数学培优(一元二次方程的应用题)
(完整版)一元二次方程综合培优(难度大-含参考答案)
一元二次方程拓展提高题1、已知0200052=--x x，则()()211223-+---x x x 的值是 . 2、已知0120042=+-a a ，则_________120044007222=++-a a a . 3、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=b a.4、已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根，则代数式_____21682=-++-a a a .5、已知x x y -+=62，则y 的最大值为 .6、已知0=++c b a ，2=abc ，0φc ，则（ ）A 、0πabB 、2-≤+b aC 、3-≤+b aD 、4-≤+b a 7、已知8=-b a ，0162=++c ab ，则________=++c b a . 8、已知012=-+m m ，则________2006223=-+m m . 9、已知4=-b a ，042=++c ab ，则________=+b a .10、若方程02=-+q px x 的二根为1x ，2x ，且11φx ，03φ++q p ，则2x ( ) A 、小于1 B 、等于1 C 、大于1 D 、不能确定11、已知α是方程0412=-+x x 的一个根，则ααα--331的值为 .12、若132=-x x ，则=+--+200872129234x x x x （ ）A 、2011B 、2010C 、2009D 、2008 13、方程22323=--+x x 的解为 . 14、已知06222=+-y x x ，则x y x 222++的最大值是（ ）A 、14B 、15C 、16D 、18 15、方程m x x =+-2||22恰有3个实根，则=m （ ）A 、1B 、1.5C 、2D 、2.5 16、方程9733322=-+-+x x x x 的全体实数根之积为（ ）A 、60B 、60-C 、10D 、10-17、关于x 的一元二次方程0522=--a x x （a 为常数）的两根之比3:2:21=x x ，则=-12x x （ ）A 、1B 、2C 、21 D 、23 18、已知是α、β方程012=-+x x 的两个实根，则_______34=-βα. 19、若关于x 的方程xax x x x x a 1122++-=-只有一解，求a 的值。
数学培优竞赛新方法-第4讲 一元二次方程的应用
第4讲一元二次方程的应用知识纵横方程是刻画现实问题的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代表。
许多数学问题可转化为解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质而获解。
一元二次方程的应用有以下几个方面：(1)求代数式的值；(2)列二次方程解应用题；(3)解相关几何问题。
例题求解【例1】在平面直角坐标系中有点)2,2(-A 、)2,3(B ，C 是坐标轴上一点。
若ABC ∆是直角三角形，则满足条件的点C 的坐标是_________。
【例2】已知实数x 、y 满足32424=-x x ，324=+y y ，则y x 444+的值为（）。
A．7B．2131+C．2137+D．5【例3】在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块高墙（墙长15cm）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围城（如图所示）。
若花园的BC 边长为x（m），花园的面积为y（m 2）．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）满足条件的花园面积能达到200m 2吗？若能，求出此时x 的值，若不能，说明理由；（3）根据（1）中求得的函数关系式，判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？【例4】已知：如图①，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s，点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度2m/s，连接PQ。
若运动时间为t（s）（2<t<2)，解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ∥BC？（2）（2）设△AQP 的面积为y（cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）（3）如图②，连接PC，并把PQC ∆沿QC 翻折，得到四边形PQP′C，并且存在某一时刻t，使四边形PQP′C 为菱形，求此时AQP ∆的面积.【例5】如图，在平面直角坐标系中，直线1+=x y 与343+-=x y 交于点A，分别交x 轴于点B 和点C，点D 是直线AC 上的一个动点。
初中数学代数培优：12讲专题10 一元二次方程的应用综合-讲义(含答案解析)
专题10 一元二次方程的应用综合【题型1 与一元二次方程有关的三角形动点问题】【例1】（2020秋•兴城市月考）如图，在△ABC内，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当其中一个动点到达终点时，另一动点也随之停止运动，当如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？【变式1-1】（2020秋•茶陵县期末）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝8cm，现有动点P 从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，设运动时间是ts（t＞0）．（1）当t＝4时，求△APQ的面积．（2）经过多少秒时，△APQ的面积是△ABC面积的一半．【变式1-2】（2021•广州模拟）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s 的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？【变式1-3】（2020秋•鹤城区期末）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于2√10cm？（3）△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．【题型2 与一元二次方程有关的四边形动点问题】【例2】（2020秋•天宁区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为s．【变式2-1】（2021秋•渭滨区校级期中）如图，在边长为6cm正方形ABCD中，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC和CD边向D点以2cm/s的速度移动，如果点P、Q 分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2．【变式2-2】（2020秋•江岸区校级月考）如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s 的速度向点D移动（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？【变式2-3】如图，菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC＝8cm BD＝6cm，动点M从A点出发沿AC方向以2cm/s匀速直线运动到C点，动点N从B点出发沿BD方向以1cm/s匀速直线运动到D点，若M，N同时出发，设运动时间为t秒：（1）当t ＝1秒时，M ，N 两点之间的距离是多少？ （2）当2＜t ＜3时，用含t 的代数式表示OM 的长； 设W ＝MN 2，求W 关于t 的函数关系式； （3）当t 为何值时，△MON 的面积为14cm 2．【题型3 一元二次方程与一次函数的综合】【例3】（2020春•平潭县校级月考）北京国家体育场“鸟巢”的模型深受游客喜爱． 图中折线（AB ∥CD ∥x 轴）反映了某种规格“鸟巢”模型的单价y （元）与购买数量x （个）之间的函数关系． （1）求当10≤x ≤20时，y 与x 的函数关系式；（2）已知某旅游团购买该种规格的“鸟巢”模型的总金额为2625元，问该旅游团共购买这种模型多少个？（总金额＝数量×单价）【变式3-1】（2021春•天心区期末）为积极响应新旧功能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为35万元时，年销售量为550台；每台售价为40万元时，年销售量为500台．假定该设备的年销售量y （单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于60万元，如果该公司想获得8000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？【变式3-2】（2020春•西湖区校级月考）某商店代销一种智能学习机，促销广告显示“如果购买不超过40台学习机，则每台售价800元，如果超出40台，则每超过1台，每台售价将均减少5元”该学习机的进货价与进货数量关系如图所示：（1）当x＞40时，用含x的代数式表示每台学习机的售价；（2）当该商店一次性购进并销售学习机60台，每台学习机可以获利多少元；（3）若该商店在一次销售中获利4800元，则该商店可能购进并销售学习机多少台．【变式3-3】（2020秋•麻城市校级月考）某商店以20元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．①求y与x之间的函数关系式；②若某段时间内该商品的销售单价为70元，则销售利润为多少元？（利润＝（销售单价﹣进价）×销售量）③要使销售利润达到800元，则销售单价应定为每千克多少元？④在一段时间内，销售利润能达到1000元吗？若能，求出此时的销售单价；若不能，说明理由．【题型4 与一元二次方程有关的阅读探究问题】【例4】（2020秋•洛宁县月考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，那么称这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形．任务：当矩形的长为8，宽为1时，它是否存在“减半”矩形？如果存在，请求出“减半”矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由．【变式4-1】（2020秋•乐清市期末）阅读探究：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x 和y ，由题意得方程组 {x +y =72xy =3，消去y 化简得：2x 2﹣7x +6＝0，∵b 2﹣4ac ＝49﹣48＞0，∴x 1＝ ，x 2＝ ， ∴满足要求的矩形B 存在．（2）如果已知矩形A 的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B ． （3）如果矩形A 的边长为m 和n ，请你研究满足什么条件时，矩形B 存在？【变式4-2】（2020•任城区三模）阅读下面材料：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d 表示，我们可以用公式S ＝na +n(n−1)2×d 来计算等差数列的和．（公式中的n 表示数的个数，a 表示第一个数的值，） 例如：3+5+7+9+11+13+15+17+19+21＝10×3+10(10−1)2×2＝120． 用上面的知识解决下列问题． （1）计算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116．（2）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，如表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木．2009年 2010年 2011年 2012年 植树后坡荒地的实际面积（公顷） 25200240002240020400【变式4-3】（2020秋•顺昌县校级月考）实验与探究：三角点阵前n 行的点数计算．如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n 行有n 个点…容易发现，10是三角点阵中前4行的点数的和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24＝300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n 行的点数的和与n 的数量关系前n 行的点数的和是1+2+3+…+（n ﹣2）+（n ﹣1）+n ，可以发现．2×[1+2+3+…+（n ﹣2）+（n ﹣1）+n ]＝[1+2+3+…+（n ﹣2）+（n ﹣1）+n ]+[n +（n ﹣1）+（n ﹣2）+…3+2+1]把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n 项相加，上式等号的后边变形为这n 个小括号都等于n +1，整个式子等于n （n +1），于是得到1+2+3+…+（n ﹣2）+（n ﹣1）+n ＝n （n +1）这就是说，三角点阵中前n 项的点数的和是 n （n +1）． 下列用一元二次方程解决上述问题设三角点阵中前n 行的点数的和为300，则有12n （n +1）＝300整理这个方程，得：n 2+n ﹣600＝0解方程得：n 1＝24，n 2＝﹣25，根据问题中未知数的意义确定n ＝24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．请你根据上述材料回答下列问题：（1）三角点阵中前n 行的点数的和能是600吗？如果能，求出n ；如果不能，试用一元二次方程说明道理．（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n 、…，你能探究出前n 行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n 行的点数的和能是600吗？如果能，求出n ；如果不能，试用一元二次方程说明道理．专题10 一元二次方程的应用综合【题型1 与一元二次方程有关的三角形动点问题】【例1】（2020秋•兴城市月考）如图，在△ABC 内，AB ＝6cm ，BC ＝7cm ，∠ABC ＝30°，点P 从A 点出发，以1cm /s 的速度向B 点移动，点Q 从B 点出发，以2cm /s 的速度向C 点移动，当其中一个动点到达终点时，另一动点也随之停止运动，当如果P 、Q 两点同时出发，经过几秒后△PBQ 的面积等于4cm 2？【解题思路】过点Q 作QE ⊥PB 于E ，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可得出QE =12QB ，设经过t 秒后△PBQ 得面积等于4cm 2，则PB ＝6﹣t ，QB ＝2t ，QE ＝t ，根据△PBQ 的面积等于4cm 2，即可得出关于t 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【解答过程】解：如图，过点Q 作QE ⊥PB 于E ，则∠QEB ＝90°. ∵∠ABC ＝30°， ∴QE =12QB ．