巧解钟表上的角度问题
时钟角度问题
1. 8时30分，时针和分针的夹角是多 少度？
2. 3时55分时，时针与分针的夹角是 多少度？
3. 10时26分时，时针与分针的夹角是 多少度？
已知时间求两针夹角问题时 ，先确定两针的大致位置， 根据其位置的特性找寻最简 便、准确的方法求夹角。
例2. 先将钟表的时针与分针重合在12点，转动表的指针。 （1）什么时刻分针再次与时针重合？ （2）什么时刻分针与时针首次成一直线？ （3）什么时刻分针与时针所成的角度首次成90o？
时钟上 的
角度问题
李倩认Βιβλιοθήκη 钟面 1小时=60分 1分=60秒 1小时=3600秒 钟面分12大格，每大格360o÷12=30o 分针60分走一圈，每分钟走360o÷60=6o 时针60分走一大格，每分钟走 30o÷60=0.5o
分针每分钟比时针多走： 6o﹣0.5o=5.5o
例1： 12点15分，时针和分针的夹角 是多少度？
看到钟表上的时针和分针 夹角也是110o，你知道张
阿姨外出了多长时间吗？
活动二
一部动画片的放映时间不足一小 时，小明发现结束时时针和分针的 位置交换了一下。
你知道动画片放映了 多长时间吗？
活动三
侦探柯南又来到了一处案发现场，死者手里拿着一张纸， 画着一个没有任何刻度的表盘，时针和分针的夹角大约是 90度，这应该是死者最后画出的案发时间。据现场观察 ，案发大约在5点与6点之间。你能推算出案发时间吗？
有人在5点半之 前见过死者
当已知两针夹角求时间时，我们可以把问 题转化为追击 问题：两针转过的角度视为路程，每分钟转过的角度视为 速度。
由 时间=路程差÷ 速度差 转化为 时间=角度差÷每分钟转过的角度差
活动一
时钟问题巧解-三种类型解题方法以及角度巧解ppt课件
例5
现在的钟面时间如图甲所示，经过多长时间， 时针与分针到“4”的距离第一次相等？
.
例5
现在的钟面时间如图甲所示，经过多长时间，时针与 分针到“4”的距离第一次相等？ 解析：假设4点时时针和分针同时出发，相向而行，那么 就会在图乙中分针所在的位置“相遇”。此题就转化为相 遇问题。在这个相遇过程中，时针和分针共同行走的路 程是20小格，分针的速度是每分钟走1小格，时针的速 度是每分钟走1/12小格，用路程和÷速度和=相遇时间。
.
解题
360º÷12×3=90º.....3大格所对应的角度 0.5º×50=25º......时针从1：00-1：50这50分
钟所形成的角度。 90º+25º=115º......1时50分的时刻，时针与分
针的夹角度数。 答。。。
.
练习
3、吃过晚饭，小明一家出去散步，他们出门前钟 面显示7点多，他们回来后钟面显示也是7点多， 且两次钟面上时针与分针都恰好位于一条直线上： 请问他们散步用了多长时间？
.
例3
在4点与5点之间，时针和分针在什么时刻位于 一条直线上？
.
例3
在4点与5点之间，时针和分针在什么时刻位于 一条直线上？ 解析：时针和分针位于一条直线上，要分两钟情 况来考虑： 时针和分针重合 时针和分针成180º角
.
例4
在钟面上，1时50分的时刻，时针与分针的夹 角是多少度？
.
