5-3苏教版2019高三一轮复习课件平面向量的数量积
1→2 2 1 2 2 | AC | ＝－ × 2 ＋ × 2 ＝－2. 6 3 6
基础诊断
考点突破
法二 建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(2,0)，D(0,1)，
4 2 4 2 → 4 2 → → → E3，3， 所以AE＝3，3， BD＝(－2,1)， 所以AE· BD＝3，3· (－2,1)
基础诊断
考点突破
则
1 1 B－2，0，C2，0，
A 0，
3 → ，所以 BC ＝(1,0)． 2
1 1 1 易知 DE＝2AC，∠FEC＝∠ACE＝60° ，则 EF＝4AC＝4， 所以点 F
1 的坐标为 8，－
3 ， 8
基础诊断
考点突破
2．(2015· 全国Ⅱ卷改编)向量 a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)· a ＝________. 解析 因为 a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，所以 2a＋b＝2(1，－1)＋ (－1,2)＝(1,0)，得(2a＋b)· a＝(1,0)· (1，－1)＝1. 答案 1
9 9 的取值范围为－∞，－2∪－2，3. 9 9 (2)－∞，－2∪－2，3
(1)8
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考点突破
规律方法
(1)根据平面向量数量积的性质：若 a，b 为非零向量，
a· b cos θ＝|a||b|(夹角公式)， a⊥b⇔a· b＝0 等， 可知平面向量的数量积可 以用来解决有关角度、垂直问题． (2)数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于 0 说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于 0 且两向量不共线 时两向量的夹角为钝角．
基础诊断
考点突破
3．(2017· 南京、盐城模拟)已知向量 a，b，其中|a|＝ 3，|b|＝2，且 (a－b)⊥a，则向量 a 和 b 的夹角是________． 解析 因为(a－b)⊥a，所以(a－b)· a＝|a|2－|a||b|· cos〈a，b〉＝3
3 －2 3×cos〈a，b〉＝0，解得 cos〈a，b〉＝ 2 ，由于〈a，b〉 π ∈[0，π]．则向量 a，b 的夹角为6. π 答案 6
4 2 → → → → ＝3×(－2)＋3×1＝－2.(2)设AB＝a，AC＝b，则BA· CA＝(－a)· (－b) ＝a· b＝4.
又∵D 为 BC 中点，E，F 为 AD 的两个三等分点，
基础诊断 考点突破
1 → → 1 1 → 则AD＝2(AB＋AC)＝2a＋2b， 2→ 1 1 → AF＝ AD＝ a＋ b. 3 3 3 1→ 1 1 → AE＝3AD＝6a＋6b， 1 1 2 1 → → → BF＝BA＋AF＝－a＋3a＋3b＝－3a＋3b， 1 1 1 2 → → → CF＝CA＋AF＝－b＋ a＋ b＝ a－ b， 3 3 3 3
(
) )
(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的 运算结果是向量． ( )
(4)若 a· b＞0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a· b＜0，则 a 和 b 的 夹角为钝角． (5)a· b＝a· c(a≠0)，则 b＝c.
基础诊断
考点突破
→ ，AD → 为一组基底．∵BM → ＝3MC → ，∴AM → ＝AB → ＋BM →＝ 解析 (1)取AB 3→ → 3→ → → → 1 → 1→ → AB＋ BC＝AB＋ AD，NM＝CM－CN＝－ AD＋ AB， 4 4 4 3 1 → 1 → → → → →) ∴AM· NM＝4(4AB＋3AD)· (4 AB － 3 AD 12 1 1 →2 →2 ＝48(16AB －9AD )＝48(16×62－9×42)＝9. (2)法一
2 2 2 x2 ＋ y · x ＋ y 1 1 2 2.
