高中数学《平面与平面垂直复习课》公开课优秀教学设计.docx
高一下学期数学人教A版 必修第二册8.6.3平面与平面垂直(第三课时)教学设计
8.6.3平面与平面垂直复习课（第三课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第八章)一、教学目标1.进一步加深理解和掌握平面与平面垂直的定义、判定定理及性质定理，并能应用定理解决相关问题；2.理顺空间垂直位置关系的知识架构，并能应用相关知识对问题进行分析、转化和解决；3.通过平面与平面垂直判定和性质定理的综合应用，以及空间问题平面化的思维方式，体会化归思想方法的应用.二、教学重难点1.平面与平面垂直的判定定理和性质定理的应用.2.应用定理证明过程中表述的条理性和严谨性.三、教学过程1.知识回顾1.1面面垂直的定义(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直，记作：α⊥β.(2)画法：如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.【设计意图】复习面面垂直的定义，做到温故而知新.11.2【微训练】1.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是()A.m⊥n，m∥α，n∥βB.m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC.m∥n，n⊥β，m⊂αD.m∥n，m⊥α，n⊥β【设计意图】通过小题训练，帮助学生回顾平面与平面垂直的判定定理.平面与平面垂直的判定定理2.判断题(1)若平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都垂直于平面β.( )(2)若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线平行于平面β.( )(3)若平面α不垂直于平面β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面β.( )【设计意图】通过题组训练，帮助学生加深对平面与平面垂直的性质定理的理解. 平面与平面垂直的性质定理2图形语言2.课堂互动题型一求二面角的大小【活动要求】让学生提前练习，老师检查学生答题情况.如图所示，AB是⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且P A＝AC，求二面角P－BC－A的大小.【活动预设】引导学生找二面角的平面角.【设计意图】加强对二面角的理解，熟练的计算二面角的平面角.题型二平面与平面垂直的证明【活动要求】让学生提前练习，老师检查、点评学生的答题情况.如图，在四棱锥PABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．(1)求证：BD⊥平面P AC；(2)若∠ABC＝60°，求证：平面P AB⊥平面P AE.3【设计意图】通过对问题进行分析，学生可以体会和应用平面与平面垂直的判定定理在分析问题和解决问题中的转化功能，体会应用所学知识解决问题的心理愉悦.老师点评旨在规范学生的解题格式，注重表述的条理性和严谨性.题型三平面与平面垂直的性质及应用【活动要求】让学生提前练习，老师检查、点评学生的答题情况.如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点.求证：(1)BG⊥平面P AD；(2)AD⊥PB；(3)求点D到面PAB的距离.4【设计意图】让学生体会和应用平面与平面垂直的性质定理在分析问题和解决问题中的转化功能，体会应用所学知识解决问题的心理愉悦.老师点评旨在规范学生的解题格式，注重表述的条理性和严谨性.3.归纳小结【设计意图】（1）梳理平面与平面垂直的定义、判定定理、性质定理，提高应用定理解决相关问题的能力；（2）激发学生的探究精神，养成独立思考的习惯.四、课外作业1.四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，且P A＝AB.(1)求二面角A－PD－C的平面角的度数；(2)求二面角B－P A－D的平面角的度数；(3)求二面角B－P A－C的平面角的度数；(4)求二面角B－PC－D的平面角的度数.2.图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积．53.如图1所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝45°，AB＝2CD＝4，点E为AB的中点．将△ADE 沿DE折起，使点A到达点P的位置，得到如图2所示的四棱锥PEBCD，点M为棱PB的中点．(1)求证：PD∥平面MCE；(2)若平面PDE⊥平面EBCD，求三棱锥MBCE的体积．6。
高中数学必修二《平面与平面垂直的性质》优秀教学设计
例1.如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC，(1)证明：BC⊥平面PAC.
(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系.
例2：如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，PA⊥底面ABCD，E为PC上任意一点，
求证：平面BED⊥平面PAC.
例2变式：若平面BED⊥平面ABCD，求证EO//PA.
【设计意图】面向全体学生,夯实基础,面向学有余力的学生,能力提升继续练习“直观感知—操作确认—推理证明”的学习方法,进一步提升学生的空间想象能力和逻辑推理能力.
五、课堂小结.
