊥CM于点F.若∠ABC=70°，DF=5，求∠ACD的度数及BD的长．23．某校开展了“学习二十大”的知识竞赛（百分制），七、八年级学生参加了本次活动．为了解两个年级的答题情况，该校从每个年级各随机抽取了30名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．七年级成绩的频数分布直方图如下（数据分成五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：b．七年级成绩在80≤x＜90的数据如下（单位：分）：808185858585858585858889c．七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表：年级平均数中位数众数方差七年级80.4m n141.04八年级80.4838486.10根据以上信息，回答下列问题：（1）表中m=,n=；（2）下列推断合理的是；①样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小；②若八年级小明同学的成绩是84分，可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩.（3）竞赛成绩80分及以上记为优秀，该校七年级有600名学生，估计七年级成绩优秀的学生人数.24．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，点D 为»AC 的中点，⊙O 的切线DE 交BA 的延长线于点E ．连接AC ，BC ，CD ．（1）求证：∠E =∠BAC ；（2）若⊙O 的半径长为5，4cos 5E =，求CD 和DE 的长．25．已知乒乓球桌的长度为274cm ，某人从球桌边缘正上方高18cm 处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度为y (单位：cm)与水平距离x (单位：cm)近似满足函数关系21()y a x h k =-+(a <0)．乒乓球的水平距离x 与竖直高度为y 的几组数据如下表所示．根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式；(2)乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度为y 与水平距离x 近似满足函数关系220.005()8y x h =--+．判断乒乓球再次落下时是否落在球桌上，并说明理由．26．已知抛物线22y ax ax =-(a ≠0)．（1）求该抛物线的顶点坐标(用含a 的式子表示)；（2）当a ＞0时，抛物线上有两点（－1，s ），（k ，t ），若s ＞t 时，直接写出k 的取值范围；（3）若A (m －1，y 1)，B (m ，y 2)，C (m ＋3，y 3)都在抛物线上，是否存在实数m ，使得y 1＜y 3＜y 2≤－a恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在BC边上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE．（1）求证：BA平分∠EBC；（2）连接DE交AB于点F，过点C作CG∥AB，交ED的延长线于点G．补全图形，用等式表示线段EF与DG之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），将点P向左(a≥0)或向右（a<0）平移k|a|个单位长度，再向下（b≥0）或向上（b<0）平移k|b|个单位长度（k>0），得到点P'，再将点P关于直线MP’对称得到点Q，称点Q为点P的k倍“对应点”.特别地，当M与P'重合时，点Q为点P关于点M的中心对称点．（1）已知点P(3，0），k＝2．①若点M的坐标为(0，1)，画出点P'，并直接写出点P的2倍“对应点”Q的坐标；②若OM=1，直线y＝x+b上存在点P的2倍“对应点”，直接写出b的取值范围；（2）半径为3的⊙O上有不重合的两点M，P，若半径为1的⊙O上存在点P的k倍“对应点”，直接写出k的取值范围．东城区2022—2023学年度第二学期初三年级统一测试（一）数学参考答案及评分标准2023．5一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号12345678答案C A D B B D B C 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．1210．22(1)x-11．1.812．＜13．13514．1415．216．(1)2(2)21三、解答题（本题共68分，第17—21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24—26题，每题6分，第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解：03tan3020231︒+--+113=⨯-…………4分=．…………5分18．解：312,221 1.x xx x-⎧<⎪⎨⎪+-⎩①≥②由①得-1x＞，…………2分由②得x≥–2．…………….4分所以不等式组的解集是-1x＞．………5分19．解：22)(2)(3)x x x+-+-（=22469x x x-+-+=2265x x-+.…………….3分∵2310x x--=，∴231x x-=.∴2262x x-=.∴原式=22657x x-+=.…………….5分20．解：方法一：证明：∵CF∥AB，∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠F.又∵点E是AC的中点，∴AE=CE.∴△ADE≌△CFE．∴AD=CF，DE=FE．又∵点D是AB的中点，∴AD=BD.∴CF=BD.∴四边形BCFD是平行四边形．∴DF∥BC，DF=BC．∴DE∥BC，且DE＝12BC.…………….5分方法二：证明：∵AE=EC，DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形．∴CF∥DA，且CF=DA．∴CF∥BD，且CF=BD．∴四边形DBCF 是平行四边形.∴DF ∥BC ，且DF =BC ．又∵DE ＝12DF ，∴DE ∥BC ，且DE =12BC ．…………….5分21．解：（1）∵反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点（-1,3），∴31k=-．