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考点突破
3．平面向量数量积的运算律 (1)a· b＝b· a(交换律)． (2)λa· b＝λ(a· b)＝a· (λb)(结合律)． (3)(a＋b)· c＝a· c＋b· c(分配律)． 4．平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a· b＝ x1x2＋y1y2，由此得到
第3讲
平面向量的数量积
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考点突破
考试要求 1.平面向量数量积的含义及其物理意义，B级要 求；2.平面向量的数量积与向量投影的关系，A级要求；3.数 量积的坐标表示，数量积的运算，C级要求；4.用数量积表
示两个向量的夹角，判断两向量垂直，B级要求．
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知 识 梳 理 1．平面向量数量积的有关概念 → ＝a，OB → ＝b， (1)向量的夹角：已知两个非零向量 a 和 b，记OA 则∠AOB＝θ(0° ≤θ≤180° )叫做向量 a 与 b 的夹角． (2)数量积的定义：已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ， 则数量|a||b|cosθ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a· b，即 a· b ＝ |a||b|cosθ ，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0· a＝0. (3)数量积的几何意义： 数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方 向上的投影 |b|cosθ 的乘积．
基础诊断
( (
考点突破
) )
解析 (1)两个向量的夹角的范围是[0，π]． (4)若 a· b>0，a 和 b 的夹角可能为 0；若 a· b<0，a 和 b 的夹角可能为 π. (5)由 a· b＝a· c(a≠0)得|a||b|cos〈a，b〉＝|a||c|· cos〈a，c〉 ，所以向量 b 和 c 不一定相等． 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×
5 1 1 5 5 2 26 5 29 → → 2 则BE· CE＝ －6a＋6b 6a－6b ＝－ (a ＋b )＋ a· b＝－ × ＋ 36 36 36 2
26 7 36×4＝8. 7 答案 (1)－2 (2)8
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考点二
平面向量的夹角与垂直
|b|cos θ＝4×cos 120° ＝－2. 答案 －2
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考点突破
考点一 平面向量的数量积 →| 【例 1】 (1)(2015· 四川卷改编)设四边形 ABCD 为平行四边形，|AB → |＝4， → ＝3MC → ，DN → ＝2NC →， →· → ＝6，|AD 若点 M，N 满足BM 则AM NM ＝________. (2)(2016· 天津卷改编)已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，E 分别是边 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 →· → 的值为________． DE＝2EF，则AF BC
基础诊断 考点突破
(1)由题知 a＋b＝(4， m－2)， 因为(a＋b)⊥b， 所以(a＋b)· b
即(2k－3，－6)· (2,1)<0，解得 k＜3. 又若(2a－3b)∥c， 9 则 2k－3＝－12，即 k＝－2. 9 当 k＝－ 时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c， 2 即 2a－3b 与 c 反向． 综上，k 答案
【例 2】 (1)(2016· 全国Ⅱ卷改编)已知向量 a＝(1，m)，b＝(3，－2)， 且(a＋b)⊥b，则 m＝________. (2)若向量 a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知 2a－3b 与 c 的夹角 为钝角，则 k 的取值范围是________． 解析 ＝0， 即 4×3＋(－2)×(m－2)＝0，解之得 m＝8. (2)∵2a－3b 与 c 的夹角为钝角， ∴(2a－3b)· c<0，
基础诊断 考点突破
2．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为向量 a，b 的夹角． (1)数量积：a· b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
2 (2)模：|a|＝ a· a＝ x 2 ＋ y 1 1.
x1x2＋y1y2 a· b (3)夹角：cos θ＝|a||b|＝ 2 2 2 2. x1＋y1· x2＋y2 (4)两非零向量 a⊥b 的充要条件：a· b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (5)|a· b|≤|a||b|( 当 且 仅 当 a ∥ b 时 等 号 成 立 ) ⇔ |x1x2 ＋ y1y2|≤
2 1 1 2 → → 则BF· CF＝－3a＋3b3a－3b＝
2 2 2 2 5 2 2 5 2 －9a －9b ＋9a· b＝－9(a ＋b )＋9×4＝－1.
基础诊断 考点突破
29 可得 a ＋b ＝ 2 .
2 2
1 1 5 1 → → → 又BE＝BA＋AE＝－a＋6a＋6b＝－6a＋6b. 1 1 1 5 → → → CE＝CA＋AE＝－b＋ a＋ b＝ a－ b， 6 6 6 6
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考点突破
解析
(1)法一
1→ → 1 → → → → → → 因为AE＝AB＋BE＝AB＋ BC＝AB＋ (AC－AB)＝ 3 3
2→ 1→ → → → → 1→ → → AB ＋ AC ， BD ＝ BA ＋ AD ＝－ AB ＋ AC . 因为 AB ⊥ AC ，所以 AB · AC 3 3 2 2→ 1 → → 1 → 2→2 → → －AB＋ AC ＝－ |AB| ＋ ＝0，所以AE· BD＝ 3AB＋3AC · 2 3
基础诊断
考点突破
【训练 1】 (1)(2017· 苏州调研)在 Rt△ABC 中，∠A＝90° ，AB＝AC 1→ → →· → ＝________. ＝2， 点 D 为 AC 的中点， 点 E 满足BE＝ BC， 则AE BD 3 (2)(2016· 江苏卷)如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E，F 是 →· → ＝4，BF →· → ＝－1，则BE →· → 的值 AD 上的两个三等分点，BA CA CF CE 是________．
高三一轮复习课件平面向量的数量积
b解的.
