【三维设计】高考数学 第八章第三节圆的方程课后练习 人教A版
最新-2018高考数学 课后作业 8-2 圆的方程 新人教A版
2018高考数学人教A版课后作业1.(文)(2018·四川文，3)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)[答案] D[解析]将一般式化为标准式(x－2)2＋(y＋3)2＝13.∴圆心坐标为(2，－3)．(理)(2018·东北育才中学期末)圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是( )A．(－∞，4) B．(－∞，0)C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)[答案] A[解析]圆(x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a，由条件知，圆心C(1，－3)在直线y＝x＋2b上，∴b＝－2，又10－5a>0，∴a<2，∴a－b<4.2．(2018·广东文，8)设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则圆C的圆心轨迹为( )A．抛物线 B．双曲线C．椭圆D．圆[答案] A[解析]动圆圆心C到定点(0,3)的距离与到定直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的定义，故选A.3．(文)(2018·广州检测)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1[答案] A[解析]设圆心坐标为(0，b)，则由题意知－2＋b－2＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.(理)(2018·济南调研)已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x＋4y＋4＝0相切，则圆的方程是( )A．x2＋y2－4x＝0 B．x2＋y2＋4x＝0C ．x 2＋y 2－2x －3＝0 D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0[答案] A[解析] 设圆心为C (m,0)(m >0)，因为所求圆与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，所以|3m ＋4×0＋4|32＋42＝2，整理得：|3m ＋4|＝10，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝22，即x 2＋y 2－4x ＝0，故选A.4．(文)(2018·青岛市教学质量统一检测)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( )A ．2B ．1＋ 2C ．2＋22D ．1＋2 2 [答案] B[解析] 圆的方程化为标准形式：(x －1)2＋(y －1)2＝1， 圆心(1,1)到直线x －y －2＝0的距离d ＝|1－1－2|2＝2，所求距离的最大值为2＋1，故选B.(理)(2018·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离最大值是a ，最小值是b ，则a ＋b ＝( )A.125 B.245C.65 D ．5 [答案] B[解析] 圆心C (1,1)到直线3x ＋4y ＋5＝0距离d ＝125，∴a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125＋r ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫125－r ＝245(r为圆的半径)．5．(2018·江南十校联考)若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝0[答案] D[解析] 圆心C (3,0)，k CP ＝－12，由k CP ·k MN ＝－1，得k M N ＝2，所以MN 所在直线方程是2x －y －1＝0，故选D.6．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x ＋2y －4≤0表示的平面区域恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y－b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝5 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝8 C ．(x －4)2＋(y －1)2＝6 D ．(x －2)2＋(y －1)2＝5 [答案] D[解析] 由题意知此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)为顶点的三角形及其内部，且△OPQ 是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是(2,1)，半径是5，所以圆C 的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝5.7．(2018·西安二检)已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．[答案]254[解析] ∵点A (1,2)在⊙O ：x 2＋y 2＝5上， ∴过A 的切线方程为x ＋2y ＝5， 令x ＝0得，y ＝52，令y ＝0得，x ＝5，∴三角形面积为S ＝12×52×5＝254.8．(2018·瑞安中学)已知圆x 2＋y 2＝r 2在曲线|x |＋|y |＝4的内部(含边界)，则半径r 的范围是________．[答案] (0,22][解析] 如图，曲线C ：|x |＋|y |＝4为正方形ABCD ，∵圆x 2＋y 2＝r 2在曲线C 的内部(含边界) ∴0<r ≤|OM |＝2 2.1.(2018·济南二模)“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.但当a ＝3时，直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(x －3)2＝8一定相切，故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件．2．若直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1有两个不同交点，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是( )A ．点在圆上B ．点在圆内C ．点在圆外D ．不能确定 [答案] C[解析] 圆心C (0,0)到直线l 的距离d ＝1a 2＋b2<1⇒a 2＋b 2>1.故点P 在⊙C 外． 3．(2018·北京海淀一模)若直线l 被圆C ：x 2＋y 2＝2所截的弦长不小于2，则l 与下列曲线一定有公共点的是( )A ．(x －1)2＋y 2＝1 B.x 22＋y 2＝1C ．y ＝x 2D ．x 2－y 2＝1 [答案] B[解析] 根据已知条件可得原点到直线l 的距离d ≤1，再根据各选项中曲线的图形特点可知，直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1一定有公共点．4．(2018·成都龙泉第一中学高三模拟)以抛物线y 2＝20x 的焦点为圆心，且与双曲线x 216－y 29＝1的两渐近线都相切的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2－20x ＋64＝0 B ．x 2＋y 2－20x ＋36＝0 C ．x 2＋y 2－10x ＋16＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＋9＝0 [答案] C[解析] 抛物线的焦点坐标是(5,0)，双曲线的渐近线方程是3x ±4y ＝0，点(5,0)到直线3x ±4y ＝0的距离d ＝3即为所求圆的半径．故所求圆的方程为(x －5)2＋y 2＝9，即x 2＋y 2－10x ＋16＝0，故选C.5．(2018·浙江杭州市质检)已知A 、B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．[答案] (x －1)2＋(y ＋1)2＝9[解析] ∵M 是以AB 为直径的圆的圆心，|AB |＝6， ∴半径为3，又⊙M 经过点C ，∴|CM |＝12|AB |＝3，∴点M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.6．(2018·广东华南师大附中)已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3,5)，求： (1)过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连结OA ，OC ，求△AOC 的面积S . [解析] (1)⊙C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1.当切线的斜率不存在时，过点A 的直线方程为x ＝3，C (2,3)到直线的距离为1，满足条件．当k 存在时，设直线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0，由直线与圆相切得， |－k ＋2|k 2＋1＝1，∴k ＝34.∴直线方程为x ＝3或y ＝34x ＋114.(2)|AO |＝9＋25＝34， 直线OA ：5x －3y ＝0， 点C 到直线OA 的距离d ＝134，S ＝12·d ·|AO |＝12.7．已知过两定圆的一个交点O 的动直线与两圆分别交于点A 、B ，求线段AB 中点P 的轨迹方程．[解析] 以O 为原点建立平面直角坐标系如图．因为两定圆均过原点O ，故可设其方程分别为：x 2＋y 2－2ax －2by ＝0，①x 2＋y 2－2cx －2dy ＝0. ②当动直线斜率存在时，设其方程为y ＝kx . ③ 将方程③分别与方程①②联立，可得x A ＝a ＋bk1＋k 2，x B ＝c ＋dk1＋k2. 设线段AB 的中点为P (x ，y )，则x ＝x A ＋x B 2＝a ＋c ＋b ＋d k 1＋k2. ④ ∵点P 在直线y ＝kx 上，∴将k ＝yx代入④消去k 得，x ＝a ＋c ＋b ＋d y x1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2.整理得x 2＋y 2－(a ＋c )x －(b ＋d )y ＝0. ⑤当动直线斜率不存在时，其方程为x ＝0，分别代入①②可得A (0,2b )，B (0,2d )，则AB 的中点P 为(0，b ＋d )，将此代入⑤式，仍成立．∴所求动点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－(a ＋c )x －(b ＋d )y ＝0.8．(理)设O 点为坐标原点，曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有两点P 、Q 关于直线x ＋my ＋4＝0对称，且OP →·OQ →＝0.(1)求m 的值； (2)求直线PQ 的方程．[解析] (1)曲线方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，表示圆心为(－1,3)，半径为3的圆． ∵点P ，Q 在圆上且关于直线x ＋my ＋4＝0对称． ∴圆心(－1,3)在直线上，代入直线方程得m ＝－1. (2)∵直线PQ 与直线y ＝x ＋4垂直，∴设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 方程为y ＝－x ＋b . 将y ＝－x ＋b 代入圆方程得， 2x 2＋2(4－b )x ＋b 2－6b ＋1＝0. Δ＝4(4－b )2－8×(b 2－6b ＋1)>0， ∴2－32<b <2＋32， 由韦达定理得，x 1＋x 2＝b －4，x 1·x 2＝b 2－6b ＋12，y 1·y 2＝(－x 1＋b )(－x 2＋b )＝b 2－b (x 1＋x 2)＋x 1·x 2＝b 2＋2b ＋12，∵OP →·OQ →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， 即b 2－6b ＋12＋b 2＋2b ＋12＝0.解得b ＝1∈(2－32，2＋32)． ∴所求的直线方程为y ＝－x ＋1.1．(2018·温州中学)设圆过双曲线x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离为( )A ．4 B.163C.473D ．5 [答案] B[解析] 由题意知圆心在双曲线顶点和焦点连线的垂直平分线上，顶点A 1(－3,0)，A 2(3,0)，焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，A 1F 1的垂直平分线x ＝－4，代入双曲线方程中得，y ＝±473，∴圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，473到双曲线中心距离为d ＝－4－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫473－02＝163，A 1F 2的中垂线x ＝1与双曲线无交点，故选B.2．(2018·太原模拟)圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点的充要条件是( ) A ．k ∈(－2，2)B ．k ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．k ∈(－3，3)D ．k ∈(－∞，－3)∪(3，＋∞) [答案] C[解析] 由圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点得圆心(0,0)到直线y ＝kx ＋2的距离大于半径1，即2k 2＋1>1，由此解得－3<k <3，因此选C.3．(2018·北京东城区)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1x －y ≥－1y ≥0表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx －3k 与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13[答案] A[解析] 画出可行域如图，直线y ＝kx －3k 过定点(3,0)，由数形结合知该直线的斜率的最大值为k ＝0，最小值为k ＝0－13－0＝－13.4．已知点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，当2x＋4y取最小值时，过点P (x ，y )引圆C ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋142＝12的切线，则此切线长等于( )A.12B.32 C.62 D.32[答案] C[解析] 由于点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，得x ，y 满足x ＋2y ＝3，又2x ＋4y ＝2x＋22y≥22x ＋2y＝42，取得最小值时x ＝2y ，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，34.由于点P 到圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－14的距离为d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋142＝2，而圆C 的半径为r ＝22，那么切线长为d 2－r 2＝2－12＝62，故选C.。
2020版高考数学新设计一轮复习新课改省份专用讲义：第八章 第三节 圆的方程 含答案
第三节圆的方程1．圆的定义及方程如果没给出r＞0，则圆的半径为|r|.当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点⎝⎛⎭⎫－D2，－E2；当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形．2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.[熟记常用结论](1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＝0不一定表示圆．()(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√二、选填题1．圆心坐标为(1,1)且过原点的圆的方程是()A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：选D 由题意得圆的半径为2，故该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，故选D. 2．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B.(－2,3) C ．(－2，－3)D ．(2，－3)解析：选D 圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)． 3．若点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B.(0,1) C.⎝⎛⎭⎫－1，15 D.⎝⎛⎭⎫－15，1 解析：选D 由(2a )2＋(a －2)2＜5，得－15＜a ＜1.4．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是________．解析：若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)＞0，即3a 2＋4a －4＜0，解得－2＜a ＜23.答案：⎝⎛⎭⎫－2，23 5．圆心在y 轴上，半径长为1，且过点A (1,2)的圆的方程是________．解析：根据题意可设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1，因为圆过点A (1,2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，所以所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.答案：x 2＋(y －2)2＝1考点一 求圆的方程[师生共研过关][典例精析][例1] 已知圆E 经过三点A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( ) A.⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254 B.⎝⎛⎭⎫x ＋342＋y 2＝2516 C.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516D.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝254[解析] 法一：(待定系数法)设圆E 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，1－E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－32，E ＝0，F ＝－1，所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－32x －1＝0，即⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516. 