∴3k =-．∴反比例函数的解析式为3y x=-．……………………………3分（2）n ≥2．.………………………………………………5分22．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ．∴∠ADB =∠CBD ．又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD ．∴∠ADB =∠ABD ．∴AB =AD ．∴四边形ABCD 是菱形．……………………………3分（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB //CD ，∠DOC ＝90°，BD =2DO ．∴∠DCE ＝∠ABC ＝70°．∵∠ECM ＝15°,∴∠DCM ＝55°．∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BCD ＝110°．∴∠ACD ＝12∠ACD ＝55°．∴∠ACD ＝∠DCM .又∵DF ⊥CM ，∴DO =DF =5．∴BD ＝2DO ＝25．……………………6分23．解：（1）83，85.……………………2分（2）①②.……………………4分（3）176034030⨯=（人）．答：估计七年级成绩优秀的学生人数为340人……………………5分24．（1）证明：如图，连接OD 交AC 于点F ，连接OC ．∵DE 是⊙O 的切线，∴OD ⊥DE ．∴∠ODE =90°．∵点D 为AC 的中点，∴AD CD=．∴∠AOD =∠COD ．∵AO =CO ，∴OF ⊥AC ．∴∠OFA =90°=∠ODE ．∴DE ∥AC ．∴∠E =∠BAC ．……………………3分（2）解：∵∠E =∠BAC ，∴cos ∠BAC =4cos 5E =.在Rt △AOF 中，cos ∠BAC 45AF OA ==，OA=5，∴AF =4，OF =3.∴DF =2.∵OF ⊥AC ，∴CF =AF =4.在Rt △CDF 中，由勾股定理得CD =在Rt △ODE 中，4cos 5E =，∴3tan 4OD E DE ==.∴DE =203.……………………6分25．解：(1)50..….……………………………1分根据表格数据，将（0，18）和（80，50）代入函数关系式21()y a x h k =-+，解得a ＝–0.005．∴二次函数的关系式为20.005(80)50y x =--+．.….……………………………3分(2)乒乓球仍落在球桌上．理由如下：令y =0，则x =180．∴OB =180．令y =42,则x =80±40．∴BC =DE =80．∴OC =OB +BC =260．∵260<274，∴乒乓球仍落在球桌上．….……………………………6分26．解：（1）22y ax ax=-＝2(211)a x x -+-＝2(1)a x a --.∴抛物线的顶点坐标为(1，–a ).………………………………2分（2）－1＜k ＜3.………………………………4分（3）∵y 1＜y 3＜y 2≤－a ，且顶点坐标为(1，–a ),∴抛物线开口向下．∴a ＜0.点A (m －1，y 1)，C (m ＋3，y 3)关于直线x ＝1对称的点的坐标分别为A ′(3–m ，y 1)，C ′(–1–m ，y 3)．∵m -1<m <m +3，y 1＜y 3＜y 2，∴点A ，B ，C 不可能在对称轴的同侧．∴点A 在对称轴左侧，点C 在对称轴右侧．当点B 在对称轴左侧或在对称轴上时，可得1111m m m m m >--⎧⎪-->-⎨⎪≤⎩，解得12-<m <0．当点B 在对称轴右侧时，可得1333m m m m m >⎧⎪+<-⎨⎪<-⎩，此时不等式组无解．综上所述，m 的取值范围为12-<m <0．………………………………6分27．（1）证明：∵将线段AD 顺时针旋转α得到线段AE ，∴∠EAD =α，AD =AE ．∵∠BAC ＝α，∴∠BAC=∠EAD ．∴∠BAC －∠BAD=∠EAD －∠BAD ，即∠DAC=∠EAB ，在△ACD 和△ABE 中，,,.AC AC DAC EAB AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△ABE （SAS ）．∴∠ABE ＝∠C ．∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ．∴∠ABE ＝∠ABC ．∴BA 平分∠EBC ．………………………………3分（2）解：补全图形如图，EF =CG ．理由如下：在AB 上取一点M ，使得BM ＝CG ，连接EM ．∵CG ∥AB ，∴∠ABC ＝∠DCG ，∠BFG ＝∠CGD ．∴∠EBM ＝∠DCG ．由（1）知△ACD ≌△ABE ，∴EB ＝CD ．在△EBM 和△DCG 中,,,EB DC EBM DCG BM CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EBM ≌△DCG (SAS )．∴EM ＝DG ，∠EMB ＝∠DGC ．∵∠EMB ＋∠EMF ＝180°，∠EFM ＋∠DFM ＝180°，∴∠EMF ＝∠EFM ．∴EM ＝EF ．∴EF ＝DG ．………………………………7分28．解：（1P '，–2)；点Q 坐标为（1，–2）.…………………3分②1--≤b ≤1-.………………………………5分（2）12≤k ≤2.………………………………7分。
东城区2022届初三一模数学试题及答案
东城区2021-2022学年度第二学期初三年级统一测试（一）数 学 试 卷2022.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个。