题模计技和算巧方两：向个角a向的. 量利关的用系夹向c角量.
的 利
性 用
质 向
和 量
几 的何Biblioteka 加意 法义 和简 减
化 法
计 进
算 行
b. 简化
注 计
意 算
向
量
ca.. 利利用用数向量量积的公性式质求和解几 何 意 义 简 化 计 算
b. 注意向量的模和方向角的关系
定义：平面向量的数量积是两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余 弦值的乘积 几何意义：表示两个向量的夹角大小和方向
性质：数量积满足交换律、结合律和分配律
应用：在物理、工程等领域有广泛应用，如力矩、功等
结合律：a·(b+c) = a·b + a·c 交换律：a·b = b·a 分配律：a·(b+c) = a·b + a·c
平行四边形定 理：两个向量 的数量积等于 这两个向量的
模的乘积
余弦定理：两 个向量的数量 积等于这两个 向量的模的乘 积再乘以这两 个向量的夹角
的余弦值
向量数量积的 性质：向量数 量积的绝对值 等于这两个向 量的模的乘积 再乘以这两个 向量的夹角的
余弦值
向量数量积的 定理：两个向 量的数量积等 于这两个向量 的模的乘积再 乘以这两个向 量的夹角的余
记开方等
理解错误，如 混淆向量的数 量积和向量积
的性质
应用错误，如 无法正确应用 向量的数量积 解决实际问题
计算两个向量的数量积，并判断其 正负性
判断两个向量的数量积是否为零， 并解释原因
计算两个向量的数量积，并判断其 方向
判断两个向量的数量积是否为零， 并解释原因
高中全程复习配套课件平面向量的数量积苏教数学理ppt文档
②范围：向量a与b的夹角的范围是_0_°___≤__θ__≤__1_8_0_°__. ③当＝0时,a与b_同__向___. 当＝180时,a与b_反__向___. 当 90时,a与b__垂__直__.
【即时应用】 (1)已知正三角形ABC的边长为1，则
① A B A C _ _ _ _ _ _ _ _ ；
② AB在AC方向上的投影为_________. (2)已知 a1 ， b2， ab1 ， 则向量 a 与 b 的夹角θ等于_______.
【解析】(1) ① A B A C A B A C c o s A 1 1 c o s 6 0 1 .
(请在括号内填“真”或“假”)
① ab225
②若θ为向量 a、 b的 夹 角 ， 则 cos10
10
③若 aab,则 1 ④ ab4ab18
() () () ()
【解析】① a b 1 2 1 2 2 2 4 2 2 2 5 , 故 ① 真 .
② c o s a b 1 2 ( 1 ) 4 2 1 0 ,② 真 .
(2)(2011·湖南高考)在边长为1的正三角形ABC中，设
B C 2 B D ， C A 3 C E ， 则 A D B E _ _ _ _ _ _ .
(3)(2011·辽宁高考改编)已知向量 a 2 ,1 ,b 1 ,k ,
a 2 a b ,则 a b a b _ _ _ _ _ _ .
答案： 3
(2)由题意画出图形如图所示，取基底 AB，A结C， 合图形可得
A D 1 ( A B A C ) ， B E A E A B 2 A C A B ， A D B E
高考理科第一轮复习课件(4.3平面向量的数量积)
【规范解答】（1）选A.由|a·b|＝|a||b|知，a∥b. 所以sin 2x＝2sin2x,即2sinxcosx＝2sin2x，而x∈(0，π)， 所以sin x＝cos x，即 x＝ ，故tan x＝1.
4
(2)选A.由题意得，BQ AQ AB 1 AC AB，
5．平面向量数量积的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ ，则
数量积
x1x2＋y1y2 a·b＝_________
2 2 x1＋y1 ①|a|＝_______
模
②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2 2 （x1－x 2） ＋（y1－y2） 则 | AB| ＝____________________
3.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ 为a与b(或e)的夹
角．则
(1)e·a=a·e=|a|cos
a·b=0 (2)a⊥b⇔_______.
θ .
(3)当a与b同向时，a·b=|a|·|b|.
当a与b反向时，a·b=-|a|·|b|, |a|2 a a 特别地，a·a＝____或者|a|＝____.
第三节 平面向量的数量积
1.两个向量的夹角 定义 范围 向量夹角θ 的范围是 0°≤θ ≤180° _______________, 0°或180° 当θ = ___________时，两向 量共线； 90° 当θ = _____时，两向量垂直， 记作a⊥b（规定零向量可与任 一向量垂直）
非零 已知两个_____向量a,b， 作 OA a,OB b, ∠AOB=θ 叫作向量a与b的 夹角（如图）.