设经过t 秒后△PBQ 得面积等于4cm 2，则PB ＝6﹣t ，QB ＝2t ，QE ＝t ， 根据题意得：12•（6﹣t ）•t ＝4，整理得：t 2﹣6t +8＝0， 解得：t 1＝2，t 2＝4．当t ＝4时，2t ＝8，8＞7，不合题意舍去， ∴t ＝2．答：经过2秒后△PBQ 的面积等于4cm 2．【变式1-1】（2020秋•茶陵县期末）如图1，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝12cm ，AC ＝8cm ，现有动点P 从点B 出发，沿射线BA 方向运动，动点Q 从点C 出发，沿射线CA 方向运动，已知点P 的速度是2cm /s ，点Q 的速度是1cm /s ，它们同时出发，设运动时间是ts （t ＞0）． （1）当t ＝4时，求△APQ 的面积．（2）经过多少秒时，△APQ 的面积是△ABC 面积的一半．【解题思路】（1）根据点P 的速度是2cm /s ，点Q 的速度是1cm /s ，AP ＝4cm ，AQ ＝4cm ，利用面积公式求解；（2）设经过t 秒△APQ 的面积是△ABC 面积的一半，则BP ＝2tcm ，CQ ＝2tcm ，进而表示出AP ＝（12﹣2t ）cm ，AQ ＝（8﹣t ）cm ，利用面积公式表示出方程求解但是由于题目给的是射线，注意分类讨论．【解答过程】解：（1）∵点P 的速度是2cm /s ，点Q 的速度是1m /s ， 当t ＝4时，BP ＝2t ＝8cm ，CQ ＝t ＝4cm ， ∴AP ＝4cm ，AQ ＝4cm ， ∴S △APQ =12×4×4＝8（cm 2）． （2）设经过t 秒△APQ 的面积是△ABC 面积的一半． 根据题意得：12S △ABC =12×12×12×8＝24cm 2， 当0＜t ＜6 时如图1：S △APQ =12（12﹣2t ）（8﹣t ）＝24， 整理得t 2﹣14t +24＝0， 解得t ＝12（舍去）或t ＝2．当6＜t＜8 时如图2：S△APQ=12（2t﹣12）（8﹣t）＝24，整理得t2﹣14t+72＝0，△＜0，无解．当t＞8时如图3：S△APQ=12（2t﹣12）（t﹣8）＝24，整理得t2﹣14t+24＝0，解得t＝12或t＝2（舍去）．综上所述：经过2秒或12秒△APQ的面积是△ABC面积的一半．【变式1-2】（2021•广州模拟）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s 的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？【解题思路】（1）设经过x 秒，线段PQ 能否将△ABC 分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；（2）分三种情况：①点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 上（0＜t ≤4）；②点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 上（4＜t ≤6）；③点P 在射线AB 上，点Q 在射线CB 上（t ＞6）；进行讨论即可求解．【解答过程】解：（1）设经过x 秒，线段PQ 能将△ABC 分成面积相等的两部分由题意知：AP ＝x ，BQ ＝2x ，则BP ＝6﹣x ，∴12（6﹣x ）•2x =12×12×6×8， ∴x 2﹣6x +12＝0，∵b 2﹣4ac ＜0，此方程无解，∴线段PQ 不能将△ABC 分成面积相等的两部分；（2）设t 秒后，△PBQ 的面积为1①当点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 上时此时0＜t ≤4由题意知：12（6﹣t ）（8﹣2t ）＝1， 整理得：t 2﹣10t +23＝0，解得：t 1＝5+√2（不合题意，应舍去），t 2＝5−√2，②当点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 的延长线上时此时4＜t ≤6，由题意知：12（6﹣t ）（2t ﹣8）＝1， 整理得：t 2﹣10t +25＝0，解得：t 1＝t 2＝5，③当点P 在线段AB 的延长线上，点Q 在线段CB 的延长线上时此时t ＞6，由题意知：12（t ﹣6）（2t ﹣8）＝1， 整理得：t 2﹣10t +23＝0，解得：t 1＝5+√2，t 2＝5−√2，（不合题意，应舍去），综上所述，经过5−√2秒、5秒或5+√2秒后，△PBQ 的面积为1．【变式1-3】（2020秋•鹤城区期末）已知：如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝7cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动．当P 、Q 两点中有一点到达终点，则同时停止运动．（1）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，△PBQ 的面积等于4cm 2？（2）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于2√10cm ？（3）△PQB 的面积能否等于7cm 2？请说明理由．【解题思路】（1）经过x 秒钟，△PBQ 的面积等于4cm 2，根据点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，表示出BP 和BQ 的长可列方程求解；（2）利用勾股定理列出方程求解即可；（3）令S △PQB ＝7，根据三角形的面积公式列出方程，再根据b 2﹣4ac 得出原方程没有实数根，从而得出△PQB 的面积不能等于7cm 2．【解答过程】解：（1）设经过x 秒以后，△PBQ 面积为4cm 2（0＜x ≤3.5）此时AP ＝xcm ，BP ＝（5﹣x ）cm ，BQ ＝2xcm ，由12BP ⋅BQ =4，得12(5−x)×2x =4， 整理得：x 2﹣5x +4＝0，解得：x ＝1或x ＝4（舍）；答：1秒后△PBQ 的面积等于4cm 2；（2）设经过t 秒后，PQ 的长度等于2√10cm ，由PQ 2＝BP 2+BQ 2，即40＝（5﹣t ）2+（2t ）2，解得：t ＝﹣1（舍去）或3．则3秒后，PQ 的长度为2√10cm ；（3）假设经过t 秒后，△PBQ 的面积等于7cm 2，即BP ×BQ 2=7，(5−t)×2t 2=7，整理得：t 2﹣5t +7＝0，由于b 2﹣4ac ＝25﹣28＝﹣3＜0，则原方程没有实数根，所以△PQB 的面积不能等于7cm 2．【题型2 与一元二次方程有关的四边形动点问题】【例2】（2020秋•天宁区校级月考）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝12cm ，BC ＝6cm ，点P 从点A 出发沿AB 以2cm /s 的速度向点B 运动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以1cm /s 的速度向点C 运动，点P 运动到点B 时，点Q 也停止运动；当△PQC 的面积等于16cm 2时，运动时间为 s ．【解题思路】设运动时间为xs （0≤x ≤6），则PB ＝（12﹣2x ）cm ，CQ ＝（6﹣x ）cm ，利用三角形面积的计算公式结合△PQC 的面积等于16cm 2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答过程】解：设运动时间为xs （0≤x ≤6），则PB ＝（12﹣2x ）cm ，CQ ＝（6﹣x ）cm ，依题意，得：12（12﹣2x ）（6﹣x ）＝16， 整理，得：x 2﹣12x +20＝0，解得：x 1＝2，x 2＝10（不合题意，舍去）．故答案为：2．