第9讲 几何变换之旋转(2)(教师版)
初三专题复习几何变换之旋转辅导讲义
几何变换之旋转【中考剖析：】内容要求考点旋转了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形; 能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前后的图形，指出旋转中心和旋转角．图形旋转后求角度、线段关系、长度、周长、面积【专题结构：】一、旋转有关概念1、旋转：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点'P，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．(如图)2、旋转问题应把握三元素：旋转中心、旋转角度和旋转方向．3、旋转的性质：旋转后的图形与原图形是全等的，对应的旋转角度相等．二、中心对称1、中心对称的有关概念：把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点(如图)三、共顶点旋转模型（证明基本思想SAS）P'Q'QPODCBAO共顶点等边三角形共顶点等腰直角三角形共顶点等腰三角形四、旋转前后具有以下性质1、对应线段相等，对应角相等2、对应点位置的排列次序相同3、任意两条对应线段所在的直线夹角都等于旋转角【例题精讲：】 一、对旋转的初步认识【例1】正方形网格中，ABC ∆为格点三角形(顶点都是格点)，将ABC ∆绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到11AB C ∆．⑴在正方形网格中，作出11AB C ∆；(不要求写作法)⑵设网格小正方形的边长为1cm ，用阴影表示出旋转过程中线段BC 所扫过的图形，然后求出它的面积．(结果保留)【巩固】在下图的网格中按要求画出图象，并回答问题．π⑴先画出ABC ∆向下平移5格后的111A B C ∆，再画出ABC ∆以O 点为旋转中心，沿顺时针方向旋转90︒后的222A B C ∆；⑵在与同学交流时，你打算如何描述⑴中所画的222A B C ∆的位置？【例2】如图所示，ABC ∆是直角三角形，BC 是斜边，将ABP ∆绕点A 逆时针旋转后，能与'ACP ∆重合， 如果2AP =，那么'PP =______．【巩固】如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到矩形'''AB C D ，如果22CD DA ==，那么 'CC =_________．【例3】如图，在Rt ABC ∆中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且45DAE ∠=︒，将ADC ∆绕点A 顺时针旋转90︒后，得到AFB ∆，连接EF ，下列结论：①AED AEF ∆∆≌； ②ABE ACD ∆∆∽； ③BE DC DE +=； ④222BE DC DE += 其中正确的是( )A ．②④；B ．①④；C ．②③；D ．①③．D'C'B'D CB A二、大角夹半角模型在大角夹半角模型中比较常见的是90和 45， 120和 60．【例4】正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，15=∠EAD ， 30=∠FAB ,=AD 3，求AEF ∆的面积．【巩固】正方形ABCD 中，点E 在DC 延长线上，点F 在CB 延长线上， 45=∠EAF , 请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？【例5】四边形ABCD 是由等边ABC ∆和顶角为120的等腰ABD ∆拼成，将一个角顶点放在D 处，将 60角绕D 点旋转，该60角两边分别交直线BC 、AC 于M 、N ．交直线AB 于E 、F 两点，FEDCBA（1）当E 、F 分别在边AB 上时（如图1），求证：MN AN BM =+；【巩固】条件如例5，当E 、F 分别在边BA 的延长线上时如图2，求线段BM 、AN 、MN 之间又有怎样的数量关系?【例6】如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120的等腰三角形，以D 为顶点作一个60的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．三、等边三角形的“Y ”字型模型【例7】如图，是等边内一点，若，，，求的度数．【巩固】如图，P 是等边ABC ∆中的一个点，2,23,4PA PB PC ===，则ABC ∆的边长是 ．【例8】如图ABC ∆三边长分别是17BC =，18CA =，19AB =，过ABC ∆内的点P 向ABC ∆三边分别作垂线PD PE PF ，，，且=27BD CE AE ++，求BD BF +的长度．【例9】如图，在凸四边形ABCD 中，30,60ABC ADC ∠=∠=，,AD DC =证明:222BD AB BC =+．