第一换元积分法与第二换元积分法
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常用积分换元公式
第一类换元积分法
部分常用的凑微分公式：
（1）
1
()
dx d ax b
a
=+（2）1
1
()
1
n n
x dx d x
n
+
=
+
（3
d
=（4）
2
11
()
dx d
x x
=-
（5）1
(ln)
dx d x
x
=（6）()
x x
e dx d e
=
（7）cos(sin)
xdx d x
=（8）sin(cos)
xdx d x
=-
常用的凑微分公式
第二类换元积分法
1.当被积函数中含有
1)sin
x a t
=或cos
x a t
=；
2)tan
x a t
=；
3)sec
x a t
=.
通过三角代换化掉根式。
但是，去掉被积函数根号并不一定要采用三角代换，
22
ch sh1
t t
-=，采用双曲代换sh
x a t
=或ch
x a t
=消去根式，所得结果一致。
所以应根据被积函数的具体情况尽量选取简单的方法对根式进行有理化代换。
2.当有理分式函数中分母的阶数较高时，可采用倒代换
1
x
t
=.
3.类型f dx
⎰：可令t=；类型f dx
⎰：可令t=（第四节内容）
4.类型()x
f a dx
⎰：可令x
t a
=.
适合用分部积分法求解的被积函数。
高等数学-4_2换元法
4
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x
(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )
tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
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结束
例7. （1）
sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x
(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x
1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1
1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x
(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )
tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
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结束
例7. （1）
sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x
(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x
1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1
1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )
4.2 换元积分法
解：
(1)
a2
1
x2
dx
1 a
1 a2
1
1(ax1)21da(xax22)dx
1 a
arctan
x a
C
用类似的方法还可以求得
1 a2
x2
dx
arcsin
x a
C．
4.2.1 第一换元积分法 4.第一换元积分法的常见类型
例4
求不定积分 (2)
dx a2 x2
4.2.1 第一换元积分法 2.第一换元积分法
计算过程
f
[ ( x)] ( x)dx
凑微分
f
[ ( x)]d ( x)
令 ( x)u
积分
回代
f (u)du F (u) C F ((x)) C
利用复合函数求导公式，可以验证以上公式的正确性．
用这种方法的计算程序是：先“凑”微分式，再作变量置换。 我们将这类求不定积分的方法称为第一类换元积分法，也称凑微 分法。
4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例1 求下列不定积分
(1)
dx x 1
解： 令 x 1 u 则 dx du，于是
dx x 1
du u
ln u C
同理可得:
(2)
dx 1 x
ln
1
x
C
(3)
dx 1 x
2
1 x C
再将u x 1 代回，得
(2)
ln x x
dx
解：
(2)
5-2 不定积分的换元积分法
1 2 xdx (2) xe dx
(1)
5 x2
1 3 1 1 2 1 2 x 2 C (1 2 x ) 2 d (1 2 x ) 2 3 2
x (3) dx 2 2 3x
e 10
1
5 x2
1 5 x2 d (5 x ) e C 10
1 (2) 2 dx； a x
1 a 2 x 2 dx；
x a 2 x 2 dx
1 1 x x (3) dx； dx； dx； dx 3 2 2 5 1 x (1 x ) 1 x (1 x )
19
换元积分法
二、第二换元积分法
第一换元法中 ( x) u f [ ( x)] ( x)dx
1 ln1 2 ln x C 2
1 1 ln x d (ln x ) 1 x
x
1 1 1 d (1 2ln x ) 1 x (1 2ln x ) 2
x
11
换元积分法
利用基本积分表的公式把被积函数中的一部分凑成 中间变量的微分，常见的有：
1 dx d ax b a 1 n 1 x dx d x n n e x dx d(e x ) cos xdx d(sin x ) sec 2 xdx d(tan x ) 1
1 (t 1) 1 1 1 x dx 1 t 2tdt 2 1 t dt 1 2 (1 )dt 1 t
2t 2ln 1 t C
2 x 2 ln( 1 x) C
23
换元积分法
练习 求下列函数的不定积分 x 1 (1) x x 1dx; (2) 3 dx . 3x 1
4.2_换元积分法
x x
dx 3
t2
t
3
2tdt
2
t2 3 dt 2 t3 6t C 3
再将t x 3代回整理得
x dx 2 x3 3
3
x3 6 x3C
补充例：求
1 dx
ex 1
解: 令 ex 1 t 则x ln(1 t 2 )
dx
2t 1 t2
dt , 于 是
1 dx
ex 1
Fu C
Fx C
由此可得换元法定理P103定理4.3
P103定理4.3 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
g( x)dx 化为 f [( x)]( x)dx.
