南京中考数学专题训练---圆的综合的综合题分类

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．（1）如图1，在矩形ABCD 中，点O 在边AB 上，∠AOC =∠BOD ，求证：AO =OB ； （2）如图2，AB 是⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点A ，OP 与⊙O 相交于点C ，连接CB ，∠OPA =40°，求∠ABC 的度数．

【答案】（1）证明见解析；（2）25°. 【解析】

试题分析： （1）根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC ，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知∠A=∠B=90°，AD=BC ，根据三角形全等的判定AAS 证得△AOD ≌△BOC ，从而得证结论．

（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA 的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC 的度数． 试题解析：（1）∵∠AOC=∠BOD ∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD 即∠AOD=∠BOC ∵四边形ABCD 是矩形 ∴∠A=∠B=90°，AD=BC ∴AOD BOC ??? ∴AO=OB （2）解：∵AB 是O 的直径，PA 与O 相切于点A ，

∴PA ⊥AB ， ∴∠A=90°. 又∵∠OPA=40°， ∴∠AOP=50°， ∵OB=OC ， ∴∠B=∠OCB. 又∵∠AOP=∠B+∠OCB ， ∴1

252

B OCB AOP ∠=∠=

∠=?.

2．如图，在锐角△ABC 中，AC 是最短边．以AC 为直径的⊙O ，交BC 于D ，过O 作OE ∥BC ，交OD 于E ，连接AD 、AE 、CE ． （1）求证：∠ACE=∠DCE ；

（2）若∠B=45°，∠BAE=15°，求∠EAO 的度数；

（3）若AC=4

，

2

3

CDF COE S S ??=，求CF 的长．

【答案】（1）证明见解析，（2

）60°；（3）43

3

【解析】 【分析】

（1）易证∠OEC =∠OCE ，∠OEC =∠ECD ，从而可知∠OCE =∠ECD ，即∠ACE =∠DCE ； （2）延长AE 交BC 于点G ，易证∠AGC =∠B +∠BAG =60°，由于OE ∥BC ，所以∠AEO =∠AGC =60°，所以∠EAO =∠AEO =60°； （3）易证

1

2COE CAE

S S

=

，由于2

3

CDF COE

S S

=

，所以

CDF CAE

S S =

1

3

，由圆周角定理可知∠AEC =∠FDC =90°，从而可证明△CDF ∽△CEA ，利用三角形相似的性质即可求出答案． 【详解】

（1）∵OC =OE ，∴∠OEC =∠OCE ．

∵OE ∥BC ，∴∠OEC =∠ECD ，∴∠OCE =∠ECD ，即∠ACE =∠DCE ； （2）延长AE 交BC 于点G ．

∵∠AGC 是△ABG 的外角，∴∠AGC =∠B +∠BAG =60°． ∵OE ∥BC ，∴∠AEO =∠AGC =60°． ∵OA =OE ，∴∠EAO =∠AEO =60°．

（3）∵O 是AC 中点，∴

12

COE CAE

S

S =． 23CDF COE

S S

=

，∴CDF CAE

S S

=

1

3

． ∵AC 是直径，∴∠AEC =∠FDC =90°． ∵∠ACE =∠FCD ，∴△CDF ∽△CEA ，∴

CF CA =33，∴CF =33CA =43

3

．

【点睛】

本题考查了圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．

3．如图，AB为⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD的中点，连接CD，CA．

（1）求证：∠ABD=2∠BDC；

（2）过点C作CH⊥AB于H，交AD于E，求证：EA=EC；

（3）在（2）的条件下，若OH=5，AD=24，求线段DE的长度．

【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）

9

2 DE=.

【解析】

【分析】

（1）连接AD，如图1，设∠BDC=α，∠ADC=β，根据圆周角定理得到∠CAB=∠BDC=α，由AB为⊙O直径，得到∠ADB=90°，根据余角的性质即可得到结论；

（2）根据已知条件得到∠ACE=∠ADC，等量代换得到∠ACE=∠CAE，于是得到结论；（3）如图2，连接OC，根据圆周角定理得到∠COB=2∠CAB，等量代换得到