【变式2-1】（2021秋•渭滨区校级期中）如图，在边长为6cm 正方形ABCD 中，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 和CD 边向D 点以2cm /s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了 秒钟后，△PBQ 的面积等于8cm 2．【解题思路】设经过x 秒，△PBQ 的面积等于8cm 2，分类讨论当0＜x ＜3秒时，Q 点在BC 上运动，P 在AB 上运动，求出面积的表达式，求出一个值，当3＜x ＜6秒时，Q 点在CD 上运动，P 在AB 上运动，根据条件列出一个一元一次方程，求出一个值．【解答过程】解：设经过x 秒，△PBQ 的面积等于8cm 2，当0＜x ＜3秒时，Q 点在BC 上运动，P 在AB 上运动，PB ＝6﹣x ，BQ ＝2x ，所以S △PBQ =12PB •BQ =12×2x ×（6﹣x ）＝8， 解得x ＝2或4，又知x ＜3，故x ＝2符合题意，当3＜x ＜6秒时，Q 点在CD 上运动，P 在AB 上运动，S △PBQ =12（6﹣x ）×6＝8，解得x =103． 故答案为：2或103．【变式2-2】（2020秋•江岸区校级月考）如图所示，A 、B 、C 、D 是矩形的四个顶点，AB ＝16cm ，AD ＝6cm ，动点P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，点P 以3cm /s 的速度向点B 移动，一直到达点B 为止，点Q 以2cm /s 的速度向点D 移动（1）P ，Q 两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ 的面积为33cm 2？（2）P ，Q 两点从出发开始到几秒时，点P 和点Q 的距离第一次是10cm ？【解题思路】当运动时间为t 秒时，PB ＝（16﹣3t ）cm ，CQ ＝2tcm ．（1）利用梯形的面积公式结合四边形PBCQ 的面积为33cm 2，即可得出关于t 的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）过点Q 作QM ⊥AB 于点M ，则PM ＝|16﹣5t |cm ，QM ＝6cm ，利用勾股定理结合PQ ＝10cm ，即可得出关于t 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答过程】解：当运动时间为t 秒时，PB ＝（16﹣3t ）cm ，CQ ＝2tcm ．（1）依题意，得：12×（16﹣3t +2t ）×6＝33， 解得：t ＝5．答：P ，Q 两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ 的面积为33cm 2．（2）过点Q 作QM ⊥AB 于点M ，如图所示．∵PM ＝PB ﹣CQ ＝|16﹣5t |cm ，QM ＝6cm ，∴PQ 2＝PM 2+QM 2，即102＝（16﹣5t ）2+62，解得：t 1=85，t 2=245（不合题意，舍去）．答：P ，Q 两点从出发开始到85秒时，点P 和点Q 的距离第一次是10cm ．【变式2-3】如图，菱形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，AC ＝8cm BD ＝6cm ，动点M 从A 点出发沿AC 方向以2cm /s 匀速直线运动到C 点，动点N 从B 点出发沿BD 方向以1cm /s 匀速直线运动到D 点，若M ，N 同时出发，设运动时间为t 秒：（1）当t ＝1秒时，M ，N 两点之间的距离是多少？（2）当2＜t ＜3时，用含t 的代数式表示OM 的长；设W ＝MN 2，求W 关于t 的函数关系式；（3）当t 为何值时，△MON 的面积为14cm 2．【解题思路】（1）利用菱形的性质得出OM 、ON ，利用勾股定理得出MN 即可；（2）当2＜t ＜3时，OM ＝2t ﹣4，ON ＝3﹣t ，利用勾股定理求得MN 的平方即可；（3）根据点M 、N 运动过程中与O 点的位置关系，分当t ＜2时，点M 在线段AO 上，点N 在线段BO 上、当2＜t ＜3时，点M 在线段OC 上，点N 在线段BO 上和当t ＞3时，点M 在线段OC 上，点N 在线段OD 上三种情况分别讨论，利用三角形的面积建立方程求得答案即可．【解答过程】解：（1）∵菱形ABCD 中，AC ＝8cm BD ＝6cm ，∴OA ＝4，OB ＝3，∵当t ＝1秒时，OM ＝4﹣2＝2，ON ＝3﹣1＝2，∴MN =√22+22=2√2；（2）当2＜t ＜3时，OM ＝2t ﹣4，ON ＝3﹣t ，W ＝MN 2＝OM 2+ON 2＝（2t ﹣4）2+（3﹣t ）2＝5t 2﹣22t +25；（3）①当t ＜2时，点M 在线段AO 上，点N 在线段BO 上．12（4﹣2t ）（3﹣t ）=14；解得t 1=5+√22，t 2=5−√22， ∵t ＜2，∴t =5−√22； ②当2＜t ＜3时，点M 在线段OC 上，点N 在线段BO 上，12（2t ﹣4）（3﹣t ）=14；解得t 1＝t 2=52；③当t ＞3时，点M 在线段OC 上，点N 在线段OD 上，12（2t ﹣4）（t ﹣3）=14；解得t 1=5+√22，t 2=5−√22， ∵t ＞3，∴t =5+√22． 综上所述，出发后√5−22s 或52s 或5+√22s 时，△MON 的面积为14cm 2． 【题型3 一元二次方程与一次函数的综合】【例3】（2020春•平潭县校级月考）北京国家体育场“鸟巢”的模型深受游客喜爱． 图中折线（AB ∥CD ∥x 轴）反映了某种规格“鸟巢”模型的单价y （元）与购买数量x （个）之间的函数关系．（1）求当10≤x ≤20时，y 与x 的函数关系式；（2）已知某旅游团购买该种规格的“鸟巢”模型的总金额为2625元，问该旅游团共购买这种模型多少个？（总金额＝数量×单价）【解题思路】（1）设出一次函数解析式，把B 、C 两点的坐标代入可得所求函数关系式；（2）所用金额既不是200的倍数，也不是150的倍数，可得模型的单价在150和200之间，根据总价等于2625得到一元二次方程，求解即可．【解答过程】解：（1）当10≤x ≤20时，设y ＝kx +b （k ≠0）（11分）依题意，得{10k +b =20020k +b =150， 解得{k =−5b =250， ∴当10≤x ≤20时，y ＝﹣5x +250；（2）∵10×200＜2625＜20×150∴10＜x ＜20，依题意，得xy ＝x （﹣5x +250）＝2625，即x 2﹣50x +525＝0，解得x 1＝15，x 2＝35（舍去）∴只取x ＝15．答：该旅游团共购买这种模型15个．【变式3-1】（2021春•天心区期末）为积极响应新旧功能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为35万元时，年销售量为550台；每台售价为40万元时，年销售量为500台．假定该设备的年销售量y （单位：台）和销售单价x （单位：万元）成一次函数关系．（1）求年销售量y 与销售单价x 的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于60万元，如果该公司想获得8000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？【解题思路】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y 与销售单价x 的函数关系式；（2）设此设备的销售单价为x 万元/台，则每台设备的利润为（x ﹣30）万元，销售数量为（﹣10x +900）台，根据总利润＝单台利润×销售数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其小于60的值即可得出结论．