平行四边形常见证明题
平行四边形常见证明题
平行四边形常见证明题1.在四边形ABCD中，若AE=CF且DEBF是平行四边形，则EF平行于AD和BC。
理由：DEBF是平行四边形，因此DE平行于BF，EF平行于DB和FA，而AD和BC分别平分DE和BF，因此EF也平分AD和BC。
2.在四边形ABCD中，若ED=BF且EF与AC相交于O，则OA=OC。
理由：由题意可知，EF是AD和BC的平分线，因此O是AC的中点，即OA=OC。
3.在平行四边形ABCD中，若CF=AE且EF与BD交于O，则EF平分BD，BD也平分EF。
理由：连接OF和OE，由平行四边形的性质可知，OF=BE，OE=DF，因此EF=BD。
同时，由相似三角形可知，OE/OF=AE/CF=1，因此OE=OF，即EF被OE和OF平分。
4.在四边形ABCD中，若AE=CF且DF=BE且DF∥BE，则（1）△ADF≌△CBE；（2）ABCD是平行四边形。
理由：（1）由题意可知，△ADF和△CBE分别为DEA和BFC的全等三角形，因此它们相等。
（2）由AE=CF和DF∥BE可知，△ADF和△CBE是等腰三角形，因此AD=BC，AB∥DC，即ABCD是平行四边形。
5.在四边形ABCD中，若∠ABC=70度，∠ABC的平分线交AD于E，BE的平行线交BC于F，则∠CDF的度数为60度。
理由：由角平分线定理可知，∠ABE=35度，∠AEB=145度，又因为BE∥CF，所以∠BFC=35度，∠BCF=145度，由平行线性质可知，∠___∠BCF=145度，因此∠CDF=180度-145度-35度=60度。
6.在四边形ABCD中，若∠ABC的平分线交AD于E且CE⊥BE，则BC=2CD。
理由：连接CE和BD，由垂直平分线定理可知，CE=BE，因此三角形CBE为等腰三角形，∠___∠CEB，又因为∠ABC的平分线AE平分∠CAB，所以∠___∠ABC/2，又因为∠ABC+∠ADC=180度，所以∠ADC=360度/3-∠ABC/2=60度-∠ABC/2，由正弦定理可知，___∠ADC/sin∠ACD=2sin∠ABC/2，因此BC=2CD。
平行四边形证明练习题
平行四边形证明练习题一．解答题1．如图所示，已知在平行四边形ABCD 中，中，BE=DF BE=DF BE=DF．求证：∠DAE=∠BCF．．求证：∠DAE=∠BCF．2．在▱ABCD 中，中，E E ，F 分别是BC BC、、AD 上的点，且BE=DF BE=DF．求证：．求证：．求证：AE=CF AE=CF AE=CF．．3．如图，四边形ABCD 是平行四边形，是平行四边形，E E 、F 分别是BC BC．．AD 上的点，∠1=∠2求证：△ABE≌△CDF．4．如图，已知：平行四边形ABCD 中，中，E E 是CD 边的中点，连接BE 并延长与AD 的延长线相交于F 点．求证：点．求证：BC=DF BC=DF BC=DF．．5．如图，在▱ABCD 中，中，AC AC 交BD 于点O ，点E 、点F 分别是OA OA、、OC 的中点，请判断线段BE BE、、DF 的关系，并证明你的结论．6．已知：如图，▱ABCD 中，中，E E 、F 是对角线AC 上的点，且AE=CF AE=CF．求证：△ABE≌△CDF．．求证：△ABE≌△CDF．8．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，中，AD∥BC，AB=CD=AE AB=CD=AE AB=CD=AE．四边形．四边形AECD 是平行四边形吗？为什么？9．如图，．如图，E E 、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，上的两点，AE=CF AE=CF AE=CF．求证：．求证：．求证：DE=BF DE=BF DE=BF．．1010．如图，四边形．如图，四边形ABCD 中，中，AD=BC AD=BC AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E 、F ，AE=CF AE=CF，求证：四边形，求证：四边形ABCD 是平行四边形．1111．如图，在△ABC ．如图，在△ABC 中，中，AD AD 是中线，点E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，连接BF BF．． 求证：四边形AFBD 是平行四边形．1212．如图，在等腰梯形．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，中，AD∥BC，AB=DC AB=DC AB=DC，DE∥AB，，DE∥AB，，DE∥AB，AD+DC=BC AD+DC=BC AD+DC=BC．．求证：（1）DE=DC DE=DC；；（2）△DEC 是等边三角形．1313．已知：如图，．已知：如图，．已知：如图，E E 、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，上的两点，AE=CF AE=CF AE=CF．．求证：（1）△ADF≌△CBE；1414．如图，平行四边形．如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在AB AB、、BC BC、、CD CD、、AD 边上且AE=CG AE=CG，，AH=CF AH=CF．．求证：四边形EFGH 是平行四边形．1515．如图，在平行四边形．如图，在平行四边形ABCD 中，中，E E 、F 是对角线AC 上的点，且AE=CF AE=CF．．（1）猜想探究：）猜想探究：BE BE 与DF 之间的关系： _________（2）请证明你的猜想．1616．如图，．如图，．如图，E E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的两点，且BE∥DF．求证：∠1=∠2．1717．如图，已知．如图，已知E ，F 分别是▱ABCD 的边AB AB，，CD 的中点．求证：的中点．求证：ED=BF ED=BF ED=BF．．1818．如图，．如图，．如图，BD BD 是▱ABCD 的对角线，∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ，∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F ．求证：四边形DEBF 为平行四边形．1919．如图，在．如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，已知点E 、F 分别为AO AO、、OC 的中点，证明：四边形BFDE 是平2020．如图所示，．如图所示，．如图所示，A A ，E ，F ，C 在一条直线上，在一条直线上，AE=CF AE=CF AE=CF，过，过E ，F 分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD AB=CD，可以得到，可以得到BD 平分EF EF，为什么？说明理由．，为什么？说明理由．2121．如图，△ABC ．如图，△ABC 的中线BD BD、、CE 交于点O ，F 、G 分别是OB OB、、OC 的中点．求证：求证：EF=DG EF=DG 且EF∥DG．2222．已知如图所示，．已知如图所示，▱ABCD 的对角线AC AC、、BD 交于O ，GH 过点O ，分别交AD AD、、BC 于G 、H ，E 、F 在AC 上且AE=CF AE=CF，，求证：四边形EHFG 是平行四边形．平行四边形证明练习题参考答案与试题解析一．解答题（共22小题）1．如图所示，已知在平行四边形ABCD 中，中，BE=DF BE=DF BE=DF．求证：∠DAE=∠BCF．．求证：∠DAE=∠BCF．考点： 平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．分析： 根据平行四边形性质求出AD∥BC，且AD=BC AD=BC，推出∠ADE=∠CBF，求出，推出∠ADE=∠CBF，求出DE=BF DE=BF，证△ADE≌△CBF，推出，证△ADE≌△CBF，推出∠DAE=∠BCF 即可．解答： 证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC AD=BC，，∴∠ADE=∠CBF又∵BE=DF，∴BF=DE，∵在△ADE 和△CBF 中，∴△ADE≌△CBF，∴∠DAE=∠BCF．点评： 本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出证出△ADE 和△CBF全等的三个条件，主要考查学生的推理能力．2．在▱ABCD 中，中，E E ，F 分别是BC BC、、AD 上的点，且BE=DF BE=DF．求证：．求证：．求证：AE=CF AE=CF AE=CF．．考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．分析： 根据平行四边形的性质得出AB=CD AB=CD，∠B=∠D，根据，∠B=∠D，根据SAS 证出△ABE≌△CDF 即可推出答案．解答： 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D，∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF．点评： 本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能根据性质证出△ABE≌△CDF 是证此题的关键．求证：△ABE≌△CDF．考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定．分析： 利用平行四边形的性质和题目提供的相等的角可以为证明三角形全等提供足够的条件．解答： 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B=∠D，∴∠B=∠D，AB=CD AB=CD AB=CD，，∴在：△ABE 与△CDF 中，∴△ABE≌△CDF（∴△ABE≌△CDF（ASA ASA ASA））点评： 本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，根据平行四边形找到证明全等三角形足够的条件是解决本题的关键．4．如图，已知：平行四边形ABCD 中，中，E E 是CD 边的中点，连接BE 并延长与AD 的延长线相交于F 点．求证：点．求证：BC=DF BC=DF BC=DF．．考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．分析： 由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD∥BC，根据平行线的性质即可求得∠EBC=∠F，∠C=∠EDF，又由E是CD 边的中点，根据AAS 即可求得△EBC≌△EFD，则问题得证．解答： 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EBC=∠F，∠C=∠EDF，又∵EC=ED，∴△EBC≌△EFD（∴△EBC≌△EFD（AAS AAS AAS））， ∴BC=DF．点评： 此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．5．（2013•莒南县二模）如图，在▱ABCD 中，中，AC AC 交BD 于点O ，点E 、点F 分别是OA OA、、OC 的中点，请判断线段BE BE、、DF 的关系，并证明你的结论．边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE 是平行四边形，从而得出BE=DF BE=DF，，BE∥DF．解答： 解：由题意得：解：由题意得：BE=DF BE=DF BE=DF，BE∥DF．