几何图形旋转变换

几何图形旋转变换

1.已知：在ABC ∆中，AC BC >，动点D 绕ABC ∆的顶点A 逆时针旋转，且BC AD =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．

（1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论BNE AMF ∠=∠（不需证明）

． （2）当点D 旋转到图2或图3中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．

图2

图3

图1

A

D

2、已知：在四边形ABCD中，A D∥BC，∠BAC=∠D，点E、F分别在BC、CD上，

且∠AEF=∠ACD,试探究AE与EF之间的数量关系。

（1）如图1，若AB=BC=AC,则AE与EF之间的数量关系为______________; （2）如图2，若AB=BC，你在（1）中的得到的结论是否发生变化？写出你的猜想，并加以证明；

（3）如图3，若AB=KBC，你在（1）中的得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.

L

3．如图1，ABC △的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且A C B C =；EFP △的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =．

（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；

（2）将EFP △沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交

AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足

图1

的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将EFP △沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长 线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你认为（2）中所

猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立， 图2

给出证明；若不成立，请说明理由．

L

4．（1）如图1，四边形ABCD 中，CB AB =，︒=∠60ABC ，︒=∠120ADC ，请你 猜想线段DA 、DC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，四边形ABCD 中，BC AB =，︒=∠60ABC ，若点P 为四边形ABCD 内一点，且︒=∠120APD ，请你猜想线段PA 、PD 、PC 之和与线段BD

的

数量关系，并证明你的结论．

图

2

图１

5. 在ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋

转90得到线段EF(如图1)

（1）在图1中画图探究：

①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆

时针旋转90得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；

②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E

逆时针旋转90得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.

（2）若AD=6,tanB=4

3,AE=1,在①的条件下，设CP1=x，S

11

P FC=y，求y与

x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

6.△ABC是等边三角形，P为平面内一个动点，BP=BA，若0°＜∠PBC＜180°，且∠PBC的平分线上一点D满足DB=DA，

(1)当BP和BA重合时(如图1)，∠BPD= °

(2)当BP在∠ABC内部时(如图2)，求∠BPD

(3)当BP在∠ABC外部时，请直接写出∠BPD，并画出相应的图形

7．我们知道：将一条线段AB 分割成大小两条线段AC 、CB ，若小线段CB 与大线段AC 的长度之比等于大线段AC 与线段AB 的长度之比，即

...49896180339887.02

1

5=-==AB AC AC CB 这种分割称为黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点.

（1） 类似地我们可以定义，顶角为︒36的等腰三角形叫黄金三角形，其底与腰之比为黄金数，底角平分线与腰的交点为腰的黄金分割点.如图24-1，在

ABC ∆中，︒=∠36A ，,AC AB =ACB ∠的角平分线CD 交腰AB 于点D ，请你说明D

为腰AB 的黄金分割点的理由.

(2) 若腰和上底相等,对角线和下底相等的等腰梯形叫作黄金梯形,其对角线的交点为对角线的黄金分割点. 如图

24-2,AD ‖

BC ,DC AD AB ==,BC BD AC ==,试说明O 为AC 的黄金分割点.

(3)如图24-3,在ABC Rt ∆中,︒=∠90ACB ,CD 为斜边AB 上的高，ACB B A ∠∠∠、、的对边分别为c b a 、、.若D 是AB 的黄金分割点，那么c b a 、、之间的数量关系是什么？并证明你的结论.

24-1 图24-2 图24-3

图图图32

1

A B C

D

E

Q

P

G

P

Q E

D

C

B

A

P Q

E

D

C B

A F 8．在矩形ABCD 中，点E 是AD 边上一点，连结BE ，且BE ＝2AE ， BD 是

∠EBC 的平分线．点P 从点E 出发沿射线ED 运动，过点P 作PQ ∥BD 交直线BE 于点Q ．

（1）当点P 在线段ED 上时（如图①）

，求证：BE PD PQ +

； （2）当点P 在线段ED 的延长线上时（如图②），请你猜想3

BE PD PQ

、、三者之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；

（3）当点P 运动到线段ED 的中点时（如图③），连结QC ，过点P 作

PF ⊥QC ，垂足为F ，PF 交BD 于点G ．若BC ＝12，求线段PG 的长．