单项式与多项式知识结构图

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《单项式与多项式》课件

以上内容仅供参考，具体介绍可以根据您的需求和实际情况进行调整。
运算上的区别与联系
添加标题
定义上的区别：单项式是由数字、字母或数字与字母的乘积组成的代数式；多项式是由若干个单项式通过加减运算组成的代数式。
添加标题
运算上的联系：多项式中的每一项都可以看作是一个单项式，因此多项式可以看作是多个单项式的组合；同时，单项式也可以看作是只有一个项的多项式，因此单项式和多项式在运算上具有一定的联系。
多项式的运算
合并同类项：将多项式中的同类项合并成一个项乘法分配律：将多项式中的每一项分别乘以括号内的数乘法结合律：将多项式中的几项先乘起来，再与其他项相乘乘法交换律：将多项式中的几项交换位置后，再相乘
单项式与多项式的
04
区别与联系
定义上的区别与联系
单项式的定义：由数字、字母或它们的乘积组成的代数式
工程领域：用于设计、计算和优化各种工程结构，
如桥梁、建筑、机械等
经济领域：用于描述成本、收益、利润等经济指标之间的关系
计算机科学：用于算法设计和数据结构优化，如排
序、查找等
单项式与多项式的
06
练习题与解析
基础练习题
判断单项式和多项式的依据单项式和多项式的加减运算单项式和多项式的乘除运算单项式和多项式的混合运算
提高练习题
基础练习：针对单项式与多项式的基本概念和运算规则进行练习综合练习：结合实际应用场景，设计涉及多个知识点的练习题拓展练习：增加难度，设计一些需要运用所学知识进行推理和解析的练习题错题解析：针对学生在练习中容易出现的错误进行解析，帮助学生纠正错误理解和运用知识
综合练习题
单项式与多项式的加减运算单项式与多项式的乘除运算单项式与多项式的混合运算单项式与多项式的实际应用

沪科版(2012)初中数学七年级上册 2.1.4 单项式与多项式课件

1.课本第67页习题2.1第6题 2. 基础训练第44、45页第3课时
1. y 的相反数为 y。
2. 边长为a 的正方形的周长为 4a ，面积
为 a2 .
3. 长宽高分别为a、b、c 的长方体的体积
为 abc ，表面积为ab ac bc .
4. 为
底面圆半径为
1 r2h.
r，高为
h
的圆锥的体积
a 5. 一3个两位数十位上的数字为，个位上
的数字为 b ，这个两位数表示为 10a b .
6. 2n是偶数，那么它的相邻偶数为2n 2或2n 2.
我思,我进步
y 4a
1 y 4 a
知识的升华
a2
aa
abc
1 r2h
abc
1
3
r
r
h
3
表示数字与字母的乘积的代数式叫做单项式.
单独一个数或一个字母也叫单项式.
解剖单项式
－3x2y3 指数和称次数
系数
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
的系数、次数:
(1) 2x 1;
(2)x2 xy y2;
(3)3x 4x2 1; (4) mn m 1.
3.把下列代数式填入相应的大括号里
单项式集合多项式集合
整式集合
整式
单项式次系数数:：所单有项字式母中的的指数数字的因和数。。
多项式项:式中（的其每中不个含单字项母式的叫项多叫项做常式数的项项）。次数:多项式中次数最高的项的次数。
例1 写出下列单项式的系数和次数：
15a2b，xy，2 a2b2， a，1 ah, 1 x2
3
23
解：单项式
15a2b xy

人教版(2024新版)七年级数学上册第四章课件：第四章整式的加减小结与复习

数为4；
32t3是单项式，系数为32，次数为3;
2x－y是多项式，有2x,－y两项，次数为1.
随堂练习
4. 先化简，再求值.
5x2+4－3x2－5x－2x2－5+6x，其中x =－3.
解：5x2+4－3x2－5x－2x2－5+6x
= (5－3－2)x2+(－5+6)x－1
= x－1.
当x = －3时，原式 =－3－1 =－4.
当n=5时，S=12；当n=7时，S=18；当n=11时，S=30.
|b－a|+|a+b|－|c|－|b－c|+|a+c|.
解：由题意，得b<c<0<a，且|c|<|a|<|b|，
所以b－a<0，a+b<0，b－c<0，a+c>0，
所以|b－a|+|a+b|－|c|－|b－c|+|a+c|
=－(b－a)－(a+b)+c+(b－c)+(a+c)
=－b+a－a－b+c+b－c+a+c
x是单项式，系数为1，次数为1;
随堂练习
3.下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？是单项式的指出系数
和次数，是多项式的指出项和次数：

