线、面角的计算(讲义)
线、面角的计算（讲义）
?知识点睛
一、求异面直线所成的角的处理思路
（1）平移：根据异面直线的定义，用平移法作出角；
（2）证明：证明说理；
（3）计算：求角度，常利用三角形求解；
（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则其即为所求角，若求出的角是钝角，则其补角为所求角．
二、求线面角的处理思路
1.定义法
（1）找斜线上一点，过该点作平面的垂线；
（2）连接垂足和斜足，得到斜线在平面内的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所求角；
（3）把该角放在三角形中，解直角三角形，求角．
注：垂足一般都是特殊点，比如中心、垂心、重心等．
例：如图，在三棱锥S-ABC中，SO⊥底面ABC，垂足为O，则直线SB与平面ABC所成的角即为∠SBO．
2.转化为点到平面的距离，利用等体积法求解
例：如图，在三棱锥S-ABC中，设直线SB与平面ABC所成的角为θ，利用等体积法求出点S到平面ABC的距离SO，则
sin
SO
SB
θ=．
三、求二面角的处理思路
1.定义法
方法一：直接在二面角的棱上取一特殊点，过该点分别在两个半平面中作棱的垂线，得到平面角；
例：图1中二面角P -AD -B 的平面角为∠EOF ，其中O 为特殊点． 方法二：由其中一个面上的某一特殊点作棱的垂线，过垂足作棱在另一个平面内的垂线，得到平面角．
例：图2中二面角P -AD -B 的平面角为∠POM ，其中P 为特殊点．
图2P
D
C
B
A
O
M 图1
P D C
B
A O
F E
2. 三垂线法
过其中一个面上的某一特殊点作另一个平面的垂线，过垂足作相交棱在另一个平面的垂线．
例：图3中二面角P -AD -B 的平面角为∠PON ，其中P 为特殊点，PN ⊥平面ABCD ．
图3
P
D C
A
O
N
? 精讲精练
1. 如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若∠BAC =90°，AB =AC =
AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角为（ ） A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
C1
B1 A1
C
B A
F
E
D B
A
第1题图第2题图
2.如图，在空间四边形ABCD中，AB=CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F
分别为BC，AD的中点，则EF与AB所成的角为（）
A．150°或15°B．150°或30°
C．75°或30°D．75°或15°
3.如图，在四棱锥P-A B C D中，底面A B C D为矩形，侧棱
PA⊥底面ABCD，AB
BC=1，PA=2，E为PD的中点，则直线BE与平面
ABCD所成角的正切值为______________．E
P
D C
B
A
D C
B
A
第3题图第4题图
4.如图，在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，
∠BAD=∠BCD=90°，且AB=AD，则AC与平面BCD所成的角为
___________．
5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CC1与平面A1BD所成角的余弦值为
___________．
D
A B
C B 1
C 1
D 1
A 1
G
A B
C
D F
E
第5题图 第6题图
6. 如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，
且1
2
AF AD a ==，G 是EF 的中点，则BG 与平面ACG 所成角的正弦值为
___________． 7. 如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，AC ⊥AB ，PA =AB =2，AC =1． （1）求证：PC ⊥AB ；
（2）求二面角A -PC -B 的正弦值．
C
B
A P
8. 如图，在三棱锥P -ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =3，∠ACB =90°．
D ，
E 分别为线段AB ，BC 上的点，且CD =DE
，CE =2BE =2． （1）求证：DE ⊥平面PCD ； （2）求二面角A -PD -C 的余弦值．
P
A
C D
E
B
9. 如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，11
2
AC BC AA ==
，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD ．
（1）求证：DC 1⊥BC ；
（2）求二面角A 1-BD -C 1的大小．
A 1
B 1
C 1
D
C B
A
10. 如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，
，D
是AC 的中点．
（1）求二面角A 1-BD -A 的大小；
（2）求直线AB 1与平面A 1BD 所成角的正弦值．
A
B
C
A 1
B 1
C 1D
A B
C
A 1
B 1
C 1
D
11. 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠
ACB =90°，BC =1，AC =CC 1=2． （1）求证：AC 1⊥A 1B ；
（2）若直线AA 1与平面BCC 1B 1
A 1-A
B -
C 的正切
值．
D C
B
A
B 1
C 1
A 1
12. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥底面ABCD
，=AC 2=PA ，E 是PC 上一点，且PE =2EC ． （1）证明：PC ⊥平面BED ；
（2）若二面角A -PB -C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小．
E
D
C
B
A
P
13. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，
E ，
F 分别是PA ，PC 的中点．
（1）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；
（2）设（1）中的直线l 与⊙O 的另一个交点为D ，平面ABC 上方的一点Q 满
足DQ ∥CP ，且1
2
DQ CP =．记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直
线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：
sin sin sin θαβ=．
【参考答案】
1. C
2.
D
3.
4.
45°
5.
6.
3
7.（1）证明略；（2
．
8.（1）证明略；（2）
6
9.（1）证明略；（2）30°．
．
10.（1）60°；（2）
7
11.（1）证明略；（2
12.（1）证明略；（2）30°．
13.（1）l∥平面PAC，证明略；（2）证明略．