七年级数学下册完全平方公式练习(含答案)
初中数学平方差完全平方公式练习题(附答案)
初中数学平方差完全平方公式练习题(附答案)初中数学平方差完全平方公式练题一、单选题1.下列各式添括号正确的是(。
)A.x y(y x)B.x y(x y)C.10m5(2m)D.32a(2a3)2.(1y)(1y)(。
)A.1+y2B.1y2C.1y2D.1y23.下列计算结果为2ab a2b2的是(。
)A.(a b)2B.(a b)2C.(a b)2D.(a b)24.5a24b2=()25a416b4，括号内应填(。
)A.5a24b2B.5a24b2C.5a24b2D.5a24b25.下列计算正确的是(。
)A.(x y)2x22xy y2B.(m2n)2m24n2C.(3x y)2=9x2-6xy+y2D.x5x25x25/46.多项式15m3n25m2n20m2n3各项的公因式是(。
)A.5mnB.5m2n2C.5m2nD.5mn27.下列多项式中,能用平方差公式分解因式的是(。
)A.a2b 2B.5m220mnC.x2y2D.x298.化简(x3)2x(x6)的结果为(。
)A.6x9B.12x9C.9D.3x99.下列多项式能用完全平方公式分解的是(。
)A.x2x 1B.12x x2C.a2a1/2D.a2b22ab10.计算(3a bc)(bc3a)的结果是(。
)A.b2c29a2B.b2c23a2C.b2c29a2D.9a2b2c211.如果x2(m1)x9是一个完全平方式，那么m的值是(。
)A.7B.7C.5或7D.5或512.若a,b,c是三角形的三边之长，则代数式a22bc c2b2的值(。
)A.小于0B.大于0C.等于0D.以上三种情况均有可能二、解答题13.计算：1）-3x2-5y/（x2-5y）；2）9x2+1(1-3x)(-3x-1)。
解：（1）-3x2-5y/（x2-5y）= -3x2/(x2-5y) - 5y/(x2-5y) = -3 - 5y/(x2-5y)。
2）9x2+1(1-3x)(-3x-1) = 9x2+1(9x2+3x-x-1) = (3x+1)(3x-1)。
北师大版数学七年级下册第一章整式的乘除第6节完全平方公式课后练习
第一章整式的乘除第6节完全平方公式课后练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________ 评卷人得分一、单选题1．4张长为m ，宽为n （m ＞n ）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（m +n ）的正方形，图中空白部分的面积为S 1，阴影部分的面积为S 2，若3S 1＝2S 2，则m ，n 满足的关系是（ ）A ．m ＝4.5nB ．m ＝4nC ．m ＝3.5nD ．m ＝3n2．下列运算正确的是（ ） A ．(m 2)3=m 6B ．(mn )3=mn 3C ．(m +n )2＝m 2+n 2D ．m 6÷m 2=m 33．如果229(3)x bx x -+=-，则b 的值为（ ） A ．-3B ．3C ．6D ．-64．我国宋代数学家杨辉发现了()na b +（0n =，1，2，3，…）展开式系数的规律：以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，()8a b +展开式的系数和是（ ） A ．64 B ．128C ．256D ．612评卷人 得分二、填空题 5．已知：2a b +=，34ab =，则22a b +=_________，a b -=______．6．如图，长方形ABCD的周长为24，以它的四条边为边长向外作正方形，如果这四个正方形的面积和为160，则长方形ABCD 的面积为________．7．已知（x ﹣2020）2+（x ﹣2022）2＝18，则（x ﹣2021）2的值是___． 8．已知：x +y ＝12，则代数式3x 2+y 2的最小值为___． 评卷人 得分三、解答题 9．两个边长分别为a 和b 的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为1S ；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b 的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为2S ． （1）用含a ，b 的代数式分别表示1S 、2S ； （2）若15a b +=，20ab =，求12S S +的值；（3）当1240S S +=时，求出图3中阴影部分的面积3S ．10．化简求值：()()()()22322x y x x y x y x y +-+++-，其中14x =，2y =．11．有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示（m＞0），面积分别为S甲和S乙．（1）①计算：S甲＝，S乙＝；①用“＜”，“＝”或“＞”填空：S甲S乙．（2）若一个正方形纸片的周长与乙长方形的周长相等，面积为S正．①该正方形的边长是（用含m的代数式表示）；①小方同学发现：S正与S乙的差与m无关．请判断小方的发现是否正确，并通过计算说明你的理由．12．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值．13．如图，有长为m ，宽为n 的长方形卡片()A mn ，边长为m 的正方形卡片B ，边长为n 的正方形卡片C ，将卡片C 按如图1放置于卡片A 上，其未叠合部分（阴影）面积为1S ，将卡片A 按如图2放置于卡片B 上，其未叠合部分（阴影）面积为2S ．（1）1S =________，2S =________；（用含m 、n 的代数式表示） （2）若1218S S +=，则图3中阴影部分的面积3S =________； （3）若6m n -=，10mn =，求图4中阴影部分的面积4S ．14．图1是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积(直接用含m ，n 的代数式表示) 方法1：______ 方法2：______（2）根据()1中结论，请你写出下列三个代数式之间的等量关系；代数式：2()m n +，2()m n -，mn _________________________（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知8a b +=，7ab =，求a b -和22a b -的值．15．观察与计算： 152＝225＝1×2×100+25； 252＝625＝2×3×100+25； 352＝1225＝3×4×100+25； …猜想与计算：852＝_________，1052＝ ；发现：末位数字是5的数的平方的结果总是等于 ； 说理：请你用整式的乘法的有关知识说明你发现的结论的正确性． （提示：可以用10a +5表示末位数字是5的数）16．劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉高新区某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，让学生参与农耕劳作。
2021年北师大版七年级数学下册1.6完全平方公式自主学习同步训练B(附答案)
2021年北师大版七年级数学下册1.6完全平方公式自主学习同步训练B（附答案）1．若多项式x2+mx+64是完全平方式，则m＝．2．若二次三项式x2+6x+m2是关于x的完全平方式，则常数m＝．3．已知x+y＝3，xy＝2，则x﹣y＝．4．已知若a+b＝﹣3，ab＝2，则（a﹣b）2═．5．（2x+1）2﹣（x+2）2．6．（2a﹣3b）2﹣（3a﹣2b）2．7．（2a﹣1）2+2（2a﹣1）+3．8．（3a﹣b）2．9．（﹣m﹣4n）2．10．（﹣4x﹣）2．11．已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值：（1）a2+b2；（2）4ab．12．（x﹣2y+1）2．13．23.142﹣23.14×6.28+3.142．14．（1）已知xy＝1，x﹣y＝5，求x2+y2（2）已知a﹣15．（a﹣3b）（3b﹣a）．16．已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．（1）求a2+b2的值；（2）求a+b．17．简便计算：（1）982 （2）20202﹣4040×2019+2019218．已知a+b＝5，ab＝5，求（a﹣b）2的值．19．（1）已知x+y＝5，xy＝3，求x2+y2的值；（2）已知x﹣y＝5，x2+y2＝51，求（x+y）2的值；（3）已知x2﹣3x﹣1＝0，求x2+的值．20．已知a+b＝3，a2+b2＝7，求ab的值．21．已知a﹣b＝3，ab＝2，求下列各式的值．（1）a2+b2（2）（a+b）2．22．如图所示的大正方形是由两个小正方形和两个长方形组成．（1）通过两种不同的方法计算大正方形的面积，可以得到一个数学等式；（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b＝2，ab＝﹣3，求：①a2+b2；②a4+b4．23．如图，边长为a的大正方形内有一个边长为b的小正方形．（1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为．（2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为．（多项式乘积的形式）（3）比较左、右两图的阴影部分面积，请你写出一个整式乘法的公式．（4）结合（3）的公式，计算（1+）（1+）（1+）（1+）+．24．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式．图1，图2，图3．（2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系．（3）根据（2）中你探索发现的结论，计算：当x+y＝3，xy＝﹣10时，求x﹣y的值．25．请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．方法1：；方法2：；（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：；（3）利用（2）中结论解决下面的问题：若ab＝2，a+b＝4，求a2+b2的值．26．（1）根据图1中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．方法1：．方法2：．（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：．（3）利用（2）中结论解决下面的问题：如图2，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b ＝10，ab＝24，求阴影部分的面积．27．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示）（2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积．（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系．参考答案1．解：∵多项式x2+mx+64是完全平方式，x2+mx+64＝x2+mx+82，∴mx＝±2x•8，∴m＝±16．故答案为：±16．2．解：∵x2+6x+m2＝（x+3）2，故m2＝（±3）2＝9．故答案为：±3．3．解：∵x+y＝3，xy＝2，∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝32﹣4×2＝1．则x﹣y＝±1．故答案为：±1．4．解：∵a+b＝﹣3，ab＝2，∴（a﹣b）2═（a+b）2﹣4ab＝（﹣3）2﹣4×2＝9﹣8＝1．故答案为：1．5．解：（2x+1）2﹣（x+2）2＝4x2+4x+1﹣x2﹣4x﹣4＝3x2﹣3．6．解：原式＝4a2﹣12ab+9b2﹣9a2+12ab﹣4b2＝﹣5a2+5b2．7．解：原式＝4a2﹣4a+1+4a﹣2+3＝4a2+2．8．解：（3a﹣b）2＝（3a）2﹣2×3a×b+b2＝9a2﹣6ab+b2．9．解：原式＝m2+8mn+16n2．10．解：原式＝（4x+）2＝16x2+4xy+y2．11．解：（1）∵（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，∴a2+2ab+b2＝5，a2﹣2ab+b2＝3，∴2（a2+b2）＝8，∴a2+b2＝4；（2）∵a2+b2＝4，a2+2ab+b2＝5，∴4+2ab＝5，∴2ab＝1，∴4ab＝2．12．解：原式＝（x﹣2y）2+2（x﹣2y）+1＝x2﹣4xy+4y2+2x﹣4y+1．13．解：原式＝23.142﹣2×23.14×3.14+3.142＝（23.14﹣3.14）2＝400．14．解：（1）将x﹣y＝5两边同时平方，得（x﹣y）2＝25，即x2+y2﹣2xy＝25，因为xy＝1，所以x2+y2＝25+2＝27．（2）将a﹣＝4两边同时平方，得（a﹣）2＝16，即a2+（）2﹣2＝16，所以a2+＝16+2＝18．15．解：原式＝﹣（a﹣3b）（a﹣3b）＝﹣（a﹣3b）2＝﹣a2+3ab﹣9b2．16．解：（1）∵a﹣b＝7，ab＝﹣12，∴原式＝（a﹣b）2+2ab＝49﹣24＝25；（2）∵a﹣b＝7，ab＝﹣12，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝49﹣48＝1，则a+b＝±1．17．