【解答过程】解：（1）设年销售量y 与销售单价x 的函数关系式为y ＝kx +b （k ≠0），将（35，550）、（40，500）代入y ＝kx +b ，得{35k +b =55040k +b =500． 解得：{k =−10b =900， ∴年销售量y 与销售单价x 的函数关系式为y ＝﹣10x +900；（2）设此设备的销售单价为x 万元/台，则每台设备的利润为（x ﹣30）万元，销售数量为（﹣10x +900）台，根据题意得：（x ﹣30）（﹣10x +900）＝8000．整理，得：x 2﹣120x +3500＝0，解得：x 1＝50，x 2＝70．∵此设备的销售单价不得高于60万元，∴x ＝50．答：该设备的销售单价应是50万元/台．【变式3-2】（2020春•西湖区校级月考）某商店代销一种智能学习机，促销广告显示“如果购买不超过40台学习机，则每台售价800元，如果超出40台，则每超过1台，每台售价将均减少5元”该学习机的进货价与进货数量关系如图所示：（1）当x ＞40时，用含x 的代数式表示每台学习机的售价；（2）当该商店一次性购进并销售学习机60台，每台学习机可以获利多少元；（3）若该商店在一次销售中获利4800元，则该商店可能购进并销售学习机多少台．【解题思路】（1）根据如果超出40台，则每超过1台，每台售价将均减少5元，可列式；（2）先根据待定系数法计算直线的解析式，再计算x ＝60时的进价和售价，可得利润；（3）分当x ＞40和当x ≤40时，分别计算每台的售价，列方程解出即可．【解答过程】解：（1）由题意得：当x ＞40时，每台学习机的售价为（单位：元）：800﹣5（x ﹣40）＝﹣5x +1000；（2）设图中直线解析式为：y ＝kx +b ，把（0，700）和（50，600）代入得：{50k +b =600b =700， 解得：{k =−2b =700， 直线解析式为：y ＝﹣2x +700，当x ＝60时，进价为：y ＝﹣2×60+700＝580，售价为：800﹣5×（60﹣40）＝700，则每台学习机可以获利：700﹣580＝120（元）；（3）当x ＞40时，每台学习机的利润是：（﹣5x +1000）﹣（﹣2x +700）＝﹣3x +300，则x （﹣3x +300）＝4800，解得：x 1＝80，x 2＝20（舍），当x ≤40时，每台学习机的利润是：800﹣（﹣2x +700）＝2x +100，则x （2x +100）＝4800，解得：x 1＝30，x 2＝﹣80（舍），答：则该商店可能购进并销售学习机80台或30台．【变式3-3】（2020秋•麻城市校级月考）某商店以20元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间的函数关系如图所示． ①求y 与x 之间的函数关系式；②若某段时间内该商品的销售单价为70元，则销售利润为多少元？（利润＝（销售单价﹣进价）×销售量）③要使销售利润达到800元，则销售单价应定为每千克多少元？④在一段时间内，销售利润能达到1000元吗？若能，求出此时的销售单价；若不能，说明理由．【解题思路】①当20≤x ≤80时，利用待定系数法即可得到y 与x 的函数表达式； ②把x ＝70代入函数式求得销量，然后由利润＝（销售单价﹣进价）×销售量求得答案； ③根据销售利润达到800元，可得方程，解方程即可得到销售单价； ④根据销售利润达到1000元，可得方程，解方程即可得到销售单价． 【解答过程】解：①当0＜x ＜20时，y ＝60； 当20≤x ≤80时，设y 与x 的函数表达式为y ＝kx +b ， 把（20，60），（80，0）代入，可得 {60=20k +b 0=80k +b ， 解得{k =−1b =80，∴y ＝﹣x +80，∴y 与x 的函数表达式为y ={60(0≤x ≤20)−x +80(20＜x ≤80)；②把x ＝70代入y ＝﹣x +80，得到：y ＝﹣70+80＝10， 故w ＝（70﹣20）×10＝500（元）；③若销售利润达到800元，若20≤x ≤80，则（x ﹣20）（﹣x +80）＝800， 解得x 1＝40，x 2＝60，若0＜x ＜20，则（x ﹣20）×60＝800， 解得x =1003（不合题意），∴要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克40元或60元． ④根据题意，得（x ﹣20）（﹣x +80）＝1000， 整理，得x 2﹣100x +2600＝0． 因为△＝1002﹣4×2600＝﹣400＜0， 所以方程无实数根， 所以不能达到1000元．【题型4 与一元二次方程有关的阅读探究问题】【例4】（2020秋•洛宁县月考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，那么称这个矩形是给定矩形的“减半”矩形． 如图，矩形A 1B 1C 1D 1是矩形ABCD 的“减半”矩形．任务：当矩形的长为8，宽为1时，它是否存在“减半”矩形？如果存在，请求出“减半”矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由．【解题思路】假设存在，设“减半”矩形的长为x ，则宽为（92−x ），根据矩形的面积公式，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．【解答过程】解：假设存在，设“减半”矩形的长为x ，则宽为（92−x ），依题意，得：x （92−x ）=12×8×1，整理，得：x 2−92x +4＝0， 解得：x 1=9+√174，x 2=9−√174． 当x =9+√174时，92−x =9−√174，符合题意； 当x =9−√174时，92−x =9+√174＞9−√174，不合题意，舍去． ∴长为8，宽为1的矩形存在“减半”矩形，且“减半”矩形的长为9+√174，宽为9−√174． 【变式4-1】（2020秋•乐清市期末）阅读探究：“任意给定一个矩形A ，是否存在另一个矩形B ，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格） （1）当已知矩形A 的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x 和y ，由题意得方程组 {x +y =72xy =3，消去y 化简得：2x 2﹣7x +6＝0，∵b 2﹣4ac ＝49﹣48＞0，∴x 1＝ ，x 2＝ ， ∴满足要求的矩形B 存在．（2）如果已知矩形A 的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B ． （3）如果矩形A 的边长为m 和n ，请你研究满足什么条件时，矩形B 存在？ 【解题思路】（1）利用求根公式即可求出方程的两根；（2）仿照（1）找准关于x 的一元二次方程，由根的判别式△＝﹣7＜0，可得出方程无解，即不存在满足要求的矩形B ；（3）仿照（1）找准关于x 的一元二次方程，由根的判别式△≥0，可找出m 、n 之间的关系． 【解答过程】解：（1）利用求根公式可知：x 1=7−12×2=32，x 2=7+12×2=2． 故答案为：32；2．（2）设所求矩形的两边分别是x 和y ， 根据题意得：{x +y =32xy =1， 消去y 化简得：2x 2﹣3x +2＝0．∵b 2﹣4ac ＝（﹣3）2﹣4×2×2＝﹣7＜0， ∴该方程无解，∴不存在满足要求的矩形B ．（3）设所求矩形的两边分别是x 和y ， 根据题意得：{x +y =m+n2xy =mn2， 消去y 化简得：2x 2﹣（m +n ）x +mn ＝0． ∵矩形B 存在，∴b 2﹣4ac ＝[﹣（m +n ）]2﹣4×2mn ≥0， ∴（m ﹣n ）2≥4mn ．故当m 、n 满足（m ﹣n ）2≥4mn 时，矩形B 存在． 【变式4-2】（2020•任城区三模）阅读下面材料：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d 表示，我们可以用公式S ＝na +n(n−1)2×d 来计算等差数列的和．