不定积分第2换元法
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高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法
解 令 t 1x2 x2t21,xdxtdt,
x5
1
x2
dx
(t2 1)2 tdt t
(t42t21)dt
1t52t3tC1(84x23x4)1x2C .
53
15
例5
求
1 dx.
1ex
解 令 t 1ex ext21,
x ln t2 1, dxt22t1dt,
1
a2(t1si2n t)C 22
a 2arx c 1 sxia 2 n x 2 C . 2 a2
ax t
a2x2
例2 求
1 dx (a0). x2a2
解 令 xatat,n t 2, 2 d x a s2 e td tc ,
1 dx x2 a2
1 ase2tcdt asetc
可由 a24b的符号确 . 定
a24b0, x21 a xbd x(xm 1)2ndx a24b0, x21 ax bdx (x1m)2dx a24b0, x21 a xbd x(xm 1 )x (n)dx
例5 求 taxn dx. 解 tanxdx csionxxsdx c1oxd s(cox)s
c1oxsd(co x)s lc nx o C s.
( 使用了三角函数恒等变形 )
ta x d x n lc n x o C s .
同理可得 cx o d x tls nx i n C .
例6 (1) 求 se x d x c. sx e d x c ls nx e tca x C n .
x5 1x2d x(s t)5 i1 n s2 itc n to d t s si5tn c2 o td ts
( 应用“凑微分”即可求出结果 )
不定积分的换元积分法
类似地，有
csc xdx ln csc x cot x C ．
21
应用第一类换元法的常见的积分类型如下：
1.
2. x
1 f (ax b)dx f (ax b)d(ax b) ； a
n 1
f (axn b)dx
1 f (axn b)d(axn b) ； na
这类求不定积分的方法，称为第二换元 法．
32
例11 解
dx 求 1 3 - x ．
设 t 3 x，则 x 3 t 2 ， dx 2tdt ．
dx 2t dt 2 1 t 1 dt 1 t 1 t 1 3 x 1 2 (1 )dt 1 t
8
例1 解 所以
求 sin 2 xdx ．
1 设 t 2 x ，则 dt 2dx ，即 dx dt ． 2
1 1 sin 2 xdx sin tdt cos t C ， 2 2
再将 t 2 x 代入，得
1 sin 2 xdx cos 2 x C ． 2
2
x 1 (9) cos xdx sin 2 x C 2 4
28
1 1 C (10) dx 2 2(2 x 3) (2 x 3)
(11)
x 1 ( x 2 2 x 3)
2 1 4
2 2 dx ( x 2 x 3) C 3
3 2 2
3 4
于是
利用复合函数求导公式，可以验证(4.3.1) 的正确性．
3
实际上，由 d F ( ( x)) C F ( x) ( x) dx f ( x) ( x) ， 可知公式(4.3.1)成立．利用公式(4.3.1)来计 算不定积分，就是第一换元法，亦称为凑微分 法．
csc xdx ln csc x cot x C ．
21
应用第一类换元法的常见的积分类型如下：
1.
2. x
1 f (ax b)dx f (ax b)d(ax b) ； a
n 1
f (axn b)dx
1 f (axn b)d(axn b) ； na
这类求不定积分的方法，称为第二换元 法．
32
例11 解
dx 求 1 3 - x ．
设 t 3 x，则 x 3 t 2 ， dx 2tdt ．
dx 2t dt 2 1 t 1 dt 1 t 1 t 1 3 x 1 2 (1 )dt 1 t
8
例1 解 所以
求 sin 2 xdx ．
1 设 t 2 x ，则 dt 2dx ，即 dx dt ． 2
1 1 sin 2 xdx sin tdt cos t C ， 2 2
再将 t 2 x 代入，得
1 sin 2 xdx cos 2 x C ． 2
2
x 1 (9) cos xdx sin 2 x C 2 4
28
1 1 C (10) dx 2 2(2 x 3) (2 x 3)
(11)
x 1 ( x 2 2 x 3)
2 1 4
2 2 dx ( x 2 x 3) C 3
3 2 2
3 4
于是
利用复合函数求导公式，可以验证(4.3.1) 的正确性．
3
实际上，由 d F ( ( x)) C F ( x) ( x) dx f ( x) ( x) ， 可知公式(4.3.1)成立．利用公式(4.3.1)来计 算不定积分，就是第一换元法，亦称为凑微分 法．
不定积分的第二类换元积分法
回 代
ln
x2 a2 x
a
a
C1
ln |xx2a2| C 1-ln a
ln|x x2a2|C
❖（2）根式代换(去根式)
例4
求
1 dx x(13 x)
解 令 xt6 (t 0),dx6t5dt
1 dx x(13 x)
6t5 dt t 3 (1 t 2 )
6t 2 1 t2
dt
6
t2 1-1 1t2 dt
2 x2-a2 atant.