理由如下：，BE∥DF．理由如下：连接DE DE、、BF BF．．∵ABCD 是平行四边形，∴OA=OC，∴OA=OC，OB=OD OB=OD OB=OD，，∵E，∵E，F F 分别是OA OA，，OC 的中点，∴OE=OF，∴BFDE 是平行四边形，∴BE=DF，BE∥DF．点评： 本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用．性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．6．已知：如图，▱ABCD 中，中，E E 、F 是对角线AC 上的点，且AE=CF AE=CF．．求证：△ABE≌△CDF．考点： 平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定．分析： 根据平行四边形的性质得出AB∥DC，AB∥DC，AB=CD AB=CD AB=CD，根据平行线的性质推出∠BAC=∠DCF，根据，根据平行线的性质推出∠BAC=∠DCF，根据SAS 证出即可． 解答： 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥DC，∴AB∥DC，AB=CD AB=CD AB=CD，，∴∠BAC=∠DCF，∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF．点评： 本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能推出证△ABE≌△CDF 的三个条件是解此题的关键．7．如图，已知在▱ABCD 中，过AC 中点的直线交CD CD，，AB 于点E ，F ．求证：．求证：DE=BF DE=BF DE=BF．．考点： 平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．解答： 证明：∵四边形ABCD ABCD 是平行四边形，是平行四边形，∴DC=AB，DC∥AB，∴∠ECA=∠BAC，∠CEO=∠AFO，∵OA=OC，∴△AOF≌△COE，∴CE=AF，∵DC=AB，∴DE=BF．点评： 本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，解此题的关键是根据平行四边形的性质证出△AOF 和△COE 全等．8．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，中，AD∥BC，AB=CD=AE AB=CD=AE AB=CD=AE．四边形．四边形AECD 是平行四边形吗？为什么？考点： 等腰梯形的性质；平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定．分析： 根据等腰三角形性质求出∠B=∠C，根据等腰三角形性质推出∠AEC=∠B=∠C，推出AE∥CD，根据平行四边形的判定推出即可．解答： 解：是平行四边形，理由：∵四边形ABCD 是等腰梯形，AD∥BC，∴AB=DC，∠B=∠C，∵AB=AE，∴∠AEB=∠B，∴∠AEB=∠C，∴AE∥DC，又∵AD∥BC，∴四边形AECD 是平行四边形．点评： 本题考查了等腰三角形的性质，等腰梯形的性质，平行线的性质和判定，平行四边形的判定等知识点的应用，关键是根据题意推出AE∥CD，培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目较好，综合性比较强．9．如图，．如图，E E 、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，上的两点，AE=CF AE=CF AE=CF．求证：．求证：．求证：DE=BF DE=BF DE=BF．．考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．分析： 连接BE BE，，DF DF，，BD BD，，BD 交AC 于O ，根据平行四边形性质求出OA=OC OA=OC，，OD=OB OD=OB，推出，推出OE=OF OE=OF，根据平行四边形的，根据平行四边形的判定推出四边形BEDF 是平行四边形即可．解答： 证明：连接BE BE，，DF DF，，BD BD，，BD 交AC 于O ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC，∴OA=OC，OD=OB OD=OB OD=OB，，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴DE=BF．点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定等应用，关键是能熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理，此题的证明方法二是证△AED≌△CFB，推出DE=BF DE=BF．．1010．如图，四边形．如图，四边形ABCD 中，中，AD=BC AD=BC AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E 、F ，AE=CF AE=CF，求证：四边形，求证：四边形ABCD 是平行四边形．考点： 平行四边形的判定；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．分析： 求出∠AED=∠CFB=90°，根据HL 证Rt△AED≌Rt△CFB，推出∠ADE=∠CBD，得到AD∥BC，根据平行四边形的判定判断即可．解答： 证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°，在Rt△AED 和Rt△CFB 中，∴Rt△AED≌Rt△CFB（∴Rt△AED≌Rt△CFB（HL HL HL））， ∴∠ADE=∠CBD，∴AD∥BC，∵AD=BC，∴四边形ABCD 是平行四边形．点评： 本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出AD∥BC，主要考查学生运用性质进行推理的能力．1111．如图，在△ABC ．如图，在△ABC 中，中，AD AD 是中线，点E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，连接BF BF．． 求证：四边形AFBD 是平行四边形．考点： 平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．专题： 证明题．分析： 求出AE=DE AE=DE，∠AFE=∠DCE，证△AEF≌△CED，推出，∠AFE=∠DCE，证△AEF≌△CED，推出AF=DC AF=DC，得出，得出AF∥BD，AF∥BD，AF=BD AF=BD AF=BD，根据平行四边形的判定推，根据平行四边形的判定推出即可．解答： 证明：∵E 为AD 中点，∴∠AFE=∠DCE，在△AEF 和△CED 中∵，∴△AEF≌△CED（∴△AEF≌△CED（AAS AAS AAS））， ∴AF=DC，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=DC，∴AF=BD，即AF∥BD，AF∥BD，AF=BD AF=BD AF=BD，，故四边形AFBD 是平行四边形．点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，关键是推出AF=DC=BD AF=DC=BD．．1212．如图，在等腰梯形．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，中，AD∥BC，AB=DC AB=DC AB=DC，DE∥AB，，DE∥AB，，DE∥AB，AD+DC=BC AD+DC=BC AD+DC=BC．．求证：（1）DE=DC DE=DC；；（2）△DEC 是等边三角形．考点： 等腰梯形的性质；等边三角形的判定；平行四边形的判定与性质．分析： （1）证出平行四边形ABED ABED，，推出DE=AB DE=AB，，即可推出答案；（2）根据BE=AD BE=AD，，AD+DC=BC AD+DC=BC，，BE+EC=BC BE+EC=BC，，推出DC=EC 即可证出答案．解答： 证明：（1）∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED 是平行四边形，∴DE=AB，∵AB=DC，∴DE=DC．（2）证明：∵BE=AD，）证明：∵BE=AD，AD+DC=BC AD+DC=BC AD+DC=BC，，BE+EC=BC BE+EC=BC，，∴DC=EC，由（由（11）知：）知：DE=DC DE=DC DE=DC，，∴DE=DC=EC，∴△DEC 是等边三角形．点评： 本题主要考查对等腰梯形的性质，平行四边形的性质和判定，等边三角形的判定等知识点的理解和掌握，证出平行四边形ABED 和DC=EC 是解此题的关键．1313．已知：如图，．已知：如图，．已知：如图，E E 、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，上的两点，AE=CF AE=CF AE=CF．．求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）连接DE DE、、BF BF，试判断四边形，试判断四边形DEBF 的形状，并说明理由．分析： （1）根据平行四边形的性质对边平行且相等得到AD 与BC 平行且相等，由AD 与BC 平行得到内错角∠DAF与∠BCA 相等，再由已知的AE=CF AE=CF，根据“SAS”得到△ADF ，根据“SAS”得到△ADF 与△CBE 全等；（2）由（）由（11）证出的全等，根据全等三角形的性质得到DF 与EB 相等且∠DFA 与∠BEC 相等，由内错角相等两直线平行得到DF 与BE 平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得到四边形DEBF 的形状．解答： 证明：（1）∵ABCD 是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC（∴AD=BC，AD∥BC（11分）∴∠DAF=∠BCA（∴∠DAF=∠BCA（22分），∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE AF=CE（（3分）∴△ADF≌△CBE（∴△ADF≌△CBE（44分）（2）四边形DEBF 是平行四边形（是平行四边形（55分）∵△ADF≌△CBE，∴∠DFA=∠BEC，∴∠DFA=∠BEC，DF=BE DF=BE DF=BE，，∴DF∥BE，∴四边形DEBF 是平行四边形（是平行四边形（66分）点评： 本题综合考查了全等三角形的判断与性质，以及平行四边形的判断与性质．其中第2问是一道先试验猜想，再探索证明的新型题，其目的是考查学生提出问题，解决问题的能力，这类几何试题将成为今后中考的热点试题．1414．如图，平行四边形．如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在AB AB、、BC BC、、CD CD、、AD 边上且AE=CG AE=CG，，AH=CF AH=CF．．求证：四边形EFGH 是平行四边形．考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．分析： 易证得△AEH≌△CGF，从而证得对应边BE=DG BE=DG、、DH=BF DH=BF．故有△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边．