∠COB=∠ABD，根据相似三角形的性质得到OH=5，根据勾股定理得到

AB=22

AD BD

+=26，由相似三角形的性质即可得到结论．

【详解】

（1）连接AD．如图1，设∠BDC=α，∠ADC=β，

则∠CAB=∠BDC=α，

∵点C为弧ABD中点，∴AC=CD，∴∠ADC=∠DAC=β，∴∠DAB=β﹣α，

∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴α+β=90°，∴β=90°﹣α，∴∠ABD=90°﹣∠DAB=90°﹣（β﹣α），∴∠ABD=2α，∴∠ABD=2∠BDC；

（2）∵CH⊥AB，∴∠ACE+∠CAB=∠ADC+∠BDC=90°，

∵∠CAB =∠CDB ，∴∠ACE =∠ADC ， ∵∠CAE =∠ADC ，∴∠ACE =∠CAE ，∴AE =CE ； （3）如图2，连接OC ，∴∠COB =2∠CAB ， ∵∠ABD =2∠BDC ，∠BDC =∠CAB ，∴∠COB =∠ABD ， ∵∠OHC =∠ADB =90°，∴△OCH ∽△ABD ，∴1

2

OH OC BD AB ==， ∵OH =5，∴BD =10，∴AB =22AD BD +=26，∴AO =13，∴AH =18，

∵△AHE ∽△ADB ，∴

AH AE AD AB =，即1824=26AE ，∴AE =392，∴DE =9

2

．

【点睛】

本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

4．如图，A 是以BC 为直径的⊙O 上一点，AD ⊥BC 于点D ，过点B 作⊙O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，G 是AD 的中点，连结CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P ． （1）求证：BF =EF ：

（2）求证：PA 是⊙O 的切线；

（3）若FG =BF ，且⊙O 的半径长为32，求BD 的长度.

【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；（3）2 【解析】

分析：（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC ∽△DGC 且△FEC ∽△GAC ，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF =EF ；

（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO =∠EBO ，结合BE 是圆的切线，得到PA ⊥OA ，从而得到PA 是圆O 的切线；

（3）点F 作FH ⊥AD 于点H ，根据前两问的结论，利用三角形的相似性质即可以求出BD

的长度．

详解：证明：(1)∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC.

又∵AD⊥BC，

∴AD∥BE.

∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，

∴BF

DG

=

CF

CG

，

EF

AG

=

CF

CG

，

∴BF

DG

=

EF

AG

，

∵G是AD的中点，

∴DG=AG，

∴BF=EF；

(2)连接AO，AB.

∵BC是圆O的直径，

∴∠BAC=90°，

由(1)得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB，

又∵OA=OB，

∴∠ABO=∠BAO，

∵BE是圆O的切线，

∴∠EBO=90°，

∴∠FBA+∠ABO=90°，

∴∠FAB+∠BAO=90°，

即∠FAO=90°，

∴PA⊥OA，

∴PA是圆O的切线；

（3）过点F作FH⊥AD于点H，

∵BD ⊥AD ，FH ⊥AD ， ∴FH ∥BC ，

由(2)，知∠FBA =∠BAF ， ∴BF =AF . ∵BF =FG ， ∴AF =FG ，

∴△AFG 是等腰三角形. ∵FH ⊥AD ， ∴AH =GH ， ∵DG =AG ， ∴DG =2HG . 即

1

2

HG DG =， ∵FH ∥BD ，BF ∥AD ，∠FBD =90°， ∴四边形BDHF 是矩形， ∴BD =FH ， ∵FH ∥BC ∴△HFG ∽△DCG ， ∴1

2

FH HG CD DG ==， 即1

2

BD CD =， ∴

23

2.15≈， ∵O 的半径长为2， ∴BC 2， ∴BD =

1

3

BC ＝2. 点睛：本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.结合已知条件准确对图形进行分析并应用相应的图形性质是解题的关键.

