第二类换元积分法分部积分法
ln 2 x2 x C
2
2
2
辅助三角形ຫໍສະໝຸດ ln 2 x2 x C1 C1 C ln 2
公式 dx ln x a2 x2 C
a2 x2
例3 求不定积分
dx 4x2 3
解 令 x 3 sec u, 则 dx 3 secu tan udu
2
2
原式 1 secudu 2 1 ln secu tan u C 2
原式
u
u 2
1
2udu
u2 11
2 u2 1 du
直接令根式为u， 化根式为有理式
2
(1
1
u2
)du 1
2u
arctan
u
C
2( x 1 arctan x 1) C
dx
例2 求不定积分 3 x 1
直接令根式为u， 化根式为有理式
解 令 u 3 x , 则 x u3, dx 3u2du
例2 求不定积分 xaxdx
udv uv vdu
解 令 u x, dv axdx
则 du dx,
a
a
dx arcsin x C(a 0)
a2 x2
a
dx ln | x x2 a2 | C x2 a2
dx ln | x x2 a2 | C x2 a2
◆公式的直接应用
例1
dx 1
d( 3x)
1 arcsin 3x C
5 3x2 3 ( 5)2 ( 3x)2 3
原式 xsin x sin xdx
xsin x cos x C
u 与 dv 的选择原则
v 1、 可求；
2、 vdu 可求，
或较易求
若令 u cos x, dv xdx
失败！
则 du sin xdx, v 1 x2
原式 1 x2 cos x 1
2
x2 sin xdx
2
2
比 x cos xdx 更难求
第二类换元积分法 分部积分法
◆第一换元法
f xdx gxxdx
令u
x
g
u
du
u ( x)
◆第二换元法
凑微分
d(x)
f xdx令x u f u u du u1(x)
注：x u 单调、可导，且 u 0
一般地：第二类换元法主要是利用三角关系式
sin2 x cos2 x 1, 1 tan2 x sec2 x
t 上式中，均假设 a 0, 为各对应反三角函数的主值区间。
例1 求不定积分 4 x2 dx
解 令 x 2sin u, 则 dx 2cosudu
原式 2cosu 2cosudu 4cos2 udu
2
x
u
2 1 cos 2udu
2u sin 2u C
4 x2
辅助三角形
2 arcsin x x 4 x2 C
5
例2
dx
dx
d (x 1)
x2 2x 3
(x 1)2 2
(x 1)2 2
ln x 1 (x 1)2 2 C
例3
dx x2 2x 4
dx (x 1)2 3
d (x 1) (x 1)2 3
1 arctan x 1 C
3
3
例1 求不定积分
x 1dx x
解 令 u x 1, 则 x u2 1, dx 2udu
u
du
cos2 udu
1 2
1
cos
2u
du
x2 1
x
1 (u 1 sin 2u) C 22
u
1
1 (arctan x x 1 ) C 辅助三角形
2
x2 1 x2 1
1 2
(arctan
x
x
x2
) 1
C
◆基本积分公式P106-P107
tan xdx ln | cos x | C cot xdx ln | sin x | C
2
2
公式
a2 x2 dx a2 arcsin x x a2 x2 C
2
a2
例2 求不定积分
dx x2 2
解 令 x 2 tan u, 则 dx 2 sec2 udu
原式 2 sec2 u du secudu 2 secu ln secu tanu C
2 x2
x
u
原式
◆ 分部积分法
由 uv uv uv
得 uv uvdx uvdx uvdx 即 uvdx uv uvdx 或 udv uv vdu
分部积分公式 udv uv vdu
例1 求不定积分 x cos xdx
解 令 u x, dv cos xdx 则 du dx, v sin x
sec xdx ln | sec x tan x | C csc xdx ln | csc x cot x | C
dx a2 x2
1 ln | a x | C 2a a x
dx x2 a2
1 ln | x a | C 2a x a
dx a2 x2
1 arctan x C
(
u
1 1
u
1 )du 1
ln u 1 C u 1
P107公式（20）
1 ex 1
1 ex 1
ln
C ln
C
1 ex 1
1 ex 1
dx
例4 求不定积分
1 3 x 4 解 令 u 3 x4 , 则
原式
直接令根式为u， 化根式为有理式
dx
例5 求不定积分 (1 3 x ) x
解 令 u6x , 则
化根式 a2 x2 ,
再积分。
x2 a2 ,
x2 a2 为三角函数的有理式，
对于 a2 x2 , 令 x a sin t, 则 a2 x2 a cost
对于 a2 x2 , 令 x a tan t,则 a2 x2 a sect
对于 x2 a2 , 令 x asect, 则 x2 a2 a tan t
原式
3u2 du 3 u 1
u
1
u
1
1
du
3 (3 u2 u ln u 1) C 2
3 ( 3 3 x2 ln 3 x 1) C 2
例3 求不定积分
dx 1 ex
直接令根式为u， 化根式为有理式
解
令
1 ex u,
则
x ln
u2 1
,
dx
2u u2 1
du
原式 2du u2 1
2x
4x2 3
u 3
1 ln 2x 4x2 3 C
23
3
辅助三角形
1 ln 2x 2
4x2 3 C1
C1
C
1 2
ln
3
dx
例4 求不定积分 (x2 1)2
解 令 x tan u, 则 dx sec2 udu
偶次方化倍角
原式
sec2 sec4
u u
du
1 sec2
合集下载
2.1.2换元微分法
例12 arctan xdx.
