第二讲 旋转变换
旋转变换说课稿教案教学设计
旋转变换说课稿教案教学设计旋转变换学习目标1、理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换。
2、掌握旋转变换的几何意义及其矩阵表示。
学习过程：一、预习：（一）阅读教材，解决下列问题：问题1：P（x,y）绕原点逆时针旋转180o得到P’(x’,y’),称P’为P在此旋转变换作用下的象。
其结果为''x xy y=-=-，也可以表示为''x x yy x y=-+?=?-，即''xy＝1001-??-yx＝xy-??-??怎么算出来的？归纳：问题2：P（x,y）绕原点逆时针旋转300得到P’(x’,y’),试完成以下任务①写出象P’；②写出这个旋转变换的方程组形式；③写出矩阵形式.问题3：把问题2中的旋转300改为旋转α角，其结果又如何？练习1、在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转120o的旋转变换对应的二阶矩阵是2、如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是二、课堂训练：例1．已知A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),求矩形ABCD 绕原点逆时针旋转900后所得到的图形，并求出其顶点坐标，画出示意图.例2、若△ABC 在矩阵M 对应的旋转变换作用下得到△A ′B ′C ′，其中A （0，0），B （1，3），C （0，2），A ′（0，0），C ′（-3，1），试求矩阵M 并求B ′的坐标.练习：1. 将向量=12绕原点按逆时针方向旋转4π得到向量b ，则向量b 的坐标为=______________.2. 在某个旋转变换中，顺时针旋转3π所对应的变换矩阵为＿＿＿＿＿＿．。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-2 2.2.4 旋转变换》
旋转变换
·温故：
1恒等变换：
恒等变换矩阵〔单位矩阵〕：
2伸压变换：
伸压变换矩阵：
3反射变换：
常见的反射变换矩阵：
·知新~问题情境
问题1：平面向量在矩阵的作用下分别对应为怎样的向量？请在平面直角坐标系中画出上述向量．
问题2：结合上图猜测矩阵表示什么变换？
·知新~建构数学
旋转变换：，其中点O称为中心，角度θ称为．
例如：当坐标原点为旋转中心，旋转角为时，变换矩阵为．
问题3：非特殊角下的旋转变换矩阵该如何表示？
故变换对应的矩阵为
旋转变换的作用效果
·知新~数学运用
【例1】设点的坐标为，是绕原点逆时针方向旋转的旋转变换，求旋转变换对应的矩阵，并求点在作用下得到的点的坐标．
【例2】假设点在矩阵对应的变换作用下得到的点为，求．
·知新~学生活动
【探究】，，，，求矩形在矩阵作用下变换所得到的图形．
小结提升
1旋转变换矩阵对于旋转变换同样适用
2其中，假设逆时针方向旋转，那么记旋转角为“〞〔选填“〞或“－〞〕；假设顺时针方向旋转，那么记旋转角为“〞〔选填“〞或“－〞〕．【例3】椭圆，将曲线绕原点顺时针旋转，得到椭圆，求〔1〕椭圆的标准方程；〔2〕求的焦点坐标．
稳固练习
1假设在矩阵对应的旋转变换作用下得到，其中，，，，试求矩阵以及点的坐标．
2将抛物线绕它的顶点逆时针旋转，得到曲线，求曲线的焦点坐标和准线方程．
·知新~回忆小结。
高二数学 2.2.4 旋转变换教案
带 领学生结合上述方法进行分析练习
作业
P34 7、8
教学小结
归纳：
问题2：P（ x,y）绕原点逆时针旋转300得到P’(x’,y’),试完成以下任务①写出象P’；②写出这个旋转变换的方程组形式；③写出矩阵形式.
问题3：把问题2中的旋转300改 为旋转 角，其结果又如何？
练习
1、在直角 坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转120o的旋转变换对应的二阶矩阵是
2、如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是
课题
2.2.4旋转变换
总课时数
第节
教学目标
1、理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换。
2、掌握旋转变换的几何意义及其矩阵表示。
重难点
目标2
教学参考
教材、教参、非常学案
授课方法
自学法、启发法
教学辅助手段
多媒体
专用教室
教学过程设计
教
学
二次备课
一）阅读教材，解决下列问题：
问题1：P（x,y）绕原点逆时针旋转180o得到P’(x’,y’),称P’为P在此旋转 变换作用下的象。其结果为 ，也可以表示为 ，即 ＝ ＝ 怎么算出来的？
二、课堂例与练：
例1．已知A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),求矩形ABCD绕原点逆时针旋转900后所得到的图形， 并求出其顶点坐标，画出示意图.
通过点的变化得到新的方程即新的图形，
观察其 特点。
教学过程设计
学
二次备课
例2、若△ABC在矩阵M对应的旋 转变换作用下得到△A′B′C′，其中A（0，0），B（1， ），C（0， 2），A′（0， 0），C′（- ，1），试求矩阵M并求B′的坐标.