5．已知：AB 是⊙0直径,C 是⊙0外一点,连接BC 交⊙0于点D ，BD=CD,连接AD 、AC ．

(1)如图1,求证:∠BAD=∠CAD

(2)如图2,过点C 作CF ⊥AB 于点F,交⊙0于点E,延长CF 交⊙0于点G.过点作EH ⊥AG 于点H ，交AB 于点K,求证AK=2OF ；

(3)如图3,在(2)的条件下,EH 交AD 于点L,若0K=1,AC=CG,求线段AL 的长.

图1 图2 图3 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)12

105

【解析】

试题分析：（1）由直径所对的圆周角等于90°，得到∠ADB =90°，再证明△ABD ≌△ACD 即可得到结论；

（2）连接BE ．由同弧所对的圆周角相等，得到∠GAB =∠BEG ．再证△KFE ≌△BFE ，得到BF =KF =

BK ．由OF =OB -BF ，AK =AB -BK ，即可得到结论．

（3）连接CO 并延长交AG 于点M ，连接BG ．设∠GAB =α．先证CM 垂直平分AG ，得到AM =GM ，∠AGC +∠GCM =90°．再证∠GAF =∠GCM =α．通过证明△AGB ≌△CMG ，得到BG =GM =

1

2

AG ．再证明∠BGC =∠MCG =α．设BF =KF =a ， 可得GF =2a ，AF =4a ． 由OK =1，得到OF =a +1，AK =2（a +1），AF = 3a +2，得到3a +2=4a ，解出a 的值，得到AF ，AB ，GF ，FC 的值．由tanα=tan ∠HAK =

1

2

HK AH =， AK =6，可以求出 AH 的长．再由1tan tan 3BAD BCF ∠=∠=

，利用公式tan ∠GAD =tan tan 1tan tan GAF BAD GAF BAD

∠+∠-∠?∠，得到∠GAD =45°，则AL =2AH ，即可得到结论．

试题解析：解：（1）∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∴∠ADC =90°． ∵BD =CD ，∠BDA =∠CDA ，AD =AD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD =∠CAD ． （2）连接BE ．∵BG =BG ，∴∠GAB =∠BEG ． ∵CF ⊥AB ，∴∠KFE =90°．

∵EH ⊥AG ，∴∠AHE =∠KFE =90°，∠AKH =∠EKF ，∴∠HAK =∠KEF =∠BEF ． ∵FE =FE ，∠KFE =∠BFE =90°，∴△KFE ≌△BFE ，∴BF =KF =BK ．

∵ OF =OB -BF ，AK =AB -BK ，∴AK =2OF ．

（3）连接CO 并延长交AG 于点M ，连接BG ．设∠GAB =α．

∵AC =CG ， ∴点C 在AG 的垂直平分线上．∵ OA =OG ，∴点O 在AG 的垂直平分线上， ∴CM 垂直平分AG ，∴AM =GM ，∠AGC +∠GCM =90°． ∵AF ⊥CG ，∴∠AGC +∠GAF =90°，∴∠GAF =∠GCM =α． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AGB = 90°，∴∠AGB =∠CMG =90°． ∵AB =AC =CG ，∴△AGB ≌△CMG ，∴BG =GM

=

1

2

AG ．

在Rt △AGB 中， 1

tan tan 2

GB GAB AG α∠==

= ． ∵∠AMC =∠AGB = 90°，∴BG ∥CM ， ∴∠BGC =∠MCG =α． 设BF =KF =a ， 1tan tan 2BF BGF GF α∠===，∴GF =2a ，1

tan tan 2

GF GAF AF α∠=== ，AF =4a ．

∵OK =1，∴OF =a +1，AK =2OF =2（a +1），∴AF =AK +KF =a +2（a +1）=3a +2，∴3a +2=4a ，∴a =2， AK =6，∴AF =4a =8，AB =AC =CG =10，GF =2a =4，FC =CG -GF =6． ∵tanα=tan ∠HAK =1

