§4.2 换元积分法(第二类换元法)
B1-4.2换元积分法(第2类换元法)
(
)
• 原变量回代 所谓原变量回代就是从代换函数 x =( t ),t It 解
出相应的反函数并代入求得的积分结果中。
对三角代换，可通过辅助三角形确定相应反函数。 本例，由代换 x = ( t )= asin t，可作出辅助三角形：
由此写出相应反函数及相关三角函数。 t = ( x ) = arcsin x , a a cos t = a 2 − x 2 .
由复合函数微分关系式逆转可得积分关系式
f ( x)d x
x = ( t )
f ( t ) ( t ) d t .
将此关系式看成是积分转换式，其意义可理解为： 若右端积分∫ f[( t )] ( t )d t 易于积出，则可由其求出左端的
积分 ∫ f( x )d x .
此时有
=a
x 2 − a 2 d x = tan t a sec t tan t d t = a tan 2 t d t sec t x
= a ( sec 2 t − 1 ) d t = a ( tan t − t ) + C 1
x 2 − a 2 - a arccos a + C 1 . x
例. 求
), , 解: 令 x = a tan t , t ( − 则 2 2
x 2 + a 2 = a 2 tan 2 t + a 2 = a sec t
dx = a sec t d t a sec 2 t d t = sec t d t ∴ 原式 = a sec t = ln sec t + tan t + C1
−1 (t = + (C t )] )d t( tx=) −1 ( x ) t= [ft[]
高等数学-4_2换元法
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x
(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )
tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
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例7. （1）
sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x
(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x
1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1
1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )
4.2 换元积分法
解：
(1)
a2
1
x2
dx
1 a
1 a2
1
1(ax1)21da(xax22)dx
1 a
arctan
x a
C
用类似的方法还可以求得
1 a2
x2
dx
arcsin
x a
C．
4.2.1 第一换元积分法 4.第一换元积分法的常见类型
例4
求不定积分 (2)
dx a2 x2
4.2.1 第一换元积分法 2.第一换元积分法
计算过程
f
[ ( x)] ( x)dx
凑微分
f
[ ( x)]d ( x)
令 ( x)u
积分
回代
f (u)du F (u) C F ((x)) C
利用复合函数求导公式，可以验证以上公式的正确性．
用这种方法的计算程序是：先“凑”微分式，再作变量置换。 我们将这类求不定积分的方法称为第一类换元积分法，也称凑微 分法。
4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例1 求下列不定积分
(1)
dx x 1
解： 令 x 1 u 则 dx du，于是
dx x 1
du u
ln u C
同理可得:
(2)
dx 1 x
ln
1
x
C
(3)
dx 1 x
2
1 x C
再将u x 1 代回，得
(2)
ln x x
dx
解：
(2)
4.2_换元积分法
x x
dx 3
t2
t
3
2tdt
2
t2 3 dt 2 t3 6t C 3
再将t x 3代回整理得
x dx 2 x3 3
3
x3 6 x3C
补充例：求
1 dx
ex 1
解: 令 ex 1 t 则x ln(1 t 2 )
dx
2t 1 t2
dt , 于 是
1 dx
ex 1
Fu C
Fx C
由此可得换元法定理P103定理4.3
P103定理4.3 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
g( x)dx 化为 f [( x)]( x)dx.
