一道开放型题目的几种解法
初中数学开放探究题的类型及解题策略
初中数学开放探究题的类型及解题策略初中数学中的开放探究题是一类涉及多种解决方法和思路的问题，其答案不唯一，求解过程和思维过程比结果更重要。
开放探究题能够激发学生的思维活动，培养学生的创新能力和解决问题的能力。
下面将介绍一些常见的开放探究题的类型以及解题策略。
一、数列问题：数列问题是初中数学中的重要内容，也是开放探究题的常见类型。
在解决数列问题时，可以采用递归关系与通项公式相结合的方法。
解题策略：1.观察法：观察数列的前几项，寻找规律。
2.分情况讨论法：根据题目的条件，分析数列的性质，将问题分解为几个简单情况进行讨论。
3.递推法：根据数列的递归关系，根据已知的条件，求解下一个数。
4.通项公式法：通过观察数列的性质，找出数列的通项公式。
解题策略：1.画图法：根据题目要求，画出图形，并观察图形的性质，寻找规律。
2.分割法：将图形分割成一些简单的图形，进一步分析每个简单图形的性质，然后综合求解整个问题。
3.等分法：通过分析图形的对称性，将图形分成若干相等的部分，然后计算出每个部分的面积或长度，最后求和得到最终的结果。
4.面积法：通过计算图形的面积，求解某一部分的面积或整个图形的面积。
解题策略：1.列方程法：根据问题所描述的关系，列出相应的方程，然后求解方程得到答案。
2.代入法：将已知的一个或几个条件代入方程中，求解未知数。
3.化简法：对方程进行化简，将复杂的方程化简为简单的方程，然后求解方程得到答案。
4.分类讨论法：根据题目的不同条件，将问题分为几个不同的情况，分别列方程求解。
解题策略：1.相似性：通过观察图形的相似性质，建立相似三角形的比例关系或使用等比例分割线，通过比例关系求解问题。
2.角度关系：通过观察图形的角度关系，利用角度和的等于180度等性质，建立方程求解问题。
3.比例关系：通过观察图形的比例关系，利用等比例分割线，建立比例关系等方程求解问题。
4.三角形的性质：利用三角形的面积公式、三边关系、角平分线等性质，建立方程求解问题。
初中数学开放探究题的类型及解题策略
初中数学开放探究题的类型及解题策略初中数学开放探究题是指那些没有固定答案，需要学生通过自主探究和思考来解决的问题。
这类问题可以培养学生的探究精神、创造力和解决问题的能力，激发学生的兴趣和动力。
下面将介绍一些常见的初中数学开放探究题的类型及解题策略。
一、模型问题模型问题是指通过构建模型来解决数学问题的问题。
学生可以通过观察、思考和实践构建各种模型，从而深入理解问题的本质和解题方法。
通过操作积木或拼图构建几何模型，通过图表和函数关系构建数学模型等。
解题策略：1.仔细观察题目，理解问题要求。
2.选择合适的模型，并进行构建。
3.通过观察模型的性质和特点来解决问题。
4.进行验证和推理，得到结论。
二、思维拓展问题思维拓展问题是指需要学生进行推理、归纳和创新思维的问题。
这类问题不仅考察学生对基础知识的掌握程度，还培养学生的思维能力和创新意识。
通过给定条件猜测规律，通过归纳总结求解问题等。
三、探究和发现问题探究和发现问题是指通过探究和实践来解决问题的问题。
这类问题需要学生主动参与、积极探究，从而培养学生的观察力、实践动手能力和问题解决能力。
思维导图问题是指通过构建思维导图来解决问题的问题。
学生可以通过有机地组织和连接知识点，梳理问题的思路和思维脉络，从而达到理清思路、整合知识的目的。
解题策略：1.仔细阅读题目，理解问题要求。
2.确定思维导图的主题和关键词。
3.按照逻辑关系建立思维导图，连接各种知识点。
4.分析和解决问题，整理得出结论。
初中数学开放探究题的类型及解题策略
初中数学开放探究题的类型及解题策略初中数学开放探究题是指一类没有明确解题方法的数学问题，可以通过思考、推理以及试错来解决的问题。
这类问题通常需要学生发现问题的规律和特点，进行探究和推理，从而找到解题的策略和方法。
下面介绍几种常见的初中数学开放探究题的类型及解题策略。
1. 数列问题：数列问题是初中数学中常见的开放探究题类型之一。
通过观察数列的前几项，学生需要发现并推断数列的规律，然后利用这个规律找出数列的通项公式。
解题策略：- 观察数列的前几项，看是否能够找到数列的规律；- 尝试列出数列的通项公式，然后用这个公式验证数列的后几项是否正确；- 如果困难，可以先找出数列的差、比或其他规律，再推导出数列的通项公式；- 考虑使用递推公式或逆向思维方法来推导数列的规律。
2. 图形问题：图形问题是初中数学中的另一类常见开放探究题类型。
学生需要观察、分析图形的性质，根据图形的特点解决问题。