2

HK AH =，设KH =m ，则AH =2m ，∴AK 22(2)m m +=6，解得：m 65，∴AH =2m 125

．在Rt △BFC 中，1

tan 3

BF BCF FC ∠=

= ．∵∠BAD +∠ABD =90°， ∠FBC +∠BCF =90°，∴∠BCF =∠BAD ，1tan tan 3BAD BCF ∠=∠= ，∴tan ∠GAD =tan tan 1tan tan GAF BAD GAF BAD ∠+∠-∠?∠=1123111

123

+

=-?，

∴∠GAD=45°，∴HL=AH，AL=2AH= 1210

．

5

6．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，小圆直径AE的延长线与大圆交于点B，点D 在大圆上，BD与小圆相切于点F，AF的延长线与大圆相交于点C，且CE⊥BD．找出图中相等的线段并证明．

【答案】见解析

【解析】

试题分析：由AE是小⊙O的直径，可得OA=OE，连接OF，根据切线的性质，可得

OF⊥BD，然后由垂径定理，可证得DF=BF，易证得OF∥CE，根据平行线分线段成比例定理，可证得AF=CF，继而可得四边形ABCD是平行四边形，则可得AD=BC，AB=CD．然后连接OD、OC，可证得△AOD≌△EOC，则可得BC=AD=CE=AE．

试题解析：

图中相等的线段有：OA=OE，DF=BF，AF=CF，AB=CD，BC=AD=CE=AE．

证明如下：

∵AE是小⊙O的直径，

∴OA=OE．

连接OF，

∵BD与小⊙O相切于点F，

∴OF⊥BD．

∵BD是大圆O的弦，

∴DF=BF．

∵CE⊥BD，

∴CE∥OF，

∴AF=CF．

∴四边形ABCD是平行四边形．

∴AD=BC，AB=CD．

∵CE：AE=OF：AO，OF=AO，

∴AE=EC．

连接OD、OC，

∵OD=OC，

∴∠ODC=∠OCD．

∵∠AOD=∠ODC，∠EOC=∠OEC，

∴∠AOC=∠EOC，

∴△AOD≌△EOC，

∴AD=CE．

∴BC=AD=CE=AE．

【点睛】考查了切线的性质，垂径定理，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法，小心不要漏解．

7．如图，AB是圆O的直径，射线AM⊥AB，点D在AM上，连接OD交圆O于点E，过点D作DC=DA交圆O于点C（A、C不重合），连接O C、BC、CE．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若圆O的直径等于2，填空：

①当AD=时，四边形OADC是正方形；

②当AD=时，四边形OECB是菱形．

【答案】(1)见解析；（2）①1；②3．

【解析】

试题分析：（1）依据SSS证明△OAD≌△OCD，从而得到∠OCD=∠OAD=90°；

（2）①依据正方形的四条边都相等可知AD=OA；

②依据菱形的性质得到OE=CE，则△EOC为等边三角形，则∠CEO=60°，依据平行线的性质可知∠DOA=60°，利用特殊锐角三角函数可求得AD的长．

试题解析：解：∵AM⊥AB，

∴∠OAD=90°．

∵OA=OC，OD=OD，AD=DC，

∴△OAD≌△OCD，

∴∠OCD=∠OAD=90°．

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线．

（2）①∵当四边形OADC是正方形，

∴AO=AD=1．

故答案为：1．

②∵四边形OECB是菱形，

∴OE=CE．

又∵OC=OE，

∴OC=OE=CE．

∴∠CEO=60°．

∵CE∥AB，

∴∠AOD=60°．

在Rt△OAD中，∠AOD=60°，AO=1，

∴AD=．

故答案为：．

点睛：本题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等边三角形的性质和判定，特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．

8．如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知∠CAD＝∠B．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若CD＝2，AC＝4，BD＝6，求⊙O的半径．

【答案】（1）详见解析；（2）35 2

.