−

a2b，
，x2+y2－1，

x ，3x2－y+3xy3+x4－1，32t3，2x－y.
解：3x2－y+3xy3 +x4－1是多项式，有3x2,－y,3xy3,x4,－1五项，次

14.1.4第1课时单项式与单项式、多项式相乘

第十四章整式的乘法与因式分解整式的乘法整式的乘法第1课时单项式与单项式、多项式相乘学习目标：1.掌握单项式与单项式、单项式与多项式相乘的运算法则.2.能够灵活地进行单项式与单项式、单项式与多项式相乘的运算.重点：掌握单项式与单项式、单项式与多项式相乘的运算法则.难点：进行单项式与单项式、单项式与多项式相乘的运算. 一、知识链接1.幂的运算性质：(1)同底数幂的乘法公式：a m ·a n ＝____________(m ，n 为正整数)．(2)幂的乘方公式：(a m )n ＝____________(m ，n 为正整数)．(3)积的乘方公式：(ab )n ＝____________(n 为正整数)．2.判断正误，并改正。

①m 2·m 3=m 6()②(a 5)2=a 7()③(ab 2)3=ab 6()④m 5+m 5=m 10()⑤(-x)3·(-x)2=-x 5( )3.计算：(1）x 2·x 3·x 4=____________;(2)(x 3)6=____________;(3)(-2a 4b 2)3=____________;(4)(a 2)3·a 4=____________；(5)=553553⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭____________.二、新知预习问题1假如要给下面这张风景图片加一个美丽的相框，需要知道这幅图片的大小，现在告诉你，图片的长为2x ，宽为2，你能计算出图片的面积吗若另一张风景图片的长为ab,宽为b,你能计算出图片的面积吗？问题2光的速度约为3×105km/s ，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102s ，你知道地球与太阳的距离约是多少吗列式：____________________________想一想：怎样计算这个式子计算过程中用到了哪些运算律及运算性质问题3如果将上式中的数字改为字母，比如ac 5·bc 2,怎样计算这个式子议一议：根据以上计算，想一想如何计算单项式乘以单项式要点归纳：单项式与单项式相乘，把它们的_______、________分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的________作为积的一个因式.三、自学自测1.判断正误，并改正.（1）6321025a a a =⋅（2）54532x x x =⋅（3）()77623s s s -=-⋅（4）()632a a -=-⋅ 列式：计算：________________列式：计算：________________2.计算：(1)(-5a2b)(-3a);(2)(2x)3(-5xy2).四、我的疑惑一、____________________________________________________________ ________________________________________________________________ ______________________________探究点1：单项式乘以单项式例1：计算：(1)3x2·5x3；(2)4y·(-2xy2)；(3)(-3x)2·4x2；(4)(-2a)3(-3a)2.方法总结:(1)在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；(2)注意按顺序运算，有乘方运算，要先算乘方，再算乘法；(3)不要漏掉只在一个单项式里含有的字母因式；(4)此性质对于多个单项式相乘仍然成立．例2：已知－2x3m＋1y2n与7x n－6y－3－m的积与x4y是同类项，求m2＋n的值．方法总结:单项式乘以单项式就是把它们的系数和同底数幂分别相乘，结合同类项的定义，列出二元一次方程组求出参数的值，然后代入求值即可．探究点2：单项式与多项式相乘问题1：如图，试求出三块草坪的的总面积是多少？面积为____________面积为____________面积为____________总面积为_______________________问题2：若将三块小长方形草坪拼成一个大长方形草坪，那么如何求此大长方形的面积？根据等积法，你能得出的结论是_________________=__________________.根据此结论，议一议如何计算单项式乘以多项式？要点归纳:单项式与多项式相乘，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.典例精析例3：先化简，再求值：3a(2a 2－4a ＋3)－2a 2(3a ＋4)，其中a ＝－2. 方法总结：在做乘法计算时，一定要注意单项式的符号和多项式中每一项的符号，不要乘错．长为__________________例4：如果(－3x)2(x2－2nx＋2)的展开式中不含x3项，求n的值．方法总结：在整式乘法的混合运算中，要注意运算顺序.注意当要求多项式中不含有哪一项时，则表示这一项的系数为0.针对训练1.计算-3xy2z·x2y的结果是（）若一个长方体的长、宽、高分别为2x，x，3x－4，则长方体的体积为() A．3x3－4x2B．6x2－8xC．6x3－8x2D．6x3－8x3.要使(x2＋ax＋5)(－6x3)的展开式中不含x4项，则a应等于()A．1B．－D．0计算：(1)(2xy2－3xy)·2xy；(2)－2ab(a b－3ab2－1)；(3)x2(3－x)＋x(x2－2x)；(4)(－ab)(ab2－2ab＋b＋1)．二、课堂小结实质注意事项单项式乘以单项式转化为同底数幂的运算(1)注意符号问题;(2)不要出现漏乘现象(3)运算要有顺序(4)对于混合运算，注意最后应合并同类项单项式乘以多项式转化为单项式×单项式1.计算3a2·2a3的结果是（）计算（-9a2b3)·8ab2的结果是（）若（a m b n）·(a2b)=a5b3,那么m+n=()计算:(1)4(a-b+1)=__________;(2)3x(2x-y2)=_______________;(3)(2x-5y+6z)(-3x)=_______________；(4)(-2a2)2(-a-2b+c)=_____________.5.计算：－2x2·(xy+y2)-5x(x2y-xy2).6.解方程：8x（5－x）=34－2x（4x－3）.7.如图，一块长方形地用来建造住宅、广场、商厦，求这块地的面积.拓展提升8.某同学在计算一个多项式乘以－3x2时，算成了加上－3x2，得到的答案是x2－2x＋1，那么正确的计算结果是多少？。