解
u
arctan
x,v
1, u
1
1 x2
,v
x,
arctan
xdx
x
arctan
x
1
x x2
dx
x arctan x 1 ln(1 x2 ) C 2
注 分部积分法适用于两类函数乘积的积分，也适用
于单个反三角函数，单个对数函数的积分．
a
x2 a2
ln x a
x2 a2 a
C ln x
x2 a2 C1,
其中 sec t 和 tan t 可借助辅助直角三角形求出.
例9
求
dx ( x2 a2 )2
(a 0).
解
x a tan t,
|
t
|
π 2
,
dx ( x2 a2 )2
a sec2 t a4 sec4 t
容易求出。那么如何选择变换呢？这往往与被积函数 的形式有关。 常用代换有无理代换,三角代换等.
1 无理代换
若被积函数是 x n1 , n2 x , , nk x 的无理式时,设n为
ni (1 i k) 的最小公倍数, 令 t n x即x t n.
例6
du u3u
6x5 x3x
2
dx
d( x a) xa
1 2a
d( x a) xa
1 2a
ln
|
x
a
|
1 2a
ln
|
x
a
|
1 ln x a C. 2a x a
凑微分法7： 分子分母需同时乘以（除以）某个因子
xk ,ex ,sin x,cos x,1 sin x,1 cos x 等然后再凑微分.
常用积分换元公式
第一类换元积分法
部分常用的凑微分公式：
（1）
1
()
dx d ax b
a
=+（2）1
1
()
1
n n
x dx d x
n
+
=
+
（3
d
=（4）
2
11
()
dx d
x x
=-
（5）1
(ln)
dx d x
x
=（6）()
x x
e dx d e
=
（7）cos(sin)
xdx d x
=（8）sin(cos)
xdx d x
=-
常用的凑微分公式
第二类换元积分法
1.当被积函数中含有
1)sin
x a t
=或cos
x a t
=；
2)tan
x a t
=；
3)sec
x a t
=.
通过三角代换化掉根式。
但是，去掉被积函数根号并不一定要采用三角代换，
22
ch sh1
t t
-=，采用双曲代换sh
x a t
=或ch
x a t
=消去根式，所得结果一致。
所以应根据被积函数的具体情况尽量选取简单的方法对根式进行有理化代换。
2.当有理分式函数中分母的阶数较高时，可采用倒代换
1
x
t
=.
3.类型f dx
⎰：可令t=；类型f dx
⎰：可令t=（第四节内容）
4.类型()x
f a dx
⎰：可令x
t a
=.
适合用分部积分法求解的被积函数。
换元积分法与分部积分法
d
xn
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法
(4) 巧妙换元或配元
2022年9月29日8时31分
21
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思考与练习 1. 下列各题求积方法有何不同?