故有△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证．解答： 证明：在平行四边形ABCD 中，∠A=∠C（平行四边形的对边相等）；又∵AE=CG，又∵AE=CG，AH=CF AH=CF AH=CF（已知）（已知）， ∴△AEH≌△CGF（∴△AEH≌△CGF（SAS SAS SAS））， ∴EH=GF（全等三角形的对应边相等）；在平行四边形ABCD 中，中，AB=CD AB=CD AB=CD，，AD=BC AD=BC（平行四边形的对边相等）（平行四边形的对边相等）， ∴AB﹣∴AB﹣AE=CD AE=CD AE=CD﹣﹣CG CG，，AD AD﹣﹣AH=BC AH=BC﹣﹣CF CF，，即BE=DG BE=DG，，DH=BF DH=BF．．又∵在平行四边形ABCD 中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH；∴GH=EF（全等三角形的对应边相等）；∴四边形EFGH 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．点评： 本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．1515．如图，在平行四边形．如图，在平行四边形ABCD 中，中，E E 、F 是对角线AC 上的点，且AE=CF AE=CF．．（1）猜想探究：）猜想探究：BE BE 与DF 之间的关系： 平行且相等（2）请证明你的猜想．考点： 平行四边形的判定与性质．分析： （1）BE 平行且等于DF DF；；（2）连接BD 交AC 于O ，根据平行四边形的性质得出OA=OC OA=OC，，OD=OB OD=OB，推出，推出OE=OF OE=OF，得出平行四边形，得出平行四边形BEDF即可．解答： （1）解：）解：BE BE 和DF 的关系是：的关系是：BE=DF BE=DF BE=DF，BE∥DF，，BE∥DF，故答案为：平行且相等．（2）证明：连接BD 交AC 于O ，∵ABCD 是平行四边形，∴OA=OC，∴OA=OC，OB=OD OB=OD OB=OD，，∵AE=CF，∴OE=OF，∴BFDE 是平行四边形，∴BE=DF，BE∥DF．点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，主要检查学生能否熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理，题型较好，通过此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时培养了学生的观察能力和猜想能力．1616．如图，．如图，．如图，E E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的两点，且BE∥DF．求证：∠1=∠2．考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．分析： 由三角形全等（△ABE≌△CDF）得到BE=DF BE=DF，所以四边形，所以四边形BFDE 是平行四边形，根据对角相等即可得证． 解答： 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形（已知），∴AB=CD，AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等），∴∠BAE=∠DCF（两直线平行，内错角相等）；∵BE∥DF（已知），∴∠BEF=∠DFE（两直线平行，内错角相等），∴∠AEB=∠CFD（等量代换），∴△ABE≌△CDF（∴△ABE≌△CDF（AAS AAS AAS））； ∴BE=DF（全等三角形的对应边相等），∵BE∥DF，∴四边形BEDF 是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴∠1=∠2（平行四边形的对角相等）．点评： 本题主要考查平行四边形的性质和三角形全等的判定，需要熟练掌握并灵活运用．平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形．1717．如图，已知．如图，已知E ，F 分别是▱ABCD 的边AB AB，，CD 的中点．求证：的中点．求证：ED=BF ED=BF ED=BF．．考点： 平行四边形的判定与性质．分析： 根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD AB=CD，，根据线段的中点的定义得到EB=AB AB，，DF=CD CD，，即BE=DF BE=DF，，BE∥DF，得到平行四边形EBFD EBFD，根据平行四边形的性质即可得到答案．，根据平行四边形的性质即可得到答案．解答： 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，∴AB∥CD，AB=CD AB=CD AB=CD，，∵E，∵E，F F 分别是▱ABCD 的边AB AB，，CD 的中点，∴EB=AB AB，，DF=CD CD，，∴BE=DF，∵BE∥DF，∴四边形EBFD 是平行四边形，∴ED=BF．点评： 本题主要考查对平行四边形的性质和判定的理解和掌握，能灵活运用平行四边形的性质和判定进行证明是解此题的关键．1818．如图，．如图，．如图，BD BD 是▱ABCD 的对角线，∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ，∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F ．求证：四边形DEBF 为平行四边形．考点： 平行四边形的判定与性质；角平分线的定义．分析： 根据平行四边形性质和角平分线定义求出∠FDB=∠EBD，推出DF∥BE，根据平行四边形的判定判断即可． 解答： 解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠CDB=∠ABD，∵DF 平分∠CDB，平分∠CDB，BE BE 平分∠ABD，∴∠FDB=∠CDB，∠EBD=∠ABD，∴∠FDB=∠EBD，∴DF∥BE，∵AD∥BC，即ED∥BF，∴四边形DEBF 是平行四边形．点评： 本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质和判定等的应用，关键是推出DF∥BE，主要检查学生能否运用定理进行推理，题型较好，难度适中．1919．如图，在．如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，已知点E 、F 分别为AO AO、、OC 的中点，证明：四边形BFDE 是平行四边形．考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．分析： 利用“平行四边形的对角线互相平分”的性质推知OA=OC OA=OC，，OB=OD OB=OD；然后由已知条件“点；然后由已知条件“点E 、F 分别为AO AO、、OC 的中点”可以证得OE=OF OE=OF；最后根据平行四边形的判定定理“对角线相互平分的四边形为平行四边形”；最后根据平行四边形的判定定理“对角线相互平分的四边形为平行四边形”即可证得结论．解答： 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC，∴OA=OC，OB=OD OB=OD OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）（平行四边形的对角线互相平分）． 又∵点E 、F 分别为AO AO、、OC 的中点，∴OE=OF．∴四边形BFDE 是平行四边形（对角线相互平分的四边形为平行四边形）．点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．2020．如图所示，．如图所示，．如图所示，A A ，E ，F ，C 在一条直线上，在一条直线上，AE=CF AE=CF AE=CF，过，过E ，F 分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD AB=CD，可以得到，可以得到BD 平分EF EF，为什么？说明理由．，为什么？说明理由．考点： 全等三角形的判定与性质；垂线；直角三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质．分析： 求出∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，推出AF=CE AF=CE，连接，连接BE BE、、DF DF，根据，根据HL 证Rt△ABF≌Rt△CDE，推出DE=BF DE=BF，，得出平行四边形DEBF DEBF，根据平行四边形的性质推出即可．，根据平行四边形的性质推出即可．解答： 解：解：BD BD 平分EF EF，理由是：，理由是：证法一、连接BE BE、、DF DF．．∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE AF=CE，，在Rt△ABF 和Rt△CDE 中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE，∴DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形DEBF 是平行四边形，∴BD 平分EF EF；；证法二、∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE AF=CE，，在Rt△ABF 和Rt△CDE 中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE，∴DE=BF，∵在△BFG 和△DEG 中，∴△BFG≌△DEG（∴△BFG≌△DEG（AAS AAS AAS））， ∴EG=FG，即BD 平分EF EF．．点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定，垂线，全等三角形的性质和判定等知识点的运用，关键是得出平行四边形DEBF DEBF，题目比较好，难度适中．，题目比较好，难度适中．2121．如图，△ABC ．如图，△ABC 的中线BD BD、、CE 交于点O ，F 、G 分别是OB OB、、OC 的中点．求证：求证：EF=DG EF=DG 且EF∥DG．考点： 三角形中位线定理；三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的判定与性质．分析： 根据三角形的中位线推出DE∥BC，DE∥BC，DE=DE=BC BC，，GF∥BC，GF∥BC，GF=GF=BC BC，，推出GF=DE GF=DE，，GF∥DE，GF∥DE，得出平行四边形得出平行四边形DEFG DEFG，，根据平行四边形的性推出即可．解答： 证明：∵BD、证明：∵BD、CE CE 是△ABC 的中线，∴DE∥BC，∴DE∥BC，DE=DE=BC BC，，同理：GF∥BC，同理：GF∥BC，GF=GF=BC BC，，∴GF=DE，GF∥DE，∴四边形DEFG 是平行四边形，∴EF=DG，EF∥DG．点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的中位线，三角形的中线等知识点，主要检查学生能否熟练的运用性质进行推理，题目比较典型，难度适中，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力．考点： 平行四边形的判定与性质．分析： 根据平行四边形性质得出OA=OC OA=OC，，AD∥BC，推出OE=OF OE=OF，，∠GAO=∠HCO，∠AGO=∠CHO，根据AAS 证△AGO≌△CHO，推出OG=OH OG=OH，根据平行四边形的判定推出即可．，根据平行四边形的判定推出即可．解答： 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∵AE=CF，∴OE=OF，∵AD∥BC，∴∠GAO=∠HCO，∠AGO=∠CHO，在△AGO 和△CHO 中，∴△AGO≌△CHO（∴△AGO≌△CHO（AAS AAS AAS））， ∴OG=OH，∵OE=OF，∴四边形EHFG 是平行四边形．点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，平行四边形的性质和判定等知识点，注意：平行四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形．。