解：（1））982＝（100﹣2）2＝1002﹣2×100×2+22＝10000﹣400+4＝9604（2）20202﹣4040×2019+20192＝20202﹣2×2020×2019+20192＝（2020﹣2019）2＝12＝1．18．解：∵a+b＝5，ab＝5，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝52﹣4×5＝5．19．解：（1）因为x+y＝5，xy＝3，所以x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝25﹣6＝19；即x2+y2的值是19；（2）∵x﹣y＝5，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝25，又∵x2+y2＝51，∴2xy＝26，∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝51+26＝77；即（x+y）2的值是77；（3）解：∵x2﹣3x﹣1＝0∴x﹣3﹣＝0，∴x﹣＝3，∴x2+＝（x﹣）2+2＝11，即x2+的值是11．20．解：把a+b＝3两边平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝9，将a2+b2＝7代入得：ab＝1．21．解：（1）∵a﹣b＝3，ab＝2，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝32+2×2＝13；（2）∵a﹣b＝3，ab＝2，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝32+4×2＝17．22．解：（1）由图可得，正方形的面积＝（a+b）2，正方形的面积＝a2+2ab+b2，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2．故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（2）①a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣3）＝10；②a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝102﹣2×（﹣3）2＝100﹣18＝82．23．解：（1）图1中阴影部分的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2﹣b2；故答案为：a2﹣b2；（2）拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），因此面积为（a+b）（a﹣b），故答案为：（a+b）（a﹣b）；（3）根据两个图形的面积相等可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（4）（1+）（1+）（1+）（1+）+＝2×[（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）]+＝2×[（1﹣）（1+）（1+）（1+）]+＝2×[（1﹣）（1+）（1+）]+＝2×[（1﹣）（1+）]+＝2×（1﹣）+＝2﹣+＝2．24．解：（1）图1、；图2、；图3、．（2）由题意可知，阴影部分的面积＝大正方形面积﹣4×小长方形面积，大正方边长为（a+b），面积为（a+b）2，小长方形长为a，宽为b，面积为ab，则＝a2+2ab+b2﹣4ab＝a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．（3）由（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，∴（x﹣y）2＝32﹣4×（﹣10）＝49，∴x﹣y＝±7．25．解：（1）方法1，阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，即，a2+b2，故答案为：a2+b2，方法2，阴影部分的面积等于总面积减去两个长方形的面积，即，（a+b）2﹣2ab，故答案为：（a+b）2﹣2ab，（2）两种方法求得的结果相等，因此有，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，故答案为：，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，（3）由（2）得，ab＝2，a+b＝4，求a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣4＝12．26．解：（1）方法1：a2+b2，方法2：（a+b）2﹣2ab；故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab；（2）两种方法计算面积相等，故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（3）∵a+b＝10，ab＝24，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣48＝52；S阴影＝a2+b2﹣a2﹣（a+b）×b＝a2+b2﹣ab＝（a2+b2﹣ab）＝（52﹣24）＝14．27．解：（1）图2的空白部分的边长是2a﹣b（2）由图21﹣2可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，∵大正方形的边长＝2a+b＝7，∴大正方形的面积＝（2a+b）2＝49，又∵4个小长方形的面积之和＝大长方形的面积＝4a×2b＝8ab＝8×3＝24，∴小正方形的面积＝（2a﹣b）2＝49﹣24＝25（3）由图2可以看出，大正方形面积＝空白部分的正方形的面积+四个小长方形的面积即：（2a+b）2﹣（2a﹣b）2＝8ab。
最新七年级数学下册完全平方公式练习(含答案)
1.6完全平方公式 1．下列计算：①(a+b )2＝a 2+b 2；②(a-b )2＝a 2-b 2；③(a-b )2＝a 2-2ab -b 2； ④(-a-b )2＝-a 2-2ab+b 2．其中正确的有 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．(07·云南)已知x+y ＝-5，xy ＝6，则x 2+y 2的值是 ( )A ．1B ．13C ．17D ．253．（07·黄冈）下列运算正确的是 ( )A ．a 3+ a 2＝2 a 5B ．(-2 a 3)2＝4 a 6C ．(a+b )2＝a 2+b 2D ．a 6÷a 2＝a 34．(-2ax -3by )(2ax-3by )＝ ．5．(-2ax -3by )(2ax+3by )＝ ．6．⎪⎭⎫ ⎝⎛+-y x 5141⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 5141＝ ． 7．计算(x-y ) 2-(y +2x )( y -2x )．8．先化简，再求值．(m+n )2+(m+n )(m -3n )，其中m =23，n =1．9．当x =21，y ＝2时，求代数式⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+22228124141y x y x y x 的值．10．已知x -x 1＝3，求221xx +的值．11．已知x 2-4＝0，求代数式x (x +1)2- x (x 2+ x )- x -7的值．参考答案 1．A[提示：利用完全平方公式准确计算即可得出答案] 2．B[提示：由完全平方公式可知，x 2+y 2＝(x+y ) 2-2xy ＝(-5) 2-2×6＝13，故选B 。
]3．B[提示：根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式、同底数幂的除法一一判断．]4．9 b 2 y 2-4 a 2 x 25．-4a 2 x 2-12abxy -9 b 2 y 26．162522x y - 7．解：原式＝x 2-2xy + y 2-( y 2-4x 2)＝x 2-2 xy+y 2-y 2+4x 2＝5x 2-2xy ．8．解：原式＝m 2+2mn + n 2+ m 2-3mn+nm -3 n 2=2 m 2-2 n 2．当m ＝23，n ＝l 时，原式＝2×223⎪⎭⎫ ⎝⎛-2×12＝25 . 9．解：原式=⎪⎭⎫ ⎝⎛+22812y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-22812y x =4x 4-4641y =4×161-641×16=41-41=0． 10．解：21⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ＝32，x 2-2·x ·x 1+21x ＝9，x 2+21x ＝11． 11．解：x (x +1) 2- x (x 2+x ) –x -7＝x 3+2x 2+x-x 3-x 2-x -7=x 2-7.当x 2-4＝0时，x 2＝4，原式＝-3． 2017版《建设工程施工合同（示范文本）》解读与适用2017年10月，住建部公布了修订后的2017版《建设工程施工合同（示范文本）》（GF-2017-0201），与2013年版《建设工程施工合同（示范文本）》，本次修订就计日工、缺陷责任期、质量保证金三大类共9个条款进行了修订。
初中数学完全平方公式专项练习题
完全平方公式专项练习60题（有答案）1．（1）（x+y﹣z）（x+y+z）；（2）（x+y）2﹣（x﹣y）2．2．已知a﹣b=3，ab=2，求：（1）（a+b）2 （2）a2﹣6ab+b2的值．3．已知（a+b）2=6，（a﹣b）2=2，试比较a2+b2与ab的大小．4．已知（x+y）2=7，（x﹣y）2=3．求：（1）x2+y2的值；（2）x4+y4的值；（3）x6+y6的值．5．已知a2+b2=13，ab=6，求a+b的值．6．已知x+y=3，x2+y2﹣3xy=4．求下列各式的值：（1）xy；（2）x3y+xy3．7．阅读理解：求代数式y2+4y+8的最小值．解：∵y2+4y+8=（y2+4y+4）+4=（y+2）2+4≥4∴当y=﹣2时，代数式y2+4y+8的最小值是4．仿照应用（1）：求代数式m2+2m+3的最小值．仿照应用（2）：求代数式﹣m2+3m+的最大值．8．已知a2+b2=1，a﹣b=，求a2b2与（a+b）4的值．9．已知实数a，b满足a（a+2）﹣（a2+b）=6，求4a2﹣4ab+b2﹣8a+4b﹣15的值．10．99.82．11．用乘法公式计算：．12．利用公式求2×20092﹣20102﹣20082的值．13．已知：x2+3x+1=0，求的值．14．已知，试求的值．15．已知a2+3a+1=0，求：①，②，③．16．已知x﹣y=6，xy=﹣8，（1）求x2+y2的值；（2）求代数式的值．17．已知（2012﹣a）•（2010﹣a）=2011，求（2012﹣a）2+（2010﹣a）2的值．18．已知x+y=1，求x2+xy+y2的值．19．如果a+b+c=0，，求（a+1）2+（b+2）2+（c+3）2的值．20．已知a+b=3，ab=﹣10，求下列各式的值．（1）a2+b2（2）a2﹣ab+b2（3）（a﹣b）2．21．若（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，试求x+z与y的关系．22．证明：（a+b+c）2+a2+b2+c2=（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2．23．已知a+b+c=1，a2+b2+c2=2，求ab+bc+ca的值．24．运用完全平方公式计算（1）（x+y）2 （2）（2a+3b）2 （3）（4）（5）（a﹣1）2 （6）．25．运用完全平方公式计算（1）100.22 （2）98×98 （3）372（4）（5）20082 （6）．26．已知（a+b）2=3，（a﹣b）2=23，求代数式a2+b2﹣3ab的值．27．已知a+b+c=1，a2+b2+c2=2，a3+b3+c3=3，求（1）abc的值：（2）a4+b4+c4的值．28．已知m=4x2﹣12xy+10y2+4y+9，当x、y各取何值时，m的值最小？29．计算：5062+1012×505+5052﹣10102．30．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求x y的值．（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．31．如果36x2+（m+1）xy+25y2是一个完全平方式，求m的值．32．已知多项式4x2+1，添上一项，使它成为一个完全平方式，你有哪几种方法？33．如果x2+2（m﹣2）x+9是完全平方式，那么m的值等于_________ ．34．已知a2﹣4a+4+9b2+6b+1=0，求a、b的值．35．试说明：（a2+3a）（a2+3a+2）+1是一个完全平方式．36．已知a=2002，b=2003，c=2004，求a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值．37．代数式（a+1）（a+2）（a+3）（a+4）+1是一个完全平方式吗？请说明你的理由．38．已知（a+1）（a+2）（a+3）（a+4）+m是一个完全平方式，求常数m的值．39．x，y都是自然数，求证：x2+y+1和y2+4x+3的值不能同时是完全平方．40．试求出所有整数n，使得代数式2n2+n﹣29的值是某两个连续自然数的平方和．41．若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．