换元法在不定积分和定积分中的联系与区别
积分的定积分与不定积分
积分的定积分与不定积分积分是微积分中的重要概念之一，用于求解曲线下面积、函数的平均值、变化率等问题。
在积分中，我们常常会遇到定积分和不定积分两种形式。
本文将从定义、性质、计算方法等方面介绍定积分和不定积分的基本知识。
一、定积分的定义与性质定积分是对函数在给定区间上的积分，它的定义如下：设函数f(x)在区间[a, b]上有界，将[a, b]分成n个小区间，其中第i 个小区间为[x_(i-1), x_i]，对于任意一个小区间，取其左端点上的函数值f(x_(i-1))作为近似值，求所有小区间上的近似求和，然后令n趋向于无穷大，即可得到定积分的值。
定积分的性质如下：1. 定积分的值和积分的区间有关，即[a, b]上的积分与[b, a]上的积分相差一个负号，表示积分的方向。
2. 一个区间上的定积分可以分割成多个子区间的积分之和，即[a, b]上的积分等于[a, c]上的积分加上[c, b]上的积分。
3. 函数的常数倍不影响定积分的值，即k∫f(x)dx = ∫(k*f(x))dx。
4. 定积分有加法原理，即∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx。
二、不定积分的定义与性质不定积分是求解函数的原函数的过程，它的定义如下：设函数f(x)在区间I上有原函数F(x)，则F(x)+C称为f(x)在I上的不定积分，其中C为任意常数。
不定积分的性质如下：1. 函数的不定积分是原函数的集合，因为对于任意一个原函数F(x)，都有F(x)+C是f(x)的不定积分，其中C为任意常数。
2. 不定积分具有线性性质，即∫(af(x)+bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx，其中a、b为常数。
3. 不定积分有积分微分的逆运算性质，即函数f(x)在[a, b]上可积的充分必要条件是它在[a, b]上有连续的原函数。
三、定积分与不定积分的关系在计算上，定积分和不定积分是相互联系的。
下面是一些常见的关系：1. 定积分可以通过不定积分来求解，即∫(a, b)f(x)dx = F(x)∣_(a, b) = F(b) - F(a)，其中F(x)为f(x)的一个原函数。
不定积分与定积分换元法
dx x + x4 + 1
1 1 令 x = ， dx = − dt . 于是 则 t t2
I=∫ dx x + x4 + 1 = −∫ 1 ( + 4 + 1 )t 2 t t dt 1
= −∫
dt t + t2 +1
= −I
因为 I = − I ，
所以 I = 0 .
这个结论显然是错误的，但是问题发生在哪里？ 这个结论显然是错误的，但是问题发生在哪里？
对于积分 ∫ f ( x )dx 进行换元 x = ϕ ( t ) ，
求出 ∫ f (ϕ ( t ))ϕ ′( t )dt = G ( t ) + c 之后， 必须用反函数 t = ϕ −1 ( x ) 回代 ,
1 . ∫ f ( x )dx = G (ϕ − ( x )) + c 才能得出最后结果
这个例题说明： 这个例题说明：
利用换元法 x = ϕ (t ) 计算定积分时 ，
必须注意新变量 t 的变化范围 , 明确 t 和 x 的取值对应关系 .