【解析】

【分析】

(1)解答时先根据角的大小关系得到∠1＝∠3，根据直角三角形中角的大小关系得出

OD⊥AD ，从而证明AD为圆O的切线；(2)根据直角三角形勾股定理和两三角形相似可以得出结果

【详解】

（1）证明：连接OD，

∵OB＝OD，

∴∠3＝∠B，

∵∠B＝∠1，

∴∠1＝∠3，

在Rt△ACD中，∠1+∠2＝90°，

∴∠4＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，∴OD⊥AD，

则AD为圆O的切线；

（2）过点O作OF⊥BC，垂足为F，

∵OF⊥BD

∴DF＝BF＝1

2

BD＝3

∵AC＝4，CD＝2，∠ACD＝90°

∴AD22

AC CD

5

∵∠CAD＝∠B，∠OFB＝∠ACD＝90°∴△BFO∽△ACD

∴BF

AC = OB AD

即3

425

∴OB35

∴⊙O的半径为35

2

．【点睛】

此题重点考查学生对直线与圆的位置关系，圆的半径的求解，掌握勾股定理，两三角形相似的判定条件是解题的关键

9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，AD、BC的延长线交于点F，点E在CF 上，且∠DEC=∠BAC．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）当AB=AC时，若CE=2，EF=3，求⊙O的半径．

35．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；

（2）根据余角的性质和等腰三角形的性质得到∠F=∠EDF，根据等腰三角形的判定得到DE=EF=3，根据勾股定理得到CD225

=-=，证明△CDE∽△DBE，根据相似三

DE CE

角形的性质即可得到结论．

【详解】

（1）如图，连接BD．

∵∠BAD=90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°．∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°．

∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE．

∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；

（2）∵∠BAF=∠BDE=90°，∴∠F+∠ABC=∠FDE+∠ADB=90°．

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．

∵∠ADB=∠ACB，∴∠F=∠FDE，∴DE=EF=3．

∵CE=2，∠BCD=90°，∴∠DCE=90°，∴CD225

=-=

DE CE

∵∠BDE=90°，CD⊥BE，∴∠DCE=∠BDE=90°．

∵∠DEC =∠BED ，∴△CDE ∽△DBE ，∴CD BD CE DE =，∴BD 5335

22

?==，∴⊙O 的半径35

4

=

．

【点睛】

本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，求出DE =EF 是解答本题的关键．

10．如图1，等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，过点A ，C 的圆交AB 于点D ，交BC 于点E ，连结DE

（1）若AD=7，BD=1，分别求DE ，CE 的长

（2）如图2，连结CD ，若CE=3，△ACD 的面积为10，求tan ∠BCD

（3）如图3，在圆上取点P 使得∠PCD=∠BCD （点P 与点E 不重合），连结PD ，且点D 是△CPF 的内心

①请你画出△CPF ，说明画图过程并求∠CDF 的度数

②设PC=a ，PF=b ，PD=c ，若（a-2c ）（b-2c ）=8，求△CPF 的内切圆半径长．

【答案】（1）DE=1，CE=322）tan ∠BCD=1

4

；（3）①135°；②2. 【解析】 【分析】

（1）由A 、C 、E 、D 四点共圆对角互补为突破口求解；

（2）找∠BDF 与∠ODA 为对顶角，在⊙O 中，∠COD=2∠CAD ，证明△OCD 为等腰直角三角形，从而得到∠EDC+∠ODA=45°，即可证明∠CDF=135°；

（3）过点D 做DH CB ⊥于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D 切线PF

交CB 的延长线于点F ，结合圆周角定理得出∠CPD=∠CAD=45°，再根据圆的内心是三角形

三个内角角平分线的交点，得出∠CPF=90°，然后根据角平分线性质得出

11

4522

DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=?，最后再根据三角形内角和定理即可求

解；证明∠DCF+∠CFD=45°，从而证明∠CPF 是直角，再求证四边形PKDN 是正方形，最后以△PCF 面积不变性建立等量关系，结合已知（a-2c ）（b-2c ）=8，消去字母a ，b 求出c 值，即求出△CPF 的内切圆半径长为2