2
2
xex2dx 1 ex2 x2 dx（直接凑微分） 2
1 ex2dx 2
2
1 2
eudu
堂上练习 P108-习题4.2----4、5、6、
4、
2x 1 x2 dx
1 1 x2
1 x2
dx
1
1 x2
d1
x
2
ln
1
x
2
C
5、 x x2 5dx 1 2
x2
1 t
2t 1 t2
dt
2
1 1 t 2 dt
2arctant C
2arctan ex 1 C
课堂练习： 求
x 1dx . x
解 : 令 x 1 t,则x 1 t 2 , dx 2tdt;于是有
x-1 dx. 2 x
t2 1 t 2 dt
第二类换元积分法
例2 求
6
1 dx. 2 3 x x
5 dx 6 u du, 解 令 xu 2 1 1 u 5 dx 6 u du 6 du 3 4 2 3 u u x x 1 u
u2 1 1 1 6 du 6 u 1 du 1 u 1 u 1 2 6( u u ln | 1 u |) C 2
3.4
第二类换元积分法
• 一、第二类换元积分法
• 二、例题分类讲解
第二元积分法 思考：求
1 dx 1 x
该不定积分不能直接积分，也不属于常见的凑 微分法的类型。 该积分矛盾在于被积函数含有根式，为了去掉根 号，我们可以做变量代换，令
xt
第二换元积分法 思考：求 解 令 所以
1 dx 1 x
x t2
xt 则
dx 2tdt
1 2t (1 t ) 1 去根号 dx dt 2 dt 1 x 1 t 1 t 1 2 (1 )dt 2( t ln 1 t ) C 1 t
上述用的变量代换求积分的方法就是变量置换法。
变量置换法也称为第二换元法
解
令 x u， x u2 (u 0) dx 2udu 1 2u ( u 1) 1 1 x dx 1 udu 2 1 u du 1 2[ (1 )du] 2( u ln 1 u ) C 1 u
回代
2( x ln 1 x ) C
回代
3 3 x 6 6 x 6 ln | 1 6 x | C
阅读课本例2. 课堂练习：课后习题（1）（2）
2. 被积函数含有根式 a x 或 x a
§4.2 换元积分法(第二类换元法)
§4。
2 换元积分法（第二类)Ⅰ授课题目（章节)：§4。
2 换元积分法 （第二类换元积分法） Ⅱ教学目的与要求:1。
了解第二类换元法的基本思想2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 Ⅲ教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换 难点：积分后的结果进行反代换 Ⅳ讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分()g x dx ⎰时,如果函数g (x ）可以化为[()]()f x x ϕϕ'的形式,那么()()[()]()[()]()()u x g x dx f x x dx f x d x f u du ϕϕϕϕϕ='==⎰⎰⎰⎰()F u C =+[()]F x C ϕ=+所以第一换元积分法体现了“凑”的思想。
把被积函数凑出形如[()]()f x x ϕϕ'函数来。
对于某些函数第一换元积分法无能为力,例如⎰-dx x a 22.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。
第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换)(t x ψ=将无理函数()f x 的积分()f x dx ⎰化为有理式[()]()f t t ψψ'的积分[()]()f t t dt ψψ'⎰。
即()[()]()f x dx f t t dt ψψ'=⎰⎰若上面的等式右端的被积函数[()]()f t t ψψ'有原函数()t Φ，则[()]()()f t t dt t C ψψ'=Φ+⎰，然后再把()t Φ中的t 还原成1()x ψ-，所以需要一开始的变量代换)(t x ψ=有反函数。
定理2 设)(t x ψ=是单调、可导的函数，且0)(≠ψ't ，又设)()]([t t f ψ'ψ有原函数()t Φ,则⎰⎰+ψΦ=+Φ=ψ'ψ=-C x C t dt t t f dx x f )]([)()()]([)(1分析 要证明1()[()]f x dx x C ψ-=Φ+⎰，只要证明1[()]x ψ-Φ的导数为()f x ，1[()]d d dt x dx dt dx ψ-ΦΦ=⋅ ， ?dt dx=证明 )(t x ψ= 单调、可导,∴()x t ψ=存在反函数)(1x t -=ψ，且)(11t dtdx dx dt ψ'== 11[()][()]()()()d d dt x f t t f x dx dt dx t ψψψψ-Φ'Φ=⋅==' )]([1x -ψΦ∴是)(x f 是一个原函数⎰+ψΦ=-C x dx x f )]([)(1.第二换元法,常用于如下基本类型 类型1：被积函数中含有22x a -(0>a ）,可令t a x sin =（并约定(,)22t ππ∈-)则t a x a cos 22=-，tdx a dx cos =，可将原积分化作三角有理函数的积分.例1 求⎰-dx x a 22)0(>a解 令t a x sin = ，(,)22t ππ∈-,则t a x a cos 22=-tdt a dx cos = 22cos cos a x dx a ta tdt ∴-=⎰⎰22211(cos 2)sin 22224a a a t dt t t C =+=++⎰22222sin cos arcsin 2222a a a x x t t t C a x C a =++=+-+. 借助下面的辅助三角形把sin t ，cos t 用x 表示.例2 求⎰-dx xx 224解 令t x sin 2=,(,)22t ππ∈-,则t x cos 242=-，tdt dx cos 2=2224sin 1cos22cos =42cos 24t t tdt dt t x-∴=⋅-⎰⎰ =(22cos2)2sin 2t dt t t C -=-+⎰222sin cos 2arcsin 422x xt t t C x C =-+=--+类型2:被积函数中含有)0(22>+a x a 可令 t a x tan = 并约定(,)22t ππ∈-，则t a x a sec 22=+；tdt a dx 2sec =；可将原积分化为三角有理函数的积分。
换元积分法和分部积分法
对于含有根式的函数的 积分，原则上是设法去 掉根式。
有些含有根式的函数的 积分，直接令根式为新 变量 即可将问题转化为一般 的不含根式的函数的积 分。
补充例题11 计算
解:
1 6
dx . 3 x x
xx ,
1 2
3
xx ,
1 3
它们的指数部分的 分母的最小公倍数 为6 .
