旋转类几何变换

旋转类几何变换一几何变换——旋转旋转中的基本图形利用旋转思想构造辅助线⎧⎨⎩（一）共顶点旋转模型(证明基本思想“SAS”)等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形共顶点等腰三角形共顶点等腰三角形以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化自检自查必考点二 利用旋转思想构造辅助线（1）根据相等的边先找出被旋转的三角形 （2）根据对应边找出旋转角度（3）根据旋转角度画出对应的旋转的三角形三 旋转变换前后具有以下性质：（1）对应线段相等，对应角相等 （2）对应点位置的排列次序相同（3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角θ．考点一旋转与最短路程☞考点说明：旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题，涉及费马点问题，视学生程度进行选择性讲解。

【例1】 如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ∆是等边三角形，M 为对角线BD 上任意一点，将BM 绕点B逆时针旋转60︒得到BN ，连接AM 、CM 、EN ． ⑴求证：AMB ENB ∆∆≌⑵①当M 点在何处时，AM CM +的值最小；②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由； ⑶当AM BM CM ++的最小值为31+时，求正方形的边长．中考满分必做题ENMDCB A【例2】 阅读下列材料对于任意的ABC ∆，若三角形内或三角形上有一点P ，若PA PB PC ++有最小值，则取到最小值时，点P 为该三角形的费马点。

①若三角形内有一个内角大于或等于120︒，这个内角的顶点就是费马点②若三角形内角均小于120︒，则满足条件120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒时，点P 既为费马点 解决问题：⑴如图，ABC ∆中，三个内角均小于120︒，分别以AB 、AC 为边向外作等边ABD ∆、ACE ∆，连接CD 、BE 交于点P ，证明：点P 为ABC ∆的费马点。

(即证明120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒)且PA PB PC CD ++=PEDCBA QA BCDEP⑵如图，点Q 为三角形内部异于点P 的一点，证明：QA QC QB PA PB PC ++>++ ⑶若30ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，直接写出PA PB PC ++的最小值考点二 利用旋转求点的坐标☞考点说明：利用全等三角形的性质进行边与角的转化。

【例3】 正方形ABCD 在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD 绕D 点顺时针方向旋转90︒后，B 点的坐标为（ ） A.(22)-， B.(41)， C.(31)，D.(40)，【例4】 如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB ∆的顶点A 的坐标为(31)，，若将OAB ∆绕点O 逆时针旋转60︒后，B 点到达'B 点，则'B 点的坐标是________DC BAO yxyxB AO考点三 旋转与勾股定理☞考点说明：在等边三角形与正方形中，常见的一种题型，应重点掌握【例5】 如图，P 是等边ABC ∆中的一个点，2,23,4PA PB PC ===，则ABC ∆的边长是________【例6】 如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，P 是ABC ∆内的一点，且123PB PC PA ===，，，求BPC ∠的度数．【例7】 如图点P 是正方形ABCD 内部一点，1PA =2PB =3PC =，则APB ∠= ．考点四 利用旋转的性质解决几何有关的计算☞考点说明：此类问题多以选择填空的形式出现，较为简单，有的时候也会再综合题中出现。

【例8】 如图，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转45︒得到ADE ∆，点E 落在边BC 上，则_______BED ∠=【例9】 如图，将直径为4的半圆AB ，绕点A 逆时针旋转60︒，则阴影部分的面积为【例10】 如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转80︒得到AB C ''∆．若50BAC ∠=︒，则CAB '∠的度数为( )A ．30︒B ．40︒PCBAPBACABCDPEDCB AB'B ACB'C'C ．50︒D ．80︒【例11】 如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到矩形'''AB C D ，如果22CD DA ==，那么'CC =_________．【例12】 把边长分别为4和6的矩形ABCO 如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C 顺时针旋转α角，旋转后的矩形记为矩形EDCF ．在旋转过程中，⑴如图①，当点E 在射线CB 上时，E 点坐标为___________；⑵当CBD ∆是等边三角形时，旋转角α的度数是____________(α为锐角时)； ⑶如图②，设EF 与BC 交于点G ，当EG CG =时，求点G 的坐标；考点五 利用旋转的性质解决几何有关的证明☞考点说明：旋转有关的几何变换是中考的热点问题，同时也是中考试题中的重难点所在。