(1)
dx 4 x
(2)
4
d
x x
2
(3)
x 4 x2
dx
1 2
d(4 x2 ) 4 x2
13
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例10 求
解法1
cos x cos2 x
dx
1
d
sin x sin2 x
1 2
1 1 sin
x
1 1 sin
x
d
sin
x
1 ln 1 sin x ln 1 sin x C
2 1 ln 1 sin x C
2 1 sin x
2022年9月29日8时31分
ax t
a2 x2
26
例17 求
解
令
x
a
tan
t
,
t
(
2
,
2
)
,
则
x2 a2 a2 tan2 t a2 a sect
dx a sec2 t d t
∴ 原式
a sec2 a sec t
t
d
t
sec t
d
t
ln sect tan t C1
ln
x2 a2
x a
C1
x2 a2
不定积分是求导运算的逆运算, 相应 于复合函数求导数的链式法则和乘法 求导公式, 不定积分有换元积分法和分 部积分法.
微积分第二类换元法
平方和、差 再开方
分母阶 数高
非“平方和、 差再开方”
基 本 积 分 表
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
1 1 xa (19) 2 dx ln C; 2 x a 2a x a
tan xdx ln cos x C; cot xdx ln sin x C; sec xdx ln sec x tan x C; csc xdx ln csc x cot x C; 1 1 x a x dx a arctan a C;
(9) sec x tan xdx sec x C
(10) csc x cot xdx csc x C
(11) 1 1 x
2
dx arcsin x C
1 (12) dx arctan x C 2 1 x
(13) tan xdx ln cos x C
sec tdt ln sect tan t C
x ln a
x2 a 2 a
C1
x
x2 a2
atຫໍສະໝຸດ ln x x2 a 2
C.
说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换.
三角代换的目的是化掉根式.
一般规律如下：当被积函数中含有
(1) ( 2) ( 3)
例4 解
求积分
x 3 ln xdx .
3
u ln x ,
3
x dv x dx d ( ), 4
4
1 4 1 3 x ln xdx 4 x ln x 4 x dx 1 4 1 4 x ln x x C . 4 16
2换元积分法和分部积分法.pdf
a
a
意常数，因此
∫ dx = ln x + x2 − a 2 + C
x2 − a2
a
= ln| x + x2 − a 2 |− lna + C
= ln | x + x2 − a2 | + C 。
类似地可求得
∫
dx = ln | x +
x2 + a2
x2 + a2 | + C 。
若被积函数中含有诸如 a2 − x2 ， x2 − a2 ， x2 + a2 这样形式的 根式，可以分别考虑将变换取为 x = a sin t ，x = a sec t 和 x = a tant 以化去 根号。
⎟⎟⎠⎞
+
C
= (2x −1)101 ⎜⎛ 2x −1 + 1 ⎟⎞ + C 。
4 ⎝ 102 101⎠
有许多题目，既可以采用第一类换元积分法，也可以采用第二 类换元积分法，代换的函数形式也可以大不相同，要根据具体情况 灵活运用。
例 6.2.10
求∫ x2
dx 1+ x2
。
解法一 用第一类换元积分法。当 x > 0 时，原式可变形为
(cos x)′dx cos x
=
−∫
du u
=
−
ln
|u|+
C
= − ln | cos x | + C 。
（作变量代换 u = cos x ） （用 u = cos x 代回）
等熟练之后，只要将代换 u = g(x) 默记在心，就可以直接写出
∫
tan
xdx
=
∫
数学分析(第8.2节换元积分法与分部积分法)
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二、第二换元积分法 第一换元法是通过变量替换
u ( x) 将
f [ ( x )] ( x )dx化为易积出的积分 f (u)du
第二换元法则是通过变量替换 x ( t ) 将
f ( x )dx化为积分 f [ (t )] (t )dt
而
则
f [ (t )] (t )dt G(t ) C , t J f ( x )dx = f [ (t )] (t )dt G(t ) C
(2) dx d( x a );
1 1 (3) x dx d(x ); (4) cos xdx d(sin x ); 1 (5) sin xdx d( cos x ); (6) 1 x dx d( ln x ); dx 2 d(arctan x ). (7) sec x d x d( tan x ); (8) 2 1 x 前页 后页 返回