P ABC ∆3AP =4PB =5PC =APB ∠PCBADCBA【课后作业：】1、如图，将边长为2的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一个绕点B 顺时针旋转一个角度，若使重叠部分面积为433，则这个旋转的角度为多少？2、如图，四边形ABCD 是正方形，F 是BA 延长线上的点，ADF ∆旋转一定角度后得到ABE ∆，如果4AF =，7AB =． ⑴指出旋转中心和旋转角度； ⑵求DE 的长度．3、矩形的对角线相交于点O ，过点O 的直线交AD ，BC 于点E ，F ，2AB =，3BC =，则图中阴影部分的面积为_____4、正方形ABCD 中的ABP ∆绕点B 顺时针旋转能与'CBP ∆重合，若4BP =，求点P 所走过的路径长．HA'CAOFEDA5、（2012•珠海）如图，把正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转45得到正方形'''CD B A （此时，点'B 落在对角线AC 上，点'A 落在CD 的延长线上），''B A 交AD 于点E ，连接'AA 、CE ．求：直线CE 是线段'AA 的垂直平分线．6、如图，四边形ABCD 中， 135ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，AB5BC =6CD =，求AD7、正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O ，点E 在BD 上，AE 平分DAC ∠． 求证：EO AD AC-=2．P'DCBA8、如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?四、等腰直角三角形的“Y ”字型旋转【例1】如图，P 是正方形ABCD 内一点， 135=∠APB ，2=BP ，1=AP ．求PC 的长．【巩固】如图，在正方形ABCD 内有一点P ，且2=BP ，5=AP ，1=PC ，求BPC ∠度数大小和正方形ABCD 的边长．【例2】在ABC ∆中，90,,A AB AC D ∠==为斜边上任一点，求证：2222BD CD AD +=．【巩固】 D ,E 是等腰直角三角形ABC 斜边BC 所在直线上的两点,满足135=∠DAE ,求证：222DE BE CD =+．【例3】四边形ABCD 被对角线BD 分为等腰直角ABD ∆和直角CBD ∆，其中A ∠和C ∠都是直角，另一条对角线AC 的长度为2，求四边形ABCD 的面积．【巩固】如图，以ABC Rt ∆的斜边BC 为一边，在ABC ∆的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，如果4=AB ，7=AO ，求AC 的长．DCBA五、三角形中的费马点【例4】若P 为ABC ∆所在平面上一点，且 120=∠=∠=∠CPA BPC APB ，则点P 叫做ABC ∆的费马点．（1）若点P 为锐角三角形ABC 的费马点，且︒=∠60ABC ，3=PA ，4=PC ，则PB 的值为______，（2）如图，在锐角三角形ABC 外侧作等边三角形'ACB ，连接'BB ，求证：'BB 过ABC ∆的费马点P ，且'BB PC PB PA ++=．【例5】如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ∆是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转︒60得到BN ，连接EN 、AM 、CM ． （1）求证：AMB ∆≅ENB∆；（2）①当M 点在何处时，CM AM +的值最小；②当M 点在何处时，CM BM AM ++的值最小，并说明理由； （3）当CM BM AM ++的最小值为时，求正方形的边长．【课后作业：】1、如图，P 是正方形ABCD 内一点，a 2=BP ，a AP =，a 3=PC ）（0a >．求：（1）APB ∠的度数．（2）正方形的面积．2、已知：2=PA ，4=PB ，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧．（1）如图，当︒=∠45APB 时，求AB 及PD 的长；（2）当∠APB 变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB 的大小．3、已知正方形ABCD 内一点，E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为 62+,则此正方形的边长为_______．。
旋转变换说课-31页精品文档
• 通过作图题，请学生以小组为单位，讨论以下问题： 经过旋转变换所得的图形与原图形什么“变”了，
什么“没变”？
设计目的：让学生通过两个图形的比较，探索旋 转变换的性质。