解题策略：- 观察图形的形状、边长、角度等特征，看是否能够发现规律；- 将图形分解为几个简单的几何形状，研究它们之间的关系；- 利用图形中的对称性质、相似性质、平行关系等几何性质寻找解题思路；- 可以尝试将图形转化为其他形式进行思考和分析。
3. 概率问题：概率问题是初中数学中较为抽象和复杂的开放探究题类型。
学生需要基于概率的定义和性质，通过思考、模拟试验等方式解决问题。
解题策略：- 分析给定事件发生的可能性和不可能性；- 利用计数原理和概率公式计算概率；- 利用试验、模拟或图表等方法辅助计算概率；- 考虑使用条件概率、事件的独立性等概率性质推导解题思路。
4. 代数方程问题：代数方程问题是初中数学中的难点之一。
学生需要通过列方程，利用代数运算的性质求解问题。
解题策略：- 确定未知数，并根据问题中的条件列方程；- 对方程进行整理、变形，将问题中的信息转化为方程中的代数式；- 使用代数运算的性质进行方程的解析求解；- 检验方程的解是否符合问题的要求。
中考数学必刷热点专题3：开放性问题解题方法
中考数学专题三：开放性问题解题方法考点一：条件开放型条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．例1 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是．（不添加辅助线）．分析：由已知可证∠ECD﹦∠FBD，又∠EDC﹦∠FDB，因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）；考点二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．例2 如图，点E、F分别是AD上的两点，AB∥CD，AB=CD，AF=DE．问：线段CE、BF有什么数量关系和位置关系？并加以证明．分析：CE和BF的关系是CE=BF（数量关系），CE∥BF（位置关系），理由是根据平行线性质求出∠A=∠D，根据SAS证△ABF≌△DCE，推出CE=BF，∠AFB=∠DEC即可．考点三：条件和结论都开放的问题：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断．例3 如图，在△AEC和△DFB中，∠E=∠F，点A、B、C、D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF，②AB=CD，③CE=BF．（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果…，那么…”）（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由．分析：（1）如果①②作为条件，③作为结论，得到的命题为真命题；如果①③作为条件，②作为结论，得到的命题为真命题，写成题中要求的形式即可；（2）若选择（1）中的如果①②，那么③，由AE与DF平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由AB=DC，等式左右两边都加上BC，得到AC=DB，又∠E=∠F，利用AAS即可得到三角形ACE与三角形DBF 全等，根据全等三角形的对应边相等得到CE=BF，得证；若选择如果①③，那么②，由AE与FD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由∠E=∠F，CE=BF，利用AAS可得出三角形ACE与三角形DBF 全等，根据全等三角形的对应边相等可得出AC=BD，等式左右两边都减去BC，得到AB=CD，得证．考点四：编制开放型：此类问题是指条件、结论、解题方法都不全或未知，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，寻求解法的一类题，它更具有开放性．例4 看图说故事．请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x、y满足图示的函数关系，要求：①指出变量x和y的含义；②利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中须涉及“速度”这个量．分析：①结合实际意义得到变量x和y的含义；②由于函数须涉及“速度”这个量，只要叙述清楚时间及相应的路程，体现出函数的变化即可．中考真题演练1．写出一个x的值，使|x﹣1|=x﹣1成立，你写出的x的值是．2．写出一个比4小的正无理数．3．写一个比大的整数是．