第三章复变函数积分
复变函数 第三章 复变函数的积分
{ u [ x ( t ), y ( t )] i [ v [ x ( t ), y ( t )]]}( x ' ( t ) iy ' ( t )) dt
i v x t,y () t) xt ' () u (()() x ty t) yt ' () } d t {(()
f[ z ( t)] z '( t) dt fz ( ) d z f [ z ( t ) ] zt ' ( ) d t
C
（ 3 . 6 ）
用（3.6）式计算复变函数的积分,是从积分路径的 参数方程着手,称为参数方程法.
例3.1 计算 z d z ,C : 从原点到点 3 4 i 的直线 . C y x3 t, 0t 1 , 解 直线方程为 A y 4 t ,
C C
u ( x , y ) d x v ( x , y ) d y iv ( x , y ) d x u ( x , y ) d y
C C
C
f ( z )d z
结 论 1 ： 当是 fz () 连 续 函 数 , C 是 光 滑 曲 线 时 ， () d z 一 定 存 在 。 fz 结 论 2 ： () d z 可 以 通 过 两 个 二 元 实 函 数 的 fz
k k
证明 令 z x iy x x x y y y k k k k k k 1 k k k 1
n
k n k k k k k k
n
u (k, x v(k, y k) k k) k
k 1 k 1 n n
k 1 n
复变函数课件-第三章复变函数的积分解读
1、复变函数积分的定义
设在复平面 C 上有一条连接 z 0 及 Z 两点的简单曲 线 C 。设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 是在 C 上的连续函数。其中 u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部。 把曲线C用分点 z0 , z1 , z2 ..., zn 1 , zn Z
C
f ( z )dz 0 f ( z )dz f ( z )dz 0 f ( z )dz f ( z )dz
C1 C2 C1 C2
b
a
C1
结论2: 周线C : f ( z )dz 0 C 函数f(z)的积分与路径无关,
目的
研究复积分与路径的无关性:
k
zk
C
z1
z0
复变函数的积分
分实部与虚部，有 n 1
[u (
k 1
k
k
, k ) iv( k , k )][( xk 1 xk ) i ( yk 1 yk )]
n 1
或者
u (
k 1 n 1 k 1
n 1
, k )( xk 1 xk ) v( k , k )( yk 1 yk )
max{| zk 1 zk | ( xk 1 xk ) ( yk 1 yk )
2 2
0 | k 0,1,2,..., n 1} 0
时，上面的四个式子分别有极限：
u( x, y)dx, v( x, y)dy, v( x, y)dx, u( x, y)dy,
C f ( z)dz C f ( z)dz, （4） 积分是在相反的方向上取的。
复变函数积分的性质：
3第三章 复变函数的积分3第三章 复变函数的积分
1第三章 复变函数的积分复变函数积分是研究解析函数的一个重要工具。
解析函数的许多重要性质，诸如“解析函数的导函数连续”及“解析函数的任意阶导数都存在”这些表面上看来只与微分学有关的命题，却是通过解析函数的复积分表示证明的，这是复变函数论在方法上的一个特点。
同时，复变函数积分理论既是解析函数的应用推广，也是后面留数计算的理论基础。
§3.1 复变函数积分的概念1 积分的定义复变函数积分主要考察沿复平面上曲线的积分。
今后除特别声明，当谈到曲线时一律是指光滑或逐段光滑的曲线，其中逐段光滑的简单闭曲线简称为围线或周线或闭路。
在第一章中曾定义了曲线的方向，这里回顾并作更仔细些的说明：对于光滑或逐段光滑的开曲线，只要指明了其起点和终点，从起点到终点，也就算规定了该曲线的正方向C ；对于光滑或逐段光滑的闭曲线C ，沿着曲线的某方向前进，如果C 的内部区域在左方，则规定该方向为C 的正方向（就记为C ），反之，称为C 的负方向（记为-C ）（或等价地说，对于光滑或逐段光滑的闭曲线，规定逆时针方向为闭曲线的正方向，顺时针为方向为闭曲线的负方向）；若光滑或逐段光滑的曲线C 的参数方程为)()()(t iy t x t z z +==，)(βα≤≤tt 为实参数，则规定t 增加的方向为正方向，即由)(αz a =到)(βz b =的方向为正方向。
定义3.1.1 复变函数的积分 设有向曲线C ：)(t z z =，βα≤≤t ，以)(αz a =为起点，)(βz b =为终点，)(z f 沿C 有定义。
在C 上沿着C 从a 到b 的方向（此为实参数t 增大的方向，作为C 的正方向）任取1-n 个分点：b z z z z a n n ==-,,,,110 ，把曲线C 分成n 个小弧段。