2

c ． 【详解】 （1）由图可知：

设BC=x ．在Rt △ABC 中，AC=BC ．由勾股定理得： AC 2+BC 2=AB 2，

∵AB=AD+BD ，AD=7，BD=1， ∴x 2+x 2=82， 解得：x=42．

∵⊙O 内接四边形，∠ACD=90°， ∴∠ADE=90°， ∴∠EDB=90°， ∵∠B=45°，

∴△BDE 是等腰直角三形． ∴DE=DB ， 又∵DB=1， ∴DE=1， 又∵CE=BC-BE ， ∴CE=42232-=． （2）如图所示：

在△DCB 中过点D 作DM ⊥BE ，设BE=y ，则DM=12

y ， 又∵CE=3，∴BC=3+y ， ∵S △ACB =S ACD +S DCB ，

∴

()111

4242103y y 222??=+?+?， 解得：y=2或y=-11（舍去）． ∴EM=1，

CM=CE+ME=1+3=4， 又∵∠BCD=∠MCD ， ∴tan ∠BCD=tan ∠MCD ，

在Rt △DCM 中，tan ∠MCD=DM CM =1

4

， ∴tan ∠BCD=

14

． （3）①如下图所示：

过点D 做DH CB ⊥于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D 切线PF 交CB

的延长线于点F ．

∵∠CAD=45°， ∴∠CPD=∠CAD=45°， 又∵点D 是CPF ?的内心， ∴PD 、CD 、DF 都是角平分线，

∴∠FPD=∠CPD =45°，∠PCD=∠DCF ，∠PFD=∠CFD ∴∠CPF=90° ∴∠PCF+∠PFC=90°

∴11

4522

DCF CFD PCF PFC ∠+∠=

∠+∠=? ∴∠CDF=180°-∠DCF-∠CFD F=90°+45°=135°， 即∠CDF 的度数为135°．

②如下图所示

过点D 分别作DK ⊥PC ，DM ⊥CF ，DN ⊥PF 于直线PC ，CF 和PF 于点K ，M ，N 三点， 设△PCF 内切圆的半径为m ，则DN=m ， ∵点D 是△PCF 的内心， ∴DM=DN=DK ，

又∵∠DCF+∠CFD+∠FDC=180°，∠FDC=45°， ∴∠DCF+∠CFD=45°，

又∵DC ，DF 分别是∠PCF 和∠PFC 的角平分线， ∴∠PCF=2∠DCF ，∠PFC=2∠DFC ， ∴∠PCF+∠PFC=90°， ∴∠CPF=90°．

在四边形PKDN 中，∠PND=∠NPK=∠PKD=90°， ∴四边形PKDN 是矩形， 又∵KD=ND ，

∴四边形PKDN 是正方形． 又∵∠MBD=∠BDM=45°， ∠BDM=∠KDP ， ∴∠KDP=45°． ∵PC=a ，PF=b ，PD=c ， ∴PN=PK=2

C 2

， ∴NF=2b c 2-

，CK=2a c 2

-， 又∵CK=CM ，FM=FN ，CF=CM+FM ， ∴CF=a b 2c +， 又∵S △PCF =S △PDF +S △PDC +S △DCF ， ∴

112121ab a c b c (a b 2222222=?+?++-）×2c 2

， 化简得：)2

2a b c c +-------（Ⅰ）， 又∵若（2c ）（2c ）=8

化简得：()2

ab 2c a b 2c 8++=------（Ⅱ），

将（Ⅰ）代入（Ⅱ）得：c2=8，

解得：c=c=-

∴m=

==，

c2

22

即△CPF的内切圆半径长为2．

【点睛】

本题考查圆的内接四边形性质，圆的内心，圆心角、圆周角，同弧（或等弧）之间的相互关系，同时也考查直角三角形，勾股定理，同角或等角的三角函数值相等和三角形的面积公式，正方形，对顶角和整式的运算等知识点；难点是作辅助线和利用等式求△CPF的内切圆半径长．