这两个问题，让学生分小组展开讨论,鼓励学生 从多角度来看问题，并指导学生进行归纳、总结， 同时还可组织组与组之间的评比，让课堂营造一 种和谐、热烈的气氛，也能培养他们的竞争意识。 然后每组由一名学生代表发言，让学生锻炼自己 的几何语言表达能力，让学生的个性得到充分的 展示。最后教师根据学生发言情况，适时地调整 教学，得出图形的旋转变换的性质。
让学生观察一组生活中常见 的物体， 如：时钟、风扇、 方向盘等
这些物体的运 动有什么共同 的特点？
设计意图：从学生身边熟悉的物体引入，并提出具有启 发性的问题,能够调动学生的积极思维，体会数学知识 在日常生活中的应用。
• 4．2指导观察，认识新知。
引导学生观察刚才的图形，提出下列问题：物体各部 分的转动方向一样吗？转动的角度一样吗？ 通过这一 系列的问题，然后由学生讨论得出旋转及旋转中心的 概念。
情感目标： 通过学习让学生感受生活，体会数学知识与丰富的生活世界 的紧密联系，引起学生的共鸣，激发学生的学习兴趣。
2.2 重点难点
重点：旋转变换的概念和性质。 难点：作出图形旋转变换后的像；
旋转变换的性质及其应用。
三、说教法
• 3． 1 教法分析
针对本节课的特点，我准备采用“创设情 境—观察探索—归纳总结—应用拓展”为主线的 教学方法。在教学过程中引导学生通过观察、思 考、探索、交流获得知识,形成技能,在教学过程 中注意创设思维情境,坚持以学生为主体,教师为 主导，让学生在老师的引导下自始至终处于一种 积极思维、主动探究的学习状态。使课堂洋溢着 轻松和谐、探索进取的气氛,而教师在其中当好 课堂教学的组织者、管理者和参与者。同时借助 多媒体进行演示,以增加课堂容量和教学的直观 性。
九年级数学下册《旋转变换》优秀教学案例
1.教师带领学生回顾本节课所学内容，总结旋转变换的定义、性质、表示方法和应用。
-强调旋转变换在实际问题中的应用，提高学生的几何解题能力。
2.对学生在课堂上的表现给予积极评价，鼓励他们在今后的学习中继续努力。
（五）作业小结
1.布置课后作业，巩固旋转变换的知识。
-基础题：运用旋转变换解决简单几何问题。
-学生能够将旋转变换应用于解决平面几何问题，如求旋转后图形的面积、周长等。
-学生掌握旋转变换在坐标平面中的应用，能够解决旋转相关的坐标问题。
3.掌握旋转变换与其他几何变换（如平移、轴对称）的综合运用，培养几何变换的综合运用能力。
（二）过程与方法
1.通过观察、实践、探究旋转变换的性质，培养学生的空间想象能力和几何直观。
3.培养学生运用数学思维解决问题的能力，提高数学素养。
-教学过程中，教师引导学生运用数学语言描述旋转变换，培养数学表达和逻辑思维能力。
-学生通过解决旋转变换的实际问题，体会数学在实际生活中的应用，提高数学素养。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发他们的学习积极性。
-教师通过生动的教学情境，让学生感受旋转变换在生活中的应用，激发学习兴趣。
-提高题：结合其他几何变换，解决综合几何问题。
2.鼓励学生利用课余时间观察生活中的旋转变换现象，将数学知识融入日常生活。
五、案例亮点
1.生活情境导入，激发学习兴趣
本案例以生活中的旋转变换现象为切入点，通过多媒体展示和实际操作，让学生直观感受到旋转变换在实际生活中的广泛应用。这种导入方式既激发了学生的学习兴趣，又使他们能够将抽象的数学知识与社会生活紧密联系在一起，增强了学习动机。
四、教学内容与过程
初中数学旋转变换讲解教案
初中数学旋转变换讲解教案教学目标：1. 理解旋转变换的概念和性质；2. 学会运用旋转变换解决实际问题；3. 培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 旋转变换的概念和性质；2. 旋转变换的应用。
教学难点：1. 旋转变换的理解和运用。
教学准备：1. 课件或黑板；2. 几何图形和模型。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾平移变换的概念和性质；2. 提问：除了平移变换，还有其他的变换吗？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解旋转变换的概念：旋转变换是指将一个图形绕着某一点转动一个角度的变换；2. 讲解旋转变换的性质：旋转变换不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置和方向；3. 举例说明旋转变换的应用：如将一个正方形绕着其中心旋转90度，得到的是另一个正方形；4. 引导学生进行实际操作，观察旋转变换的效果。
三、课堂练习（10分钟）1. 给出一些图形，让学生运用旋转变换将其转换成其他图形；2. 让学生运用旋转变换解决实际问题，如将一个建筑物的平面图旋转一定角度，得到的是建筑物的正视图或侧视图。
四、总结与拓展（5分钟）1. 总结旋转变换的概念和性质；2. 提问：旋转变换和平移变换有什么区别和联系？；3. 拓展：旋转变换在实际生活中的应用，如电影特效、机器人运动等。