这一不仅关系到积分上下限的确定， 这一不仅关系到积分上下限的确定， 还可能涉及到被积函数的形式的确定． 还可能涉及到被积函数的形式的确定．
关于两个换元积分法的小结
积分换元法
不定积分换元法 定积分换元法 联系与区别 实例分析
定理１ （不定积分换元法） 定理１:（不定积分换元法）
假设 f ( x ) 连续 ， 单调，连续， 函数 x−1 ( x ) . 如果 ∫ f (ϕ ( t ))ϕ ′( t )dt = G ( t ) + c , 则有
2 2 a
( a > 0)
详细分析不定积分换元法和定积分换元法的异同. 详细分析不定积分换元法和定积分换元法的异同 计算两种积分都需要作换元 x = a sin t dx = a cos tdt (1)两者的第一个区别是： (1)两者的第一个区别是： 两者的第一个区别是
定积分典型习题
第六章 定积分第一节 定积分的概念思考题：1. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1）⎰-x x d 11, （2）⎰--x x R R R d 22, （3）⎰x x d cos 02π, （4）⎰-x x d 11.解：若[]⎰≥∈x x f x f b a x ab d )(,0)(,,则时在几何上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围成平面图形的面积. 若[]b a x ,∈时，⎰≤x x f x f ab d )(,0)(则在几何上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围平面图形面积的负值.（1）由下图（1）所示，0)(d 1111=+-=⎰-A A x x .（2）由上图（2）所示，2πd 2222R A x x R R R==-⎰-.（3）由上图（3）所示，0)()(d cos 5353543π20=--++=+-+=⎰A A A AA A A x x .( 2)( 1 )( 3 )(4)（4）由上图（4）所示，1112122d 611=⋅⋅⋅==⎰-A x x . 2. 若当b x a ≤≤，有)()(x g x f ≤，下面两个式子是否均成立，为什么？（1）x x g x x f ba b a d )(d )(⎰≤⎰, （2）x x g x x f d )(d )(⎰≤⎰.答：由定积分的比较性质知（1）式成立，而不定积分的结果表示一族函数，x x f d )(⎰与x x g d )(⎰不能比较大小，故（2）式不成立.3. n 个数的算术平均值与连续函数在闭区间上的平均值有何区别与联系？答：二者均反映了多个数的平均值大小，后者是前者的推广，但n 个数的算术平均值是有限个数的平均值，而连续函数在闭区间上的平均值反映的是无限个数的平均值，前者计算公式是∑=ni i a n 11,后者计算公式是⎰-b a x x f a b d )(1.习作题：1. 用定积分的定义计算定积分⎰bax c d ,其中c 为一定常数.解：任取分点b x x x x a n =<<<<= 210,把],[b a 分成n 个小区间],[1i i x x -)2,1(n i =，小区间长度记为∆i=i x -1-i x )2,1(n i =,在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点i ξ作乘积i i x f ∆⋅)(ξ的和式：∑∑==--=-⋅=∆⋅n i ni i iiia b c x xc x f 111)()()(ξ,记}{max 1i n i x ∆=≤≤λ, 则)()(lim )(lim d 0a b c a b c x f x c ni i i b a-=-=∆⋅=∑⎰=→→λλξ.2. 利用定积分的估值公式，估计定积分⎰-+-1134)524(x x x d 的值.解：先求524)(34+-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由0616)(23=-='x x x f , 得0=x 或83=x . 比较 7)1(,102427)83(,5)0(,11)1(=-===-f f f f 的大小，知 11,102427max min =-=f f ，由定积分的估值公式，得[])1(1d )524()]1(1[max 1134min --⋅≤+-≤--⋅⎰-f x x x f ,即 22d )524(512271134≤+-≤-⎰-x x x . 3. 求函数21)(x x f -=在闭[-1，1]上的平均值.解：平均值⎰-=⋅⋅=---=11224π21π21d 1)1(11x x μ.4. 利用定积分的定义证明⎰-=b aa b x d .