令 t x , t 0,
则 x t , d x 6 t d t, 故
6 5
t 3 1 1 dx 6 t3 dt d t 6 3 t 1 x x t 1
1 6 ( t t 1 )dt t 1
2
2 t 3 3 t 2 6 t 6 ln | t 1 | C 2 x 33 x 66 x 6 ln( 6 x 1) C .
第二类换元法常见类型:
(1)
(2)
f ( x , n ax b ) dx , 令
a x b n ( x , c x d ) dx ,
f
令 或
第 三 节 讲
(3) (4) (5)
f ( x , a 2 x 2 ) dx , 令 f ( x , a 2 x 2 ) dx , 令 f ( x , x 2 a 2 ) dx , 令
求
f (tan x)sec 2 xdx
补充例题4
1 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
自主学习课本P141例4.2.6、例4.2.7、例4.2.8
例4.2.9 求
tan xdx 和 cot xdx
．
解: cot xdx cos x dx 1 d sin x = ln sinx + C sin x sin x
第二类换元法
令u =
ex
−1,
则
d
x
=
1
2u + u2
d
u
∫ = 2x ex −1− 4
u22+u12 − 1+ u2
1
d
u
− 4(u − arctan u) + C
= 2x ex −1 − 4 ex −1 + 4arctan ex −1 + C
方法2 (先换元,再分部)
令 u=
ex
−1,
则
x
=
ln(1 +
u2),
积分得: uv = ∫ u′vdx + ∫ uv′dx ∫ uv′dx = uv − ∫ u′v dx 分部积分公式
或 ∫uv′dx =∫udv = uv − ∫ vdu
选取 u 及 v′(或dv) 的原则: 1) v’ 容易积，u求导简单 ;
2) ∫ u′v dx 比 ∫ u v′ dx 容易计算 .
2
2
∫ 2. 求 I =
dx . 4x2 + 9
解:
I
=
1 2
∫
d (2x) = 1 ln 2x + (2x)2 + 32 2
4x2 + 9 + C
∫ 3. ∫ x2
1 dx x3 +1
=1 3
1 d (x3 +1) x3 +1
= 2 x3 +1+ C 3
∫ 4.