又∵a,b为两个不共线的单位向量，
高三数学一轮复习基础过关5.3平面向量的数量积PPT课件
5 ，|a|cos
θ
=|a|
ab |a ||b |
2 (4) 3 7 13 65 .
(4)2 72
65 5
2.若|a|=2cos 15°，|b|=4sin 15°，a，b的夹角为
30°，则a·b等于
（ B）
A. 3
B. 3
C. 2 3
D. 1
2
2
解析 a b | a || b | cos 30
§5.3 平面向量的数量积
基础知识 自主学习
要点梳理
1.平面向量的数量积 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ ，则数量 |a |·|b|cos θ 叫做a与b的数量积（或内积），记 作a ·b=|a ||b|·cos θ .
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 . 两个非零向量a与b垂直的充要条件是 a ·b=0 ，两非 零向量a与b平行的充要条件是 a ·b=±|a ||b| .
4.一般地，（a·b）c≠(b·c)a即乘法的结合律不成 立.因a·b是一个数量，所以(a·b)c表示一个与c 共线的向量，同理右边（b·c）a表示一个与a共线 的向量,而a与c不一定共线,故一般情况下(a·b)c ≠(b·c)a.
失误与防范
1. 零 向 量 :(1)0 与 实 数 0 的 区 别 ， 不 可 写 错 ： 0a=0≠0,a+(-a)=0≠0,a·0=0≠0;(2)0的方向是任 意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只 定义了非零向量的垂直关系.
·sin(
π -θ )=sin
θ cos
2 θ -sin θ
cosθ =0.
∴a⊥b. 2
（2）解 由x⊥y得x·y=0,
即［a+（t2+3）b］·（-ka+tb）=0，
高考数学一轮总复习 5.3 平面向量的数量积课件 理 苏教版
法二 如图建立平面直角坐标系，则 C(0,0)，B(3,0)，A(0,3)． 由题意知：|A→B|＝3 2， ∴|B→M|＝6 2.设 M(x，y)， B→M＝2B→A ∴(x－3，y)＝2(－3,3) 则 x＝－3，y＝6， 即 M(－3,6)． ∴C→M·C→A＝(－3,6)·(0,3)＝18.
第二十三页，共30页。
• 1．计算数量积的三种方法：定义、坐标运算 、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有 关的不要忽略数量积几何意义的应用．
• 2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2， 将模的运算转化为向量的数量积的运算．
• 3．利用向量垂直或平行的条件构造方程 (fāngchéng)或函数是求参数或最值问题常用的
第二十四页，共30页。
教你审题 5——数量积的计算问题 【典例】 (2012·上海卷)在矩形 ABCD 中，设 AB，AD 的长分别
为 2,1.若 M，N 分别是边 BC，CD 上的点，且满足||BB→→MC||＝||CC→→DN||， 则A→M·A→N的取值范围是________．
第二十五页，共30页。
第十四页，共30页。
解析 (1)等式平方得|a|2＝9|b|2 ＝|a|2＋4|b|2＋4a·b， 则|a|2＝|a|2＋4|b|2＋4|a||b|cos θ， 即 0＝4|b|2＋4·3|b|2cos θ， 得 cos θ＝－13. (2)因为|2a－b|2＝(2a－b)2＝4a2＋b2－4a·b＝4a2＋b2＝4＋4＝8， 故|2a－b|＝2 2. 答案 (1)－13 (2)2 2
• 2．平面向量数量积的几何意义
第二页，共30页。
3．平面向量数量积的重要性质 (1)e·a＝a·e＝ |a|cos θ ； (2)非零向量 a，b，a⊥b⇔ a·b＝0 ； (3)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b|；当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b|； 特别地，a·a＝ |a|2 ；|a|＝ a·a； (4)cos θ＝|aa|·|bb|； (5)|a·b| ≤ |a||b|.