法二：(几何法)因为圆E 经过点A (0,1)，B (2,0)，所以圆E 的圆心在线段AB 的垂直平分线y －12＝2(x －1)上．又圆E 的圆心在x 轴的正半轴上，所以圆E 的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫34，0. 则圆E 的半径为|EB |＝ ⎝⎛⎭⎫2－342＋(0－0)2＝54，所以圆E 的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516.[答案] C[例2] 圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为________________________． [解析] 法一：(几何法)设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a )． 又该圆经过A ，B 两点，所以|CA |＝|CB |，即(2a ＋3－2)2＋(a ＋3)2＝(2a ＋3＋2)2＋(a ＋5)2，解得a ＝－2， 所以圆心C 的坐标为(－1，－2)，半径r ＝10， 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.法二：(待定系数法)设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10， 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. [答案] (x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10[解题技法]1．求圆的方程的两种方法[提醒] 解答圆的有关问题时，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质． 2．确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[过关训练]1．若不同的四点A (5,0)，B (－1,0)，C (－3,3)，D (a,3)共圆，则a 的值为________． 解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 分别代入A ，B ，C 三点坐标，得⎩⎪⎨⎪⎧25＋5D ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，9＋9－3D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－253，F ＝－5.所以A ，B ，C 三点确定的圆的方程为 x 2＋y 2－4x －253y －5＝0. 因为D (a,3)也在此圆上，所以a 2＋9－4a －25－5＝0. 所以a ＝7或a ＝－3(舍去)．即a 的值为7. 答案：72．已知圆心在直线y ＝－x ＋1上，且与直线x ＋y －2＝0相切于点(1,1)的圆的方程为________________________． 解析：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ＋1，(a －1)2＋(b －1)2＝|a ＋b －2|2，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.所以r ＝⎝⎛⎭⎫1－122＋⎝⎛⎭⎫1－122＝22.故所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12. 答案：⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12考点二 与圆有关的最值问题 [全析考法过关][考法全析]考法(一) 斜率型最值问题[例1] 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求yx 的最大值和最小值．[解] 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值， 此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3. 考法(二) 截距型最值问题[例2] 已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上，求x ＋y 的最大值与最小值． [解] (转化为截距的最值问题求解)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆C 相切时，b 取得最大值或最小值，如图所示．由圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆C 的半径，可得|3＋3－b |12＋12＝2，即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y 的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.考法(三) 距离型最值问题[例3] 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求x 2＋y 2的最大值和最小值． [解] 如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点距离为(2－0)2＋(0－0)2和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43， x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 考法(四) 利用对称性求最值[例4] 已知A (0,2)，点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，则|PA |＋|P Q |的最小值是________．[解析] 因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0， 故圆C 是以C (2,1)为圆心，半径r ＝5的圆．设点A (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )， 故⎩⎪⎨⎪⎧m ＋02＋n ＋22＋2＝0，n －2m －0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2，故A ′(－4，－2)．连接A ′C 交圆C 于Q (图略)，由对称性可知|PA |＋|P Q |＝|A ′P |＋|P Q |≥|A ′Q |＝|A ′C |－r ＝2 5. [答案] 2 5[规律探求][过关训练]1．已知点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△PAB 面积的最大值与最小值分别是( )A ．2,2－52B ．2＋52，2－52C.5，4－ 5D.52＋1，52－1 解析：选B 由题意知|AB |＝(－1)2＋(－2)2＝5， l AB ：2x －y ＋2＝0，由题意知圆C 的圆心坐标为(1,0)， ∴圆心到直线l AB 的距离d ＝|2－0＋2|4＋1＝455.∴S △PAB 的最大值为12×5×⎝⎛⎭⎫455＋1＝2＋52，S △PAB 的最小值为12×5×⎝⎛⎭⎫455－1＝2－52.2．设P 为直线3x －4y ＋11＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值为________．解析：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为C (1,1)，半径r ＝1，根据对称性可知，四边形PACB 的面积为2S △APC ＝2×12|PA |r ＝|PA |＝|PC |2－r 2，要使四边形PACB 的面积最小，则只需|PC |最小，|PC |最小时为圆心到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离d ＝|3－4＋11|32＋(－4)2＝105＝2.所以四边形PACB 面积的最小值为(|PC |min )2－r 2＝4－1＝ 3.答案： 3考点三与圆有关的轨迹问题[师生共研过关][典例精析]已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．(1)求直角顶点C的轨迹方程；(2)求直角边BC的中点M的轨迹方程．[解](1)设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以k AC·k BC＝－1，又k AC＝yx＋1，k BC＝yx－3，所以yx＋1·yx－3＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝x0＋32，y＝y0＋02，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4(y≠0)，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．[解题技法]求与圆有关轨迹问题的3种方法(1)直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程．(2)定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程．(3)代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程．[过关训练]1．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，P Q的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为()A．8x－6y－21＝0B．8x＋6y－21＝0C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0解析：选D由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图．因为|P Q|＝|PO|，且P Q⊥C Q，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0，故选D.2．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．解：如图，设P(x，y)，N(x，y0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2， 线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42. 因为平行四边形的对角线互相平分，所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆⎝⎛⎭⎫因为O ，M ，P 三点不共线，所以应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285.[课时跟踪检测]一、题点全面练1．圆(x －3)2＋(y －1)2＝5关于直线y ＝－x 对称的圆的方程为( ) A ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝5 B ．(x －1)2＋(y －3)2＝5 C ．(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝5D ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝5解析：选C 由题意知，所求圆的圆心坐标为(－1，－3)，半径为5，所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝5，故选C.2．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213C.253D.43解析：选B 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，∴⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1，∴△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为1＋⎝⎛⎭⎫2332＝213.3．(2019·成都模拟)若抛物线y ＝x 2－2x －3与坐标轴的交点在同一个圆上，则由交点确定的圆的方程为( )A ．x 2＋(y －1)2＝4 B.(x －1)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋y 2＝4D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝5解析：选D 抛物线y ＝x 2－2x －3关于直线x ＝1对称，与坐标轴的交点为A (－1,0)，B (3,0)，C (0，－3)，设圆心为M (1，b )，半径为r ，则|MA |2＝|MC |2＝r 2，即4＋b 2＝1＋(b ＋3)2＝r 2，解得b ＝－1，r ＝5，∴由交点确定的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝5，故选D.4．(2019·银川模拟)若圆C 与y 轴相切于点P (0,1)，与x 轴的正半轴交于A ，B 两点，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝2 B.(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －2)2＋(y －1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －2)2＝2解析：选C 设线段AB 的中点为D ，则|AD |＝|CD |＝1，∴r ＝|AC |＝2＝|CP |，故C (2，1)，故圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝2，故选C.5．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B.(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选A 设中点为A (x ，y )，圆上任意一点为B (x ′，y ′)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＋4＝2x ，y ′－2＝2y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x －4，y ′＝2y ＋2，故(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A.6．在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为________．解析：圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，故由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，|－a |＞2，|2a |＞2，解得a ＜－2，故实数a 的取值范围为(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)7．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为____________________．解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.答案：(x －2)2＋y 2＝98．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____________________．解析：因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r ＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝29．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C ，D ，且|CD |＝410. (1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410， ∴|PA |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.10．已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)． (1)求|M Q |的最大值和最小值； (2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解：(1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|Q C |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42＞2 2. 所以点Q 在圆C 外，所以|M Q |max ＝42＋22＝62， |M Q |min ＝42－22＝2 2. (2)可知n －3m ＋2表示直线M Q 的斜率， 设直线M Q 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k .因为直线M Q 与圆C 有交点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3， 所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( ) A ．一个椭圆 B.一个圆 C ．两个圆D ．两个半圆解析：选D 由题意知|y |－1≥0，则y ≥1或y ≤－1，当y ≥1时，原方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y ＝1上方的半圆；当y ≤－1时，原方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1(y ≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y ＝－1下方的半圆．所以方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是两个半圆，选D.2．(2019·海口模拟)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝4(y ≥0)，则m ＝3x ＋y 的取值范围是( ) A ．(－23，4) B.[－23，4] C ．[－4,4]D ．[－4,23]示，直线3x ＋y －m 解析：选B x 2＋y 2＝4(y ≥0)表示圆x 2＋y 2＝4的上半部分，如图所＝0的斜率为－3，在y 轴上的截距为m .当直线3x ＋y －m ＝0过点(－2,0)时，m ＝－2 3.设圆心(0,0)到直线3x ＋y －m ＝0的距离为d ，则⎩⎨⎧m ≥－23，d ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，|－m |2≤2，解得m ∈[－23，4]．3．若对圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )，|3x －4y ＋a |＋|3x －4y －9|的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]B.[－4,6] C ．(－∞，－4]∪[6，＋∞)D ．