∫
2x + 3 dx 1+ 2x+ a2 = a2 tan2 t + a2 = a sect
dx = a sec2 t d t
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§4.2 换元积分法（第二类）Ⅰ 授课题目（章节）：§4.2 换元积分法 （第二类换元积分法） Ⅱ 教学目的与要求：1.了解第二类换元法的基本思想2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 Ⅲ 教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换 难点：积分后的结果进行反代换 Ⅳ 讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分()g x dx ⎰时, 如果函数g (x )可以化为[()]()f x x ϕϕ'的形式, 那么()()[()]()[()]()()u x g x dx f x x dx f x d x f u du ϕϕϕϕϕ='==⎰⎰⎰⎰()F u C =+[()]F x C ϕ=+所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如[()]()f x x ϕϕ'函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如⎰-dx x a 22.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。
第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换)(t x ψ=将无理函数()f x 的积分()f x dx ⎰化为有理式[()]()f t t ψψ'的积分[()]()f t t dt ψψ'⎰。
即()[()]()f x dx f t t dt ψψ'=⎰⎰若上面的等式右端的被积函数[()]()f t t ψψ'有原函数()t Φ，则[()]()()f t t dt t C ψψ'=Φ+⎰,然后再把()t Φ中的t 还原成1()x ψ-，所以需要一开始的变量代换)(t x ψ=有反函数。
定理2 设)(t x ψ=是单调、可导的函数，且0)(≠ψ't ，又设)()]([t t f ψ'ψ有原函数()t Φ，则⎰⎰+ψΦ=+Φ=ψ'ψ=-C x C t dt t t f dx x f )]([)()()]([)(1分析 要证明1()[()]f x dx x C ψ-=Φ+⎰，只要证明1[()]x ψ-Φ的导数为()f x ，1[()]d d dt x dx dt dx ψ-ΦΦ=⋅ ， ?dtdx= 证明 )(t x ψ= 单调、可导，∴()x t ψ=存在反函数)(1x t -=ψ，且)(11t dtdx dx dt ψ'== 11[()][()]()()()d d dt x f t t f x dx dt dx t ψψψψ-Φ'Φ=⋅==' )]([1x -ψΦ∴是)(x f 是一个原函数⎰+ψΦ=-C x dx x f )]([)(1.第二换元法，常用于如下基本类型类型1：被积函数中含有22x a -（0>a ）,可令t a x sin =（并约定(,)22t ππ∈-）则t a x a cos 22=-，tdx a dx cos =，可将原积分化作三角有理函数的积分.例1 求 ⎰-dx x a 22)0(>a解 令t a x sin = ，(,)22t ππ∈-，则t a x a cos 22=- tdt a dx cos =cos cos a ta tdt ∴=⎰22211(cos 2)sin 22224a a a t dt t t C =+=++⎰222sin cos arcsin 222a a a x t t t C C a =++=+. 借助下面的辅助三角形把sin t ，cos t 用x 表示.例2求⎰-dx xx22 4解令tx sin2=，(,)22tππ∈-，则tx cos242=-，tdtdx cos2=2224sin1cos22cos=42cos24t tdx tdt dttx-∴=⋅-⎰⎰⎰=(22cos2)2sin2t dt t t C-=-+⎰222sin cos2arcsin422x xt t t C x C=-+=--+类型2：被积函数中含有)0(22>+axa可令tax tan=并约定(,)22tππ∈-，则taxa sec22=+；tdtadx2sec=；可将原积分化为三角有理函数的积分.例3求⎰+22axdx)0(>a解令tax tan=，)2,2(ππ-∈t，则22secx a a t+=，2secdx a tdt=22sec tdtx a∴=+⎰⎰ln sec tant t C=++22221ln lnx a xC x x a Ca a+=++=+++.