齐次线性方程组有解的条件
齐次线性方程组有非零解的条件
齐次线性方程组有非零解的条件
齐次线性方程组有非零解的条件是：
利用全选主元高斯消去法求解Ax=b(A是n阶矩阵，b是列向量)，当A
的行列式det A != 0时，齐次线性方程组Ax = b才有非零解。
如果
满足这个条件，则齐次线性方程组Ax = b就有非零解。
具体来说，首先要明确的是，只有行列式det A 不等于0的矩阵A，才能用高斯消去法求出非零解。
如果行列式 det A 等于 0，那么A
就不可逆，齐次线性方程组将一直没有解。
因此，为了使齐次线性方
程组有非零解，必须确保行列式det A != 0。
除了行列式det A 的条件外，齐次线性方程组有非零解还要满足
另一个条件，即矩阵A 和列向量b的维数必须相同，即n=m（m为列向
量b的维数，n为A的阶数）。
另外，要求各个方程的右边的b的分量
都不全为0。
从上面的分析可知，齐次线性方程组有非零解的条件是：
（1）行列式det A 不等于0；
（2）矩阵A和列向量b的维数必须相同，即n=m；
（3）各个方程的右边的b的分量都不全为0。
此外，还要确保齐次线性方程组的系数矩阵A在最终得到非零解后，它能满足A×x=b。
如果不满足，那么齐次线性方程组就无法求出
非零解。
而如果满足，那么就可以用全选主元高斯消去法求出非零解，从而解决齐次线性方程组 Ax = b 的有非零解问题。
3.4 线性方程组解的结构
2 7
3 7
即得基础解系
1
57 1
,
2
47 0
,
0
1
并由此得到通解
x1 2 7 3 7
x2 x3 x4
c1
57 1 0
c2
47 0 1
,
(c1
,
c2
R).
例2 解线性方程组
x1 x2 x3 4 x4 3 x5 0
2
x1 x1
x2 x2
(1)
x1 2 x1
2 x2 4 x2
4 x3 8 x3
x4 x4
0 0
3 x1 6 x2 2 x3
0
1 2 4 1
解：
A
2 3
4 6
8 2
1 0
1 2 4 1
1
2
0
1 5
初等行变换
0 0
0 0
10 0
3 0
0 0
0 0
1 0
3
10
0
行最简形矩阵对应的方程组为
对应的齐次线性方程组 Ax 0 的解。
3. 解的结构 若 Amn xn1 bm1 (1) 有解，则其通解为 x * 其中 * 是（1）的一个特解，
是（1）对应的齐次线性方程组 Ax 0 的通解。
分析: 1. 证明 x * 是解； 2. 任一解都可以写成 x * 的形式。
例1 : 求解非齐次方程组 x1 5 x2 x3 x4 1
x1 2 x2 x3 3 x4 3 x1 8 x2 x3 x4
3 1
x1 9 x2 3 x3 7 x4 7
解：
1 5 1 1 1
(
A,
b)
1
齐次线性方程组有非零解的充要条件
齐次线性方程组有非零解的充要条件
1 齐次线性方程组
齐次线性方程组(homogeneous linear equations groups)，简称
齐次方程组，是数学中比较常见的方程组，也是线性代数研究的重要
组成部分。
它的特点是系数矩阵中的每个非零项都是乘以通根式实数λ，而解向量X也是以同样的自由变量λ乘以通根式常数系数B形成的，可以用来描述特殊型线性代数方程组，它的形式为Ax=0，其中A
是系数矩阵，X是未知数组成的列向量，0是零列向量。
2 充要条件
一般而言，齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵A的
行列式为0。
行列式是一个数学符号，用来表示一个n阶方阵的值，它反映了方阵A的行之间、列之间的相互关系。
这一条件的意义为，当
行列式为0时，齐次线性方程组有解；不等于0时，此方程组无解。
证明这一结论需要拉格朗日求解定理，把齐次方程转化为一维函数
f(λ)，计算f(λ)的临界点，发现临界点处连续可导，且f(λ)根为0，则证明方程组有解。
除了行列式为0作为齐次线性方程组有非零解的充要条件外，还
有加等式或秩等式缩减法。
加等式采用的基本原理是：使用A的行与A 的列的等式来把Ax=0的系数矩阵A的某些行或某些列缩减成只有一个
非零项，此行此列只有一个非零项时，相应的解是aik=0，其余解皆为非零数。
以上就是齐次线性方程组有非零解时的充要条件了。
完美的齐次线性方程组有非零解，非完美的齐次线性方程组就必须使用技巧才能解出有效解了。
齐次线性方程组
0
0
1
,
,
0 .