【例13】 E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =︒∠，AH EF ⊥，H 为垂足，求证：AH AB =．【例14】 已知ABC ∆，分别以AB 、BC 、CA 为边向形外作等边三角形ABD ，等边三角形BCE ，等边三角形ACF⑴如图1，当ABC ∆是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论。

FED CBAFEDCBAD'C'B'DCB A图①E y x ODC BAαGF 图②Ey xODC B AαCHF E D B A⑵如图2，当ABC ∆中只有60ACB ∠=︒时，请你证明ABC S ∆与ABD S ∆的和等于BCE S ∆与ACF S ∆的和 【例15】 如图①，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且DE BC ∥，将ADE ∆绕A 点顺时针旋转一定角度，连结BD 、CE ，得到图②，然后将BD 、CE 分别延长至M 、N ，使12DM BD =，12EN CE =，连结AM 、AN 、MN ，得到图③，请解答下列问题：⑴若AB AC =，请探究下列数量关系：①在图②中，BD 与CE 的数量关系是________________；②在图③中，猜想AM 与AN 的数量关系、MAN ∠与BAC ∠的数量关系，并证明你的猜想； ⑵若AB k AC =⋅（1k >），按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM 与AN 的数量关系、MAN ∠与BAC ∠的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．【例16】 已知：在ABC ∆中，AB AC =，点D 为BC 边的中点，点F 是AB 边上一点，点E 在线段DF 的延长线上，BAE BDF ∠=∠，点M 在线段DF 上，ABE D BM ∠=∠． ⑴如图1，当45ABC ∠=︒时，求证：2AE MD =；⑵如图2，当60ABC ∠=︒时，则线段AE 、MD 之间的数量关系为________⑶在⑵的条件下，延长BM 到P ，使M P BM =，连接CP ，若7AB =，27AE =，求tan ACP∠的值．DBCAE图①DBCA图②EDBCA图③EMNDBCA 图④EM NMBACD （图1）（图2）EFMBACD EF【例17】 ⑴如图所示，在四边形ABCD 中，AB AD =，60BAD ∠=，120BCD ∠=，证明：BC +DC AC =.⑵ 如图所示，在四边形ABCD 中，AB BC =,60ABC ∠=，P 为四边形ABCD 内部一点，120APD ∠=，证明：PA PD PC BD ++≥.DCBAPDCBA【例18】 如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD =BE ，△AMN 是等边三角形．（1）把△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD =BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB =2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由．【例19】 如图1，Rt △ABC ≌Rt △EDF ，∠ACB ＝∠F ＝90°，∠A ＝∠E ＝30°．△EDF 绕着边AB 的中点D旋转，DE ，DF 分别交线段AC 于点M ，K ．（1）观察：①如图2、图3，当∠CDF ＝0°或60°时，AM ＋CK _______MK （填“＞”，“＜”或“＝”）．②如图4，当∠CDF ＝30°时，AM ＋CK _______MK （只填“＞”或“＜”）．（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF ＜60°时，AM ＋CK _______MK ，证明你所得到的结论．（3）如果MK 2＋CK 2＝AM 2，请直接写出∠CDF 的度数和AMMK的值．图1 图2 图3DBCAF EM K 图1DBC A(F ,K )EM 图2【例20】 在等边ABC ∆的两边AB ，AC 所在直线上分别有两点M N D ，，为ABC ∆外一点，且60MDN ∠=︒，120BDC ∠=︒，BD CD =，探究：当点M N ，分别爱直线AB AC ，上移动时，BM BN MN ，，之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．DBCA FEK图3(M )DBCAF EM K 图4图①M ND CBA图②M ND CBA N图③MD CBA（1）如图①，当点M N ，在边AB AC ，上，且DM DN =时，BM NC MN ，，之间的数量关系式_________；此时QL=__________ （2）如图②，当点M N ，在边AB AC ，上，且DM DN ≠时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；⑶如图③，当点M N ，分别在边AB CA ，的延长线上时，若AN x =，则Q =_________(用x L ，表示)【例21】 在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，tan ∠BAC =12. 点D 在边AC 上（不与A ，C 重合），连结BD ，F 为BD 中点.若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得D 、E 、B 三点共线，点F 仍为BD 中点，如图2所示．求证：BE -DE =2CF ；BCADE FBDEA FC BAC1图2图备图。