（公式中的n 表示数的个数，a 表示第一个数的值，） 例如：3+5+7+9+11+13+15+17+19+21＝10×3+10(10−1)2×2＝120． 用上面的知识解决下列问题． （1）计算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116．（2）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，如表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木．2009年 2010年 2011年 2012年 植树后坡荒地的实际面积（公顷）25200240002240020400【解题思路】（1）利用材料中的公式解答；（2）设在2009年的基础上，再过x 年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．从表格中可以看到2010年坡荒地是面积减少了1200公顷，则依次减少的公顷数是1600，2000+…+400（x ﹣1），根据2009年植树后坡荒地是实际面积是25200公顷列方程求解．【解答过程】解：（1）2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116＝20×2+20×192×6＝1180． （2）解：设再过x 年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．根据题意，得。
数学 一元二次方程的专项 培优练习题含答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根． ()1求k 的取值范围；()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．【答案】（1）134k ≤；（2）2k =-． 【解析】 【分析】 ()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥，解之可得． ()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍．【详解】解：()1关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根， 0∴≥，即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥，解得134k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，()222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+，221223x x +=， 224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，134k ≤， 4k ∴=舍去，2k ∴=-．【点睛】本题考查了一元二次方程2ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系．2．已知：关于的方程有两个不相等实数根．（1） 用含的式子表示方程的两实数根；（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．【答案】（I）kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程．∴由求根公式，得．∴或（II），∴．而，∴，．由题意，有∴即（﹡）解之，得经检验是方程（﹡）的根，但，∴【解析】（1）计算△=（2k-3）2-4k（k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，再有条件x1＞x2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系.请你解答下列问题：3． y与x的函数关系式为：y=1.7x（x≤m）;或( x≥m) ；4．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．【解析】试题分析：（1）本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,x=有一个解；②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ²＋4＞0方程有两不等根综合①②得不论k为何值，方程总有实根（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=∴S=++ x1+x2=====2k-2=2，解得k=2，∴当k=2时，S的值为2∴S的值能为2，此时k的值为2．考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．5．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y （只）与销售单价x（元）之间的关系式为y＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元【解析】【分析】表示出一件的利润为（x﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.【详解】设每天获得的利润为w元，根据题意得：w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000．∵a＝﹣10＜0，∴当x＝50时，w取最大值，最大值为4000．答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．【点睛】本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.6．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），每星期的销售量为y箱．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?【答案】(1)y=-10x+780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元【解析】【分析】（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x元,则多销售的数量为60-x,（2）解一元二次方程即可求解,（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.【详解】解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x）=-10x+780,(40≤x≤60),(2)依题意得：（x-40）(-10x+780)=3570,解得：x=57,∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.（3）设每星期的利润为w，W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610,∵-10 0,二次函数向下,函数有最大值,当x=59时, 利润最大，为3610元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.7．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【解析】【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据题意得：400（1﹣x ）2=361，解得：x 1=0.05=5%，x 2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．8．阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a 的形式。