4．将正比例函数y=﹣6x的图象向上平移，则平移后所得图象对应的函数解析式可以是5．写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式：．6．请写出一个二元一次方程组，使它的解是．7．写出一个你喜欢的实数k的值，使得反比例函数y=的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大．8．在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y=﹣2x+6的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是（只写出符合条件的一个即可）．9．请写出一个图象在第二、第四象限的反比例函数解析式，你所写的函数解析式是．10．存在两个变量x与y，y是x的函数，该函数同时满足两个条件：①图象经过（1，1）点；②当x＞0时，y随x的增大而减小，这个函数的解析式是（写出一个即可）．11．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，∠BDE=∠CDF，请你添加一个条件，使DE=DF成立．你添加的条件是．（不再添加辅助线和字母）12．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是．（填上你认为正确的一个答案即可）13．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，请添加一个条件，使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）．14．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，连接DE，要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件（只需写一个）．15．先化简：，再用一个你最喜欢的数代替a计算结果．16．先化简，然后从﹣2≤x≤2的范围内选择一个合适的整数作为x的值代入求值．17．在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境：情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．（1）情境a，b所对应的函数图象分别是、（填写序号）；（2）请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境．18．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF，连接AE、CF．请你猜想：AE与CF有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明．19．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF（不需证明）；（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．20．如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，AB=BF，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形ABCD为平行四边形，请证明．你添加的条件是．21．右表反映了x与y之间存在某种函数关系，现给出了几种可能的函数关系式：y=x+7，y=x﹣5，y=﹣，y=x﹣1x …﹣6 ﹣5 3 4 …y … 1 1.2 ﹣2 ﹣1.5 …（1）从所给出的几个式子中选出一个你认为满足上表要求的函数表达式：；（2）请说明你选择这个函数表达式的理由．22．在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2．请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．题设：；结论：．（均填写序号）证明：23．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，若点E、F分别在边BC、AD上，连接AE、CF，请再从下列三个备选条件中，选择添加一个恰当的条件．使四边形AECF是平行四边形，并予以证明，备选条件：AE=CF，BE=DF，∠AEB=∠CFD，我选择添加的条件是：．（注意：请根据所选择的条件在答题卡相应试题的图中，画出符合要求的示意图，并加以证明）24．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）答：结论一：；结论二：；结论三：．（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），①求CE的最大值；②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）。