线线垂直←→线面垂直←→面面垂直
课外作业
课本P73：练习1，2
册P48：类型2，类型3；P49：5，7，8
2、面面垂直的判定:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
二、引入新课
教室的黑板所在平面与地面是什么位置关系？你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗？这样的直线分别有什么性质？
猜想：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
【设计意图】在复习面面垂直判定定理的同时,让学生感受到数学知识在生活中的实例.通过简单的实物操作,为新知识找到生长点.
3、探究新知
已知：平面 平面 ， 求证：
面面垂直的性质定理：两平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号语言表述：
面面垂直 线面垂直
关键点:1.线面垂直；2.线在平面内；3.线垂直于交线.
概念巩固练习：
1.若 ，那么 内的所有直线都垂直于 .
2.两平面互相垂直，分别在这两平面内的两直线互相垂直.
情感、态度与价值观目标:
高中数学 (2.3.4 平面与平面垂直的性质)示范教案 新人教A版必修2.doc
2.3.4 平面与平面垂直的性质整体设计教学分析空间中平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特点：（1）它是立体几何中最难、最“高级”的定理.(2)它往往又是一个复杂问题的开端，即先由面面垂直转化为线面垂直，否则无法解决问题.因此，面面垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理.三维目标1.探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想象能力.2.面面垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力.3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想. 重点难点教学重点:平面与平面垂直的性质定理. 教学难点:平面与平面性质定理的应用. 课时安排 1课时教学过程复习（1）面面垂直的定义.如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直. （2）面面垂直的判定定理. 两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 两个平面垂直的判定定理符号表述为：⇒⎭⎬⎫⊂⊥αβAB AB α⊥β.两个平面垂直的判定定理图形表述为：图1导入新课思路1.(情境导入)黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？ 思路2.(事例导入)如图2，长方体ABCD —A′B′C′D′中，平面A′ADD′与平面ABCD 垂直,直线A′A 垂直于其交线AD.平面A′ADD′内的直线A′A 与平面ABCD 垂直吗？图2推进新课 新知探究 提出问题①如图3,若α⊥β,α∩β=CD,AB ⊂α,AB⊥CD,AB∩CD=B. 请同学们讨论直线AB 与平面β的位置关系.图3②用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理，并给出证明.③设平面α⊥平面β,点P ∈α,P ∈a,a⊥β,请同学们讨论直线a 与平面α的关系. ④分析平面与平面垂直的性质定理的特点，讨论应用定理的难点. ⑤总结应用面面垂直的性质定理的口诀.活动:问题①引导学生作图或借助模型探究得出直线AB 与平面β的关系. 问题②引导学生进行语言转换.问题③引导学生作图或借助模型探究得出直线a 与平面α的关系.问题④引导学生回忆立体几何的核心，以及平面与平面垂直的性质定理的特点. 问题⑤引导学生找出应用平面与平面垂直的性质定理的口诀.讨论结果：①通过学生作图或借助模型探究得出直线AB 与平面β垂直,如图3.②两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为：如图4.图4两个平面垂直的性质定理用符号语言描述为：⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⋂⊥=⋂⊂⊥B CD AB CDAB CD AB βααβαAB⊥β.两个平面垂直的性质定理证明过程如下：图5如图5，已知α⊥β,α∩β=a,AB ⊂α，AB⊥a 于B. 求证：AB⊥β.证明：在平面β内作BE⊥CD 垂足为B,则∠ABE 就是二面角αCD β的平面角. 由α⊥β,可知AB⊥BE.又AB⊥CD，BE 与CD 是β内两条相交直线,∴AB⊥β. ③问题③也是阐述面面垂直的性质，变为文字叙述为： 求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.