d xasettcatn dt
ysexc
例1 求 a2-x2dx (a0)
解 令 xasitn dxaco tdtst - ,
2 2
a2 -x2dx a2-a2sin 2tacotsdt
a2co2stdt
a2
1co2stdt 2
辅助三角形
a2 1
(t sin2t)C
1 dx x4 1
t-3
t1-41-t12dt
- t3 dt -1 1 dt(41)
1 t 4
4 1t4
-1 1t4 C 2
x4 1 2x2
C.
13
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铃
（2）求
dx 4x2 9
解
dx
4x2 9
dx
(2x)2 32
1 d(2x) 2 (2x)2 32
1ln2x 4x29C 2
不定积分的第二类换元积分法
1
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铃
一、第二类换元法根本定理
❖定理2
设xj(t)是单调的、可导的函数, 并且j(t)0. 又设f [j(t)]j(t)具有原函数F(t), 则有换元公式
不定积分的算法
不定积分的算法
不定积分的算法：
一、积分公式法
直接利用积分公式求出不定积分。
二、换元积分法
换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。
1、第一类换元法（即凑微分法）
通过凑微分，最后依托于某个积分公式。
进而求得原不定积分。
2、注：第二类换元法的变换式必须可逆，并且在相应区间上是单调的。
第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。
当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。
常用的换元手段有两种：
（1）根式代换法。
（2）三角代换法。
在实际应用中，代换法最常见的是链式法则，而往往用此代替前面所说的换元。
三、分部积分法
设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。
移项得到udv=d(uv)-vdu，两边积分，得分部积分公式：∫udv=uv-∫vdu ⑴。
称公式⑴为分部积分公式。
如果积分∫vdu易于求出，则左端积分式随之得到。
分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u，v。
25-不定积分换元法
万能凑幂法
f(xn)xn1dx1n f(xn)dxn f (xn)1xdx1 n f(xn)x1ndxn
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法
(4) 巧妙换元或配元
思考与练习 1. 下列各题求积方法有何不同?
(1) dx d(4x) (2)
4 x 4x
(3)
x 4x2
(2)0 a2 1x2dx1aarctaaxnC
(2)1
1 x2a2
dx1 lnxa 2a xa
C
(2)2
1 dxarcsinx C
a2x2
a
(2)3
1 dxlnx ( x2a2)C
ln xex ln1xex C xlnxln 1xexC
分析:
1 xex(1 xex)
1xexx(e1xxxeexx)
1 xex
11xex
(x1)exdxxexdxexdxd(xex)
例15. 求 ff((xx))f(fx)3(fx2)(x)dx.
解: 原式 ff((xx))1ff(x 2)(fx()x)dx
x2a2
a2 C
x2 a2
例12 . 求 co4sxdx.
解: c4 ox s(c2x o )2s(1cos2x)2 2
1 4(1 2 c2 o x s c2 o 2 x )s
1 4 (1 2 c2 o x 1 s c 24 o x )s
1 4 (2 3 2 c2 o x s 1 2 c4 o x )s
例8. 求 sec6xdx.