证明：令1)(=x f ,则⎰⎰=b ab a x x f x d )(d ，任取分点10x x a <=…b x n =<,把[]b a ,分成n 个小区间[]i i x x ,1-，并记小区间长度为),2,1(1n i x x x i i i ⋅⋅⋅⋅=-=∆-，在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点i ξ，作乘积⋅)(i f ξi x ∆的和式a b x x f n i ni i i i -=∆=∆⋅∑∑==11)(ξ,记}{max 1i ni x ∆=≤≤λ, 则 a b a b x f x x ni i i ba -=-=∆⋅=→=→∑⎰)(lim )(lim d 01ξλ.第二节 微积分基本公式思考题：1. ='⎰)d sin (d d 1xt t t ?答：因为⎰x t t 1d sin 是以x 为自变量的函数，故⎰xt t t1d sin d d =0. 2. ?)d )((21='⎰x x f答：因为⎰21d )(x x f 是常数，故0)d )((21='⎰x x f .3.=⎰ba x x f xd )(d d ？ 答：因为⎰b ax x f d )(的结果中不含x ，故=⎰ba x x f xd )(d d 0. 4. =⎰xax t x d cos d d 2？ 答：由变上限定积分求导公式，知=⎰x ax t x d cos d d 22cos x .5.=⎰1d e d d 2xt t x ？ 答：=⎰1d e d d 2x t t x 22e )d e (d d 1x x t t x-=-⎰. 6. 若⎰=2d sin )(2x xt t x f ，则)(x f '=？答：)(x f '=242222sin sin 2sin )sin()(x x x x x x -=-'.7. 当)(x f 为积分区间],[b a 上的分段函数时，问如何计算定积分⎰b ax x f d )(？试举例说明.答：分段函数的定积分应采用定积分关于积分区间的分割性质，将⎰b ax x f d )(分解为部分区间上的定积分来计算.例如：若⎩⎨⎧<≤-≤≤=,01,,10,)(2x x x x x f 则x x f d )(11⎰-=x x d 01⎰-+x x f d )(11⎰-=1301232x x +-=61-.8. 对于定积分，凑微分法还能用吗？为什么？答：能用.因为定积分是通过被积函数的原函数来计算，而凑微分法所得原函数不须作变量置换.习作题：1. 计算下列定积分（1）⎰-20d |1|x x , （2）⎰-122d ||x x x , （3）⎰π20d |sin |x x .解：（1）⎰-20d |1|x x =⎰-1d )1(x x +⎰-21d )1(x x=212122)1(2)1(-+--x x =2121+=1.（2）⎰-122d ||x x x =⎰--023d )(x x +⎰103d x x=1402444x x +--=4+41741=. （3）⎰π20d |sin |x x =⎰π0d sin x x +⎰-π2πd )sin (x x=π2ππ0cos )cos (xx +-=2+2=4.2. 求极限x tt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→.解：此极限是“0”型未定型，由洛必达法则，得x tt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→=)πcos 1()d πsin (lim11'+'⎰→x t t xx =π1)π1(lim πsin ππsin lim11-=-=-→→x x x x3. 计算下列各题： （1）⎰10100d x x ， （2）⎰41d x x ， （3）⎰1d e x x , （4）x xd 10010⎰,（5）x x d sin 2π0⎰, （6）x x x d e 210⎰, （7）x x d )π2sin(2π0+⎰,（8）x x d )4π4cos(π+⎰, （9）x x x d 2ln e 1⎰, （10）⎰+102100d x x , （11）⎰4π02d cos tan x xx, （12）⎰10d sh x x , （13）⎰10d ch x x .解：（1）⎰10100d x x =101110110101=x .（2）⎰41d x x =314324123=x. （3）1e ed e 1010-==⎰xx x .（4）x xd 10010⎰=100ln 99100ln 10010=x .（5）1cos d sin 2π02π0=-=⎰x x x .（6）21e 2e )(d e 21d e 121010222-==⎰=⎰x x x x x x . （7）x x d )π2sin(2π0+⎰=)π2(d )π2sin(212π++⎰x x =2π0)π2cos(21+-x =1-. （8）x x d )4π4cos(π+⎰=)4π4d()4π4cos(4π0++⎰x x =π0)4π4sin(4+x =224-.