教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了旋转变换的概念和性质，并能运用旋转变换解决实际问题。
在教学过程中，注意引导学生进行实际操作，培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
同时，通过提问和拓展，激发学生的学习兴趣和思考能力。
但在教学过程中，要注意旋转变换和平移变换的区别和联系，避免学生混淆。
九年级数学第9讲 图形的旋转_教案
教学过程一、课堂导入请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？•从现在到下课时钟转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时针的中心．•如果从现在到下课时针转了_______度，分针转了_______度，秒针转了______度．二、复习预习图形的平移：把一个图形沿着某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状，大小完全相同。
图形的这种移动，叫做平移。
轴对称：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
同轴对称、平移一样，图形的旋转也是一种常见的图形变换，从以下几个方面可全面把握图形的旋转。
三、知识讲解考点1图形的旋转（1）定义：在平面内，将一个圆形绕一个定点沿某个方向（顺时针或逆时针）转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角称为旋转角。
（2）生活中的旋转现象大致有两大类：一类是物体的旋转运动，如时钟的时针、分针、秒针的转动，风车的转动等；另一类则是由某一基本图形通过旋转而形成的图案，如香港特别行政区区旗上的紫荆花图案。
（3）图形的旋转不改变图形的大小和形状，旋转是由旋转中心和旋转角所决定，旋转中心可以在图形上也可以在图形外。
（4）会找对应点，对应线段和对应角。
考点2旋转的基本特征（1）图形在旋转时，图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。
（2）图形在旋转时，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等；（3）图形在旋转时，图形的大小和形状都没有发生改变。
几点说明：（1）在理解旋转特征时，首先要对照图形，找出旋转中心、旋转方向、对应点、旋转角。
（2）旋转的角度是对应线段的夹角或对应顶点与旋转中心连线的夹角。
（3）旋转中心的确定分两种情况，即在图形上或在图形外，若在图形上，哪一点旋转过程中位置没有改变，哪一点就是旋转中心；若在图形外，对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心。
旋转课堂讲义
旋转讲义⑴平移、旋转、轴对称学习旋转变换与学习平移、轴对称的过程基本一致，主要都是研究变换过程中的不变量，是研究几何问题、发现几何结论的有效工具. 平移、轴对称、旋转都是全等变换，只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小. 由于变换方式的不同，故变换前后具有⑵旋转与中心对称中心对称是一种特殊的旋转(旋转180°)，满足旋转的性质，由旋转的性质可以得到中心对称与轴对称的关系. 作点A 关于x 轴的对称点B ，作点B 关于y 轴的对称点C ，则点A 与点C 关于原点对称.由此可知，将一点作上述两次轴对称变换相当于作出这个点 关于原点的对称点. ⑷两个图形成中心对称与中心对称图形1、利用旋转的性质确定一个旋转变换的旋转中心、旋转角，探索图形之间的变换关系. 例1、如图1，ΔACB 与ΔADE 都是等腰直角三角形，∠ACB 和∠ADE 都是直角，点C 在AE上，如果ΔACB 经逆时针旋转后能与ΔADE 重合.①请指出其旋转中心与旋转角度；②用图1作为基本图形，经过怎样的旋转可以得到图2？图1 图2例2、(2006四川眉山)数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O 旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°； 乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°. 以上四位同 学的回答中，错误的是（ ）A ．甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁例3、如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△DEF 为等边三角形，AB=DE ，点B 、C 、D在x 轴上，点A 、E 、F 在y 轴上，下面判断正确的是（ ）A ．△DEF 是△ABC 绕点O 顺时针旋转90°得到的B ．