1．下列立体图形中，主视图是圆的是A B C D2．国家统计局发布2021年国内生产总值达到1140000亿元，比上年增长8.1%．将1140000用科学记数法表示应为 A ．411410⨯B ．511.410⨯C ．61.1410⨯D ．51.1410⨯3．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=40°时，∠1的度数为A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°4．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”．将右图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为轴对称图形的是A B C D 5．五边形的内角和是 A ．360°B ．540°C ．720°D ．1080°6．实数,a b 在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是A ．a b >B ．a b -<C ．a b <D ．0a b +<7．某班甲、乙、丙三位同学5次数学成绩及班级平均分的折线统计图如下，则下列判断错误．．的是A ．甲的数学成绩高于班级平均分B ．乙的数学成绩在班级平均分附近波动C ．丙的数学成绩逐次提高D ．甲、乙、丙三人中，甲的数学成绩最不稳定8．将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度(cm)h 与注水时间(s)t 的函数图象大致是二、填空题（本题共16分，每小题2分）9x 的取值范围是___________． 10．分解因式：2222x y -=___________． 11．方程223x x=-的解为___________． 12．写出一个大于1且小于2的无理数___________．13．北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”广受大家的喜爱。
2022年广东省东莞市东城一中、东城实验学校联考中考数学一模试题及答案解析
2022年广东省东莞市东城一中、东城实验学校联考中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列实数中，最大的数是( )A. |−4|B. √15C. πD. 1132. 2021年上半年广东各市GDP已经出炉，深圳以14324.47亿的总量继续保持榜首位置．14324.47亿可以用科学记数法表示为( )A. 14.32447×1011B. 1.4×1012C. 1.432447×1012D. 0.1432447×10133. 如图所示的圆锥的主视图是( )A.B.C.D.4. 九(1)班45名同学一周课外阅读时间统计如表所示，那么该班45名同学一周课外阅读时间的众数、中位数分别是( )人数(人)519156时间(小时)67910A. 7，7B. 19，8C. 10，7D. 7，85. 如图，在六边形ABCDEF中，若∠1+∠2+∠3=140°，则∠4+∠5+∠6=( )A. 200°B. 40°C. 160°D. 220°6. 若√a+1+b2−4b+4=0，则a−b的值为( )A. 3B. −3C. 1D. −17. 将抛物线y=−2x2+1向右平移1个单位，再向下平移2个单位后所得到的抛物线为( )A. y=−2(x+1)2−1B. y=−2(x−1)2+3C. y=−2(x−1)2−1D. y=−2(x+1)2+38. 已知关于x的一元二次方程(k−1)x2−2x+1=0无实数根，则k的取值范围是( )A. k≥−2B. k>2C. k<2且k≠1D. k>2且k≠19. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BCD=80°，AB=AD，且∠ADC=110°，若点E 为BC⏜的中点，连接AE，则∠BAE的大小是( )A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°10. 观察规律11×2=1−12,12×3=12−13,13×4=13−14，…，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点P n(n,0)(n=1、2、…)作x轴的垂线，交y=ax2(a>0)的图象于点A n，交直线y=−ax于点B n.则1A1B1+1A2B2+⋯+1A nB n的值为( )A. na(n−1)B. 2a(n−1) C. 2an(n+1) D. na(n+1)二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11. (−ab 4)3=______．12. 若一个角的余角是25°，那么这个角的度数是______．13. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，cosA =13，AC =2，那么BC = ______ ． 14. 圆锥的母线长为2，底面圆的周长为5，则该圆锥的侧面积为______ ． 15. 以4，−1为两根的一元二次方程的一般式是______． 16. 若x +1x =2，则3x2+x+3x的值是 ．17. 在正方形ABCD 中，点O 、点G 分别是BD ，BF 形的中点，DE =2AE ，有下列结论：①△EOD ≌△FOB ；②S △EFC =S △BOF ；③BE 2=BO ⋅BD ；④4S △BDE =4S △BOG ；其中正确的结论是______.(填写序号)三、解答题（本大题共8小题，共62.0分。
北京东城区初三一模数学试题目答案共5页文档
北京市东城区2019--2019学年第二学期初三综合练习（一）数学试卷参考答案一、选择题（本题共32分，每小题4分）题 号1 2 3 45 6 7 8 答 案A C A C BDBB二、填空题（本题共16分，每小题4分）题 号9 10 1112 答 案x ≠5b (a -1)2（1,0），（3,0）或 （0,3），（4,3）等938，0 1)332(-n ，0三、解答题：（本题共30分，每小题5分） 13．（本小题满分5分）解:084sin 45(3)4-︒+-π+-=22422⨯-+1+4 ………………………………………4分 =5． …………………………………… 5分14．（本小题满分5分） 解：由①得：x ≤2. --------1分 由②得：x-3＞-4,x ＞-1. --------2分∴原不等式组的解集为 -1＜x ≤2. --------3分 ∴原不等式组的整数解为 0,1,2. --------5分 15．（本小题满分5分）=x x x x x x x 1]12)1)(1(3[2-⨯--+---------2分=12+-x x . --------3分 当13-=x 时，3133312-=-=+-x x .--------5分 16．（本小题满分5分）证明：∵AC 是∠DAE 的平分线， ∴∠1=∠2. -------1分 又∵AD ∥EC ，∴∠2=∠3. ------2分 ∴∠1=∠3.∴AE=CE. --------3分-121ABCD E231在△ABE 和△CBE 中， AE=CE ， ∠AEB=∠CEB ， BE=BE ，∴△ABE ≌△CBE. --------4分 ∴AB=CB. ------5分17．