在每个小弧段上任取一点k ζ，作和∑=∆=nk k k n z f S 1)(ζ，其中1--=∆k k k z z z ，记{}n z z ∆∆=,,max 1 λ，若0→λ时（分点无限增多，且这些弧段长度的最大值趋于零时），上述和式的极限存在，极限值为J （即不论怎样沿C 正向分割C ，也不论在每个小弧段的什么位置上取k ζ，当0→λ时n S 都趋于同一个数J ），则称)(z f 沿C 可积，称J 为)(z f 沿C （从a 到b ）的积分，并记为⎰=Cdz z f J )(，即为∑⎰=→∆=nk k kCz f dz z f 1)(lim )(ζλ。
复变函数03
若C是闭曲线，沿C正向的积分C f ( z )dz
5
定理
设函数f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 在(逐段)光滑
曲线C上连续，则 f(z)沿C可积，且
C
f ( z )dz u( x , y )dx v ( x , y )dy
C
i u( x , y )dy v ( x , y )dx
C
i u( x , y )dy v ( x , y )dx
C
两个曲线积分和路径无关，必有
u v u v , y x x y
而这个方程又称为C－R方程，也是函数 P Q C P( x, y)dx Q( x, y)dy y x 解析的充要条件。将其推广，可得
25
即C1、C2是D内具有相同起点和终点的任 意两条曲线
C1
f ( z )dz f ( z )dz
C2
复合闭路定理 柯西定理可以推广到多连通区域的情形. 下面先给出复合闭路的定义：
26
复合闭路 设C是一条简单正向闭曲线； C1, C2, …,Cn是C内部的正向简单闭曲线， 他们互不相交也互不包含； C以及C1, C2, …,Cn围成一个有界多连通 区域D. D的边界曲线 C C1 C2 Cn 称为复合闭路. 的正向: 外边界逆时针, 内边界顺时针.
k 1
i [v ( k , k )x k u( k , k )yk ].
k 1
n
7
由于f ( z )在C上连续，从而u, v在C 上连续，当 0时，有m axx k 0
1 k n
及 m axyk 0.于是上式右端极限存在，
复变函数与积分变换-第3章
Cr 2π
O
n +1
x
2π
⋅ ire ( n +1) t dt.
n +1
若 n ≠ −1, ir 若 n = −1, ir 故
n +1
∫
2π
0 2π
e
i ( n +1) t
dt = ir
e i (n + 1) 0
i ( n +1) t
= 0,
n ( z − z ) dz , n ∈ Z, Cr :| z − z0 |= r 0 ∫Cr y 沿逆时针方向一周. Cr it 解: Cr : z = z0 + re , 0 ≤ t ≤ 2π . z0 n ( z − z ) dz 0 ∫
例 3.3
计算积分
= ∫ (reit ) n ⋅ (re it )′dt =∫ r e
k =1
→0 ⎯Δ ⎯ ⎯→
n
∫ udx − vdy + i ∫ vdx + udy.
Γ Γ
(2) 由
∑ f (c )Δz
k =1 k
n
k
≤ ∑ f (ck ) ⋅ Δz k ≤ M ∑ Δz k
k =1 k =1
Γ
n
n
∫
Γ
f ( z )dz ≤ ∫ | f ( z ) | ⋅ | dz | = ∫ | f ( z ) | ⋅ds ≤ M ⋅ l (Γ) Γ
Δ →0 k =1
n
(Δ = max | Δsk |)
1≤ k ≤ n
第二型曲线积分
∫
C
P( x, y )dx + Q( x, y )dy
06第三章复变函数的积分
第三章复变函数的积分复变函数的积分（简称复积分）是研究解析函数的一个重要工具，解析函数的许多重要性质都可以通过积分形式反映出来。
§1.复积分的概念一.复积分的定义与计算1．有向曲线设C 为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C 的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C 理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.如果A 到B 作为曲线C 的正向,那么B 到A 就是曲线C 的负向,2.复积分的概念定义：设C 为z 平面上一条以A 为起点，以B 为终点的简单光滑曲线，复变函数()()()y x v i y x u z f ,,+=在C 上有定义.在曲线C 上任. -C 记为取B z z z A n == ,,10将C 分为n 个小弧段，（k k k y i x z +=，k k k k k y i x z z z ∆+∆=-=∆-1）在每个小弧段上任取一点k k k i ηξς+=，作和式(),z f S nk k k n ∑=∆=1ς设,max k z ∆=λ若当0→λ时，该式的极限存在，且与小弧段的分法及k ς的取法无关，则称此极限值为复变函数()()()y x v i y x u z f ,,+=在C 上从A 到B 的复积分，记作()⎰c dz z f ；若曲线方向改为由B 到A ,则积分记作()⎰-c dz z f ；当C 为简单闭曲线时，则此积分记作()⎰c dz z f .（规定逆时针方向为C 的正向）定理3.1设()()()y x v i y x u z f ,,+=在光滑曲线C 上连续，则积分()⎰c dz z f 存在，且为()()()()().,,,,⎰⎰⎰++-=cccdy y x u dx y x v i dyy x v dx y x u dz z f 此式说明，复积分的计算问题可以转化为二元实函数的曲线积分来处理。