关于高考数学开放性试题的基本解法分析
(Ⅰ)求椭圆C的ห้องสมุดไป่ตู้程。
(Ⅱ)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线，|OP|=1，是否存在上述直线l使AP·PB=1成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。
如1：（2011陕理12）设n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=【3或4】。
简解：△=16-4n≥0,又n∈N+,所以n=1,2,3,4。又由x2-4x+n=0可变为(x-2)2=4-n,从而经检验可知x=3或4时存在x为整数满足上式成立。
二、结论探索型试题
结论探索型试题就是命题中的结论不确定、不唯一。解决这类试题的方法有三种：一种是直接利用已知条件进行推理得出结论；一种是通过归纳得出一般性结论，然后再证明：一种是对多种结论优化。
∵AP·PB=1，|OP|=1，
∴OA·OB=（OP+PA）·（OP+PB）
=OP2+OP·PB+PA·OP+PA·PB
=1+0+0-1=0，
即x1x2+y1y2=0。
将y=kx+m代入椭圆方程，得(3+4k2)x2+8kmx+（4m2-12）=0，由求根公式可得x1+x2=,④x1x2=，⑤0=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2，
中考专题复习发散开放类问题及其解题方法
中考专题复习——发散、开放类问题及其解题方法类型一：条件开放条件开放型试题的特点是题设条件的“不唯一、不给出、不确定”，条件多余或隐含，不指明所要求解的问题。
即过程、结论一定，由不同的条件达到同一结论。
解这类试题的基本思路就是从题设条件入手，变换角度，创设情境，使解题过程具有开放性，这类题目以选择题为主。
条件开放的选择题所给的选项均各自独立，但所求的结果却是唯一的。
解这类题必须对各选项进行逐一分析，从而得出正确的答案。
类型二：过程（策略）开放条件、结论都一定，解题过程或策略开放，一题多解及开放设计性实验属于这类题。
一般是策略性开放，思路不唯一，进而步骤、过程都不统一，开放设计性实验有时连实验条件都不统一，需自行选定器材，再根据题目需要设计实验步骤，完成指定的设计性实验。
类型三：结论开放结论开放型题目的特点是“条件一定，结论多种多样”。
这类试题的结论不是唯一的，答案形式多样化，让同学们直接参与设计问题。
该类试题的出题形式较灵活，近年来越来越被出题者所关注，很多地区对这类题均有所考查，考查形式有：针对情境自己提出问题进行解答；找出题目中隐含的信息进行分析或作出解答；根据题目的中物理现象找出所利用的物理原理或关键词；对生活中的某种现象或情景提出自己的建议和想法等。
例题讲解：类型一：条件开放例：请你从下面的短文中找出三处蕴含物理知识的语句并加以说明。
示例：海面波光粼粼——光的反射清晨，我来到大海边，眼前出现一道亮丽的风景线。
太阳从海平面上冉冉升起，凉爽的海风迎面吹来，海面波光粼粼。
几叶小舟在海天相连处摇荡，海鸥在天空中自由自在地翱翔，不时地叫喊几声，岸边椰树随风摇曳……解析：条件开放类试题由于所给条件较多，可以从不同角度、不同侧面去考虑问题从而得到不同的结论。
这类题型的特点决定了题不是太难，但要求同学对所学知识能融会贯通。
题中给出的如“亮丽的风景线”、“太阳冉冉升起”等语句蕴含着物理知识。
答案：（1）出现一道亮丽的风景线——光的反射（2）太阳从海平面上冉冉升起——运动的相对性（3）太阳——光源（4）凉爽的海风——蒸发（5）小舟——浮力（6）海鸥翱翔——气体流速与压强的关系（7）海鸥叫声——发声体在振动（8）椰树随风摇曳——力可以改变物体的运动状态平行练习1：如图所示电路，把两个金属夹子夹在哪个物体的两端，闭合开关后小灯泡能发光（）A. 铁钉B. 塑料尺C. 橡皮D. 玻璃棒答案：A平行练习2：要使光的传播方向发生如图所示的改变，里面可能是平面镜、凸透镜、凹透镜，你认为图示方框内放置的光学元件是（）A. 一定是平面镜B. 一定是凸透镜C. 只能是平面镜或凸透镜D. 平面镜、凸透镜、凹透镜均可解析：本题考查可改变光路的镜子的类型，不能认为只能是凸透镜，因镜子的位置没有固定，所以有多种可能，如下图所示。