例4
1、时针分针重合：（点数*5）/（1-1/12） 2、时针分针成直角（画图根据情况用公式）：
3点前：（点数*5+15）/（1-1/12） 3点后：（点数*5-15）/（1-1/12） 3、时针分针在一条直线上： 6点前：（点数*5+30）/（1-1/12） 6点后：（点数*5-30）/（1-1/12）
巧解钟表问题
巧解钟表问题在学习角的运算时，同学们都遇到过许多有关钟表的时针和分针的夹角问题。
对于这类问题，大多数同学常常感到无从下手。
下面介绍几种推算的方法，以达到快速解答这类题目的目的。
准备知识：一个圆周360 ，被分成12个格，每格30 ，也即钟表每走一小时，时针转过的角度为30 ；同时圆周又分成60个小格，每小格6 ，也即每走一分钟，分针转过的角度为6 。
例1．当钟表显示3点整时，时针与分针的夹角是多少度？三点半呢？3点40分呢？ 解：（本题和下面几题所说的时针转过的角度、分针转过的角度都是与12点时的位置相比较转过的角度）（1）3点整时时针转过的角度为：330⨯ ＝90 ，分针转过的角度为：00⨯ ＝0。
∴时针与分针的夹角为900- ＝90 。
（2）三点半时，时针转过的角度为：13302⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ ＝105 ，分针转过的角度为：306⨯ ＝180。
∴时针与分针的夹角为105180- ＝75 。
（3）3点40分时，时针转过的角度为：4033060⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭＝110 ，分针转过的角度为：406⨯ ＝240 。
∴时针与分针的夹角为110240- ＝130 。
规律：时针与分针的夹角＝时针转过的角度－分针转过的角度。
例2．下午5点20分到6点半，时针转过的角度是多少？解：5点20时针转过的角度为：2053060⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭＝160 ，6点半时针转过的角度为：16302⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭＝195 。
∴下午5点20分到6点半时针转过的角度是160195- ＝35 。
规律：时针转过的角度等于两次时针转过的角度差的绝对值。
例3．从5点12分到5点34分，分针转过的角度是多少？解：5点12分分针转过的角度为：126⨯ ＝72 ，5点34分分针转过的角度为：346⨯＝204 。
∴分针转过的角度是72204- ＝132 。
规律：分针转过的角度等于两次分针转过的角度的差的绝对值。
例4．4点与5点之间，钟面上时针与分针何时重合？分析：钟面上时针与分针所转的角度相等时，时针与分针重合。
钟表角度问题解题技巧
钟表角度问题解题技巧钟表角度问题是数学中常见的几何问题，涉及到时针、分针和秒针之间的角度关系。
以下是一些解决钟表角度问题的技巧：1. 了解钟表的结构：钟表通常由时针、分针和秒针组成，每根指针以不同的速度移动。
时针每小时移动 30 度，分针每分钟移动 6 度，秒针每秒钟移动 6 度。
2. 利用时针和分针的关系：在钟表上，时针和分针之间的夹角可以通过计算它们之间的时间差来确定。
例如，如果时间为 3 点 30 分，时针和分针之间的夹角为 30 度（因为时针已经走过了 3 个小时，而分针已经走过了30 分钟，即半个小时，所以它们之间的夹角为30 度）。
3. 使用角度的加减法：在解决钟表角度问题时，可以使用角度的加减法来计算指针之间的夹角。
例如，如果要计算时针和分针之间的夹角，可以将时针的角度和分针的角度相减。
4. 注意特殊情况：在一些特殊情况下，时针和分针之间的夹角可能不是整数。
例如，在 1 点 50 分，时针和分针之间的夹角不是 50 度，而是 25 度（因为时针已经走过了 1 个小时又 50 分钟，即 1 又 5/6 小时，所以它与 12 点的夹角为 30×1+30×5/6=55 度，而分针与 12 点的夹角为 6×50/60=5 度，因此它们之间的夹角为 55-5=50 度）。
5. 画图辅助理解：在解决钟表角度问题时，可以通过画图来帮助理解和计算。
