(完整)2018年高考数学(理科)模拟试卷(四)

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2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷ⅡⅢ)理科数学(四)答案

2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅱ/Ⅲ)理科数学(四)答案1．B 【解析】因为A ={0，1}，U B ð={0，4，5}，所以A ∩(U B ð)={0}．2．A 【解析】通解根据题意，设z =a +b i ，则(a +b i)(1+i)=2i+1，化简得12a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得a =32，b =12，从而可得z =32+12i ，因此复数z 在复平面内对应的点为(32，12)，其位于第一象限．故选A ．优解根据z (1+i)=2i+1可得z =2i 11i ++=32+12i ，所以复数z 在复平面内对应的点为(32，12)，其位于第一象限．故选A ． 3．D 【解析】设等比数列{n a }的公比为q (q >0)，由13a a =16知2a =4，从而有12311424a q a q a q =⎧⎨+=⎩，得1a =2，q =2，所以数列{n a }的通项公式为n a =2n，则5a =32．故选D ．4．C 【解析】设AC =x ，则BC =10−x ，0<x <10，由题意π2x +π(10−x )2<58π，得2x −10x +21<0，得3<x <7，故所求的概率为732105-=． 5．D 【解析】对于A ，两个平面垂直，其中一个平面内可以找到无数条直线平行于另一个平面，故选项A 不是假命题．对于B ，两个平面不垂直，α内一定不存在直线垂直于β，选项B 不是假命题．对于C ，两个相交平面垂直另一个平面，其交线也垂直于这个平面，选项C 不是假命题．对于D ，两个平面垂直，α内并非所有的直线都垂直于β，选项D 为假命题．6．D 【解析】依据题意，初始值S =1，i =1；第一次循环：S =1×112e⨯，i =2；第二次循环：S =1×112e⨯×123e⨯，i =3；……；第2 016次循环：S =1×112e⨯×…×120162017e⨯=20162017e，i =2 017．因此输出的x 为ln S =20162017．故选D ． 7．D 【解析】∵AC =λAM +μBN =λ()AB BM + +μ()BC CN +=λ1()2AB AD + +μ1()2AD AB - =1()2AB λμ-+1()2λμ+AD ，又AC AB AD =+ ，∴112112λμλμ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得6525λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴λ+μ=85．8．A 【解析】作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线3x +y −M =0经过点A (−1，2)时，目标函数M =3x +y 取得最小值−1．又由平面区域知−1 x 3，则当x =−1时，N =1()2x−72取得最大值−32．由此可知一定有M >N ，选A ． 9．D 【解析】如图，过点A 作AP ⊥CD ，AM ⊥EF ，过点B 作BQ ⊥CD ，BN ⊥EF ，垂足分别为P ，M ，Q ，N ，连接PM ，QN ，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为12×10×3=15．棱柱的高为8，体积V =15×8=120．故选D ．10．A 【解析】设点P (0x ，208x )，A (1x ，218x )，B (2x ，228x )，Q (a ，2)，R (b ，2)．由2822x y y x ⎧=⎨=-⎩得2x −16x +16=0，12x x =16．由P ，A ，Q 三点共线得 2220110*********x x x x x a x x x --+==--，a =01011210201010116()x x x x x x x x x x x x x x x +++==+++，同理b =20102()x x x x x ++，ab =10201()x x x x x ++×20102()x x x x x ++=12x x =16，OR OQ ⋅=ab +4=20，故选A ．11．D 【解析】由题意得，3a +2a =3，5a +4a =−5，……，2017a +2016a =−2017，将以上各式相加得，2017S −1a =−1008．又2017S =−1007−b ，所以1a +b =1，又1a b >0，所以1a >0，b >0． ∴11a +2b =11a b a ++12()a b b +=3+1b a +12a b1b a =12a b时等号成立．12．A 【解析】由已知，问题等价于函数()f x 在[−2，7]上的值域是函数()g x 在[−2，2]上的值域的子集，由分段函数()f x =22,20log (1),07x x x x ⎧--<⎨+⎩≤≤≤，得其值域为[−4，3]．当a >0时，()g x ∈[−2a +1，2a +1]，因而有214213a a -+-⎧⎨+⎩≤≥，解得a 52；当a =0时，()g x =1，不符合题意；当a <0时，()g x ∈[2a +1，−2a +1]，因而有214213a a +-⎧⎨-+⎩≤≥，解得a −52．综上，实数a 的取值范围为(−∞，−52]∪[52，+∞)，故选A ． 13．13【解析】根据题意，1()4f =−1，1(())4f f =(1)f -=13．14解法一由题意可知，圆心C 在原点和点A (−1，−5)的中垂线x +5y +13=0上，又圆心C 在直线2x +y −1=0上，因此圆心为C (2，−3)所以圆的方程为(x −2)2+(y +3)2=13．设点C (2，−3)到弦AO 的距离为d ，弦长OA，则 d．解法二根据题意，圆心C 在原点和点A (−1，−5)的中垂线x +5y +13=0上，又圆心C 在直线2x +y −1=0上，因此圆心为C (2，−3)，直线OA 的方程为y =5x ，则圆心C 到弦AO 的距离d．15．512【解析】在二项式n的展开式中，前三项分别为n，1Cn1n-2Cn2n-)2，因为前三项的系数成等差数列，所以2×12n=1+(1)8n n+，得n=8，所以二项式n展开式的通项为1rT+=8C r8r-)r=(12)r2438Crr x-．易知当r=0，3，6时为有理项，其余6项为无理项，所以有理项互不相邻的概率P=636799A A5A12=．16．13【解析】由正弦定理及已知，得2sin C cos B=2sin A+sin B，由A+B+C=π，得sin A=sin(B+C)，则2sin C cos B=2sin(B+C)+sin B，即2sin B cos C+sin B=0．又0<B<π，所以sin B>0，故cos C=−12，因为0<C<π，故C=23π，则△ABC的面积S=12absin C=ab=c，即c=3ab．由余弦定理2c=2a+2b−2ab cos C，化简得2a+2b+ab=922a b，因为2a+2b 2ab，当且仅当a=b时取等号，所以2ab+ab 922a b，即ab13，故ab的最小值是13．17．【解析】(1)因为3a=2b，由正弦定理知3sin A=2sin B，又B=45°，解得sin A=3．因为3a=2b，所以a<b，A<B=45°，故cosA．因为A+B+C=180°，所以sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B=13+6．（5分）(2)由余弦定理得，2c=2a+2b−2ab cos C=2a+23()2a−2a×32a×23=542a，即c=2a ．因为cos C =23，且C 为三角形的内角，所以sin C=3，（8分）由正弦定理得，3322sin sin sin 22a a a a A B C ====，即sin B =1，sin A =23，即B =90°，cos A所以sin(A −B )=sin(A −90°)=−cos A =−3（12分）【备注】在解三角函数与解三角形试题时，应注意以下两方面：(1)对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正弦、余弦定理实现边角转化；(2)在求解三角函数值的问题时，要善于把两角和(差)公式恒等变形．18．【解析】(1)由题意得，被调查人员年龄在[15，25)，[25，35)，[35，45)，[45，55)，[55，65)，[65，75]内的频率分别是0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，所以图中各组的纵坐标分别是0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01．（2分）故被调查人员的频率分布直方图如图所示．