0
1
分别
代入
x1 b11 xr1 b1,nr xn
xr
br1 xr1
br ,nr xn
依次得x1 Fra bibliotekb11
,
b12
,
,
b1 ,n r
.
xr br1 br 2
br
,n r
从而求得原方程组的 n r 个解：
b11
Ax 0只 有 零 解 A 0; Ax 0有 非 零 解 A 0.
证 （1）Ax 0只 有 零 解 V 0 dimV n r( A) 0
n r( A).
Ax 0有 非 零 解 V 0 dimV n r( A) 0
n r( A).
当m n时 ， 必 有r( A) minm, n m n,此 时Ax 0必 有
br 1
1 1 ,
0
解 系 ， 证 明 ：1 2 3 , 2 1 32 23 , 3 21
一
2
定
是Ax
0的
基
础
解
系.
证 根 据 已 知 条 件 可 以 写 出矩 阵 等 式 ：
1 1 2
（1， 2， 3）（1，2，3）1 3 1，
0 2 0 记 为B A.因 为 表 出 矩 阵 的 行 列 式
112 P 1 3 1 2 0，
是Ax
0
的基础解系。证毕。
２.齐次线性方程组的通解的求法
设齐次线性方程组的系数矩阵为 A ，并不妨 设A的前 r 个列向量线性无关．于是 A通过初等变换可化为
1
0
b11
b1,n r
0 A~
4.5齐次线性方程组有非零解的条件及结构
定义 称向量组 ① 向量组 ② 向量组 ③ 方程组
的一个基础解系，如果 的解；
线性表出.
2010年秋季四川大学邓传现
齐次线性方程组的基础解系 若 ① ② 这表明 是 的一个基础解系，则 的解；
的任意线性组合都是 的全部解即解集为
的任意解均可表为基础解系的线性组合.
即
的通解
求出 实际上，
的基础解系，即可得
3
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齐次线性方程组解的性质 ① 若 为 也为 ② 如果 为 ③ 如果 数，则 ④ 若 为 的解， 为任意数，则 的解. 解向量的数乘仍是解 为 的解. 为 的解，则
解向量的和差仍是解
仍
的解， 也为
为任意两 的解.
解向量的线性组合仍是解
的解， 也为
解向量的线性组合仍是解
4
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22
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是
的解 的解，得证； 仅有零解，由 ① 知
即 的列向量均为 ② 若 从而 ③ 分两种情况说明. a. 当 ，则
时，由 ② 知
，从而有
23
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b. 当
时，则 都是
有非零解，从而 因 的解，故 线性表示，故 可由向
存在基础解系 量组
综合以上两种情况，总有 ④ 若 ，则 ，由 ③ 有
提醒 上例中求
时处也可取
则得
这样做可避免分数分量的出现！此时，通解为
其中
为任意常数.
