运筹学-表上作业法
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运筹学运输问题
当出现检验数<0，证明原初始方案或改 进方案还不是最优→如何进行基变量的 调入调出？
给检验数<0的非基变量赋值，越大 越好。但要考虑产销平衡问题。
11
8、运输问题的校验方法2 —位势法
利用行位势和列位势两类数据，将检验数与 单位运价联系起来
12
检 验 数 方 程
13
λ
= c – u – v ij ij i j
A、位势法求检验数的步骤
第一步：根据最小元素法或Vogel法确定的初始运量表做 一表格，将基变量（或运量）数据替换成与之对应的单位 运价；（或对单位运价表进行修改，只保留与基变量对应的运价信
息）
第二步：在右侧增加一列，下侧增加一行，用于填写位势 数据。右侧表示行位势ui（i=1，2...m），下侧表示列位 势vj（j=1，2...n）； 第三步：对于基变量对应的单位运价处，ui+vj=cij。随便 确定任一个位势，即可求解全部行和列位势； 第四步：在非基变量对应的空格处，计算检验数λij=cij（ui+vj）。并将检验数填入检验数表中； 第五步：判断检验数λij是否大于0，如是，则表示较优。 如不是，则需要调整基变量。 第六步：基变量的调整采用闭回路法进行。
收点 发点 9
B1
4
B2
1
B3
11
B4 -1
10 5
发量
偶 点 0 减 ， 2 奇 点 加 5
A1
14 ③奇点 9 18 1 A2 x x 1 9 11 6 8 0 A3 1 3 x 14 ②偶点 12 2
11 21 22 31
x 3 2
x 6 7
5
13
偶点④
9
管理运筹学 第七章 运输问题之表上作业法
最优解的判断与调整
最优解的判断
比较目标函数值，如果当前基础可行解 的目标函数值最优，则该解为最优解。
VS
最优解的调整
如果当前基础可行解不是最优解，需要对 其进行调整。通过比较不同运输路线的运 输费用，对运输量进行优化分配，以降低 总运输费用。
最优解的验证与
要点一
最优解的验证
对求得的最优解进行检验，确保其满足所有约束条件且目 标函数值最优。
01
将智能优化算法（如遗传算法、模拟退火算法等）与表上作业
法相结合，以提高求解效率和精度。
发展混合算法
02
结合多种算法的优势，发展混合算法以处理更复杂的运输问题。
拓展应用范围
03
在保持简单易行的基础上，拓展表上作业法的应用范围，使其
能够处理更多类型的运筹问题。
THANKS FOR WATCHING
果达到最优解，则确定最优解；如果未达到最优解，则确定次优解。
表上作业法的应用范围
总结词
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。
详细描述
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。在这种情况下，可以通过在运输表 格上填入数字来求解最小运输成本。此外，表上作业法还可以用于解决其他类型的线性规划问题，如资源分配问 题、生产计划问题等。
03 表上作业法的求解过程
初始基础可行解的求解
确定初始基础可行解
根据已知的发货地和收货地的供需关系，以及运输能力限制，通 过试算和调整，求得初始的基础可行解。
初始解的检验
检查初始解是否满足非负约束条件，即所有出发地到收货地的运输 量不能为负数。
初始解的调整
如果初始解不满足非负约束条件，需要对运输量进行调整，直到满 足所有约束条件。
运筹学-3运输问题
产销平衡问题 产销不平衡问题
产大于销 销大于供
当产销平衡时，其模型如下：
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj)
当销大于产时，其模型是：
min Z
cij xij
xij ai xij bj
可行解的方法
Review
二、表上作业法的步骤
Step1.找出初始基本可行解（在m*n产销平衡 表上寻找初始调运方案，一般m+n-1个数字 格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法；
Step2.求出各非基变量的检验数，判别是否达 到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 用闭回路或位势法计算；