42．已知二次三项式9x2﹣（m+6）x+m﹣2是一个完全平方式，试求m的值．43．观察下列等式：1×32×5+4=72=（12+4×1+2）22×42×6+4=142=（22+4×2+2）23×52×7+4=232=（32+4×3+2）24×62×8+4=342=（42+4×4+2）2…（1）根据你发现的规律，12×142×16+4是哪一个正整数的平方；（2）请把n（n+2）2（n+4）+4写成一个整数的平方的形式．44．（1）当a=﹣2，b=1时，求两个代数式（a+b）2与a2+2ab+b2的值；（2）当a=﹣2，b=﹣3时，再求以上两个代数式的值；（3）你能从上面的计算结果中，发现上面有什么结论．结论是：_________ ；（4）利用你发现的结论，求：19652+1965×70+352的值．45．当a=﹣3，b=1，时，分别求代数式（a﹣b）2与a2﹣2ab+b2的值，并比较计算结果；你有什么发现？利用你发现的结果计算：20122﹣2×2012×2011+20112．46．一个正整数a恰好等于另一个正整数b的平方，则称正整数a为完全平方数．如64=82，64就是一个完全平方数；若a=29922+29922×29932+29932．求证：a是一个完全平方数．47．用图说明公式：（a+b+c+d）2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd．48．观察如图图形由左到右的变化，计算阴影部分的面积，并用面积的不同表达形式写出相应的代数恒等式．49．如图所示：（1）指出图中有多少个边长为a的正方形？有多少个边长为b的正方形？有多少个两边长分别为a和b的矩形？（2）请在图中指出面积为（a+2b）2的图形，利用乘法公式计算结果，并利用图形的关系验证相应的结果．50．计算：（1）（x3n+1）（x3n﹣1）﹣（x3n﹣1）2；（2）（2x n+1）2（﹣2x n+1）2﹣16（x n+1）2（x n﹣1）2．51．阅读下列文字：我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式，例如由图（a）可以得到a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）．请解答下列问题：（1）写出图（b）中所表示的数学等式_________ ；（2）试画出一个长方形，使得计算它的面积能得到2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）．52．如图是用四个长、宽分别为a、b（a＞b）的相同长方形和一个小正方形镶嵌而成的正方形图案．（1）用含有a、b的代数式表示小正方形的面积．（用两种不同的形式来表示）（2）如果已知大正方形图案的面积为28，小正方形的面积是6，求a2+b2+ab的值．53．图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形．（1）你认为图1的长方形面积等于_________ ；（2）将四块小长方形拼成一个图2的正方形．请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．方法1：_________ ；方法2：_________ ；（3）观察图2直接写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系_________ ；（4）把四块小长方形不重叠地放在一个长方形的内部（如图3），未被覆盖的部分用阴影表示．求两块阴影部分的周长和（用含m、n的代数式表示）．54．已知x1，x2，x3，…，x n中每一个数值只能取﹣2，0，1中的一个，且满足x1+x2+…+x n=﹣17，x12+x22+…+x n2=37，求x13+x23+…+x n3的值．55．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：（a+b）0=1，它只有一项，系数为1；（a+b）1=a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…根据以上规律，解答下列问题：（1）（a+b）4展开式共有_________ 项，系数分别为_________ ；（2）（a+b）n展开式共有_________ 项，系数和为_________ ．56．阅读下列材料并解答后面的问题：利用完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2，通过配方可对a2+b2进行适当的变形，如a2+b2=（a+b）2﹣2ab或a2+b2=（a﹣b）2+2ab．从而使某些问题得到解决．例：已知a+b=5，ab=3，求a2+b2的值．解：a2+b2=（a+b）2﹣2ab=52﹣2×3=19．问题：（1）已知a+=6，则a2+= _________ ；（2）已知a﹣b=2，ab=3，求a4+b4的值．57．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．58．1261年，我国宋代数学家杨辉写了一本书《详解九章算术》．书中记载了一个用数字排成的三角形我们叫作杨辉三角形（a+b）0=1 (1)（a+b）1=a+b…1 1（a+b）2=a2+2ab+b2…1 2 1（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3…1 3 3 1（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4…••1 4 6 4 1（1）请写出第五行的数字_________ ；（2）第n行杨辉三角形数字与（a+b）n的展开结果关系如上图所示，请写出（a+b）5的展开结果；（3）已知（a﹣b）1=a﹣b，（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，（a﹣b）3=a3﹣3a2b+3ab2﹣b3（a﹣b）4=a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4．请写出（a﹣b）5的展开结果．59．先阅读下面一段文字，然后猜想，解答问题：由32=9=4+5，发现有32+42=52成立；又52=25=12+13，仍然有52+122=132；而72=49=24+25，还是有72+242=252…（1）猜想92=81=x+y（x、y均为正整数，且x＜y），并且92+x2=y2，则x= _________ ，y= _________ ．（2）是否大于1的奇数都有上面这样的规律？证明你的猜想．60．操作与探究（1）比较下列两个算式结果的大小（在横线上填“＞”“=”“＜”（每空1分）①32+42_________ 2×3×4；②（）2+（）2_________ 2××；③（﹣2）2+（﹣3）2_________ 2×（﹣2）×（﹣3）；④（﹣）2+（﹣）2_________ 2×（﹣）×（﹣）⑤（﹣4）2+（﹣4）2_________ 2×（﹣4）×（﹣4）…（2）观察并归纳（1）中的规律，用含a，b的一个关系式把你的发现表示出来．（3）若已知mn=8，且m，n都是正数，试求2m2+2n2的最小值．参考答案：1．解：（1）原式=（x+y）2﹣z2=x2+2xy+y2﹣z2；（2）原式=（x+y+x﹣y）（x+y﹣x+y）=4xy．2．解：（1）将a﹣b=3两边平方得：（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab=9，把ab=2代入得：a2+b2=13，则（a+b）2=a2+b2+2ab=13+4=17；（2）a2﹣6ab+b2=a2+b2﹣6ab=13﹣12=13．解：∵（a+b）2=a2+b2+2ab=6①，（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab=2②，∴①+②得：2（a2+b2）=8，即a2+b2=4；①﹣②得：4ab=4，即ab=14．解：（1）∵（x+y）2=7，（x﹣y）2=3，x2+2xy+y2=7，x2﹣2xy+y2=3，∴x2+y2=5，xy=1；（2）x4+y4=（x2+y2）2﹣2x2y2=25﹣2=23；（3）x6+y6=（x2+y2）（x4﹣x2y2+y4）=5×（23﹣1）=1105．解：∵a2+b2=13，ab=6，（a+b）2=a2+2ab+b2=a2+b2+2ab=13+2×6=25，∴a+b==±5．6．解：（1）∵x+y=3，∴（x+y）2=9，∴x2+y2+2xy=9，∴x2+y2=9﹣2xy，代入x2+y2﹣3xy=4，∴9﹣2xy﹣3xy=4，解得：xy=1．（2）∵x2+y2﹣3xy=4，xy=1，∴x2+y2=7，又∵x3y+xy3=xy（x2+y2），∴x3y+xy3=1×7=77．解：应用（1）m2+2m+3=（m2+2m+1）+2=（m+1）2+2≥2，∴当m=﹣1时，m2+2m+3的最小值是2，应用（2）﹣m2+3m+=﹣（m2﹣3m+）++=﹣（m﹣）2+3≤3，∴当m=时，﹣m2+3m+的最大值是38．解：a2+b2=1，a﹣b=，∴（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab，∴ab=﹣[（a﹣b）2﹣（a2+b2）]=﹣×（﹣1）=，∴a2b2=（ab）2=（）2=；∵（a+b）2=（a﹣b）2+4ab=+4×=，∴（a+b）4=[（a+b）2]2=9．解：∵a（a+2）﹣（a2+b）=6，∴a2+2a﹣a2﹣b=6，∴2a﹣b=6，原式=（2a﹣b）2﹣4（2a﹣b）﹣15，当2a﹣b=6时，原式=62﹣4×6﹣15=﹣3 10．解：99.82=（100﹣0.2）2，=1002﹣2×100×0.2+0.22，=10000﹣40+0.04，=9960.0411．解：===164012．解：设a=2009，原式=2a2﹣（a+1）2﹣（a﹣1）2=2a2﹣a2﹣2a﹣1﹣a2+2a﹣1=﹣213．解：∵x≠0，∴已知方程变形得：x+3+=0，即x+=﹣3，则x2+=（x+）2﹣2=9﹣2=714．解：对式子两边平方得，a2+﹣2=，∴a2+=，∴（）2=a2++2，=+2，=，∴=±15．解：①∵a2+3a+1=0，∴a≠0，∴在等式的两边同时除以a，得a+3+=0，∴a+=﹣3；②由①知，a+=﹣3，则（a+）2=+2=9，解得，=7；③由②知，=7，则（）2=+2=49，解得，=4716．解：（1）∵x﹣y=6，xy=﹣8，∴（x﹣y）2=x2+y2﹣2xy，∴x2+y2=（x﹣y）2+2xy=36﹣16=20；（2）∵（x+y+z）2+（x﹣y﹣z）（x﹣y+z）﹣z（x+y），=（x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz）+[（x﹣y）2﹣z2]﹣xz﹣yz，=x2+y2+z2+xy+xz+yz+x2+y2﹣xy﹣z2﹣xz﹣yz，=x2+y2，又∵x2+y2=20，∴原式=2017．解：∵（2012﹣a）•（2010﹣a）=2011，∴（2012﹣a）2+（2010﹣a）2=[（2012﹣a）﹣（2010﹣a）]2+2（2012﹣a）（2010﹣a）=4+2×2011=402618．解：x2+xy+y2=（x+y）2=×1=．19．解：由，去分母，得（b+2）（c+3）+（a+1）（c+3）+（a+1）（b+2）=0，而（a+1）2+（b+2）2+（c+3）2=[（a+1）+（b+2）+（c+3）]2﹣2[（b+2）（c+3）+（a+1）（c+3）+（a+1）（b+2）] =（a+b+c+6）2=（0+6）2=3620．解：（1）a2+b2=（a+b）2﹣2ab=9+20=29；（2）a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab=9+30=39；（3）原式=（a+b）2﹣4ab=9+49=5821．解：∵x﹣z=x﹣y+y﹣z，∴原式可化为[（x﹣y）+（y﹣z）]2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，（x﹣y）2﹣2（x﹣y）（y﹣z）+（y﹣z）2=0，（x﹣y﹣y+z）2=0，∴x+z=2y22．证明：（a+b+c）2+a2+b2+c2=[（a+b）+c]2+a2+b2+c2，=（a+b）2+2（a+b）c+c2+a2+b2+c2，=（a+b）2+2ac+2bc+c2+a2+b2+c2，=（a+b）2+（a2+2ac+c2）+（b2+2bc+c2），=（a+b）2+（a+c）2+（b+c）223．解：∵a+b+c=1，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1，∵a2+b2+c2=2，∴2+2ab+2bc+2ac=1，解得ab+bc+ac=﹣24．解：（1）原式=x2+2xy+y2；（2）原式=4a2+12ab+9b2；（3）原式=m2+4m+16；（4）原式=x2+x+；（5）原式=a2﹣2a+1；（6）原式=﹣2ab+9b225．（1）原式=（100+0.2）2=10000+40+0.04=10040.04；（2）原式=（100﹣2）2=10000﹣400+4=9604；（3）原式=（40﹣3）2=1600﹣240+9=1351；（4）原式=（20+）2=400+20+=420；（5）原式=（2000+8）2=4000000+32000+64=4032064；（6）原式=（14+）2=196++=217．26．解：∵（a+b）2=a2+2ab+b2=3①，（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2=23②，∴①+②得：2（a2+b2）=26，即a2+b2=13，①﹣②得：4ab=﹣20，即ab=﹣5，则原式=13+15=2827．