△DEF 是△ABC 绕点O 逆时针旋转90°得到的C ．△DEF 是△ABC 绕点O 顺时针旋转60°得到的D ．△DEF 是△ABC 绕点O 顺时针旋转120°得到的例4、以图1的边缘所在直线为轴将该图案向右翻折180°得到的图形是（ ）2、利用旋转、中心对称的性质作图.例5、在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC 的三个顶点都在格点上 (每个小方格的顶点叫格点).画出△ABC 绕点O 顺时针旋转90°后的△A 1B 1C 1，并求AA 1的长.例6、(2007江苏扬州)如图，△ABC 中A(-2，3)，B(-3，1)，C(-1，2)．⑴将△ABC 向右平移4个单位长度，画出平移后的△A 1B 1⑵画出△ABC 关于x 轴对称的△A 2B 2C 2；⑶画出△ABC 关于原点O 对称的△A 3B 3C 3；⑷在△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2，△A 3B 3C 3中，△______与△______成轴对称，对称轴是______；△______与△______成中心对称，对称中心的坐 标是______．A B C D 图1例7、如图，△A ’B ’C ’是△ABC 旋转后得到的图形，请确定旋转中心、旋转角.例8、如图，已知△ABC 与△DEF 关于某一点对称，作出对称中心.3、中心对称图形的概念.例9、下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A.菱形B.等腰梯形C.等边三角形D.等腰直角三角形例10、下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．例11、如图是44 正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形．例12、已知：如图甲，试用一条直线把图形分成面积相等的两部分（至少三种方法）.D4、综合利用平移、轴对称、旋转变换进行图案设计.例13、请用4块图1中的图形设计一个中心对称图形，把设计的图形画在下面10×10的方格中．（要求：以点O 为对称中心）5、利用图形变换的性质进行计算或证明.例14、(2007江苏扬州)用等腰直角三角板画∠AOB=45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线处后绕点M 按逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的夹角α为 °．例15、(2007山东日照)如图，把边长为1的正方形ABCD 绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB ′C ′D ′，则它们的公共部分的面积 等于 ．例16、(2007四川成都)如图，将一块斜边长为12cm ，∠B=60°的直角三角板ABC ，绕点C 沿逆时针方向旋转90°至△A ’B ’C ’ 的位置，再沿CB 向右平移，使点B ’刚好落在斜边AB 上， 那么此三角板向右平移的距离是 cm ．例17、(2007浙江义乌)如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得它们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B 、C 、F 、D 在同一条直线上，且点C 与点F 重合（在图3 ~ 图6中统一用F 表示）（图1） （图2） （图3）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.A ’ C(C ’)A B C D E F图1⑴将图3中的△ABF 沿BD 向右平移到图4的位置，使点B 与点F 重合，请你求出平移的距离；⑵将图3中的△ABF 绕点F 顺时针方向旋转30°到图5的位置，A 1F 交DE 于点G ，请你求出线段FG 的长度；⑶将图3中的△ABF 沿直线AF 翻折到图6的位置，AB 1交DE 于点H ，请证明：AH=DH（图4） （图5） （图6）6、运用图形变换的思想解决问题.例18．如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 为边向内作等边△ABD ，连结DC ，以DC为边作等边△DCE ．B 、E 在C 、D 的同侧，若AB ＝2，则BE ＝ 1 ．例19、如图，在四边形ABCD 中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD ，DP ⊥AB 于P ，若四边形ABCD 的面积是16，求DP 的长.例20、(2007朝阳一模)已知：如图①，△ABC 是等边三角形，四边形BDEF 是菱形，其中DF=DB ，连接AF 、CD ．