Step3.改进当前的基本可行解（确定换入、 换出变量），用闭合回路法调整； Step4.重复2. 3，直到找到最优解为止。
（3）运输问题的解
定义1. 闭回路
x x x x x x 闭回路是能折成 i1 j1, i1 j2 , i2 j2 , i2 j3 ,..., isjs , isj1
形式的变量组集合。其中 i1 , i2 , …， is 互不相同，j1 , j2 , …， js 互不相 同。每个变量称为闭回路的顶点，连接闭回路相邻两顶点的直线段叫做闭
统计学院
运筹学－第三章 运输问题
张红历
本章内容
1.运输问题及其数学模型 2.表上作业法 3.运输问题的进一步讨论
4.应用问题举例
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的提出
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
产大于销 销大于供
当产销平衡时，其模型如下：
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj)
当销大于产时，其模型是：
min Z
cij xij
xij ai xij bj
可行解的方法
Review
二、表上作业法的步骤
Step1.找出初始基本可行解（在m*n产销平衡 表上寻找初始调运方案，一般m+n-1个数字 格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法；
Step2.求出各非基变量的检验数，判别是否达 到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 用闭回路或位势法计算；
Step3.改进当前的基本可行解（确定换入、 换出变量），用闭合回路法调整； Step4.重复2. 3，直到找到最优解为止。
（3）运输问题的解
定义1. 闭回路
x x x x x x 闭回路是能折成 i1 j1, i1 j2 , i2 j2 , i2 j3 ,..., isjs , isj1
形式的变量组集合。其中 i1 , i2 , …， is 互不相同，j1 , j2 , …， js 互不相 同。每个变量称为闭回路的顶点，连接闭回路相邻两顶点的直线段叫做闭
统计学院
运筹学－第三章 运输问题
张红历
本章内容
1.运输问题及其数学模型 2.表上作业法 3.运输问题的进一步讨论
4.应用问题举例
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的提出
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
运筹学 第3章运输问题
检 验 数 表
最 优 方 案 判 别 准 则
B1 3 A1 A2 7 A3 vj
B2 11
B3 3 2
B4 10 8
ui
1
1Байду номын сангаас
2
9
0
1
4 10
-1
5
-1 -5
10
2 9
12
3 10
24=-1＜0，当前方案 不是最优方案。
26
2.3
闭回路调整法改进方案
min ij 0 pq
xpq 为换入变量
min
z cij xij
i 1 j 1
s.t.
n xij ai 1 jm xij b j i 1 xij 0
i 1,, m j 1,, n
4
运输问题的约束方程组系数矩阵及特征
x11 x12 .... x1n 1 1.......1 A 1 1 1 x21 x22 .... x2 n ...... xm1 xm 2 .... xmn 1 1.......1 ......... 1 1.......1 1 1 1 .......... 1 1 1
10
1. 最小元素法 （思想：就近供应） 不 能 同 时 划 去 行 和 列
销 产 A1 1 A2 A3 销量 3 9 B1 3 B2 11 B3 3 B4
表3-4
产量 10 7 8 5
4
2
3
3
7 4
1
10
6
6 5
3
6
保证填 4 有运量 的格子 9 为m+n1
该方案总运费： Z=4×3+3×10+3×1+1×2+6×4+3×5=86
北邮运筹学ch33 表上作业法.ppt
Transportation Simplex Method
2020/1/31
Page 12 of 36