2
2
xex2dx 1 ex2 x2 dx（直接凑微分） 2
1 ex2dx 2
2
1 2
eudu
堂上练习 P108-习题4.2----4、5、6、
4、
2x 1 x2 dx
1 1 x2
1 x2
dx
1
1 x2
d1
x
2
ln
1
x
2
C
5、 x x2 5dx 1 2
x2
1 t
2t 1 t2
dt
2
1 1 t 2 dt
2arctant C
2arctan ex 1 C
课堂练习： 求
x 1dx . x
解 : 令 x 1 t,则x 1 t 2 , dx 2tdt;于是有
x-1 dx. 2 x
t2 1 t 2 dt
课件：2 第一换元积分法(1)
1du u
1 ln u C 2
1 ln 3 2x C.
2
1
(1)
f (ax b)dx a
d(ax b)
例3 计算
x(1
1 2ln
x
dx. )
解
x(1
1 2
ln
dx x)
1
1 2ln
d x
(ln
x)
1 2
1
1 2ln
d x
(1
2ln
x)
u 1 2 ln x
1 2
1 du u
1 2
1 [ln x a ln x a ] C 2a
1 ln x a C. 2a x a
例8 计算
1
1 e
x
dx.
解
1
1 e
x dx
1
ex 1
e ex
x
dx
1
1
e
x
e
x
dx
ex
dx 1 e xdx
dx
1
1 e
x
d
(1
e
x
)
x ln(1 e x ) C.
(11) f (ex ) exdx f (ex )dex
dx
1 sin2
x
dx
cos sin2
x x
dx
1 sin2
x
dx
1 sin2
x
d (sin
x)
cot x 1 C. sin x
例12 计算 sin2 x cos5 xdx.
解 sin2 x cos5 xdx sin 2 x cos4 xd (sin x )
sin2 x (1 sin2 x)2d(sin x)
第一类换元积分法
dx dx 1 arctan x c . 20 . arcsin x c . 21 . 2 2 2 a a a x2 a a x dx x a 1 22 . 2 ln c . 2 2a x a x a
dx ax 1 23 . 2 ln c . 2 2a a x a x
例11. 求
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
例12. 求
e3
x
x
dx .
3 x
x
解: 原式 = 2 e
2 3 e 3
2 3 x d x e d(3 x ) 3 C
被积函数中含有三角函数的例子 例13 求三角函数的不定积分
ln cos x cot xdx ? sin x sin x
ln sin x C
sec2 x 1 d tan x dx d x tan x ln tan x c 例 16 . sin x cos x tan x 1 sin2 x cos2 x sinx cos x dx sinx cos x dx (tan x cot x )dx ln cos x ln sin x C ln tan x C 1 1 x 例16ln tan x c . 例 17 . csc x dx d dx x cos x 2 2 sin x sin 2 2 2 sin 2 x 1 cos x x 2 tan csc x cot x . 2 2 sin x cos x sin x 2 2 csc x dx ln csc x cot x c . (新公式)
第3-1不定积分的第一类换元积分法
sin
3
xdx sin x sin xdx (1 cos x)d cos x
2 2
1 3 cos x cos x C 3
sec 6 xdx . 例10.求
解: 原式 = (tan 2 x 1) 2 d tan x d x sec 2
(tan 4 x 2 tan 2 x 1) dtan x
2
x a
2
2
ln |
x2 a2 x a | C1
t a
(C C1 ln a)
x
公式15：
ln x x a C (a 0)
2 2
例17. 求
解:
1 x2 2x 2
dx .
原式
1 ( x 1) 1
2 2
d (x 1)
(由公式2)
1 ln a x ln a x 2a
1 ax C ln C 2a a x
例7. 求
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
dx . 例8. 求 x 1 e 解法1 (1 e x ) e x d(1 e x ) dx dx x x 1 e 1 e x ln(1 e x ) C
2 3 1 5 tan x tan x tan x C 3 5
例12. 求 sin 4 x cos 3xdx
1 解: 利用公式 sin cos [sin( ) sin( )] 2 1 原式= (sin 7 x sin x)dx 2 1 1 cos 7 x cos x C 14 2
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例2 计算
3
1 dx. 2x
解
3
1 2
dx x
1 2
3
1 2
x
(3
2x
)dx
1 2
3
1 2x
d
(
3
2
x)
32 xu
1 2
1du u
1 ln u C 2
1 ln 3 2x C. 2
例3 计算
x(1
1 2
ln
dx. x)
解
Hale Waihona Puke x(11 2ln
dx x)
1
1 2 ln
d x
(ln
x)
1 2
1
1 2 ln
d x
(1
2
ln
x
)
u 1 2ln x
1 2
1 du u
1 ln u 2
C
1 ln1 2
2 ln
x
C.