解：（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），即1=2+2（ab+bc+ac），∴ab+bc+ac=﹣，a3+b3+c3﹣3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc），即3﹣3abc=2+，∴abc=；（2）（a+b+c）（a3+b3+c3）=a4+b4+c4+7（ab+bc+ac）﹣abc（a+b+c），即：3=a4+b4+c4+7×（﹣）﹣×1，a4+b4+c4=28．解：m=4x2﹣12xy+10y2+4y+9=（2x﹣3y）2+（y+2）2+5，由于m等于两个非负数的和加上5，所以最小值是0+5=5，即m=5，即2x﹣3y=0，y+2=0，∴x=﹣3，y=﹣2．故m=5，x=﹣3，y=﹣229．解：原式=5062+2×506×505+5052﹣10102=（506+505）2﹣10102=10112﹣10102=（1011+1010）（1011﹣1010）=202130．解：（1）x2+2y2﹣2xy+4y+4=x2﹣2xy+y2+y2+4y+4=（x﹣y）2+（y+2）2=0，∴x﹣y=0，y+2=0，解得x=﹣2，y=﹣2，∴x y=（﹣2）﹣2=；（2）∵a2+b2=10a+8b﹣41，∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16=0，即（a﹣5）2+（b﹣4）2=0，a﹣5=0，b﹣4=0，解得a=5，b=4，∵c是△ABC中最长的边，∴5≤c＜931．解：∵36x2+（m+1）xy+25y2=（6x）2+（m+1）xy+（5y）2，∴（m+1）xy=±2•6x•5y，∴m+1=±60，∴m=59或﹣6132．解：4x，﹣4x，4x4设所求的一项是y，则①当y是中间项时，∵4x2+1±y是完全平方式，∴4x2+y+1=（2x+1）2，∴4x2±y+1=4x2+4x+1，∴y=±4x；②当y是尾项时，1=2×2x•，则y=．不合题意，舍去33．解：∵x2+2（m﹣2）x+9是一个完全平方式，∴这两个数是x和3，∴2（m﹣2）=±6，解得m=5或﹣1，故答案为m1=5，m2=﹣134．解：∵a2﹣4a+4+9b2+6b+1=（a﹣2）2+（3b+1）2=0，而（a﹣2）2≥0，（3b+1）2≥0，∴a﹣2=0，3b+1=0，解得a=2，b=﹣35．证明：（a2+3a）（a2+3a+2）+1，=（a2+3a）2+2（a2+3a）+1，=（a2+3a+1）2，∴（a2+3a）（a2+3a+2）+1是一个完全平方式36．解：∵2（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc），=a2+b2﹣2ab+a2+c2﹣2ac+b2+c2﹣2bc，=（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2，=（2002﹣2003）2+（2002﹣2004）2+（2003﹣2004）2=1+4+1，=6，∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc=337．解：原式=（a+1）（a+4）（a+2）（a+3）+1=（a2+5a+4）（a2+5a+6）+1=（a2+5a）2+10（a2+5a）+25=（a2+5a+5）2．则代数式是完全平方式38．解：（a+1）（a+2）（a+3）（a+4）+m，=（a+1）（a+4）（a+2）（a+3）+m，=（a2+5a+4）（a2+5a+6）+m，=（a2+5a）2+10（a2+5a）+24+m，∵多项式是一个完全平方式，∴24+m=25，∴m=139．解：设x2+y+1和y2+4x+3的值能同时是完全平方，那么有x2+y+1=（x+1）2，y2+4x+3=（y+）2，∴y=2x，4x=2y，即y=2x，x=y，又∵x、y是自然数，∴y必是无理数，∴与已知矛盾，故x2+y+1和y2+4x+3的值不能同时是完全平方40．解：设两个连续自然数是x、x+1，则根据题意知2n2+n﹣29=x2+（x+1）2，化简为2x2+2x+30﹣2n2﹣n=0 ①∴x==②因为x是自然数，所以4n2+2n﹣59必为某个整数的平方（完全平方数），因此设4n2+2n﹣59=k2③∴n==④因为n是整数，所以4k2+237必为某个整数的平方（完全平方数），设4k2+237=a2⑤则有a2﹣4k2=237，即（a+2k）（a﹣2k）=237，所以有或，解之得或由⑤式得4k2+237=1192或412，代入④式得n1=10，n2=﹣30，∴符合条件的整数n是10或﹣3041．解：原式=（x+y）2﹣a（x+y）+52，∵原式为完全平方式，∴﹣a（x+y）=±2×5•（x+y），解得a=±1042．解：∵9x2﹣（m+6）x+m﹣2=（3x）2﹣（m+6）x+（）2，∴±（m+6）=2•3•，两边平方并整理得，m2﹣24m+108=0，解得m1=6，m2=18，所以m的值为6或1843．解：（1）由题意，可得12×142×16+4=（122+4×12+2）2=1942；（2）n（n+2）2（n+4）+4=（n2+4n+2）244．解：（1）当a=﹣2，b=1时，（a+b）2=1，a2+2ab+b2=1（2）当a=﹣2，b=﹣3时，（a+b）2=25，a2+2ab+b2=25（3）（a+b）2=a2+2ab+b2（4）原式=19652+2×1965×35+352=（1965+35）2=400000045．解：当a=﹣3，b=1时，（a﹣b）2=（﹣3﹣1）2=16，a2﹣2ab+b2=（﹣3）2﹣2×（﹣3）×1+12=9+6+1=16，∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2；根据结果，20122﹣2×2012×2011+20112=（2012﹣2011）2=1 46．证明：令2992=m，则2993=m+1，于是a=m2+m2•（m+1）2+（m+1）2，=m4+2m3+3m2+2m+1，=m4+2m3+2m2+m2+2m+1，=（m2）2+2•m2•（m+1）+（m+1）2，=（m2+m+1）2，所以是a一个完全平方数47．解：依题意，画一个边长是a+b+c+d的正方形，则（a+b+c+d）2=a2+ab+ac+ad+ab+b2+bc+bd+ac+bc+c2+cd+ad+bd+cd+d2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd48．解：左边图形的阴影部分面积为：（a+b）2﹣（a﹣b）2，右边图形的阴影部分面积为：a×4b=4ab，根据两图形的阴影部分面积相等可得，（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab．故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab49．解：（1）图中有1个边长为a的正方形；有4个边长为b的正方形；有4个两边长分别为a和b的矩形；（2）图形中最大正方形的面积为（a+2b）2=a2+4ab+4b2；最大正方形的边长为a+2b，故面积为（a+2b）2；最大正方形的面积S=a2+4ab+4b2，故（a+2b）2=a2+4ab+4b250．解：（1）原式=x6n﹣1﹣x6n+2x3n﹣1=2x3n﹣2．（2）原式=[（1+2x n）（1﹣2x n）]2﹣16[（x n+1）（x n﹣1）]2=（1﹣4x2n）2﹣16（x2n﹣1）2=1﹣8x2n+16x4n﹣16x4n+32x2n﹣16=24x2n﹣1551．解：（1）由图形可知：2a2+5ab+2b2=（a+2b）（2a+b）；（2）52．解：（1）∵如图是用四个长、宽分别为a、b（a＞b）的相同长方形和一个小正方形镶嵌而成的正方形图案，∴小正方形的面积为：（a﹣b）2或（a+b）2﹣4ab；（2）∵大正方形图案的面积为28，小正方形的面积是6，∴（a+b）2﹣4ab=6，∴28﹣4ab=6，∴ab=，∴a2+b2+ab=（a+b）2﹣ab=28﹣=22.553．解：（1）长方形面积=2a•2b=4ab；（2）方法1：S阴影部分=（a+b）2﹣4ab；方法2：S阴影部分=（a﹣b）2；（3）根阴影部分的面相等得到（a+b）2﹣4ab=（a﹣b）2；（4）两块阴影部分的周长和=2a+2（n﹣2b）+2×2b+2（n﹣a）=4n．故答案为4ab；（a+b）2﹣4ab；S阴影部分=（a﹣b）254．解：设有p个x取1，q个x取﹣2，有，（5分）解得，（5分）所以原式=1×13+9×（﹣2）3=﹣71．55．解：（1）根据题意知，（a+b）4的展开后，共有5项，各项系数分别为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，即：1、4、6、4、1；（2）当a=b=1时，（a+b）n=2n．故答案为：（1）5，1，4，6，4，1；（2）n+1，2n56．解：（1）∵=a2+2∴a2+=﹣2=34；（2）∵a﹣b=2，ab=3，∴a2+b2=（a﹣b）2+2ab，=4+2×3，=10，a2b2=9，∴a4+b4=（a2+b2）2﹣2a2b2，=100﹣2×9，=8257．解：（1）x2﹣4x+2的三种配方分别为：x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2，x2﹣4x+2=（x+）2﹣（2+4）x，x2﹣4x+2=（x ﹣）2﹣x2；（2）a2+ab+b2=（a+b）2﹣ab，a2+ab+b2=（a+b）2+b2；（3）a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4，=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣3b+3）+（c2﹣2c+1），=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣2c+1），=（a ﹣b）2+（b﹣2）2+（c﹣1）2=0，从而有a ﹣b=0，b﹣2=0，c﹣1=0，即a=1，b=2，c=1，∴a+b+c=458．解：（1）根据题意可推出第五行的数字为：1、5、10、10、5、1，（2）（a+b）5=（a+b）3（a+b）2=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，（3）（a﹣b）5=（a﹣b）3（a﹣b）2=（a3﹣3a2b+3ab2﹣b3）（a2﹣2ab+b2）=a5﹣5a4b+10a3b2﹣10a2b3+5ab4﹣b5．故答案为1、5、10、10、5、159．解：（1）92=81=40+41，且92+402=412，第21 页共22 页故答案为：40，41．（2）（2n﹣1）2+（2n2﹣2n）2=（2n2﹣2n+1）2，证明：（2n﹣1）2+（2n2﹣2n）2=4n2﹣4n+1+4n4﹣8n3+8n2﹣4n+1，（2n2﹣2n+1）2=4n4﹣8n3+8n2﹣4n+1，即（2n﹣1）2+（2n2﹣2n）2=（2n2﹣2n+1）2，故答案为：40，4160．解：（1）32+42＞2×3×4；②（）2+（）2＞2××；③（﹣2）2+（﹣3）2＞2×（﹣2）×（﹣3）；④（﹣）2+（﹣）2＞2×（﹣）×（﹣）⑤（﹣4）2+（﹣4）2=2×（﹣4）×（﹣4）…故答案为＞、＞、＞、＞、=；（2）a2+b2≥2ab；（3）∵m2+n2≥2mn，而mn=8，∴m2+n2≥16，∴2m2+2n2的最小值为32第22 页共22 页。
七下数学每日一练：完全平方公式及运用练习题及答案_2020年压轴题版
先化简，再求值：其中，．;a+2b）（a+b）＝a+3ab+2b．例如：由图可得到 .（1）写出由图所表示的数学等式：；写出由图所表示的数学等式：利用上述结论，解决下面问题：已知，，求的值;答案答案(2019海曙.七下期中) 我们知道:有些代数恒等式可以利用平面图形的面积来表示，如：就可以用如图所示的面积关系来说明。
（1） 请根据如图写出代数恒等式,并根据所写恒等式计算：（2）若 求的值；（3） 现有如图中的彩色卡片:A 型、B 型、C 型，把这些卡片不重叠不留缝隙地贴在棱长为的100个立方体表面进行装饰，A 型、B 型、C 型卡片的单价分别为0.7元/张、0.5元/张、0.4元/张，共需多少费用?考点： 完全平方公式及运用;完全平方公式的几何背景;~~第5题~~(2017敦煌.七下期中) 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b ）（n 为正整数）的展开式（按a 的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b ）=a +2ab+b 展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b ）=a +3a b+3ab +b 展开式中的系数等等．（1） 根据上面的规律，则（a+b ）的展开式=．（2） 利用上面的规律计算：2﹣5×2+10×2﹣10×2+5×2﹣1=．考点： 完全平方公式及运用;2020年七下数学：数与式_整式_完全平方公式及运用练习题答案1.答案：2.答案：n 22233222554323.答案：4.答案：5.答案：。
湘教版数学七年级下册_《完全平方公式》拓展训练