2019年高考数学一轮复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积及其应
第三节平面向量的数量积及其应用［考纲传真］1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2 了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.双基自主测评I基础知识环能力全面巩固■(对应学生用书第61页)［基础知识填充］1. 向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图4-3-1 ,作0A= a, 0B= b，则/ AOB=0 (0 °w 0 < 180° )叫作a与b的夹角.0 b B图4-3-1(2)当0 = 0°时，a与b共线同向.当0 = 180°时，a与b共线反向.当0 =90°时，a与b互相垂直. '—2•平面向量的数量积(1) 定义：已知两个非零向量a和b,它们的夹角为0，则数量| a|| b| • cos 0叫做a与b的数量积(或内积).规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2) 几何意义：数量积a • b等于a的长度| a|与b在a的方向上的投影| b|cos 0的乘积Jk 曜或b的长度| b|与a在b方向上射影| a|cos 0的乘积.3. 平面向量数量积的运算律(1) 交换律：a • b= b • a；(2) 数乘结合律：(入a) • b=入(a • b) = a •(入b)；(3) 分配律：a •( b+ c) = a • b+ a • C.4. 平面向量数量积的性质及其坐标表示122结论几何表示坐标表小2| a || b |cos 0夹角a - bcos 0 — . [[ i .|a || b |X 1X 2+ y 1y 2cos 0 — . y, ------------------------------- .,,V X 2 + y2^/X 2 + y 2a 丄ba -b — 0X 1X 2+ y 1y 2— 0|a • b | 与 | a || b | 的关系|a - b | w| a || b || X 1X 2+ y 1y 2| w 寸X 1 + y 2 •寸 X 2+ y ；［知识拓展］1两个向量a , b 的夹角为锐角？ a •b >0且a , b 不共线;两个向量a ，b 的夹角为钝角？ a •b <0且a , b 不共线. 2 •平面向量数量积运算的常用公式 (1)( (2)( (3)(2 2a +b ) •( a -b ) = a — b .2 2 2a +b ) = a + 2a • b + b .a -b )2= a 2-2a • b + b 2.3.当a 与b 同向时，a •b = | a||b1.当a 与b 反向时，a ・b = — |a||b |.［基本能力自测］(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“X” (1) 两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量.由 a - b = 0,可得 a = 0 或 b = 0.()由a - b = a - c 及a ^0不能推出b = C.()2. 在四边形 ABCDh AB- DC &AC- BD= 0,则四边形 ABCD 为矩形•( [答案](1) V (2) X (3) V(2016 -全国卷川)已知向量BA=A . 30° ,1，则/ ABC=(3.C. 60°D. 120°A [因为BA=2, -2 , BC > 三3, 1，所以 E3A- £=¥+石3=_23.又因为 B A- B <> I B AII 航cos / ABC= 1X 1X cos / ABC 所以 cos / 又 0°<Z ABCc 180°,所以/ABC= 30° .故选 A .](2015 •全国卷 n )向量 a = (1 , - 1), b = ( — 1,2)，则(2a + b ) - a =()A . - 1 B. 0 C. 1D. 22C [法: T a = (1 , — 1) , b = ( — 1,2) ,.•. a = 2, a • b =— 3, 从而(2a + b ) • a = 2a 2 + a • b = 4 — 3= 1. 法二：T a = (1 , — 1) , b = ( — 1,2), .2a + b = (2 , — 2) + ( — 1,2) = (1,0),从而(2a + b ) • a = (1,0) • (1 , — 1) = 1，故选 C.]4. ______________ (教材改编)已知|a | = 5, | b | = 4, a 与b 的夹角0 = 120° ,则向量b 在向量a 方向上的 投影为 __ .—2 [由数量积的定义知， b 在a 方向上的投影为| b |cos 0 = 4x cos 120 ° =— 2.]5. (2017 •全国卷I)已知向量 a = ( — 1,2) , b = (m,1).若向量 a + b 与a 垂直，则 m=7 [ T a = ( — 1,2) , b = (m,1), ••• a + b = ( — 1 + m,2 + 1) = ( m- 1,3). 又 a + b 与 a 垂直，二(a + b ) • a = 0, 即(m-1) x ( — 1) + 3X 2= 0, 解得m= 7.]题型分类突破I 高琴题型烦律方法逐-突砸■(对应学生用书第62页)心 ......