【解】 求行差额 ui, i=1,2,3及列差额vj,j=1,2,3,4.计算公式为 ui= i行次小运价—i行最小运价 vj= j列次小运价—j例最小运价
销地
B1
B2
B3
B4
ai ui
产地
A1
5
×
这里λ34<0，说明这组基本可行解不是最优解。
只要求得的基变量是正确的且数目为m+n－1，则某个非基变量的闭 回路存在且唯一，因而检验数唯一。
北京邮电大学 运筹学
§3.3 表上作业法 Ch3 Transportation Problem
Transportation Simplex Method
2020/1/31
Page 5 of 36
产地 销地
A1
A2
A3 未满足
量
B1
B2
B3
可发量
20 8
15 4
25 7
642005
6 30
3
4 30 0
10
7
320 0
5
410 5
8
20 5
100
100
北京邮电大学 运筹学
§3.3 表上作业法 Ch3 Transportation Problem
810 5 10
C
25
115
20
15 15
8 C 215
15
510 10
15
20
15
前一种按最小元素法求得，总运费是Z1=10×8+5×2+15×1=105， 后一种方案考虑到C11与C21之间的差额是8－2=6，如果不先调运x21， 到后来就有可能x11≠0，这样会使总运费增加较大，从而先调运x21， 再是x22，其次是x12这时总运北费京邮Z电2=大1学0×运筹5学+15×2+5×1=85<Z1。
管理运筹学第七章运输问题之表上作业法
10 （12）
5 3
9
销量
3
6
5
6
20
最小检验数原则，确定进基变量
最小偶点原则，确定出基变量和调整量
+1
-1
+1
-1
四、方案调整
B1
B2
B3
B4
产量ai
A1
3
11
3 5
10 2
7
A2
1 3
9
2
8 1
01
最优值：
01
f* =3×5+10×2+1×3+8×1+4×6+5×3 = 85
01
四、方案调整
闭回路调整法步骤：
01
入基变量的确定：选负检验数中最小者 rk，那么 xrk 作为进基变量；（使总运费尽快减少）
02
出基变量的确定：在进基变量xrk 的闭回路上，选取偶数顶点上调运量最小的值，将其对应的运量作为出基变量。（刚好有一个基变量出基，其它基变量都为正）
三、最优性检验
三、最优性检验
若让x11＝1，则总运费变化：3–3+2–1＝1 。
B1
B2
B3
B4
产量
A1
3
11
3 4
10 3
7
A2
1 3
9
2 1
8
4
A3
7
4 6
10
5 3
9
9
2
8 1
4
A3
7
4 6
10
5 3
9
销量bj
3
6
5
6
20
如上例中的最优方案就不唯一：
（0）
5 3
9
销量
3
6
5
6
20
最小检验数原则，确定进基变量
最小偶点原则，确定出基变量和调整量
+1
-1
+1
-1
四、方案调整
B1
B2
B3
B4
产量ai
A1
3
11
3 5
10 2
7
A2
1 3
9
2
8 1
01
最优值：
01
f* =3×5+10×2+1×3+8×1+4×6+5×3 = 85
01
四、方案调整
闭回路调整法步骤：
01
入基变量的确定：选负检验数中最小者 rk，那么 xrk 作为进基变量；（使总运费尽快减少）
02
出基变量的确定：在进基变量xrk 的闭回路上，选取偶数顶点上调运量最小的值，将其对应的运量作为出基变量。（刚好有一个基变量出基，其它基变量都为正）
三、最优性检验
三、最优性检验
若让x11＝1，则总运费变化：3–3+2–1＝1 。
B1
B2
B3
B4
产量
A1
3
11
3 4
10 3
7
A2
1 3
9
2 1
8
4
A3
7
4 6
10
5 3
9
9
2
8 1
4
A3
7
4 6
10
5 3
9
销量bj
3
6
5
6
20
如上例中的最优方案就不唯一：
（0）
管理运筹学-02-7运输问题
运量之和表示从该供应地运往各需求地的运量之和，它 应该等于该供应地的供应量；同样，每一列运量之和表 示从各供应地运往该需求地的运量之和，它应该等于该 需求地的需求量。
运输问题及其数学模型
•运输问题约束矩阵的性质
1 1 1
分别将A的前m行和后n行相加，得到两个
A=
1
1
=5 ①
x21+x22+x23+x24
=2 ②
x31+x32+x33+x34 = 3 ③
x11
s.t.