（4分）(2)由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P (ξ=0)=224622510C C C C =15；P (ξ=1)=12211464462222510510C C C C C 34C C C C 75+=；P (ξ=2)= 11122446442222510510C C C C C 22C C C C 75+=； P (ξ=3)=124422510C C 4C C 75=．（10分）所以ξ的分布列为数学期望Eξ=0×15+1×75+2×75+3×75=5．（12分）19．【解析】(1)∵1AO ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，∴1AO ⊥BD ，（1分）在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ， ∵1AO ∩AC =O ，∴BD ⊥平面1A AC，（3分） ∵BD ⊂平面11BB D D ，∴平面1ACO ⊥平面11BB D D ．（5分）(2)建立以O 为坐标原点，OA ，OB ，1OA 所在的直线分别为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系，如图所示．∵AB =1AA =2，∠BAD =60°，∴OB =1，OA （6分） ∵1AA =2， ∴1AO =1．则O (0，0，0)，A 0，0)，B (0，1，0)，1A (0，0，1)，C (0，0)，AB =11A B=(1，0)，OB =(0，1，0)，OC =(0，0)，1OA =(0，0，1)，则1111OB OA A B =+=(1，1)，（8分）设平面1BOB 的法向量为m =(x ，y ，z)，则100OB y OB y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ m m ，则y =0，令xz =3，即m0，3)为平面1BOB 的一个法向量．（9分）设平面1OBC 的法向量为n =(1x ，1y ，1z )，则1111100OC OB y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ n n ，则1x =0，令1y =1，则1z =−1，则n =(0，1，−1)为平面1OBC 的一个法向量，（10分） ∴cos<m ，n>=|⋅=⋅m n |m |n |=∵二面角B −1OB −C 是钝二面角， ∴二面角B −1OB −C 的余弦值是（12分）【备注】利用向量法求二面角的注意事项：(1)两平面的法向量的夹角不一定就是所求的二面角，有可能是两法向量夹角的补角为所求；(2)求平面的法向量的方法有，①待定系数法，设出法向量坐标，利用垂直关系建立坐标的方程，解之即可得法向量；②先确定平面的垂线，然后取相关线段对应的向量，即确定了平面的法向量．20．【解析】(1)由题意，得方程组222222211c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪-=⎪⎪⎩，解得2a =4，2b =2，（2分）所以椭圆C 的方程为22142x y +=．（4分） (2)根据题意，得P (4，1)，设点Q ，A ，B 的坐标分别为(x ，y )，(1x ，1y )，(2x ，2y )．由||||||||AP PB AQ QB =知，|AP |，|PB |，|AQ |，|QB |均不为零，且将||||||||AP PB AQ QB =变形为||||||||AP AQ PB QB =，设λ=||||||||AP AQ PB QB =，则λ>0且λ≠1，（6分）又A ，P ，B ，Q 四点共线，则AP PB λ=- ，AQ QB λ= ，于是4=121x x λλ--，1=121y y λλ--，（7分）x =121x x λλ++，y =121y y λλ++，从而2221221x x λλ--=4x ①，2221221y y λλ--=y ②，（8分）又点A 、B 在椭圆C 上，即221124x y += ③，222224x y += ④，（10分）由①②③④得2x +y =2，即点Q (x ，y )总在定直线2x +y −2=0上．（12分） 21．【解析】(1)由2a −b =4，得()f x =a ln x +1x+(4−2a )x +1，所以()f x '=a x −21x +(4−2a )=22(42)1a x ax x-+-=2[(2)1](21)a x x x -+-．令()f x '=0，得1x =12，2x =12a -．（2分）当a =4时，()f x ' 0，函数()f x 在定义域(0，+∞)内单调递减；当2<a <4时，在区间(0，12)，(12a -，+∞)上，()f x '<0，()f x 单调递减，在区间(12，12a -)上，()f x '>0，()f x 单调递增；（4分）当a >4时，在区间(0，12a -)，(12，+∞)上，()f x '<0，()f x 单调递减，在区间(12a -，12)上，()f x '>0，()f x 单调递增．（6分） (2)由题意知，当a −4时，()F x 在[1，4]上的最大值M 2．当b =−1时，()F x =()f x −5x =x −4x+a ln x +1，则()F x '=224x ax x++(1 x 4)．（8分） ①当−4 a 4时，()F x '=222()424a a x x ++-≥0，故()F x 在[1，4]上单调递增，M =F (4)．（9分）②当a >4时，设2x +ax +4=0(Δ=2a −16>0)的两根分别为1x ，2x ，则121204x x a x x +=-<⎧⎨=⎩，故1x <0，2x <0，所以在[1，4]上，()F x '=224x ax x++>0，故()F x 在[1，4]上单调递增，M =F (4)．（11分）综上，当a −4时，()F x 在[1，4]上的最大值M =F (4)=4−1+a ln 4+1 2，解得a −1ln 2，所以实数a 的取值范围是[−1ln 2，+∞)．（12分）【备注】在解答题中，利用导数处理不等式问题主要体现为不等式的证明与不等式恒成立问题，常规的解法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决问题，当然要注意分类讨论思想的应用． 22．【解析】(1)由1cos sin x y ββ=+⎧⎨=⎩可得(x −1)2+y 2=1，得到1C 的普通方程为2x +2y −2x =0．由ρ=4cos θ可得2ρ=4ρcos θ，又2ρ=2x +2y ，x =ρcos θ，得到2C 的直角坐标方程为2x +2y −4x =0．（5分）(2)直线l 的参数方程cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩可化为y =x tan α，由2220tan x y x y x α⎧+-=⎨=⎩得121221tan 2tan 1tan x y ααα⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2200x y =⎧⎨=⎩，由2240tan x y x y x α⎧+-=⎨=⎩得323241tan 4tan 1tan x y ααα⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，4400x y =⎧⎨=⎩，又t ≠0，故A (221tan α+，22tan 1tan αα+)，B (241tan α+，24tan 1tan αα+)．因为|AB=所以tan2α=13，又2π<α<π，所以tan α=−3，α=56π．（10分）【备注】化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法；极直互化主要是用好“公式”．与极坐标和参数方程有关的问题一般是先化为直角坐标方程，然后结合图形，合理转化加以求解． 23．【解析】(1) ()g x −1，即−|2x +m | −1，|2x +m | 1，所以1122m m x ---+≤≤．因为不等式的整数解只有−3，则−4<12m -- −3 12m -+<−2，解得5<m <7．所以整数m =6．（5分）(2)因为y =()f x 的图象恒在函数y =12()g x 图象的上方，故()f x −12()g x >0，即a <2|x −1|+|x +3|对任意的x ∈R 恒成立．设()h x =2|x −1|+|x +3|，则()h x =31,35,3131,1x x x x x x ---⎧⎪--<⎨⎪+>⎩≤≤．数形结合得，当x =1时，()h x 取得最小值4．故当a <4时，函数y=()f x 的图象恒在函数y=12()g x 图象的上方，即实数a 的取值范围为(−∞，4)．（10分）【备注】(1)零点分段法是求绝对值不等式的常用方法；(2)在证明不等式的题目中，首先考虑比较法，它是最基本的证明不等式的方法，比较法一般有“作差比较法”和“作商比较法”，用得较多的是“作差比较法”，其在变形过程中往往要用到配方、因式分解、通分等计算方法．11。