（本小题满分5分）解：设小明家2月份用气x 立方米，则去年12月份用气(x +10) 立方米．-------1分 根据题意，得%251096109690⨯+=+-x x x ． ----------------3分 解这个方程，得x ＝30． ---------------4分 经检验，x ＝30是所列方程的根．答：小明家2月份用气30立方米． -----------------5分 18．（本小题满分5分） 证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠B=∠D.又Q AE ⊥BC ，AF ⊥CD ， ∴∠AEB=∠AFD.∴∠BAE=∠DAF.---------2分 （2）在Rt △ABE 中，sin ∠BAE=53，AE=4,可求 AB=5. ---------3分 又∵∠BAE=∠DAF ， ∴ sin ∠DAF=sin ∠BAE=53. 在Rt △ADF 中，AF=524, sin ∠DAF =53,可求DF=518-------4分 ∵ CD=AB=5. ∴CF=5-518=57． …………………………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19.（本小题满分5分）解：（1）0.6；36；------------2分 （2）72°；补全图如下：ABCDEF60%比较了解20%非常了解基本了解不太了解2%18%------------4分（3）1500×0.6＝900.答：学生中“比较了解”的人数约为900人 ------------5分 20.（本小题满分5分）（1）证明：在⊙O 中，OD ⊥AB ，CB ⊥AB ，∴AM ＝MB ，OD ∥BC . …………………1分 ∴AD ＝DC . ……………2分 （2）∵DE 为⊙O 切线， ∴OD ⊥DE ……………3分 ∴四边形MBED 为矩形.∴DE ∥AB. ……………4分 ∴MB=DE =2，M D=BE ＝EC =1. 连接OB.在R t △OBM 中，OB 2=OM 2+BM 2.解得 OB=25. …………………5分 21．（本小题满分5分）解：（1）∵点A (1,6),B (a ,3)在反比例函数y =xk 2的图象上， ∴ k 2=1×6=6. --------1分 ∴ a ×3=6，a =2. ∴B (2，3).由点A (1,6),B (2,3)也在直线y=k 1x+b 上，得⎩⎨⎧=+=+,32,611b k b k解得k 1=-3.∴k 1=-3， k 2=6. -----------------2分 (2) 设点P 的坐标为（m,n ）. 依题意，得21×3（m +2+m -2）=18，m =6. -----------------3分 ∴ C （6,3），E （6,0）. ∵ 点P 在反比例函数y =x6的图象上， ∴ n =1. ------------------4分 ∴PE ：PC =1：2 . ------------------5分 22．（本小题满分5分）C DxyOEPA BMOA BCDE解： （1）设AD =x ，由题意得，BG=x －2，CG=x-3. 在Rt △BCG 中，由勾股定理可得 222(2)(3)5x x -+-=. 解得 6x =. --------------2分（2）参考小萍的做法得到四边形AEGF ，∠EAF=60°，∠EGF=120°，∠AEG=∠AFG= 90°，AE=AF=AD=4. 连结EF ，可得 △AEF 为等边三角形. ∴ EF=4.∴ ∠FEG=∠EFG= 30°. ∴ EG=FG.在△EFG 中，可求，433EG =. ∴△EFG 的周长＝BG+CG+BC=BG+CG+EB+FC=2EG=833. --------------5分 五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（本小题满分7分）解： 由方程(m -1)x 2-(2m -1)x +2+x m =0可得 ∵21,x x 均为正整数，m 也是整数，∴m =2. ----------3分 （2）由（1）知x 2-3x +2+x2=0. ∴x 2-3x +2= -x2. 画出函数y = x 2-3x +2，y = -x2的图象，---------6分 由图象可知，两个函数图象的交点个数是1. ---------7分24. （本小题满分7分）（1）△EPF 为等边三角形. --------------1分 （2）设BP=x ，则CP ＝6－x.由题意可 △BEP 的面积为238x . △CFP 的面积为23(6)2x -. △ABC 的面积为93.设四边形AEPF 的面积为y.自变量x 的取值范围为3＜x ＜6. --------------4分 （3）可证△EBP ∽△PCF.设BP=x ，则 (6)8x x -=.解得 124,2x x ==.∴ PE 的长为4或23. --------------7分Oxy GF ED CBA25．（本小题满分8分）解：（1）依题意，可知 C(0,8),则B(4,0) 将A(-2,0)，B(4，0)代入 y=ax 2+bx +8，⎩⎨⎧=++=+-.08416,0824b a b a 解得⎩⎨⎧=-=.2,1b a 配方得y2(1)9x =--+，顶点D （1,9）. ---------3分 （2）假设满足条件的点P 存在，依题意设(2)P t ，， 由(08)(19)C D ，，，求得直线CD 的解析式为8y x =+， 它与x 轴的夹角为45o． 过点P 作PN ⊥y 轴于点N.依题意知，∠NPO=30°或∠NPO=60°. ∵PN=2，∴ON=332或23． ∴存在满足条件的点P ，P 的坐标为（2，332 ）和(2，23)．-----------6分 （3）由上求得(80)(412)E F -，，，．当抛物线向上平移时，可设解析式为228(0)y x x m m =-+++>． 当8x =-时，72y m =-+． 当4x =时，y m =．720m ∴-+≤或12m ≤．由题意可得m 的范围为072m ∴<≤．∴ 抛物线最多可向上平移72个单位． -----------8分FP 2M 2N 2P 1N 1M 1HABOxy CD11E。
东城区初三数学习题