x12
+x21 +x22
+x31 +x32
=2 ④ =3 ⑤
x13 x14
+x23 +x24
+x33 = 1 ⑥ +x34 = 4 ⑦
xij≥0
( i =1, 2, 3; j =1, 2, 3, 4 )
• 1. 确定初始基础可行解 • （1）最小元素法 • 最小元素法的基本思想是就近供应，即从
单位运价表中最小的运价处开始确定供销 关系，依次类推，一直到给出全部方案为 止。
表上作业法求解运输问题
例 给出运输表如右。
1
2
3
4
最小运价为c33=7， 供应地3的供应量
1
10
11
9
15
30
为50，需求地3的 需求量为31，安排
x 2 32
3
B3 x 2
13
x 8 23
x 9 33
1
(百元/百吨 )
B4 x 5
14
产量
5
运输问题及其数学模型
•运输问题约束矩阵的性质
1 1 1
分别将A的前m行和后n行相加，得到两个
A=
1
1
=5 ①
x21+x22+x23+x24
=2 ②
x31+x32+x33+x34 = 3 ③
x11
s.t.
x12
+x21 +x22
+x31 +x32
=2 ④ =3 ⑤
x13 x14
+x23 +x24
+x33 = 1 ⑥ +x34 = 4 ⑦
xij≥0
( i =1, 2, 3; j =1, 2, 3, 4 )
• 1. 确定初始基础可行解 • （1）最小元素法 • 最小元素法的基本思想是就近供应，即从
单位运价表中最小的运价处开始确定供销 关系，依次类推，一直到给出全部方案为 止。
表上作业法求解运输问题
例 给出运输表如右。
1
2
3
4
最小运价为c33=7， 供应地3的供应量
1
10
11
9
15
30
为50，需求地3的 需求量为31，安排
x 2 32
3
B3 x 2
13
x 8 23
x 9 33
1
(百元/百吨 )
B4 x 5
14
产量
5
运筹学【运输问题】考研必备
22
13
12 0
最小元素法(2)
1 6 1 8 2 5 3 22 9 4 7
2 5
3 3
4 14 1
132 712来自10 62715
19 13 12 0 13 0
最小元素法(3)
1 6 1 8 2 5 3 22 9 4 7
2 5
3 3
4 14 1
13
2 7
13
10
12
6
27
2
19 13 0 12 0 13 0
解: 西北角法
销地 产地
B1 6 4 7 2
B2 5 4 6 4
B3 3 7 5 3
B4 4 5 8 4
产量
A1 A2 A3
销量
4 6 3 13
(1) 从图的西北角开始, 填入a1与b1较小的值,b1=2, 即从A1运 给B1(2吨)B1已满足, 划去b1列, 并将a1=4-2=2
销地 产地
B1 26 4 7 2-2
例2
供应地 运价 销售地 1 a1=14 供 应 量 1 6 7 5
b1=22
a2=27
2
a3=19
3
3 8 4 2 7 5 9 10 6
2
b2=13
销 售 量
3
b3=12
4
b4=13
解:
初始基础可行解—最小元素法(1)
1 1 6 7
2 5
3 3
4 14
2
8
4
2
7
27
15
12
3 5 9 10 6 19 13
如何调运产品才能使总运费最小？
销地 产地
B1 6 4 7 2
B2 5 4 6 4
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3.最优性检验
B1
B2
B3
B4
A1 A2
A3 销量
3 11 =1 11
1
9
3
3 4
2 1
7
4
10
31 =10