2 旋转综合之对角互补模型
旋转综合之对角互补模型初三中考复习在即，在数学中考中，几何变换往往是中考中最令人头痛的题型，其辅助线的添加非常灵活，和其他几何知识的综合性也非常强。
在几何变换中，旋转是最为常见、也是最为重要的变换，本周我们集中讲解旋转综合中常见的模型、题型，这部分是本期内容的第二讲：旋转综合之对角互补模型，希望各位同学能从中收益。
基本图形1、如图所示，在等腰Rt ABC中，点O为斜边AB的中点，点E,F分别是AC,BC上两点，且90EOF∠=︒①若过点O分别作AC,BC的垂线段，垂足为M,N，则MOE△△≌NOF②若连接OC，则EOC△．△≌FOB2、如图所示，点D为ABC∠两边上的点，且∠的平分线BD上一点，点E,F分别为AOB△≌GDF△∠+∠=︒．过点D分别作AB,BC的垂线段，垂足为H,G，则HDEABC EDF180对角互补模型的解题步骤1、找旋转点（角平分线上的点），构造旋转；2、证全等、相似；3、利用全等、相似得到边、角的关系．例1 如图1，将一个直角三角板的直角顶点P 放在正方形ABCD 的对角线BD 上滑动，并使其一条直角边始终经过点A ，另一条直角边与BC 相交于点E ．（1）求证：PA PE = （2）若将（1）中的正方形变为矩形，其余条件不变，（如图2），且10AD =，8DC =，求:AP PE 的值；（3）在（2）的条件下，当P 滑动到BD 的延长线上时，如图3，:AP PE 的值是否发生变化?无需证明．解 （1）如图，过P 作PM AB ⊥于点M ，PN BC ⊥于点N ．则,90,PM PN MPN APE =∠==︒∠所以 .APM EPN ∠=∠所以 APM △≌.EPN △故.AP PE =（2）过P 作PM AB ⊥于M ，PN BC ⊥于N则 ,.PM AD PN CD ∥∥所以 ,,BPM BDA BNP BCD ∽∽△△△△可得 .PM BP PNAD BD CD== 所以 5.4PM AD PN CD == 易证 APM EPN ∽△△， 所以 5,4AP PM PE PN == 即:5:4.AP PE =（3）:AP PE 的值不变．（理由同（2））例2 菱形ABCD 中，两条对角线AC ,BD 相交于点O ，180MON BCD ∠+∠=︒，MON ∠绕点O 旋转，射线OM 交边BC 于点E ，射线ON 交边DC 于点F ，连接EF （1） 如图，当90ABC ∠=︒时，OEF △的形状是_______（2）如图，当60ABC ∠=︒时，请判断OEF △的形状，并说明理由；（3）如图，在（1）的条件下，将MON ∠的顶点移动到AO 的中点O '处，MO N '∠绕点O '旋转，仍满足180MO N BCD '∠+∠=︒，射线O M '交直线BC 于点E ，射线O N '交直线CD 于点F ，当4BC =，且98O EF ABCD S S '=△时，直接写出线段CE 的长．解 （1）OEF △是等腰直角三角形． （2）OEF △是等边三角形．理由如下：如图，过点O 分别作BC ,CD 的垂线，垂足为点G ,H ．易证 EOG △≌(ASA),FOH △所以,OE OF =从而OEF △是等边三角形．（3）线段CE的长为3或如图，过点O '分别作BC ,CD 的垂线，垂足为点G ,H ．易证 EO G '△≌(ASA),FO H '△所以,O E O F ''=从而..是等腰直角三角形． 由98O EF ABCD S S '=△得 18,O EF S '=△所以 6.O E O F ''==而334O G AB '==， 所以EG =当点E 在射线CB上时，3CE CG EG =+= 当点E 在射线BC上时，3CE CG EG =-=．例 3 如图，把EFP △按图所示的方式放置在菱形ABCD 中，使得顶点,,E F P 分别在线段,,AB AD AC 上．已知4EP FP ==，EF =60BAD ∠=︒，且AB >（1）求EPF ∠的大小；（2）若6AP =，求AE AF +的值；（3）若EFP △的三个顶点,,E F P 分别在线段,,AB AD AC 上运动，请直接写出AP 长的最大值和最小值．解 （1）如图，过点P 作PG EF ⊥于点G由题意可得EG FG ==， 所以sin GE GPE PE ∠=则60,2120.GPE EPF GPE ∠=∠=∠=︒︒（2）如图，作PM AB ⊥于点M ，作PN AD ⊥于点N ．易证PME △≌PNF △，PAM △≌.PAN △所以2AE AF AM AN+=+==（3）AP的最大值为8，AP的最小值为4A E P F四点共圆，如图所示．当点A,P在EF异侧时，点,,,所以当AP为该圆直径时，AP长取最大值．此时PE AB⊥，所以AP长的最大值为==28;AP PE当点A,P在EF同侧时，点P唯一，如图所示．此时△APE△≌APF所以∠∠=︒=AEP AFP30,从而可得AP长的最小值为==4.AP PE旋转变换是中考中非常重要的题型，本节课我们重点讲解了对角互补模型，希望各位同学多加体会、总结，平时遇到类似题目注意应用和练习，下一节我们将重点讲解角含半角模型。
高中数学《旋转变换》教案 新人教版选修4-2