东城区初三数学习题篇一：2022北京市东城初三数学一模试题含答案北京市东城区2022—2022学年第二学期统一练习（一）初三数学2022.5学校班级姓名考号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．．．1．数据显示，2022年全国新建、改扩建校舍约为51 660 000平方米，全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件工作取得明显成果.将数据51 660 000用科学记数发表示应为A．5.166?107B．5.166?108 2．下列运算中，正确的是A．x·x3=x3 B．(x2)3=x5 C．x?x?x D．(x-y)2=x2+y2 3．有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，5，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是 A．624C．51.66?106 D． 0.5166?1081234B．C． D． 55554．甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是13.2秒，方差如下表所示则这四人中发挥最稳定的是5. 如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=A．52°B．38° C．42° D．62°6．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和B的点C，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接BC 并延长至E，使CE =CB，连接ED. 若量出DE=58米，则A，B间的距离为A．29米C．60米B． 58米 D．116米7．在平面直角坐标系中，将点A（-1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是A．（-4，-2） B．（2，2）C．（-2，2） D．（2，-2） 8. 对式子2a?4a?1进行配方变形，正确的是A．2(a?1)2?3C．2(a?1)2?1B． (a?1)?223 2 D．2(a?1)2?39. 为了举行班级晚会，小张同学准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品. 已知乒乓球每个1.5元，球拍每个25元，如果购买金额不超过．．．200元，且买的球拍尽可能多，那么小张同学应该买的球拍的个数是A．5 B．6C．7 D．810. 如图，点A的坐标为（0,1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y 与x的函数关系的图象大致是二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：ab?ac221经过第一、三、四象限；○2与y轴的交点坐标为12．请你写出一个一次函数，满足条件：○（0，-1）. 此一次函数的解析式可以是．13. 已知一个正多边形的每个外角都等于72°，则这个正多边形的边数是14. 为了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午 7：00至9：00来往车辆的车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图．这些车速的众数是．15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己 2的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？” 3 设甲持钱为x，乙持钱为y，可列方程组为． 16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：甲、乙、丙、丁四位同学的主要作法如下：三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：tan60??12?1)0?()?1.22x?2)≤3(x?1),?（?18. 解不等式组?xx?1 并把它的解集表示在数轴上.＜,?4?319．已知x2?x?3?0，求代数式（x+1）2﹣x（2x+1）的值．20．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠BAC=40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）. 21．列方程或方程组解应用题：在“春节”前夕，某花店用13 000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快销售一空．根据市场需求情况，该花店又用6 000元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的每盒的进价是多少元？1，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花222．如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．23．在平面直角坐标系xOy中，直线y=k1x+b与与x轴交于点B，与y轴交于点C，与反比例函数y?k2的图象在第一象限交于点A（3,1），连接OA. x（1）求反比例函数y?k2的解析式； x（2）若S△AOB:S△BOC = 1:2，求直线y=k1x+b的解析式.24. 某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当n＜3时，为“偏少”；当3≤n＜5时，为“一般”；当5≤n＜8时，为“良好”；当n≥8时，为“优秀”．将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表：请根据以上信息回答下列问题：（1）求出本次随机抽取的学生总人数；（2）分别求出统计表中的x，y的值；（3）估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数.25. 如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线．（2）若PB=3，DB=4，求DE的长．26. 在课外活动中，我们要研究一种四边形——筝形的性质. 定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形（如图1）.小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究. 