设计开放性数学题目的六种方式
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例如 ， 奶奶 的药品标签 上写着 ： ２ ５ ａ ｒ ｇ ￣ １ ０ ０ 片， 医生 开 的 药 方 上 写 着 ： 每天 ３ 次， 每
（ ６ ） 男生 人数 与女生 人数 的 比是几 比几？
（ ６ ： ５ ） （ ７ ） 女 生 与 全 班 人 数 的 比是 几 比 几 ？
为２ ５ ０ ０ ｍ ｇ ＞２ ２ ５ ０ ｍ ｇ ， 所 以 奶 奶 的这 瓶 药 够
策 略 开 放 题 是 思 维 策 略 和 解 题 方 法 不唯一 ， 运用 不 同的思维 策略 ， 会 产 生 不 同的结果 ， 并 能 从 中发 现 最 有 效 解 决 问题
的 方法 ， 促 进 学 生 创 新 思 维 的扩 展 。
的能 力 ， 条 件 开放 题一 般 有三 种情 况 ：
例如： 六（ ２ ） 班３ ６ 名学生去公园游玩 ， 公 园门 口“ 购 票须 知” 写着 ： “ 门票 每人 ６ 元， ４ ０ 人 开 始 可 以 享受 团 体 八 折 优 惠 。 ” 算
一
算， 怎样购票合算？ 根 据 以上信 息 ， 可 启发学 生分 析 、 思
Ｐｒ ｉ ｍａ ｒ ｙ Ｓｃ ｈ ｏ ｏｌ Ｔｅ ａ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ Ｒｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ
何 谓 开 放 性 数学 题 目？ 通 常 的 理 解 是
例 如这 样一 道题 ： 五（ １ ） 班 男 生 人 数
指“ 条 件” “ 解法” “ 答案” 具 有 多 样 性 和 不 确
（ ５ ： １ １ ） … …
次吃 ５ ０ ｍｇ ， 吃１ ５ 天， 你 认 为 够 吃 吗 ？ 学 生
通过 思 考 、 讨论， 找 到 了 解 题 的 方 法 。 即
数 学 开 放 性 习 题 解 法列举
数 学 开 放 性 习 题 解 法列举数学开放性问题通常具有：条件不完备或结论不唯一或解题的方向不确定等特点.就其呈现形式而言，一般可分为：条件开放型、结论开放型和综合开放型等类型.1、条件开放型此类问题的基本特征是结论确定，但条件不够完备；解答此类问题要从给出的结论出发，执果索因，多方位、多角度地思考，寻找结论成立的条件.例1，如图11-1，在下列三角形中，若AB=AC ，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的三角形是（ ）.（A ）（1）（2）（3） （B ）（1）（2）（4） （C ）（2）（3）（4） （D ）（1）（3）（4） 分析：除三角形（2）以外，其它三个 三角形均可被一条直线所截而分成两个小的 等腰三角形；如图11-2所示，应选（D ）.例2，有一道习题，其一部分文字是这样的：已知二次函数y = ax 2+bx +c 的图象经过点A （c ，0），…；求证:这个二次函数的图象关于直线x =2对称.其中省略号部分是一段被墨水污染了无法辩认的文字.（1）根据信息，你认为题中的二次函数可能具有哪些性质； （2）请你把这道题补充完整.解：（1）要使其图象对称轴为x =2，必须 22=-b，∴b =－4.由其图象过点A （c ,0），则c 2+bc +c =0,∴c =0或c =－b －1=3；因此这个二次函数解析式可能是y =x 2－4x ， 或y =x 2－4x +3.当y =x 2－4x 时，有如下性质：①b=－4；c = 0；②函数图象经过原点；③⊿=16＞0； ④与x 轴的两交点坐标为（0，0）、（4，0）；⑤顶点为（2，－4）.当y =x 2－4x +3时，有如下性质：①b =－4,c =3；②图象与y 轴相交于（0,3）；BC45ACBAAC BA C B3690108（1）（2）（3）（4）B36ACBACACB36369010811-2③⊿= 4＞0；④其图象与x 轴两交点为（1，0）、（3，0）；⑤顶点坐标为（2，－1）.(2)在省略处可补上：与y 轴相交于点（0，3）.注：省略处不能随便补上一个性质，必须注意补上的条件要保证“图象关于直线x=2对称”这一结论，同时注意条件也不要太多，以便画蛇添足.