江苏省西亭高级中学高中数学选修4-2《旋转变换》教案教学目标1．理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换．2．掌握旋转变换的几何意义及其矩阵表示．教学重点、难点 旋转变换的几何意义及其矩阵表示教学过程：一、问题情境问题1：P （x ,y ）绕原点逆时针旋转180°得到P ’(x ’,y ’),称P ’为P 在此旋转变换作用下的象．其结果为''x x y y ⎧=-⎨=-⎩，也可以表示为''00x x y y x y ⎧=-+⋅⎨=⋅-⎩，即''x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1001-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝x y -⎡⎤⎢⎥-⎣⎦怎么算出来的？归纳：问题2：P （x ,y ）绕原点逆时针旋转30°得到P ’(x ’,y ’),试完成以下任务①写出象P ’；②写出这个旋转变换的方程组形式；③写出矩阵形式．问题3：把问题2中的旋转30°改为旋转α角，其结果又如何？二、数学建构矩阵cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦通常叫做旋转变换矩阵，对应的变换称作旋转变换．其中的角θ做旋转角，点O 叫做旋转中心．注：旋转变换只改变几何图形的位置，不会改变几何图形的形状．图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定．三、例题精讲：例1 已知A(0,0), B(2,0),C(2,1),D(0,1),求矩形ABCD 绕原点逆时针旋转900后所得到的 图形，并求出其顶点坐标，画出示意图.变题:将条件改为矩形ABCD 绕原点顺时针旋转30度，其结果又会如何？例2 若△ABC 在矩阵M 对应的旋转变换作用下得到△A′B′C′，其中A （0，0），B （1，3），C （0，2），A ′(0，0）， C ′（-3， 1），试求矩阵M 并求B ′的坐标.四、课堂精练 1.将向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12绕原点按逆时针方向旋转4π得到向量b ，则向量b 的坐标为=_______. 2.在某个旋转变换中，顺时针旋转3π所对应的变换矩阵为_______． 3.设点P 的坐标为（1，-2），T 是绕原点逆时针方向旋转3π 的旋转变换，求旋转变换T 对应的矩阵，并求点P 在T 作用下的象点P ′的坐标．4.已知△ABC ，A(1,1)，B(2,3)，C(3,－1)，求在矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21212121作用所得到的图形围成的面积．五、回顾小结1．我已掌握的知识2．我已掌握的方法六、课后作业 1.曲线xy=1绕坐标原点逆时针旋转90°后得到的曲线方程是 ，变换对应的矩阵是 .2.如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换对应的旋转角是3.求出△ABC 在矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21232321对应的变换作用下得到的图形，并画出示意图，其中A(0,0), B(1,3),C(0,2).中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
第2课时 旋转作图与坐标系中的旋转变换
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/92021/9/9Thursday, September 09, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/92021/9/92021/9/99/9/2021 11:06:21 AM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/92021/9/92021/9/9Sep-219-Sep-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/92021/9/92021/9/9Thursday, September 09, 2021
You have to believe in yourself. That's the secret of succe
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1
旋转变换
【中考要求】
1． 基本要求
通过具体实例认识图形的旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、
对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形
2． 略高要求
能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转后的图形，指出旋转中心和旋
转角
3． 较高要求
能运用旋转的知识解决简单的计算问题；运用旋转的知识进行图案设计；与其他变换共
同解决实际问题
【知识点讲解】
1．旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形
运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.
注意：在旋转过程中保持不动的点是旋转中心．
2．旋转的三个要素：旋转中心、旋转的角度和方向.
3．旋转的性质：
（1）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；
（2）对应点到旋转中心的距离相等；
（3）对应线段相等，对应角相等；
（4）旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小.
4．简单图形的旋转作图：
（1）确定旋转中心；
（2）确定图形中的关键点；
（3）将关键点沿指定的方向旋转指定的角度；
（4）连结各点，得到原图形旋转后的图形.
5．旋转对称图形：
一个平面图形绕着某一定点旋转一定角度(小于周角)后能与自身重合，这样的图形叫做
旋转对称图形，这个定点叫做旋转中心.
正n边形都是旋转对称图形,其旋转中心是它们的中心,旋转角为360n.