平行四边形的判定练习题(含答案)
平行四边形的判定练习题(含答案)（1）因为AD∥BC，AB=CD，所以ABCD是平行四边形．（）（2）因为AB∥CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（3）因为AD∥BC，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（4）因为AB∥CD，AD∥BC，所以ABCD是平行四边形．（）（5）因为AB=CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（6）因为AD=CD，AB=AC，所以ABCD是平行四边形．（）5．已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加条件________．6．如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，问四边形ABCD是不是平行四边形．7．如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，E，F 为对角线AC上的点，且AE=CF，求证：BE=DF．8．如图所示，D为△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，且AE=CE，FC∥AB．求证：CD=AF．9．如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，在AB 的延长线上截取BE=•AB，BF=BD，连接CE，DF，相交于点M．求证：CD=CM．10．如图所示，在四边形ABCD中，DC∥AB，以AD，AC为边作□ACED，延长DC•交EB于F，求证：EF=FB．知能点2 三角形的中位□线11．如图所示，已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF，求证：AB=2OF．12．如图所示，在ABCD中，EF∥AB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE，BF•交于点M，连接CF，DE交AD．于点N，求证：MN∥AD且MN=1213．如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE=_______．14．如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OE∥BC交CD•于E，•若OE=3cm，则AD的长为（）． A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm 15．如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，•则四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？16．如图所示，在△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求△DEF的面积．规律方法应用17．如图所示，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，•并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B两点间的距离是多少？18．如图所示，在□ABCD中，AB=2AD，∠A=60°，E，F 分别为AB，CD的中点，EF=1cm，那么对角线BD的长度是多少？你是怎样得到的？19．如图所示，在△ABC中，E为AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D．•（BC-AC）．试说明：（1）DE∥BC．（2）DE=12开放探索创新20．如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD•于E，EF∥BC交AC于F，那么AE与CF相等吗？请验证你的结论．中考真题实战21．（长沙）如下左图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD•为平行四边形，则应添加的条件是________．（添加一个即可）22．（呼和浩特）如上右图所示，已知E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，•则S四边形EFGH ：S四边形ABCD的值是_________．23．（南京）已知如图19-1-55所示，在Y ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：（1） △AFD≌△CEB．（2）四边形AECF是平行四边形．答案:1．C 2．C 3．D4．（1）× （2）× （3）∨ （4）∨ （5）∨ （6）×5．AD=BC或AB∥CD6．解：∵∠1=∠2，∴AD∥BC．又∵∠3=∠4，∴AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．7．证明：∵AB=CD，BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF．又∵AE=CE，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE=EF．8．证明：∵FC∥AB，∴∠DAC=∠ACF，∠ADF=∠DFC．又∵AE=CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE=EF．∵AE=CE，∴四边形ADCF为平行四边形．∴CD=AF．9．证明：∵四边形ABCD是平行四边形．∴AB//DC．又∵BE=AB，∴BE//DC，∴四边形BDCE是平行四边形．∵DC∥BF，∴∠CDF=∠F．同理，∠BDM=∠DMC．∵BD=BF，∴∠BDF=∠F．∴∠CDF=∠CMD，∴CD=CM．10．证明：过点B作BG∥AD，交DC的延长线于G，连接EG．∵DC∥AB，∴ABGD是平行四边形，∴BG// AD．在□ACED中，AD//CE，∴CE//BG．∴四边形BCEG为平行四边形，∴EF=FB．11．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD=BC．∵CE=CD，∴AB//CE，∴四边形ABEC为平行四边形．∴BF=FC，∴OF//1AB，即AB=2OF．212．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC．又∵EF∥AB，∴EF∥CD．∴四边形ABEF，ECDF均为平行四边形．又∵M，N分别为Y ABEF和Y ECDF对角线的交点．∴M为AE的中点，N为DE的中点，即MN为△AED的中位线．∴MN∥AD且MN=12AD．13．4 14．B15．解：EFGH是平行四边形，连接AC，在△ABC中，∵EF是中位线，∴EF//12AC．同理，GH//12AC．∴EF//GH，∴四边形EFGH为平行四边形．16．解：∵EF，DE，DF是△ABC的中位线，∴EF=12AB，DE=12AC，DF=12BC．又∵AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，∴EF=5cm，DE=3cm，DF=4cm，而32+42=25=52，即DE2+DF2=EF2．∴△EDF为直角三角形．∴S△EDF =12DE·DF=12×3×4=6（cm2）．17．解：∵M，N分别是AC，BC的中点．∴MN是△ABC的中位线，∴MN=12AB．∴AB=2MN=2×20=40（m）．故A，B两点间的距离是40m．18．解：连接DE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD．∵DF=12CD，AE=12AB，∴DF//AE．∴四边形ADFE是平行四边形．∴EF=AD=1cm．∵AB=2AD，∴AB=2cm．∵AB=2AD，∴AB=2AE，∴AD=AE．∴∠1=∠4．∵∠A=60°，∠1+∠4+∠A=180°，∴∠1=∠A=∠4=60°．∴△ADE是等边三角形，∴DE=AE．∵AE=BE，∴DE=BE，∴∠2=∠3．∵∠1=∠2+∠3，∠1=60°，∴∠2=∠3=30°．∴∠ADB=∠3+∠4=90°．=cm）．19．解：延长AD交BC于F．（1）∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠FDC=90°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠FCD．在△ACD与△FCD中，∠ADC=∠FDC，DC=DC，∠ACD=∠FCD．∴△ACD≌△FCD，∴AC=FC，AD=DF．又∵E为AB的中点，∴DE∥BF，即DE∥BC．（2）由（1）知AC=FC，DE=12BF．∴DE=12（BC-FC）=12（BC-AC）．20．解：AE=CF．理由：过E作EG∥CF交BC于G，∴∠3=∠C．∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠ABC+∠C=90°，∠ABD+∠BAD=90°．∴∠C=∠BAD，∴∠3=∠BAD．又∵∠1=∠2，BE=BE，∴△ABE≌△GBE（AAS），∴AE=GE．∵EF∥BC，EG∥CF，∴四边形EGCF是平行四边形，∴GE=CF，∴AE=CF．21．答案不唯一，如AB=CD或AD∥BC．22．1223．解：（1）在□ABCD中，AD=CB，AB=CD，∠D=∠B．∵E，F分别为AB，CD的中点，∴DF=12CD，BE=12AB，∴DF=BE，∴△AFD≌△CEB．（2）在□ABCD中，AB=CD，AB∥CD．由（1）得BE=DF，∴AE=CE，∴四边形AECF是平行四边形．。
平行四边形的证明题