[6，＋∞)解析：选D |3x －4y －9|表示点P 到直线l 1：3x －4y －9＝0的距离的5倍，|3x －4y ＋a |表示点P 到直线l 2：3x －4y ＋a ＝0的距离的5倍，|3x －4y ＋a |＋|3x －4y －9|的取值与x ，y 无关，即点P 到直线l 1，l 2的距离之和与点P 的位置无关，所以直线3x －4y ＋a ＝0与圆相离或相切，并且l 1和l 2在圆的两侧，所以|3－4＋a |5≥1，且a ＞0，解得a ≥6，故选D.4．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 的方程为______________________．解析：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a ), 半径为r ，则r sin π3＝1，r cosπ3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43.答案：x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝435．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点．记d ＝|PB |2＋|PA |2，其中A (0,1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________．解析：设P (x 0，y 0)，d ＝|PB |2＋|PA |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(32＋42＋1)2＝36，∴d max ＝74.答案：74(二)交汇专练——融会巧迁移6．[与不等式交汇]已知圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，则1a ＋3b 的最小值是( )A ．2 3 B.203 C ．4D.163解析：选D 由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知，其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，∵圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0，∴a ＋3b ＝3(a ＞0，b ＞0)，∴1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝13⎝⎛⎭⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝⎛⎭⎫10＋2 3a b ·3b a ＝163， 当且仅当3b a ＝3ab ，即a ＝b 时取等号，故选D. 7．[与线性规划交汇]已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为____________________．解析：如图，不等式表示的平面区域是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0，2)所构成的三角形及其内部，∴覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆． ∵△OP Q 为直角三角形，∴圆心为斜边P Q 的中点(2,1)，半径r ＝|P Q |2＝5， 因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝58．[与函数交汇]如果直线2ax －by ＋14＝0(a ＞0，b ＞0)和函数f (x )＝m x ＋1＋1(m ＞0，m ≠1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b －2)2＝25的内部或圆上，那么ba 的取值范围为________．解析：易知函数f (x )＝m x ＋1＋1(m ＞0，m ≠1)的图象过定点(－1,2)，∴直线2ax －by ＋14＝0(a ＞0，b ＞0)过定点(－1，2)，∴a ＋b ＝7，①又定点(－1,2)在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b －2)2＝25的内部或圆上，∴a 2＋b 2≤25，② 由①②解得3≤a ≤4，∴14≤1a ≤13，∴b a ＝7－a a ＝7a －1∈⎣⎡⎦⎤34，43. 答案：⎣⎡⎦⎤34，439．[与向量交汇]已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求P Q ―→·M Q ―→的最小值． 解：(1)设圆C 的圆心C (a ，b )，由已知得M (－2，－2)，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝2，P Q ―→·M Q ―→＝(x 0－1，y 0－1)·(x 0＋2，y 0＋2)＝x 20＋y 20＋x 0＋y 0－4＝x 0＋y 0－2.令x 0＝2cos θ，y 0＝2sin θ， 所以P Q ―→·M Q ―→＝x 0＋y 0－2 ＝2(sin θ＋cos θ)－2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2， 又⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4min ＝－1， 所以P Q ―→·M Q ―→的最小值为－4. (三)难点专练——适情自主选10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ，B ，曲线Γ与y 轴交于点C .(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由． (2)求证：过A ，B ，C 三点的圆过定点．解：由曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )，令y ＝0，得x 2－mx ＋2m ＝0.设A (x 1,0)，B (x 2,0)，可得Δ＝m 2－8m ＞0，则m ＜0或m ＞8.x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m .令x ＝0，得y ＝2m ，即C (0,2m )．(1)若存在以AB 为直径的圆过点C ，则AC ―→·BC ―→＝0，得x 1x 2＋4m 2＝0，即2m ＋4m 2＝0，所以m ＝0(舍去)或m ＝－12.此时C (0，－1)，AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫－14，0即圆心， 半径r ＝|CM |＝174， 故所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋y 2＝1716.(2)证明：设过A ，B 两点的圆的方程为x 2＋y 2－mx ＋Ey ＋2m ＝0， 将点C (0,2m )代入可得E ＝－1－2m ，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－mx －(1＋2m )y ＋2m ＝0. 整理得x 2＋y 2－y －m (x ＋2y －2)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－y ＝0，x ＋2y －2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝25，y ＝45，故过A ，B ，C 三点的圆过定点(0,1)和⎝⎛⎭⎫25，45.。
三维设计高考数学人教版理科一轮复习配套题库8.3圆的方程(含答案详析)
高考真题备选题库第8章 平面解析几何第3节 圆的方程考点 圆的方程1．（2010福建，5分）以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋2x ＝0B ．x 2＋y 2＋x ＝0C ．x 2＋y 2－x ＝0D ．x 2＋y 2－2x ＝0解析：抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，选项A 中圆的圆心坐标为(－1,0)，排除A ； 选项B 中圆的圆心坐标为(－0.5,0)，排除B ；选项C 中圆的圆心坐标为(0.5,0)，排除C.答案：D2．(2009·辽宁，5分)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2解析：由圆心在直线x ＋y ＝0上．不妨设为C (a ，－a )．∴r ＝|a －(－a )|2＝|a －(－a )－4|2， 解得a ＝1，r ＝ 2.∴C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.答案：B3．（2010新课标全国，5分）圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为________．解析：由题意可知，原点到直线x ＋y －2＝0的距离为圆的半径，即r ＝|0＋0－2|2＝2，所以圆的方程为x 2＋y 2＝2.答案：x 2＋y 2＝24．（2010广东，5分）已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是__________．解析：设圆心为(a,0)(a<0)，则|a|2＝2，解得a＝－2，故圆O的方程为(x＋2)2＋y2＝2. 答案：(x＋2)2＋y2＝2。
2021年高考数学一轮复习 8.3 圆的方程课时作业 理(含解析)新人教A版
2021年高考数学一轮复习 8.3 圆的方程课时作业 理（含解析）新人教A版一、选择题1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4解析：AB 的中点坐标为：(0,0)， |AB |＝ [1－－1]2＋－1－12＝22，∴圆的方程为：x 2＋y 2＝2. 答案：A2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1 解析：设圆心坐标为(0，b )，则由题意知0－12＋b －22＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.答案：A3．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：曲线C 的方程可以化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a )，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a >2.答案：D4．动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝12解析：设中点M (x ，y )，则动点A (2x －3,2y )， ∵A 在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1，即(2x －3)2＋4y 2＝1，故选C. 答案：C5．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95 B ．1 C.45D.135解析：圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45. 答案：C6．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆中过点M (3,5)的最长弦、最短弦分别为AC 、BD ，则以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6解析：将圆的方程化成标准形式得(x －3)2＋(y －4)2＝25，所以圆心为P (3,4)，半径r ＝5.而|MP |＝3－32＋4－52＝1<5，所以点M (3,5)在圆内，故当过点M 的弦经过圆心时最长，此时|AC |＝2r ＝10，当弦BD 与MP 垂直时，弦BD 的长度最小，此时|BD |＝2r 2－|MP |2＝252－12＝4 6.又因为AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |×|BD |＝12×10×46＝20 6. 答案：B 二、填空题7．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________________．解析：设圆心为(a,0)(a <0)，则|a |2＝2，解得a ＝－2，故圆O 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝2.答案：(x ＋2)2＋y 2＝28．直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________________．解析：直线过点A (b ，a )，∴ab ＝12，圆面积S ＝πr 2＝π(a 2＋b 2)≥2πab ＝π.答案：π9．(xx·杭州模拟)已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是______．解析：圆的方程变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ， ∴其圆心为(－1,2)，且5－a >0，即a <5. 又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称， ∴2＝－2＋b ，∴b ＝4.∴a －b ＝a －4<1. 答案：(－∞，1) 三、解答题10．根据下列条件求圆的方程：(1)经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上； (2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (3)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)． 解：(1)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意列出方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2a －12＋b －12＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－3r 2＝25∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.(2)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a3－a 2＋－2－b 2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2. ∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．∴半径r ＝1－32＋－4＋22＝22，∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. (3)法一：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0. 法二：由A (1,12)，B (7,10)，得A 、B 的中点坐标为(4,11)，k AB ＝－13，则AB 的中垂线方程为3x －y －1＝0. 同理得AC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，即圆心坐标为(1,2)，半径r ＝1－12＋2－122＝10.∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝100.11．(xx·重庆九校联考)已知⊙C 与两平行直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，且圆心C 在直线x ＋y ＝0上．(1)求⊙C 的方程；(2)斜率为2的直线l 与⊙C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点且满足OA →⊥OB →，求直线l 的方程．解：(1)由题意知⊙C 的直径为两平行线x －y ＝0及x －y －4＝0之间的距离 ∴d ＝2R ＝|0－－4|2＝22，解得R ＝2，设圆心C (a ，－a )，由圆心C 到x －y ＝0的距离|2a |2＝R ＝2得a ＝±1，检验得a ＝1.∴⊙C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.(2)由(1)知⊙C 过原点，若OA →⊥OB →，则l 经过圆心， 易得l 的方程：2x －y －3＝0.12．如右图所示，圆O 1和圆O 2的半径长都等于1，|O 1O 2|＝4.过动点P 分别作圆O 1，圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 为切点)，使得|PM |＝2|PN |.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O 1(－2,0)，O 2(2,0)．由已知|PM |＝2|PN |， 得|PM |2＝2|PN |2.因为两圆的半径长均为1，所以|PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)． 设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]，化简，得(x －6)2＋y 2＝33，所以所求轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33. [热点预测]13．(1)(xx·安徽亳州摸底联考)已知圆C 的圆心是抛物线y ＝116x 2的焦点．直线4x －3y －3＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝8，则圆C 的方程为________．(2)(xx·吉林长春三校调研)设圆C ：(x －3)2＋(y －5)2＝5，过圆心C 作直线l 交圆于A 、B 两点，交y 轴于点P ，若A 恰好为线段BP 的中点，则直线l 的方程为________．解析：(1)y ＝116x 2的焦点为(0,4)，∴设圆的方程为x 2＋(y －4)2＝r 2(r >0) 所以弦长为|AB |＝2r 2－d 2＝ 2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|4×0－3×4－3|32＋422＝2 r 2－⎝⎛⎭⎪⎫|15|52＝8.所以r 2＝25，所以圆的方程为x 2＋(y －4)2＝25.(2)如图，A为PB的中点，而C为AB的中点，因此，C为PB的四等分点．而C(3,5)，P点的横坐标为0，因此，A、B的横坐标分别为2、4，将A的横坐标代入圆的方程中，可得A(2,3)或A(2,7)，根据直线的两点式得到直线l的方程为2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0.答案：(1)x2＋(y－4)2＝25(2)2x－y－1＝0或2x＋y－11＝09 34222 85AE 薮4q39496 9A48 驈25292 62CC 拌28418 6F02 漂35646 8B3E 謾@|26101 65F5 旵39942 9C06 鰆29311 727F 牿X。
【三维设计】届高考数学(理)总复习课件：第八章 第3讲 圆的方程(共32张PPT)
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝1
解析：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知
0－12＋b－22 ＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y －2)2＝1.