解: 原式 = (t2 a x n 1 )2dstae 2 nxxd c x
(t4 a x 2 n ta 2x n 1 )d ta xn
1 tan5 x 2 tan3 x taxn C
不定积分的换元积分法4.2
f [j ( t )] j ( t )dt
．
最后将t =j1(x)代入f [j(t)]j(t) 的原函数中．
第二类换元法用于求特殊类型的不定积分．
例 21 例18
求
a
2
x
2
d x (a > 0 )．
x
2
a t
a x
2 2
解
设 x a sin t ，
a x
a
2
< t<
2 2
ln | x
x a
2
2
| C
．
三、积分公式小结
(1 ) kdx kx C ,
( 2 ) x dx
m
(k是常数)，
x
m 1
1
m 1
C,
(m 1)，
(3)
(4)
(5 )
1 x
dx ln | x | C ,
1 dx arctan x C ,
例 23 例21
求
dx x
2
x
2
(a > 0 )．
a
解 那么
当 x> a 时 ， 设 x a se c t (0 < t<
x a
2 2
2
t
)，
sec
2
a
t 1
a sec
2
2
ta
2
a
a tan t ， 于是
dx x a
2 2
2
a sec t tan t a tan t
2
1 3
sin
3
第二类换元法
第四章
不定积分 不定积分的第二类换元法
定理 设
是单调可导函数, 且
具有原函数, 则有换元公式
其中 t 1( x)是 x (t)的反函数.
证 设 f [ (t)] (t)的原函数为(t), 令F ( x) [ 1( x)]
则
F ( x)
d dt d t dx
f [ (t)] (t)
1((tt))
a
0
f
(t)d t
a
0
f (x)dx
a
0 [ f ( x) f (x)]dx
令 x t
当 f ( x) f ( x)时
当 f ( x) f ( x)时
暨南大学珠海学院苏保河主讲
例4 填空
2
sin 5x cos 7 x d x
2
0.
例5 填空
d dx
x
0
sin100
(
x
t)
d
t
_s_in__10_0_x__
2. 常用基本积分公式的补充 (P203)
暨南大学珠海学院苏保河主讲
例6
求
xd x d x. 3x2 4
解
原式
1 6
d(3 x 2 3x2
4) 4
1 3
3x2 4 C.
例7 求
解
I
1 2
d (2x) 1 ln 2x (2x)2 32 2
4x2 9 C.
暨南大学珠海学院苏保河主讲
x
a
时,
t
2
.
y
∴
原式 = a2
2 cos2 t d t
0
y a2 x2
a2 2
2 0
(1
不定积分 不定积分的第二类换元法
定理 设
是单调可导函数, 且
具有原函数, 则有换元公式
其中 t 1( x)是 x (t)的反函数.
证 设 f [ (t)] (t)的原函数为(t), 令F ( x) [ 1( x)]
则
F ( x)
d dt d t dx
f [ (t)] (t)
1((tt))
a
0
f
(t)d t
a
0
f (x)dx
a
0 [ f ( x) f (x)]dx
令 x t
当 f ( x) f ( x)时
当 f ( x) f ( x)时
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例4 填空
2
sin 5x cos 7 x d x
2
0.
例5 填空
d dx
x
0
sin100
(
x
t)
d
t
_s_in__10_0_x__
2. 常用基本积分公式的补充 (P203)
暨南大学珠海学院苏保河主讲
例6
求
xd x d x. 3x2 4
解
原式
1 6
d(3 x 2 3x2
4) 4
1 3
3x2 4 C.
例7 求
解
I
1 2
d (2x) 1 ln 2x (2x)2 32 2
4x2 9 C.
暨南大学珠海学院苏保河主讲
x
a
时,
t
2
.
y
∴
原式 = a2
2 cos2 t d t
0
y a2 x2
a2 2
2 0
(1
第2讲不定积分的换元积分法
∫
arctan x d x = ∫ 2v d v x (1 + x)
= v2 + C
换元法可以连续使用
= (arctan u ) 2 + C = (arctan x ) 2 + C .