《完全平方公式》拓展训练一、选择题1．若a=4+，则a2+的值为（）A．14B．16C．18D．202．已知a+b=﹣5，ab=﹣4，则a2﹣ab+b2的值是（）A．37B．33C．29D．213．若a、b、c是正数，下列各式，从左到右的变形不能用如图验证的是（）A．（b+c）2=b2+2bc+c2B．a（b+c）=ab+acC．（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2acD．a2+2ab=a（a+2b）4．已知x2﹣2kx+36是一个完全平方式，则k的值是（）A．±6B．±3C．6D．﹣65．下列关于962的计算方法正确的是（）A．962=（100﹣4）2=1002﹣42=9984B．962=（95+1）（95﹣1）=952﹣1=9024C．962=（90+6）2=902+62=8136D．962=（100﹣4）2=1002﹣2×4×100+42=92166．运用乘法公式计算（a﹣2）2的结果是（）A．a2﹣4a+4B．a2﹣2a+4C．a2﹣4D．a2﹣4a﹣4 7．小明在计算一个二项式的平方时，得到的正确结果是4x2+12xy+■，但最后一项不慎被污染了，这一项应是（）A．3y2B．6y2C．9y2D．±9y28．观察下列各式及其展开式：（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2（a﹣b）3=a3﹣3a2b+3ab2﹣b3（a﹣b）4=a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4（a﹣b）5=a5﹣5a4b+10a3b2﹣10a2b3+5ab4﹣b5…请你猜想（a﹣b）10的展开式第三项的系数是（）A．﹣36B．45C．﹣55D．669．已知（m﹣n）2=32，（m+n）2=4000，则m2+n2的值为（）A．2014B．2015C．2016D．403210．已知：（x+y）2=12，（x﹣y）2=4，则x2+3xy+y2的值为（）A．8B．10C．12D．14二、填空题11．当m=时，关于x二次三项式x2﹣（m+1）x+（m+7）是完全平方式．12．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=7，ab=13，则阴影部分的面积为．13．一个长方形的长减少3cm，同时宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，则原长方形的长是，宽是．14．观察下列各式及其展开式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5……请你猜想（a+b）11的展开式第三项的系数是．15．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．（1）请仔细观察，填出（a+b）4的展开式中所缺的系数．（a+b）4=a4+4a3b+ a2b2+ ab3+b4（2）此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过814天是星期．三、解答题16．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=12，ab+bc+ac=47，求a2+b2+c2的值；（3）小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（25a+8b）（17a+44b）长方形，求x+y+z的值．17．已知大正方形的周长比小正方形的周长长96厘米，它们的面积相差960平方厘米，分别求出大正方形和小正方形的边长．18．我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方法吗？这里，我们以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，回答问题：272=（27+7）×20+72=729322=（32+2）×30+22=1024562=（56+6）×50+62=3136…（1）请根据上述规律填空：382==；（2）我们知道，任何一个两位数（个数上数字n十位上的数字为m）都可以表示为10m+n，根据上述规律写出：（10m+n）2=，并用所学知识说明你的结论的正确性．19．【知识生成】通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．（1）如图1，根据图中阴影部分的面积可以得到的等式是：；【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的情况，也可以得到一个恒等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割成8块．（2）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为：；（3）已知a+b=3，ab=1，利用上面的规律求a3+b3的值．20．回答下列问题（1）填空：x2+=（x+）2﹣=（x﹣）2+（2）若a+=5，则a2+=；（3）若a2﹣3a+1=0，求a2+的值．《完全平方公式》拓展训练参考答案与试题解析一、选择题1．若a=4+，则a2+的值为（）A．14B．16C．18D．20【分析】先将a=4+，整理成a﹣=4，再两边平方，展开整理即可得出结论．【解答】解：∵a=4+，∴a﹣=4，两边平方得，（a﹣）2=16，∴a2+﹣2=16，即：a2+=18，故选：C．【点评】此题主要考查了完全平方公式，给a﹣=4两边平方是解本题的关键．2．已知a+b=﹣5，ab=﹣4，则a2﹣ab+b2的值是（）A．37B．33C．29D．21【分析】先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．【解答】解：∵a+b=﹣5，ab=﹣4，∴a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab=（﹣5）2﹣3×（﹣4）=37，故选：A．【点评】本题考查了完全平方公式，能灵活运用完全平方公式进行变形是解此题的关键．3．若a、b、c是正数，下列各式，从左到右的变形不能用如图验证的是（）A．（b+c）2=b2+2bc+c2B．a（b+c）=ab+acC．（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2acD．a2+2ab=a（a+2b）【分析】通过几何图形面积之间的数量关系对完全平方公式或其它等式做出几何解释即可．【解答】解：依据①②③④四部分的面积可得，（b+c）2=b2+2bc+c2，故A能验证；依据⑤⑥两部分的面积可得，a（b+c）=ab+ac，故B能验证；依据整个图形的面积可得，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，故C能验证；图中不存在长为a+2b，宽为a的长方形，故D选项不能验证；故选：D．【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系，即可得到完全平方公式．4．已知x2﹣2kx+36是一个完全平方式，则k的值是（）A．±6B．±3C．6D．﹣6【分析】根据完全平方式得出2kx=±2•x•6，求出即可．【解答】解：∵x2﹣2kx+36是一个完全平方式，∴﹣2kx=±2•x•6，解得：k=±6，故选：A．【点评】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式（有两个：a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2）是解此题的关键．5．下列关于962的计算方法正确的是（）A．962=（100﹣4）2=1002﹣42=9984B．962=（95+1）（95﹣1）=952﹣1=9024C．962=（90+6）2=902+62=8136D．962=（100﹣4）2=1002﹣2×4×100+42=9216【分析】完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．依此即可求解．【解答】解：A、962=（100﹣4）2=1002﹣2×100×4+42=9216，故选项错误；B、962=（95+1）（95+1）=952+2×95×1+1=9216，故选项错误；C、962=（90+6）2=902+2×90×6+62=9216，故选项错误；D、962=（100﹣4）2=1002﹣2×100×4+42=9216，故选项正确．故选：D．【点评】考查了完全平方公式，应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．6．运用乘法公式计算（a﹣2）2的结果是（）A．a2﹣4a+4B．a2﹣2a+4C．a2﹣4D．a2﹣4a﹣4【分析】原式利用完全平方公式化简得到结果．【解答】解：原式=a2﹣4a+4，故选：A．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．小明在计算一个二项式的平方时，得到的正确结果是4x2+12xy+■，但最后一项不慎被污染了，这一项应是（）A．3y2B．6y2C．9y2D．±9y2【分析】根据4x2+12xy+■=（2x+3y）2得出即可．【解答】解：∵4x2+12xy+■是一个二项式的平方，∴■=（3y）2=9y2，故选：C．【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能熟记公式的特点是解此题的关键，注意：完全平方公式为：①（a+b）2=a2+2ab+b2，②（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．8．观察下列各式及其展开式：（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2（a﹣b）3=a3﹣3a2b+3ab2﹣b3（a﹣b）4=a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4（a﹣b）5=a5﹣5a4b+10a3b2﹣10a2b3+5ab4﹣b5…请你猜想（a﹣b）10的展开式第三项的系数是（）A．﹣36B．45C．﹣55D．66【分析】根据各式与展开式系数规律，确定出所求展开式第三项系数即可．【解答】解：根据题意得：第五个式子系数为1，﹣6，15，﹣20，15，﹣6，1，第六个式子系数为1，﹣7，21，﹣35，35，﹣21，7，﹣1，第七个式子系数为1，﹣8，28，﹣56，70，﹣56，28，﹣8，1，第八个式子系数为1，﹣9，36，﹣84，126，﹣126，84，﹣36，9，﹣1，第九个式子系数为1，﹣10，45，﹣120，210，﹣252，210，﹣120，45，﹣10，1，则（a﹣b）10的展开式第三项的系数是45，故选：B．【点评】此题考查了完全平方公式，弄清题中的规律是解本题的关键．9．已知（m﹣n）2=32，（m+n）2=4000，则m2+n2的值为（）A．2014B．2015C．2016D．4032【分析】根据完全平方公式，即可解答．【解答】解：（m﹣n）2=32，m2﹣2mn+n2=32 ①，（m+n）2=4000，m2+2mn+n2=4000 ②，①+②得：2m2+2n2=4032m2+n2=2016．故选：C．【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．10．已知：（x+y）2=12，（x﹣y）2=4，则x2+3xy+y2的值为（）A．8B．10C．12D．14【分析】由于（x+y）2=12，（x﹣y）2=4，两式相加可得x2+y2的值，两式相减可得xy的值，再整体代入计算即可求解．【解答】解：∵（x+y）2=12①，（x﹣y）2=4②，∴①+②得2（x2+y2）=16，解得x2+y2=8，①﹣②得4xy=8，解得xy=2，∴x2+3xy+y2=8+3×2=14．故选：D．【点评】考查了完全平方公式．关键是根据已知条件两式相加求得x2+y2的值，两式相减得xy的值．二、填空题11．当m=2或﹣3时，关于x二次三项式x2﹣（m+1）x+（m+7）是完全平方式．【分析】本题要要满足完全平方式的情况只有a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2两种情况，用待定系数法即可求解．【解答】解：二次三项式x2﹣（m+1）x+（m+7）是完全平方式，故可以表示为：x2﹣（m+1）x+（m+7）=x2±2ax+a2化简为：m2+m﹣6=0解得：m=2或﹣3故答案为：2或﹣3．【点评】本题用到的知识点为完全平方公式a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2的两种情况，用待定系数法求解即可．12．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=7，ab=13，则阴影部分的面积为5．【分析】由大三角形面积减去小三角形面积表示出阴影部分面积，将a+b与ab 的值代入计算即可求出值．【解答】解：根据题意得：=a2﹣b（a﹣b）=a2﹣ab+b2=[（a+b）2﹣2ab]当a+b=7，ab=13时，S阴影﹣ab=5，故答案为：5【点评】此题考查了完全平方公式的几何背景，表示出阴影部分面积是解本题的关键．13．一个长方形的长减少3cm，同时宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，则原长方形的长是9cm，宽是4cm．【分析】设这个长方形的长为xcm，宽为ycm，根据长方形的长减少5cm，宽增加2cm，组成正方形，且面积相等，列方程组求解．【解答】解：设这个长方形的长为xcm，宽为ycm，由题意得，，解得：．故答案为：9cm，4cm．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．14．观察下列各式及其展开式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5……请你猜想（a+b）11的展开式第三项的系数是55．