（注：上式在形式上可看做函数()v i u z f +=与微分dy i dx dz +=相乘后得到的，这样便于记忆）特别地，若C 的参数方程为：()()()t y i t x t z +=（()()B b z A a z ==,），则有()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()[]()()[]()[]().,,,,,,,,,,dt t z t z f dtt y i t x t y t x v i t y t x u t dy t y t x u t dx t y t x v i t dy t y t x v t dx t y t x u dyy x u dx y x v i dy y x v dx y x u dz z f bababab accc'='+'+=++-=++-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例1计算dz z c⎰，其中C 是如图所示：x1i1c 2c 3c （1）从点1到点i 的直线段1c ；（2）从点1到点0的直线段2c ，再从点0到点y的直线段i 的直线段3c 所连接成的折线段c =2c +3c .问题：影响积分的因素有哪些？例2计算()⎰-c nzz dz0，其中n 为任何整数，C 为以0z 为中心，r 为半径的圆周.例3计算⎰czdz 其中C 为从原点到点3+4i 的直线段.二.复积分的基本性质(1)()()[]()()⎰⎰⎰±=±c c c dz z g dz z f dz z g z f ；(2)()()⎰⎰=ccdz z f k dz z kf ；(3)()()⎰⎰--=c cdz z f dz z f ;(4)()()()⎰⎰⎰+=21c c c dz z f dz z f dz z f ,其中21C C C +=；(5)()()⎰⎰≤≤ccML ds z f dz z f .（积分估值）例4设C 为从原点到点3+4i 的直线段，试求积分⎰-ci z dz模的一个上界。
第三章 复变函数的积分.doc
习题 3第三章 复变函数的积分1.（1）计算积分11z dz -⎰，积分路径是直线段解：C: z=x,-1≤x ≤1因此，11z dz -⎰=11x dx -⎰=1()2计算积分11z dz -⎰,积分路径是上半单元圆周解 c:i z e θ=,θ是从π变到0,因此()011cos sin i i cz dz de i e d i d θθππθθθθ-===+=⎰⎰⎰⎰22．（1）利用积分估值，证明()22cxiy dz 2+≤⎰，其中C 是连接-i 到i 的直线段。
证明：C: x=0,-1y 1≤≤因为()2222f z x iy iy y 1=+==≤ 而积分路径长为()i--i 2= 故()()i2222cixiy dz xiy dz 12=2-+=+≤⨯⎰⎰（2）利用积分估值，证明22()cx iy dz π+≤⎰，其中C 是连接-i 到i 的右半圆周.证明：C ：221x y +=，0x ≥2244()()1f z x iy x y =+≤+≤，右半圆为长度为π。
22(())()Cx iy f z L +≤⎰，L π=；即：22(())1Cx iy ππ+≤⋅=⎰3.不用计算，验证下列积分之值为零，其中C 均为单位圆周z 1=。
()cdz1cos z⎰ 证：因为距离原点最近的奇点Z=2π±，在单位圆z 1≤外部，所以1cos z在z 1≤上处处解析，由积分柯西定理知c dz0cos z =⎰ （2）256zCdzz e z ++⎰证：2(2)(3)56zzz z z eez=++++，因奇点2,3z =--在单位圆1z ≤外部，所以222zz ez++在1z ≤处处解析。
由柯西积分定理：2056zCdzz e z=++⎰。
（3）2cos Cz dz z ⎰证：因为2cos z z 在1z ≤上处处解析，由柯西积分定理知：2cos 0Cz dz z =⎰ 。
4、求积分()d z z az ⎰++π202182解：由于()1822++=z z z f 在z 平面上解析，所以在z 平面内积分与路径无关。
复变函数3
推论（复合闭路定理）： 推论（复合闭路定理）：
设C1 , C 2 , L , C n 为简单闭曲线 (互不包含且互不相交 ， 互不包含且互不相交)， 互不包含且互不相交
C为包含C1 , C 2 , L , C n的简单闭曲线，
D为由边界曲线 Γ = C U C U C U L U C
− 1 − 2 − n
C : z = z0 + reiθ (0 ≤ θ ≤ 2π ), dz = ireiθ dθ 解：
I=∫
2π
0
2π ire iθ dθ 0, n ≠ 1, 1 − i ( n −1)θ dθ = iθ n = n −1 ∫ ie (re (re ) r 0 2π i, n = 1.
dz 例如 ∫ = 2π i, z =1 z
∫
C
f (z) 2π i (n) dz = f (z0 ) n+1 (z − z0 ) n!