平行四边形的证明题平行四边形的证明题一．解答题（共30小题）1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF 的形状．2．如图所示，▱AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．求证：四边形ABCD是平行四边形．3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD．5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．6．如图，已知，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．求证：四边形MFNE是平行四边形．7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．求证：四边形AECF是平行四边形．8．在▱ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE．10．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？12．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形．13．如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD 的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上．求证：EF和GH互相平分．15．已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF 经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形．16．如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）(17题图)17．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A 作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF．（1）求证：AF=CE；（2）如果AC=EF，且∠ACB=135°，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．18．如图平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足为点F，DF=2（1）求证：D是EC中点；（2）求FC的长．18题图（19题图）19．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；（2）若BF=EF，求证：AE=AD．26．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q 从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q 同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t．（1）求CD的长；（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．28．已知平行四边形ABCD的周长为36cm，过D作AB，BC边上的高DE、DF，且cm，，求平行四边形ABCD的面积．30．如图所示．▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB于E．求证：BE=CF．1、解答：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，∴∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌△CDF（A．A．S．），∴BE=DF；（2）四边形MENF是平行四边形．证明：有（1）可知：BE=DF，∵四边形ABCD为平行四边行，∴AD∥BC，∴∠MDB=MBD，∵DM=BN，∴△DNF≌△BNE，∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，∴∠MFE=∠NEF，∴MF∥NE，∴四边形MENF是平行四边形．2、解答：证明：∵四边形AECF是平行四边形∴OE=OF，OA=OC，AE∥CF，∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO，∴△FDO≌△EBO，∴OD=OB，∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形．3、解答：证明：（1）∵BF=DE，∴BF﹣EF=DE ﹣EF，即BE=DE，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，∵AB=CD，∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；（2）∵△ABE≌△CDF，∴∠ABE=∠CDF，∴AB∥CD，∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．4、解答：证明：∵DE，DF是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形，又∵∠BAC=90°，∴平行四边形AEDF是矩形，∴EF=AD．5、解答：解：猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是：平行且相等．证明：∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO，∵OA=OC，∴△ADO≌△ECO，∴AD=CE，∴四边形ADCE是平行四边形，∴CD AE．6、解答：证明：由平行四边形可知，AD=CB，∠DAE=∠FCB，又∵AE=CF，∴△DAE≌△BCF，∴DE=BF，∠AED=∠CFB又∵M、N分别是DE、BF的中点，∴ME=NF 又由AB∥DC，得∠AED=∠EDC∴∠EDC=∠BFC，∴ME∥NF∴四边形MFNE为平行四边形．7、解答：证明：连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．∵BE=DF，∴OE=OF．∴四边形AECF为平行四边形．8、解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，AD=CB，∠DAB=∠BCD．又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，∴DE=BF，AE=CF．∠DAE=∠BCF=60°．∵∠DCF=∠BCD﹣∠BCF，∠BAE=∠DAB﹣∠DAE，∴∠DCF=∠BAE．∴△DCF≌△BAE（SAS）．∴DF=BE．∴四边形BEDF是平行四边形．9、解答：证明：∵E是AC的中点，∴EC=AC，又∵DB=AC，∴DB=EC．又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．10、解答：解：设P，Q同时出发t秒后四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，根据已知得到AP=t，PD=24﹣t，CQ=2t，BQ=30﹣2t．（1）若四边形PDCQ是平行四边形，则PD=CQ，∴24﹣t=2t∴t=8∴8秒后四边形PDCQ是平行四边形；（2）若四边形APQB是平行四边形，则AP=BQ，∴t=30﹣2t∴t=10∴10秒后四边形APQB是平行四边形11、解答：证明：∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，根据中位线定理知：DE∥AC，DE=AF，EF∥AB，EF=AD，∴四边形ADEF为平行四边形．故AE与DF互相平分．12、解答：证明：∵▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，∴OB=OD，又∵四边形AODE是平行四边形，∴AE∥OD 且AE=OD，∴AE∥OB且AE=OB，∴四边形ABOE是平行四边形，同理可证，四边形DCOE也是平行四边形．13、解答：证明：连接EG、GF、FH、HE，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点．在△ABC中，EG=BC；在△DBC中，HF=BC，∴EG=HF．同理EH=GF．∴四边形EGFH为平行四边形．∴EF与GH互相平分．14、解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AM∥QC，AP∥NC．又∵MN∥AC，∴四边形AMQC为平行四边形，四边形APNC为平行四边形．∴AC=MQ AC=NP．∴MQ=NP．15、解答：证明：如答图所示，∵点O为平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，∴OA=OC，OB=OD．∵G，H分别为OA，OC的中点，∴OG=OA，OH=OC，∴OG=OH．又∵AB∥CD，∴∠1=∠2．在△OEB和△OFD中，∠1=∠2，OB=OD，∠3=∠4，∴△OEB≌△OFD，∴OE=OF．∴四边形EHFG为平行四边形．16、解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，17、∴AB=CD，AB∥CD，∴∠GBE=∠HDF．又∵AG=CH，∴BG=DH．又∵BE=DF，∴△GBE≌△HDF．∴GE=HF，∠GEB=∠HFD，∴∠GEF=∠HFE，∴GE∥HF，∴四边形GEHF是平行四边形．（2）解：仍成立．（证法同上）17、解答：（1）证明：∵AF∥EC，∴∠DFA=∠DEC，∠DAF=∠DCE，∵D是AC的中点，∴DA=DC，∴△DAF≌△DCE，∴AF=CE；（2）解：四边形AFCE是正方形．理由如下：∵AF∥EC，AF=CE，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵AC=EF，∴平行四边形AFCE是矩形，∴∠FCE=∠CFA=90°，而∠ACB=135°，∴∠FCA=135°﹣90°=45°，∴∠FAC=45°，∴FC=FA，∴矩形AFCE是正方形．18、解答：（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，又∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE，∴CD=DE，即D是EC的中点；（2）解：连接EF，∵EF⊥BF，∴△EFC是直角三角形，又∵D是EC的中点，∴DF=CD=DE=2，在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∵∠ABC=60°，∴∠ECF=∠ABC=60°，∴△CDF是等边三角形，∴FC=DF=2．故答案为：2．19、解答：证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∵∠EFB=60°，∴∠ABC=∠EFB，∴EF∥DC （内错角相等，两直线平行），∵DC=EF，∴四边形EFCD是平行四边形；（2）连接BE∵BF=EF，∠EFB=60°，∴△EFB是等边三角形，∴EB=EF，∠EBF=60°∵DC=EF，∴EB=DC，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AB=AC，∴∠EBF=∠ACB，∴△AEB≌△ADC，∴AE=AD．．22、解答：解：四边形AFED是平行四边形．证明如下：在△BED与△BCA中，BE=BC，BD=BA（均为同一等边三角形的边）∠DBE=∠ABC=60°﹣∠EBA∴△BED≌△BCA（SAS）∴DE=AC又∵AC=AF∴DE=AF在△CBA与△CEF中，CB=CE，CA=CF∠ACB=∠FCE=60°+∠ACE∴△CBA≌△CEF（SAS）∴BA=EF又∵BA=DA，∴DA=EF故四边形AFED为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．26、解答：解：（1）过点A作AM⊥CD于M，根据勾股定理，AD=10，AM=BC=8，∴DM==6，∴CD=16；（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，如图，由题知：BP=10﹣3t，DQ=2t∴10﹣3t=2t，解得t=2此时，BP=DQ=4，CQ=12∴∴四边形PBQD的周长=2（BP+BQ）=；（3）①当点P在线段AB上时，即时，如图∴．②当点P在线段BC上时，即时，如图BP=3t﹣10，CQ=16﹣2t∴化简得：3t2﹣34t+100=0，△=﹣44＜0，所以方程无实数解．③当点P在线段CD上时，若点P在Q的右侧，即6≤t≤，则有PQ=34﹣5t，＜6，舍去若点P在Q的左侧，即，则有PQ=5t﹣34，，t=7.8．综合得，满足条件的t存在，其值分别为，t2=7.8．28、解答：解：设AB=x，则BC=18﹣x，由AB•DE=BC•DFF得：，解之x=10，所以平行四边形ABCD的面积为．30、解答：证明：在平行四边形ABCD中，AD ∥BC，∴∠DAF=∠F，又AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF，∴∠BAF=∠F，∴AB=BF，又AF平分∠BAD，DE⊥AF，∴∠AOD=∠ADO，又∠BOE=∠AOD=∠EDC，∠ADO=∠E，∴∠EDC=∠E，∴CE=CD，又AB=CD，∴BE=CF．。