2018年数学理科高考题分类真题与模拟题选修4系列

N单元选修4系列N1 选修4-1 几何证明选讲21. N1 [2018·江苏卷] A.[选修4-1:几何证明选讲]如图1-7所示,圆O的半径为2,AB为圆O的直径,P为AB延长线上一点,过P作圆O的切线,切点为C.若PC=2√3,求BC的长.图1-721.A.解:连接OC.因为PC与圆O相切,所以OC⊥PC.又因为PC=2√3,OC=2,所以OP=√PC2+OC2=4.又因为OB=2,从而B为Rt△OCP斜边的中点,所以BC=2.N2 选修4-2 矩阵21. N2 [2018·江苏卷]B.[选修4-2:矩阵与变换](1)求A的逆矩阵A-1;(2)若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'(3,1),求点P的坐标.N3 选修4-4 参数与参数方程22.N3[2018·全国卷Ⅰ]选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.(1)求C 2的直角坐标方程;(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点,求C 1的方程.22.解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x+1)2+y 2=4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (-1,0),半径为2的圆.由题设知,C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为l 1,y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面,故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点,或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点. 当l 1与C 2只有一个公共点时,A 到l 1所在直线的距离为2,所以√k 2+1=2,故k=-43或k=0.经检验,当k=0时,l 1与C 2没有公共点;当k=-43时,l 1与C 2只有一个公共点,l 2与C 2有两个公共点.当l 2与C 2只有一个公共点时,A 到l 2所在直线的距离为2,所以√k 2+1=2,故k=0或k=43.经检验,当k=0时,l 1与C 2没有公共点; 当k=43时,l 2与C 2没有公共点. 综上,所求C 1的方程为y=-43|x|+2.22.N3[2018·全国卷Ⅱ] [选修4-4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =2cos θ,y =4sin θ(θ为参数),直线l 的参数方程为{x =1+tcos α,y =2+tsin α(t 为参数). (1)求C 和l 的直角坐标方程;(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率. 22.解:(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24+y 216=1.当cos α≠0时,l 的直角坐标方程为y=tan α·x+2-tan α; 当cos α=0时,l 的直角坐标方程为x=1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程,整理得关于t 的方程 (1+3cos 2α)t 2+4(2cos α+sin α)t-8=0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内,所以①有两个解,设为t 1,t 2,则t 1+t 2=0. 又由①得t 1+t 2=-4(2cos α+sin α)1+3cos 2α,故2cos α+sin α=0,于是直线l 的斜率k=tan α=-2.22.N3[2018·全国卷Ⅲ] 选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,☉O 的参数方程为{x =cos θ,y =sin θ(θ为参数),过点(0,-√2)且倾斜角为α的直线l 与☉O 交于A ,B 两点. (1)求α的取值范围;(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.22.解:(1)☉O 的直角坐标方程为x 2+y 2=1. 当α=π2时,l 与☉O 交于两点.当α≠π2时,记tan α=k ,则l 的方程为y=kx-√2.l 与☉O 交于两点当且仅当|√2√1+k 2|<1,解得k<-1或k>1,即α∈(π4,π2)或α∈(π2,3π4). 综上,α的取值范围是(π4,3π4).(2)l 的参数方程为{x =tcos α,y =-√2+tsin α(t 为参数,π4<α<3π4).设A ,B ,P 对应的参数分别为t A ,t B ,t P ,则t P =t A +t B 2,且t A ,t B 满足t 2-2√2t sin α+1=0,于是t A +t B =2√2sin α,t P =√2sin α. 又点P 的坐标(x ,y )满足{x =t P cos α,y =-√2+t P sin α,所以点P 的轨迹的参数方程是{x =√22sin 2α,y =-√22-√22cos 2α(α为参数,π4<α<3π4).10.N3[2018·北京卷] 在极坐标系中,直线ρcos θ+ρsin θ=a (a>0)与圆ρ=2cos θ相切,则a= .10.1+√2 [解析] 方法一:将直线与圆的极坐标方程化为直角坐标方程,分别为x+y=a 与(x-1)2+y 2=1.∵直线与圆相切,∴√2=1,解得a=1±√2,又∵a>0,∴a=1+√2.方法二:将圆的极坐标方程代入直线的极坐标方程,得2cos 2θ+2cos θsin θ=a ,即√2sin 2θ+π4=a-1,∵直线与圆相切,∴a-1=±√2,又∵a>0,∴a=1+√2.12.N3 [2018·天津卷] 已知圆x 2+y 2-2x=0的圆心为C ,直线{x =-1+√22t ,y =3-√22t(t 为参数)与该圆相交于A ,B 两点,则△ABC 的面积为 .12.12 [解析] 圆x 2+y 2-2x=0的标准方程为(x-1)2+y 2=1,直线的普通方程为x+y-2=0,所以圆心(1,0)到该直线的距离d=√22,所以|AB|=2√1-12=√2,所以△ABC 的面积为12×√2×√22=12. 21. N3 [2018·江苏卷]C .[选修4-4:坐标系与参数方程] 在极坐标系中,直线l 的方程为ρsinπ6-θ=2,曲线C 的方程为ρ=4cos θ,求直线l 被曲线C 截得的弦长.C .解:因为曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θ, 所以曲线C 是圆心为(2,0),直径为4的圆. 因为直线l 的极坐标方程为ρsin π6-θ=2,则直线l 过A (4,0),倾斜角为π6,所以A为直线l与圆C的一个交点.设另一个交点为B,则∠OAB=π6.连接OB.因为OA为直径,从而∠OBA=π2,所以AB=4cos π6=2√3.因此,直线l被曲线C截得的弦长为2√3.N4 选修4-5 不等式选讲23.N4[2018·全国卷Ⅰ]选修4-5:不等式选讲已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.23.解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)={-2,x≤-1,2x,-1<x<1, 2,x≥1.故不等式f(x)>1的解集为x x>12.(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a>0,|ax-1|<1的解集为x0<x<2a ,所以2a≥1,故0<a≤2.综上,a的取值范围为(0,2].23.N4[2018·全国卷Ⅱ] [选修4-5:不等式选讲] 设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.23.解:(1)当a=1时,f(x)={2x+4,x≤-1, 2,-1<x≤2, -2x+6,x>2.可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立,故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2,所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).23.N4[2018·全国卷Ⅲ]选修4-5:不等式选讲设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图像;(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.图1-523.解:(1)f (x )={-3x ,x <-12,x +2,-12≤x <1,3x ,x ≥1.y=f (x )的图像如图所示.(2)由(1)知,y=f (x )的图像与y 轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a ≥3且b ≥2时,f (x )≤ax+b 在[0,+∞)成立,因此a+b 的最小值为5. 21. N4 [2018·江苏卷] D .[选修4-5:不等式选讲]若x ,y ,z 为实数,且x+2y+2z=6,求x 2+y 2+z 2的最小值. D .解:由柯西不等式,得(x 2+y 2+z 2)(12+22+22)≥(x+2y+2z )2. 因为x+2y+2z=6,所以x 2+y 2+z 2≥4,当且仅当x 1=y 2=z2时,不等式取等号,此时x=23,y=43,z=43, 所以x 2+y 2+z 2的最小值为4.N5 选修4-5 优选法与试验设计1.[2018·四川南充一诊] 在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =√3cos α,y =sin α(其中α为参数),曲线C 2:(x-1)2+y 2=1,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程;(2)若射线θ=π6(ρ>0)与曲线C 1,C 2分别交于A ,B 两点,求|AB|.1.解:(1)由{x =√3cosα,y =sinα得x 23+y 2=1.所以曲线C 1的普通方程为x 23+y 2=1.把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入(x-1)2+y 2=1,得到(ρcos θ-1)2+(ρsin θ)2=1,化简得到曲线C 2的极坐标方程为ρ=2cos θ.(2)依题意可设A (ρ1,π6),B (ρ2,π6),曲线C 1的极坐标方程为ρ2+2ρ2sin 2θ=3.将θ=π6(ρ>0)代入C 1的极坐标方程得12ρ2+ρ2=3,得ρ1=√2.将θ=π6(ρ>0)代入C 2的极坐标方程,得ρ2=√3.所以|AB|=|ρ1-ρ2|=√3-√2. 3.[2018·郑州一检] 在平面直角坐标系xOy 中,直线l 过点(1,0),倾斜角为α,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程是ρ=8cosθ1-cos 2θ. (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)若α=π4,设直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,求△AOB 的面积.3.解:(1)由题意可得直线l 的参数方程为{x =1+tcosα,y =tsinα(t 为参数). ∵ρ=8cosθ1-cos 2θ=8cosθsin 2θ, ∴ρsin 2θ=8cos θ,∴ρ2sin 2θ=8ρcos θ, 又x=ρcos θ,y=ρsin θ,可得y 2=8x , ∴曲线C 的直角坐标方程为y 2=8x.(2)当α=π4时,直线l 的参数方程为{x =1+√22t ,y =√22t(t 为参数),代入y 2=8x 可得t 2-8√2t-16=0,设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=8√2,t 1·t 2=-16,∴|AB|=|t 1-t 2|=√(t 1+t 2)2-4t 1·t 2=8√3.又点O 到直线AB 的距离d=1×sin π4=√22,∴S △AOB =12|AB|×d=12×8√3×√22=2√6. 1.[2018·成都二诊] 已知函数f (x )=|2x+1|+|x-1|. (1)解不等式f (x )≥3;(2)记函数f (x )的最小值为m ,若a ,b ,c 均为正实数,且12a+b+2c=m ,求a 2+b 2+c 2的最小值. 1.解:(1)f (x )=|2x+1|+|x-1|={ -3x ,x ≤-12,x +2,-12<x <1,3x ,x ≥1,∴f (x )≥3等价于{x ≤-12,-3x ≥3或{-12<x <1,x +2≥3或{x ≥1,3x ≥3,解得x ≤-1或x ≥1.∴原不等式的解集为(-∞,-1]∪[1,+∞).(2)由(1)可知当x=-12时,f (x )取得最小值32,即m=32,∴12a+b+2c=32.由柯西不等式,有(a 2+b 2+c 2)(12)2+12+22≥(12a +b +2c )2,∴a 2+b 2+c 2≥37,当且仅当2a=b=c2,即a=17,b=27,c=47时,等号成立.∴a 2+b 2+c 2的最小值为37. 6.[2018·石家庄一检] 已知函数f (x )=|ax-1|-(a-2)x.(1)当a=3时,求不等式f (x )>0的解集;(2)若函数f (x )的图像与x 轴没有交点,求实数a 的取值范围.6.解:(1)当a=3时,不等式可化为|3x-1|-x>0,即|3x-1|>x ,∴3x-1<-x 或3x-1>x ,即x<14或x>12.∴不等式f (x )>0的解集是{x |x <14或x >12}. (2)当a>0时,f (x )={2x -1,x ≥1a,2(1-a )x +1,x <1a,要使函数f (x )的图像与x 轴无交点, 只需{2a-1>0,2(1-a )≤0,即1≤a<2.当a=0时,f (x )=2x+1,函数f (x )的图像与x 轴有交点. 当a<0时,f (x )={2x -1,x ≤1a,2(1-a )x +1,x >1a,要使函数f (x )的图像与x 轴无交点, 只需{2a -1<0,2(1-a )≤0,此时无解.综上可知,当1≤a<2时,函数f (x )的图像与x 轴无交点.7.[2018·合肥一检] 已知函数f (x )=|2x-1|. (1)解关于x 的不等式f (x )-f (x+1)≤1;(2)若关于x 的不等式f (x )<m-f (x+1)的解集不是空集,求实数m 的取值范围. 7.解:(1)f (x )-f (x+1)≤1⇔|2x-1|-|2x+1|≤1⇔{x ≥12,2x -1-2x -1≤1或{-12<x <12,1-2x -2x -1≤1或 {x ≤-12,1-2x +2x +1≤1⇔x ≥12或-14≤x<12⇔x ≥-14, 所以原不等式的解集为[-14,+∞). (2)由条件知,不等式|2x-1|+|2x+1|<m 有解,只需m>(|2x-1|+|2x+1|)min . 由于|2x-1|+|2x+1|=|1-2x|+|2x+1|≥|1-2x+(2x+1)|=2,当且仅当(1-2x )(2x+1)≥0,即当x ∈[-12,12]时等号成立,故m>2. 所以实数m 的取值范围是(2,+∞).。

黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(四)数学(理科)试题(精编含解析)