画出钟表的表盘，并标出时针、分针和秒针的位置，可以更直观地看出它们之间的夹角关系。
通过掌握以上技巧，可以更好地解决钟表角度问题。
练习不同类型的问题，加深对时针、分针和秒针之间角度关系的理解，将有助于提高解决这类问题的能力。
巧解钟表问题
巧解钟表问题在竞赛中,同学们常常会碰到“分针与时针夹角”的这类复杂性的试题,有些同学在做这类题目时总感到无从下手,这里我来给大家介绍一种解题的捷径,希望对大家能有所帮助。
大家都知道,钟面一周被等分成60个小格,每个小格对应的角度为=6°。
分针每分钟转一格,y分钟转动y小格;由于当分针转动60格时,时针转5小格,那么每分钟时针转=y小格,y分钟即转动y小格。
另外,时针每小时转动5小格,那么x小时转动5x小格。
所以,时针在x小时y分钟里共转(5x+y)小格,要想求出时针与分针夹角的度数,就得知道它们之间间隔多少小格。
通过观察钟表我们很容易得到参考文献[1]中所列出的四个计算时针与分针夹角度数的计算公式,根据这四个公式我们可整理得:例如x时y分,其中x=0,1,2,...,11,y=0,1,2, (59)(1)按顺时针转动,两针夹角小于平角时,其夹角计算公式为:|30x-5.5y| °(Ⅰ)(2)按顺时针转动,两针夹角大于平角时,其夹角计算公式为:360°-|30x-5.5y| °(Ⅱ)我们发现用公式(Ⅰ)、(Ⅱ)去求某一时刻时针与分针的夹角的度数已无须考虑时针在前还是分针在前了,但是,还须考虑两针的夹角是否大于平角。
那么,能否找到一个无须判断两针夹角是否大于平角的公式呢?借于这样的出发点,经过反复思考与探索,综上(Ⅰ)、(Ⅱ)可得:〈x,y〉=180°-|180°-|30x-5.5y|°| (Ⅲ)其中x=0,1,2,…,11,y=0,1,2,…,59,〈x,y〉表示x时y分时两针的夹角。
下面结合具体例题谈谈公式的应用:1根据具体时刻求时针与分针夹角例1:(1)当时间是2点32分时,时针和分针的夹角是______度。
(2)当时间是2点50分时,时针和分针的夹角是______度。
解法一:(1)时针每小时转动1大格,即30°,所以每分转0.5°,而分针每分转6°,当时针指向整点时,分针指向12时。
时钟问题巧解-三种类型解题方法以及角度巧解
3月3日
基础知识回顾
1、时、分、秒之间的基本换算，弄清时针和分针 的行走速度： 按“时”算，分针每小时走60小格，时针每小时走
5小格，分针比时针多走了55小格。 按“分”算，分针每分钟走1小格，时针每分钟走
1/12小格，分针每分钟比时针多走11/12小格。
公式应用（画图根据实际情况分析）
LOREM IPSUM DOLOR
4、现在是8点整，再经过多长时间，时针和分针将第一 次在一条直线上？ 5、时针和分针每隔多少时间重合一次？一昼夜重合多少 次？ 6、4时整时，时针与分针的夹角是多少度（指小于180º 的角）？ 7、在钟面上，8时25分的时刻，时针与分针的夹角是多少 度（指小于180º的角）？
例3
在4点与5点之间，时针和分针在什么时刻位于 一条直线上？
例3
在4点与5点之间，时针和分针在什么时刻位于 一条直线上？ 解析：时针和分针位于一条直线上，要分两钟情 况来考虑： 时针和分针重合 时针和分针成180º角
例4
在钟面上，1时50分的时刻，时针与分针的夹 角是多少度？
例4
在钟面上，1时50分的时刻，时针与分针的夹 角是多少度？ 解析：在钟面上，1大格对应的角度是 360º÷12=30º，3大格对应的是90º. 分针每小时走一圈，每分钟走360º÷60=6º，时针 每分钟走6º的1/12，是0.5º.“多的一些”就是时 针从1点整开始走到1点50分这50分钟形成的角度。
例5
现在的钟面时间如图甲所示，经过多长时间， 时针与分针到“4”的距离第一次相等？
例5
现在的钟面时间如图甲所示，经过多长时间，时针与 分针到“4”的距离第一次相等？ 解析：假设4点时时针和分针同时出发，相向而行，那么 就会在图乙中分针所在的位置“相遇”。此题就转化为相 遇问题。在这个相遇过程中，时针和分针共同行走的路 程是20小格，分针的速度是每分钟走1小格，时针的速 度是每分钟走1/12小格，用路程和÷速度和=相遇时间。
钟面角度问题的总结