平面向量数量积的运算■■■I (1)(2016 •天津高考)已知△ ABC 是边长为1的等边三角形，点D, E 分别是边AB,BC 的中点，连接 DE 并延长到点F ,使得DE= 2EF,则AF- BC 勺值为()A . 11D -S'已知正方形 ABCD 勺边长为1,点E 是AB 边上的动点，则DE- CB 勺值为C.;DE ・DC的最大值为 【导学号: 00090135】AF = AM DF又D, E 分别为AB BC 的中点,(1) B (2) 1 1 [(1)如图所示,f 1 f f 1 ・_且DE=2EF所以AD= 1A B DF=2AC+；AC=4AC1f2当E 运动到B 点时，DE^DC 方向上的投影最大，即为 DC = 1, 所以(DE' Dg =| DC - 1= 1.］［规律方法］1.求两个向量的数量积有三种方法： 利用定义；利用向量的坐标运算； 利用数量积的几何意义.~T 1 -T 3 ~T 所以 AF = 2AB+ 4AC又 BC= AC- AB3T-4AC-又 | AB =|AQ = 1,z BAO 60°,故AF- E3C = 4-2 — 4X 1X 1X 2= 1.故选 B.4 2 4 2 8⑵ 法一：以射线AB AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0),巳1,0),C (1,1) ,D (0,1)，设E (t, 0) , t € [0,1]，则DE = (t , - 1),(t , -1) - (0，- 1) = 1.因为 DC = (1,0)，所以 DE- DC = (t ，- 1) - (1,0) = t w 1, 故D E- DC 的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE 在CB^向上的投影都是 CB= 1,所以DE- CB= | CB则 AF- BC= -(AC-AB 3 T T2. (1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量. (2)注意向量夹角的大小，以及夹角0 = 0°, 90°, 180°三种特殊情形.2[变式训练1] ⑴ 已知AB= (2,1)，点C ( — 1,0) , D (4,5)，则向量AB 在 C [方向上的投影为(1) C (2)C [(1)因为点 C ( —1,0) , Q4,5)，所以 C* (5,5)，又AB= (2,1)，所以向量 AB 在CD?向上的投影为|AB |cos 〈 AB C D =磊=芈I CD%2⑵ 由 AB- AF = 3 得AB ・(AM DF = AB- DF= 3,所以 |DF = 1, |CF = 2,BE • BC= — 6 + 2 = — 4.](1)(2017 •合肥二次质检)已知不共线的两个向量a ,b 满足|a — b | = 2且a 丄(a—2b )，则 | b | =( )A . 2 C. 2 2⑵(2018 •西安模拟)已知平面向量a , b 的夹角为 卡，且|a | = .3, | b | = 2,在厶ABC 中,AB= 2a + 2b , AC= 2a — 6b , D 为 BC 的中点，贝U |AQ = ______ .(1)B (2)2[(1)由 a 丄(a — 2b )得 a - (a — 2b ) = | a | — 2a - b = 0.又•/ | a — b | = 2,「. | a(2)(2018 •榆林模拟)已知在矩形ABCD 中 AB= 3, BC = 3, BE = 2EC 点 F 在边 CD 上.若AB- AF = 3,则 A E- 'BF 的值为()【导学号：00090136】A . 0B 育C.— 4D. 42B.- 3 5 D. 3 5C. 所以 AE - BF = ( AB+ BE ) •( BC+ CF ) =AB- BC+ AB- CF + BE- BC + BE- CF = AB- CF +ISfifl... ......... . ............................ j平面向量数量积的性质角度1平面向量的模MBB. 2 D. 4—b| 2= | a|2—2a - b+ | b|2= 4,则| b|2= 4, | b| = 2，故选B.■ ■ ~9 1 ~> (2)因为 A[> 2(AB+ AC 1=2(2a + 2b + 2a — 6b ) =2a — 2b ,所以 |AD 2= 4(a — b )2= 4(a 2— 2b •a + b 2)—e 2的夹角为B ,贝U cos 3 =⑵ 若向量a = (k, 3) , b = (1,4) , c = (2,1)，已知2a — 3b 与c 的夹角为钝角，贝U k 的取2=I — 2X 3X 2X1 X cos a + 4= I ,所以|a | = 3,i i222因为 b = (3e 1 — e 2) = I — 2X 3X 1 XI X cos a + 1 = 8, 所以 | b | = 2 2,a •b = (3 e 1 — 2e 2)- (3 e 1 — e ?)2 21 =9e 1 — 9e 1 • e2 + 2e 2= I — I X 1 X 1 X + 2 = 8,3 所以cos 3= rOi 占=3^=弩.(2) •/ 2a — 3b 与c 的夹角为钝角， ••• (2 a — 3b ) - c v 0, 即(2 k — 3, — 6) - (2,1) v 0,• 4k — 6— 6v 0, • k v 3.9又若(2a — 3b ) // c ,贝U 2k — 3 =— 12,即卩 k =—》 当 k =— I 时，2a — 3b = ( — 12,— 6) = — 6c ,=4X (3 — 2X 2X3 X cos n + 4) = 4,所以 | AD = 2.]