普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（四）理科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简集合A、B，再求A∩B即可．【详解】∵集合={x|x＜0或x＞3}=（﹣∞，0）∪（3，+∞），={x|﹣2＜x＜2}=（﹣2，2），∴A∩B=（﹣2，0）．故选：A．【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2. 已知复数，（为虚数单位，），若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由虚部等于0求得a值．【详解】∵z1=2﹣i，z2=a+2i，∴z1z2=（2﹣i）（a+2i）=2a+2+（4﹣a）i，又z1z2∈R，∴4﹣a=0，即a=4．故选：C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．3. 若向量，满足：，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【详解】∵向量，满足：，，，∴，解得=．故选：B．【点睛】本题考查向量的模的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．4. 在中，，，为的中点，的面积为，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在△BCD中，由面积公式可得BC，再由余弦定理可得结果．【详解】由题意可知在△BCD中，B=，AD=1，∴△BCD的面积S=×BC×BD×sinB=×BC×=，解得BC=3，在△ABC中由余弦定理可得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB=22+32﹣2•2•3•=7，∴AC=，故选：B．【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.5. 已知，且，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先列举出所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据古典概型概率公式计算即可．【详解】由题基本事件空间中的元素有：（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2）（6，1），满足题意的有（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），故则的概率为=故选：B．【点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.6. 如图，网格纸上正方形小格的边长为（单位：），图中粗线画出的是某种零件的三视图，则该零件的体积（单位：）为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三视图知该该零件是一个长方体在上面中心、两侧对称着分别挖去了三个相同的半圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由柱体的体积公式求出几何体的体积．【详解】根据三视图可知该零件是：一个长方体在上面中心、两侧对称着分别挖去了三个相同的半圆柱，且长方体的长、宽、高分别为：8、6、5，圆柱底面圆的半径为1，母线长是8，∴该零件的体积V=8×6×5﹣=240﹣12π（cm3），故选：B．【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的为，则判断框中填写的内容可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，判断是，，判断是，，判断是，，判断否，输出，故填.考点：算法与程序框图．视频8. 函数在点处的切线斜率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先求函数的导数，因为函数图象在点处的切线的斜率为函数在处的导数，就可求出切线的斜率．详解：∴函数图象在点处的切线的斜率为1．故选：C．点睛：本题考查了导数的运算及导数的几何意义，以及直线的倾斜角与斜率的关系，属基础题．9. 若，满足，且的最小值为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据目标是的最小值建立不等式关系进行求解即可．【详解】由z=y﹣x得y=x+z，要使z=y﹣x的最小值为﹣12，即y=x﹣12，则不等式对应的区域在y=x﹣12的上方，先作出对应的图象，由得，即C（12，0），同时C（12，0）也在直线kx﹣y+3=0上，则12k+3=0，得k=﹣，故选：D．【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.10. 设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于，两点.若线段的垂直平分线与轴交于点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），直线AB的斜率为，则垂直平分线的斜率为﹣，且与x轴交于点M（11，0），则y=﹣（x﹣11），则直线AB的方程为y=（x﹣），代入抛物线方程，由韦达定理可知：x1+x2=，根据中点坐标公式求得中点P坐标，代入AB的垂直平分线方程，即可求得p的值．【详解】由题意可知：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），直线AB的斜率为，则垂直平分线的斜率为﹣，且与x轴交于点M（11，0），则y=﹣（x﹣11），设直线AB的方程为：y=（x﹣），A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为P（x0，y0），，整理得：3x2﹣5px+=0，由韦达定理可知：x1+x2=，由中点坐标公式可知：x0=，则y0=，由P在垂直平分线上，则y0=﹣（x0﹣11），即p=﹣（﹣11），解得：p=6，故选：C．【点睛】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及垂直平分线的性质，考查计算能力，属于中档题．11. 四面体的一条棱长为，其余棱长为，当该四面体体积最大时，经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【详解】底面积不变，高最大时体积最大，所以，面ACD与面ABD垂直时体积最大，由于四面体的一条棱长为c，其余棱长均为3，所以球心在两个正三角形的重心的垂线的交点，半径R==；经过这个四面体所有顶点的球的表面积为：S==15π；故选：D．【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段P A，PB，PC两两互相垂直，且P A＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．12. 设是函数的导函数，且，（为自然对数的底数），则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数F（x）=，求出导数，判断F（x）在R上递增．原不等式等价为F（lnx）＜F（），运用单调性，可得lnx＜，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集．【详解】可构造函数F（x）=，F′（x）==，由f′（x）＞2f（x），可得F′（x）＞0，即有F（x）在R上递增．不等式f（lnx）＜x2即为＜1，（x＞0），即＜1，x＞0．即有F（）==1，即为F（lnx）＜F（），由F（x）在R上递增，可得lnx＜，解得0＜x＜．故不等式的解集为（0，），【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13. 函数的单调递增区间是__________．【答案】【解析】化简可得y=sinxcos+cosxsin=sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为[﹣，]，又由x∈[0，]可取交集得x∈[0，]，故答案为：[0，]．14. 展开式中的常数项是，则__________．【答案】4【解析】试题分析：由题意得，，所以展开式的常数项为，令，解得．考点：二项式定理的应用．【方法点晴】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中涉及到多项式的化简与二项式定理的通项等知识，解答中把化为是解答问题的关键，再根据二项展开式，得到展开式的常数项，即可求解的值，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．15. 在一幢高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为，塔基的俯角为，假定房屋与塔建在同一水平地面上，则塔的高度为__________．【答案】40【分析】作出图示，利用30°角的性质和勾股定理依次求出BC，CE，AC，AE，则AB=AE+BE．【详解】如图所示，过房屋顶C作塔AB的垂线CE，垂足为E，则CD=10，∠ACE=60°，∠BCE=30°，∴BE=CD=10，BC=2CD=20，EC=BD=．∵∠ACE=60°，∠AEC=90°，∴AC=2CE=20，∴AE==30．∴AB=AE+BE=30+10=40．故答案为：40．【点睛】解决测量角度问题的注意事项(1)明确仰角、俯角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．16. 设函数在上为增函数，，且为偶函数，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】【分析】根据函数的平移关系得到函数g（x）的单调递增区间，根据函数的单调性解不等式即可得到结论．【详解】∵f（x）在[1，+∞）上为增函数，∴f（x）向左平移1个单位得到f（x+1），则f（x+1）在[0，+∞）上为增函数，即g（x）在[0，+∞）上为增函数，且g（2）=f（2+1）=0，∵g（x）=f（x+1）为偶函数∴不等式g（2﹣2x）＜0等价为g（2﹣2x）＜g（2），即g（|2﹣2x|）＜g（2），则|2﹣2x|＜2，则﹣2＜2x﹣2＜2，即0＜2x＜4，则0＜x＜2，即不等式的解集为（0，2），故答案为：（0，2）．【点睛】对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则，若函数是奇函数，则．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列满足，.（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由知：，利用等比数列的通项公式即可得出；（2）b n=|11﹣2n|，设数列{11﹣2n}的前n项和为T n，则．当n≤5时，S n=T n；当n≥6时，S n=2S5﹣Tn．【详解】（1）证明：由知，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.则，.（2），设数列前项和为，则，当时，；当时，；所以.【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18. 如图，在四棱柱中，，，，，，，侧棱底面，是的中点.（1）求证：平面；（2）设点在线段上，且，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BD⊥平面A1ACC1．（2）设Q（x，y，z），直线QC与平面A1ACC1所成角为θ，求出平面A1ACC1的一个法向量，利用向量法能求出直线CQ与平面A1ACC1所成角的正弦值．【详解】（1）证明：∵平面，，∴以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，所以，.所以，，因为，平面，平面，所以平面.（2）设，直线与平面所成角为，由（1）知平面的一个法向量为.∵，∴，，平面法向量，.【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19. 为普及学生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为分）进行统计，制成如下频率分布表.（1）求表中，，，，的值；（2）按规定，预赛成绩不低于分的选手参加决赛.已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格，记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为，求的分布列和数学期望.【答案】（1）见解析；（2）1【解析】【分析】（1）由题意知，参赛选手共有50人，由此能求出表中的x，y，x，s，p的值．（2）由题意随机变量X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和随机变量X的数学期望．【详解】（1）由题意知，参赛选手共有（人），所以，，，.（2）由（1）知，参加决赛的选手共人，随机变量的可能取值为，，，，，，随机变量的分布列为：因为，所以随机变量的数学期望为.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.20. 已知动圆经过定点，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设过点的直线，分别与曲线交于，两点，直线，的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线的斜率为定值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可知E的轨迹为以D为焦点，以x=﹣1为准线的抛物线，（2）设l1，l2的方程，联立方程组消元解出A，B的坐标，代入斜率公式计算k AB．【详解】（1）由已知，动点到定点的距离等于到直线的距离，由抛物线的定义知点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，故曲线的方程为.（2）由题意可知直线，的斜率存在，倾斜角互补，则斜率互为相反数，且不等于零.设，，直线的方程为，.直线的方程为，由得，已知此方程一个根为，∴，即，同理，∴，，∴，∴，所以，直线的斜率为定值.【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21. 设，函数，函数.（1）当时，求函数的零点个数；（2）若函数与函数的图象分别位于直线的两侧，求的取值集合；（3）对于，，求的最小值.【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）当n=1时，f（x）=，f′（x）=（x＞0），确定函数的单调性，即可求函数y=f（x）的零点个数；（2）若函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象分别位于直线y=1的两侧，∀n∈N*，函数f（x）有最大值f（）=＜1，即f（x）在直线l：y=1的上方，可得g（n）=＞1求n的取值集合A；（3）∀x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣g（x2）|的最小值等价于，发布网球场相应的函数值，比较大小，即可求|f（x1）﹣g（x2）|的最小值．【详解】（1）当时，，.由得；由得.所以函数在上单调递增，在上单调递减，因为，，所以函数在上存在一个零点；当时，恒成立，所以函数在上不存在零点.综上得函数在上存在唯一一个零点.（2）由函数求导，得，由，得；由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，则当时，函数有最大值；由函数求导，得，由得；由得.所以函数在上单调递减，在上单调递增，则当时，函数有最小值；因为，函数的最大值，即函数在直线的下方，故函数在直线：的上方，所以，解得.所以的取值集合为.（3）对，的最小值等价于，当时，；当时，；因为，所以的最小值为.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22. 已知直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.（1）若直线的斜率为，判断直线与曲线的位置关系；（2）求与交点的极坐标（，）.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用加减消元法和平方消元法消去参数t，可把直线l与曲线C1的参数方程化为普通方程，结合直线与圆的位置关系，可得结论；（2）将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的坐标，进而可化为极坐标．【详解】（1）斜率为时，直线的普通方程为，即.①将消去参数，化为普通方程得，②则曲线是以为圆心，为半径的圆，圆心到直线的距离，故直线与曲线（圆）相交.（2）的直角坐标方程为，由，解得，所以与的交点的极坐标为.【点睛】本题考查的知识点是参数方程与极坐标，直线与圆的位置关系，圆的交点，难度中档．23. 已知函数在上的最小值为，函数.（1）求实数的值；（2）求函数的最小值.【答案】（1）5；（2）4【解析】【分析】（1）由f（x）=+ax=a[（x﹣1）++1]，运用基本不等式可得最小值，解方程可得a的值；（2）运用|x+5|+|x+1|≥|（x+5）﹣（x+1）|=4，即可得到所求的最小值．【详解】（1）∵，，，∴，即有，解得.（2）由于，当且仅当时等号成立，∴的最小值为.【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式和绝对值不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．。