例如，若将“⊿=16”这个条件补上，就不能证明其对称轴是直线x = 2；又如，如果将“b =－4, c = 3”这个条件补上，那么原条件“图象过点A （c ，0）”就可有可无.第（1）问中，还可以列出一些其它性质；第（2）问的答案也不唯一，如可以填写 ⊿= 4，且c ＞0.例3，如图11-3，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，F 在DE 上.并且AF=CE ，（1）求证：ACEF 是平行四边形；（2）当∠B 的大小满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形， 请回答并证明你的结论；（3）四边形ACEF 有可能是正方形吗？为什么？分析：本例（2）、（3）问是一条件开放性问题，（2）要在ACEF 是菱形的条件下，找出 ∠B 的大小.（3）是在题设条件下对ACEF 是否正方形作出判断.证明：（1）∵FD 垂直平分BC ，∴FE ∥AC.CE 是△ABC 斜边上中线,∴EC=AE=AF,∠AEC =∠EAF,∴△AEC ≌△EAF,∴AC=FE.∴ACEF 是平行四边形.(2)要使平行四边形ACEF 是菱形,只要AC=CE 即可.这时,由EC=AE, ∴△ACE 是等边 三角形. ∴∠B=30°.(3)ACEF 不可能为正方形,理由如下:由(1)知,E 是AB 中点, ∴CE 在 △ABC 内部，∴∠ACE ＜∠ACB=90°，∴ACEF 不能成为正方形.2、结论开放型此类问题的基本特征是问题的条件较弱，而结论有待探求；解这类问题要从条件出发，由因导果，探索出符合条件的结论.例4，如图11-4，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 在对角线AC 上，且AE=CF ，请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须一组即可）.（1）连结 ； （2）猜想 = ； （3）证明.分析：本例要通过补充条件，猜想结论并作出证明.具有很好的开放性.答案为：连结BF ，猜想BF=DE.只要证明△ADE ≌△CBF.(或连结DF ，猜想DF=BE.证△DFC ≌△BAE 即可).例5，如图11-5，在平面直角坐标系中，ACBDFE11-3DCBAE F11-4y已知△ABC ，点P （1，2）.（1） 求作△PQR ，使△PQR ∽△ABC （不要求写作法，但要求点P 、Q 、R 三点 均落在网格点上，即其横、纵坐标均为整数）；（2） 在第（1）题所作的图形中，求△PQR 与 △ABC 的周长之比.分析：本题对应于《数学课程标准》要求：在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化；第（1）问△PQR 的作法很多：①最简单的满足△PQR ≌△ABC ，则此时P 0（1，2）、Q 0（2，0）、R 0（2，3）；此时第（2）问中的周长之比等于相似比k 0 =1；②若满足△P 1Q 1R 1∽△ABC ，P 1、Q 1、R 1三点坐标也可以是P 1（1，2）、Q 1（0，－1）、R 1（3，2）； 此时周长之比为222111===AC R P k ；③若满足△P 2Q 2R 2∽△ABC ，P 2、Q 2、R 2三点坐标还可以是P 2（1，2）、Q 2（3，－2）、R 2（3，4）；此时周长之比为 2222222===AC R P k ，此处仅例举三种解答可能，还有其他解法.例6，如图11-6，AB 是⊙Ｏ的直径，C 、E 是圆周上关于AB 对称的两个不同点，CD ∥AB ∥EF ，CB 与AD 交于M ，AF 与BE 交于N.（1）在A 、B 、C 、D 、E 、F 六点中，请一一列出. （2）求证：四边形AMBN 是菱形. 分析：（1）能构成矩形的四个点有三组： ①A 、F 、B 、C ；②A 、E 、B 、D ；③C 、E 、F 、D.（2）由于C 、E 两点关于直径AB 对称，则弧AC=弧AE ；又∵CD ∥AB ∥EF ，∴BD=AC=AE=BF ， ∴∠ABC=∠BAF ，∴AF ∥BC ，同理AD ∥BE ，因而四边形ANBM 是平行四边形；又可知∠DAB= ∠FAB=∠CBA=∠EBA ，便得MA=MB ，故平行四边形ANBM 又是菱形.注：第（1）问中，应先考虑直径AB 所对的圆周角是直角，再考虑三组平行弦：AF ∥BC 、AD ∥BE ，CD ∥EF ，且有CD ∥EF ∥直径AB.