平行四边形判定 (证明题)
AE FBCDABCDF EG平行四边形的判定1.平行四边形的判定方法：边：1.两组是平行四边形。
2.两组是平行四边形。
3.一组是平行四边形。
角： 4.两组是平行四边形。
对角线：5.是平行四边形。
1.如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合的部分构成了一个四边形．线段AD 和BC 的长度有什么关系？2.已知：如图，AD∥BC，ED∥BF，且AE＝CF．求证：四边形ABCD 是平行四边形．3.如图,平行四边形ABCD 中,G 是CD 上一点,BG 交AD 延长线于E,AF=CG,求证：DF=BG4.已知如图所示，在四边形ABCD 中，AB CD BC AD E F ==，，、是对角线AC 上两点，且AE CF =．求证：BE DF =．5.在平行四边形ABCD 中，E、F 为对角线BD 上的三等分点。
求证：四边形AFCE 是平行四边形。
6.已知，如图所示，在平行四边形ABCD 中，BN=DM,BE=DF.求证：四边形MENF 是平行四边形．7.如图所示，平行四边形ABCD 中，AC BD 、相交于点O E F ，、在对角线BD 上，且BE DF ．求证：四边形AECF 是平行四边形．8.如图，在平行四边形ABCD 中，AD=BC，AE⊥BD,CF⊥BD,垂足为E、F,AE=CF，求证：四边形ABCD 是平行四边形。
9.已知：如图，四边形AEFD 和EBCF 都是平行四边形，求证：四边形ABCD 是平行四边形．10.如图，在ABCD 中，点E，F 分别在AD，BC 边上，且AE＝CF.求证：(1)△ABE≌△CDF；(2)四边形BFDE 是平行四边形.AEBCFDO ＮＡＭＤＦＣＢＥ11.如图在平面直角坐标系中，点A(-1,0)B(2,0)C(0,1)为顶点构造平行四边形,下列各点中不能做平行四边形顶点坐标的是()A(3，1)B(-4，1）C(1,-1)D(-3,1)12.如图，在□ABCD中，E、F分别在边BA、DC的延长线上，已知AE＝CF，P、Q分别是DE和FB的中点，求证：四边形EQFP是平行四边形．13.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，且AD=12cm，AB=8cm，DC=10cm，若动点P从A 点出发，以每秒2cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒3cm的速度沿CB向B 点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：（1）BC=cm；（2）当t为多少时，四边形PQCD成为平行四边形。
平行四边形的判定练习题(含(答案))
平行四边形的判定及中位线知能点1 平行四边形的判定方法1．能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）．A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠DC．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（）．A．相邻的角互补 B．两组对角分别相等C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线交点是两对角线中点3．如下左图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）．A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形;B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形;C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形;D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形4．如上右图所示，对四边形ABCD是平行四边形的下列判断，正确的打“∨”，错误的打“×”．（1）因为AD∥BC，AB=CD，所以ABCD是平行四边形．（）（2）因为AB∥CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（3）因为AD∥BC，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（4）因为AB∥CD，AD∥BC，所以ABCD是平行四边形．（）（5）因为AB=CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（6）因为AD=CD，AB=AC，所以ABCD是平行四边形．（）5．已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加条件________．6．如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，问四边形ABCD是不是平行四边形．7．如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，E，F为对角线AC上的点，且AE=CF，求证：BE=DF．8．如图所示，D为△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，且AE=CE，FC∥AB．求证：CD=AF．9．如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，在AB的延长线上截取BE=•AB，BF=BD，连接CE，DF，相交于点M．求证：CD=CM．10．如图所示，在四边形ABCD中，DC∥AB，以AD，AC为边作□ACED，延长DC•交EB于F，求证：EF=FB．知能点2 三角形的中位□线11．如图所示，已知E 为□ABCD 中DC 边的延长线上的一点，且CE=DC ，连接AE ，分别交BC ，BD 于点F ，G ，连接AC 交BD 于点O ，连接OF ，求证：AB=2OF ．12．如图所示，在ABCD 中，EF ∥AB 且交BC 于点E ，交AD 于点F ，连接AE ，BF•交于点M ，连接CF ，DE 交于点N ，求证：MN ∥AD 且MN=12AD ．13．如图所示，DE 是△ABC 的中位线，BC=8，则DE=_______．14．如图所示，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，OE ∥BC 交CD•于E ，•若OE=3cm ，则AD 的长为（ ）． A ．3cm B ．6cm C ．9cm D ．12cm15．如图所示，在四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 的中点，•则四边形EFGH 是平行四边形吗？为什么？16．如图所示，在△ABC 中，AC=6cm ，BC=8cm ，AB=10cm ，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，求△DEF 的面积．规律方法应用17．如图所示，A ，B 两点被池塘隔开，在A ，B 外选一点C ，连接AC 和BC ，•并分别找出AC 和BC 的中点M ，N ，如果测得MN=20m ，那么A ，B 两点间的距离是多少？18．如图所示，在□ABCD 中，AB=2AD ，∠A=60°，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，EF=1cm ，那么对角线BD 的长度是多少？你是怎样得到的？19．如图所示，在△ABC 中，E 为AB 的中点，CD 平分∠ACB ，AD ⊥CD 于点D ．• 试说明：（1）DE ∥BC ．（2）DE=12（BC-AC ）．开放探索创新20．如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD•于E，EF∥BC交AC于F，那么AE与CF相等吗？请验证你的结论．中考真题实战21．（长沙）如下左图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD•为平行四边形，则应添加的条件是________．（添加一个即可）22．（呼和浩特）如上右图所示，已知E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，•则S四边形EFGH：S四边形ABCD的值是_________．23．（南京）已知如图19-1-55所示，在ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：（1）•△AFD≌△CEB．（2）四边形AECF是平行四边形．答案:1．C 2．C 3．D4．（1）×（2）×（3）∨（4）∨（5）∨（6）× 5．AD=BC或AB∥CD6．解：∵∠1=∠2，∴AD∥BC．又∵∠3=∠4，∴AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．7．证明：∵AB=CD，BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF．又∵AE=CE，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE=EF．8．证明：∵FC∥AB，∴∠DAC=∠ACF，∠ADF=∠DFC．又∵AE=CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE=EF．∵AE=CE，∴四边形ADCF为平行四边形．∴CD=AF．9．证明：∵四边形ABCD是平行四边形．∴AB//DC．又∵BE=AB，∴BE//DC，∴四边形BDCE是平行四边形．∵DC∥BF，∴∠CDF=∠F．同理，∠BDM=∠DMC．∵BD=BF，∴∠BDF=∠F．∴∠CDF=∠CMD，∴CD=CM．10．证明：过点B作BG∥AD，交DC的延长线于G，连接EG．∵DC∥AB，∴ABGD是平行四边形，∴BG// AD．在□ACED中，AD//CE，∴CE//BG．∴四边形BCEG为平行四边形，∴EF=FB．11．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD=BC．∵CE=CD，∴AB//CE，∴四边形ABEC为平行四边形．∴BF=FC，∴OF//12AB，即AB=2OF．12．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ． 又∵EF ∥AB ，∴EF ∥CD ．