圆的旋转角是任意角度.
6．中心对称图形：
当旋转角为180°时,旋转对称图形是一个中心对称图形,所以中心对称图形是旋转对称
图形的特例.
【重点与难点】
重点：
（1） 掌握旋转的概念及相关的对应点、对应线段、旋转中心、旋转角度等概念
（2） 掌握旋转对称图形、中心对称图形的概念及性质
难点：
（1） 图形旋转中相关概念、性质的灵活运用
（2） 旋转对称图形中的旋转角的确定、求法
（3） 学生抽象思维能力的培养
2
【例题讲解】
1、如下图所示，在图甲中，Rt△OAB绕其直角顶点O每次旋转90˚，旋转三次得到右边的
图形．在图乙中，四边形OABC绕O点每次旋转120˚，旋转二次得到右边的图形．
下列图形中，不能通过上述方式得到的是
( )
答案：D
2（深圳）、图所列图形中是中心对称图形的为（ ）
A B C D
答案：C
3、如图1，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块绕正方形的中心O左0~90的旋
转，那么旋转时露出的△ABC的面积（S）随着旋转角度（n）的变化而变化，下面表示
S与n关系的图象大致是（ ）
答案：C
4、（浙江金华）如图2是跷跷板的示意图，支柱ＯＣ与地面垂直，点Ｏ是横板Ａ
Ｂ的中点，ＡＢ可以绕着点Ｏ上下转动，当Ａ端落地时，∠ＯＡＣ＝20°，横板
上下可转动的最大角度（即∠Ａ’OA）是（ ）
A． B． C． Ｄ．
乙
O A
B
C O A(C1B A1(C2B1 B2 C (A2) O A B O A B A
3
B3 B
1
A
1
B
2
A
2
甲
图1
3
Ａ、80° Ｂ、60° Ｃ、40° Ｄ、20°
答案：C
5（厦门）、已知平面直角坐标系上的三个点O（0，0）、
A（－1，1）、B（－1，0），将△ABO绕点O按顺时
针方向旋转135°，则点A、B的对应点A1、B1的坐标
分别是A1（ ， ） ，B1( ， ) .
答案：A1 (2，0)， B1(22，22)
6、如图3，将边长为2cm的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个
不动，另一张绕点B顺时针旋转一个角度，若使重叠部分的面积为
2
43
cm
3
，则这个旋转角度为________度．
答案：30
7、（绵阳）. 分析图4①，②，④中阴影部分的分布规律，按此规律在图4③中画出其中的
阴影部分.
答案：
8(黑龙江)、如图5网格中有一个四边形和两个三角形.
(1) 请你画出三个图形关于点O的中心对称图形;
(2) 将(1)中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形对称轴的条数;
这个整体图形至少旋转多少度与自身重合
图2
图3
4
9、四边形ABCD中，ACCDCBADAB9013，，，。求四边形ABCD
的面积。
10、如图，已知等边ABC中，O是内心，扇形MON的圆心角为120。若ABcm6，
求阴影部分的面积。
【巩固练习】
1（苏州）、右图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的则每次旋转的度数可以
是（ ）
A．900 B．60
0
C．450 D．300
答案：C
2（河南）、下列各图中，不是中心对称图形的是（ ）
5
答案：B
3（丽水）、在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的五种图形中，既是轴对称、又
是中心对称的图形是 ．
答案：矩形、菱形、正方形
4（泉州）、请你在右图的正方形格纸中，画出线段AB关于点O成中心对称的图形．
5、在如图13所示的平面直角坐标系中，已知△ABC．
(1)将△ABC向x轴负半轴方向平移4个单位得到△A1B1C1，画出图形并写出点A1的坐标．
(2)以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出图形并写出点A2的
坐标．
(3) △A2B2C2可以看作是由△A1B1C1先向右平移4个单位，然后以原点O为旋转中心，顺时
针旋转90°得到的．除此之外，△A2B2C2还可以由△A1B1C1怎样变换得到？请选择一种方法，
写出图形变换的步骤．
答案：（1）略．（2）2A的坐标为33，；（3）例如：将111ABC△沿着12BB的方向平移
25
个单位，然后以点2B为旋转中心，顺时针旋转90得到222ABC△．（本题答案不惟一）
6、已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC．
（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图15-1）．
①设AB的长为a，PB的长为b（b
x
y
O
B
C
A
图13
6
②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长．
（2）如图15-2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上．
解：（1）①224Sab阴影；
②连结PP，证PBP△为等腰直角三角形，从而6PC；
（2）将PAB△绕点B顺时针旋转90到PCB△的位置，由勾股逆定理证出
90PCP∠，再证180BPCAPB∠∠
，即点P在对角线AC上．
图15-1
A
B
C
D
P
P′
A
B
C
D
P
图15-2