在解答开放性问题时，要养成把搜寻的结果进行归类的习惯，并逐步寻找有思维价值的结论.3、综合开放型综合开放型问题是指问题的条件、结论或解法等至少 两项同时呈开放形式的数学问题；解此类问题时要有开放的思维理念，既要注重思维的散射性和灵活性，也要注意思维的批判性与严谨性.例7，如图11-7，将一张等腰直角三角形ABC 纸片沿其O B ACDE FNM A中位线DE 剪开，可以拼出不同形状的四边形，请写出其中 两种不同的四边形的名称： 、 .分析：由等腰直角△ABC ，∠C =90°，则∠A= 45°，又DE ∥BC ，则∠AED =90°，且有AE=ED=EC= 21AC ，AD=BD.因而有以下不同的拼法，如图11-8：其中（1）为平行四边形，（2）为矩形，（3）为等腰梯形.不同的拼法可以得到不同的结论.例8，已知关于x的一元二次方程x 2+3x +1－m =0 （*）.（1）请选取一个你喜爱的m 的值，使方程有两个不相等的实数根，并说明它的正确性；（2）设x 1,x 2是(1)中所得方程（*）的两个根，求x 1x 2+x 1+x 2的值.分析：这是一个条件和结论均开放的问题；所谓喜爱的m 值，只要在满足判别式大于零的情况下任选一个都行.略解：∵△=9－4（1－m ）＞0 , ∴m ＞45-.（1）取m =1，则x 2+3x =0有两个不等实根.（2）当m =1时，x 1x 2+x 1+x 2=－3. 注：m 的取值不同，（2）中的值也不同.例9，下面照片上的拱门是美国密苏里州圣路易斯市的城市标志性建筑，这拱门的形状是一条抛物线，抛物线的高与宽均为190米，如图11-9：（1）按图（1）所建立的平面直角坐标系，求出这条抛物线的解析式，并求建筑物在100米高处的拱门宽（精确到0.01米）；（2）请你自己在图②中，建立另一个适当的平面直角坐标系，求出这条抛物线的解析式.分析：第（1）问虽是一个封闭性问题，但确定抛物线以y 轴为对称轴，顶点坐标为（0，190），与x 轴相交于（－95，0）与（95，0）两点等信息和条件是关键；可设此抛物线解析式为y =ax 2+c ，故952-=a ，190=c ，解析式为1909522+-=x y . 11-8（1）（2）（3）oy 图（1）ACBD E又令y =100，得1915±=x ,拱门宽为77.13019302≈=x 米. 第（2）问，建立直角坐标系的方法多样， 以考虑抛物线的对称轴为y 轴最佳；如图11-10②， 则其解析式为;9522x y -=（也可如图11-10③，则 其解析x x y 49522+-=.） 注：本问中建立不同直角坐标系所得的解析式也不一样；但确定开口方向、跨度等要求的是二次项系数a ，而b 、c 的值仅确定抛物线在坐标系中的位置.例10，如图11-11，已知△ABC 、△DCE 、△FEG 是三个全等的等腰三角形，底边BC 、CE 、EG 在同一 直线上，且AB=3，BC=1，连结BF ，分别交AC 、DC 、 DE 于点P 、Q 、R .（1）求证：△BFG ∽△FEG ，并求出BF 的长；（2）观察图形，请你提出一个与点P 相关的问题，并进行解答（根据提出问题的层次和解答过程评分）.证：（1）由题设易知AB=FG=3 ，EG=BC=1，∴EG ∶FG=1∶3，FG ∶BG=3∶3 = 1∶3. ∴EG ∶FG = FG ∶BG,且∠G 公共，∴△BFG ∽△FEG.∴△BFG 是等腰三角形，∴BF = BG = 3.（2）图11-11涵盖了多种几何关系，由（1）的证明，可以提出许多与点P 有关的数学问题，例如①线段间的平行或相等关系，如求证PC ∥FG ，如求证BP=PR ；②如线段间的比值，如求AP ∶PC 的值；③三角形的全等，如△QPC ≌△QRD ；④三角形相似，如△BPC ≌△ABC 等等；它们的解答也有层次的不同.[反馈练习]1、如图11-12，D 在AB 上，E 在AC ，且∠B=∠C ，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE ≌△ACD 的是（B ）. （A ）AD=AE （B ）∠AEB=∠ADC （C ）BE=CD （D ）AB=AC2、在中国象棋棋盘上，建立如图11-13的平面直角坐标系， 点A （0，－2）是棋盘上“象”的第一跳后的位置（“象”的跳行 规则是从“田”字的一个顶点，跳行到对角的另一个顶点）. 则（1）“象”是从点（ ， ）处跳到A 点的；（2）“象”从点A 还可以跳到点（ ， ）处去.