江苏省南通基地2018年高考数学密卷(4)理

C．[选修 44：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
4 x 1 t 5 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数 ) ．以原点 O 为 3 y 1 t 5
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 2 cos( ) ． 4 求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长．
7．4【解析】由图知函数的周期为 11 5 2 ，所以 2 4 ． 24 24 2 2

3 8．【解析】从 5 张分别标有数字 1，2，3，4，5 的卡片中随机抽取 2 张组成两位数，共有 20 5
种情况，要使 1, 2,3, 4,5 中的两个数组成两位奇数，有 12 种情况，所以其概率为 9．
（3）设
An kPn (n k )
k 1
n
，求证：
An 1 (n 1) Pn (n k )
k 0
n
．
2018 年高考模拟试卷（4）参考答案数学Ⅰ 一、填空题：
1 3 1 i (1 i )(2 i ) 1 3i 1． + i 【解析】 z ． 2 i (2 i )(2 i ) 5 5 5
19．已知函数 f ( x) ( x 1)e x ax 2 ，其中 a R ，e 是自然对数的底数．（1）若 a 0 ，求函数 y f ( x) 的单调增区间；（2）若函数 f ( x) 为 R 上的单调增函数，求 a 的值；（3）当 a 0 时，函数 y f ( x) 有两个不同的零点 x1 ，x2 ，求证： x1 x2 0 ．
x2 y 2 1(a 0, b 0) ，因为双曲线 C 的渐近线 a 2 b2

2018年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷—理科数学(四)附参考答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷理科数学（四）理科数学测试卷共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合2{|230}A x x x x N =--<∈，，集合{|2}xB y y ==，则A B =I（A ）{12}，（B ）{128}，，（C ）1(8)2，（D ）∅（2）命题“0x ∀>，tan sin x x >”的否定为（A ）0x ∃>，tan sin x x ≤ （B ）0x ∃≤，tan sin x x > （C ）0x ∀>，tan sin x x ≤（D ）0x ∀≤，tan sin x x ≤（3）已知复数12i z =+，则55izz z-+= （A ）12i +（B ）2i +（C ）12i -（D ）2i -（4）已知向量(12)a =r ，，(11)b =-r ，，(2)c m =r ，，且(2)a b -r r⊥c r ，则实数m = （A ）1- （B ）0（C ）1 （D ）任意实数（5）已知ππ()42α∈，，3log sin a α=，sin 3b α=，cos 3c α=，则a b c ，，的大小关系是（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c b a << （D ）b c a << （6）不等式20x ax b -+<的解集为{|12}x x <<，则6)xa的展开式中常数项为（A ）64-（B ）16027-（C ）2027（D ）803（7）抛物线24y x =的焦点到双曲线22221x y a b-=(00)a b >>，线的离心率为（A （B （C ）2（D ）3（8）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（A ）919（B ）1021 （C ）1819 （D ）2021（9）山城发生一起入室盗窃案，经警方初步调查，锁定为甲、乙、丙、丁四人中的一人所盗，经审讯，四人笔录如下，甲说：“是丁盗的”；乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”；丙说：“甲说的正确”；丁说：“与我无关，是他们三人中的一人盗的”，后经进一步调查发现四人中只有两人说了真话，由此可判断盗窃者是（A ）甲（B ）乙（C ）丙（D ）丁（10）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（A ）12π （B ）16π （C ）36π（D ）48π（11）已知定义域为R 的函数()f x ，对任意x R ∈均有()()f x f x '>（()f x '是函数()f x 的导函数），若()1y f x =-为奇函数，则满足不等式()e xf x <的x 的取值范围是（A ）(0)-∞，（B ）(1)-∞，（C ）(0)+∞，（D ）(1)+∞，（12）已知0a b >，，a b ba =-2)1(，则当b a 1+取最小值时，221ba +的值为（A ）2（B ）22（C ）3（D ）4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018年高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学试卷(四)含精品解析

绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（四）本试题卷共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}2|M x x x =∈=R ，{}1,0,1N =-，则M N =（）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．设i 1i 1z +=-，()21f x x x =-+，则()f z =（） A ．B ．i -C ．1i -+D ．1i --3．已知()()22log 111sin13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥，则312f f ⎛⎫+=⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．52B ．52-C ．32-D ．12-4．已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且96=πS ，则5tan a =（） A．3B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，如果输入的100t =，则输出的n =（）开始输入t输出n 结束k ≤t否是0,2,0S a n ===S S a=+31,1a a n n =-=+A ．5B ．6C ．7D ．86．已知函数()()sin ωϕ=+f x A x (0,0,)2ωϕπ>><A在一个周期内的图象如图所示，则4π⎛⎫= ⎪⎝⎭f （）A ．2-B ．2CD ．7．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（）A ．21;n n -B ．21;1n n -+C ．121;n n +-D ．121;1n n +-+8．若P 是圆()()22:331C x y ++-=上任一点，则点P 到直线1y kx =-距离的最大值（） A ．4B ．6C ．D ．班级姓名准考证号考场号座位号此卷只装订不密封9．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，若()20f -=，则满足()10xf x ->的的取值范围是（） A ．()(),10,3-∞- B ．()()1,03,-+∞C ．()(),11,3-∞- D ．()()1,01,3- 10．已知,x y ∈R ，在平面直角坐标系xOy 中，点,)x y （为平面区域2040⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥≥y x y x 内任一点，则坐标原点与点,)x y （连线倾斜角小于3π的概率为（）A ．116B．CD11．某几何体的直观图如图所示，AB 是O 的直径，BC 垂直O 所在的平面，且10AB BC ==，Q 为O 上从A 出发绕圆心逆时针方向运动的一动点．若设弧AQ 的长为，CQ 的长度为关于的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（）A ．B．C ．D．12．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，122F F c =，过2F 作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭，22F Q F A >，点P 是双曲线C右支上的动点，且11232+>PF PQ F F 恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（） A．⎫+∞⎪⎪⎝⎭B ．71,6⎛⎫⎪⎝⎭C．76⎛ ⎝⎭D．⎛ ⎝⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

