不定积分的换元法
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高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法
解 令 t 1x2 x2t21,xdxtdt,
x5
1
x2
dx
(t2 1)2 tdt t
(t42t21)dt
1t52t3tC1(84x23x4)1x2C .
53
15
例5
求
1 dx.
1ex
解 令 t 1ex ext21,
x ln t2 1, dxt22t1dt,
1
a2(t1si2n t)C 22
a 2arx c 1 sxia 2 n x 2 C . 2 a2
ax t
a2x2
例2 求
1 dx (a0). x2a2
解 令 xatat,n t 2, 2 d x a s2 e td tc ,
1 dx x2 a2
1 ase2tcdt asetc
可由 a24b的符号确 . 定
a24b0, x21 a xbd x(xm 1)2ndx a24b0, x21 ax bdx (x1m)2dx a24b0, x21 a xbd x(xm 1 )x (n)dx
例5 求 taxn dx. 解 tanxdx csionxxsdx c1oxd s(cox)s
c1oxsd(co x)s lc nx o C s.
( 使用了三角函数恒等变形 )
ta x d x n lc n x o C s .
同理可得 cx o d x tls nx i n C .
例6 (1) 求 se x d x c. sx e d x c ls nx e tca x C n .
x5 1x2d x(s t)5 i1 n s2 itc n to d t s si5tn c2 o td ts
( 应用“凑微分”即可求出结果 )
不定积分的换元积分法
类似地，有
csc xdx ln csc x cot x C ．
21
应用第一类换元法的常见的积分类型如下：
1.
2. x
1 f (ax b)dx f (ax b)d(ax b) ； a
n 1
f (axn b)dx
1 f (axn b)d(axn b) ； na
这类求不定积分的方法，称为第二换元 法．
32
例11 解
dx 求 1 3 - x ．
设 t 3 x，则 x 3 t 2 ， dx 2tdt ．
dx 2t dt 2 1 t 1 dt 1 t 1 t 1 3 x 1 2 (1 )dt 1 t
8
例1 解 所以
求 sin 2 xdx ．
1 设 t 2 x ，则 dt 2dx ，即 dx dt ． 2
1 1 sin 2 xdx sin tdt cos t C ， 2 2
再将 t 2 x 代入，得
1 sin 2 xdx cos 2 x C ． 2
2
x 1 (9) cos xdx sin 2 x C 2 4
28
1 1 C (10) dx 2 2(2 x 3) (2 x 3)
(11)
x 1 ( x 2 2 x 3)
2 1 4
2 2 dx ( x 2 x 3) C 3
3 2 2
3 4
于是
利用复合函数求导公式，可以验证(4.3.1) 的正确性．
3
实际上，由 d F ( ( x)) C F ( x) ( x) dx f ( x) ( x) ， 可知公式(4.3.1)成立．利用公式(4.3.1)来计 算不定积分，就是第一换元法，亦称为凑微分 法．
csc xdx ln csc x cot x C ．
21
应用第一类换元法的常见的积分类型如下：
1.