答案：A
4．(2012·潍坊调研)圆x2－2x＋y2－3＝0的圆心到直线x＋ 3y－3＝0的距离为________．
解析：圆心(1,0)，d＝ |11－＋33| ＝1. 答案：1
•17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/132021/9/132021/9/132021/9/13
基• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
高
础•
分
知
障
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示
圆的充要条件是 A.14＜m＜1
() B．m＜14或 m＞1
C．m＜14
D．m＞1
解析：由(4m)2＋4－4×5m＞0得m＜14或m＞1.
答案：B
2．(教材习题改编)点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则
[答案] (1)A (2)3－2 2
解决与圆有关的最值问题的常用方法 (1)形如 u＝xy－－ba型的最值问题，可转化为定点(a，b) 与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题(如 A 级 T9)； (2)形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线 的截距的最值问题(如以题试法2(2))； (3)形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动 点到定点的距离的最值问题(如例(2))．
2022年高考数学(文)一轮复习文档：第八章 平面解析几何 第3讲圆的方程 Word版含答案
第3讲圆的方程, )1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圆心：⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2，半径：12D2＋E2－4F2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.1．辨明两个易误点(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．(2)对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一条件．2．求解有关圆的问题的转化路径(1)留意二元二次方程表示圆的充要条件，擅长利用切割线定理、垂径定理等平面中圆的有关定理解题；留意将圆上动点到定点、定直线的距离转化为圆心到它们的距离．(2)在圆中，留意利用半径、半弦长及弦心距组成的直角三角形．1.教材习题改编若圆x2＋y2＋2ax－b2＝0的半径为2，则点(a，b)到原点的距离为( )A．1 B．2C． 2 D．4B 由r＝12D2＋E2－4F＝124a2＋4b2＝2得a2＋b2＝2.所以点(a，b)到原点的距离d＝a2＋b2＝2，故选B.2．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是( )A．14<m<1 B．m<14或m>1C．m<14D．m>1B 由(4m)2＋4－4×5m>0，得m<14或m>1.3.教材习题改编圆C的直径的两个端点分别是A(－1，1)，B(1，3)，则圆C的方程为________．由于点A(－1，1)和B(1，3)为圆C直径的两个端点，则圆心C的坐标为(0，2)，半径|CA|＝（2－1）2＋1＝2，所以圆C的方程为x2＋(y－2)2＝2.x2＋(y－2)2＝24．已知点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是________．由于点(1，1)在圆的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1<a<1.(－1，1)求圆的方程(高频考点)求圆的标准方程，是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式消灭，有时也消灭在解答题中，多为简洁题和中档题．高考对圆的标准方程考查主要有以下三个命题角度： (1)求过不共线三点的圆； (2)过两点及一条直线确定圆； (3)利用直线与圆的位置关系确定圆．(1)(2021·高考全国卷Ⅱ)过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10(2)已知圆心为C 的圆经过点A (0，－6)，B (1，－5)，且圆心在直线l ：x －y ＋1＝0上，则圆的标准方程为________．(3)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)，则圆的标准方程为________． 【解析】 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26， 所以 M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)， N (0，－2＋26)，所以|MN |＝4 6.选C.(2)法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧（－6）2－6E ＋F ＝012＋（－5）2＋D －5E ＋F ＝0，D －E －2＝0消去F 得⎩⎪⎨⎪⎧D ＋E －10＝0D －E －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6E ＝4，代入求得F ＝－12，所以圆的方程为x 2＋y 2＋6x ＋4y －12＝0， 标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. 法二：由于A (0，－6)，B (1，－5)， 所以线段AB 的中点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－112，直线AB 的斜率k AB ＝－5－（－6）1－0＝1，因此线段AB 的垂直平分线的方程是y ＋112＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －12，即x ＋y ＋5＝0.圆心C 的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5＝0x －y ＋1＝0的解，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝－2，所以圆心C 的坐标是(－3，－2)．圆的半径长r ＝|AC |＝（0＋3）2＋（－6＋2）2＝5， 所以，圆心为C 的圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. (3)设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2(r >0)， 依据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－4x 0，（3－x 0）2＋（－2－y 0）2＝r 2，|x 0＋y 0－1|2＝r ，解得⎩⎨⎧x 0＝1，y 0＝－4，r ＝2 2. 因此所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.【答案】 (1)C (2)(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25 (3)(x －1)2＋(y ＋4)2＝8角度一 求过不共线三点的圆1．若不同的四点A (5，0)、B (－1，0)、C (－3，3)、D (a ，3)共圆，则a 的值为________． 设过A 、B 、C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，分别代入A 、B 、C 三点坐标，得⎩⎪⎨⎪⎧25＋5D ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，9＋9－3D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－253，F ＝－5.所以A 、B 、C 三点确定的圆的方程为x 2＋y 2－4x －253y －5＝0.由于D (a ，3)也在此圆上， 所以a 2＋9－4a －25－5＝0. 所以a ＝7或a ＝－3(舍去)． 即a 的值为7. 7角度二 过两点及一条直线确定圆2．经过点A (5，2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为________． 法一：由题意知k AB ＝2，AB 的中点为(4，0)， 设圆心为C (a ，b )，由于圆过A (5，2)，B (3，－2)两点， 所以圆心肯定在线段AB 的垂直平分线上，则⎩⎪⎨⎪⎧b a －4＝－12，2a －b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以C (2，1)，所以r ＝|CA |＝（5－2）2＋（2－1）2＝10. 所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －3＝0，（5－a ）2＋（2－b ）2＝r 2，（3－a ）2＋（－2－b ）2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，r ＝10， 故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.法三：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧25＋4＋5D ＋2E ＋F ＝0，9＋4＋3D －2E ＋F ＝0，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋E 2－3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－2，F ＝－5，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －5＝0. (x －2)2＋(y －1)2＝10(或x 2＋y 2－4x －2y －5＝0) 角度三 利用直线与圆的位置关系确定圆3．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为________． 由题意知x －y ＝0和x －y －4＝0之间的距离为|4|2＝22，所以r ＝2；又由于y ＝－x 与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由y ＝－x 和x －y ＝0联立得交点坐标为(0，0)，由y ＝－x 和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.(x －1)2＋(y ＋1)2＝2与圆有关的最值问题(2021·河南省豫西五校联考)已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2，3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值； (2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值． 【解】 由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2，7)，半径r ＝2 2. (1)|QC |＝ （2＋2）2＋（7－3）2＝4 2. 所以|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2. (2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率， 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k .由直线MQ 与圆C 有交点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤2 2. 可得2－3≤k ≤2＋3， 所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.与圆有关的最值问题的常见解法 (1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． (2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．1．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A ．45π B ．34π C ．(6－25)πD ．54π A 由于∠AOB ＝90°，所以点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，所以点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上，所以当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |.又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，所以圆C 的最小半径为25，所以圆C 面积的最小值为π⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45π.2．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求y －x 的最大值和最小值； (2)求x 2＋y 2的最大值和最小值．原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆． (1)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值， 此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6(如图1)．所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(2)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何学问知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图2)．又圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.与圆有关的轨迹问题已知圆x 2＋y 2＝4上肯定点A (2，0)，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．【解】 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2，2y )． 由于P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON (图略)，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.求与圆有关的轨迹方程的方法已知直角三角形ABC 的斜边为AB ，且A (－1，0)，B (3，0)，求：(1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 中点M 的轨迹方程．(1)法一：设顶点C (x ，y )，由于AC ⊥BC ，且A 、B 、C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1. 又k AC ＝yx ＋1，k BC ＝yx －3，且k AC ·k BC ＝－1，所以y x ＋1·yx －3＝－1，即x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1，0)，由直角三角形的性质知，|CD |＝12|AB |＝2，由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1，0)为圆心，2为半径长的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)．(2)设点M (x ，y )，点C (x 0，y 0)，由于B (3，0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32(x ≠3且x ≠1)，y ＝y 0＋02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 在圆(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)上运动，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入该方程得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1(x ≠3且x ≠1)．因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(x ≠3且x ≠1)．,)——圆的几何性质在求方程中的妙用在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程． 