例4 计算
(1
x x
)3
dx
.
解
(1
x x
)3
dx
x 11 (1 x)3 dx
x a
1 arctan a
x C. a
作为公式
练习题
x
2
1 8x
dx. 25
练习题
1
x
2
8
x
dx. 25
解
x2
1 8x
dx 25
(
x
1 4)2
dx 9
(
x
1 4)2
32d
(
x
4)
1 arctan x 4 C.
3
3
1
x(1
x10
dx. )
例17 设f (sin2 x) cos2 x, 求f ( x).
例1 计算 sin x xdx.
解 sin x xdx 2 sin x ( x)dx
2 sin xd x
xu
2 sin udu 2cos u C
xu
2cos x C.
d(ax b)
dxn
万 能
凑
1 xn
dxn
幂 法
dsin x
(5) f (cos x)sin xdx
dcos x
(6)
f
(ln
x)
1dx x
f
(ln
x)d (ln
x)
1
(7)
f
(tan
x)
cos2
dx x
f
(tan
x)d (tan
x)
(8)
f
(cot
x)
1 sin2
u ( x )
F[( x)] C.
实际解题时,常常省略上述过程中的第三与第四等号.
二、常见的一些凑微分形式
常见的一些凑微分形式:
(1)
f (ax b)dx
1 a
(2) f (xn )xn1 dx 1 n
(3)
f
(xn )1 x
dx
1 n
(4) f (sin x)cos xdx
三、第一换元积分法习例
例1计算 sin x xdx.
例3
计算
x(1
1 2
ln
dx. x)
例5 计算
1 a2 x2dx.
例7
计算
x2
1
a2dx.
例9 计算
(1
1 x2
x 1
)e xdx.
例2
计算
3
1 2
dx. x
例4
计算
(1
x x)3
dx.
例6 计算
1 dx.
[
f
(u)du]u
(
x
)
F[( x)] C.
注意:
(1)第一换元法关键是适当选取u ( x)来凑微分.
(2)第一换元法的过程是:
g( x)dx f [( x)]( x)dx f [( x)]d( x)
u ( x )
f (u)du F(u) C
一、第一换元积分法
首先看复合函数的导数公式 : 设可微函数 y F(u), u (x) 可构成区间 I 上的
可微的复合函数 y F((x)), 则
(F((x))) F((x))(x),
它的微分形式为
d(F((x))) F((x))(x)d x
记 F(u) f (u), 则
高等数学A
第3章 一元函数积分学
3.1 不定积分
3.1.4 不定积分的换元积分法
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
3.1 不定积分
第一换元积分法 常见的一些凑微分形式
3.1.4 换元积分法 第一换元积分法应用习例1-17
换
元
积
分 法
基本积分表2
第二换元积分法 第二换元积分法应用习例18-20
小结与思考题
3.1.4 不定积分的换元法
利用积分性质和简单的积分表可以求出 不少函数的原函数, 但实际上遇到的积分凭 这些方法是不能完全解决的.
现在介绍与复合函数求导法则相对应的 积分方法 —— 不定积分换元法. 它是在积分 运算过程中进行适当的变量代换, 将原来的 积分化为对新的变量的积分, 而后者的积分 是比较容易积出的.
dx x
f
(cot
x)d (cot
x)
(9) f (arcsin x)
1 1
x2
dx
f
(arcsin
x)d (arcsin
x)
(10)
f
(arctan
x)
1
1 x2
dx
f
(arctan
x)d (arctan
x)
(11) f (ex ) exdx f (ex )dex
[ (1
1 x)2
(1
1 x)3
]d (1
x)
1
1
x
2(1
1
x)2
C.
例5 计算
1 a2 x2dx.
解
a2
1
x 2 dx
1 a2
1
1
x a2
2 dx
想到公式
1
d
u u
2
arctan u C
1 a
1
1
x a
2
d
a2 x2
1
例8 计算 1 e xdx.
例10 计算
例11
计算
1
1 cos
x
dx.
例12 计算 sin2 x cos5 xdx.
例13 计算 cos 3x cos 2xdx. 例14 计算 csc xdx.
例15 计算
1 4 x2 arcsin xdx.
2
例16 计算
原式变形为 cos 2xdx
1 令u 2 x
1
2 cos udu 2 sin u C
1 sin 2x C. 2
f ((x))(x) d x
第一换元法(凑微分法)
定理1 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)]( x)dx
原函数?
被积表达式?
d(F((x))) f ((x))(x)d x f (u)du,
也是被积表达式?
积分形式不变性
引理 若 f ( x)dx F ( x) C, 则 f (u)du F (u) C,其中u ( x)可微.
例如 cos 2xdx sin 2x C,