例4求⎰+224xxdx解 令t x tan 2=，)2,2(ππ-∈t ，则242sec x t +=，tdt dx 2sec 2=22222sec 4tan 2sec 4t dt t t xx ∴=⋅+⎰⎰1cos 22sin 2cos 1sec 14tan 4t t tt dt dt t ==⎰⎰2221cos 111114sin 4sin 4sin 4sin 4t x dt d t C C t t t +===-⋅+=-⋅+⎰⎰ 例5求⎰+22)9(x dx（分母是二次质因式的平方） 解 令t x tan 3=，则t x 22sec 99=+， tdt dx 2sec 3=222243sec 1cos (9)81sec 27dx t dt tdt x t ==+⎰⎰⎰111(1cos 2)cos 2cos 2254545454254t t t dt tdt td t =+=+=+⨯⎰⎰⎰ 11sin 2sin cos 542545454t t t t t C =+=++⨯ 2113arctan 543549x x C x =+⋅++练习： 求221(25)dx x x -+⎰（第二换元积分法分）解 22222])1(2[)52(-+=+-x x x ，令t x tan 21=- )2,2(ππ-∈t 则222442sec 11(1cos 2)sin cos (25)2sec 161616dx t t dt t dt t t C x x t ==+=++-+⎰⎰⎰21111arctan 162825x x C x x --=+⋅+-+ 类型3 被积分函数中含有22a x - )0(>a ，当a x ≥时，可令t a x sec =，并约定(0,)2t π∈，则t a a x tan 22=-，sec tan dx a t tdt =，当a x -≤时，可令x u -=，则a u ≥，可将原积分化为三角有理函数的积分。
例6 求⎰-22ax dx)0(>a解 被积函数的定义域为),(),(+∞--∞a a ， 当(,)x a ∈+∞时，令t a x sec =，)2,0(π∈t ，则t a a x tan 22=-，tdt t a dx tan sec =有22sec tan sec tan a t tdt tdt a tx a==-⎰⎰⎰22ln(sec tan )ln(x x a t t C C a -=++=++221ln(x x a C =-+.当(,)x a ∈-∞-时，令x u =-，则),(+∞∈a u 有2222112222ln()ln(u u a C x x a C x au a=-=--+=--+-+--2211222222()()x a C C x x ax x a x x a -=+=-+--+----2222211ln()(ln )x x a C x x a C a ---=+=--+- 222ln()x x a C =--+),(),(+∞--∞∈∴a a x 时，C a x x a x dx +-+=-⎰2222ln例7 求⎰-122x xdx解 ),1(+∞∈x 时，令t x sec =,)2,0(π∈t 则t x tan 12=-,tdt t dx tan sec =，有C xx C t tdt dt t t t t x xdx+-=+===-⎰⎰⎰1sin cos tan sec tan sec 12222，)1,(-∞∈x 时，令x u -=，则),1(+∞∈u 有C xx C u u u u du x xdx+-=+--=--=-⎰⎰1111222222∴无论1-<x 或1>x 均有C xx x xdx +-=-⎰11222注意：(1)以上三种三角代换，目的是将无理式的不定积分化为三角有理函数的不定积分(2)在利用第二类换元积分法时将积分的结果还原为x 的函数时，常常用到同角三角函数的关系，一种较简单和直接的方法是作“辅助三角形”(3)在既可用第一换元法也可用第二换元法的时候，用第一换元法就使计算更为简洁.例8 求⎰-22ax x dx)0(>a解法一（用第一换元法）a x >时C x a a xax a d a xa xdx a x x dx +=--=-=-⎰⎰⎰arccos 1)(1)(11222222， a x -<时，令x u -=则a u >C xa a C u a a a u u du a x xdx +-=+=----⎰⎰arccos 1arccos 1)(2222＝ 两式合并C xaa a x x dx+=-⎰arccos 122解法二 （第二换元法）（1）当a x >时，sec x a t =,)2,0(π∈ttan a t =,sec tan dx a t tdt =sec tan sec tan a t t dt a ta t =⎰111arccos t adt C C a a a x==+=+⎰.（2）当a x -<时，令x u -===11arccos arccos a aC C a u a x =+=+- 由(1)(2)两种情况可得C xaa a x x dx +=-⎰arccos 122 Ⅴ 归纳总结1、第二类换元积分法的思想若()f x dx ⎰中的被积函数()f x 为无理函数，可以选择适当的变量代换)(t x ψ=，将无理函数()f x 的积分()f x dx ⎰化为有理式的积分[()]()f t t dt ψψ'⎰.1()()[()]()()[()]x t f x dx f t t dt t C x C ψψψψ-='=Φ+=Φ+⎰⎰2、第二类换元积分法适用的被积函数类型类型1：被积函数中含有22x a -（0>a ）,可令t a x sin =（并约定(,)22t ππ∈-）则t a x a cos 22=-；tdx a dx cos =可将原积分化作三角有理函数的积分.类型2：被积函数中含有)0(22>+a x a 可令 t a x tan = 并约定(,)22t ππ∈-，则t a x a sec 22=+；tdt a dx 2sec = ；可将原积分化为三角有理函数的积分.类型3 被积分函数中含有22a x - )0(>a ，当a x ≥时，可令t a x sec =，并约定(0,)2t π∈，则t a a x tan 22=-，sec tan dx a t tdt =，当a x -≤时，可令x u -=，则a u ≥，可将原积分化为三角有理函数的积分。