⑴观察图形，猜想AF 与CD 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不必证明； ⑵将菱形BDEF 绕点B 按顺时针方向旋转，使菱形BDEF 的一边落在等边△ABC 内部，在图②中画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，请问：⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；⑶在上述旋转过程中，AF 、CD 所夹锐角的度数是否发生变化？若不变，请你求出它的度数，并说明你的理由；若改变，请说明它的度数是如何变化的．CBADEF CB DP A例21、如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B = 90°，AD = 3，BC = 5，AB = 1，把线段CD 绕点D 逆时针旋转90°到DE 位置，连结AE ，则AE 的长为 .例22、如图，设P 是等边三角形ABC 内一点，PB=3，PA=4，PC=5，求∠APB 的度数.例23、如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD=CD. 求证：BD 2=AB 2+BC 2.图①图②DAB EBCP AABD例24、如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=900，E 、F 是BC 边上点，且∠EAF=45°.求证：222EF CF BE =+例25、(2007朝阳二模)已知：如图1，Rt ∆ABC 中，∠ACB=90°， D 为AB 中点，DE 、DF分别交AC 于E,交BC 于F ，且DE ⊥DF. ⑴如果CA=CB ，求证：AE 2+BF 2=EF 2；⑵如图2，如果CA<CB ，⑴中结论AE 2+BF 2=EF 2还能成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．例26、(2006黑龙江)已知∠AOB=90°，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C ，将一个三角板直角顶点与点C 重合，它的两条直角边分别与OA 、OB （或它们的反向延长线）相交于点D 、E. 当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时(如图1)，易证：OD+OE=2OC. 当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给与证明；若不成立，线段OD 、OE 、OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明.ACB F E例27、(2007北京)在平面直角坐标系xOy中，OEFG为正方形，点F的坐标为(11)，．将一个最短边长大于2的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上．⑴如图，当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直角边落在直线FO上时，这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分（即阴影部分）的面积为；⑵若三角形纸片的直角顶点不与点O，F重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形．例28、如图，已知△ABC．⑴请你在BC边上分别取两点D，E（BC的中点除外），连结AD，AE，写出使此图中只存在两对．．．．．面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明：AB+AC>AD+AE．AC例29、如图，△ABC中，∠ACB＝100°，∠CAB＝30°，P是△ABC内一点，且∠PAB＝20°，∠PCA＝40°，求∠PBA的度数。
九年级数学下册《旋转变换》教案、教学设计
-设计丰富的教学活动，如小组合作、数学游戏等，让学生在实践中学习和应用旋转变换。
-创设问题情境，将旋转变换与现实生活问题相结合，激发学生的学习兴趣和解决问题的动力。
2.教学过程设想：
-导入阶段：通过生活中的旋转现象（如风车转动、地球自转等）引入旋转变换的概念，激发学生的兴趣。
-基础知识学习：讲解旋转变换的三要素，并通过实例让学生掌握旋转变换的基本操作。
-能力提升：设计一系列由浅入深的练习题，让学生在解决问题的过程中，深化对旋转变换的理解和应用。
-知识拓展：引导学生探索旋转变换与其他几何变换的结合，拓宽学生的知识视野。
3.评价方式设想：
-采用形成性评价，关注学生的学习过程，通过课堂问答、小组讨论、作业反馈等方式，及时了解学生的学习情况。
1.这些旋转现象有什么共同点？
2.在平面几何中，我们如何表示这种旋转运动？
3.旋转变换在实际生活中有哪些应用？
（二）讲授新知
