一换元积分法二常用的定积分公式及应用教学内容
常用积分换元公式换元积分法的公式
常用积分换元公式换元积分法的公式积分换元法是求解积分的一种重要方法，通过引入合适的变量替换的方式，将原积分转化为更容易求解的形式。
下面是一些常用的积分换元公式和换元积分法：1.换元公式(1)第一类换元公式：设函数u=u(x)具有一阶连续导数，则有如下公式：∫f(u)du = ∫f(u(x))u'(x)dx(2)第二类换元公式：设函数x=x(u)可导，且反函数存在，则有如下公式：∫f(x)dx = ∫f(x(u))x'(u)du(3)第三类换元公式：设函数x=x(t)，y=y(t)可导，且满足y=y(x)，则有如下公式：∫f(x,y)dx = ∫f(x(t),y(t))x'(t)dt2.常见换元积分法(1)坐标换元法：根据问题中给定的坐标关系，选择适当的新坐标，从而简化积分的计算。
常见的坐标换元法包括：极坐标、柱坐标、球坐标等。
(2) 幂次换元法：对于形如∫f(x)(ax+b)^n dx的积分，可以引入变量u=ax+b进行代换，从而将积分转化为幂函数的积分。
(3) 三角换元法：对于形如∫f(x)sin(ax+b) dx或∫f(x)cos(ax+b) dx的积分，可以引入变量u=ax+b进行代换，从而将积分转化为三角函数的积分。
(4) 指数换元法：对于形如∫f(x)e^x dx的积分，可以引入变量u=e^x进行代换，从而将积分转化为指数函数的积分。
(5) 对数换元法：对于形如∫f(x)/x dx的积分，可以引入变量u=ln，x，进行代换，从而将积分转化为对数函数的积分。
(6) 倒代换法：对于形如∫f(g(x))dg(x)的积分，可以引入变量u=g(x)进行代换，然后将dg(x)用du表示，从而将积分转化为对u的积分。
(7) Weierstrass换元法：对于形如∫R(x,√(ax^2+bx+c)) dx的积分，可以引入变量u=√(ax^2+bx+c)+px+q进行代换，然后将积分转化为对u的积分。
常用积分换元公式
第一类换元积分法
部分常用的凑微分公式：
（1）
1
()
dx d ax b
a
=+（2）1
1
()
1
n n
x dx d x
n
+
=
+
（3
d
=（4）
2
11
()
dx d
x x
=-
（5）1
(ln)
dx d x
x
=（6）()
x x
e dx d e
=
（7）cos(sin)
xdx d x
=（8）sin(cos)
xdx d x
=-
常用的凑微分公式
第二类换元积分法
1.当被积函数中含有
1)sin
x a t
=或cos
x a t
=；
2)tan
x a t
=；
3)sec
x a t
=.
通过三角代换化掉根式。
但是，去掉被积函数根号并不一定要采用三角代换，
22
ch sh1
t t
-=，采用双曲代换sh
x a t
=或ch
x a t
=消去根式，所得结果一致。
所以应根据被积函数的具体情况尽量选取简单的方法对根式进行有理化代换。
2.当有理分式函数中分母的阶数较高时，可采用倒代换
1
x
t
=.
3.类型f dx
⎰：可令t=；类型f dx
⎰：可令t=（第四节内容）
4.类型()x
f a dx
⎰：可令x
t a
=.
适合用分部积分法求解的被积函数。
第二节 第一换元积分法
通过问题驱
动的方式引
导学生主动
进行课堂小
结，在总结
锻炼学生总
结归纳能
力。
课 堂练 习（20 分
钟）
与学生共同形成课堂小结：
分钟）
分的性质进行简单的凑微分计 计 算 例 题 中
算
的各类不定
积分，并总
例 1：求不定积分 ���2���
结其中出现
例 2：求不定积分
的一些数学
3
计算方法，
x 2e x dx
如 恒 等 变
形，巧妙配
例 3：求不定积分
方换元，三
e x
角函数公式
x dx
的应用等。
根据基本积
分表和不定
积分的性质
进行简单的
2. 第一换元积分法的概念（20 分钟）
教学内容
3. 第一换元积分法的例题讲解（40 分钟）
4. 第一换元积分法的课堂练习（20 分钟）
5 .课堂小结（5 分钟）
重点难点
重点：第一换元积分法；
难点：会用第一换元积分法求函数的不定积分。
课前预习
课前任务
教师活动
布置学习任务，
为讲授新课做准
备，并达到预习
知识的效果。
任务 1：复习不定
积分的概念及求
简单不定积分的
方法。
任务 2 ：预习第
一还原积分法，
尝试理解其思想
1.发布课前学习任务
2. 观察统计学生完成情况，并
根据学生都得留言反馈对教学
进行针对性微调
课中学习
学生活动
信息化手段计
按照教师发
利用学习通发布学习
布要求，完
任务，并形成数据统
第二节换元积分法
1
1 x
2
dx
,
本题目标向
1
1 x2
dx
转化，怎么转化呢？
10:57
27
解
dx
a2 x2
dx
a 2[1
x2 a2
]
1 a2
dx
1
x2 a2
1 a2
dx
1
x
2
a
d x
1 a
a
1
x
2
a
1 arctan x C.