一元二次方程专题培优训练精选
一元二次方程专题培优训练精选专题一利用一元二次方程的定义确定字母的取值1.已知(m-3)x^2+m+2x=1是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A.m≠3.B.m≥3.C.m≥-2.D。
m≥-2且m≠3已知(m-3)x^2+m+2x=1是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A。
m≠3.B。
m≥3.C。
m≥-2.D。
m≥-2且m≠32.已知关于x的方程(m+1)x^m+1+(m-2)x^-1=，问：1）m取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程；2）m取何值时，它是一元一次方程？已知关于x的方程(m+1)x^m+1+(m-2)x^-1=，问：1）m取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程；2）m取何值时，它是一元一次方程？3.若一元二次方程ax^2+bx+c=0中，a-b+c=0，则此方程必有一个根为.a^2+1若一元二次方程ax^2+bx+c=0中，a-b+c=0，则此方程必有一个根为.a^2+14.已知实数a是一元二次方程x-2013x+1=0的解，求代数式a-2012a-的值.2013^2已知实数a是一元二次方程x-2013x+1=0的解，求代数式a-2012a-的值.2013^2方法技巧：1.ax+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论.2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领会.方法技巧：1.ax+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论.2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领会.专题二利用配方法求字母的取值或者求代数式的极值21.若方程25x-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（）A.-9或11.B.-7或8.C.-8或9.C.-8或9 若方程25x-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（）A。
-9或11.B。
-7或8.C。
培优专题01 一元二次方程的解法-原卷版
培优专题01 一元二次方程的解法◎方法一 直接开平方法（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。
一般地，对于形如x 2=a(a ≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x 1=a ,x 2=a -.（2）直接开平方法适用于解形如x 2 = p 或(mx+a)2 = p(m ≠0)形式的方程，如果p ≥0，就可以利用直接开平方法。
（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
1．（2022·浙江绍兴·八年级期末）一元二次方程x 2 -1＝0的根是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝1，x 2＝-1C ．x 1＝x 2＝-1D ．x 1＝1，x 2＝02．（2022·安徽滁州·八年级期末）如果关于x 的方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，那么m 的取值范围是（ ）A ．3m >B ．3m ³C ．4m >-D ．4m ³-3．（2022·全国·九年级课时练习）关于x 的方程2x p =．（1）当0p >时，方程有__________的实数根；（2）当0p =时，方程有__________的实数根；（3）当0p <时，方程__________．4．（2022·安徽合肥·八年级期末）方程290x -=的解为______．5．（2022·全国·九年级单元测试）将4个数a ，b ，c ，d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a cb d ，定义 ac ad bc b d=-，上述记号就叫做2阶行列式．(1)若210493x x=，求x 的值．(2)若11611x x x x +-=-+，求x 的值．◎方法二 配方法1、配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；2、把常数项移到等号的右边；3、方程两边都除以二次项系数；4、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；5、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
人教【数学】数学一元二次方程的专项培优练习题(含答案)
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值． 试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2，∴k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.2．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式2216k k k -+-的值． 【答案】0.【解析】【分析】 由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解．【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩＝＝＝ ， 由条件，知12121211x x x x x x ++==3， 即33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1， 则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178k ≤， 又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使2216k k k -+-无意义. 综上，代数式2216k k k -+-的值为0 【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，3．解方程：（3x+1）2=9x+3．【答案】x 1=﹣13，x 2=23． 【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，可得3x+1=0或3x ﹣2=0，解得：x 1=﹣13，x 2=23． 点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.4．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m【解析】【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--=解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．5．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x -+=的两根，（1）解方程求两条线段的长。
九年级数学培优教程二一元二次方程 试题