1.旋转变换的概念：介绍旋转变换的定义，强调旋转中心、旋转方向和旋转角度这三个要素。
2.旋转变换的表示方法：讲解如何用数学符号和语言描述旋转变换，以及旋转变换与坐标系的关系。
3.旋转变换的性质：通过实例和图示，讲解旋转变换的三个基本性质（保持长度不变、保持角度不变、保持面积不变）。
-设计综合性评价任务，如小组研究报告、数学日记等，评价学生在理解与应用旋转变换方面的综合能力。
-鼓励学生进行自我评价和同伴评价，培养他们的反思能力和批判性思维。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在本节课的开始，我将通过多媒体展示生活中的旋转现象，如旋转木马、风车、地球自转等，让学生观察并思考这些现象背后的共同特征。接着，提出以下问题引导学生思考：
初中九年级课程教案：几何图形的旋转与变换
初中九年级课程教案：几何图形的旋转与变换几何图形的旋转与变换一、引言几何图形的旋转与变换是初中九年级数学课程中的重要内容之一。
通过学习几何图形的旋转与变换，学生可以更好地理解几何图形的性质和特点，并在实际应用中灵活运用。
本教案旨在帮助学生通过教师的引导和课堂互动，掌握几何图形的旋转与变换的基本概念、规律和方法。
二、几何图形的旋转1. 旋转的概念旋转是指通过固定某一点，将图形按照一定角度绕着这个点进行旋转的操作。
学生首先需要理解旋转的基本概念，从而为后续学习奠定基础。
2. 旋转的规律在学习旋转的过程中，学生需要了解旋转的规律，包括旋转角度与旋转后图形的位置关系、旋转方向等。
通过具体的实例分析和讨论，引导学生探索旋转的规律，深入理解旋转操作的特点和效果。
3. 旋转的应用将学生所学的旋转概念和规律应用于实际问题中，如旋转对称图形的性质、旋转后的面积和周长的变化等。
通过实际例题和解题过程的指导，激发学生的思维能力和问题解决能力，培养他们的应用能力和创新意识。
三、几何图形的变换1. 平移变换平移是指通过沿着某一方向将图形整体移动一个固定的距离，而保持图形的形状和大小不变。
学生需要了解平移变换的基本概念和规律，并能够运用平移变换解决具体问题。
2. 翻转变换翻转是指将图形沿着一条直线进行镜像对称的操作。
学生需要理解翻转变换的概念和规律，掌握翻转变换的方法和技巧，并能将其应用于解决计算和证明问题。
3. 缩放变换缩放是指通过改变图形的大小，使得图形与原来相似但不全等的操作。
学生需要掌握缩放变换的基本概念和规律，理解缩放比例和相似性的关系，并能运用缩放变换解决相应的问题。
四、几何图形旋转与变换的综合应用1. 综合应用训练在课堂中设置综合应用训练的环节，通过多种旋转与变换的组合运用，提高学生的综合应用能力和解决问题的能力。
教师可以设计一些有趣的应用题，引导学生找到合适的旋转与变换方法来解决问题。
2. 创新设计活动创新设计活动是培养学生创造力和动手能力的重要环节。
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一、大角夹半角模型
知识导航
大角夹半角模型
⑴ 正方形
中，
可得：①
；②
， ．
⑵ 等腰直角
中，
，可得
．
经典例题
例题1
如图所示，在等腰直角
的斜边 上取两点 、 ，使
，记
，
，
，求证：以 、 、 为边长的三角形的形状是直角三角形．
答案 证明见解析． 解析 方法一：如图，作
于且
，连接 、 ，
．
∴
．
又∵
，
∴
≌
，
E
∴
，
．
∵四边形
是菱形，
∴
，
．
由
，
且菱形
的对角线 恰好与菱形
的边 在同一条直线上，
可得
．
∴
．
∵四边形
是菱形，
∴
，
∴
．
∴
≌
，
∴
，
．
∴
，
即
．
∵
，
，
∴
，
．
∴
．
标注 四边形 > 四边形综合 > 四边形综合应用 > 题型：菱形与全等综合
三、三角形的费马点问题
经典例题
例题5
在
中，
，
，
，点 为
例题7
已知 是 求证：
内一点，
；是 ．（ 为费马点）
内任一点，
答案 证明见解析．
解析 以 为旋转中心， 为旋转角，将点 、 、 分别旋转到点 、 、 ，连结 、 ．
则
、
都是正三角形．
∴
，
．
显然
≌
，
≌
．
由于
，
∴ ， ， ， 四点共线．
∴
，即
．
标注 几何变换 > 旋转 > 旋转基础 > 题型：旋转性质应用
(2) 将图甲中
绕 点顺时针旋转 得图乙，连接 ，取 的中点 ，问（ ）中的结论是
否成立？
(3) 将图甲中
绕 点转动任意角度（旋转角在 到 之间）得图丙，连接 ，取 的中
点 ，问（ ）中的结论是否成立，请说明理由．
答案
(1)
且
(2) 结论仍然成立．
(3) 仍然成立．
解析 (1) 连结
∵
在
和
故
(2) 结论仍然成立．
旋转到 ′ ，则 ′在 的延长线上，
′在 ′上，且 ′
∴
′
′
， ′， ′
于是
′
′≌
′
′
′≌
′
这就证明了题中的三个条件等价．
标注 四边形 > 特殊四边形 > 正方形 > 题型：正方形的性质
二、类旋转
经典例题
例题3
已知正方形
和等腰
，
，
的中点 ，连接 、 ．
，按图甲放置，使点 在 上，取
(1) 探索 、 的数量关系和位置关系，并说明理由．