【分析】利用所给展开式探求各项系数的关系，特别是上面的展开式与下面的展开式中的各项系数的关系，可推出（a+b）11的展开式第三项的系数．【解答】解：∵（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5……∴依据规律可得到：（a+b）2第三个数为1，（a+b）3第三个数为3=1+2，（a+b）4第三个数为6=1+2+3，…（a+b）11第三个数为：1+2+3+…+9+10==55．故答案为：55．【点评】本题考查了完全平方公式，各项是按a的降幂排列的，它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．15．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．（1）请仔细观察，填出（a+b）4的展开式中所缺的系数．（a+b）4=a4+4a3b+ 6 a2b2+ 4ab3+b4（2）此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过814天是星期四．【分析】（1）根据杨辉三角，下一行的系数是上一行相邻两系数的和，然后写出各项的系数即可；（2）根据814=（7+1）14=714+14×713+91×712+…+14×7+1可知814除以7的余数为1，从而可得答案．【解答】解：（1）（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，故答案为：6，4；（2）∵814=（7+1）14=714+14×713+91×712+…+14×7+1，∴814除以7的余数为1，∴假如今天是星期三，那么再过814天是星期四，故答案为：四．【点评】本题考查了完全平方公式，能发现（a+b）n展开后，各项是按a的降幂排列的，系数依次是从左到右（a+b）n﹣1系数之和．它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．三、解答题16．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=12，ab+bc+ac=47，求a2+b2+c2的值；（3）小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（25a+8b）（17a+44b）长方形，求x+y+z的值．【分析】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可；（2）将a+b+c=12，ab+bc+ac=47代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可；（3）长方形的面积xa2+yb2+zab=（25a+8b）（17a+44b），然后运算多项式乘多项式法则求得（25a+8b）（17a+44b）的结果，从而得到x、y、z的值，代入即可求解．【解答】解：（1）正方形的面积可表示为=（a+b+c）2；正方形的面积=各个矩形的面积之和=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．（2）由（1）可知：a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca）=122﹣47×2=50．（3）∵长方形的面积=xa2+yb2+zab=（25a+8b）（17a+44b）=425a2+1236ab+352b2，∴x=425，y=352，z=1236∴x+y+z=2013．【点评】本题考查的是多项式乘多项式、因式分解的应用，利用面积法列出等式是解题的关键．17．已知大正方形的周长比小正方形的周长长96厘米，它们的面积相差960平方厘米，分别求出大正方形和小正方形的边长．【分析】设大小正方形的边长分别为a厘米，b厘米，根据周长与面积的关系列出关系式，求出a与b的值即可．【解答】解：设大小正方形的边长分别为a厘米，b厘米，根据题意得：4a﹣4b=96，a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=960，把a﹣b=24代入得：a+b=40，解得：a=32，b=8，则大小正方形的边长分别为32厘米，8厘米．【点评】此题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．18．我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方法吗？这里，我们以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，回答问题：272=（27+7）×20+72=729322=（32+2）×30+22=1024562=（56+6）×50+62=3136…（1）请根据上述规律填空：382=（38+8）×30+82=1444；（2）我们知道，任何一个两位数（个数上数字n十位上的数字为m）都可以表示为10m+n，根据上述规律写出：（10m+n）2=（10m+n+n）×10m+n2，并用所学知识说明你的结论的正确性．【分析】（1）根据已知算式得出规律，再得出即可；（2）根据已知算式得出规律，再求出即可．【解答】解：（1）382=（38+8）×30+82=1444，故答案为：（38+8）×30+82，1444；（2）（10m+n）2=（10m+n+n）×10m+n2，证明：∵（10m+n）2=（10m）2+2×10m×n+n2=100m2+20mn+n2，（10m+n+n）×10m+n2=100m2+20mn+n2，∴（10m+n）2=（10m+n+n）×10m+n2，故答案为：（10m+n+n）×10m+n2．【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．19．【知识生成】通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．（1）如图1，根据图中阴影部分的面积可以得到的等式是：（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab；【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的情况，也可以得到一个恒等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割成8块．（2）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为：∴（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（3）已知a+b=3，ab=1，利用上面的规律求a3+b3的值．【分析】（1）∵阴影部分的面积=大正方形的面积﹣中间小正方形的面积即：（a+b）2﹣（a﹣b）2又∵阴影部分的面积由4个长为a，宽为b的小正方形构成即：4ab即可求得；（2）大正方体被切割成了8个小正方体或长方体故而求它们的体积和，再直接求大正方体的体积可解的恒等式；（3）由（2）的结论将已知代入即可求得值．【解答】解：（1）∵阴影部分的面积=大正方形的面积﹣中间小正方形的面积即：（a+b）2﹣（a﹣b）2又∵阴影部分的面积由4个长为a，宽为b的小正方形构成即：4ab∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab；（2）∵八个小正方体或长方体的体积之和是：a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3∴（a+b）3=a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3∴（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（3）∵由（2）可知（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3∴a3+b3=（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2=（a+b）3﹣3ab（a+b）将a+b=3，ab=1代入上式可得a3+b3=33﹣3×1×3=18故a3+b3的值为：18．【点评】本题主要考查了平方差，立方和公式的几何背景，用分割求解和整体计算可解得．20．回答下列问题（1）填空：x2+=（x+）2﹣2=（x﹣）2+ 2（2）若a+=5，则a2+=23；（3）若a2﹣3a+1=0，求a2+的值．【分析】（1）根据完全平方公式进行解答即可；（2）根据完全平方公式进行解答；（3）先根据a2﹣3a+1=0求出a+=3，然后根据完全平方公式求解即可．【解答】解：（1）2、2．（2）23．（3）∵a2﹣3a+1=0两边同除a得：a﹣3+=0，移向得：a+=3，∴a2+=（a+）2﹣2=7．【点评】本题考查了完全平方公式，解答本题的关键在于熟练掌握完全平方公式．。
2021年北师大版七年级数学下册1.6完全平方公式自主学习同步测试2(附答案)
2021年北师大版七年级数学下册1.6完全平方公式自主学习同步测试2（附答案）1．若4x2﹣kxy+9y2是完全平方式，则k的值是（）A．±6B．±12C．±36D．±722．在等式“4x2+（）+1＝（）2左边填加一个单项式，使其右边可以写成一个完全平方式，下列各选项中不行的是（）A．4x B．﹣4x C．4x4D．3．若x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，那么m的值为（）A．4或﹣6B．4C．6或4D．﹣64．三种不同类型的长方形地砖长宽如图所示，现有A类16块，B类48块，小明用这些地砖刚好拼成一个正方形（无缝且不重叠），那么小明所用C类地砖（）块．A．36B．24C．12D．65．如果9x2+kx+16能写成一个完全平方的形式，则后k＝（）A．﹣24B．12C．±12D．±246．已知x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，则m的值为（）A．4B．4或﹣2C．±4D．﹣27．若x2+mx+49是一个完全平方式，那么m的值为（）A．7B．14C．﹣14D．±148．若是完全平方式，则实数k的值为（）A．B．C．D．9．如图，根据计算长方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．a（a+b）＝a2+ab10．如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各10张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形个数是（）A．4B．5C．6D．711．已知（a+b）2＝20，（a﹣b）2＝4，则ab＝．12．已知：m﹣n＝6，mn＝1，则m2+n2＝．13．计算：20202﹣4040×2019+20192＝．14．若x﹣y＝6，xy＝7，则x2+y2的值等于．15．已知（5+2x）2+（3﹣2x）2＝40，则（5+2x）•（3﹣2x）的值为．16．已知a，b满足a﹣b＝1，ab＝2，则a+b＝．17．若m﹣n＝3，mn＝5，则m+n的值为．18．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是．19．如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG的边长分别为a、b，如果a+b＝20，ab＝18，则阴影部分的面积为．20．如图，边长分别为a，b的两个正方形并排放在一起，当a+b＝16，ab＝60时阴影部分的面积为．21．∵a2±2ab+b2＝（a±b）2，∴我们把形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式．请解决下列问题：（1）代数式x2+6x+m中，当m＝时，代数式为完全平方式；（2）代数式x2+mx+25中，当m＝时，代数式为完全平方式；（3）代数式x2+（m+2）x+（4m﹣7）为完全平方式，求m的值．22．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的重叠部分是长方形ENDM．四边形HMDK和DNFL都是正方形，设它们的边长分别为a，b．（1）填空：（a+b）2＝a2++b2；（a+b）2＝（a﹣b）2+．（2）若长方形ENDM的面积为3，AM＝3，CN＝4，求正方形EFGH的边长．23．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3．24．【阅读理解】“若x满足（70﹣x）（x﹣50）＝30，求（70﹣x）2+（x﹣50）2的值”．解：设70﹣x＝a，x﹣50＝b，则（70﹣x）（x﹣50）＝ab＝30，a+b＝（70﹣x）+（x﹣50）＝20，（70﹣x）2+（x﹣50）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×30＝340．【解决问题】（1）若x满足（40﹣x）（x﹣30）＝﹣20，则（40﹣x）2+（x﹣30）2的值为；（2）若x满足（2x﹣3）（x﹣1）＝，则（3﹣2x）2+4（x﹣1）2的值为；（3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝14，CG＝30，长方形EFGD的面积是200，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．25．