单项式与多项式

5 6
x
32 x2y2z2 -13a2bc
系数
1 3
p
-2.035 -1
-
5 6
9
-1
次数 3
3
21
6
4
练习
请你找出：下列单项式的系数与次数：
p -3a2b, -a, 25x4, 3a2y2
4
下列关于24的次数,说法正确的是( c )
• A. 2次 • B. 4次 • C. 0次 • D. 无法确定
思考
（5）半径为r的圆的周长是＿2＿πr＿＿。
.r
归纳
❖ 观察以下式子： 6a2，a3，2.5x，-n，vt， 2πr 你认为它们之间有什么共同特点？发现：这些式子都是由数或字母的乘积组成的.
单项式的定义
❖ 由数或字母的积组成的代数式叫做单项式
❖ 问题：数或字母的积有几种形式？
三种形式：①数字×数字 ②字母×字母 ③数字×字母
（3）当一个单项式的系数是1或–1时，
“1”通常省略不写。如a²，–abc；
（4）单项式的系数是带分数时，
常写成假分数，
如:
1 1 x 2 y 写成
4
5 x2y 4
。
定义：一个单项式中，所有字
母的指数的和，叫做这个单项式的次数．
单项式的系数
2 + 1= 3
单项
式
4a b2 1
的次
数
单项式中的数字因数, 叫做这个单项式的系数
-2.15ab3, -m3, 0.12h, 3
说明:单项式的数字因数即为“系数”，特别注意“系数”必须包括前面的“+”或“-”号
另外，当系数是“1”时，通常省略不写；系数是“-1”时，只写“-”就可以了．

代数式(单项式、多项式、整式)知识点综合梳理

1. 代数式的概念用运算符号“+ — X 十……把数与表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。

单独的一个数或一个字母也是代数式。

如： 5，a ，x 均是代数式。

① 代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；② 代数式中不含有“=、＞、＜、工”等符号。

等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式；如： 2x=5这个整体因为含有等号所以不是代数式，但是等号左边的 2x 和右边的5却是代数式。

③ 代数式中的字母的限制：字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。

1 •下列式子中，是代数式的有:2. 比a 多3的数是（4 .代数式2 a 所表示的意义是（）A.比2多a 的数 B.比a 多2的数 C.比2少a 的数 D .比a 少2的数 5 .下列各题中，错误的是（）A.代数式x 2y 2的意义是x, y 的平方和B.代数式5（ x y ）的意义是5与x y 的积C. x 的5倍与y 的和的一半，用代数式表示是5x 丄。