【解】 法一：(通性通法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0，1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，（3＋22）2＋D （3＋22）＋F ＝0，（3－22）2＋D （3－22）＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.法二：(巧法妙解)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0，1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋（t －1）2＝3，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(1)利用几何性质求解圆的方程在历届高考中得到广泛应用，可起到多思少算，削减运算错误的发生．(2)常用的几何性质：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任意弦的垂直平分线上；③圆心在圆的任始终径上，且为直径的中点； ④两圆相切时，切点与两圆心三点共线．⑤若已知直线与圆相切，可利用圆心到切线(切点)的距离等于半径来求出半径；⑥若已知弦长、弦心距(弦心距一般可通过圆心到直线的距离求出)，可利用“半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形”来求出半径．已知圆C 的圆心在直线y ＝－x ＋1上，则与直线x ＋y －2＝0相切于点(1，1)的圆C 的方程是________．由于圆心在过切点且与切线垂直的直线上，所以圆心在直线y －1＝x －1，即x －y ＝0上．又已知圆心在直线y ＝－x ＋1上，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，y ＝－x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝12.故圆心坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12.所以半径r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝22⎝⎛⎭⎪⎪⎫或r ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋12－22＝22. 故所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12,)1．圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D 由于圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r ＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，选D.2．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( ) A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1A 由于圆C 的圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a ，1)(a ＞0)，又由圆与直线4x －3y ＝0相切可得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.3．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( ) A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1B 圆C 1的圆心坐标为(－1，1)，半径为1，设圆C 2的圆心坐标为(a ，b )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －12－b ＋12－1＝0，b －1a ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，所以圆C 2的圆心坐标为(2，－2)，又两圆的半径相等，故圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.4．方程|x |－2＝4－（y ＋1）2所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．半个圆D ．两个半圆D 由题意知|x |≥2，故x ≥2或x ≤－2. 当x ≥2时，方程可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4；当x ≤－2时，方程可化为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4.故原方程表示两个半圆．5．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A ．95B ．1C ．45D ．135C 圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45.6．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4B 依据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3，4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ，由于∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．由于|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.7．已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为________． 法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，4＋3＋2D ＋3E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝－433，F ＝1.圆心为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，所求距离为12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.法二：在平面直角坐标系xOy 中画出△ABC ，易知△ABC 是边长为2的正三角形，其外接圆的圆心为D ⎝⎛⎭⎪⎫1，233.因此|OD |＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝73＝213. 2138．在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上全部的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为________．圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4， 所以圆心为(－a ，2a )，半径r ＝2，故由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0|－a |>2⇒a <－2|2a |>2.(－∞，－2)9．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为________． 如图，圆心M (3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.410．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1，0)且被x 轴分成两段弧长的比为1∶2，则圆C 的方程为________．由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π，设圆心(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43.x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝4311．一圆经过A (4，2)，B (－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程． 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0， 所以x 1＋x 2＝－D .令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，所以y 1＋y 2＝－E . 由题意知－D －E ＝2，即D ＋E ＋2＝0.① 又由于圆过点A 、B ， 所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0.② 1＋9－D ＋3E ＋F ＝0.③解①②③组成的方程组得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0.12．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4B ．17－1C ．6－2 2D ．17A 圆C 1，C 2的图象如图所示．设P 是x 轴上任意一点，则|PM |的最小值为|PC 1|－1，同理|PN |的最小值为|PC 2|－3，则|PM |＋|PN |的最小值为|PC 1|＋|PC 2|－4. 作C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)， 连接C ′1C 2，与x 轴交于点P ，连接PC 1， 可知|PC 1|＋|PC 2|的最小值为|C ′1C 2|， 则|PM |＋|PN |的最小值为52－4.13．已知圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9，6)，求圆C 的方程． 由于圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)， 所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－116＝－6，其方程为y ＋1＝－6(x －4)，即y ＝－6x ＋23.又由于圆心在以(4，－1)，(9，6)两点为端点的线段的中垂线y －52＝－57⎝⎛⎭⎪⎫x －132，即5x ＋7y －50＝0上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－6x ＋23，5x ＋7y －50＝0解得圆心为(3，5)， 所以半径为（9－3）2＋（6－5）2＝37， 故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －5)2＝37.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在其次象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)摸索求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4，0)的距离等于线段OF 的长？若存在，恳求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．(1)设圆C 的圆心为C (a ，b )， 则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝8. 由于直线y ＝x 与圆C 相切于原点O ，所以O 点在圆C 上， 且OC 垂直于直线y ＝x ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝8，b a＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2. 由于点C (a ，b )在其次象限，故a <0，b >0，所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2)假设存在点Q 符合要求，设Q (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧（x －4）2＋y 2＝16，（x ＋2）2＋（y －2）2＝8， 解之得x ＝45或x ＝0(舍去)．所以存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，125，使Q 到定点F (4，0)的距离等于线段OF 的长．。
高考数学一轮复习讲解与练习 8.3圆的方程理 新人教A版.pdf
[备考方向要明了] 考 什 么怎 么 考1.掌握确定圆的几何要素． 2.掌握圆的标准方程与一般方程.圆的方程、圆心坐标、半径、圆的性质等是高考考查圆的基础知识时最常涉及的要素．大多以选择题或填空题的形式考查，有时也会穿插在解答题中，如2012年江苏T12等. [归纳·知识整合] 1．圆的定义 (1)在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆． (2)确定一个圆的要素是圆心和半径． 2．圆的方程 (1)标准方程 两个条件：圆心(a，b)，半径r； 标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)圆的一般方程 一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0； 方程表示圆的充要条件为：D2＋E2－4F>0； 圆心坐标，半径r＝. [探究] 1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？ 提示：不一定．只有当D2＋E2－4F>0时，上述方程才表示圆． 2．如何实现圆的一般方程与标准方程的互化？ 提示：一般方程与标准方程互化，可用下图表示： 3．点与圆的位置关系 (1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三个结论 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0) (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点在圆上； (x0－a)2＋(y0－b)2>r2点在圆外； (x0－a)2＋(y0－b)2<r2点在圆内． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( ) A．(2,3) B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 解析：选D 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)． 2．已知方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8＝0表示一个圆，则实数k的取值范围是( ) A．－1<k<4 B．－4<k<1 C．k1 D．k4 解析：选D 由(2k)2＋42－4(3k＋8)＝4(k2－3k－4)>0，解得k4. 3．若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是( ) A．－10)， 则 解得D＝－4，E＝－2，F＝－5. 所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0. (2)根据题意可知圆心坐标为(－1,0)，圆的半径长为＝，故所求圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2. [答案] (1)x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(y－1)2＝10) (2)(x＋1)2＋y2＝2 ——————————————————— 求圆的方程的两种方法 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程，一般来说，求圆的方程有两种方法： 几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量． 1．求下列圆的方程： (1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)； (2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)． 解：(1)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则有 解得a＝1，b＝－4，r＝2. 故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为 y＋2＝x－3. 与y＝－4x联立可得圆心为(1，－4)， 所以半径r＝＝2. 故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8. (2)法一：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 则 解得D＝－2，E＝－4，F＝－95， 所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0. 法二：由A(1,12)，B(7,10)得AB的中点坐标为(4,11)， kAB＝－，则AB的中垂线方程为3x－y－1＝0. 