∴四边形ABEF ，ECDF 均为平行四边形．又∵M ，N 分别为ABEF 和ECDF 对角线的交点． ∴M 为AE 的中点，N 为DE 的中点， 即MN 为△AED 的中位线． ∴MN ∥AD 且MN=12AD ． 13．4 14．B15．解：EFGH 是平行四边形，连接AC ，在△ABC 中，∵EF 是中位线，∴EF //12AC ． 同理，GH //12AC ． ∴EF //GH ，∴四边形EFGH 为平行四边形． 16．解：∵EF ，DE ，DF 是△ABC 的中位线， ∴EF=12AB ，DE=12AC ，DF=12BC ． 又∵AB=10cm ，BC=8cm ，AC=6cm ，∴EF=5cm ，DE=3cm ，DF=4cm ，而32+42=25=52，即DE 2+DF 2=EF 2． ∴△EDF 为直角三角形． ∴S △EDF =12DE ·DF=12×3×4=6（cm 2）． 17．解：∵M ，N 分别是AC ，BC 的中点． ∴MN 是△ABC 的中位线，∴MN=12AB ． ∴AB=2MN=2×20=40（m ）．故A ，B 两点间的距离是40m ． 18．解：连接DE ．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB //CD ． ∵DF=12CD ，AE=12AB ， ∴DF //AE ．∴四边形ADFE 是平行四边形．∴EF=AD=1cm ．∵AB=2AD ，∴AB=2cm ．∵AB=2AD ，∴AB=2AE ，∴AD=AE ． ∴∠1=∠4．∵∠A=60°，∠1+∠4+∠A=180°， ∴∠1=∠A=∠4=60°．∴△ADE 是等边三角形，∴DE=AE ． ∵AE=BE ，∴DE=BE ，∴∠2=∠3．∵∠1=∠2+∠3，∠1=60°，∴∠2=∠3=30°． ∴∠ADB=∠3+∠4=90°． ∴BD=222221AB AD -=-=3（cm ）．19．解：延长AD 交BC 于F ．（1）∵AD ⊥CD ，∴∠ADC=∠FDC=90°．∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD=∠FCD ． 在△ACD 与△FCD 中，∠ADC=∠FDC ，DC=DC ，∠ACD=∠FCD ． ∴△ACD ≌△FCD ，∴AC=FC ，AD=DF ．又∵E 为AB 的中点，∴DE ∥BF ，即DE ∥BC ．（2）由（1）知AC=FC ，DE=12BF ． ∴DE=12（BC-FC ）=12（BC-AC ）． 20．解：AE=CF ．理由：过E 作EG ∥CF 交BC 于G ， ∴∠3=∠C ．∵∠BAC=90°，AD ⊥BC ，∴∠ABC+∠C=90°，∠ABD+∠BAD=90°． ∴∠C=∠BAD ，∴∠3=∠BAD ． 又∵∠1=∠2，BE=BE ， ∴△ABE ≌△GBE （AAS ），∴AE=GE ． ∵EF ∥BC ，EG ∥CF ，∴四边形EGCF 是平行四边形，∴GE=CF ， ∴AE=CF ．21．答案不唯一，如AB=CD 或AD ∥BC ． 22．1223．解：（1）在□ABCD 中，AD=CB ，AB=CD ，∠D=∠B ． ∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点， ∴DF=12CD ，BE=12AB ，∴DF=BE ， ∴△AFD ≌△CEB ．（2）在□ABCD 中，AB=CD ，AB ∥CD ． 由（1）得BE=DF ，∴AE=CE ，∴四边形AECF 是平行四边形．。
8.2平行四边形性质和判定的四种常见题型
证明：∵BE 平分∠ABC，∴∠CBE＝∠EBA. ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠DAB＋∠ABC＝180°. ∵∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＋∠EBA＝90°. ∴∠AEB＝90°.∴AB2＝AE2＋BE2.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC. ∴∠EAG＝∠FCH，∠AEG＝∠CBE. ∵E，F 分别为 AD，BC 的中点，
∴AE＝DE＝12AD，BF＝CF＝12BC. ∴AE＝CF，DE＝BF.又 DE∥BF， ∴四边形 DEBF 是平行四边形．∴BE∥FD. ∴∠CBE＝∠CFH.∴∠AEG＝∠CFH.
3．(中考·扬州)如图，将▱ ABCD 沿过点 A 的直线 l 折叠，使点 D 落到 AB 边上的点 D′处，折痕 l 交 CD 边于点 E，连接 BE.
(1)求证：四边形 BCED′是平行四边形； 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC. 根据折叠的性质，得∠DAE＝∠D′AE，∠DEA＝∠D′EA， ∠D＝∠AD′E.
∠EAG＝∠FCH， 在△AEG 和△CFH 中，AE＝CF，
∠AEG＝∠CFH， ∴△AEG≌△CFH(ASA)．∴AG＝CH.
2．(中考·毕节)如图，将▱ ABCD 的 AD 边延长至点 E，使 DE＝ 12AD，连接 CE，F 是 BC 边的中点，连接 FD.
(1)求证：四边形． 证明：∵D，E 移动的速度相同，时间也相同，∴BD＝CE. ∵DG∥AE，∴∠DGB＝∠ACB. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∴∠B＝∠DGB. ∴BD＝GD＝CE. 又∵DG∥CE，∴四边形 CDGE 是平行四边形．
平行四边形性质及判定练习题
平行四边形性质及判定练习题在几何学中，平行四边形是一种特殊类型的四边形，具有许多独特的性质。
本文将介绍平行四边形的性质，并提供一些判定平行四边形的练习题供读者练习。
一、平行四边形的定义和性质平行四边形定义：如果一组四边形的对边是平行的，那么这个四边形就是平行四边形。
平行四边形的性质如下：1. 对边性质：平行四边形的对边相等。
2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。
3. 内角和性质：平行四边形的内角和为180度。
4. 对顶角性质：平行四边形的对顶角相等。
二、判定平行四边形的方法1. 判定对边相等：如果一个四边形的对边相等，那么它是一个平行四边形。
2. 判定对角线平分：如果一个四边形的对角线互相平分，那么它是一个平行四边形。
3. 判定内角和：如果一个四边形的内角和为180度，那么它是一个平行四边形。
4. 判断对顶角相等：如果一个四边形的对顶角相等，那么它是一个平行四边形。
三、判定练习题1. 判断以下四边形是否是平行四边形：题目一：ABCD是一个四边形，AB = CD，AD = BC，AC = BD。
证明：ABCD是一个平行四边形。
解答一：由题意知，AB = CD，AD = BC，根据判定对边相等的方法可得，ABCD是一个平行四边形。
题目二：ABCD是一个四边形，AC是对角线，且AC平分∠BAD。
证明：ABCD是一个平行四边形。
解答二：由题意知，AC平分∠BAD，根据判定对角线平分的方法可得，ABCD是一个平行四边形。
题目三：ABCD是一个四边形，∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。
证明：ABCD是一个平行四边形。
解答三：由题意知，∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°，根据判定内角和的方法可得，ABCD是一个平行四边形。
题目四：ABCD是一个四边形，∠A = ∠C，∠B = ∠D。
证明：ABCD是一个平行四边形。
中考数学模拟题汇总《平行四边形的判定与证明》专项练习(附答案解析)
中考数学模拟题汇总《平行四边形的判定与证明》专项练习(附答案解析)一、综合题1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC的延长线上，∠FEC=∠B．（1）求证：DE=CF；（2）若AC=6cm，AB=10cm，求四边形DCFE的面积．2．已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，OD∥AC，AD＝OC.（1）求证：四边形OCAD是平行四边形；（2）若AD与⊙O相切，求∠B.3．已知：如图，点D在ΔABC的边AB上，CF//AB，DF交AC于E，EA=EC．（1）如图1，求证：CD=AF；（2）如图2，若AD=BD，请直接写出和ΔBDC面积相等的三角形．4．如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE=CF，DF=BE，且DF//BE，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若tan∠CAB=25，∠CBG=45°，BC=4√2，则▱ABCD的面积是．5．已知，如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．（1）求证：△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．6．如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点.（1）求证：BE=DF；（2）设ACBD=k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由.7．如图，在ΔABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，DE // BC，EF // AB．（1）求证：ΔADE∽ΔEFC；（2）如果AB=6，AD=4，求SΔADESΔEFC的值．8．如图，已知平行四边形ABCD，过A点作AM⊥BC于M，交BD于E，过C点作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE．（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB：AE的值．BC，9．如图，等边△ABC的边长是4,D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=12连接CD和EF .（1）求证：DE=CF；（2）求EF的长.10．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD交于点H.（1）求证：四边形DEBC是平行四边形；（2）若BD＝9，求DH的长.11．已知锐角△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，连接AO．（1）如图1，求证：∠BAO＝∠CAD；（2）如图2，CE⊥AB于点E，交AD于点F，过点O作OH⊥BC于点H，求证：AF＝2OH；，BC＝2√15，求AC的长．（3）如图3，在（2）的条件下，若AF＝AO，tan∠BAO＝1312．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(−1，0)，B(5，0)，与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标.（2）连结AD，点E是对称轴与x轴的交点，过E作EF∥AD交抛物线于点F（F在E的右侧），过点F作FG∥x轴交ED于点H，交AD于点G，求HF的长.13．如图，CD是⊙O的直径，点A是⊙O外一点，AD与⊙O相切于点D，点B是⊙O上一点（点B不与点C，D重合），连接AO，AB，BC .（1）当BC与AO满足什么位置关系时，AB是⊙O的切线？请说明理由；（2）在（1）的条件下，当∠DAO=度时，四边形AOCB是平行四边形.