钟面角度问题的总结
角度是指两条射线之间的旋转程度，可以用度数或弧度来表示。
钟面角度问题是指与钟面上的时间相关的角度计算问题。
总结如下：
1. 钟面角度问题通常涉及到时针、分针和秒针之间的关系。
2. 一圈360度：钟面上的小时刻度一共是12个，因此每一个
小时刻度之间的夹角是360度除以12，即30度。
3. 分钟刻度的角度：钟面上的分钟刻度一共是60个，因此每
一个分钟刻度之间的夹角是360度除以60，即6度。
4. 时针角度的计算：时针每小时转动30度，分钟转动的角度
影响时针的位置。
时针的角度可以通过以下公式计算：角度 = (小时 * 30) + (分钟 / 2)。
5. 分针角度的计算：分针每分钟转动6度，秒针的角度也会影响分针的位置。
分针的角度可以通过以下公式计算：角度 = (分钟 * 6) + (秒钟 / 10)。
6. 秒针角度的计算：秒针每秒钟转动6度。
秒针的角度可以通过以下公式计算：角度 = 秒钟 * 6。
以上是钟面角度问题的一般计算方法和规律。
在具体应用中，可以根据题目给出的条件和要求，进行适当的转换和计算。
钟表上的角度问题(课件)
例2：求下午4时，时针与分针之间的夹角. 分析：下午4时，时针指在4上，分针指在12上，于是可求出它们之
间的夹角是4×30°＝120°.
第五页，共6页。
THANK YOU
第六页，共6页。
钟表上的角度问题(课件)
第一页，共6页。
钟表上的角度问题
第二页，共6页。
分针60分钟转一 圈，所以分针每 分钟转6°
时针12小时转一圈 ，即360°，则每小
：从2:30到2:58,时钟的时针转过多大的角度? 分针转过多大的角度?
分析: 从2:30到2:58, 时钟的时针共走了28分钟, 而时针每分钟转0.5°,则28分共转了 28×0.5°=14°;分针每分钟转6°, 则28分共 转了28×6°=168°.所以从2:30到2:58, 时钟 的时针转过14°,分针转过168°.
表盘上的角度问题
方法技巧表盘上的角度问题梁山镇一中孙恩玺在表盘上有时针、分针、秒针三种表针，它们的转动速度不同。
表盘中既包含几何知识，有包含代数知识，人们往往据此编一些趣味性的数学题。
下面，我们就分析一下解题规律，揭开这类涉及到表针问题的神秘面纱。
在表盘上，一周是360°，共12个大格、60个小格，所以每个大格的度数为360°÷12= 30°，每个小格的度数为360°÷60=6°。
时针每小时走一个大格，它的转动速度是6°/分=0.1°/秒这三种表针的转动速度就是解此类题的“金钥匙”。
例1中午12：00以后的什么时间，时针和分针第一次转动成以下情况：（1）夹角为直角；（2）夹角为平角；（3）重合。
（精确到分）分析：12：00时，时针、分针重合。
（1）设经过X分钟两针夹角为直角，则时针转动了0.5X°分针转动了6X°，二者差为90°，即6X-0.5X=90。
解得X=90/5.5≈16。
故经过约16分钟，至12：16时两针夹角为直角。
（2）同（1）所设，则有6X-0.5X=180。
解得X=180/5.5≈33。
故经过约33分钟，至12：33时两针夹角为平角。
（3）此题情况有所不同。
因为12：00以后直至13：00，时针、分针不在重合，所以两针重合发生在13：00以后。
由于13：00时两针位置正好差一大格，即30°。
若设再经过X分钟两针重合，即夹角为0°，则经过X分钟，时针与表盘上刻度“12”的夹角为（30+0.5X）°分钟与刻度“12”的夹角6X°，∴6X-（30+0.5X）=0。
∴X=30/5.5≈5，故13：00后再经过约5分钟，至13：05时，两针重合。
另外，第（3）题还可以从另一个角度考虑：既然13：00时两针相差30°，则分针赶上这30°既可追上时针，与之重合。
2024年人教版七年级上册数学阶段拔尖专训13 巧解钟面时针与分针的夹角问题
阶段拔尖专训13 巧解钟面时针
与分针的夹角问题
阶段拔尖特训
【高分秘籍】钟面角的特点及变化规律：
(1)钟表的表面特点：钟表的表面一般都是圆形，共有12个大
格，每个大格之间有5个小格，圆形的表面恰好对应着一
个周角(360°)，每个大格对应30°角，每个小格对应6°
角.表面一般有时针、分针、秒针三根指针.