代数式①abed ②0③2(ab)2 R ⑤3x2⑥ 3x 4x 1 0A. a 3 B . a 3C. 3aD . a33. a,b 两数差的平方除以 A止2 . 2a bB .a,b 两数的平方差是（a 2b 2 （a b ）2D .a 2b 2 a b 2211 一1 1D. x的一与y的一的差，用代数式表示是—x - y。

2 3 2 36. 在式子x+2,3#b,m,S= R ：口,a b 2c中代数式有（）yA、6个B、5个C、4个D、3个7. —项工作，甲独做x天完成，乙独做y天完成，甲、乙合作a天后还剩（）典 a a A 、1 B、x y 1 —x y1 1c、1 a 1丄x yD 1 —xy2.代数式的书写规范①代数式中数与字母相乘，字母与字母相乘，乘号通常使用“ •”乘表示，或省略不写，如v x t通常写成V • t或vt ；②数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a x5应写成5a；③数字与数字相乘，一般仍用“x”号，即“x”号不省略或写成“•”；5X 8,不能省略乘号写成58也不能写成5 • 8;④带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后与字母相乘，如a x』应2 写成3a；2⑤在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，如4宁（a-4）应写作4/ （a-4 ），3十a写成3的形式.a⑥在表示和（或）差的代差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如（a2-b2）平方米⑦ a与b的差写作a-b，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a .分数线具有“宁号和括号的双重作用例1.下列式子中，符合书写要求的是( ) 1 2(A ) a5b(B ) 5 — ab(C ) a b c6例2.下列式子中，符号代数式书写要求的是( ) 1 1A. a3B. 3 —xC. - aD . x 3 人22例3.下列式子中符合书写要求的是()3. 代数式的系数代数式中的数字中的数字因数叫做代数式的系数。

(完整版)七年级上册数学知识结构图

1 第一章：有理数★知识结构图：正分数负分数正整数0负整数第二章：整式的加减★知识结构图：2★概念、定义：1.都是数或字母的积的式子叫做单项式（monomial），单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数（coefficient）。

32.一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

3.几个单项的和叫做多项式，其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

4.多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

5.把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

6.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母和字母的指数不变。

7.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；8.如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。

4第三章:一元一次方程知识结构图：概念、定义：1.含有一个未知数，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程。

3等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

5.等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以一个不为0的数，结果仍相等。

56.把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。

7.工程问题：工作总量=工作效率×时间盈亏问题：利润=售价－成本利率=利润÷成本×100％售价=标价×折扣数×10％储蓄利润问题：利息=本金×利率×时间本息和=本金+利息三:图形的初步认识知识结构图：61.我们把实物中抽象的各种图形统称为几何图形（geometric figure）。

72.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形（solid figure）。

3.有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形（plane figure）。

第二章第一节单项式和多项式

第一节单项式和多项式知识结构导图知识点一：单项式1.概念：式子x 3,m t xy a ---,6.2,,32它们都是数或字母的积，象这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。

注意：单项式是一种特殊的式子，它包含一种运算、三种类型。

一种运算是指数与字母、字母与字母之间只能是乘法的一种运算，不能有加、减、除等运算符号；三种类型是指：一是数字与字母相乘组成的式子，如ab 2;二是字母与字母组成的式子，如3xy ;三是单独的一个数或字母，如m a ,2-，2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

注意：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。

如42x 的系数是2；3ab 的系数是31，2.7m 的系数是2.7。

（2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号，如－()xy 2的系数是－2（3）对于只含有字母因素的单项式，其系数是1或－1，不能认为是0，如－2xy 的系数是－1；2xy 的系数是1。

（4）表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。

如2πxy 的系数就是2π3单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

注意：（1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。

如单项式z y x 342的次数是字母z y x ,,的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母Z 的指数是1而不是0.（2）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m 的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数。

（3）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。

如单项式－43242z y x 的次数是2＋3＋4=9而不是13次。

（4）单项式通常根据单项式的次数进行命名。

如x 6是一次单项式，xyz 2是三次单项式。

例题：下列说法正确的是( )A ．单项式23x -的系数是3-B ．单项式3242π2ab -的次数是7 C ．1x是单项式 D ．单项式可能不含有字母检测：1、判断下列各代数式是不是单项式？若是，写出它的系数与次数。