（x＞0）的图象经过点A、B，点B的坐标为（2，2）．过点A作AC⊥x轴，垂足14．如图，已知函数y= kx为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F．一次函数y=ax+b的图象经过点A、D，与x轴的负半轴交于点EOD，求a、b的值；（1）若AC= 32（2）若BC∥AE，求BC的长．15．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．16．如图.在一次数学研究性学习中，小华将两个全等的直角三角形纸片Rt△ABC和Rt△DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图），其中∠ACB=∠DFE=90°，发现四边形ABDE是平行四边形.如图，小华继续将图中的纸片Rt△DEF沿AC方向平移，连结AE，BD，当点F与点C重合时停止平移.（1）请问：四边形ABDE是平行四边形吗？说明理由.cm时，请判断四边形ABDE的形（2）如图，若BC=EF=6cm，AC=DF=8cm，当AF=92状，并说明理由.参考答案与解析1．【答案】（1）证明：在△CDE 和△ECF 中，∵∠ACB=∠ECF=90°，点D 、E 是分别是AB 、BC 的中点．∴CD=BD=AD ，∴∠B=∠DCE ，∠CED=∠ECF=90°， 又∵∠FEC=∠B ．．∠FEC=∠DCE ，又∵CE=EC ．∴△CDE ≌△ECF （ASA ），∴DE=CF ；（2）解：在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，∴BC=√AB 2−AC 2=√102−62=8cm ， ∵点D 、E 分别是AB 、BC 的中点，∴DE ∥CF ，又DE=CF ， ∴四边形DCFE 是平行四边形，∴DE=12AC=12×6=3cm ，CE=12BC=12×8=4cm ， ∴S 四边形DCFE =DE ×CE=3×4=12cm ． 2．【答案】（1）证明：∵OA ＝OC ＝AD ， ∴∠OCA ＝∠OAC ，∠AOD ＝∠ADO ， ∵OD ∥AC ， ∴∠OAC ＝∠AOD ，∴180°﹣∠OCA ﹣∠OAC ＝180°﹣∠AOD ﹣∠ADO ， 即∠AOC ＝∠OAD ， ∴OC ∥AD ， ∵OD ∥AC ，∴四边形OCAD 是平行四边形；（2）解：∵AD 与⊙O 相切，OA 是半径， ∴∠OAD ＝90°， ∵OA ＝OC ＝AD ， ∴∠AOD ＝∠ADO ＝45°，∵OD∥AC，∴∠OAC＝∠AOD＝45°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝45°.3．【答案】（1）证明：∵CF//AB∴∠DFC=∠ADF，∠DAC=∠ACF又∵EA=EC∴ΔADE≌ΔCFE(AAS)∴CF=AD又∵CF//AD∴四边形ADCF为平行四边形∴DC=AF（有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）（2）解：ΔADC，ΔADF，ΔCFD，ΔCFA∵AD=BD，∴SΔADC=SΔBDC (等底等高面积相等)∵四边形ADCF是平行四边形，∴SΔADC=SΔCDF=SΔADF=SΔACFF (等底等高面积相等) ．故与ΔBDC面积相等的三角形为：ΔADC，ΔADF，ΔCFD，ΔCFA．4．【答案】（1）证明：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，∵DF//BE，∴∠DFA=∠BEC，∵DF=BE，∴ΔADF≅ΔCBE(SAS)，∴AD=CB，∠DAF=∠BCE，∴AD//CB，四边形ABCD是平行四边形（2）245．【答案】（1）证明：∵DF∥BE，∴∠DFA=∠BEC，在△ADF和△CBE中{DF=BE∠DFA=∠BECAF=CE，∴△AFD≌△CEB（SAS).（2）解：四边形ABCD是平行四边形，理由如下：∵△AFD≌△CEB，∴AD=CB，∠DAF=∠BCE，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．6．【答案】（1）证明：如图，连接DE，BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵E，F分别是OA，OC的中点，∴OE=12OA=12OC=OF，∴四边形DEBF是平行四边形，∴BE=DF .（2）解：由（1）已证：四边形DEBF是平行四边形，要使平行四边形DEBF是矩形，则BD=EF，∵OE=12OA=12OC=OF，∴EF=OE+OF=12OA+12OC=OA=12AC，即AC=2EF，∴k=ACBD =2EFEF=2，故当k=2时，四边形DEBF是矩形. 7．【答案】（1）证明：∵DE//BC，EF//AB，∴∠A＝∠CEF，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△EFC．（2）解：∵AB＝6，AD＝4，∴DB＝6－4＝2，∵DE//BC，EF//AB，∴四边形DBFE是平行四边形，∴EF＝DB=2，∵△ADE∽△EFC，SΔADE SΔEFC =(ADEF)2=(42)2=4．8．【答案】（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形（已知），∴BC∥AD（平行四边形的对边相互平行）。
平行四边形专题证明题33道-含答案
图1 平行四边形专题练习1．如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm ．2．（08贵阳市）如图1，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2．3.若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件 (写一个即可)，使四边形ABCD 是菱形．4．在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△ABO 的周长为17，AB ＝6，那么对角线AC ＋BD ＝5．以正方形ABCD 的边BC 为边做等边△BCE ，则∠AED 的度数为 .6．已知菱形ABCD 的边长为6，∠A ＝60°，如果点P 是菱形内一点，且PB ＝PD ＝2那么AP 的长为 ．7．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A(－2，5)，B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D ，使四边形ABCD 是平行四边形，那么点D 的坐标是 ．二、选择题（每题3分，共30分）8．如图2在平行四边形ABCD 中，∠B=110°，延长AD 至F ，延长CD 至E ，连结EF ，则∠E ＋∠F ＝( )A ．110°B ．30°C ．50°D ．70°图2 图3 图49．菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )A ．对角相等B ．四边相等C ．对角线互相平分D ．四角相等10．如图3所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE=3 cm ，则AB 的长为 ( )A ．3 cmB ．6 cmC ．9 cmD ．12 cm11．已知：如图4，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若AB ＝2，AD ＝4，则图中阴影部分的面积为 ( )A ．8B ．6C ．4D ．3E AF D C B H G12．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形( )A．①③⑤B．②③⑤C．①②③D．①③④⑤13．如图5所示，是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示(单位：mm)，则该主板的周长是( )A．88 mm B．96 mm C．80 mm D．84 mm图5 图614、（08甘肃省白银市）如图6所示，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150∠=，∠=（）则AEFA．110° B．115°C．120° D．130°15、四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以组合，使得ABCD是平行四边形，一共有多少种不同的组合？（）AB∥CD BC∥AD AB=CD BC=ADA.2组B.3组C.4组D.6组16、下列说法错误的是（）A.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形.B.每组邻边都相等的四边形是菱形.C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形.D.四个角都相等的四边形是矩形.三、解答题17、如图7，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8 cm ,BD＝6 cm, DH⊥AB于H，求：DH的长。
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1．在□ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上两点，且AE=CF ，四边形DEBF 是平行四边形吗？请说明理由．
2.如图，▱ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、BC 上，且ED=BF ，EF 与AC 相交于点O ，求证：OA=OC ．
3、如图，延长平行四边形ABCD 的边BC 至F 、DA 至E ，使CF ＝AE ，EF 与BD 交于O ．
试说明EF 与BD 互相平分
4．如图，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AE =CF ，DF =BE ，DF ∥BE ，
求证：（1）△ADF ≌△CBE ；（2）四边形ABCD 是平行四边形．
5． 如图, 在ABCD 中，∠ABC ＝70
,∠ABC 的平分线交AD 于点E,过点D 作BE 的平行线交BC 于点F,求∠CDF 的度数.
A E D
A B
C D F E
B F
6．已知如图，在□ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于E ，且CE ⊥BE 。
求证：BC =2CD
7.如图，平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，1AB =，．对角线AC BD ，相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC AD ，于点E F ，．
（1）证明：当旋转角为90时，四边形ABEF 是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；
8、如图，四边形ABCD 和四边形EBFD 都是平行四边形． 试说明△ABE ≌△CDF
C
9. 已知:如图, 在ABCD 中，E 、F 分别是AB 和CD 上的点，AE=CF, M 、N 分别是DE 和BF 的中点，求证.四边形ENFM 是平行四边形．
10. 已知:如图, 在ABCD 中，E 、F 分别是CD 和AB 上的点，AE//CF, BE 交CF 于点H ，DF 交AE 于点G ．求证.EG=FH ．
A B C D O F E
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