二、 不定积分的第二换元法
第一换元法中
∫
f (ϕ ( x))ϕ ′( x) d x = ∫ f (u ) d u 是被积表达式
ϕ ( J ) ⊂ I , 则在区间 J 上有
∫ f (ϕ ( x))ϕ ′( x) d x = ∫ f (u ) d u
= F (u ) + C = F (ϕ ( x)) + C.
证明过程 请看书!
该定理称为不定积分的第一换元法,也叫“凑微分”法。
例1 解
求 ∫ sin 3 x cos x d x .
2
π
π
∫
dx a sec 2 t d t =∫ 2 2 a sec t x +a
= ∫ sec t d t
x2 + a2
t
x a
= ln | sec t + tan t | +C1
= ln | x + x 2 + a 2 | + C .
( C = C1 − ln a )
一般说来，含有
a 2 − x 2、 x 2 ± a 2 的表达式的积分，
=∫
(tan x + sec x)′ dx tan x + sec x
= ln | tan x + sec x | +C .
此题若按下面方式做，则有 cos x d x cos x d x du ∫ sec x d x = ∫ cos 2 x = ∫ 1 − sin 2 x = ∫ 1 − u 2 1 u +1 1 sin x + 1 = L = ln + C = ln +C 2 u −1 2 sin x − 1
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2011-3-30
不定积分的计算
例12
化分母为一个变量 x +1= t , x = t −1
解： I 2
分项
=
∫
( t − 1) 3 dt 100 t
− 99
x3 , 求 I2 = ∫ dx 100 (x +1)
=
∫ (t
− 97
− 3t
− 98
+ 3t
−t
− 100
) dt
积分
1 − 96 3 − 97 3 − 98 1 − 99 = − t + t − t + t +C 96 97 98 99 代回 1 3 3 − 96 − 97 − 98 = − ( x + 1) + ( x + 1) − ( x + 1) 96 97 98 1 + 2011-3-30+ 1) − 99 + C (x 99
a + x , x − a 的某些不定 积分，可以分别作三角 换元： x = a sin t , x = a tan t , x = a sec t 函数或指数函数后积出 。
(或 x = a sinh t , 或 x = a cosh t ), 将它们化成有理
2011-3-30
2 不定积分的计算 + c )可配方成 结论5：对于被积函数为 f ( ax + bx
类似可得，当 x ∈ ( −∞ , − a ) 时： 1 a I2 = arccos + C ( x ∈ ( a , +∞ )) a x 2011-3-30
第二换元法例( 第二换元法例(续1)
不定积分的计算
计算：I3 = ∫ a + x dx
2 2
例9
解：I3 ====== a ∫ cosh 2 ttdt e Sh = 2 2
∫
a2 − x2 dx , 4 x
计算： I 1 =
a
x
解：当 0 < x < a ,
t
I 1 ======== 2 2 1 = 2 a
x = a sin t , dx = a cos tdt a − x = a cos t
∫
a 2 cos 2 t dt 4 4 a sin t
a2 − x2
2 2 cost = a − x / a tan t = x / a 2 − x 2
2011-3-30
− 代回t =arcsin x21
不定积分的计算
例11
求积分
I =
∫
dx x x
2
− a
2
(a > 0)
1 1 解：当 a < x < +∞ 时，令 x = , t ∈ ( 0 , ) t a 凑微分 dt 1 d ( at ) I = −∫ = − ∫ 2 2 a 1 − ( at ) 1 − ( at )
不定积分的计算
பைடு நூலகம்例12
解法 1
dx 求 I3 = ∫ 1+ ex
dt 分项 dt dt 解： I 3 = ∫ = ∫ −∫ 1 + e x = t t ( t − 1) t −1 t = ln( t − 1) − ln t + C = x − ln(1 + e ) + C
x 回代
1+ e − e e dx I3 = ∫ 1 + e x dx = ∫ dx − ∫ 1 + e x 凑微分，分项 x d ( e + 1) x = x−∫ = x − ln( e + 1) + C x e +1