(9)x x x d 2ln e 1⎰=)d(ln ln 21e 1x x ⎰=41ln 41e12=x .(10) ⎰+102100d x x=⎰+102)10(1d 1001x x =1010arctan 101x =101arctan 101.（11）⎰4π02d cos tan x x x =⎰4π0)tan d(tan x x =4π022)(tan x =21. （12）⎰⎰--=1010d 2e e d sh x x x x x =12e e xx -+=11ch 12e e 1-=-+-. （13）⎰10d ch x x =⎰-+10d 2e e x x x =12e e xx --=1sh 2e e 1=--.第三节 定积分的积分方法思考题：1. 下面的计算是否正确，请对所给积分写出正确结果：（1）x x x d cos cos 2π2π3⎰--=x x x d sin )(cos 2π2π21⎰-=)cos d()(cos 2π2π21x x ⎰--=0cos 322π2π23=--x .（2）⎰⎰---=-111122)sin d()(sin 1d 1t t x x=⎰-⋅11d cos cos t t t=⎰-112d )(cos t t =2⎰12d )(cos t t=22sin 211)2sin 21(d 22cos 11010+=+=+⎰t t t t . 答：（1）不正确，应该为：x x x x x x d sin )(cos 2d cos cos 212π2π2π3⎰⎰-=-=34cos 34)cos d()(cos 22π0232π021=-=-⎰x x x .（2）不正确，应该为：⎰⎰⎰---=-=-112π2π2π2π222d )(cos )sin d()(sin 1d 1t t t t x x=2=+=+=⎰⎰2π02π02π02)2sin 21(d 22cos 12d )(cos t t t t t t 2π.2. 定积分与不定积分的换元法有何区别与联系？答：定积分与不定积分的换元法的区别在于：不定积分换元积分后要作变量回代，定积分在换元时要同时变换积分限，而不用作变量回代. 联系在于：二者均要求置换的变元)(t x ϕ=单调可导，且选择变元)(t x ϕ=的规律相同.3. 利用定积分的几何意义，解释奇偶函数在对称区间上的积分所具有的规律. 答：如图, 设)(x f 在[]a ,0上满足)(x f ≥0，则⎰a x x f 0d )(表示由曲线)(x f y =，直线0=x ，a x =及x 轴所围图形的面积，不妨记为A ，则当)(x f 为偶函数时，⎰⎰==-aaa x x f A x x f 0d )(22d )((如下图(1)所示)，当)(x f 为奇函数时，0)(d )(=+-=⎰-A A x x f aa(如下图(2)所示).（1）习作题:1. 计算下列定积分:(1)x x d 16402⎰-, (2)⎰+12d 41x x .解：（1）令x =t sin 4, 则t t x t x d cos 4d ,cos 4162==-,当x = 0 时，t = 0 ; 当x = 4 时，2π=t ， 于是 x x d 16402⎰-=π4)2sin 48(d )2cos 1(8d cos 4cos 42π02π020=+=+=⋅⎰⎰t t t t t t t π.（2）⎰+102d 41x x =⎰+12)2d()2(1121x x =21arctan 212arctan 2110=x . 2. 计算下列定积分： （1）x x xd e )15(405⎰+, （2）x x d )12ln(e21⎰+,（3）x x xd πcos e10π⎰, （4）x x x x x d )e 3(1033⎰++.解：（1）x x xd e )15(405⎰+=5ed )15(540xx ⎰+=⎰+-+10515)15(d 5e )15(5e x x x x=5155e 5e 51e 6=--x.(2)x x d )12ln(e21⎰+=()())12ln d(12ln e21e21+-+⎰x x x xx x xd 1223ln )1e 4ln(e 2e21⎰+--+= --+=3ln )1e 4ln(e 2x x )d 1211(e 21⎰+---+=3ln )1e 4ln(e 2()e21)12ln 21(+-x x()1e 23ln 231e 4ln )21e 2(+--++=.