下面是小聪的探究过程，请补充完整：篇二：2022.1东城区第一学期期末初三数学试题及答案东城区2022—2022学年第一学期期末初三数学统一检测试题一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．已知sinA?1，则锐角A的度数是2A．30? B．45?C．60? D．75?2．下列安全标志图中，是中心对称图形的是A BC D3．以下事件为必然事件的是A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是0B．多边形的内角和是360?C．二次函数的图象必过原点D．半径为2的圆的周长是4π4．将二次函数y?x的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是A.y?(x?1)?2B.y?(x?1)?2C.y?(x?1)?2D.y?(x?1)?25．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD 等于A.120°B. 140°C.150°D.160°第5题图第6题图6．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接EC交对角线BD于点F，则S△DEF：S△BCF等于 A. 1：2B．1：4C．1：9 D．4：97．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y?cx?比例函数y?22222b与反2aab在同一坐标系内的图象大致是x 18．如图，边长为4的正方形ABCD的边BC与直角边分别是2和4的Rt?GEF的边GF重合,正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动.设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD与Rt?GEF重叠部分的面积为S，则S关于t 的函数图象为二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．已知反比例函数y?k(k是常数，且k?0)的图象在第二、四象限，请写出一个符合条件的反比例函x数表达式．AB交AC于点D，10．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△ABC，若∠ADC=90°，则∠A= 度．A第10题图第11题图11．如图，反比例函数y?6在第一象限的图象上有两点A，B，它们的横坐标分别是2，6，则△AOBx的面积是 .12．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B,O分别落在点B1,C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，4），则2点B4的坐标为 ,点B2022的坐标为．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：2sin45?30??cos60???3. 214．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过的区域的面积．15．已知二次函数y?x2?6x?8.（1）将y?x2?6x?8化成y?a(x?h)2?k的形式；（2）当0≤x≤4时，y的最小值是，最大值是；（3）当y＜0时，写出x的取值范围.16．如图，AB是半圆O的直径，点P（不与点A,B重合）为半圆上一点．将图形沿BP折叠，分别得到点A，O的对称点A，O．设∠ABP =α．（1）当α=10°时，?ABA?°；（2）当点O落在PB上时，求出?的度数．17．如图，在△ABC中，AB=AC=8,BC=6,点D为BC上一点，BD=2.过点D作射线DE交AC于点E，使3 第16题图第17题图∠ADE=∠B. 求线段EC的长度。
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东城区2021—2022学年度第二学期初三年级统一测试（一）数学试卷2022．5一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个1．下列立体图形中，主视图是圆的是A B C D2．国家统计局发布2021年国内生产总值达到1140000亿元，比上年增长8.1%．将1140000用科学记数法表示应为A．114×104 B．11.4×105 C．1.14×106 D．1.14×1053．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝40°时，∠1的度数为A．30°B．40°C．50°D．60°4．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”．将右图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为轴对称图形的是A B C D5．五边形的内角和是A．360°B．540°C．720°D．1080°6．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是A．a＞b B．–a＜b C．|a|＜|b| D．a＋b＜07．某班甲、乙、丙三位同学5次数学成绩及班级平均分的折线统计图如下，则下列判断错误．．的是A．甲的数学成绩高于班级平均分B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动C．丙的数学成绩逐次提高D．甲、乙、丙三人中，甲的数学成绩最不稳定8．将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器的底面中央，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h(cm)与注水时间t(s)的函数图象大致是A BC D二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若2-x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____．10．分解因式：2222x y-=．11．方程233=-x x的解为．12．写出一个大于1且小于2的无理数．13．