单项式和多项式课件

01
在单项式之间进行加减法时，只需对系数进行加减运算，变量
保持不变。
运算优先级
02
在进行单项式之间的加减法时，应遵循数学中的运算优先级规
则，先进行乘除运算，再进行加减运算。
括号的作用
03
当单项式中包含括号时，应先计算括号内的内容，再进行加减
法运算。
多项式之间的加减法
逐项相加减
多项式之间的加减法需要逐项进行，即对每个单项式分别进行加
单项式和多项式课件
• 单项式的定义和性质 • 多项式的定义和性质 • 单项式和多项式的加减法 • 单项式和多项式的乘除法 • 单项式和多项式的因式分解 • 单项式和多项式的应用
01
单项式的定义和性质
单项式的定义
单项式是数学中一个基本的代数概念，它是由数字、字母通过有
限次乘法运算得到的代数式。
十字相乘法
适用于二次多项式的因式分解，通过十字相乘法找到两个数，它们的和等于一次项系数，它们的积等于常数项，从而将二次多项式分解为两个一次多项式的乘积。
06
单项式和多项式的应用
在代数方程中的应用
单项式和多项式是代数方程的基础，可以用来表示方程中的未知
数和已知数。
通过合并同类项，可以将代数方程化简为更简单的形式，便于求
在实际生活中的应用
单项式和多项式可以用来描述实际生活中的各种现象，如时间、速度、距离等之间的关系。
在物理学中，单项式和多项式可以用来描述物理量之间的关系，如力、质量、加速度等。
在经济学中，单项式和多项式可以用来描述成本、收益、利润等之间的关系，以及建立经济模型。
THANKS
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多项式的定义和性质
多项式的定义

2.1.2单项式和多项式教材解读

2.1.2单项式和多项式教材解读【学习目标】1. 能识别单项式2. 会找单项式的系数与次数、多项式的项与系3. 理能说出单项式、多项式、整式的概念，弄清它们之间的区别与联系．【知识图解】【知识点解析】知识点一单项式的识别例题1下列各式中，哪些是单项式？25x ，－85a 3，3x 2ym ，a ，0.4x ＋3，a 2＋b ＋7，x ＋y 2. 解析：识别单项式的要点：(1)单项式中不能含有加减运算，不能含有表示大小关系的符号，如＝，≠，＞等； (2)单项式的分母中不能含有字母．故单项式有：25x ，－85a 3，a.知识点二确定单项式的系数和次数单项式系数字母前的数字因数次数所有字母的指数和例题2 指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．，，，，，a -3，，，解析：（1）要区分数字因数、字母因数；（2）不能见了指数就相加，如中，的指数单项式1.数字与字母的乘积，例3x.2.单独一个字母，例x.3.单独一个数字,例2.当整式单项式多项式次数系数次数项4不能相加，次数为4；（3）有分数线的，分子、分母的数字都是系数；（4）是常数，不能看作字母．，，，，，，是单项式，其中的系数是，次数是3；的系数是-1，次数是1；的系数是，次数是4；的系数是，次数是4；为非零常数，只有数字因式，系数是它本身，次数为0；的系数仍按科学记数法表示为-3×108，次数是3；只含有字母因数，系数是l ，次数为字母指数之和为3．知识点三识别整式、单项式及多项式例题3下列式子中，哪些是整式？哪些是单项式？哪些是多项式？ a ，ax 2＋bx ＋c ，－5，π，x －y 2，2x x －1.解析：(1)单项式不含加减运算，多项式必含加减运算．(2)多项式是几个单项式的和，单项式和多项式都是整式．单项式：a ，－5，π. 多项式：ax 2＋bx ＋c ，x －y2.整式：a ，ax 2＋bx ＋c ，－5，π，x －y2.知识点四确定多项式的项和次数例4指出下列多项式的次数与项：(1)23xy －14；(2)a 2＋2a 2b ＋ab 2－b 2；(3)2m 3n 3－3m 2n 2＋53mn. 解析：(1)多项式的各项应包括它前面的符号；(2)多项式没有“系数”这一概念，但每一项均有系数，每一项的系数应包括它前面的符号； (3)次数最高项的次数就是多项式的次数；(4)一个多项式的最高次项可以不唯一；(5)区分多项式的次数与单项式的次数，不能误认为多项式的次数是各个单项式的次数之和； (6)多项式的“项”与“项数”是不同的概念，“项”是指组成多项式的单项式，包括它前面的符号，“项数”是指项的个数．故答案为(1)2次，23xy ，－14.(2)3次，a 2，2a 2b ，ab 2，－b 2.(3)6次，2m 3n 3，－3m 2n 2，53mn.【题型详解】题型一识别单项式在式子3a ，x ＋1，－2，－b 3，0.72xy ，2π，3x －14中，单项式有()A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析：识别单项式的要点：(1)单项式中不能含有加减运算，不能含有表示大小关系的符号，如＝，≠，＞等；(2)单项式的分母中不能含有字母．故－2，－b 3，0.72xy ，2π为单项式，答案为C 题型二单项式次数和系数的判断写出下列各单项式的系数和次数：解析：(1)单项式的系数：若一个单项式只含有字母因数，则它的系数是1或－1；若单项式是一个常数，则它的系数就是它本身．(2)单项式的次数是所有字母的指数的和，与系数的指数无关，如24x 2y 3的次数是5，而不是9.故答案为：题型三单项式，多项式，整式概念辨析把下列各式填在相应的集合里．①0.②x 2；③－x 2－2x ＋5；④94；⑤xy.⑥8＋b7；⑦－5；⑧x ＋y 5.整式：{ ，…} 多项式：{ ，…} 单项式：{ ，…}解析：(1)单项式不含加减运算，多项式必含加减运算．(2)多项式是几个单项式的和，单项式和多项式都是整式．故答案为整式：{①②③④⑤⑥⑦⑧，…}多项式：{③⑥⑧，…} 单项式：{①②④⑤⑦，…} 题型四多项式的项和次数的确定指出下列多项式的项和次数． (1)a 3－a 2b ＋ab 2－b 3; (2)3n 4－2n 2＋1.解析：(1)a 3，－a 2b ，ab 2，－b 3，3次．(2)3n 4，－2n 2，1，4次．【易错点辨析】误区一、单项式系数判断错误例1、（1）单项式3x 410⨯的系数是；（2）-πr 2h 的系数是（3）4y 3-2x 的系数是；错解：（1）3，（2）-1，（3）-3纠错秘方：（1）中的系数是3×104，（2）中的π是常数，同时注意符号（3）可以写成的积y x 与43-2正确的解：（1）3×104；（2）-π（3）43- 误区二、单项式与多项式的次数判断错误例2、填空（1）单项式y 332x 的次数是（2）多项式1xy 2y 42++x 是次三项式。