吉林省2018届高考第四次模拟数学理科试题含答案

吉林省2018届高考第四次模拟数学理科试题含答案吉林省2018届高三年级第八次月考（第四次模拟）数学（理科）试题第 Ⅰ 卷一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）（1）已知N 是自然数集，集合N}16{∈+=x x|A ，{}01234,,,,B =，则A B =I （）A ．{}02,B ．{}012,,C ．{}23,D ．{}024,,（2）已知复数5i12iz =-(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数对应的点位于复平面的（）A ．13B ． 13-C . 13-D ．13（4）某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有（） A ．9种 B ．18种 C. 12种 D ．36种（5）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(4)f x +=()f x ，当[]2,0x ∈-时，()2x f x =-，则(1)f +(4)f 等于（）A ．32B ．1C ．−1D ． −32（6）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若 π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x 为（）A . 1.2B . 1.6C . 1.8D . 2.4 （7）已知函数()()()()sin 2cos 20f x x a x ϕϕϕπ=+++<<的最大值为2，且满足()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则ϕ=（） A .6πB .3πC .6π或56πD .3π或23π（8）若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m ≡，例如()835mod6≡.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A. 2019B. 2023C. 2031D. 2047若2z x y =+有最大值A ．4-B ．2-C ．1-D ．1（11）已知点2F 、P 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点与右支上的一点，O为坐标原点，若()212OM OP OF =+uuu r uu u r uuu r ，2222OF F M =uuu r uuuu r ，且22222OF F M a b ⋅=+uuu r uuuu r，则该双曲线的离心率为（）A B ．32C D ．（12）已知函数()f x ax =，()ln g x x =，存在(]0,t e ∈，使得()()f t g t -的最小值为3，则函数()ln g x x =图象上一点P 到函数()f x ax =图象上一点Q 的最短距离为（）A ．1e B C.D 第 Ⅱ 卷二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）（13）若0,0a b >>，且()ln 0a b +=，则11a b+的最小值是__________（14）若()2018220180122018(12)x a a x a x a x x R +=++++∈L ，则 12a -+222a −332a +…+201820182a 的值为（15）已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，2AB =，AC =60ABC ∠=，且棱锥O ABC -O 的表面积为___________ （16）已知ABC ∆外接圆O 的半径为1，且BO B A B C λμ=+u u u r u u r u u u r .若60ABC ∠=，则λμ+的最大值为__________三．解答题：（本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分；第22—23题为选考题，考生根据要求做答，每题10分）（17）（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n S ，且满足（Ⅰ）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式；（Ⅱ）证明：当2n ≥时，（18）（本小题满分12某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤20元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失3元.根据以往的销售情况，将日需求量按[50,150)，[150,250)，[250,350)，[350,450)，[450,550]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值. （Ⅰ）求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率；（Ⅱ）该经销商计划每日进货300公斤或400 公斤，以每日利润Y 的数学期望值为决策依据. 他应该选择每日进货300公斤还是400公斤？（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，60ABC ∠=，E F ，分别是BC PC ，的中点．（Ⅰ）证明: AE PD ⊥；（Ⅱ）设H 为线段PD 上的动点，若线段EH 长的最小值为--E AF C 的余弦值．（20）(本小题满分12分)已知圆C ：224x y +=与x 轴交于1F ，2F (2F 在原点右侧)两点，动点P 到1F ，2F 两点的距离之和为定值()22a a >，且12cos F PF ∠的最小值为−13．（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；（Ⅱ）过2F 且斜率不为零的直线l 与点P 的轨迹交于A ，B 两点，若存在点E ，使得2EA EA AB +⋅uu r uu r uu u r是与直线l 的斜率无关的定值，则称E 为“恒点”．问在x 轴上是否存在这样的“恒点”?若存在，请求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．（21） (本小题满分12分)已知函数()ln f x x =.（Ⅰ）设()()1gx f x ax =-+，讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）若不等式()()f x a e x b ≤-+恒成立，其中e 为自然对数的底数，求ba的最小值.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分. （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩ (θ为参数).以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系，设直线l 的极坐标方程为()cos 6ρθθ=.（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；（Ⅱ）设P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最值. （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()2,()3f x x g x x m =-=-++()m R ∈（Ⅰ）解关于x 的不等式()20(R)f x a a +->∈；（Ⅱ）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求m 的取值范围.高三年级第八次月考（第四次模拟）数学（理科）答案13. 4 14. -1 15.48 16.三．解答题18.（Ⅰ）由频率分布直方图可知，日销售量不低于350公斤的概率为(0.0025＋0.0015)×100＝0.4，则未来连续三天内，有连续两天的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率P＝0.4×0.4×(1－0.4)＋(1－0.4)×0.4×0.4＝0.192． .....4分（Ⅱ）当每日进货300公斤时，利润Y1可取－100，700，1500，此时Y1的分布列为：此时利润的期望值E(Y1＝1180；当每日进货400公斤时，利润Y2可取－400，400，1200，2000，此时Y2此时利润的期望值2000×0.4＝1200；因为E(Y1)＜E(Y2)，所以该经销商应该选择每日进货400公斤．......12分19.证明：20．【解析】(1)由已知，22x y +=4与x 轴交于1F (−2，0)，2F (2，0)，则|1F 2F | =4，由题意知|P 1F |+|P 2F |=2a ，cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-=22121212(||||)||2||||PF PF F F PF PF +-−1=2124162||||a PF PF -−1≥224162a a -−1=1−28a =−13，当且仅当|P 1F |=|P 2F |=a 时等号成立，因而2a =6，由椭圆的定义知，P 的轨迹为椭圆，且1F ，2F 分别为其左、右焦点，2b =2a −2c =2，所以所求轨迹方程为26x +22y =1 …6分(2)如图，设直线l 的方程为x = my +2，A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，由222162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(m 2+3)y 2+4my −2=0，则1y +2y =−243m m +，1y 2y =−223m +．（8分）假设存在这样的“恒点”E (t ，0)，则2EA EA AB +⋅=EA EB ⋅=(1x −t ，1y )·(2x −t ，2y ) =(m 1y +2−t ，1y )·(m 2y +2−t ，2y ) =(m 2+1) 1y 2y +(2−t)m (1y +2y )+(2−t )2=2222224(2)33m t m m m ----++++(2−t )2 =2222(6)312103t m t t m -+-++．若2EA EA AB +⋅是与直线l 的斜率无关的定值，则其为与m 无关的定值，则32t −18=32t −12t +10，得t =73，此时定值为(73)2−6=−59，“恒点”为(73，0)．（12分） 21. 【解析】（Ⅰ）函数定义域为()0,+∞，由题意得()ln 1g x x ax =-+，则()'1g x a x=-， ①当0a ≤时，()'0g x >，则()g x 在()0,+∞上单调递增；②当0a >时，令()'0g x =，解得1x a=，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()'0g x <，()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减 …4分（Ⅱ）设函数()()ln F x x a e x b =---，其中e 为自然对数的底数，∴()'1F x e a x=+-，0x >，当a e ≤时，()'0F x >，()f x 在()0,+∞上是增函数，∴()0F x ≤不可能恒成立，当a e >时，由()'10Fx e a x =+-=，得1x a e=-, ∵不等式()0F x ≤恒成立，∴()max 0F x ≤，当10,x a e ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时，()'0F x >，()F x 单调递增，当1,x a e ⎛⎫∈+∞⎪-⎝⎭时，()'0F x <，()F x 单调递减， ∴当1x a e =-时，()F x 取最大值，()1ln 10F a e b a e ⎛⎫=----≤ ⎪-⎝⎭， ∴满足()ln 10a e b -++≥即可，∴()1ln b a e ≥---，∴()()1ln a e b a e a a---≥>，令()()1ln x e G x x---=，x e >，()()()()()'221ln ln xx e x e x e e x e G x x x e x -++-----==- 令()()()ln H x x e x e e =---，()()'ln 1H x x e =-+，由()'0H x =，得1x e e=+，当1,x e e⎛⎫∈++∞ ⎪⎝⎭时，()'0H x >，()H x 是增函数，当1,x e e e ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()'0H x <，()H x 是减函数，∴当1x e e =+时，()H x 取最小值11H e e e e ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭， ∵x e →时，()0H x →，2x e >时，()0H x >，()20H e =， ∴当(),2x e e ∈时，()'0G x <，()G x 是减函数，当()2,x e ∈+∞时，()'0G x >，()G x 是增函数，∴2x e =时，()G x 取最小值，()11122G e e e--==-， ∴b a 的最小值为1e- …12分。