(3) x x xd πcose 10π⎰=ππsin d e 10πx x ⎰x x x x πde ππsin πsin e π11010π⎰-= =0x x x d πsin e 10π⎰-=)ππcos d(e 10πx x--⎰ xx x x πde ππcos πcos e π11010π⎰-= =-+-)1e (π1πx x x d πcos e 10π⎰移项合并得x x x d πcos e 10π⎰)1e (π21π+-=. （4）x x x xxd )e 3(1033⎰++)e 313ln 34(d 3104xx x x ++=⎰ ⎰++-++=1034134d )e 313ln 34()e 313ln 34(x x x x xx x x=4514e 923ln 23ln 3)e 913ln 320(e 313ln 3413213253++-=++-++x x x .第四节 广义积分思考题:1. 下列解法是否正确？为什么？2ln 1ln 2ln ||ln d 12121=-==--⎰x x x .答：不正确.因为x1在[1-，2]上存在无穷间断点0=x ，⎰-21d 1x x 不能直接应用Leibniz Newton -公式计算，事实上，⎰-21d 1x x =⎰-01d 1x x +⎰20d 1x x =⎰--→+1110d 1lim εεx x +⎰+→2022d 1lim εεx x=[]1110)ln(lim εε--→-+x +[]222ln lim εεx +→=10ln lim 1εε+→+-2ln 202lim εε+→不存在,故⎰-21d 1x x 发散.2. 指出下面广义积分的计算错误:101)e 1(lim elim d e lim d e 0=-=-=-==-∞→-∞→-∞→∞⎰⎰b b bx b bxb xx x .答：本题计算错误在于0e lim =-∞→bb ，因为0e lim =-+∞→b b ，而-∞=--∞→b b e lim ，故bb -∞→elim 不存在，从而⎰∞0d e x x 发散.习作题：1. 研究广义积分⎰∞+02d 1x x 的敛散性. 解：⎰∞+02d 1x x =+∞=-=-+∞→→+∞+x x x x x 1lim 1lim )1(00,∴⎰∞+02d 1x x 发散. 2. 计算广义积分x x d )4(6032⎰--.解：x x d )4(6032⎰-- =x x d )4(6432⎰--+x x d )4(4032⎰--=)42(3430023)4(3)4(3333340316431+=--+-⋅=-+-x x .3. 计算广义积分x x d e 1100⎰∞+-.解：x xd e1100⎰∞+-=1001001100e 1001)100e (0100e --+∞-=--=-x .4. 计算广义积分⎰∞++02100d xx. 解： ⎰∞++02100d x x =20π10arctan 1010=+∞x .。
巧妙理解定积分疑难问题
疑难问题解析问题1 下列两个命题是否正确（1） 如果在)(x f [a ，b]上有原函数，那么在)(x f [a ，b]上可积； （2） 如果在)(x f [a ，b]上有可积，那么在)(x f [a ，b]上有原函数。
答： 这两个命题都不正确（1） 在[a ，b]上有原函数存在的函数)(x f 未必是可积的。
例如 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin )(22x x xx x F 在[-1,1]上处处有导数，⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=='.0,0,0,1cos 21sin 2)()(22x x xx x x x f x F 因此)(x f 在[-1,1]上有原函数)(x F ，但)(x f 在[-1,1]上无界，故)(x f 在[-1,1]上不可积。
（2） 在[a ，b]上可积的函数不一定存在的原函数例如符号函数 ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1sgn x x x x在区间[-1,1]上可积，因为它只有一个第一类间断点0=x ，但在某区间上具有第一类间断点的函数不存在原函数，从而sgnx 在[-1,1]上不可积。
问题2 在什么条件下，牛顿-莱布尼兹公式()()()baf x dx F b F a =-⎰成立？答：如果函数[]()f x 在a,b 上连续，则牛顿-莱布尼兹公式()()()baf x dx F b F a =-⎰成立，此公式也成为微积分基本定理，它把函数[]()f x 在a,b 上的定积分的计算转化为求()f x 的原函数在区间[]a,b 上的增量，使定积分的计算十分方便。
当连续条件不满足时，慎用该公式，比如函数1()[11]f x x=-在区间，上不连续，就不能用该公式。
当然，牛顿-莱布尼兹公式成立的条件还可以适当放宽，常见的有以下两个结论： 定理 设[]()f x 在a,b 上可积，且原函数()F x 存在，则()()()baf x dx F b F a =-⎰。
理学定积分的换元法
例
计算
1
0
1 x2 d x .