北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容绒”广受大家的喜爱．即将在2022年9月举行的杭州亚运会的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”也引起大家的关注．现五张正面分别印有以上5个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上并洗匀，随机翻开一张正好是“冰墩墩”的概率是 ．14．如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的三点．若∠AOC ＝90°，∠BAC ＝30°，则∠AOB 的度数为 ．15．已知32=-x x ，则代数式(1)(1)(2)x x x x +-+-＝ ．16．我国古代天文学和数学著作《周牌算经》中提到：一年有二十四个节气，每个节气的晷（gui ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气如图所示．从冬至到夏至晷长逐渐变小，从夏至到冬至晷长逐渐变大，相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，周而复始．若冬至的晷长为13.5尺，夏至的晷长为1.5尺，则相邻两个节气晷长减少或增加的量为 尺，立夏的晷长为 尺．晷 二十四节气三、解答题（本题共68分，第17—21题，每小题5分，第22—23题，每小题6分，第24题5分，第25—26题，每小题6分，第27—28题，每小题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 170122sin6020223︒---．18．解不等式组31,22(1) 1.x x x -⎧<⎪⎨⎪+≥-⎩19．已知：线段AB ．求作：Rt △ABC ，使得∠BAC ＝90°，∠C ＝30°．AB作法：①分别以点A 和点B 为圆心，AB 长为半径作弧，两弧交于点D ； ②连接BD ，在BD 的延长线上截取DC ＝BD ； ③连接AC ．则△ABC 为所求作的三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；AB（2）完成下面的证明． 证明：连接AD ．∵AB ＝AD ＝BD ，∴△ABD 为等边三角形（ ）．（填推理的依据） ∴∠B ＝∠ADB ＝60°． ∵CD ＝BD ， ∴AD ＝CD ．∴∠DAC ＝ ．（ ）．（填推理的依据） ∴∠ADB ＝∠C ＋∠DAC ＝60°． ∴∠C ＝30°． 在△ABC 中， ∠BAC ＝180°–（∠B ＋∠C ）＝90°． 20．已知关于x 的一元二次方程2220x x k -+-=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且方程的两个根均为整数，求k 的值及方程的两个根．21．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数2y x =-的图象与x 轴交于点A ，与反比例函数(0)ky k x =≠的图象交于点(3,)B m ，点P 为反比例函数(0)ky k x=≠的图象上一点．（1）求m ，k 的值； （2）连接OP ，AP ．当2OAPS =时，求P 点坐标．22．如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，且AO ＝CO ，点E 在BD 上，满足∠EAO ＝∠DCO ． （1）求证：四边形AECD 是平行四边形； （2）若AB ＝BC ，CD ＝5，AC ＝8，tan ∠ABD ＝23，求BE 的长． D23．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，过B 作⊙O 的切线交OD 的延长线于点F ． （1）求证：∠A ＝∠BOF ；（2）若AB ＝4，DF ＝1，求AE 的长．FC AB24．2022年是中国共产主义青年团建团100周年．某校举办了一次关于共青团知识的竞赛，七、八年级各有300名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩进行调查分析．下面给出了部分信息：a .七年级学生的成绩整理如下（单位：分）：57 67 69 75 75 75 77 77 78 78 80 80 80 80 86 86 88 88 89 96 b.八年级成绩的频数分布直方图如下（数据分成四组：60≤x ＜70，70≤x ＜80，80≤x ＜90，90≤x ≤100）：频数期中成绩在80≤x＜90的数据如下（单位：分）：80 80 81 82 83 84 85 86 87 89c. 两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：根据所给信息，解答下列问题：（1）m= ，n= ；（2）估计年级学生的成绩高于平均分的人数更多；（3）若成绩达到80分及以上为优秀，估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数．25．某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．下面是小红的探究过程，请补充完整：(1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表．(2) 在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；yx12312345O(3) 结合表格数据和函数图象，解决问题： ①桥墩露出水面的高度AE 为 米；②现公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面 高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C 、D 两处设 置警戒线，并且CE ＝DF ，要求游船能从C ，D 两点之间安全通过． 则C 距桥墩的距离CE 至少为 米．（精确到0.1米）26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m =-++与y 轴交于点A ．点11(,)B x y 是抛物线上的任意一点，且不与点A 重合，直线(0)y kx b k =+≠经过A ，B 两点． （1）求抛物线的顶点坐标（用含m 的式子表示）；（2）若点C (m –2，a )，D (m ＋2，b )在抛物线上，则a b （用“＜”，“=”，或“＞”填空）； （3）若对于13x <-时，总有0k <，求m 的取值范围．