例9
dx 不定积分的计算, 计算：I 2 = ∫ x x2 − a2
a < x < +∞ , 代换 x = aSect x 2 − a 2 = atgt
第二换元法例( 第二换元法例(续1)
解： I 2 ==========
整理
∫
a sec t ⋅ tan tdt a sec t ⋅ a tan t
2 2
代换x=a sinht
x +a =a cosht
整理
a 2t −2t x x +a = (e + e + 2)dt =2 ⋅ ∫ a a 4 2 积分 a 2 e2t − e−2t a = + 2t + C = sinh2t + 2t + C 4 4 2
2 2
2
− e −2 t (e t ) 2 − (e − t ) 2 = 2 2 et − e−t et + e−t =2 ⋅ = 2 Sht ⋅ Cht 2 2
计算： I =
整理
∫
ax + b；
k为 n , m 的最小公倍数。
x=t 6 3
x−
x
dx
1 t 5 解： I 3 = ∫ 3 6t dt = 6 ∫ dt 2 t =6 x t −t t −1 积分 t3 − 1 + 1 dt 2 = 6∫ dt = 6 ∫ (t + t + 1) dt + 6 ∫ t −1 t −1 3 2 = 2t + 3t + 6t + 6 ln | t − 1 | + C
2t
代回 t = ln( x + x 2 + a 2 )
2011-3-30
x 2 2 a2 2 2 ========= x + a + ln(x + x + a ) + C sinh 2 t = ( 见右图 ) 2 2
不定积分的计算
结论 4：对于含有根式
2 2 2 2
a −x ,
2 2
去根号。
对于√￣￣可以 对于√￣￣可以 用直角三角形中 勾股弦关系代换： 勾股弦关系代换：
( 3) 积分
= G (t ) + C
=1 G[ϕ ′( x)] + C −
( x)
2011-3-30
第二换元法例
不定积分的计算
x +1 sin x 计算： = ∫ 3 I1 dx, I2 = ∫ dx, 3x +1 x
例8
积分 1 1 1 4 5 2 解： 1 = I 3 ∫ (t + 2t)dt = 3 (5 t + t ) + C x=(t −1) / 3 3 t =3 3x+1 1 5 2 1 = (3x +1) 3 + (3x +1) 3 + C 15 3
当∫ g (t ) dt比 ∫ f ( x ) dx较难计算时，用第一换 元法： ∵ ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ,∴ 据上式可得： ⇒ ∫ g (t ) dt = F [ϕ ( x )] + C
当∫ f ( x ) dx比 ∫ g (t ) dt较难计算时，用第二换 元法： ∵ ∫ g (t ) dt = G (t ) + C ,∴ 据上式可得： ⇒ ∫ f ( x ) dx = G[ϕ −1 ( x )] + C , (其中， ϕ −1 ( x )是x = ϕ (t )的反函数 ) 2011-3-30
不定积分的计算
第二节
不定积分的
计算方法
2011-3-30
不定积分的计算
2. 第二换元 法：令x=x(t),将x换为t,结果再换回x 将 结果再换回
当∫ f ( x)dx的原函数难以计算而 ∫ f [ϕ (t )]ϕ ′(t ) dt
定 理
的原函数易求时，我们 有下面定理：
x = ϕ (t )
I
，
不为
代回 1 1 a = − arcsin at + C = − arcsin + C t =1 / x a a x 2011-3-30 积分
不定积分的计算
1 a 注1：这一结果与例 9中 I 2的结果 ( arccos + C )不同， a x 请同学们想一想，为什 么？ 注2 注 2：以上代换叫做倒代换 。
代回 t= x
= 2 x + 33 x + 6 6 x + 6 ln | 6 x − 1 | + C 6
2011-3-30
第二换元法例( ：在含有无理式的积分中，基本的解题思路 第二换元法例(续1) 在含有无理式的积分中，基本的解题思路是：有理化无理式， 分析： 解题思路是： 分析
例9
不定积分的计算 即：去根号。对于√￣￣可以用直角三角形中勾股弦关系代换： 。对于√￣￣可以用直角三角形中勾股弦关系代换：
x
x2 − a2
====== =====
t = arccos 代回
1 a
∫
1 dt = t + C a a + C x
t
a
sin t = x 2 − a 2 / x cot = a / x tan t = x 2 − a 2 / a