针、分针的夹角为90°，得在 x 分钟后，分针要比时针多
走90°.
从3时整到3时 x 分，分针走过(6 x )°角，时针走过(0.5 x )°
角，依题意有6 x －0.5 x ＝90，解得 x ＝16 .
所以在3时16
分时，分针与时针重合.
1
2
3
4
5
阶段拔尖特训
(2)设3时 y 分时，时针与分针成平角，即在 y 分钟后，分
针先要多走90°追及时针，然后还要比时针多走180°，
依题意有6 y －0.5 y ＝90＋180，解得 y ＝49
所以在3时49 分时，分针与时针成平角.
1
2
3
4
5
.
阶段拔尖特训
(3)分针与时针成直角，应分两种情况讨论.
①设3时 a 分时，分针在时针的顺时针方向垂直，此时钟
面角为90°.即在 a 分后，分针先要多走90°追及时针，
40×6°＝240°，所以时针、分针之间的夹角为350°－
240°＝110°.
②观察法：11：40时，分针、时针相隔3 个大格，
所以时针、分针之间的夹角为3 ×30°＝110°.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
巧解钟表上的角度问题
让我们重新认识一下时钟：时钟的表面被均分成12大格、60小格;若把钟表表面看成以表心为顶点的周角;则每一大格对应的角度为30°;每一小格为6°;也就是说;分针每分钟转过6°的角;时针每分钟转过60
1
×30°＝0.5°的角;即每分钟分针总比时针多转5.5°.有了上述知识;我们再来求有关钟表的问题;就不会感到困难了.
分针转的角度为：分钟数×6°；
时针转的角度为：小时数×30°＋分钟数×0.5°.
例1.试问时钟的分针与时针一昼夜重合多少次
解析：你可能直觉认为;分针每小时转一圈;每转一圈就要与时针重合一次;一昼夜有24小时;分针与时针岂不是要重合24次吗
乍听起来这个说法颇有道理;但还是让我们计算后再下结论吧
设分针与时针从上一次重合到下一次重合用时x 分钟;易知其间分针比时针多转了360°;于是有
6x －0.5x ＝360;解得x ＝11
720分. 一昼夜分针与时针重合的次数为：24×60÷
11720＝22次. 怎么样;还相信你的直觉吗
例2.某人晚上6时后外出时;钟表上时针与分针的夹角时110°;晚上7时前回来时;钟表的时针与分针的夹角仍为110°;求此人外出了多长时间
解析：易知;6时后时针与分针首次呈110°角时;分针落后时针110°角;第二次呈110°角时;分针超过时针110°;即其间分针比时针多走了2
×110°;设完成此过程共经过了x分钟;则有6x－0.5x＝2×110;解得x＝40分.
即此人外出了40分钟.。