(2005年赣州市初三数学综合卷)[（1）（－2，0）或（2，0）；（2）（－2，4）或（2，4）或（2，0）；第（1）（2）问答案均不唯一.]3、已知右边方格纸中的每个小方格是边长为1的正方形， A 、B 两点在小方格的格点上，位置如图11-14（1）所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A 、B 、C 为顶点的△ABC 的面积为 2平方单位，则点C 的个数为 ，并以C 1、C 2、C 3、…… 的记法，在右图中标出C 点位置.[点C 的个数为5，如图11-14（2）标出.]4、如图，如果横行上两数字之和相等，竖列上两个数字 之和也相等，那么，a 、b 、c 、d 依次可为 （只需填写一组你认为合适的数字即可）[由题意知 ⎩⎨⎧+=++=+d b c a d c b a ,，解 ⎩⎨⎧==c b d a ,. 因而任选一组数可以为 a =－5，b = 2006， c =2006，d =－5.]5、如图11-15，四边形ABCD 是⊙Ｏ的内接四边形， A 是BD 的中点，过A 点的切线与CB 的延长线交于点E.(1)求证：AB ·DA=CD ·BE ；（2）若点E 在CB 的延长线上运动，点A 在BD 上运动，使切线EA 变为割线EFA ，其他条件不变，问具备什么条件使原结论成立？ （要求画出示意图，注明条件，不要求证明.） [（1）连AC ，证△ABE ∽△CDA.(2)增加条件：∠BAE=∠ACD ，AD 或弧BF = 弧AD ，或BF=AD ，或FA ∥BD ，或∠BCF=∠ACD 等.]6、某钱币爱好者，欲把2.5元纸币兑换成1分、2分、5分的硬币；他要求硬币总数a b cdBC 4C 1B C 5 AC 3C 2 OAE CDB11-15为100枚，2分硬币的枚数不少于18枚且为偶数，5分硬币要多于2分硬币；请你根据此要求，设计出所有兑换方案？[设兑换1分、2分、5分硬币各x 枚、y 枚、z 枚，则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≥=++=++.,18,25052,100y z y z y x z y x ，由①、②解得⎩⎨⎧-=-=.4150,503z y z x 代入③、④可得:30＜z≤33,x 、y 、z 均为正整数，故有三种兑换方案:⎪⎩⎪⎨⎧===,31,26,43z y x ⎪⎩⎪⎨⎧===,32,22,46z y x ⎪⎩⎪⎨⎧===.33,18,49z y x ]。
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一道开放型题目的几种解法
由于开放型问题对于培养和考查学生的思维能力与创新能力具有重要的作用，所以近年中考试题也常出现这类题型，在教学中也经常出现，本文仅以北师大版七年级下教材里的一道开放型例题解法中的几种解法列举如下供同行参考。
例:如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B 间的距离但绳子不够长，请帮小明设计一个方案，测出A、B间的距离，并说明理由。
方案一、如图，先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC 并延长到D，使CD=AC，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A、B间的距离。
证明:在△ABC和△EDC中
方案二、如图，要测量A、B间的距离，可以在AB的垂线BF上。
取两点C、D，使CD=BC，再过D点作出BF的垂线DG，并在DG上找一点E，使A、C、E在一条直线上，这时测得的DE的长就是A、B间的距离。
证明：在△ABC和△EDC中
方案三、如图，在池塘的同一侧找C、D两点，使CB∥AD且AD=BC，量出CD的长即得AB的长。
证明：连AC，
方案四、如图，在地上找一点D，使AD⊥BD，延长BD至C，使CD=BD，连AC，量得AC的长即是AB的长。
证明：∵AD⊥BD
方案五、如图，可以在AB的垂线BE上取一点D，连接AD，同时在地上取一点F，使A、B、F在同一条直线上，在这条直线上取一点C，使AD=DC，量得BC的长即是AB的长。
证明: 在Rt△DBA和Rt△DBC中
综上所述: 这种开放型题重点是应用数学知识解决实际问题，通过这个题目的解题方法，旨在培养学生解决问题的能力和创新的精神，因此，在教学时应着
重培养这方面的能力。
(作者单位：551800贵州省金沙县沙土中学)
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