27．如图，在正方形ABCD 中，E 为对角线AC 上一点(AE ＞CE )，连接BE 、DE ． （1）求证：BE ＝DE ；（2）过点E 作EF ⊥AC 交BC 于点F ，延长BC 至点G 使CG ＝BF ，连接DG ．①依题意补全图形；②用等式表示BE 与DG 之间的数量关系，并证明．B C 28．对于平面直角坐标系xOy中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A、B两点，使△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90°，我们则称点C为图形G的“友好点”．（1）已知点O(0，0)，M(4，0) ，在点C1(0，4)，C2(1，4)，C3(2，–1)中，线段OM的“友好点”是；（2）直线y=–x+b分别交x轴、y轴于P、Q两点，若点C(2，1)为线段PQ的“友好点”，求b的取值范围；（3）已知直线y=x＋d(d>0)分别交x轴、y轴于E、F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的⊙O的“友好点”，直接写出d的取值范围．东城区2021—2022学年度第二学期初三年级统一测试（一） 数学参考答案及评分标准 2022．5二、选择题（本题共16分，每小题2分）9．2x ≥ 10．2()()x yx y -+ 11．9x = 12(答案不唯一)13．1514．30° 15．5 16．1；4.5三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-23题，每小题6分，第24题5分，第25-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 1702sin602022︒--1=分1=．…………5分18．解：31,22(1) 1.x x x -⎧<⎪⎨⎪+≥-⎩①②由①得 5x ＜，…………2分由②得x ≥–3．…………….4分所以不等式组的解集是–35x ≤＜．………5分19．解：(1)略 (2)分(2)三条边相等的三角形是等边三角形；∠C ; 等边对等角 …………….5分 20．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴0.∆>∴44(2)1240k k ∆=--=->．∴3k <． …………2分（2）∵k 是正整数且k ＜3，∴k ＝1或2．当k =1时，原方程可化为2210x x --=，解得1x =±． 当k =2时，原方程可化为220x x -=，解得：120,2x x ==．∴k ＝2，方程的两个根为120,2x x ==…………….5分21．（1）∵一次函数2y x =-的图象过点(3,)B m ， ∴1m =． ∴(3,1)B ．∵反比例函数(0)ky k x=≠的图象过点(3,1)B ，∴3k =．.……………………………………………………２分 （2）由题意可知，(2,0)A ，OA =2．∵1||2OAPP SOA y =⋅， ∴当2OAP S ∆=时，=2P y ±． ∴P 点的坐标为3(,2)2 或3(,2)2--.………………………………………………5分 22．（1）证明：在△AOE 和△COD 中，,,,EAO DCO AO CO AOE COD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩23．（1）证明：∵AB ＝AD ，∴∠ABC=∠C ． ∵ OB=OD ，∴∠ABC =∠ODB ． ∴∠C=∠ODB ． ∴OD ∥AC ．∴∠A ＝∠BOF ．.……………………………………3分（2）连结BE ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB =90°．∵BF 是⊙O 的切线，∴∠OBF =90°．∴∠AEB =∠OBF =90°．∵ ∠A =∠BOF ，∴△AEB ∽△OBF .∴AE AB OB OF=． ∵AB ＝4，DF ＝1，∴OB ＝2，OF ＝OD ＋DF ＝3．∴AE ＝83．……………………………………………………6分24．解：（1）80，80．………………………………2分（2）八．………………………………3分（3）1011+300=3152020⨯（）（人）．………………………………5分 25．解：（1）d ，h ．………………………………1分（2）图略．………………………………3分（3）①0.88；②0.7．………………………………6分26．解：（1）∵222211y x mx m x m =-++=-+（）， ∴抛物线的顶点坐标为(,1)m ． ………………………………２分（2）=．……………………………………………………3分（3）①当0m >时，点A 、B 都在对称轴x m =的左侧，且抛物线开口向上，∴y 随x 的增大而减小.∵130x <-<,∴1A y y >，即0k <.②当m ＝0时，A 为抛物线顶点，B 在对称轴左侧，∴1A y y >，即k ＜0．③当0m <时，点A 在对称轴x m =的右侧，∵点A 关于对称轴x m =的对称点的横坐标为2m ，且抛物线开口向上， ∴当12x m <时，都有1A y y >，即0k <．又∵13x <-时，都有0k <，∴23m ≥-，即m ≥32-． 综上所述，32m ≥-．………………………………6分 27．(1)证明：在正方形ABCD 中， BC =DC ，∠BCE =∠DCE =45°，在△BCE 和△DCE 中，,,,BC DC BCE DCE EC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCE ≌△DCE （SAS ）．∴BE =DE ．……………………………………………………2分（2）①补全图形如图：B ………………………………3分证明：连接EG ．,,,EF EC EFB ECG BF GC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EFB ≌△ECG （SAS ）.∴BE ＝GE ，∠BEF ＝∠GEC ．由(1)可知，BE ＝DE ，∠BEC ＝∠DEC ，∴DE ＝GE ，∠DEG ＝∠FEC ＝90°．28．解：（1）C 1，C 3．………………………………2分（2）b ≥1且b ≠3．………………………………5分。