2. x
1 f (ax b)dx f (ax b)d(ax b) ； a
n 1
f (axn b)dx
1 f (axn b)d(axn b) ； na
这类求不定积分的方法，称为第二换元 法．
32
例11 解
dx 求 1 3 - x ．
设 t 3 x，则 x 3 t 2 ， dx 2tdt ．
dx 2t dt 2 1 t 1 dt 1 t 1 t 1 3 x 1 2 (1 )dt 1 t
8
例1 解 所以
求 sin 2 xdx ．
1 设 t 2 x ，则 dt 2dx ，即 dx dt ． 2
1 1 sin 2 xdx sin tdt cos t C ， 2 2
再将 t 2 x 代入，得
1 sin 2 xdx cos 2 x C ． 2
2
x 1 (9) cos xdx sin 2 x C 2 4
28
1 1 C (10) dx 2 2(2 x 3) (2 x 3)
(11)
x 1 ( x 2 2 x 3)
2 1 4
2 2 dx ( x 2 x 3) C 3
3 2 2
3 4
于是
利用复合函数求导公式，可以验证(4.3.1) 的正确性．
3
实际上，由 d F ( ( x)) C F ( x) ( x) dx f ( x) ( x) ， 可知公式(4.3.1)成立．利用公式(4.3.1)来计 算不定积分，就是第一换元法，亦称为凑微分 法．
5-2 不定积分的换元积分法
1 2 xdx (2) xe dx
(1)
5 x2
1 3 1 1 2 1 2 x 2 C (1 2 x ) 2 d (1 2 x ) 2 3 2
x (3) dx 2 2 3x
e 10
1
5 x2
1 5 x2 d (5 x ) e C 10
1 (2) 2 dx； a x
1 a 2 x 2 dx；
x a 2 x 2 dx
1 1 x x (3) dx； dx； dx； dx 3 2 2 5 1 x (1 x ) 1 x (1 x )
19
换元积分法
二、第二换元积分法
第一换元法中 ( x) u f [ ( x)] ( x)dx
1 ln1 2 ln x C 2
1 1 ln x d (ln x ) 1 x
x
1 1 1 d (1 2ln x ) 1 x (1 2ln x ) 2
x
11
换元积分法
利用基本积分表的公式把被积函数中的一部分凑成 中间变量的微分，常见的有：
1 dx d ax b a 1 n 1 x dx d x n n e x dx d(e x ) cos xdx d(sin x ) sec 2 xdx d(tan x ) 1
1 (t 1) 1 1 1 x dx 1 t 2tdt 2 1 t dt 1 2 (1 )dt 1 t
2t 2ln 1 t C
2 x 2 ln( 1 x) C
23
换元积分法
练习 求下列函数的不定积分 x 1 (1) x x 1dx; (2) 3 dx . 3x 1
不定积分的换元积分法
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有时计算复杂：在某些情况下，换元后需要进行的计算可 能较为复杂，需要较高的计算能力。
不定积分换元法的发展趋势
理论研究不断深入
随着数学理论的发展，不定积分换元法 的理论体系不断完善，研究不断深入。
VS
应用领域不断拓展
随着科技的发展，不定积分换元法的应用 领域越来越广泛，不仅在数学、物理等领 域得到广泛应用，也逐渐拓展到工程、经 济等领域。
不定积分的换元积分法
2023-12-23
CONTENTS 目录
• 不定积分的概念 • 换元积分法的基本思想 • 常用的换元积分法 • 换元积分法的应用实例 • 总结与展望
CHAPTER 01
不定积分的概念
定义与性质
定义
不定积分是微分的逆运算，即求一个 函数的原函数或不定积分。
性质
不定积分具有线性性质、积分常数性 质和积分区间可加性。
第二类换元积分法（变量替换法）
总结词
通过引入新的变量替换原函数中的部分变量，将不定积分转化为容易求解的形式。
详细描述
第二类换元积分法也称为变量替换法。这种方法适用于被积函数中含有根号或分母中含有变量的不定 积分。通过引入新的变量进行替换，可以将不定积分转化为容易求解的形式。常用的替换方法包括三 角函数替换、指数函数替换等。
换元积分法不仅在不定积分和解决实际问题中有应用，在其他数学领域也有广泛的应用。例如，在求 解微分方程、变分法、复变函数等领域中，换元积分法都是一种重要的工具。
通过引入适当的变量替换，可以将复杂的问题转化为更易于处理的形式，从而简化计算或求解过程。