a
a
10:57
28
例 求 dx (a 0). a2 x2
解
dx
= -2 cos x + C
10:57
11
x 2x2 1dx 1 2x2 1d(2x2 1)
4
1
(2x2
1
1)2 d(2x2
1)
1 (2x2
3
1)2
C
4
6
xe x2dx 1 e x2d(- x2 ) 1 ex2 C
2
2
12
凑微分法3：f (ae x b)e xdx
arcsin2 x 1 x2
1 arcsin2 x d arcsinx
arcsin 2 xd arcsin x arcsin1 x C 1 C
a rcs i nx
a
rcs i n x x
x
2
dx
arcsin x(1
x x)
dx
arcs i n x 1
x x
dx
2
arcsin x 1 ( x )2
(1 - cos 2 x)dcos x
cosx 1 cos3 x C 3
定积分的换元积分法和分部积分法
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返回
例2 计算
x
ln 8
ln 3
1 e x dx .
ln(t2
2 td t - 1) ， dx 2 . t 1
解 令 1 e t, 则 x =
x ln3 ln8 t 2 3
于是
3
ln 8
ln 3
1 e x dx 2
3 1 2t 2 dt dt 22 1 2 2 t 1 t 1
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例13 解
计算
1
0
(arcsinx )3dx.
先换元，再分部积分.
x 0 1 令 arcsinx = t， = sin t， dx = cos tdt， 则 x ， t 0 2 1
0 2 0
于是
(arcsinx )3dx 2 t 3 cos tdt .
2 0
e 2 [e x cos x ]02 e x sin xdx
2 0
e 2 1 2 e x sin xdx
移项，解得
上一页
1 e x sin xdx (e 2 1) 2
下一页
0
返回
e x dx. 例10 计算 0
1
解 先换元，后分部积分.
1
解 令 x t，则 x = t2 ，dx = 2tdt，
于是
1 2t dx 0 1 x 0 1 t dt
x 0 1 ， t 0 1
1
1 2 1 dt 0 1 t
1
2t ln | 1 t | 0 2 2 ln 2.
3.4定积分的计算(二)、应用
简证： F ( x )是 f ( x )的一个原函数，则 设
b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
又 F ( ( t )) f ( (t )) (t )
( t )dt F ( ( t )) F ( ( )) F ( ( )) f ( ( t ))
3,
1
令 若作如下运算： x t , 2xdx dt , dx
2
1 2 t
dt ,
于是
2
1
x dx 1
2
4
1 tdt 1 4 tdt t 3 2 t 2 1
2
3 4 2 1
7 . 3
这显然是错误的，原因在于 x t不是单值的.
3.4.3 定积分的分部积分法
a a
0 f ( x )dx a 2 0 f ( x )dx
当 f ( x ) 为奇函数 当 f ( x ) 为偶函数
例4 解
计算
I
2 x 2
2
4 x 2 dx.
x 2 2
2 2 2
4 x 2 dx
2 2
x 4 x dx 2
a
udv vdu
b b a a
b
a
udv uv vdu 分部积分公式
a a
b
b
例5 解
计算
2
1
x ln xdx .