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系数
解
除了未知数的其他数，可以用字母表示
唯一解无数个解无解整数解
不唯一解
一元一次方程
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x 1 2
绝对值方程
2x 1 5
3x 1 6 0
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x 1 x 5 x 1 3 x 2
2x 1 x 5 2x 1 3 x 5
x2 5x 6 0 (x 2)( x 3)
x2 5x 6 0 (x 2)( x 3)
原理 x2 ( p q)x pq (x p)( x q)
对一元二次方程 ax2 bx c 0 (a 0) ，假设两根为 x1, x2 ，不妨设 x1 x2 ，则有 x1 b
b2 2a

4ac
, x2

b

b2 4ac ；且有韦达 2a
定理
x1

x2

b a
，
x1 x2

c a
。当

b2
4ac
0 时，方程不存在实根；当
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整式
单项式与多项式知识结构图
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单项式多项式
数字（系数）字母（次数）
单项式+单项式项数
同类项（除了系数不同的单项式）
五次指的是最高次幂
五次三项式
三项指的是三个不同类单项式之和
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一元一次方程知识结构图
未知数
一个，次数一次
一元
4ac

0
时，方程存在两个相等的实数根；当
b2 4ac 0 时，方程存在两个不等的实数根。
常见的一元二次方程十字相乘法的形式：
x2 x 2 0 (x 1)( x 2)
x2 x 2 0 (x 1)( x 2)
x2 2x 3 0 (x 1)( x 3)
2x 1 3 x 5 2 x 1 31 x 7
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一元一次方程与一元二次方程
方程 ax b 0，当 a 0,b 0 时，该方程无解；当 a 0,b 0 时，该方程有无穷多个解；当 a 0 时，该方程为一元一次方程有唯一解。
x2 2x 3 0 (x 1)( x 3)
x2 3x 4 0 (x 1)( x 4)
x2 3x 4 0 (x 1)( x 4)
x2 4x 5 0 (x 1)( x 5)
x2 4x 5 0 (x 1)( x 5)