19
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例题 求 的一个基础解系及通解. 解答 对系数矩阵作初等行变换化简可得
则 个向量， 分别取
故基础解系中含 代入
齐次线性方程组解的判定、线性组合与线性相关1
1 2 4 ~ 2 −1 3 A= − 1 1 − 1 5 1 11
1 2 0 − 5 0 3 0 − 9
4 −5 3 −9
1 2 0 1 0 0 0 0
4 1 0 0
三、向量组间的线性表示 1.定义：设有两向量组 A:α1,α2,···,αs；B:β1,β2,···,βt 若向量组B中的每一个向量都能由向量组A线性表示， 则称向量组B能由向量组A线性表示。 若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个 A B 向量组等价。 2.定理：若向量组A可由向量组B线性表示，向量组B 可由向量组C线性表示，则向量组A可由向量组C线性 表示。(传递性）
k1α1 + k2α 2 + ⋯ + knα n = O
1.定义：对于向量组:α1,α2,···,αs，如果存在一组不全 为零的数k1,k2,···,ks, 使得： k1α1+k2α2+···+ksαs=O 则称向量组α1,α2,···,αs 线性相关； 如果当且仅当k1=k2=···=ks=0时上式才成立，则称向 量组α1,α2,···,αs 线性无关。 例 α1=(1,1)T,α2=(2,2) T 线性相关。 2α1－α2=O 例 n维单位向量组 ε1 , ε 2 ,⋯, ε n 线性无关。 若 k1ε1 + k2ε 2 + ⋯ + knε n = O = (k1 , k2 ,⋯, kn )T 则： 1 = k2 = ⋯ = kn = 0 k
练习： 1.α=(1,1,1)T, β=(1,3,0)T, γ =(2,4,1)T, 试将α表示为β, γ的 线性组合。 性相关性。 线性相关性。 4.课本96页第7题。 α=－β＋γ 线性相关 线性相关 2.讨论α1=(1,2,1)T, α2=(4,－1,－5)T, α3 =(2,1,－1)T 的线 3.若α1,α2, α3线性无关，讨论α1－α2,α2－α3 ,α3－α1的
齐次线性方程组解的判定、线性组合与线性相关
06 总结与展望
研究成果总结
齐次线性方程组解的判定方法
通过对方程组系数矩阵进行初等行变换，可以判断方程组是否有解，以及解的性质（唯一解、无穷多 解或无解）。
线性组合与线性相关的概念
线性组合是指向量组中向量经过数乘和加法运算后得到的向量；线性相关则是指向量组中至少有一个 向量可以由其他向量线性表示。
03 线性组合与线性相关
线性组合的定义与性质
01
02
03
04
05
定义：设$V$是数域$P$ 上的一个线性空间， $alpha_1, alpha_2, ldots, alpha_s$是$V$ 中的有限个向量，$k_1, k_2, ldots, k_s$是数域 $P$中的数，那么向量 $beta = k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + ldots + k_salpha_s$称为向量组 $alpha_1, alpha_2, ldots, alpha_s$的一个
无穷多解条件
当 $r(A) < n$ 时，齐次线性方程组有 无穷多解。
解的判定方法
高斯消元法
通过消元将增广矩阵化为阶梯形矩阵，进而判断解的情况。
克拉默法则
适用于方程个数与未知量个数相等的情况，通过计算系数矩阵的 行列式值来判断解的情况。
矩阵的秩
通过计算系数矩阵的秩来判断解的情况，若 $r(A) = n$ 则有唯 一解，若 $r(A) < n$ 则有无穷多解。
性质：线性组合具有如 下基本性质
1. 零向量是任何向量组 的线性组合（取系数全 为0）。
2. 向量组中任一向量都 可由向量组线性表示 （取系数为1，其余系数 为0）。
3. 若向量组$alpha_1, alpha_2, ldots, alpha_s$线性相关，则 它的任意两个非零线性 组合必成比例。
两个齐次线性方程组同解的充要条件
两个齐次线性方程组同解的充要条件
齐次线性方程组是数学中一类重要的问题，它们的解决方法对于解决复杂的数
学问题至关重要。
那么，两个齐次线性方程组同解的充要条件是什么呢？
首先，两个齐次线性方程组同解的充要条件是，它们的系数矩阵必须相同。
这
意味着，如果两个齐次线性方程组的系数矩阵不同，那么它们就不可能有相同的解。
其次，两个齐次线性方程组同解的充要条件是，它们的常数项必须相同。
这意味着，如果两个齐次线性方程组的常数项不同，那么它们也不可能有相同的解。
此外，两个齐次线性方程组同解的充要条件还包括，它们的解必须满足线性无
关性。
这意味着，如果两个齐次线性方程组的解不满足线性无关性，那么它们也不可能有相同的解。
最后，两个齐次线性方程组同解的充要条件是，它们的解必须满足线性独立性。
这意味着，如果两个齐次线性方程组的解不满足线性独立性，那么它们也不可能有相同的解。
总之，两个齐次线性方程组同解的充要条件是，它们的系数矩阵必须相同，它
们的常数项必须相同，它们的解必须满足线性无关性和线性独立性。
只有满足这些条件，两个齐次线性方程组才可能有相同的解。
齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构
未知量xr 1 , xr 2 , , xn (都不在首元所在的列） 称为自由未知量.BX=0为AX=0得同解方程组.