求下列积分的值, 其中C为正向圆周 为正向圆周: 例1 求下列积分的值 其中 为正向圆周 | z | = r >1. cosπz ez
(z +1) (z −1) C cosπz [解] 1) 函数 内的z=1处不解析 处不解析, 解 内的 处不解析 但cosπz在C内 π在 内 5 在C内的 (z −1 )
其中C为在函数 的解析区域D内围绕 其中 为在函数 f (z)的解析区域 内围绕 z0的任何一条正 的解析区域 向简单曲线, 而且它的内部全含于D. 向简单曲线 而且它的内部全含于
高阶导数公式的作用, 不在于通过积分来求导, 高阶导数公式的作用 不在于通过积分来求导 而在于通过求导来求积分. 而在于通过求导来求积分
第三章 复变函数的积分
§3.1 复积分的概念
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n
f (z)dz
f (z)dz,
C
k 1 Ck
C
C1
C2 C3
其中C和Ck(1kn)取正向.
D
证明 不妨设n=2. 作两条辅助线 A1A2 , A3 A4 (如图).
CE
G
A4
A1 A2 F A3
C2
H C1 I
D
这样由 EA1 A2FA3 A4GA4 A3HA2 A1IE 作为边界G ,
§3.2 Cauchy积分定理
1 Cauchy积分定理 2 复合闭路定理 3 典型例题
3.2.1 Cauchy积分定理
定理3-2 (柯西-古莎定理) 如果f (z)是单连 通区域 D上的解析函数，则对D内的任何一条
闭曲线C, 都有
f (z)dz 0.
C
C D
说明: 该定理的主要部分是 Cauchy 于1825 年建立的, 它是复变函数理论的基础.
0
所以
z z0
r
(
z
1 z0
)n1
dz
2i, 0,
n 0, n 0.
重要结论：积分值与圆周的中心、半径无关.
例3.3 计算积分C Re zdz 与 C zdz, 其中C为
(1) 从原点到 1+i 的直线段；
(2) 抛物线 y=x2 上从原点到 1+i 的弧段；
(3) 从原点沿x轴到1, 再从1到 1+i 的折线.
,C0n是. 多连通区域D内
Gz
z z 的简单闭曲线, C1,C2 , ,Cn 都在C 的内部,它们
互不C1包含也互不C相2 交, 并且以 C ,C1,C2 , ,Cn 为
例3.9
求积分
G
1
z z0 n1dz,
其中G
为含z0的
任意分段光滑的简单闭曲线, n为整数.
解 因为z0在闭曲线G 的内部,
第3章 复变函数的积分
本章介绍复变函数的积分概念，解析 函数积分的主要性质. 重点是Cauchy积分 定理、Cauchy积分公式、高阶导数公式.
§3.1 复变函数的积分
1 积分的概念 2 积分存在条件及性质 3 积分的计算
3.1.1 积分的概念
定义3.1 设 C是复平面上以z0为起点, Z为终 点 有向简单连续曲线，f (z)是C上的复变函数.
),
y(t
)]
x(
t
)
iy(t
)dt
f [z(t)]z(t)dt.
复变函数的积分具有如下一些性质.
(1) f (z)dz f (z)dz;
C
C
(2) C kf (z)dz k C f (z)dz (k是复常数);
(3) C[ f (z) g(z)]dz C f (z)dz C g(z)dz;
z zi
2
根据Cauchy积分定理得
1
zi
1
z(z2
dz 1)
2
zi
1
1 z
2
11 2zi
1 2
z
1
i
dz
1dz 1
1 dz 1
1 dz
zi 1 z
2 zi 1 z i
2 zi 1 z i
2
2
2
0
1
1 dz 1 2i i.
2 zi 1 z i
2
2
这里用到了 例3.2
n
C
f
( z )dz
lim
0 k1
f ( k )zk .
如果C是闭曲线，经常记作 C f (z)dz.