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解 （2）
1 a x
2 2
dx
x a tan t dx a sec tdt
2
a
1 1 tan t
2
a sec2 tdt
sec tdt ln sec t tan t C
由辅助三角形（如图）
sec t a2 x2 x , tan t a a
ex dx dx x 1 e
1 x dx d (1 e ) x 1 e
x ln(1 e x ) C
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1 dx. 例9 求 1 cos x
解
1 1 cos x 1 cos x 1 cos x dx 1 cos2 x dx sin2 x dx 1 1 2 dx 2 d (sin x ) sin x sin x 1 cot x C. sin x
习题课-不定积分的计算方法
2 2 2 2
8. 计算积分 1) x arctan x ln(1 x 2 )dx;
令 f ( x ) x ln(1 x 2 ), 则 解： 1 2 1 x2 2 x 2 x ln(1 x 2 ) f ( x ) x ln(1 x )dx 2 dx 2 2 1 x 1 2 1 x2 1 1 2 x ln(1 x 2 ) dx 2 2 2 x 1 1 2 1 2 1 d ( x 2 1) x ln(1 x 2 ) x 2 2 2 2 x 1 1 2 1 2 1 2 x ln(1 x ) x ln(1 x 2 ) C 2 2 2 1 1 2 2 2 (1 x ) ln(1 x ) x C 2 2
7. 设函数 y f ( x ) 是由方程 ( x y ) y x 所确定的隐 dx 函数，求 2 ; y
2 2
解： 设 y tx, 代入方程 y ( x y ) x ,
2 2
t x ( x tx ) x t (1 t ) x 1 1 1 3t 2 x 2 , y . dx 3 2 dt t (1 t ) t (1 t ) t (1 t ) 2 dx 2 2 3t 2 y 2 t (1 t ) t 3 (1 t )2 dt (3 t )dt 3y y 2 ln C 3t 2 ln | t | C x x
指数代换
有理函数
分解
万能代换 根式代换
三角函数有理式
三角代换
多项式及 部分分式之和
简单无理函数
2. 需要注意的问题 (1) 一般方法不一定是最简便的方法 , 要注意综合
使用各种基本积分法, 简便计算 .
8. 计算积分 1) x arctan x ln(1 x 2 )dx;
令 f ( x ) x ln(1 x 2 ), 则 解： 1 2 1 x2 2 x 2 x ln(1 x 2 ) f ( x ) x ln(1 x )dx 2 dx 2 2 1 x 1 2 1 x2 1 1 2 x ln(1 x 2 ) dx 2 2 2 x 1 1 2 1 2 1 d ( x 2 1) x ln(1 x 2 ) x 2 2 2 2 x 1 1 2 1 2 1 2 x ln(1 x ) x ln(1 x 2 ) C 2 2 2 1 1 2 2 2 (1 x ) ln(1 x ) x C 2 2
7. 设函数 y f ( x ) 是由方程 ( x y ) y x 所确定的隐 dx 函数，求 2 ; y
2 2
解： 设 y tx, 代入方程 y ( x y ) x ,
2 2
t x ( x tx ) x t (1 t ) x 1 1 1 3t 2 x 2 , y . dx 3 2 dt t (1 t ) t (1 t ) t (1 t ) 2 dx 2 2 3t 2 y 2 t (1 t ) t 3 (1 t )2 dt (3 t )dt 3y y 2 ln C 3t 2 ln | t | C x x
指数代换
有理函数
分解
万能代换 根式代换
三角函数有理式
三角代换
多项式及 部分分式之和
简单无理函数
2. 需要注意的问题 (1) 一般方法不一定是最简便的方法 , 要注意综合
使用各种基本积分法, 简便计算 .
换元积分法和分部积分法
对于含有根式的函数的 积分，原则上是设法去 掉根式。
有些含有根式的函数的 积分，直接令根式为新 变量 即可将问题转化为一般 的不含根式的函数的积 分。
补充例题11 计算
解:
1 6
dx . 3 x x
xx ,
1 2
3
xx ,
1 3
它们的指数部分的 分母的最小公倍数 为6 .
令 t x , t 0,
则 x t , d x 6 t d t, 故
6 5
t 3 1 1 dx 6 t3 dt d t 6 3 t 1 x x t 1
1 6 ( t t 1 )dt t 1
2
2 t 3 3 t 2 6 t 6 ln | t 1 | C 2 x 33 x 66 x 6 ln( 6 x 1) C .