9
让自由未知变量 xr 1 1, xr 2 0, , xn 0
代入BX=0得到未知量为x1 , x2 , 拉默法则可解得 x1 k1,r 1 , x2 k2,r 1 ,
, xr
的方程个数为r的线性方程组，由克 , x r k r , r 1 .
10
k1, r 1 k 2, r 1 k r , r 1 从而 X 1 1 0 0 为BX=0 的一个解.
证 A可经过一系列初等行变换化为Jordan 阶梯形矩阵B,显然B的前r行为非零行，后 n-r行全为零.不失一般性，可假设aii 1 ( i 1, 2, , r ), 即：
8
1 0 ... B0 0 ... 0
0 ... 0
k1,r 1
k1,r 2
20
( iii ) 设1 ,2 , ,n r(III)为AX=0的任意 线性无关的解，为AX=0的任意解，则
1 ,2 , ,n r，线性相关，于是可由(III)
线性表示，故(III)为AX=0的一个基础解系.
此外，与AX=0一个基础解系等价的任意线 性无关向量组也是AX=0的基础解系.
3
( iii ) AX 0的任意解皆可由X1 , X 2 ,
若X1 , X2 ,
, Xt 为AX=0的一个基础解系，由
S k1X1 k2 X2
基础解系的定义知
kt Xt : k1 , k2 ,
, kt P
第三章-线性方程组的解
线性代数——第 3章
所以方程组的通解为
x1 1 0 1 2 x2 = c 1 + c 0 + 0 . x3 2 0 4 2 1 2 其中c2 ,c4 任意. 0 1 0 x4
可写成矩阵方程:
Ax b
B ( A, b)
线性代数——第 3章
例
1 2 2 1 1 0 2 4 8 2 设A , b 3 2 4 2 3 3 6 0 6 4
求矩阵A及矩阵B ( A b)的秩.
线性代数——第 3章
定理1 (1) (2) (3)
n元线性方程组Ax=b
无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b)； 有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n； 有无穷多个解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n；
线性代数——第 3章
1 0 0 ~ B0 0 0 x1
5 x1 2c2 3 c2 , x 2c 4 c , 2 2 3 2 x c , 3 1 x4 c 2 ,
线性代数——第 3章
2、非齐次线性方程组 增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有 解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解. 例２ 求解非齐次线性方程组
线性代数——第 3章
解
对系数矩阵 A 施行初等行变换：
1 2 2 1 1 2 2 1 r2 2r1 A 2 1 2 2 0 3 6 4 1 1 4 3 r3 r1 0 3 6 4
d d
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齐次线性方程组有解的条件
R（A）=R（AB）=n是线性方程组有解的充要条件。
齐次方程组有唯一零解的充要条件是系数行列式的值为0，不为0就有无穷多解。
线性方程组是各个方程关于末知量均为一次的方程组。
齐次线性方程组求解步骤：
1、对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵；
2、若r（A）=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；若r（A）=r<n（未知量的个数），则原方程组有非零解。
3、继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并写出同解方程组。
4、选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，进而写出通解。