CHAPTER 05
总结与展望
不定积分换元法的优缺点
在不定积分中，如果一个函数可以表示为另一个函数的复合函数，那么可 以通过引入新的变量来简化计算。
有时计算复杂：在某些情况下，换元后需要进行的计算可 能较为复杂，需要较高的计算能力。
不定积分换元法的发展趋势
理论研究不断深入
随着数学理论的发展，不定积分换元法 的理论体系不断完善，研究不断深入。
VS
应用领域不断拓展
随着科技的发展，不定积分换元法的应用 领域越来越广泛，不仅在数学、物理等领 域得到广泛应用，也逐渐拓展到工程、经 济等领域。
不定积分的换元积分法
2023-12-23
CONTENTS 目录
• 不定积分的概念 • 换元积分法的基本思想 • 常用的换元积分法 • 换元积分法的应用实例 • 总结与展望
CHAPTER 01
不定积分的概念
定义与性质
定义
不定积分是微分的逆运算，即求一个 函数的原函数或不定积分。
性质
不定积分具有线性性质、积分常数性 质和积分区间可加性。
第二类换元积分法（变量替换法）
总结词
通过引入新的变量替换原函数中的部分变量，将不定积分转化为容易求解的形式。
详细描述
第二类换元积分法也称为变量替换法。这种方法适用于被积函数中含有根号或分母中含有变量的不定 积分。通过引入新的变量进行替换，可以将不定积分转化为容易求解的形式。常用的替换方法包括三 角函数替换、指数函数替换等。
换元积分法不仅在不定积分和解决实际问题中有应用，在其他数学领域也有广泛的应用。例如，在求 解微分方程、变分法、复变函数等领域中，换元积分法都是一种重要的工具。
通过引入适当的变量替换，可以将复杂的问题转化为更易于处理的形式，从而简化计算或求解过程。
CHAPTER 05
总结与展望
不定积分换元法的优缺点
在不定积分中，如果一个函数可以表示为另一个函数的复合函数，那么可 以通过引入新的变量来简化计算。
不定积分换元法公式
不定积分换元法公式设x=φ(t)是单调的，可导的函数，并且φ'(t)≠0，又设f[φ(t)]φ'(t)具有原函数，则有换元公式∫f(x)dx={∫f[φ(t)]φ'(t)dt} (t=φ^(-1)(x))。
定理（1）设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式∫f[φ(x)]φ'(x)dx=[∫f(u)du] (u=φ(x))；定理（2）设x=φ(t)是单调的，可导的函数，并且φ'(t)≠0.又设f[φ(t)]φ'(t)具有原函数，则有换元公式∫f(x)dx={∫f[φ(t)]φ'(t)dt} (t=φ^(-1)(x))。
注意：第二类与第一类换元积分法相反，第二类换元积分法就是由于积分∫f(x)dx不便计算，而改求∫f[φ(t)]φ'(t)dt。
关键是：如何选择变量替换。
把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法，简称换元法，换元法通常分为两类：第一类换元法：设f(u)具有原函数F(U)，即。
F'(U)=f(u)，∫f(u)du=F(U)+C。
如果u是中间变量,u=φ(x)，且设φ(x)可微，那么，根据复合函数微分法有：dF(φ(x))=f(φ(x))φ'(x)dx。
从而根据不定积分的定义就得：∫f[φ(x)]φ'(x)dx=F[φ(x)]+C=[∫f(u)du] (u=φ(x))。
于是有下述定理：定理1：设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式：∫f[φ(x)]φ'(x)dx=[∫f(u)du] (u=φ(x)) (1)。
将所求积分∫φ(x)dx表成∫f[φ(x)]φ'(x)dx就是凑微分过程，然后就是换元，也就是将积分变量x换成u；最后是求原函数，实际上就是∫f[φ(x)]φ'(x)dx不好求。
而∫f(u)du好求，所以先求出后一个不定积分；最后再将变量u换成x。
第3-1不定积分的第一类换元积分法
sin
3
xdx sin x sin xdx (1 cos x)d cos x
2 2
1 3 cos x cos x C 3
sec 6 xdx . 例10.求
解: 原式 = (tan 2 x 1) 2 d tan x d x sec 2
(tan 4 x 2 tan 2 x 1) dtan x
2
x a
2
2
ln |
x2 a2 x a | C1
t a
(C C1 ln a)
x
公式15：
ln x x a C (a 0)
2 2
例17. 求
解:
1 x2 2x 2
dx .