同理得AC的中垂线方程为x＋y－3＝0. 联立得 即圆心坐标为(1,2)，半径r＝＝10， 所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝100. 与圆有关的最值问题 [例2] 已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求： (1)的最大值和最小值； (2)y－x的最大值和最小值； (3)x2＋y2的最大值和最小值． [自主解答] (1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx. 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±. 所以的最大值为，最小值为－. (2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±. 所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－. (3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为＝2， 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4， x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4. 本例条件不变，求点P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值和最小值． 解：圆心(2,0)到直线3x＋4y＋12＝0的距离为d＝＝， P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值为＋，最小值为－. ——————————————————— 与圆有关的最值问题及解题方法 (1)形如u＝型的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题； ?2?形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；?3?形如?x－a?2＋?y－b?2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题. 2．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆中，最大面积是多少？ 解：由题意知，r2＝＝， 所以当m＝－1时，r＝，所以Smax＝πr2＝π. 与圆有关的轨迹问题 [例3] 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程． [自主解答] (1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)． 因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设PQ的中点为N(x，y)在RtPBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. ——————————————————— 求轨迹方程的一般步骤 (1)建系设点：建立平面直角坐标系，设动点坐标为(x，y)； (2)列式：列出几何等式； (3)坐标化：用坐标表示得到方程； (4)化简：化简几何等式得到的方程； (5)证明作答：除去不合题意的点，作答． 3．如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程． 解：设动点P(x，y)，由题意可知P是ABD的重心． 由A(－1,0)，B(1,0)，令动点C(x0，y0)， 则D(2x0－1,2y0)，由重心坐标公式得， 则 代入x2＋y2＝1，整理得，所求轨迹方程为 2＋y2＝(y≠0)． 1种方法——待定系数法求圆的方程 (1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； (2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 3个性质——常用到的圆的三个性质 在解决与圆有关的问题时，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简洁明了，简化思路，简便运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (2)圆心在任意一弦的垂直平分线上； (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线. 创新交汇——高考中与圆有关的交汇问题 1．近年来高考对圆锥曲线的要求相对降低，因此圆的相关问题成了高考命题的一个新热点．圆的性质使其具有很强的交汇性，对圆的考查可以与集合、直线、向量、三角函数、不等式、线性规划等知识交汇命题． 2．对于这类问题，要特别注意圆的定义及其性质的运用，同时要有丰富的相关知识储备，解题时只有做到平心静气地认真研究，不断寻求解决问题的方法和技巧，才能真正把握好问题． [典例] (2011·江苏高考)设集合A＝，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，yR}．若A∩B≠，则实数m的取值范围是________． [解析] 由题意知A≠，则≤m2，即m≤0或m≥.因为A∩B≠，则有： (1)当2m＋1<2，即m2，即m>1时， 圆心(2,0)到直线x＋y＝2m的距离为d2＝≤|m|， 化简得m2－4m＋2≤0， 解得2－≤m≤2＋， 所以10，b>0)始终平分圆C：x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，则ab的最大值为( ) A．4 B．2 C．1 D. 解析：选C 圆C的圆心坐标为(－4，－1)， 则有－4a－b＋4＝0，即4a＋b＝4. 所以ab＝(4a·b)≤2＝×2＝1. 当且仅当a＝，b＝2时取等号． 2．如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值为________． 解析：由点P在平面区域 上，画出点P所在的平面区域．由点Q在圆x2＋(y＋2)2＝1上，画出点Q所在的圆，如图所示． 记Q所在曲线的圆心为点M(0，－2)，又(－1,0)为图中的阴影区域的左顶点，(－1,0)与M的连线垂直于阴影区域的下边界．因此，|PQ|的最小值为圆心(0，－2)到直线x－2y＋1＝0的距离减去半径1.又圆心(0，－2)到直线x－2y＋1＝0的距离为＝，此时垂足(－1,0)在满足条件的平面区域内，故|PQ|的最小值为－1. 答案：－1 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．若直线2x＋y＋a＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＝0的相切，则a的值为( ) A．± B．±5 C．3 D．±3 解析：选B 圆的方程可变为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，因为直线与圆相切，所以＝，即a＝±5. 2．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值是( ) A．8 B．－4 C．6 D．无法确定 解析：选C 因为圆上两点A，B关于直线x－y＋3＝0对称，所以直线x－y＋3＝0过圆心，从而－＋3＝0，即m＝6. 3．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( ) A．π B．4π C．8π D．9π 解析：选B 设P(x，y)，由题意知有，(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方得(x－2)2＋y2＝4.可知圆的面积为4π. 4．(2012·广州模拟)若圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是( ) A．(x－)2＋y2＝5 B．(x＋)2＋y2＝5 C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5 解析：选D 设圆心为(a,0)(a0)上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程是( ) A．x2＋y2－x－2y－＝0 B．x2＋y2＋x－2y＋1＝0 C．x2＋y2－x－2y＋1＝0 D．x2＋y2－x－2y＋＝0 解析：选D 抛物线y2＝2x(y>0)的准线为x＝－，圆与抛物线的准线及x轴都相切，则圆心在直线y＝x＋(y>0)上，与y2＝2x(y>0)，联立可得圆心的坐标为，半径为1，则方程为2＋(y－1)2＝1，化简得x2＋y2－x－2y＋＝0. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2013·开封模拟)若PQ是圆O：x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是M(1,2)，则直线PQ的方程是________． 解析：由圆的几何性质知kPQkOM＝－1.kOM＝2， kPQ＝－，故直线PQ的方程为y－2＝－(x－1)， 即x＋2y－5＝0. 答案：x＋2y－5＝0 8．(2013·金华十校联考)已知圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于点A、B，且AB＝，则该圆的标准方程是________． 解析：依题可设C：(x－1)2＋(y－b)2＝1(b>0)，且2＋b2＝1，可解得b＝， 所以C的标准方程为(x－1)2＋2＝1. 答案：(x－1)2＋2＝1 9．定义：若平面点集A中的任一个点(x0，y0)，总存在正实数r，使得集合A，则称A为一个开集，给出下列集合： ；； ； . 其中是开集的是________(请写出所有符合条件的序号)． 解析：集合表示以(x0，y0)为圆心，以r为半径的圆面(不包括圆周)， 由开集的定义知，集合A应该无边界，故由表示的图形知，只有符合题意． 答案： 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，求圆C的方程． 解：因为圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－＝－6， 其方程为y＋1＝－6(x－4)，即y＝－6x＋23. 又因为圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y－＝－，即5x＋7y－50＝0上， 则解得圆心为(3,5)， 所以半径为(9－3)2＋(6－5)2＝， 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37. 11．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4. (1)求直线CD的方程； (2)求圆P的方程． 解：(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)， 直线CD的方程为y－2＝－(x－1)， 即x＋y－3＝0. (2)设圆心P(a，b)则由P在CD上得a＋b－3＝0. 又直径|CD|＝4，|PA|＝2. (a＋1)2＋b2＝40. 由解得或 圆心P(－3,6)或P(5，－2)． 圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40. 12．在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－y＝4相切． (1)求圆O的方程； (2)圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求·的取值范围． 解：(1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线 x－y＝4的距离，即r＝＝2， 所以圆O的方程为x2＋y2＝4. (2)由(1)知A(－2,0)，B(2,0)． 设P(x，y)，则|PA|，|PO|，|PB|成等比数列得， · ＝x2＋y2， 即x2－y2＝2. ·＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－4＋y2＝2(y2－1)， 由于点P在圆O内，故 由此得y2<1，所以·的取值范围为[－2,0)． 1．一动圆与两圆x2＋y2＝1和x2＋y2＋8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 解析：选C 设圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，圆x2＋y2＋8x＋12＝0的圆心为O1(－4,0)，O′为动圆的圆心，r为动圆的半径，则|O′O1|－|O′O|＝(r＋2)－(r＋1)＝1，由双曲线的定义知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支. 2．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________． 解析：过点M的最短的弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，kCM＝＝1，最短弦所在直线的方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0. 答案：x＋y－1＝0 3．已知圆C：(x－1)2＋y2＝2，过点A(－1,0)的直线l将圆C分成弧长之比为13的两段圆弧，则直线l的方程为________． 解析：设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，圆心C(1,0)到直线l的距离为，因为直线l将圆C分成弧长之比为13的两段圆弧，所以直线l被圆所截得的弦所对的圆心角为，又圆C的半径为，所以 cos＝，得k2＝，即k＝±， 故直线l的方程为y＝(x＋1)或y＝－(x＋1)． 答案：y＝(x＋1)或y＝－(x＋1) 4．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1,0)，B(1,0)，点P为圆上的动点，求d＝|PA|2＋|PB|2的最大值、最小值及对应的P点坐标． 解：若设P(x0，y0)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝(x0＋1)2＋y02＋(x0－1)2＋y02＝2(x02＋y02)＋2，欲求d的最值，只需求w＝x＋y的最值，即求圆C上的点到原点距离平方的最值，故过原点O与圆心C的直线与圆的两个交点P1，P2即为所求． 设过O，C两点的直线交圆C于P1，P2两点， 则wmin＝(|OC|－1)2＝16＝|OP1|2， 此时dmin＝2×16＋2＝34，P1； wmax＝(|OC|＋1)2＝36＝|OP2|2， 此时dmax＝2×36＋2＝74，P2.。
2020高考数学总复习第八章解析几何课时作业51理(含解析)新人教A版(最新整理)
课时作业51 圆的方程1．（2019·福建厦门联考）若a∈错误!，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为( B )A．0 B．1C．2 D．3解析：方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的条件为a2＋4a2－4（2a2＋a－1)＞0，即3a2＋4a－4＜0，解得－2＜a＜错误!。
又a∈错误!,∴仅当a＝0时，方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，故选B.2．若圆x2＋y2＋2ax－b2＝0的半径为2，则点(a，b）到原点的距离为（ B ）A．1 B．2C.错误!D．4解析：由半径r＝错误!错误!＝错误!错误!＝2，得错误!＝2.∴点(a，b)到原点的距离d＝错误!＝2，故选B。
3．（2019·广东珠海四校联考)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上,则圆C的标准方程为( B ）A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．（x－1)2＋（y＋1)2＝2C．（x－1）2＋(y－1）2＝2 D．(x＋1）2＋(y＋1）2＝2解析：由题意设圆心坐标为(a，－a)，则有错误!＝错误!，即|a｜＝|a－2｜，解得a＝1。
故圆心坐标为(1,－1），半径r＝错误!＝错误!,所以圆C的标准方程为（x－1）2＋（y＋1)2＝2，故选B。
4．圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a＞0，b＞0)对称，则错误!＋错误!的最小值是( D ）A．2错误!B。
错误!C．4 D。