2
1
1 2 x ln xdx ln xd ( x 2 ) 2 1
1 2 1 2 2 1 x ln x x dx 2 2 1 x 1
定积分换元积分法的不同换元方法
一、定积分的换元积分法概述定积分的换元积分法是计算定积分的一种重要方法，其主要思想是通过变量替换的方式将原积分转化为一个更容易求解的形式。
这种方法在解决复杂的定积分问题时具有较大的实用价值，因此对于不同的换元方法的掌握和熟练应用显得尤为重要。
二、常见的换元方法在定积分的换元积分法中，常见的换元方法包括但不限于以下几种：1. 第一类换元法：直接代入法直接代入法是指直接将被积函数中的某一个部分用一个变量表示并进行代入的方法。
通常适用于被积函数较简单的情况，能够将原积分转化为一个更容易处理的形式。
2. 第二类换元法：三角代换法三角代换法是指通过选取合适的三角函数来进行变量替换，将原积分转化为三角函数的积分形式。
这种方法通常适用于出现平方根和平方项时的情形，通过选择合适的三角函数可以使原积分变得更加简单。
3. 第三类换元法：指数代换法指数代换法是指通过选取适当的指数函数进行变量替换，将原积分转化为指数函数的积分形式。
这种方法通常适用于出现指数函数和对数函数时的情形，能够将原积分化为更容易处理的形式。
4. 第四类换元法：倒代换法倒代换法是指通过选取合适的变量倒数进行变量替换，将原积分从一个区间转化为另一个区间或者将原积分中的除法项转化为乘法项。
这种方法通常适用于变量之间的换元关系为倒数关系的情形，能够简化原积分的形式。
三、不同换元方法的选用原则在实际应用中，选择合适的换元方法是十分重要的。
一般而言，可以根据以下原则进行选择：1. 根据被积函数的形式选择当被积函数具有特定的形式时，可以根据不同的形式选择对应的换元方法。
如当被积函数中出现三角函数时，可以考虑使用三角代换法；当被积函数中出现指数函数时，可以考虑使用指数代换法。
2. 根据逆变换的便捷性选择在选择换元方法时，通常也要考虑逆变换的便捷性。
换元后新的积分形式是否容易转化回原来的变量，这将影响到最终的计算复杂程度。
3. 根据积分区间的选择当积分区间发生变化时，可以考虑使用倒代换法将原积分转化为更便于处理的形式，从而简化计算过程。
定积分的积分法
例3 计算 解
∫
1
0
ln(1 + x ) dx . 2 (2 + x )
∫0
1
1 ln(1 + x ) 1 dx = − ∫0 ln(1 + x )d 2 (2 + x ) 2+ x
1
1 1 ln(1 + x ) = − + ∫0 2 + x d ln(1 + x ) 2 + x 0
第三节 定积分的积分法
一、定积分的换元积分法 二、定积分的分部积分法
一、定积分的换元法
定理 假设
上连续； （1 ） f ( x ) 在[a , b]上连续； （2 ）函数 x = ϕ (t ) 在[α , β ]上是单值的且有连续 导数； 导数；
上变化时， （3 ） 当 t 在区间[α , β ]上变化时 ， x = ϕ (t ) 的值 上变化， 在[a , b]上变化，且ϕ (α ) = a 、ϕ ( β ) = b ，
则 有 ∫a f ( x )dx = ∫α f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )dt .
b
β
应用换元公式时应注意: 应用换元公式时应注意
用 （1） x = ϕ (t ) 把变量 x 换成新变量t 时，积分限也 ） 相应的改变. 相应的改变
（2） ） 求出 f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )的一个原函数Φ (t ) 后，不
1 ln 2 1 1 1 1 dx +∫ ⋅ =− − 0 2+ x 1+ x 3 1+ x 2 + x ln 2 5 1 =− + [ln(1 + x ) − ln( 2 + x )]0 = ln 2 − ln 3. 3 3
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例2 计算 02sin2xco4sxdx.
解法1. 02sin2xco4sxdx022sinxco5sxdx
换元： tco x，s d tsixndx
换限： x0， t 1
x ， t0
2
原式＝
0
1
2t5dt
216t6
0
1
1 3
.
解法2. 02sin2xco4sxdx022sinxco5sxdx
0 aftd t0 afx d x a 0fx dx
a a T f x d a 0 x f x d 0 T x f x d T a x T f x dx
a 0 fx d x 0 Tfx d x a 0 fx dx
T
0
f
xdx
3.若 fx在 0，1 上连续，则
0 2fsixn d x0 2fco xd sx………⑤
二、常用的定积分公式及应用
1.设 fx 在 a,a上连续，则
a afx d x 0 afx fx dx………①
（1）若 fx为偶函数，fx f x ，
a fxdx 2afxdx
a
0
………②
（2）若 fx为奇函数， fx f x ，
a
a
fxdx0
………③
证 0 afx dx x x a ,t t,a d ;x x 0 d ,t t 0 a 0 f tdt
20 2co 5xsd co x s 2 1 6co 6x s 0 21 3
例3
计算 0
sixnsi3nxdx.