角度2平面向量的夹角2-2 1(1)已知单位向量 e 1与e 2的夹角为 a ,且cos a = 3 向量 a = 3e i — 2e 2与 b = 3e i值范围是 (1)弩(2)[(1)因为 a 2= (3 e 1 — 2e 2)2△in 2 x — ¥cos x = 2,2 2即2a -3b 与c 反向. 综上，k 的取值范围为 一R, 角度3平面向量的垂直 (2016 •山东高考)已知向量a = (1 , - 1), b = (6 , - 4).若a 丄(ta + b )，则实 数t 的值为 _________ —5 [ - a = (1 , — 1), b = (6 , — 4)，…ta + b = (t + 6, — t — 4). 又 a 丄(ta + b )，则 a •( ta + b ) = 0，即 t + 6 +1 + 4= 0，解得 t =— 5.] a • b [规律方法]1.求两向量的夹角：cos 0 = ，要注意0 c [0 , n ]. 丨a l •丨b | 2.两向量垂直的应用： 两非零向量垂直的充要条件是： a 丄b ? a • b = 0? | a — b | = |a + b |. 3 •求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： (1) a 2= a • a = | a |2 或 | a | = a • a . (2) | a ± b | = a ± b 2= a ±2a • b + b . ⑶若 a = (x , y )，则 | a | = x 2 + y 2. |U3［ 平面向量与三角函数的综合 (2018 •佛山模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量m = ^2, — 2小=(sin cos x ) , x c (1)若 miL n ,求 tan x 的值; n ⑵若m 与n 的夹角为—，求x 的值. 【导学号：00090137】所以 sin x = cos x ,所以 tan x = 1. n 1⑵因为 | m = I n | = 1,所以 m-n = cos —=-,3 2x . 所以 m-n = 0, x , cos x ), n Ln . 即承n cos x(1)因为m = n = (sin所以sin 12因为 O v x v n ,所以—n_< x — n_<n n , 一 n n 5 n 所以x —才=6，即x =〒2. ［规律方法］平面向量与三角函数的综合问题的解题思路得到三角函数的关系式，然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题 sin x x= -------cos x •- tan 2 x = —=1 — tan x 53⑵•/ a = sin ^, , b = (cos x , — 1),3 2 2 2 2••• a •b = sin x cos x — ?, b = cos x + ( — 1) = cos x + 1,23 2 1 1 1• f (x ) = (a + b ) - b = a •b + b = sin x cos x — ~ + cos x + 1 = 2sin 2x + 尹 + cos 2x ) — ?⑴ 题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式, 运用向量共线或垂直或等式成立等, 思路是经过向量的运算，利用三角函数的定义域内的有界性，求得值域等. ［变式训练2］ (2018 •郴州模拟)已知向量a = sin x , | , b = (cos X , (1)当a //b 时，求tan 2 x 的值; (2)求函数f (x ) = (a + b ) - b 在|—-2 , 0上的值域. (1) ■/ a //b , a = sin x , | , b = (cos x , 3 x - ( — 1) — 2 • cos 即sin 3 X + 2C0S x = 0, 得sin 3 x = — 2C0S x , 二tan -32，匕2tan x 12 x = 0,1 n 1 sin 2x+ 才.I nT x€ |—— , 0••• sin 2x+4 € —1 ,n故函数 f (X ) = (a + b ) • b 在 | — , 0 • •• f(X)= 刍n -弓，2上的值域为•—， 2。
江苏专版2019版高考数学一轮复习第五章平面向量5.2平面向量的数量积课件
1 . 所以AB的长为 2 1 2
2
答案
A Q =(1A P =λ A B , 例4 (1)已知△ABC为等边三角形,AB=2.设点P,Q满足
BQ· C P =- A C ,λ∈R.若 λ ) ,则λ=
2
3
.
(2)(2017江苏丹阳期中,12)在平面直角坐标系中,A(0,0),B(1,2)两点绕定
(3)cos θ=
a b | a || b |
.
三、平面向量数量积的坐标表示 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a· b= x1x2+y1y2 .
拓展延伸
(1)当a≠0时,由a· b=0不一定推出b=0,这是因为对任一个与a垂直的 向量b,都有a· b=0. 当a≠0时,由a· b=a· c也不一定推出b=c,这是因为由a· b=a· c得a· (b-c)=0,则 b=c或a与(b-c)垂直. (2)数量积的运算不满足结合律,即(a· b)· c不一定等于a· (b· c),这是由于(a· b)· c表示一个与c共线的向量,a· (b· c)表示一个与a共线的向量,这两个向
点P顺时针方向旋转θ后,分别到A‘(4,4),B’(5,2)的位置,则cos θ的值为
.