6
3
6
5
10 3
8
5 3
6
产量 7 4 9
❖若让x11＝1，则总运费变化：3–1+2–3＝1 。 ❖若让x31＝1，则总运费变化：7–5+10–3+2-1＝10 。
3.最优性检验
A1 A2 A3 销量
甲
乙
丙
丁
产量
A
3
11
3
10
7
B
1
9
2
8
4
C
7
4
10
5
9
销量
3
6
5
6
2.确定初始基本可行解
x ❖ 若j=1设,2,3,i4j ) 代表从第i个产地到第j个销售地的运输量（i=1,2,3；
min z 3x11 11x12 3x13 10x14 x21 9x22 2x23 8x24 7x31 4x32 10x33 5x34
2.确定初始基本可行解
B1 B2 B3 B4 两最小元素之差
A1
3 11 3 10
7
A2
1 928
6
A3
7 4 10 5
两最小元素之 差
12
2.确定初始基本可行解
B1 B2 B3 B4 两最小元素之差
A1
3
A2
1
A3
7
两最小元素之 差
11 3 10 928 4 10 5
2
2.确定初始基本可行解
:
:
:
:
:
:
:
:
Am
cm1
cm2
…
cmn
am
销量
b1
b2
…
bn
1.运输问题模型及其求解思路
若销设平衡xij的代条表件从下第（Am ia个i 产n b地j 到）第，B要j个确销定售总地运的输调费运用量最，小在的产调
运方案，可表示为i1如下j1的数学模型
mn
min z
cij xij
❖ 具体操作步骤如下： ❖ （1）确定一个初始基本可行解：即在m×n阶产销平衡
表上给出m+n-1个数字格（基变量）； ❖ （2）求各非基变量（空格）的检验数，即在表上
计算空格的检验数。判别式否达到最优解。如果是最优解， 则停止计算，否则进入下一步。 ❖ （3）确定换入变量和换出变量，找出新的基可行解。 ❖ （4）重复(2)、(3)直至得到最优解为止。
❖2、用最小元素法时，可能会出现基变量个 数还差两个以上但只剩下一行或一列的情 况，此时不能将剩下行或列按空格划掉， 应在剩下的空格中标上0。（退化的基本可 行解）
2.确定初始基本可行解
B1
B2
B3
B4
A1 3
11
3 5 10 3
A2 1
39
2 08
A3 7
4 6 10
53
销量
3
6
5
6
产量 8 3 9
min x23, x14 min1,3 1
四、方案调整
❖得到新的基变量：x13 = 5, x14 = 2, x21 = 3, x24 = 1, x32 = 6, x34 = 3。重新计算检验数。
B1
B2
B3
B4
产量ai
A1 3 （1） 11 （2） 3
10
5
2
7
A2 1
选取偶数顶点上调运量最小的值，将其对应的运量 作为出基变量。（刚好有一个基变量出基，其它基 变量都为正）
4.方案调整
➢ 即求=Min{xij闭回路上的偶数顶点的xij}= xpq。那么 确定xpq为出基变量，为调整量；
➢ 3、换基调整：对闭回路的奇数顶点运量调整为： xij+，对各偶数顶点运量调整为：xij-，特别 xpq=0，xpq变为非基变量。
1
1
1
1
· ·
·
1
· · ···
·
1
· ·
·
1
1
1
m行
n行
1.运输问题模型及其求解思路
对于产销平衡的运输问题， 若产地为m个，销地为n个， 则 变量个数为m×n个，
约束条件个数为m+n， 其中包含：总产量＝总销售
故线性无关的约束条件个数为m+n-1， 基本解中的基变量个数为m+n-1。
2
1.运输问题模型及其求解思路
i1 j 1
n xij ai j 1
s.t.