原式
1 ( x 1) 1
2 2
d (x 1)
(由公式2)
1 ln a x ln a x 2a
1 ax C ln C 2a a x
例7. 求
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
dx . 例8. 求 x 1 e 解法1 (1 e x ) e x d(1 e x ) dx dx x x 1 e 1 e x ln(1 e x ) C
2 3 1 5 tan x tan x tan x C 3 5
例12. 求 sin 4 x cos 3xdx
1 解: 利用公式 sin cos [sin( ) sin( )] 2 1 原式= (sin 7 x sin x)dx 2 1 1 cos 7 x cos x C 14 2
不定积分(二)
2
不定积分
例5 求 sin 3xsin 5xdx
解： sin 3xsin 5xdx
1 2
[
c
os(3x
5x)
cos(3x
5x)]dx
1 2
c
os8xdx
1 2
cos(2x)dx
1 2
c
os8xdx
1 2
cos2xdx
1 sin 8x 1 sin 2x C
2 sin 2x
1
(ln
tan
3
x) 2
C
3
不定积分
2、
ln(1 x) x(1
ln x)
xdx
[ln(1
x)
lnΒιβλιοθήκη x]d[ln(1x)
ln
x]
1 [ln(1 x) ln x]2 C 2
1 [ln 1 x ]2 C 2x
[ln(1 x) ln x]
解：1、tan3 xsec3 xdx tan2 x sec2 xdsec x
(sec2x 1)sec2 xd (sec x)
sec4 xd(secx) sec2 xd(secx)
1 sec5 x 1 sec3 x C
C
3
3
不定积分
练习
1、e2xdx
3、x3 sin(x4 1)dx
5、
ln x dx x
7、ex 2 ex dx
2、 4x 1dx
不定积分
例5 求 sin 3xsin 5xdx
解： sin 3xsin 5xdx
1 2
[
c
os(3x
5x)
cos(3x
5x)]dx
1 2
c
os8xdx
1 2
cos(2x)dx
1 2
c
os8xdx
1 2
cos2xdx
1 sin 8x 1 sin 2x C
2 sin 2x
1
(ln
tan
3
x) 2
C
3
不定积分
2、
ln(1 x) x(1
ln x)
xdx
[ln(1
x)
lnΒιβλιοθήκη x]d[ln(1x)
ln
x]
1 [ln(1 x) ln x]2 C 2
1 [ln 1 x ]2 C 2x
[ln(1 x) ln x]
解：1、tan3 xsec3 xdx tan2 x sec2 xdsec x
(sec2x 1)sec2 xd (sec x)
sec4 xd(secx) sec2 xd(secx)
1 sec5 x 1 sec3 x C
C
3
3
不定积分
练习
1、e2xdx
3、x3 sin(x4 1)dx
5、
ln x dx x
7、ex 2 ex dx
2、 4x 1dx
不定积分的换元积分法4.2
f [j ( t )] j ( t )dt
．
最后将t =j1(x)代入f [j(t)]j(t) 的原函数中．
第二类换元法用于求特殊类型的不定积分．
例 21 例18
求
a
2
x
2
d x (a > 0 )．
x
2
a t
a x
2 2
解
设 x a sin t ，
a x
a
2
< t<
2 2
ln | x
x a
2
2
| C
．
三、积分公式小结
(1 ) kdx kx C ,
( 2 ) x dx
m
(k是常数)，
x
m 1
1
m 1
C,
(m 1)，
(3)
(4)
(5 )
1 x
dx ln | x | C ,
1 dx arctan x C ,
例 23 例21
求
dx x
2
x
2
(a > 0 )．
a
解 那么
当 x> a 时 ， 设 x a se c t (0 < t<
x a
2 2
2
t
)，
sec
2
a
t 1
a sec
2
2
ta
2
a
a tan t ， 于是
dx x a
2 2
2
a sec t tan t a tan t
2
1 3
sin
3
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2 3 1 5 tan x tan x tan x C 3 5
dx . 例9. 求 x 1 e 解法1 x x x d ( 1 e ) (1 e ) e dx d x x 1 ex 1 e x x ln(1 e ) C