令 x sin t
解 先用不定积分求被积函数的一个原函数：
1
x2
dx
cos2
tdt
1 2
(1 cos 2 t)d t
t sin 2 t C 1 arcsin x 1 x 1 x2 C
24
2
2
由牛顿 ——莱布尼兹公式，得
1
0
1 x2 d x 1 arcsin x 1 x
0
3
解 f ( x) sin3 x sin5 x cos x sin x2
sin3 x sin5 xdx
cos
x
sin
x
3
2
dx
0
0
3
2 cos xsin x2 dx
0
cos
xsin
x
3
2
dx
3
2 sin x2 d sin x
0
2
sin
x
3
2
d
sin
x
2
sin
5
x 2
2
F (b) F (a) F[( )] F[( )]
(t) (t)
5
(t) (t)
说明:
1) 当 < , 即区间换为 [ , ]时，定理 1 仍成立 .
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
(t) (t)
b
a f ( x)d x
(令 x (t))
dx
x t
0( d t ) .
0
19
例 A.
cos105
两类“换元积分法”的联系与区别
(下转第49页)摘要不定积分是高等数学中的教学重点与难点，不定积分计算方法一般被分为换元积分法、直接积分法与分部积分法几种方式，其中，换元积分法又可以分为第一类换元法与第二类换元法两种，帮助学生掌握好第一类积分法与第二类积分法在归类上的联系与区别，能够有效提高学生应用积分法求解积分问题的能力，第一类积分法与第二类积分法最大的区别就是，第一类积分法不需要设置变量，可以通过凑微法和转化法进行计算，而在使用第二类积分法时，就必须要选择好变量进行替换。
关键词两类“换元积分法”联系区别On the Relationship and Distinction between Two Types of "Integration by Substitution"//Yang YanhuaAbstract Indefinite integral is a key and difficult point of higher mathematics,and the computing methods of indefinite integral are generally classified into integration by substitution,immediate integration and integration by parts,among which integration by substitution can be classified into the first type of substitution and the second type of substitution.To help students master the rela-tionship and distinction between the two types of substitution caneffectively improve students'ability of using integration methodsto solve integration problems.The biggest distinction between the two types of substitution is that variables are not needed in the former but improvising differentiation and conversion method can be used in the computing,while a certain variable must be se-lected to be substituted in the latter.Key words two types of "integration by substitution";relation-ship;distinction不定积分是高等数学中的教学重点与难点，此类知识也是学生学习重积分、定积分与微分方程等知识的学习技术。
定积分的换元法
例12 设 f ( x ) 连续
解
二、小结
定积分的换元法 几个特殊积分、定积分的几个等式
思考题
解令
思考题解答
计算中第二步是错误的.
正确解法是
练习题
练习题答案
由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的
例8 计算 解 原式
偶函数
奇函数
四分之一单位圆的面积
证 （1）设 （2）设
另证 将上式改写为
奇函数
例10 设 f(x) 是以L为周期的连续函数，证明
证明
与 a 的值无关
例11 设 f(x) 连续，常数 a > 0 证明
证明 比较等式两边的被积函数知，
先来看一个例子
例1
换元求不定积分 令
则
故
尝试一下直接换元求定积分
为去掉根号 令
则
当 x 从0连续地增加到4时，t 相 应地从1连续地增加到3
于是
由此可见，定积分也可以象不定积分一 样进行换元，所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量，而对定积分则只需将其上 、下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分，而不必回代原积分变量
将上例一般化就得到定积分的换元积分公式
一、换元公式
证
应用换元公式时应注意:
（1）
（2）
例2 计算 解1 由定积分的几何意义
o 等于圆周的第一象限部分的面积 解2
故
解3 令
解4 令 仍可得到上述结果
例3 计算 解令
注
定积分的换元积分公式也可以反过来使用
为方便计 将换元公式的左、右两边对调
同时把 x 换成 t ， t 换成 xFra bibliotek这说明可用
引入新变量
高等数学(第二版)上册课件：定积分的计算
0
2
例 5.4.4 计算下列积分.