解 0 sx i s n 3 i x d n 0 x sx ic n 2 x o ds x
0 sixncoxsdx
2 0
sixc nx od s xsix n co x dsx
0 tfsitn dt
0 fstid n t0 tfstid nt
0 fsx id n x 0 xs fx id nx
所以 0 xs f ixn d x 20 fsixn dx
5.例题
例5 计算2coxsx5si4nx1dx. 2
解 2coxsx5si4nx1dx 2
2 2x5c 奇 oxs函 i4n xd数 x 2 2偶 cox函 sdx数
解 被积函数 ecotssi2nt是以2为周期的连
元法），换元的同时必须换限。在计算 2 0
cos2tdt
时，我们采用了凑微分法，没有写出新变量，
所以没有换限.
补充：由定积分的几何意义知，该积分值等
于由 y 1x2 ，直线y 0 ,x 0 ,x 1 所
围图形的面积（见右图）.
面积值为圆面积的 1 . 4
y
y 1 x2
1
0
1x2dx
4
-1
o
1x
第三节 定积分的换元积分
一、换元积分法 二、常用的定积分公式及应用
一、换元积分法
1.定理 设函数 fx在 a,b上连续；函数 t在 ,（或 ,）上有连续导数； 当 t在 t在 ,（或 ,）上变化时， x在a,b上变化，且 a，b，
则有
a bfx d x fttdt
上式叫做定积分的换元公式.
证 设 G xfx，xt
a 0
f
tdt0a
f
xdx
a afx d x 0 afx d x 0 afx dx
0 afxd x0 afxdx
0 afxfxdx
2.设 fx是以 T为周期的连续函数，则
a aTfxd x0 Tfxdx ………④
证
T a T fx dx x T x ,t t0 ;T x , d a T d x ,t t a 0 aft T dt
020 2co xsd2 xsixn 0 22
例6 计算 1 x2 dx .
11 ex
解
设
f x x2
1ex
,则
f x x2
1ex
fxfxx2 x2 x2
1 e x 1 ex
利用定积分公式①得
111 xe 2xd x0 1x2d x1 3x31 01 3
例7 计算 x2ecotssi2ntd.t x
计算
1
0
1x2dx
解 换元： xsitn ， d xco td ；st
换限： x0， t0 ，
x1， t ， 2
1
0
1 x2d x 0 2
1 s2 itn ctodst
2
0
cos2
tdt
12021co2stdt
1 20 2d t0 2co2ts1 2d2t
12t
12sin2t02
4
注 第一步是采用的换元（不定积分第二类换
1e 1ln 2
2解 fx111x1,x10,
ex1,x10,
1 x
,x
1,
e , x1 x 1
0 2 fx 1 d 0 1 x fx 1 d 1 2 x fx 1 dx
1ex1dx 21dx
0
1x
01ex1dx1121xdx
ex 11 0ln x1 211 eln 2
证
0 2fsixn dxx x0 ,t2 t;,d x x ,d tt0 2 0f si 2 nt dt 22
0 2fco tds t0 2fco xdsx
4.若 fx在 0，1 上连续，则
0 xs fixn d x 20 fsixn dx ………⑥
证
0
xfsinxdx t 0 tfsi n td
d dG ttddG xxd dx t G x t
fxt f t t
fttd tG t
G G G b G a
a b fx d x G x b a G b G a
则 a bfxd x fttdt
2.说明
(1)定积分的换元公式中，用 xt把原变
量 x换成新变量 t时（这如同不定积分第二类
换元），积分限也要换成相应于新变量 t 的积 分限，但 t的对应值可能不唯一，只要任取一
换元过程为 tx（这如同不定积分第一类 换元），且 a, b;若此换元
过程是采用的凑微分法，没有写出新变量 t ，
则不必换元，即
f x x d x f x d x
3.例题
.例1
2
2 0
sixd nsixn
sixd nsixn
2
32sin23x02
32sin23x
4 3
2
例4
设
f
x
11
, x
x
0,
ex, x 0,
求
2
0
f
x1dx
解 0 2fx 1 dt xx 1 1 1ftdt 0 1fxd x0 1fxdx 01exdx01x11dx
e x0 1 ln 1 x 1 0