错误!解析：由圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0知，其标准方程为(x＋1)2＋(y－3）2＝9，∵圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a＞0,b＞0）对称，∴该直线经过圆心（－1，3)，即－a－3b＋3＝0，∴a＋3b＝3(a＞0，b＞0)，∴错误!＋错误!＝错误!（a＋3b)错误!＝13错误!≥错误!错误!＝错误!，当且仅当错误!＝错误!，即a＝b时取等号，故选D.5．（2019·河南豫西五校联考）在平面直角坐标系xOy中，以点(0，1）为圆心且与直线x －by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（ B ）A．x2＋（y－1)2＝4 B．x2＋(y－1）2＝2C．x2＋(y－1）2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16解析：法一由题意可得圆心（0,1）到直线x－by＋2b＋1＝0的距离d＝错误!＝错误!＝错误!≤ 错误!≤错误!，当且仅当b＝1时取等号，所以半径最大的圆的半径r＝错误!,此时圆的标准方程为x2＋（y－1)2＝2.法二直线x－by＋2b＋1＝0过定点P(－1，2），如图．∴圆与直线x－by＋2b＋1＝0相切于点P时，圆的半径最大，为错误!,此时圆的标准方程为x2＋（y－1)2＝2,故选B.6．（2019·福建三明第一中学月考）若对圆(x－1）2＋(y－1）2＝1上任意一点P（x，y），|3x－4y＋a|＋｜3x－4y－9|的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是( D ）A．(－∞，－4］B．[－4,6］C．（－∞,－4]∪［6，＋∞）D．[6，＋∞)解析：设z＝｜3x－4y＋a｜＋|3x－4y－9|＝5错误!，故｜3x－4y＋a｜＋｜3x－4y－9|可看作点P到直线m：3x－4y＋a＝0与直线l:3x－4y－9＝0距离之和的5倍，∵取值与x，y无关,∴这个距离之和与P无关，如图所示，可知直线m向上平移时，P点到直线m，l间的距离之和均为m,l间的距离,即此时与x，y的值无关，当直线m与圆相切时，错误!＝1，化简得|a－1|＝5，解得a＝6或a＝－4(舍去），∴a≥6，故选D.7．（2019·河南新乡模拟)若圆C：x2＋错误!2＝n的圆心为椭圆M:x2＋my2＝1的一个焦点，且圆C经过M的另一个焦点，则圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4 .解析:∵圆C的圆心为错误!，∴错误!＝错误!，m＝错误!.又圆C经过M的另一个焦点，则圆C经过点(0,1），从而n＝4.故圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4.8．(2019·东北三省四校联考）已知圆C：（x－3）2＋(y－4）2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝｜PB｜2＋|PA｜2，其中A(0,1），B（0，－1)，则d的最大值为74 。
2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第八章+第3节+圆的方程+Word版含解析
多维层次练46[A 级 基础巩固]1．已知圆C ：(x －6)2＋(y －8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( )A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25解析：圆C 的圆心坐标为C (6，8)， 则OC 的中点坐标为E (3，4)， 则所求圆的半径|OE |＝32＋42＝5，则以OC 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25. 故选C. 答案：C2．(2020·青岛实验高中测试)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A ．a <－2B ．－23<a <0C ．－2<a <0D ．－2<a <23解析：方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆， 所以a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0， 所以3a 2＋4a －4<0，所以(a ＋2)(3a －2)<0，所以－2<a <23.答案：D3．平面内动点P 到两点A 、B 距离之比为常数λ(λ＞0，且λ≠1)，则动点P 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知A (－2，0)，B (2，0)，λ＝12，则此阿波罗尼斯圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2－12x ＋4＝0 B ．x 2＋y 2＋12x ＋4＝0 C ．x 2＋y 2－203x ＋4＝0 D ．x 2＋y 2＋203x ＋4＝0解析：由题意，设P (x ，y )，则（x ＋2）2＋y 2（x －2）2＋y 2＝12，化简可得x 2＋y 2＋203x ＋4＝0，故选D. 答案：D4．(2020·青岛实验高中测试)圆心为(2，－1)的圆，在直线x －y －1＝0上截得的弦长为22，那么，这个圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝2解析：因为圆心到直线x －y －1＝0的距离d ＝|2＋1－1|2＝2，弦长为22，所以圆的半径r ＝（2）2＋⎝⎛⎭⎪⎫2222＝2， 则圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4. 答案：A5．(2020·聊城模拟)圆x 2＋y 2－6x －2y ＋3＝0的圆心到直线x ＋ay －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3D ．2解析：圆x 2＋y 2－6x －2y ＋3＝0，即(x －3)2＋(y －1)2＝7，圆心(3，1)到直线x ＋ay －1＝0的距离d ＝|2＋a |1＋a2＝1，所以a ＝－34. 答案：B6．(2020·滨州市期末)已知圆的方程为x 2＋y 2－6x ＝0，过点P (1，2)的该圆的所有弦中，最短弦的长为( )A.12 B ．1 C ．2D ．4解析：由x 2＋y 2－6x ＝0，得(x －3)2＋y 2＝9， 所以圆心坐标为(3，0)，半径为3.如图所示，当过点P (1，2)的直线与连接P 与圆心的直线垂直时，弦AB 最短， 则最短弦长为29－[（3－1）2＋（0－2）2]＝2. 答案：C7．圆心在直线x ＝2上的圆与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则该圆的标准方程为________________．解析：由已知，得圆心的纵坐标为－4＋（－2）2＝－3，所以圆心为(2，－3)，则半径r ＝（2－0）2＋[（－3）－（－2）]2＝5， 故所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5. 答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝58．已知点A (2，0)，B (0，2)，则以线段AB 为直径的圆的方程是________．解析：AB 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫2＋02，0＋22，即(1，1)．所以圆心为(1，1)．因为|AB |＝22，所以圆的半径为 2.所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.答案：(x －1)2＋(y －1)2＝29．(一题多解)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________．解析：法一 根据题意画出图形，如图所示，结合图形知经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆，其圆心为(1，0)，半径为1，则该圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1.法二 设该圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，2＋D ＋E ＋F ＝0， 解得D ＝－2，E ＝F ＝0；所以所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0. 答案：(x －1)2＋y 2＝1(或x 2＋y 2－2x ＝0)10．(2019·衡水中学调研)已知直角三角形ABC 的斜边为AB ，且A (－1，0)，B (3，0)．求：(1)(一题多解)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解：(1)法一 设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以k AC·k BC＝－1，又k AC＝yx＋1，k BC＝yx－3，所以yx＋1·yx－3＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．法二设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝x0＋32，y＝y0＋02，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．[B级能力提升]11．(2020·广州市期中)圆x2＋y2－2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋3＝0的距离为22的点的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：圆x2＋y2－2x＋4y－3＝0即(x－1)2＋(y＋2)2＝8，表示以C(1，－2)为圆心，以22为半径的圆．圆心到直线x＋y＋3＝0的距离为d＝|1－2＋3|2＝22＝2，故圆x2＋y2－2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋3＝0的距离为22的点共有4个．答案：D12．在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．解析：直线mx－y－2m－1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r满足r2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.此时圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.答案：(x－1)2＋y2＝213．(2020·聊城市期中)已知曲线方程为：x2＋y2－2x－4y＋m＝0.(1)若此曲线是圆，求m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O是坐标原点)，求m的值．解：(1)曲线方程为：x2＋y2－2x－4y＋m＝0.整理得：(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，因为此曲线是圆，所以5－m>0，解得m<5.即m的取值范围是(－∞，5)．(2)设直线x＋2y－4＝0与圆：x2＋y2－2x－4y＋m＝0的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，整理得：5y 2－16y ＋8＋m ＝0， Δ＝162－20(8＋m )>0，得m <245.则y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5，由OM ⊥ON (O 为坐标原点)，则：x 1x 2＋y 1y 2＝0， x 1＝4－2y 1，x 2＝4－2y 2，则(4－2y 1)(4－2y 2)＋y 1y 2＝5y 1y 2－8(y 1＋y 2)＋16＝0. 解得m ＝85，符合，故m 的值为85.[C 级 素养升华]14．(2020·三环高中月考)过动点P 作圆：(x －3)2＋(y －4)2＝1的切线PQ ，其中Q 为切点，若|PQ |＝|PO |(O 为坐标原点)，则|PQ |的最小值是________．解析：根据题意，设P 的坐标为(m ，n )，圆(x －3)2＋(y －4)2＝1的圆心为N ，则N (3，4)，PQ 为圆(x －3)2＋(y －4)2＝1的切线，则有|PN |2＝|PQ |2＋|NQ |2＝|PQ |2＋1，又由|PQ |＝|PO |， 则有|PN |2＝|PO |2＋1，即(m－3)2＋(n－4)2＝m2＋n2＋1，整理可得6m＋8n＝24，即P在直线6x＋8y＝24上，则|PQ|的最小值即点O到直线6x＋8y＝24的距离，且d＝|6×0＋8×0－24|62＋82＝125，即|PQ|的最小值是12 5.答案：12 5。
2022届高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第3节 圆的方程课时作业(含解析)新人教版
第八章平面解析几何授课提示：对应学生用书第319页[A组基础保分练]1．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“E＝F＝0且D＜0”是“圆C与y轴相切于原点”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A2．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为( ) A．(x－1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋(y－1)2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案：B3．在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1,0)，B(0,1)，则满足|PA|2－|PB|2＝4且在圆x2＋y2＝4上的点P的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3解析：设P(x，y)，则由|PA|2－|PB|2＝4，得(x＋1)2＋y2－x2－(y－1)2＝4，所以x＋y －2＝0.求满足条件的点P的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离为|0＋0－2|＝2＜2＝r，所以直线与圆相交，交点个数为2.故满足条件的点P有2个．2答案：C4．(2020·高考全国卷Ⅱ)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( ) A.55 B ．255C.355D ．455答案：B5．已知圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 对称，则a －b 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4) C ．(－4，＋∞) D ．(4，＋∞) 答案：B6．过点M (2,2)的直线l 与坐标轴的正方向分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积为8，则△OAB 外接圆的标准方程是( ) A ．(x －2)2＋(y －2)2＝8 B ．(x －1)2＋(y －2)2＝8 C ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝8 D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝8解析：设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，由直线l 过点M (2，2)，得2a ＋2b＝1.又S △OAB ＝12ab ＝8，所以a ＝4，b ＝4，所以△OAB 是等腰直角三角形，且M 是斜边AB 的中点，则△OAB 外接圆的圆心是点M (2,2)，半径|OM |＝22，所以△OAB 外接圆的标准方程是(x －2)2＋(y －2)2＝8. 答案：A7．已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1x －2的最大值为________．答案：338．(2021·银川模拟)已知圆x2＋y2＝4，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上动点，若∠PBQ＝90°，则线段PQ中点的轨迹方程为________．答案：x2＋y2－x－y－1＝09．一圆经过A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E.由题意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0.①又因为圆过点A，B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0.②1＋9－D＋3E＋F＝0.③解①②③组成的方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.10．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P 于点C和D，且|CD|＝410.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．解析：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1,2)，则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①又因为直径|CD|＝410，所以|PA|＝210，所以(a＋1)2＋b2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.