为直角三角形，
并且可得
，
，
．
故在
中有
．
标注 三角形 > 全等三角形 > 全等模型 > 题型：旋转型全等
例题2
如图， 、 分别为正方形
的边 、 上的点，线段 、 分别交对角线 于 、 两
点．求证下列三个条件只要有一个成立，那么另外两个也成立：①
；②
；③
．
答案 证明见解析． 解析 如图所示，作旋转变换，将
，
∴
是等边三角形，
∴
,
,
∵
是
旋转得到，
∴
≌
．
∴
，
，
，
∴
，
∴ 、 、 、 四点共线，
∴
，
在
中，
，
即
．
标注 三角形 > 全等三角形 > 全等模型 > 题型：旋转型全等
例题6
如图，四边形
是正方形，
是等边三角形， 为对角线 （不含 点）上任意一点，将
绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 、 、 ．
（1）求证：
≌
；
，
接下来可先证明
≌
，然后再证明
≌可．
此证法观察图形其本质也是利用旋转在构造全等三角形．
证法三：如图，分别取 、 中点为 、 ，连结 、 、 、 ．
观察后很容易发现：
只要证明
≌
，问题马上就可以解决．
而且不难发现证明全等的条件也是够的：
，
，
且
，
∴
≌
，
∴
，同时
也很容易证明．
此证法利用了中位线和直角三角形斜边中线的性质构造线段相等．
内一点，连接 、 、 ，且
，按下列要求画图（保留画图痕迹）．
以点 为旋转中心，将
绕点 顺时针方向旋转 ，得到
（得到 、 的对应点分别为点
、 ），并回答下列问题：
(1) (2) 求
，
．
的值．
答案
(1) 1．
2．
(2)
．
解析
(1) ∵
，
，
由勾股定理得：
∵
，
∴
，
由题可知
，
∴
．
(2) 连接 ，
， ，
，
∵
，
值最小．
理由如下：连接 ，由（1）知，
≌
，∴
，
∵
,
，∴
是等边三角形．
∴
．∴
．
根据“两点之间线段最短”，得
最短．
∴当 点位于 与 交点处时，
的值最小，即等于 的长．
（3）过 点作
交 的延长线于 ，
∴
°．
设正方形边长为 ，则
，
．
在
中，∵
，
∴
解得
，
A
（舍）．∴正方形的边长为 ．
D
E
N
M
F
B
C
标注 几何变换 > 旋转 > 旋转基础 > 题型：旋转性质应用
的边
在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图 ）．你在（ ）中得到的两个结论是否
发生变化？写出你的猜想并加以证明．
答案
(1) ． (2) （ ）中的结论没有发生变化，证明见解析．
解析
(1) 线段 与 的位置关系是
；
．
(2) 如图，延长 交 于点 ，连结 ， ．
E 图
∵ 是线段 的中点，
∴
．
由题意可知
∵
是等腰直角三角形
∴
，
，
∴
在
与
中，
∴
≌
（）
∴
，
，
∵
∴
∴
∴
在
与
中，
∴
≌
（ ），
∴
，
在
中，
∴以 、 、 为边长的三角形的形状为直角三角形．
方法二：如图所示，将
绕点 顺时针旋转 ，得到
．
连接 ，则
，
，
，
故
，
从而
≌
，
则
．
而
．
方法三：用“对称变换”也能得到解答．
如图所示，以 为对称轴将
翻折到
的位置．
易证
和
关于 对称，且
标注 四边形 > 四边形综合 > 四边形综合应用 > 题型：正方形与全等综合
例题4
问题：如图 ，在菱形 结 ， ．若
和菱形
中，点 ， ， 在同一条直线上， 是线段 的中点，连
，探究 与 的位置关系及 的值．
图
(1) 探究 与 的位置关系及数量关系．
(2) 将图 中的菱形
绕点 顺时针旋转，使菱形
的对角线 恰好与菱形
（2）①当 点在何处时，
的值最小；
②当 点在何处时，
的值最小，并说明理由；
（3）当
的最小值为
时，求正方形的边长．
A
D
E
N
M
B
C
答案 （1）略； （2）略； （3）
解析 （1）证明：∵
是等边三角形，∴
，
∵
，∴
即
．又∵
，∴
≌
（2）①当 在 的中点时， 、 、 三点共线，
． 值最小．
②如图，连接 ，当 是 与 交点时，
思维拓展
拓展1
请阅读下列材料：
已知：如图 ，在
中，
，
，点 、 分别为线段 上两动点，若
．探究线段 、 、 三条线段之间的数量关系．
小明的思路是：把
绕点 顺时针旋转 ，得到
，连结 ，
使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
图 (1) 猜想 、 、 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明．
，∴ 三点共线 中， 为公共斜边 的中点，
(3) 仍然成立．证法一： 如图，延长 到 ，使
，（相当于将
旋转到
）
连结 ， ， ， 可证明
∴
，
又
∴
．
∴
≌
，
∴
，
∴
．
≌ ，
．
，
．
∴
．
在
中， 是 中点，
∴
，
．
证法二：如图，以 为边向下作正方形
，延长 到 使
．
容易得到：
，
，因此只要证明
即可．
由辅助线易得
是等腰直角三角形，