山东省临沂市2018届高三第三次高考模拟考试数学(理)试题有答案

2018年普通高考模拟考试理科数学2018.5本试卷共5页，23题(含选考题)．全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={}x x a >，B={}232x x x -+>0，若A ∪B=B ，则实数a 的取值范围是(A) (),1-∞ (B) (],1-∞ (C) ()2,+∞(D) [)2,+∞2．欧拉公式cos sin ix e x i x =+ (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，3i e 表示的复数在复平面中位于 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 3．给出以下三种说法：①命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+<”； ②已知,p q 为两个命题，若p q ∨为假命题，则()()p q ⌝∧⌝为真命题； ③命题“,a b 为直线，α为平面，若//,//,a b αα，则//a b ”为真命题．其中正确说法的个数为 (A)3个 (B)2个 (C)1个 (D)0个4．已知4cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2α= (A) 725- (B) 15- (C) 15 (D) 7255．直线40x y m ++=交椭圆2116x y +=于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为l ，则，m= (A)－2 (B)－1 (C)1 (D)2 6．执行如图所示的程序框图，则输出的a = (A)6.8 (B)6.5 (C)6.25 (D)67．已知定义域为R 的奇函数()f x 在(0，+∞)上的解析式为()()()23log 5,0233,,2x x f x f x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩则()()32018f f +=(A)－2(B)－1 (C)1(D)28．一种电子计时器显示时间的方式如图所示，每一个数字都在固定的全等矩形“显示池”中显示，且每个数字都由若干个全等的深色区域“▂”组成．已知在一个显示数字8的显示池中随机取一点A ，点A 落在深色区域内的概率为12，若在一个显示数字0的显示池中随机取一点B ，则点B 落在深色区域内的概率为(A)67(B)37 (C) 34 (D) 389．记不等式组10,330,10x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，所表示的平面区域为D ，若对任意点(00,x y )∈D ，不等式0020x y c -+≤恒成立，则c 的取值范围是 (A) (],4-∞- (B) (],1-∞-(C) [)4,-+∞(D) [)1,-+∞10．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(A) 13π+(B) 223π+(C) 23π+(D) 123π+11．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为双曲线C 虚轴的一个端点，若线段AF 2与双曲线右支交于点B ，且112::AF BF BF =3：4：2，则双曲线C 的离心率为(A)(B)10(C)(D) 1012．在△ABC 中，D 为边BC 上的点，且满足∠DAC=90°，sin ∠BAD=13，若S △ADC =3S △ABD ，则cosC=(A)(B)6 (C)23(D)23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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2018年高考数学(理科)模拟试卷(四)(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·成都诊断考试]已知集合A ＝{x |y ＝4x －x 2}，B ＝{x ||x |≤2}，则A ∪B ＝( ) A ．[－2,2] B ．[－2,4] C ．[0,2] D ．[0,4]2．[2016·茂名市二模]“a ＝1”是“复数z ＝(a 2－1)＋2(a ＋1)i(a ∈R )为纯虚数”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件3．[2017·呼和浩特调研]设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B向x 轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k 等于( )A.32 B ．±32 C ．±12 D.124．[2016·洛阳第一次联考]如果圆x 2＋y 2＝n 2至少覆盖曲线f (x )＝3sin πx n (x ∈R )的一个最高点和一个最低点，则正整数n 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．45．[2016·长春质量检测]运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为( )A.29－129B.29＋129C.210－1210D.210210＋16．[2016·贵阳一中质检]函数g (x )＝2e x ＋x －3⎠⎛12t 2d t 的零点所在的区间是( )A ．(－3，－1)B ．(－1,1)C ．(1,2)D ．(2,3)7．[2016·浙江高考]在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．68．[2017·广西质检]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．24＋6πB ．12πC ．24＋12πD ．16π9．[2016·南京模拟]已知四面体P －ABC 中，P A ＝4，AC ＝27，PB ＝BC ＝23，P A ⊥平面PBC ，则四面体P －ABC 的外接球半径为( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 310．[2016·四川高考]在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足|DA →|＝|DB →|＝|DC →|，DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝－2，动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( )A.434B.494C.37＋634D.37＋233411．[2016·山西质检]记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，若S 12－S 6S 6－7·S 6－S 3S 3－8＝0，且正整数m ，n 满足a 1a m a 2n ＝2a 35，则1m ＋8n的最小值是( ) A.157 B.95 C.53 D.7512．[2016·海口调研]已知曲线f (x )＝k e－2x在点x ＝0处的切线与直线x －y －1＝0垂直，若x 1，x 2是函数g (x )＝f (x )－|ln x |的两个零点，则( )A ．1<x 1x 2< e B.1e <x 1x 2<1 C ．2<x 1x 2<2 eD.2e<x 1x 2<2 第Ⅱ卷(非选择题满分90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2017·安徽合肥统考]一个煤气站有5个阀门控制对外输送煤气，使用这些阀门必须遵守以下操作规则：(ⅰ)如果开启1号阀门，那么必须同时开启2号阀门并且关闭5号阀门；(ⅱ)如果开启2号阀门或者5号阀门，那么要关闭4号阀门；(ⅲ)不能同时关闭3号阀门和4号阀门，现在要开启1号阀门，则同时开启的2个阀门是________．14．[2017·云南检测]若函数f (x )＝4sin5ax －43cos5ax 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π3，则实数a 的值为________．15．[2017·山西怀仁期末]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c ，直线y ＝33(x ＋c )与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为________．16．[2016·广州综合测试]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为________个．三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．[2016·河南六市联考](本小题满分12分)如图，在一条海防警戒线上的点A、B、C 处各有一个水声监测点，B、C两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8秒后A、C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B、C到P的距离，并求x的值；(2)求P到海防警戒线AC的距离．18．[2016·重庆市一模](本小题满分12分)某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种．方案一：每满200元减50元；方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：(注：所有小球仅颜色有区别)红球个数3210实际付款半价7折8折原价(1)(2)若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？19．[2016·贵州四校联考](本小题满分12分)已知长方形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝ 2.现将长方形沿对角线BD 折起，使AC ＝a ，得到一个四面体A －BCD ，如图所示．(1)试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD ，AD 与BC 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 值；若不垂直，请说明理由．(2)当四面体A －BCD 体积最大时，求二面角A －CD －B 的余弦值．20．[2016·全国卷Ⅲ](本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．21．[2016·湖北八校联考](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax －ln x －4(a ∈R )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝2时，若存在区间[m ，n ]⊆⎣⎡⎭⎫12，＋∞，使f (x )在[m ，n ]上的值域是⎣⎡⎦⎤k m ＋1，k n ＋1，求k 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．[2016·陕西八校联考](本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的方程为x2＋y2＝1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρ(2cosθ－sinθ)＝6.(1)将曲线C1上的所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；(2)设P为曲线C2上任意一点，求点P到直线l的最大距离．23．[2016·南昌一模](本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f(x)＝x－2＋11－x的最大值为M.(1)求实数M的值；(2)求关于x的不等式|x－2|＋|x＋22|≤M的解集．参考答案(四)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·成都诊断考试]已知集合A ＝{x |y ＝4x －x 2}，B ＝{x ||x |≤2}，则A ∪B ＝( ) A ．[－2,2] B ．[－2,4] C ．[0,2] D ．[0,4] 答案 B解析 A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，故A ∪B ＝{x |－2≤x ≤4}，故选B. 2．[2016·茂名市二模]“a ＝1”是“复数z ＝(a 2－1)＋2(a ＋1)i(a ∈R )为纯虚数”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 a 2－1＋2(a ＋1)i 为纯虚数，则a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，反之也成立．故选A.3．[2017·呼和浩特调研]设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B向x 轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k 等于( )A.32 B ．±32 C ．±12 D.12 答案 B解析由题意可得c ＝1，a ＝2，b ＝3，不妨取A 点坐标为⎝⎛⎭⎫1，±32，则直线的斜率k ＝±32. 4．[2016·洛阳第一次联考]如果圆x 2＋y 2＝n 2至少覆盖曲线f (x )＝3sin πxn (x ∈R )的一个最高点和一个最低点，则正整数n 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析最小范围内的至高点坐标为⎝⎛⎭⎫n 2，3，原点到至高点距离为半径，即n 2＝n24＋3⇒n ＝2，故选B.5．[2016·长春质量检测]运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为( )A.29－129B.29＋129C.210－1210D.210210＋1 答案 A解析由程序框图可知，输出的结果是首项为12，公比也为12的等比数列的前9项和，即29－129，故选A. 6．[2016·贵阳一中质检]函数g (x )＝2e x ＋x －3⎠⎛12t 2d t 的零点所在的区间是( )A ．(－3，－1)B ．(－1,1)C ．(1,2)D ．(2,3)答案 C解析因为3⎠⎛12t 2d t ＝t 3⎪⎪⎪21＝8－1＝7，∴g(x)＝2e x ＋x －7，g ′(x)＝2e x ＋1>0，g(x)在R上单调递增，g (－3)＝2e －3－10<0，g (－1)＝2e －1－8<0，g (1)＝2e －6<0，g (2)＝2e 2－5>0，g (3)＝2e 3－4>0，故选C.7．[2016·浙江高考]在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6答案 C解析作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C，D分别作直线x ＋y－2＝0的垂线，垂足分别为A，B，则四边形ABDC为矩形，又C(2，－2)，D(－1,1)，所以|AB|＝|CD|＝(2＋1)2＋(－2－1)2＝3 2.故选C.8．[2017·广西质检]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．24＋6π B．12π C．24＋12π D．16π答案 A解析由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体与6个半径为1的半球构成的组合体，该组合体的表面由6个半球的表面(除去半球底面圆)、正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆构成，所以6个半球的表面(除去半球底面圆)的面积之和S1等于3个球的表面积，即S1＝3×4π×12＝12π；正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆的面积之和为S2＝6(22－π×12)＝24－6π.所以该组合体的表面积为S＝S1＋S2＝12π＋(24－6π)＝24＋6π.9．[2016·南京模拟]已知四面体P－ABC中，P A＝4，AC＝27，PB＝BC＝23，P A⊥平面PBC，则四面体P－ABC的外接球半径为()A．2 2 B．2 3 C．4 2 D．4 3答案 A解析 P A ⊥平面PBC ，AC ＝27，P A ＝4，∴PC ＝23，∴△PBC 为等边三角形，设其外接圆半径为r ，则r ＝2，∴外接球半径为2 2.故选A.10．[2016·四川高考]在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足|DA →|＝|DB →|＝|DC →|，DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝－2，动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( )A.434 B.494 C.37＋634D.37＋2334答案 B解析由|DA →|＝|DB →|＝|DC →|知，D 为△ABC 的外心．由DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →知，D 为△ABC 的内心，所以△ABC 为正三角形，易知其边长为2 3.取AC 的中点E ，因为M 是PC 的中点，所以EM ＝12AP ＝12，所以|BM →|max ＝|BE |＋12＝72，则|BM →|2max ＝494，选B. 11．