所以圆心P (－3,6)或P (5，－2)．所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.[B 组 能力提升练]1．(多选题)(2021·山东青岛检测)已知圆C 过点M (1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是( )A ．满足条件的圆C 的圆心在一条直线上B ．满足条件的圆C 有且只有一个 C ．点(2，－1)在满足条件的圆C 上D ．满足条件的圆C 有且只有两个，它们的圆心距为42解析：因为圆C 和两个坐标轴都相切，且过点M (1，－2)，所以设圆心坐标为(a ，－a )(a ＞0)，故圆心在直线y ＝－x 上，A 正确；圆C 的方程为(x －a )2＋(y ＋a )2＝a 2，把点M 的坐标代入可得a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C 有且只有两个，故B 错误；圆C 的方程分别为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，(x －5)2＋(y ＋5)2＝25，将点(2，－1)代入可知满足(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，故C 正确；它们的圆心距为 5－12＋－5＋12＝42，D 正确．答案：ACD2．圆x 2＋y 2－4x －4y ＋m ＝0上动点P 到直线x ＋y ＋2＝0的最小距离为22，则m ＝( ) A ．－10 B ．－6 C ．6 D ．10答案：C3．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2与y 轴在第二象限所围区域的面积为S ，直线y ＝2x ＋b 将圆C 分为两部分，其中一部分的面积也为S ，则b ＝( ) A ．－ 6B ．±6C ．－ 5D ．±5解析：结合图形(图略)及题意知，圆心C (1,2)到y 轴的距离与到直线y ＝2x ＋b 的距离相等，易知C (1,2)到y 轴的距离为1，则|2×1－2＋b |22＋－12＝1，解得b ＝± 5. 答案：D4．已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)，则n －3m ＋2的最大值为( ) A ．3＋ 2 B ．1＋2 C ．1＋ 3D ．2＋3解析：由题可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx－y ＋2k ＋3＝0，其中n －3m ＋2＝k ，将圆C 的方程化为标准方程得(x －2)2＋(y －7)2＝8，C (2,7)，半径r ＝22，由直线MQ 与圆C 有交点，得|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，解得2－3≤k ≤2＋3，∴n －3m ＋2的最大值为2＋ 3.答案：D5．(2021·临沂模拟)已知圆心在直线x －3y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，且截x 轴所得的弦长为42，则圆C 的标准方程为________． 答案：(x －3)2＋(y －1)2＝96．已知点P 是圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，A (－5,0)，B (b,0)(b ≠－5)，若|PA ||PB |＝λ(λ为定值)，则λb ＝________. 解析：设点P (x P ，y P )，∵|PA |＝λ|PB |，A (－5,0)，B (b,0)，∴(x P ＋5)2＋y 2P ＝λ2[(x P －b )2＋y 2P ]，∴x 2P ＋y 2P ＋10x P ＋25＝λ2(x 2P ＋y 2P －2bx P ＋b 2)．∵P 在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 2P ＋y 2P ＝1，∴10x P ＋26＝λ2(1－2bx P ＋b 2)，∴(10＋2bλ2)x P ＝λ2＋b 2λ2－26，要使上式对x P ∈[－1,1]恒成立，需⎩⎪⎨⎪⎧10＋2bλ2＝0，λ2＋b 2λ2－26＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－15，λ2＝25或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5，λ2＝1(不符合题意，舍去)．∵λ＞0，∴λ＝5，∴λb ＝－1. 答案：－17．设m ∈R ，已知直线x ＋my ＝0过定点A ，直线mx －y －2m ＋4＝0过定点B ，直线x ＋my ＝0和直线mx －y －2m ＋4＝0交于点P .(1)求动点P 的轨迹方程； (2)求|PA |·|PB |的最大值．解析：(1)由已知可知，直线x ＋my ＝0和直线mx －y －2m ＋4＝0分别过定点A (0,0)，B (2,4)，又m ×1＋m ×(－1)＝0，所以两直线垂直，故两直线的交点P (x ，y )的轨迹为以AB 为直径的圆，圆心为AB 的中点(1,2)，半径r ＝|AB |2＝5，故动点P 的轨迹方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.(2)由(1)可知定点A (0,0)，B (2,4)，且两直线垂直，P 为圆(x －1)2＋(y －2)2＝5上的点，则PA ⊥PB ，|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝22＋42＝20，则|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝10，当且仅当|PA |＝|PB |时等号成立，所以|PA |·|PB |的最大值为10.[C 组 创新应用练]1．(2021·海口模拟)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝4(y ≥0)，则m ＝3x ＋y 的取值范围是( )A ．(－23，4)B ．[－23，4]C ．[－4,4]D ．[－4,23]解析：x 2＋y 2＝4(y ≥0)表示圆x 2＋y 2＝4的上半部分，如图所示，直线3x ＋y －m ＝0的斜率为－3，在y 轴上的截距为m .当直线3x ＋y －m ＝0过点(－2,0)时，m ＝－2 3.设圆心(0,0)到直线3x ＋y －m ＝0的距离为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，d ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，|－m |2≤2.解得m ∈[－23，4]．答案：B2．设命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥0，k －x ≥0，x ＋3y ≤12(x ，y ，k ∈R 且k ＞0)；命题q ：(x －3)2＋y 2≤25(x ，y ∈R )．若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是________．解析：如图所示：命题p 表示的范围是图中△ABC 的内部(含边界)，命题q 表示的范围是以点(3,0)为圆心，5为半径的圆及圆内部分，p 是q 的充分不必要条件．实际上只需A ，B ，C 三点都在圆内(或圆上)即可．由题知B ⎝⎛⎭⎪⎫k ，4－43k ，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，k －32＋1693－k 2≤25，解得0＜k ≤6. 答案：(0,6]3．如果直线2ax －by ＋14＝0(a ＞0，b ＞0)和函数f (x )＝m x ＋1＋1(m ＞0，m ≠1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b －2)2＝25的内部或圆上，那么ba的取值范围为________． 解析：易知函数f (x )＝m x ＋1＋1(m ＞0，m ≠1)的图象过定点(－1，2)， ∴直线2ax －by ＋14＝0(a ＞0，b ＞0)过定点(－1,2)，∴a ＋b ＝7 ①，又定点(－1,2)在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b －2)2＝25的内部或圆上， ∴a 2＋b 2≤25 ②，由①②解得3≤a ≤4，∴14≤1a ≤13，∴b a ＝7－a a ＝7a －1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，43. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，43。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
"【三维设计】2013届高考数学 第八章第三节圆的方程课后练习
人教A 版 "
一、选择题
1．(2012·合肥模拟)以抛物线y 2
＝4x 的焦点为圆心，半径为2的圆的方程为( ) A ．x 2
＋y 2
－2x －1＝0 B ．x 2＋y 2
－2x －3＝0
C ．x 2
＋y 2
＋2x －1＝0
D ．x 2
＋y 2
＋2x －3＝0
解析：∵抛物线y 2
＝4x 的焦点是(1,0)，∴圆的标准方程是(x －1)2
＋y 2
＝4.展开得x 2
＋y 2
－2x －3＝0.
答案：B
2．(2011·安徽高考)若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2
＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为
( )
A ．－1
B ．1
C ．3
D ．－3
解析：圆的方程可变为(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝5，因为直线经过圆的圆心，所以3×(－1)＋2＋a ＝0，即a ＝1.
答案：B
3．圆x 2
＋y 2
－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围 是
( )
A ．(－∞，4)
B ．(－∞，0)
C ．(－4，＋∞)
D ．(4，＋∞)
解析：由题得圆心(1，－3)，且(－2)2
＋62
－4·5a >0， 即a <2.由圆心在直线上，可得b ＝－2，∴a －b <4. 答案：A
4．圆心在曲线y ＝3
x
(x >0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为
( )
A ．(x －1)2＋(y －3)2
＝(185)2
B ．(x －3)2＋(y －1)2
＝(165)2
C ．(x －2)2
＋(y －32)2＝9
D ．(x －3)2
＋(y －3)2
＝9
解析：设圆心坐标为(a ，3
a
)(a >0)，则圆心到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离d (a )＝
|3a ＋12a ＋3|
5＝35(a ＋4a ＋1)≥3
5(4＋1)＝3，当且仅当a ＝2时等号成立．此时圆心坐标为(2，3
2
)，圆的半径为3.
答案：C
5．(2012·石家庄模拟)已知两点A (0，－3)、B (4,0)，若点P 是圆x 2
＋y 2
－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为( )
A ．6 B.112 C ．8
D.212
解析：如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，
这时△ABP 的面积最小．直线AB 的方程为x 4＋y
－3＝1，
即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离为
d ＝
|3×0－4×1－12|32＋－4
2
＝16
5， ∴△ABP 的面积的最小值为12×5×(165－1)＝11
2.
答案：B 二、填空题
6．圆x 2
－2x ＋y 2
－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________． 解析：∵圆心(1,0)， ∴d ＝|1－3|
2＝1.
答案：1
7．(2012·杭州模拟)设圆C 同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y ＝x 上；③截y 轴所得的弦长为4，则圆C 的方程是________．
解析：由题意可设圆心A (a ，a )，如图，则22
＋22
＝2a 2
，解得a ＝±2，
r 2＝2a 2＝8.所以圆C 的方程是(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝
8.
答案：(x ＋2)2
＋(y ＋2)2
＝8或(x －2)2
＋(y －2)2
＝8. 三、解答题
8．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点
C 和
D ，且|CD |＝410.
(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．
解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)． 即x ＋y －3＝0.
(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又直径|CD |＝410，∴|PA |＝210. ∴(a ＋1)2
＋b 2
＝40.②
由①②解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－3
b ＝6或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝5，
b ＝－2.
∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．
∴圆P 的方程为(x ＋3)2
＋(y －6)2
＝40或(x －5)2
＋(y ＋2)2
＝40.
9．(2012·广州模拟)在以O 为原点的直角坐标系中，点A (4，－3)为△OAB 的直角顶点，已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于0.
(1)求AB 的坐标；
(2)求圆x 2
－6x ＋y 2
＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程． 解：(1)设AB ＝(x ，y )，由|AB |＝2|OA |，
AB ·OA ＝0，
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋y 2
＝100，
4x －3y ＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝6，
y ＝8，或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－6，
y ＝－8，
若AB ＝(－6，－8)，则y B ＝－11与y B >0矛盾，所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－6，
y ＝－8舍去．
即AB ＝(6,8)．
(2)圆x 2
－6x ＋y 2
＋2y ＝0，即(x －3)2
＋(y ＋1)2
＝(10)2
，其圆心为C (3，－1)，半径r ＝10，∵OB ＝OA ＋AB ＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)，
∴直线OB 的方程为y ＝1
2
x .
设圆心C (3，－1)关于直线y ＝1
2
x 的对称点的坐标为(a ，b )，
则⎩⎪⎨⎪⎧
b ＋1a －3＝－2，b －12＝12·a ＋32，
解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
a ＝1，
b ＝3，
则所求的圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2
＝10.
10．如图，在平面直角坐标系中，方程为x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的圆M 的内接四边形ABCD 的对角线AC 和BD 互相垂直，且AC 和BD 分别在x 轴和y 轴上．
(1)求证：F <0；
(2)若四边形ABCD 的面积为8，对角线AC 的长为2，且AB ·AD ＝0，求D 2
＋E 2
－4F 的值．
解：(1)由题意，不难发现A 、C 两点分别在x 轴正、负半轴上．设两点坐标分别为A (a,0)，
C (c,0)，则有ac <0.
对于圆的方程x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，当y ＝0时，可得x 2
＋Dx ＋F ＝0，其中方程的两根分别为点A 和点C 的横坐标，于是有x A x C ＝ac ＝F .因为ac <0，故F <0.
(2)不难发现，对角线互相垂直的四边形ABCD 的面积S ＝|AC |·|BD |2，因为S ＝8，|AC |
＝2，可得|BD |＝8.
又因为AB ·AD ＝0，所以∠A 为直角，又四边形ABCD 是圆M 的内接四边形，故|BD |＝2r ＝8⇒r ＝4.(r 为圆M 的半径)
对于方程x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0所表示的圆，可知D 24＋E 2
4－F ＝r 2，所以D 2＋E 2－4F ＝4r 2
＝64.。