某公司门前一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地要铺地砖，如图所示，空白的A、B两正方形区域是建筑物，不需要铺地砖．两正方形区域的边长为（a+b）米．（1）求铺设地砖的面积是多少平方米；（2）当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是多少？（3）在（2）的条件下，某种道路防滑地砖的规格是：正方形，边长为0.2米，每块1.5元，不考虑其他因素，如果要购买此种地砖，需要多少钱？26．要说明（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc成立，三位同学分别提供了一种思路，请根据他们的思路写出推理过程．（1）小刚说：可以根据乘方的意义来说明等式成立；（2）小王说：可以将其转化为两数和的平方来说明等式成立；（3）小丽说：可以构造图形，通过计算面积来说明等式成立．27．在求两位数的平方时，可以用完全平方式及“列竖式”的方法进行速算，求解过程如下．例如：求322．解：因为（3x+2y）2＝9x2+4y2+12xy，将上式中等号右边的系数填入下面的表格中可得：所以322＝1024．（1）下面是嘉嘉仿照例题求892的一部分过程，请你帮他填全表格及最后结果；解：因为（8x+9y）2＝64x2+81y2+144xy，将上式中等号右边的系数填入下面的表格中可得：所以892＝；（2）仿照例题，速算672；（3）琪琪用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，部分过程如图所示．若这个两位数的个位数字为a，则这个两位数为（用含a的代数式表示）．28．（1）当a＝﹣2，b＝1时，求两个代数式（a+b）2与a2+2ab+b2的值；（2）当a＝﹣2，b＝﹣3时，再求以上两个代数式的值；（3）你能从上面的计算结果中，发现上面有什么结论．结论是：；（4）利用你发现的结论，求：19652+1965×70+352的值．参考答案1．解：∵4x2﹣kxy+9y2是完全平方式，∴﹣kxy＝±2×2x•3y，解得k＝±12．故选：B．2．解：4x2+1+±4x，4x2+1+4x4，4x2+1﹣1＝4x2，4x2+1﹣4x2＝1都是完全平方式，观察选项，只有选项D符合题意，故选：D．3．解：∵x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，∴m+1＝±5，解得：m＝4或m＝﹣6，故选：A．4．解：∵16m2+48mn+36n2＝（4m+6n）2，∴（4m+6n）2＝16m2+48mn+36n2，∴A类16块，B类48块，C类36块刚好拼成一个边长为（4m+6n）的正方形．故选：A．5．解：由于（3x±4）2＝9x2±24x+16＝9x2+mx+16，∴m＝±24．故选：D．6．解：∵x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，∴2（m﹣1）＝±6，解得：m＝4或m＝﹣2，故选：B．7．解：∵x2+mx+49是一个完全平方式，∴①x2+mx+49＝（x+7）2+（m﹣14）x，∴m﹣14＝0，m＝14；②x2+mx+49＝（x﹣7）2+（m+14）x，∴m+14＝0，m＝﹣14；∴m＝±14；故选：D．8．解：∵4x2+kx+是完全平方式，∴kx＝±2×2x×，∴k＝±．故选：C．9．解：∵长方形ABCD面积＝两个小长方形面积的和，∴可得a（a+b）＝a2+ab故选：D．10．解：∵每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张，拼成的正方形，∴正方形的边长可以为：（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）六种情况；（注意每一种卡片至少用1张，至多用10张）即：（a+b）2＝a2+2ab+b2，需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片1张；（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，需要A卡片1张，B卡片4张，C卡片4张；（a+3b）2＝a2+6ab+9b2，需要A卡片1张，B卡片6张，C卡片9张；（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，需要A卡片4张，B卡片4张，C卡片1张；（2a+2b）2＝4a2+8ab+4b2，需要A卡片4张，B卡片8张，C卡片4张；（3a+b）2＝9a2+6ab+b2，需要A卡片9张，B卡片6张，C卡片1张；故选：C．11．解：∵（a+b）2＝20，（a﹣b）2＝4，4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝20﹣4＝16，解得ab＝4．故答案为：412．解：∵（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn，∵36＝m2+n2﹣2，∴m2+n2＝38，故答案为38．13．解：20202﹣4040×2019+20192＝20202﹣2×2020×2019+20192＝（2020﹣2019）2＝12＝1．故答案为：1．14．解：因为x﹣y＝6，xy＝7，所以x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝62+2×7＝50，故答案为：50．15．解：∵（5+2x）2+（3﹣2x）2＝40，∴[（5+2x）+（3﹣2x）]2﹣2（5+2x）（3﹣2x）＝40，即64﹣2（5+2x）（3﹣2x）＝40，∴（5+2x）（3﹣2x）＝12．故答案为12．16．解：因为a﹣b＝1，ab＝2，所以a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝12+2×2＝1+4＝5，所以（a+b）2＝a2+b2+2ab＝5+2×2＝9，所以a+b＝±3．故答案为：±3．17．解：根据（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，把m﹣n＝3，mn＝1，得，（m+n）2＝9+20＝29；所以m+n＝．故选：．18．解：由图可知，五边形ABGFD的面积＝正方形ABCD的面积+梯形DCGF的面积，＝a2+（a+b）b＝，阴影部分的面积＝五边形ABGFD的面积﹣三角形ABD﹣三角形BCF＝﹣﹣＝＝，∵a+b＝10，ab＝20，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×20＝60，∴阴影部分的面积为＝30．故答案为：30．19．解：S＝a2+b2﹣（a+b）b＝a2+b2﹣ab﹣b2＝a2+b2﹣ab＝（a2+b2﹣ab）＝（a+b）2﹣ab，当a+b＝20，ab＝18时，原式＝﹣＝200﹣27＝173．故答案为：173．20．解：根据题意得：S阴影部分＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝a2+b2﹣a2﹣ab﹣b2＝（a2+b2﹣ab）＝[（a+b）2﹣3ab]，把a+b＝16，ab＝60代入得：S阴影部分＝38．故图中阴影部分的面积为38．故答案为38．21．解：（1）代数式x2+6x+m中，当m＝9时，代数式为完全平方式；故答案为：9；（2）代数式x2+mx+25中，当m＝±10时，代数式为完全平方式；故答案为：±10；（3）∵代数式x2+（m+2）x+（4m﹣7）为完全平方式，∴＝，∴m2+4m+4＝16m﹣28，m2﹣12m+32＝0，m2﹣12m+36＝4，∴（m﹣6）2＝4，m﹣6＝±2，m1＝8，m2＝4．22．解：（1）正方形EFGH的边长为（a+b），因此面积为：（a+b）2，又正方形EFGH也可以用四部分的面积和，即a2+2ab+b2，故答案为：2ab；∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，故答案为：4ab；（2）由长方形ENDM的面积为3，可得ab＝3，∵AM＝3，CN＝4，∴3+a＝4+b，即a﹣b＝1由（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab得，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝1+12＝13，∴a+b＝，即正方形EFGH的边长为．23．解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣b（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝2b2﹣ab；（2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，∵a+b＝10，ab＝20，∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×20＝40；（3）由图可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab），∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30，∴S3＝×30＝15．24．（1）解：设40﹣x＝a，x﹣30＝b，则（40﹣x）（x﹣30）＝ab＝﹣20，a+b＝（40﹣x）+（x﹣30）＝10，（40﹣x）2+（x﹣30）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×（﹣20）＝140，故答案为：140；（2）解：设2x﹣3＝a，x﹣1＝b，则（2x﹣3）（x﹣1）＝ab＝，﹣a+2b＝（3﹣2x）+2 （x﹣1）＝1，（3﹣2x）2+4（x﹣1）2＝（﹣a）2+4b2＝（﹣a+2b）2+4ab＝1+9＝10；（3）解：矩形EFGD的面积＝（x﹣14）（x﹣30）＝200，设x﹣14＝a，x﹣30＝b，则（x﹣14）（x﹣30）＝ab＝200a﹣b＝（x﹣14）﹣（x﹣30）＝16∴阴影部分的面积＝（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝162+4×200＝1056．25．解：（1）根据题意得：铺设地砖的面积为（6a+2b）（4a+2b）﹣2（a+b）2＝24a2+20ab+4b2﹣2a2﹣4ab﹣2b2＝22a2+16ab+2b2（平方米）；（2）当a＝2，b＝3时，原式＝88+96+18＝202（平方米）；（3）根据题意得：202÷0.22×1.5＝202÷0.04×1.5＝7575（元）．26．解：（1）小刚：（a+b+c）2＝（a+b+c）（a+b+c）＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）小王：（a+b+c）2＝[（a+b）+c]2＝（a+b）2+2（a+b）c+c2＝a2+b2+2ab+2ac+2bc+c2；（3）小丽：如图所示：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+ab+ac+bc+ab+ac+bc，27．解：（1）因为（8x+9y）2＝64x2+81y2+144xy，将上式中等号右边的系数填入下面的表格中可得：所以892＝7921；故答案为：7921；（2）因为（6x+7y）2＝36x2+49y2+84xy，将上式中等号右边的系数填入下面的表格中可得：所以672＝4 489．（3）设这个两位数的十位数字为b，由题意得，2ab＝10a，解得b＝5，所以，这个两位数是10×5+a＝a+50．故答案为：a+50．28．解：（1）当a＝﹣2，b＝1时，（a+b）2＝1，a2+2ab+b2＝1﹣﹣（2分）（2）当a＝﹣2，b＝﹣3时，（a+b）2＝25，a2+2ab+b2＝25﹣﹣（4分）（3）（a+b）2＝a2+2ab+b2（6分）故答案是：（a+b）2＝a2+2ab+b2（4）原式＝19652+2×1965×35+352＝（1965+35）2＝4000000﹣（10分。
初中数学沪科版七年级下册-8.3-完全平方公式与平方差公式-同步分层作业(含解析)
8.3 完全平方公式与平方差公式简记为：“首平方，尾平方， 积的 2 倍放中间”两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍.这两个公式叫做完全平方公式.公式特征：1. 积为二次三项式；2. 积中的两项为两数的平方；3. 另一项是两数积的 2 倍，且与原式中间的符号相同；4. 公式中的字母 a ，b 可以表示数、单项式和多项式.注意：1. 项数、符号、字母及其指数2. 不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号，变形成符合公式的形式才行。