解法2
e x d(1 e x ) dx x x 1 e 1 e ln(1 e x ) C
x x x
ln(1 e ) ln[e (e 1)] 两法结果一样
例10. 求 解法1
cos x d sin x dx 2 cos x 1 sin 2 x 1 1 1 d sin x 2 1 sin x 1 sin x 1 ln 1 sin x ln 1 sin x C 2 1 1 sin x ln C 2 1 sin x
例11 . 求
1 cos 2 x 2 解: cos x (cos x) ( ) 2 2 1 ( 1 2 cos 2 x cos 2 x) 4
4 2 2
1 cos 4 x ) 1 ( 1 2 cos 2 x 4 2
3 2 cos 2 x 1 cos 4 x) 1 ( 4 2 2
1 u2
想到公式 du
arctan u C
例3. 求
解:
a
dx
x)2 1 (a
x) d (a x )2 1 (a
想到
du 1 u2
arcsin u C
f [ ( xຫໍສະໝຸດ ] ( x)dx f ( ( x))d ( x)
(凑微分法或配元法)
例4. 求 解:
1 1 cos( m n) xdx cos( m n) xdx 2 2 1 1 [ cos( m n) xd (m n) x 2 mn 1 cos( m n) xd (m n) x] mn 1 1 1 [ sin( m n) x sin( m n) x] C. 2 mn mn
第三章 积分的计算 3-1 不定积分的换元法
1. 不定积分第一换元法 设 F ( y ) f ( y) , 可导, 则有
dF [ ( x)] F ( y) ( x)dx f [ ( x)] ( x)dx F [ ( x)] C F ( y ) C
y ( x )
cos x dx
4 3 2
1 4
3 2 cos 2 x 1 cos 4 x ) dx ( 2 2
1 cos 4 x d ( 4 x) cos 2 x d( 2 x ) d x 8
例12 求
解
sin nx sin mxdx 1 sin nx sin mxdx 2 [cos( m n) x cos(m n) x]dx
dsin x dcos x
(6) (7 )
(8)
x x f ( e )e dx
1 f (ln x) dx x
f (tan x)sec 2 xdx
dtan x
de
x
dln x
例6. 求
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
dcos x sin x cos xdx cos x
类似
cos x dx d sin x sin x sin x
例5. 求
解:
1 ( x a) ( x a) 1 1 1 1 ( ) 2 2a x a x a x a 2 2a ( x a)( x a )
常用的几种配元形式:
1 (1) f (ax b)dx a 1 n n 1 (2) f ( x )x dx n 1 n 1 (3) f (x ) dx n x
d(a x b)
dx
n
1 n d x xn
万 能 凑 幂 法
(4) (5)
f (sin x)cos xdx f (cos x)sin xdx
f ( y )d y
或写成
y ( x )
F [ ( x)] C
第一类换元法 第二类换元法
例1. 求
解: 令 u a x b , 则 d u adx , 故 原式 = u
m
1 1 1 m 1 du u C a a m 1
注: 当
时
例2. 求
解:
1 dx 2 x)2 a 1 (a x 1 令 u , 则 du d x a a 1 1 du arctan u C 2 a a 1 u
解法 2
(sec x tan x) sec x tan x sec 2 x sec x tan x dx sec x tan x d (sec x tan x) sec x tan x
同样可证
csc xdx ln csc x cot x C
或
x ln tan C 2
例7. 求
e3
x
x
dx .
3 x
x
解: 原式 = 2 e
2 3 e 3
2 3 x d x e d(3 x ) 3 C
例8. 求 sec 6 xdx .
2 tan xd x 解: 原式 = (tan 2 x 1) 2 d sec
(tan 4 x 2 tan 2 x 1) dtan x
1 dx dx ∴ 原式 = 2a x a xa
d( x a ) 1 d( x a ) xa 2a x a
1 ln x a ln x a 2a
类似地
1 xa C C ln 2a x a