《二倍角的三角函数》示范公开课教学设计【高中数学必修4(北师大版)】 (2)
教材通过通过两角和的正、余弦函数,推导得出二倍角的三角函数,在温故知新中锻炼学生对
知识的迁移能力。
【知识与能力目标】
1
、理解二倍角公式的推导;
2、灵活掌握二倍角公式及其变形公式;
3、能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明。
【过程与方法目标】
通过两角和的正、余弦函数,推导得出二倍角的三角函数。
【情感态度价值观目标】
通过推导二倍角三角函数的过程,培养学生温故知新的能力。
【教学重点】
二倍角公式的推导。
【教学难点】
能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、复习导入。
回顾两角和的正弦、余弦、正切函数。
()sin αβ+=sin cos cos sin αβαβ+()cos αβ+=cos cos sin sin αβαβ
-
二、探究新知。
将上述公式里的β换成α,结果是什么?
二倍角公式:
对于 2C α 能否有其它表示形式?
公式中的角是否为任意角?
注意:
①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数,它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题。
②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其它如4α是2α的两倍,α/2是α/4的两倍,3α是3α/2的两倍,α/3是α/6的两倍等,所有这些都可以应用二倍角公式。因此,要理解“二倍角”的含义,即当α=2β时,α就是β的二倍角。凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。 ③二倍角公式是从两角和的三角函数公式中,取两角相等时推导出来,记忆时可联想相应角公式。
三、例题解析。
12cos ,(,)sin cos tan 21322
α
αππααα=-∈已知,求,,的值。 例题1
例题2求下列各式的值:
()tan
αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ
+-sin 22sin cos ααα=22cos 2cos sin ααα=-22tan tan 2,()1tan 242
k k ααααα=≠+≠+-πππ且πR α∈R α∈2cos 22cos 1αα=-2cos 212sin αα
=
-
四、巩固练习。 已知α为第二象限角,3sin =
5α ,则2sin α=( ) A .-2425 B .-1225
C.1225
D.2425
【解析】因为α为第二象限角,故0351245cos sin cos sin αααα<,而=,故=--
=-,所以222425sin sin cos ααα==- ,故选A.
二倍角公式的变形:
例题解析
例题3 化简
002
20
2020(1)sin 22.5cos 22.5;(2)cos sin ;
882tan15(3);(4)12sin 75.1tan 15ππ
---(5)8sin cos cos cos 48482412
ππ
π
π
}降幂升角公式
2)cos (sin 2sin 1ααα±=±αα2cos 22cos 1=+α
α2sin 22
cos 1=-22cos 1cos 2
αα+=22cos 1sin 2αα-=}升幂降角公式
例题4求证:1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2θθθθθ+-=++求证: 2212sin cos (12sin )12sin cos (2cos 1)θθθθθθ+--=++-证明:左边2sin (cos sin )2cos (cos sin )θθθθθθ+=+sin cos θθ
=tan θ==右边.∴原式成立 已知cos α=17,cos(α-β)=1314,且0<β<α<π2
.求tan2α的值。 【分析】 由于2α是α的二倍角,因此由cos α=17
,求得tan α的值,然后应用正切的二倍角公式求tan2α的值。
【解析】 由cos α=17,0<α<π2
, 得sin α=1-cos 2α=437
。 所以tan α=sin αcos α=437×71
=43。 于是tan2α=
2tan α1-tan 2α=2×431-432=-8347。
五、小结。
1、二倍角正弦、余弦、正切公式的推导
六、作业。
课本第125页:1、2、3、4题。
◆ 教学反思 sin 22sin cos ααα=22cos 2cos sin ααα=-22tan tan 21tan 242
k k ααααα=≠+≠+-πππ且πR α∈R α∈巩固练习
略