3. 弄清完全平方公式和平方差公式的区别（公式结构特点及结果）常用结论：a 2 +b 2 = (a + b)2 - 2ab = (a - b)2 + 2ab ，4ab = (a + b)2 - (a - b)2.平方差公式：(a + b)(a − b) = a 2 − b 2两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用基础过关练一、单选题1．已知非负实数,,a b c 满足24,0a b a b c +=-+<，则下列结论一定正确的是（ ）A ．()2222a b a ab b +=++B C ．()()224a b a b ab -=+-D 二、填空题11．如图，用四个长为a ，宽为b 的长方形大理石板不重叠地拼成一个大正方形拼花图案，正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形，当拼成的这个大正方形的边长比中间小正方形的边长多6时，大正方形的面积+=12．已知x y13．化简：(x-14．定义：若三个正整数培优提升练三、解答题19．问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1________图2________；（用字母a，b表示）数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题（1）已知7a b +=，12ab =，求22a b +的值；（2）已知()()202420222023x x --=，求()()2220242022x x -+-的值．拓展运用：如图3，点C 是线段AB 上一点，以AC ，BC 为边向两边作正方形积分别是1S 和2S ．若AB m =，12S S S =+，则直接写出Rt ACF 的面积．（用(1)【知识生成】请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含方法一： ；方法二： ；(2)【得出结论】22(2)()23a b a b a ab b ++=++．(1)根据图（2）的面积关系可以解释的一个等式为______；(2)已知等式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++，请你画出一个相应的几何图形加以解释．故选：C ．8．C【分析】根据积的乘方、合并同类项、平方差公式、单项式的除法等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：A ．()326-=-b b ，故选项错误，不符合题意；B ．3332a a a +=，故选项错误，不符合题意；C ．()()22224x y x y x y +-=-，故选项正确，符合题意；D ．62422÷=a a a ，故选项错误，不符合题意．故选：C ．9．D【分析】此题考查了完全平方式．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m 的值．【详解】解：216x mx ++ 是完全平方式，8m ∴=±．故选：D ．10．D【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，分别表示出两幅图中阴影部分的面积，再关键两幅图阴影部分面积相等即可得到答案．【详解】解：左边一幅图阴影部分面积为22a b -，右边一幅图阴影部分面积为()()a b a b +-，∵两幅图阴影部分面积相等，∴()()22a b a b a b -=+-，故选：D ．11．2【分析】本题考查用图象法验证完全平方公式，准确识图列出()22(4)a b b b a a +--=是解题关键．分别表示出每个长方形石板的面积和图中大、小正方形的面积，然后列出等量关系计算求解．【详解】解：每个长方形石板的面积为ab ，中间小正方形的边长为a b -，面积为2()a b -；大正方形的边长为a b +，面积为2()a b +，所以()22(4)a b b b a a +--=；当()()6460a b a b ab +--=⎧⎨=⎩时，解得53a b =⎧⎨=⎩，∴2a b -=，故答案为：2．12．22x y m n x y m n +=+⎧∴⎨-=-⎩或x y m n x y n m+=+⎧⎨-=-⎩解得x m y n =⎧⎨=⎩或x n y m=⎧⎨=⎩．故都有2006200620062006x y m n +=+．21．（1）2x xy +，6；（2）244 24m m -，．【分析】本题考查了整式乘法混合运算，求代数式的值．（1）分别用乘法公式及单项式乘多项式的法则展开，再合并同类项，最后代值求解即可；（2）用平方差公式展开再合并同类项，由已知得26m m -=，然后整体代入求值即可．【详解】解：（1）2()()()()x y x x y x y x y +-++-+222222x xy y x xy x y =++--+-2x xy =+，当2x =-，1y =-时，原式2(2)(2)(1)6=-+-⨯-=；（2）2(2)(2)(4)m n m n n m +-+-22244m n n m=-+-244m m =-，由260m m --=，得26m m -=，原式24()4624m m =-=⨯=．22．(1)()24m n mn +-；()2m n -(2)()()224m n mn m n +-=-(3)6a b -=或6a b -=-．【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起，要学会观察．（1）观察图形很容易得出运用大正方形的面积减去四个矩形的面积，即()24m n mn +-，图②中的阴影部分正方形的边长等于m n -，即面积为()2m n -；（2）根据（1）中表示的面积是同一个图形的面积，两个式子相等，即可列出等量关系；（3）由（2）中的等量关系即可求解．【详解】（1）解：方法一：()24m n mn +-；方法二：()2m n -，故答案为：()24m n mn +-；()2m n -；（2）解：代数式()2m n +，()2m n -，mn 之间的等量关系为：。
用完全平方公式分解因式 浙教版数学七年级下册同步练习(含解析)
4.3用乘法公式分解因式第2课时用完全平方公式分解因式基础过关全练知识点1完全平方式1.若关于x的多项式x2-4x+a(其中a是常数)是完全平方式,则a的值是()A.2B.-2C.4D.-42.【新独家原创】若关于x的多项式x2+mx+n是完全平方式,则m,n 的值可能是()A.-1,14B.12,14C.14,-14D.-14,143.下列各式中,与2x2-6x的和是完全平方式的是()A.x+9B.3C.9D.9-x2知识点2用完全平方公式分解因式4.下列可以用完全平方公式因式分解的是()A.4a2-4a-1B.4a2+2a+1C.1-4a+4a2D.2a2+4a+15.(2022浙江杭州余杭期末)下列因式分解正确的是()A.x2+y2=(x+y)2B.x2+2xy+y2=(x-y)2C.x2+x=x(x-1)D.x2-y2=(x+y)(x-y)6.(2022贵州黔东南中考)分解因式:2 022x2-4 044x+2 022=.7.【一题多变】(2022黑龙江绥化中考)分解因式: (m+n)2-6(m+n)+9=.[变式] 分解因式:19-13(a+b)+14(a+b)2= . 8.【教材变式·P108T5变式】因式分解:(1)m 2-4mn+4n 2; (2)-a+2a 2-a 3;(3)4+12(a-b)+9(a-b)2; (4)(x 2+4)2-16x 2.9.(2021浙江杭州余杭模拟)给出三个多项式:①a 2+3ab-2b 2;②b 2-3ab;③ab+6b 2.请任意选择两个多项式进行加法运算,并把结果分解因式.知识点3 简便运算10.用简便方法计算: 1012+198×101+992.能力提升全练11.下列因式分解正确的是( ) A.ab+ac+a=a(b+c)B.a 2-4b 2=(a+4b)(a-4b)C.9a 2+6a+1=3a(3a+2)D.a 2-4ab+4b 2=(a-2b)212.(2022浙江绍兴柯桥期中,7,)若x 2+2(k+1)x+4是完全平方式,则k 的值为( ) A.1 B.-3 C.-1或3 D.1或-313.把(a+b)2-4(a 2-b 2)+4(a-b)2因式分解为( )A.(3a-b)2B.(3b+a)2C.(3b-a)2D.(3a+b)214.若ab=2,b-a=3,则-a 3b+2a 2b 2-ab 3的值为 .15.因式分解:a 2-b 2-x 2+y 2-2ay+2bx= .16.【新独家原创】下列单项式:①3x;②-5x;③-154;④-1516x 2;⑤-3x 中,加上x 2-x+4后成为一个完全平方式的有 .(填序号)17.【作差法比大小】已知P=2x2+4y+13,Q=x2-y2+6x-1,试比较P,Q的大小.18.【学科素养·运算能力】(2022浙江杭州外国语学校期中,22,)配方法是一种重要的解决问题的数学方法,它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解,还能解决一些与非负数有关的问题或代数式最大值、最小值的问题.请用配方法解决以下问题.(1)试说明:无论x,y取何值,多项式x2+y2-4x+2y+6的值总为正数;(2)分解因式:a4+a2+1;(3)已知实数a,b满足-a2+5a+b-3=0,求a+b的最小值.素养探究全练19.【运算能力】我们知道(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,若将该式从右到左使用,就可得到用“十字相乘法”因式分解的公式:x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).实例:分解因式:x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3).(1)分解因式:x2+6x+8=(x+)(x+);(2)请用上述方法解方程:x2-3x-4=0.答案全解全析基础过关全练1.C ∵关于x 的多项式x 2-4x+a(其中a 是常数)是完全平方式,∴a=4,故选C.2.A 当m=-1,n=14时,x 2+mx+n=x 2-x+14=(x −12)2,故选A. 3.D (2x 2-6x)+(9-x 2)=2x 2-6x+9-x 2=x 2-6x+9.故选D.4.C 1-4a+4a 2=(1-2a)2,故选C.5.D x 2+y 2不能分解,故A 错误;x 2+2xy+y 2=(x+y)2,故B 错误; x 2+x=x(x+1),故C 错误;x 2-y 2=(x+y)(x-y),故D 正确.故选D.6.答案 2 022(x-1)2解析 原式=2 022(x 2-2x+1)=2 022(x-1)2.7.答案 (m+n-3)2解析 原式=(m+n)2-2·(m+n)·3+32=(m+n-3)2.[变式] 答案 (13−12a −12b)2解析 原式=[13−12(a +b)]2=(13−12a −12b)2. 8.解析 (1)原式=m 2-2·m·2n+(2n)2=(m-2n)2.(2)原式=-a(a 2-2a+1)=-a(a 2-2·a·1+12)=-a(a-1)2.(3)原式=22+2·2·3(a-b)+[3(a-b)]2=[2+3(a-b)]2=(2+3a-3b)2.(4)原式=(x 2+4)2-(4x)2=(x 2+4+4x)(x 2+4-4x)=(x 2+4x+4)(x 2-4x+4)=(x+2)2(x-2)2.9.解析答案不唯一,写出以下任意一个即可.①+②得a2+3ab-2b2+b2-3ab=a2-b2=(a+b)(a-b).①+③得a2+3ab-2b2+ab+6b2=a2+4ab+4b2=(a+2b)2.②+③得b2-3ab+ab+6b2=7b2-2ab=b(7b-2a).10.解析1012+198×101+992=1012+2×99×101+992=(101+99)2=2002=40 000.能力提升全练11.D ab+ac+a=a(b+c+1),故A错误;a2-4b2=(a+2b)(a-2b),故B错误; 9a2+6a+1=(3a+1)2,故C错误;a2-4ab+4b2=(a-2b)2,故D正确.故选D.12.D∵x2±2·x·2+22=(x±2)2,∴k+1=±2,∴k=1或-3,故选D.13.C(a+b)2-4(a2-b2)+4(a-b)2=(a+b)2-2×2(a+b)(a-b)+[2(a-b)]2=(a+b-2a+2b)2=(3b-a)2.14.答案-18解析当ab=2,b-a=3时,-a3b+2a2b2-ab3=-ab(a2-2ab+b2)=-ab(b-a)2= -2×32=-18.15.答案(a-y+b-x)(a-y-b+x)解析a2-b2-x2+y2-2ay+2bx=(a2-2ay+y2)-(b2-2bx+x2)=(a-y)2-(b-x)2=(a-y+b-x)(a-y-b+x).16.答案③④⑤解析 ①3x+x 2-x+4=x 2+2x+4,不是完全平方式;②-5x+x 2-x+4=x 2-6x+4,不是完全平方式;③-154+x 2-x+4=x 2-x+14=(x −12)2,是完全平方式; ④-1516x 2+x 2-x+4=116x 2-x+4=(14x −2)2,是完全平方式; ⑤-3x+x 2-x+4=x 2-4x+4=(x-2)2,是完全平方式.综上,满足条件的有③④⑤.故答案为③④⑤.17.解析 ∵P=2x 2+4y+13,Q=x 2-y 2+6x-1,∴P-Q=(2x 2+4y+13)-(x 2-y 2+6x-1)=2x 2+4y+13-x 2+y 2-6x+1=x 2-6x+9+y 2+4y+4+1=(x-3)2+(y+2)2+1>0,∴P>Q.18.解析 (1)x 2+y 2-4x+2y+6=x 2-4x+4+y 2+2y+1+1=(x-2)2+(y+1)2+1,∵(x-2)2≥0,(y+1)2≥0,∴(x-2)2+(y+1)2+1>0,∴无论x,y 取何值,多项式x 2+y 2-4x+2y+6的值总为正数.(2)a 4+a 2+1=a 4+2a 2+1-a 2=(a 2+1)2-a 2=(a 2+a+1)(a 2-a+1).(3)∵-a 2+5a+b-3=0,∴b=a 2-5a+3,∴a+b=a 2-4a+3=(a-2)2-1,∴当a=2时,a+b 有最小值,为-1,∴a+b的最小值为-1.素养探究全练19.解析(1)2;4或4;2.(2)因为x2-3x-4=x2+(1-4)x+1×(-4)=(x-4)·(x+1)=0,所以x-4=0或x+1=0, 所以x=4或x=-1.。