当C是实轴上的区间a,b, 方向从a到b, 并且
f (z)为实值函数，那么这个积分就是定积分.
3.1.2 积分存在的条件及积分性质
定理3-1 设C是分段光滑(或可求长)的有向
曲线， f (z) u( x, y) iv( x, y) 在C上连续，则
o
x
C
(z
1 z0
)n1
dz
2π 0
ire i r n1ei(n1)
d
i
rn
2π ein d ,
0
当 n 0时,
y
z
C
1 (z z0 )n1 dz i
2π
d
0
2i;
z0 r
当 n 0时,
o
x
C
1 (z z0 )n1 dz
i rn
2π
(cos n i sin n )d 0.
G
ez dz,
z
其中G 由正向圆周
y
z 2 和负向圆周 z 1 组成.
C1
解 显然C1和C2围成一
个圆环域.
函数
f (z) ez z
C2 o1
2x
在此圆环域及其边界上解析, 并且圆环域的边界
构成复合闭路, 所以根据 复合闭路定理 ,
ez dz
定e理z 3-3 dz
设
C e,Cz1,Cd2z,
从形式上可以看成
C f (z)dz C (u iv)(dx idy) C udx ivdx iudy vdy C udx vdy iC vdx udy.
定理3-1’ 设光滑曲线
C : z z(t) x(t) iy(t) ( t ),
z( ) 是起点, z( ) 是终点，则
(4) 设C1的终点是C2的起点, C=C1+C2, 则
f (z)dz f (z)dz f (z)dz;
C
C1
C2
(5) 设曲线C的长度为L, 函数f (z)在C上满足
f (z) M , 则 C f (z)dz C f (z) ds ML.
事实上,
估值不等式
n
n
f ( k )zk f ( k ) zk
Re z t, dz (1 2ti)dt,
y
i
1 i
y x2
o
x
1
Re zdz C
1
t(1
0
2it )dt
t2 2
2i 3
t3
1
0
1 2
2 3
i;
zdz 1(t it2 )(1 2it)dt
C
0
1
[(t
2t
3
)
i
3t
2 ]dt
i.
0
(3) 积分路径由两段直线段构成
解 根据积分的定义
n
n
1dz C
lim
0
k
1
zk
lim
0
k
1
(
zk
zk1 )
lim(z
0
z0
)
z
z0
.
例3.2
计算积分
C
(z
1 z0
)n1
dz
(n是整数),
其中C是圆周: z z0 r (r 0)
的正向.
y
z
解 积分路径的参数方程为
z0 r
z z0 rei (0 2π ),
y
1边界的闭区域1含于D内. 如1果 f (z)是 D上1的解析
z
函1数d,z那么
dz z
z
dz 1
dz z
C1
C1 n
f (z)dz
C2 f (z)dz,
C
k 1 Ck
C C2
C1
C2 C3
C1
o
•
•
C2
x
1
0 2其i中C和2Cki(1k0n)取4正向i.. D
G
例3.8
计算积分
都是从相同的起点到相同的终点, 沿着三条不
相同的路径进行, 但是 C Re(z)dz 积分值不同, C zdz 积分值相同. 是否可以讨论积分与积分
路径的关系?
注意2 一般不能将函数f (z)在以为起点, 以
为终点的曲线C上的积分记成 f (z)dz, 因为 积分值可能与积分路径有关, 所以记 C f (z)dz.
C f (z)dz 存在，并且
n
n
f ( k )zk [u(k ,k )xk v(k ,k )yk ]
k 1
k 1
n
i [v(k ,k )xk u(k ,k )yk ]
k 1
C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy.
C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy
y
o
•
•
1
x
G
在G内作两个互不包含也互不相交的正向
圆周C1和C2, 使得C1只包含奇点0, C2 只包含
奇点1. 根据复合闭路定理,
G 2z2z的 互简 不1z单 包定d闭 含理z曲 也3-互线3C不,设1 2Cz相C12z,,C交C21,,,1z并Cd2,且C, zn以,C都CnC在是,2C2C多z1,2z的C连2内通, 1z部区,dC,域它nzD为们内
在C上依次取分点
z0 , z1, , zk1,
y
zk , , zn1, zn Z ,
把曲线C分割为n个小段.
z0
(如图)
o
z1 z2
Z
C zn1
zk zk 1
x
在每个小弧段 zk1zk k 1,2, ,n 上任取
一点 n(k 1, 2, , n), 做和数
n
Sn f ( k )zk , k 1
C f (z)dz f [z(t)]z(t)dt.
C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy
u[
x(t
),
y(t
)]x(t
)
v[
x(t
),
y(t
)]