m
xij bj
i 1
xij 0
min z CX
矩阵形式： s.t. AX b X0
(i=1，2，…，m； j=1，2，…，n)
1.运输问题模型及其求解思路
系数矩阵Ａ
1 1 ··· 1
A=
1 1 ··· 1
1 1 ··· 1
❖ 已知有m个产地Ai（i=1,2， … ， m ）可供应某种 物资，其供应量（产量）分别为ai ，有n个销地Bj （j=1,2， … ， n）其销量（需求量）分别为bj ，从 A到B的单位物资运价为cij 。
销地
B1
B2
…
Bn
产量
产地
A1
c11
c12
…
c1n
a1
A2
c21
c22
…
c2n
a2
:
:
:
:
❖运输问题中目标函数值要求最小化，因此， 当所有的检验数都大于或等于零时该调运 方案就是最优方案；否则不是。
❖下面介绍两种计算检验数的方法：
3.最优性检验
❖ 1、闭回路法 ❖ 闭回路：在已给出基本解的运输表上，从一个非基
变量出发，沿水平或竖直方向前进，只有碰到基变 量，才能向右或向左转90o (当然也可以不改变方向） 继续前进。 ❖ 这样继续下去，总能回到出发的那个非基变量，由 此路线形成的封闭曲线，叫闭回路。
运输问题求解
——表上作业法
运输问题求解之表上作业法
1.运输问题模型及其求解思路 2.确定初始基本可行解 3.最优性检验 4.方案调整
1.运输问题模型及其求解思路
❖运输问题： 研究把某种商品从若干个产地运至若 干个销售地而使总运费最小的一类 问题。
❖目标： 总运费最小
1
1.运输问题模型及其求解思路
B1
B2
11 = 1
3
12 = 2 22= 1
B3
B4
4
3
1
24 = -1
31 = 10
6
33 = 12
3
3
6
5
6
产量 7 4 9
❖最优标准：所有检验数ij ≥0
3.最优性检验
❖2、位势法
❖ 闭回路法的缺点：当变量个数较多时，寻找闭回路以及计算 两方面都容易出错。
位势法检验步骤：
❖ 1）设产地Ai对应的位势量为ui ，销地Bj对应的位势量为vj； ❖ 2势）U由i ，ijV=Cj ，ij-（即UCii+j-V（j）Ui,+利V用j）对=基0，变令量U而1=言0；有ij=0，计算位 ❖ 3）再由ij=Cij-（Ui+Vj）计算非基变量的检验数ij
3 9 （2）2 （1） 8
1
4
A3 7 （9）4
10 （12）5
6
3
9
销量bj
3
6
5
6
四、方案调整
❖经过一次基变换，所有ij ≥ 0，已得到最优解： x13 = 5, x14 = 2, x21 = 3, x24 = 1, x32 = 6, x34 = 3，其它为0。
❖最优值： ❖f* =3×5+10×2+1×3+8×1+4×6+5×3 = 85
的偶数顶点运价之和)
❖ 2、位势法计算式： ❖ij = cij - ui – vj
当存在非基变量的检验数ij ≥0，说明现行方案为 最优方案，否则目标成本还可以进一步减小。
4.方案调整
➢ 闭回路调整法步骤： ➢ 1、入基变量的确定：选负检验数中最小者 rk，那
么 xrk 作为进基变量；（使总运费尽快减少） ➢ 2、出基变量的确定：在进基变量xrk 的闭回路上，
51
3
2.确定初始基本可行解
B1 B2 B3 B4 两最小元素之差
A1
3 11 3 10
0
A2
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ928
1
A3
7 4 10 5
2
两最小元素之 2 差
13
2.确定初始基本可行解
B1 B2 B3 B4 两最小元素之差
A1
3 11 3 10
0
A2
1 928
1
A3
7 4 10 5
两最小元素之 2 差
12
表上作业法计算中的相关问题
❖ 1.无穷多最优解
❖ 当最优方案中存在某空格（非基变量）检验数为0,时，则 该运输问题一定有多重最优解。
❖ 2.退化解
❖ 当运输问题的最优表中有数格（基变量）的运量为0，则 出现退化。
❖ 1）确定基本可行解中，出现同时需要划去一行和一列的 情况，则需要在填写数格的行或列上，写上一个0数格。
❖ ②从行和列的差额中选出最大者，选择其所在行或列中的 最小元素，按类似于最小元素法优先供应，划去相应的行 或列。