第二类换元法常见类型:
(1)
(2)
f ( x , n ax b ) dx , 令
a x b n ( x , c x d ) dx ,
f
令 或
第 三 节 讲
(3) (4) (5)
f ( x , a 2 x 2 ) dx , 令 f ( x , a 2 x 2 ) dx , 令 f ( x , x 2 a 2 ) dx , 令
求
f (tan x)sec 2 xdx
补充例题4
1 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
自主学习课本P141例4.2.6、例4.2.7、例4.2.8
例4.2.9 求
tan xdx 和 cot xdx
．
解: cot xdx cos x dx 1 d sin x = ln sinx + C sin x sin x
高等数学分部积分法
x
17
例14 已知 f (x) 的一个原函数是 e x 2 , 求 xf (x)dx. 解 xf (x)dxxd[f(x)]x(fx)f(x)dx
f(x)dxex2C,
两边同时对x求导，得 f(x)2xex2,
xf(x)dx xf(x)f(x)dx
Inn 1sin n 1xco x snn 1In2
注意循环形式
I3
sin3 xdx
1sin 2xcoxs2
3
3
sin xdx
1si2n xcox s2cox sC.
3
3
20
例16 求
xe x dx.
ex 1
解 被积函数是两类函数的乘积，所以用分部积分法
xcoxsdx
设函数 uu(x)及 v v(x)具有连续导数. 则 (uv) uvuv,移项 uv(u)vuv
则 uvdxuvuvdx.
即 udvuv vdu 即为分部积分公式
利用分部积分公式求积分的方法叫分部积分法.
作用：化难为易
2
udvuvvdu
21
例16 求
xe x dx.
Байду номын сангаас
ex 1
另解 令 ex 1 u, 则du u22u1du,
(u21)lnu2 (1) 2u
原式=
u
u21du
2lnu(21)du2ulnu(21)4
u2 u21du
2uln u2(1)4u4arcu tC an
2x ex 14ex14arce txa 1n C .
总结 若被积函数是幂函数和对数函数(或反三角函
数)的乘积，就考虑设对数函数(或反三角函数)
17
例14 已知 f (x) 的一个原函数是 e x 2 , 求 xf (x)dx. 解 xf (x)dxxd[f(x)]x(fx)f(x)dx
f(x)dxex2C,
两边同时对x求导，得 f(x)2xex2,
xf(x)dx xf(x)f(x)dx
Inn 1sin n 1xco x snn 1In2
注意循环形式
I3
sin3 xdx
1sin 2xcoxs2
3
3
sin xdx
1si2n xcox s2cox sC.
3
3
20
例16 求
xe x dx.
ex 1
解 被积函数是两类函数的乘积，所以用分部积分法
xcoxsdx
设函数 uu(x)及 v v(x)具有连续导数. 则 (uv) uvuv,移项 uv(u)vuv
则 uvdxuvuvdx.
即 udvuv vdu 即为分部积分公式
利用分部积分公式求积分的方法叫分部积分法.
作用：化难为易
2
udvuvvdu
21
例16 求
xe x dx.
Байду номын сангаас
ex 1
另解 令 ex 1 u, 则du u22u1du,
(u21)lnu2 (1) 2u
原式=
u
u21du
2lnu(21)du2ulnu(21)4
u2 u21du
2uln u2(1)4u4arcu tC an
2x ex 14ex14arce txa 1n C .
总结 若被积函数是幂函数和对数函数(或反三角函
数)的乘积，就考虑设对数函数(或反三角函数)
8.2换元积分法与分部积分法
解
(解法一)
sec xdx
cos x
cos2 x dx
d(sin x)
1 sin2 x
1 ln 1 sin x C. 2 1 sin x
(解法二)
sec
xdx
sec x(sec x tan sec x tan x
x)
dx
d(sec x tan x sec x tan x
a2
1
x 2 dx .
解
a2
1
x 2 dx
1 a2
1
1
x a2
2dx
想到公式
1
d
u u
2
arctan u C
1 a
1
1
x a
2
d
x a
1 arctan a
x a
C.
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例7 求 解:
dx
a
1
(
x a
)2
(5) sin sin 2sin cos
2
2
(6) sin sin 2cos sin
2
2
(7) cos cos 2cos cos
2
2
(8) cos cos 2sin sin
则得第二类换元积分法 .
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(4)
4
x
2
x
2