解析 (1)如图,
A Q - B Q = A B , A P - C P = AC ,
BQ · C P =- ∵ ,
2
3
A Q - A B )· A P - A C )=- ∴( ( ,
|a | |b 而|a||b|≤ 2
1 2
.
|
2
平面向量的数量积(一轮复习)
＝________；特殊地|，a|a|·ba|＝|a|2 或|a|＝ a·a.
C D (4)cos θ＝________．
(5)|a·b|≤|a|·|b|.
B
A 3．向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a.
(2)分配律：(a＋b)·c＝________．
(3)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
2、（2016 年浙江高考）已知向量 a、b, ｜a｜ =1，｜b｜ =2，若对任意单位向量
1
题型五：平面向量的范围问题 e，均有 ｜a·e｜+｜b·e｜ 6 ,则 a·b 的最大值是
．【答案】 2
3、（2016 年上海高考）在平面直角坐标系中，已知 A（1,0），B（0，-1），P 是
曲线 y 1 x2 上一个动点，则 BP BA 的取值范围是
01
平面向课量堂总向结量：的模
02
、转化为坐标
向量的夹角 cos 0 3 a b
ab
转化思想、数形结合
1 、（ 2013 年 高 考 四 川 卷 ） 在 ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a,b,c , 且
2 cos2
A B cos B sin( A B)sin B cos( A C) 2
（2）已知单位向量 e1，e2 的夹角为 α，且 cos α＝13.若向量
a＝3e1－2e2，则题|a|＝型__二___：___平． 面向量的[答模案] 3
变式练习 (1) [2014·全国卷] 若向量 a, b 满足：| a | 1， (a b) a ，
(2a b) b ，则 | b | （ ）
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高三高考数学复习课件5-3平面向量的数量积
－2 5×2
＝－ 2
10 10 .
【答案】
－
10 10
题型二 平面向量数量积的应用 角度一 求向量的模
π 【例 2】(1)(2018·西安模拟)已知平面向量 a，b 的夹角为 6 ， 且|a|＝ 3，|b|＝2，在△ABC 中，A→B＝2a＋2b，A→C＝2a－6b，D 为 BC 的中点，则|A→D|＝________．
＝2(x2＋y2－ 3y)
＝2x2＋y－
232－34≥2×－34＝－32.
当且仅当 x＝0，y＝ 23时，P→A·(P→B＋P→C)取得最小值，最小
值为－23.
故选 B.
方法二 (几何法) 如图②所示，P→B＋P→C＝2 P→D(D 为 BC 的中点)，则P→A·(P→B＋ P→C)＝2 P→A·P→D.
以 a·b＝1，设向量 a 与向量 b 的夹角为 θ，由 cos
θ＝|aa|··|bb|＝
1 2
＝
22，可得
π θ＝ 4 ，即向量
a
与
b
π 的夹角为 4 .
(2)由已知得，a·(a－2b)＝0，∴cos〈a，b〉＝2||aa|||2b|＝12， π
∵0≤〈a，b〉≤π，∴〈a，b〉＝ 3 . ππ
π 【解析】 因为 a 在 b 方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝ 2cos 3
＝
22.故填
2 2.
【答案】
2 2
题型一 平面向量数量积的运算
【例 1】 (2017·全国Ⅱ卷)已知△ABC 是边长为 2 的等边三角
形，P 为平面 ABC 内一点，则P→A·(P→B＋P→C)的最小值是( )
A．－2
即 2a－3b 与 c 反向．
高考数学一轮总复习教学课件第五章 平面向量、复数第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用
1.平面向量数量积的有关概念
向量的
夹角
数量积
的定义
已 知两 个 非 零 向 量 a , b , O 是平 面上的 任意一 点 , 作
→
→
=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b
的夹角
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,把|a||b|
cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即
A.20
C.20
)
B.-20
√
D.-20
→
→
→
→
→
→
→
解析:由题意知<,>=120°,故·=||·||·cos<,
→
>=-5×8× =-20.故选 B.
3.已知向量a=(2,2),b=(0,-3),则a与b的夹角的余弦值为(
A.-
√
C.
B.
解析:(2)因为a=(3,1),b=(2,2),
所以a+b=(5,3),a-b=(1,-1),
则|a+b|= + = ,|a-b|= + = ,(a+b)·(a-b)=5×1+3×(-1)=2,
(+)·(-)
所以 cos<a+b,a-b>=
|+||-|
=
→
→
→
||cos∠PAB 表示在上的投影向量的数量,所以结合图形可知,
当 P 与 C 重合时投影向量的数量最大,当 P 与 F 重合时投影向量的数量
→
→
→
→
最小.又·=2 ×2×cos 30°=6,·=2×2×cos 120°=