卜人入州八九几市潮王学校中大附中三水实验九年级数学培优教程〔二〕一元二次方
程
1、关于x 的一元二次方程kx 2
-(2k-1)x+k=0有两个不相等的实根，求k 的取值范围。
2、关于x 的方程0122
=--x k x 有实根，求k 的取值范围：。
3、关于x 的方程kx 2-4x+3=0有实根，那么k 的非负整数值是。
4、方程012
=--x x 的两根为。
5、解方程03222=-+a x a x
6、设a ，b ，c 是△ABC 三边的长
，且关于x 的方程)0(02)()(2
2>=--++n ax n n x c n x c 有两个相等的实数根，求证△ABC 是直角三角形。
7、关于x 的方程〔m-2〕x 2-
2(m-1)x+m+1=0，当m 为何非负整数时， 〔1〕方程只有一个实数根〔2〕方程有两个相等的实根〔3〕方程有两个不相等的实根
8、求证：k 为何实数，方程〔k 2+1〕x 2
-2(k-1)x-1=0一定有两个不相等的实根。
9、m ，n 为整数，关于x 的三个方程：x 2-(7-m)x+3+n=0有两个不相等的实根；x 2+(4+m)x+n+6=0有两个相等的实根；x 2-(m-4)x+n+1=0没有实根；求m ，n 的值。
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一元二次方程（三）
课前练习：
1．某汽车在公路上行驶,它的路程s(m)和时间t(s)之间的关系为:s=10t+32
t ,那么行驶 200m 需要多长时间?
2．某公司计划经过两年把某种商品的生产成本降低19%，那么平均每年需降低百分之几?
3．一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手,有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数是多少?
例题教学：
例1．我国沪深股市交易中，如果买、卖一次股票均需付交易金额的0.5%作费用．张先生以
每股5元的价格买入“西昌电力”股票1000股，若他期望获利不低于1000元，问他至少要等到该股票涨到每股多少元时才能卖出？（精确到0.01元）
例2．某单位规定，职工每人每月用电量不超过A 度，那么这个月只需交10元电费，如果超
过A 度，则这个月除了仍要交10元用电费外，超过部分还要按每度100A 元交费． ⑴某职工12月份用电90度，超过了规定的A 度，则超过的部分应交电费多少元？（用含
A 的代数式表示）
⑵下面是该职工10月、11月的用电情况和交费情况：
根据上表数据，求A 值，并计算该职工12月份应交电费多少元？
例3．某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个．根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个．假设每个降价x（元），每天销售量y （个），每天获得最大利润W（元）
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）6000元是否为每天销售这种商品的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，此时这种商品的销售价应定为多少元？
巩固练习：
1．将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子cm,求原铁皮的边长.
的容积是4003
2．一块长方形草地的长和宽分别为20cm和15cm,在它的四周外围环绕着宽度相等的小路.
cm,求小路的宽度.
已知小路的面积为2462
3．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,若每件商品售价为x元,则每天可卖出(350-10x)件,但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%.商店要想每天赚400元,需要卖出多少年来件商品?每件商品的售价应为多少元?
4．有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为763.求原来的两位数.
一元二次方程（四）
课前练习：
1．某文具厂加工一种文具2500套，加工完1000套后，由于采用了新设备，每天的工作效率变为原来的1.5倍，结果提前5天完成了加工任务．求该文具厂原来每天加工多少套这种文具．
2．“阳黄公路”开通后，从长沙到武陵源增加了一条新线路，新线路里程在原线路长360Km 的基础上缩短了50Km，今有一旅游客车和小车同时从长沙出发前往武陵源，旅游客车走新线路，小车因故走原线路，中途停留6分钟．若小车速度是旅游客车速度的1.2倍，且两车同时到达武陵源，求两车的速度各是多少？
3．甲、乙两组工人合做某项工作，4天以后，因甲另有任务，乙组再单独做5天才能完成。
如果单独完成这项工作，甲组比乙组少用5天，求各组单独完成这项工作所需要的天数。
例题教学：
例1．随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2006年底拥有家庭轿车64辆，2008年底家庭轿车的拥有量达到100辆.
(1)若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2009
年底家庭轿车将达到多少辆？
(2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别
为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？
试写出所有可能的方案.
例2．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车
的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
⑴当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
⑵当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
例3．为把产品打入国际市场，某企业决定从下面两个投资方案中选择一个进行投资生产．方
案一：生产甲产品，每件产品成本为a 万美元（a 为常数，且3＜a ＜8），每件产品销售价为10万美元，每年最多可生产200件；方案二：生产乙产品，每件产品成本为8万美元，每件产品销售价为18万美元，每年最多可生产120件．另外，年销售x 件乙．产品．．
时需上交2
0.05x 万美元的特别关税．在不考虑其它因素的情况下： （1）分别写出该企业两个投资方案的年利润1y 、2y 与相应生产件数x （x 为正整数）之间
的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；
（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？
巩固练习：
1．某车间要生产220件产品，做完100件后改进了操作方法，每天多加工10件，最后总共用4天完成了任务．求改进操作方法后，每天生产多少件产品？
2．某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5 000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年 交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5 000元.
（1）当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间？
（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）
为275万元？。