a x
1 arccos a
( x ∈ ( a , +∞ ))
sin t = x / a
积分 sec 2 t 1 1 ∫ tan 4 t dt = − a 2 3 tan 3 t + C 2 2 3/2 代回 (a − x ) ====== 2 − + C ( 见上图 ) 2 3 tan t = x / a 2 − x 3a x 2 2 3/2 (a − x ) 类似可得： I 1 = − + C (− a < x < 0) 2 3 2011-3-30 3a x
2011-3-30
不定积分的计算
不定积分的计算
例12
化分母为一个变量 x +1= t , x = t −1
解： I 2
分项
=
∫
( t − 1) 3 dt 100 t
− 99
x3 , 求 I2 = ∫ dx 100 (x +1)
=
∫ (t
− 97
− 3t
− 98
+ 3t
−t
− 100
) dt
积分
1 − 96 3 − 97 3 − 98 1 − 99 = − t + t − t + t +C 96 97 98 99 代回 1 3 3 − 96 − 97 − 98 = − ( x + 1) + ( x + 1) − ( x + 1) 96 97 98 1 + 2011-3-30+ 1) − 99 + C (x 99
a + x , x − a 的某些不定 积分，可以分别作三角 换元： x = a sin t , x = a tan t , x = a sec t 函数或指数函数后积出 。
(或 x = a sinh t , 或 x = a cosh t ), 将它们化成有理
2011-3-30
2 不定积分的计算 + c )可配方成 结论5：对于被积函数为 f ( ax + bx
类似可得，当 x ∈ ( −∞ , − a ) 时： 1 a I2 = arccos + C ( x ∈ ( a , +∞ )) a x 2011-3-30
第二换元法例( 第二换元法例(续1)
不定积分的计算
计算：I3 = ∫ a + x dx
2 2
例9
解：I3 ====== a ∫ cosh 2 ttdt e Sh = 2 2
∫
a2 − x2 dx , 4 x
计算： I 1 =
a
x
解：当 0 < x < a ,
t
I 1 ======== 2 2 1 = 2 a
x = a sin t , dx = a cos tdt a − x = a cos t
∫
a 2 cos 2 t dt 4 4 a sin t
a2 − x2
2 2 cost = a − x / a tan t = x / a 2 − x 2
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− 代回t =arcsin x21
不定积分的计算
例11
求积分
I =
∫
dx x x
2
− a
2
(a > 0)
1 1 解：当 a < x < +∞ 时，令 x = , t ∈ ( 0 , ) t a 凑微分 dt 1 d ( at ) I = −∫ = − ∫ 2 2 a 1 − ( at ) 1 − ( at )
不定积分的计算
பைடு நூலகம்例12
解法 1
dx 求 I3 = ∫ 1+ ex
dt 分项 dt dt 解： I 3 = ∫ = ∫ −∫ 1 + e x = t t ( t − 1) t −1 t = ln( t − 1) − ln t + C = x − ln(1 + e ) + C
x 回代
1+ e − e e dx I3 = ∫ 1 + e x dx = ∫ dx − ∫ 1 + e x 凑微分，分项 x d ( e + 1) x = x−∫ = x − ln( e + 1) + C x e +1
例9
dx 不定积分的计算, 计算：I 2 = ∫ x x2 − a2
a < x < +∞ , 代换 x = aSect x 2 − a 2 = atgt
第二换元法例( 第二换元法例(续1)
解： I 2 ==========
整理
∫
a sec t ⋅ tan tdt a sec t ⋅ a tan t
2 2
代换x=a sinht
x +a =a cosht
整理
a 2t −2t x x +a = (e + e + 2)dt =2 ⋅ ∫ a a 4 2 积分 a 2 e2t − e−2t a = + 2t + C = sinh2t + 2t + C 4 4 2
2 2
2
− e −2 t (e t ) 2 − (e − t ) 2 = 2 2 et − e−t et + e−t =2 ⋅ = 2 Sht ⋅ Cht 2 2