[2016·山西质检]记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，若S 12－S 6S 6－7·S 6－S 3S 3－8＝0，且正整数m ，n 满足a 1a m a 2n ＝2a 35，则1m ＋8n的最小值是( ) A.157 B.95 C.53 D.75 答案 C解析 ∵{a n }是正项等比数列，设{a n }的公比为q (q >0)，∴S 12－S 6S 6＝q 6，S 6－S 3S 3＝q 3，∴q 6－7q 3－8＝0，解得q ＝2，又a 1a m a 2n ＝2a 35，∴a 31·2m＋2n －2＝2(a 124)3＝a 31213，∴m ＋2n ＝15，∴1m ＋8n ＝115⎝⎛⎭⎫1m ＋8n (m ＋2n )＝17＋2n m ＋8m n 15≥17＋22n m ×8mn 15＝53，当且仅当2n m ＝8mn ，n ＝2m ，即m ＝3，n ＝6时等号成立，∴1m ＋8n 的最小值是53，故选C.12．[2016·海口调研]已知曲线f (x )＝k e－2x在点x ＝0处的切线与直线x －y －1＝0垂直，若x 1，x 2是函数g (x )＝f (x )－|ln x |的两个零点，则( )A ．1<x 1x 2< eB.1e<x 1x 2<1C ．2<x 1x 2<2 e D.2e<x 1x 2<2 答案 B解析依题意得f ′(x )＝－2k e－2x，f ′(0)＝－2k ＝－1，k ＝12.在同一坐标系下画出函数y＝f (x )＝12e －2x 与y ＝|ln x |的大致图象，结合图象不难看出，这两条曲线的两个交点中，其中一个交点横坐标属于区间(0,1)，另一个交点横坐标属于区间(1，＋∞)，不妨设x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)，则有12e －2x 1＝|ln x 1|＝－ln x 1∈⎝⎛⎭⎫12e －2，12，12e －2x 2＝|ln x 2|＝ln x 2∈⎝⎛⎭⎫0，12e －2，12e －2x 2－12e －2x 1＝ln x 2＋ln x 1＝ln (x 1x 2)∈⎝⎛⎭⎫－12，0，于是有e －12 <x 1x 2<e 0，即1e<x 1x 2<1，选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2017·安徽合肥统考]一个煤气站有5个阀门控制对外输送煤气，使用这些阀门必须遵守以下操作规则：(ⅰ)如果开启1号阀门，那么必须同时开启2号阀门并且关闭5号阀门；(ⅱ)如果开启2号阀门或者5号阀门，那么要关闭4号阀门；(ⅲ)不能同时关闭3号阀门和4号阀门，现在要开启1号阀门，则同时开启的2个阀门是________．答案 2或3解析若要开启1号阀门，由(ⅰ)知，必须开启2号阀门，关闭5号阀门，由(ⅱ)知，关闭4号阀门，由(ⅲ)知，开启3号阀门，所以同时开启2号阀门和3号阀门．14．[2017·云南检测]若函数f (x )＝4sin5ax －43cos5ax 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π3，则实数a 的值为________．答案 ±35解析因为f (x )＝8sin ⎝⎛⎭⎫5ax －π3，依题意有，T 2＝π3，所以T ＝2π3，又因为T ＝2π5|a |，所以2π5|a |＝2π3，解得a ＝±35. 15．[2017·山西怀仁期末]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c ，直线y ＝33(x ＋c)与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为________．答案3＋1解析 ∵直线y ＝33(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为30°，∴∠PF 1F 2＝30°，∠PF 2F 1＝60°，∴∠F 2PF 1＝90°，即F 1P ⊥F 2P .∴|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|PF 1|＝|F 1F 2|·sin60°＝3c ，由双曲线的定义得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝3c －c ，∴双曲线C 的离心率e ＝c a ＝c3c －c2＝3＋1.16．[2016·广州综合测试]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为________个．答案 2 解析由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0，得f (x )＝21－|x |，画出y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1与y ＝21－|x |的图象，可知，它们有2个交点，所以零点个数为2.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．[2016·河南六市联考](本小题满分12分)如图，在一条海防警戒线上的点A 、B 、C 处各有一个水声监测点，B 、C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A 、C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B 、C 到P 的距离，并求x 的值；(2)求P 到海防警戒线AC 的距离．解 (1)依题意，有P A ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12.(2分)在△P AB 中，AB ＝20，cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB ＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x ，同理，在△P AC 中，AC ＝50，cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x .(4分)∵cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ，∴3x ＋325x ＝25x，解得x ＝31.(6分)(2)作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中，由cos ∠P AD ＝2531，得sin ∠P AD ＝1－cos 2∠P AD ＝42131，(9分) ∴PD ＝P A sin ∠P AD ＝31×42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米．(12分)18．[2016·重庆市一模](本小题满分12分)某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种．方案一：每满200元减50元；方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：(注：所有小球仅颜色有区别)(1) (2)若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？解 (1)记顾客获得半价优惠为事件A ，则P (A )＝3×2×14×4×4＝332，(2分)两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率P ＝1－P (A )P (A )＝1－⎝⎛⎭⎫1－3322＝1831024.(4分)(2)若选择方案一，则付款金额为320－50＝270元．(6分) 若选择方案二，记付款金额为X 元，则X 可取160,224,256,320. P (X ＝160)＝332，P (X ＝224)＝3×2×3＋3×2×1＋1×2×14×4×4＝1332，P (X ＝256)＝3×2×3＋1×2×3＋1×2×14×4×4＝1332，P (X ＝320)＝1×2×34×4×4＝332，(9分)则E (X )＝160×332＋224×1332＋256×1332＋320×332＝240.∵270>240，∴第二种方案比较划算．(12分)19．[2016·贵州四校联考](本小题满分12分)已知长方形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝ 2.现将长方形沿对角线BD 折起，使AC ＝a ，得到一个四面体A －BCD ，如图所示．(1)试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD ，AD 与BC 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 值；若不垂直，请说明理由．(2)当四面体A －BCD 体积最大时，求二面角A －CD －B 的余弦值．解 (1)若AB ⊥CD ，因为AB ⊥AD ，AD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥面ACD ⇒AB ⊥AC .即AB 2＋a 2＝BC 2⇒12＋a 2＝(2)2⇒a ＝1.(2分) 若AD ⊥BC ，因为AD ⊥AB ，AB ∩BC ＝B ，所以AD ⊥面ABC ⇒AD ⊥AC ，即AD 2＋a 2＝CD 2⇒(2)2＋a 2＝12⇒a 2＝－1，无解，故AD ⊥BC 不成立．(4分)(2)要使四面体A －BCD 体积最大，因为△BCD 面积为定值22，所以只需三棱锥A －BCD 的高最大即可，此时面ABD ⊥面BCD .(6分)过A 作AO ⊥BD 于O ，则AO ⊥面BCD ，以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz (如图)，则易知A ⎝⎛⎭⎫0，0，63，C ⎝⎛⎭⎫63，33，0，D ⎝⎛⎭⎫0，233，0，显然，面BCD 的法向量为OA →＝⎝⎛⎭⎫0，0，63.(8分)设面ACD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．因为CD →＝⎝⎛⎭⎫－63，33，0，DA →＝⎝⎛⎭⎫0，－233，63，所以⎩⎨⎧6x ＝3y ，23y ＝6z .令y ＝2，得n ＝(1，2，2)，(10分) 故二面角A －CD －B 的余弦值即为 |cos 〈OA →，n 〉|＝26363·1＋2＋4＝277.(12分)20．[2016·全国卷Ⅲ](本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解由题知F ⎝⎛⎭⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ， R ⎝⎛ －12，⎭⎫a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.(3分) (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则 k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝k 2，所以AR ∥FQ .(5分)(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a |·|FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 则题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1. 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)，而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1. 所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1.(12分)21．[2016·湖北八校联考](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax －ln x －4(a ∈R )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝2时，若存在区间[m ，n ]⊆⎣⎡⎭⎫12，＋∞，使f (x )在[m ，n ]上的值域是⎣⎡⎦⎤k m ＋1，k n ＋1，求k 的取值范围．解 (1)函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝ax －1x ，当a ≤0时，f ′(x )≤0，所以f (x )在(0，＋∞)上为减函数，当a >0时，令f ′(x )＝0，则x ＝1a ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，(3分)∴当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上为减函数；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上为减函数，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上为增函数．(4分)(2)当a ＝2时，f (x )＝2x －ln x －4，由(1)知：f (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，而[m ，n ]⊆⎣⎡⎭⎫12，＋∞，∴f (x )在[m ，n ]上为增函数，结合f (x )在[m ，n ]上的值域是⎣⎡⎦⎤k m ＋1，k n ＋1知：f (m )＝km ＋1，f (n )＝k n ＋1，其中12≤m <n ，则f (x )＝kx ＋1在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上至少有两个不同的实数根，(6分) 由f (x )＝kx ＋1，得k ＝2x 2－2x －(x ＋1)ln x －4，记φ(x )＝2x 2－2x －(x ＋1)ln x －4，x ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞，则φ′(x )＝4x －1x －ln x －3，记F (x )＝φ′(x )＝4x －1x －ln x －3，则F ′(x )＝4x 2－x ＋1x 2＝(2x －1)2＋3x x 2>0，∴F (x )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上为增函数，即φ′(x )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上为增函数，而φ′(1)＝0， ∴当x ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，φ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )>0， ∴φ(x )在⎝⎛⎭⎫12，1上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，(10分)而φ⎝⎛⎭⎫12＝3ln 2－92，φ(1)＝－4，当x →＋∞时，φ(x )→＋∞，故结合图象得： φ(1)<k ≤φ⎝⎛⎭⎫12⇒－4<k ≤3ln 2－92，∴k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－4，3ln 2－92.(12分) 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．[2016·陕西八校联考](本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝1，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρ(2cos θ－sin θ)＝6.(1)将曲线C 1上的所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线C 2，试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程；(2)设P 为曲线C 2上任意一点，求点P 到直线l 的最大距离．解 (1)由题意知，直线l 的直角坐标方程为2x －y －6＝0.(2分) ∵曲线C 2的直角坐标方程为：⎝⎛⎭⎫x 32＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，即x 23＋y 24＝1，(4分) ∴曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．(5分)(2)设点P 的坐标(3cos θ，2sin θ)，则点P 到直线l 的距离为d ＝|23cos θ－2sin θ－6|5＝⎪⎪⎪⎪4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6－65，∴当cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝－1时，d max ＝|4＋6|5＝2 5.(10分) 23．[2016·南昌一模](本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝x －2＋11－x 的最大值为M . (1)求实数M 的值；(2)求关于x 的不等式|x －2|＋|x ＋22|≤M 的解集．解 (1)f (x )＝x －2＋11－x ≤2(x －2)＋(11－x )2＝32，当且仅当x ＝132时等号成立．故函数f (x )的最大值M ＝3 2.(5分)(2)由(1)知M ＝3 2.由绝对值三角不等式可得|x －2|＋|x ＋22|≥|(x －2)－(x ＋22)|＝3 2.所以不等式|x －2|＋|x ＋22|≤32的解集就是方程|x －2|＋|x ＋22|＝32的解．(7分) 由绝对值的几何意义，得当且仅当－22≤x ≤2时，|x －2|＋|x ＋22|＝32，所以不等式|x －2|＋|x ＋22|≤M 的解集为 {x |－22≤x ≤2}．(10分)。