(1)
2
sin3
xdx;
2
(2)
2
cos2
xdx.
2
分析 三角函数的平方或立方的积分,利用公式降次或变
形,变为已知积分计算.
解
(1)
2
sin3
xdx
2
sin 2
x sin
xdx
2
1 cos2 x dcosx
2
2
2
cosx1 Nhomakorabea3c
os3
x
2
e
ln xdx
1
e
e
e
1 2 1 2 2
e
e
例 5.4.7 设 f x 在 0,1 连续, 且
f
0 1,
f
2 3,
f 2 5,
求
1
0
xf
2
xdx
分析 观察题目,本题是抽象函数的积分,需要用到分部积分法.
解
1
0
xf
2 xdx
1 2
1
0
xdf
2x
1 2
xf
2x1 0
1
0
f
2xdx
因为
f 0 1, f 2 3, f 2 5
分析 连续函数为可积函数，因此被积函数的原函数存在，
可用N-L公式计算.
证明 假设 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，则
b
a f (x)dx F (b) F (a)
又由复合函数的求导法则知 (t) F ((t)) t ( , ) 是
f ((t))(t) 的一个原函数，所以
f ((t))(t)dt F(( )) F(( )) F(b) F(a)
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的任意一个原函数
下限的函数值取差值。
部分定积分的计算可以利用 ，再用原函数在定义域的上
例1 求
.
解 因为
即
有一个原函数
，所以
例 2 计算积分
.
解 由于
于是
2. 第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 2.1 不定积分中第二换元法的定理形式
定理 3 设 续，并且
连续，
及
都连续，
则
的反函数 ，
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区别：由不定积分中第二换元法的证明过程可知，不定积分中第二换元法要求变换Biblioteka 的反函数存在且连续， 并且
。而在定积分的第二换元法则不这样要求， 它
通过换元法写出关于新变量的被积函数与新变量 积分的计算最终需要对变量进行还原。
的积分上下限后可以直接求职，不像不定
例 3 用第二换元法求解
解令
，则
欢迎下载
3
—
，则
证明 令
.
，由于
在
构成的区间上连续，记
，
在
，则
得证。 1.3 第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别
区别：第一换元法在定积分中对未知量 域内一阶连续可导即可，对积分要求变弱。
给出了定义范围，要求换元函数
在该定义
—
联系： 不定积分的实质是求一个函数的原函数组成的集合，
不定积分的第一换元法求出简单函数
换元法在不定积分和定积分中的联系与区别
1. 第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 1.1 不定积分中第一换元法的定理形式
定理 1 若
，且
的原函数容易求出，记
， 则
.
证明 若
，令
，于是有
因而
得证。 1.2 定积分中第一换元法的定理形式
定理 2 若 连续，
在
上一阶连续可导，且
构成的区间上连续，其中
存在且连 （ 1） （ 2）
2
—
证明 将（ 2）式右端求导同时注意到（ 1）式，得
这便证明了（ 2）式。 2.2 定积分中第二换元法的定理形式
定理 4 设 在
连续，作代换
导数
，且
，则
，
，其中
在
构成的区间上有连续
证明 设 是 的一个原函数，则
是
的一个原函数。于是
，
定理得证。 2.3 第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别
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4