计算： I =
整理
∫
ax + b；
k为 n , m 的最小公倍数。
x=t 6 3
x−
x
dx
1 t 5 解： I 3 = ∫ 3 6t dt = 6 ∫ dt 2 t =6 x t −t t −1 积分 t3 − 1 + 1 dt 2 = 6∫ dt = 6 ∫ (t + t + 1) dt + 6 ∫ t −1 t −1 3 2 = 2t + 3t + 6t + 6 ln | t − 1 | + C
2t
代回 t = ln( x + x 2 + a 2 )
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x 2 2 a2 2 2 ========= x + a + ln(x + x + a ) + C sinh 2 t = ( 见右图 ) 2 2
不定积分的计算
结论 4：对于含有根式
2 2 2 2
a −x ,
2 2
去根号。
对于√￣￣可以 对于√￣￣可以 用直角三角形中 勾股弦关系代换： 勾股弦关系代换：
( 3) 积分
= G (t ) + C
=1 G[ϕ ′( x)] + C −
( x)
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第二换元法例
不定积分的计算
x +1 sin x 计算： = ∫ 3 I1 dx, I2 = ∫ dx, 3x +1 x
例8
积分 1 1 1 4 5 2 解： 1 = I 3 ∫ (t + 2t)dt = 3 (5 t + t ) + C x=(t −1) / 3 3 t =3 3x+1 1 5 2 1 = (3x +1) 3 + (3x +1) 3 + C 15 3
当∫ g (t ) dt比 ∫ f ( x ) dx较难计算时，用第一换 元法： ∵ ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ,∴ 据上式可得： ⇒ ∫ g (t ) dt = F [ϕ ( x )] + C
当∫ f ( x ) dx比 ∫ g (t ) dt较难计算时，用第二换 元法： ∵ ∫ g (t ) dt = G (t ) + C ,∴ 据上式可得： ⇒ ∫ f ( x ) dx = G[ϕ −1 ( x )] + C , (其中， ϕ −1 ( x )是x = ϕ (t )的反函数 ) 2011-3-30
不定积分的计算
第二节
不定积分的
计算方法
2011-3-30
不定积分的计算
2. 第二换元 法：令x=x(t),将x换为t,结果再换回x 将 结果再换回
当∫ f ( x)dx的原函数难以计算而 ∫ f [ϕ (t )]ϕ ′(t ) dt
定 理
的原函数易求时，我们 有下面定理：
x = ϕ (t )
I
，
不为
代回 1 1 a = − arcsin at + C = − arcsin + C t =1 / x a a x 2011-3-30 积分
不定积分的计算
1 a 注1：这一结果与例 9中 I 2的结果 ( arccos + C )不同， a x 请同学们想一想，为什 么？ 注2 注 2：以上代换叫做倒代换 。
代回 t= x
= 2 x + 33 x + 6 6 x + 6 ln | 6 x − 1 | + C 6
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第二换元法例( ：在含有无理式的积分中，基本的解题思路 第二换元法例(续1) 在含有无理式的积分中，基本的解题思路是：有理化无理式， 分析： 解题思路是： 分析
例9
不定积分的计算 即：去根号。对于√￣￣可以用直角三角形中勾股弦关系代换： 。对于√￣￣可以用直角三角形中勾股弦关系代换：
x
x2 − a2
====== =====
t = arccos 代回
1 a
∫
1 dt = t + C a a + C x
t
a
sin t = x 2 − a 2 / x cot = a / x tan t = x 2 − a 2 / a
a x
1 arccos a
( x ∈ ( a , +∞ ))
sin t = x / a
积分 sec 2 t 1 1 ∫ tan 4 t dt = − a 2 3 tan 3 t + C 2 2 3/2 代回 (a − x ) ====== 2 − + C ( 见上图 ) 2 3 tan t = x / a 2 − x 3a x 2 2 3/2 (a − x ) 类似可得： I 1 = − + C (− a < x < 0) 2 3 2011-3-30 3a x
2011-3-30
不定积分的计算