下面给出证明.如图6,已知α⊥β，P ∈α，P ∈a ，a⊥β.求证：a ⊂α.图6证明：设α∩β=c ，过点P 在平面α内作直线b⊥c， ∵α⊥β,∴b⊥β.而a⊥β，P ∈a,∵经过一点只能有一条直线与平面β垂直,∴直线a 应与直线b 重合.那么a ⊂α.利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线b ，不易想到，二是证明直线b 和直线a 重合，相对容易些.点P 的位置由投影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可以不在交线上.④我认为立体几何的核心是：直线与平面垂直，因为立体几何的几乎所有问题都是围绕它展开的，例如它不仅是线线垂直与面面垂直相互转化的桥梁，而且由它还可以转化为线线平行，即使作线面角和二面角的平面角也离不开它.两个平面垂直的性质定理的特点就是帮我们找平面的垂线，因此它是立体几何中最重要的定理.⑤应用面面垂直的性质定理口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.应用示例思路1例1 如图7，已知α⊥β，a⊥β,a⊄α,试判断直线a与平面α的位置关系.图7解:在α内作垂直于α与β交线的垂线b,∵α⊥β,∴b⊥β.∵a⊥β,∴a∥b.∵a⊄α,∴a∥α.变式训练如图8,已知平面α交平面β于直线a.α、β同垂直于平面γ，又同平行于直线b.求证：(1)a⊥γ；(2)b⊥γ.图8 图9证明：如图9,(1)设α∩γ=AB，β∩γ=AC.在γ内任取一点P并在γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC.∵γ⊥α，∴PM⊥α.而a⊂α，∴PM⊥a.同理,PN⊥a.又PM⊂γ，PN⊂γ，∴a⊥γ.(2)在a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2.∵b∥α，∴b∥a1.同理,b∥a2.∵a1、a2同过Q且平行于b，∴a1、a2重合.又a1⊂α，a2⊂β，∴a1、a2都是α、β的交线，即都重合于a.∵b∥a1，∴b∥a.而a⊥γ，∴b⊥γ.点评：面面垂直的性质定理作用是把面面垂直转化为线面垂直，见到面面垂直首先考虑利用性质定理，其口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.例2 如图10，四棱锥P—ABCD的底面是AB=2，BC=2的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD.图10 图11（1）证明侧面PAB⊥侧面PBC；（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；（3）求直线AB与平面PCD的距离.（1）证明：在矩形ABCD中，BC⊥AB,又∵面PAB⊥底面ABCD,侧面PAB∩底面ABCD=AB,∴BC⊥侧面PAB.又∵BC⊂侧面PBC,∴侧面PAB⊥侧面PBC.（2）解：如图11,取AB中点E，连接PE、CE,又∵△PAB是等边三角形,∴PE⊥AB.又∵侧面PAB⊥底面ABCD ，∴PE⊥面ABCD. ∴∠PCE 为侧棱PC 与底面ABCD 所成角. PE=23BA=3,CE=22BC BE +=3, 在Rt△PEC 中，∠PCE=45°为所求. （3）解：在矩形ABCD 中，AB∥CD,∵CD ⊂侧面PCD ，AB ⊄侧面PCD ，∴AB∥侧面PCD. 取CD 中点F ，连接EF 、PF ，则EF⊥AB. 又∵PE⊥AB,∴AB⊥平面PEF.又∵AB∥CD, ∴CD⊥平面PEF.∴平面PCD⊥平面PEF. 作EG⊥PF，垂足为G ，则EG⊥平面PCD. 在Rt△PEF 中，EG=530=∙PF EC PE 为所求.变式训练如图12，斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成60°角，侧面BCC 1B 1⊥面ABC.求平面AB 1C 1与底面ABC 所成二面角的大小.图12活动:请同学考虑面BB 1C 1C⊥面ABC 及棱长相等两个条件，师生共同完成表述过程，并作出相应辅助线. 解：∵面ABC∥面A 1B 1C 1，则面BB 1C 1C∩面ABC=BC, 面BB 1C 1C∩面A 1B 1C 1=B 1C 1,∴BC∥B 1C 1，则B 1C 1∥面ABC. 设所求两面交线为AE ，即二面角的棱为AE, 则B 1C 1∥AE，即BC∥AE.过C 1作C 1D⊥BC 于D ，∵面BB 1C 1C⊥面ABC, ∴C 1D⊥面ABC ，C 1D⊥BC. 又∠C 1CD=60°,CC 1=a,故CD=2a,即D 为BC 的中点. 又△ABC 是等边三角形,∴BC⊥AD. 那么有BC⊥面DAC 1,即AE⊥面DAC 1. 故AE⊥AD，AE⊥AC 1,∠C 1AD 就是所求二面角的平面角. ∵C 1D=23a ，AD=23a ，C 1D⊥AD,故∠C 1AD=45°. 点评:利用平面与平面垂直的性质定理,找出平面的垂线是解决问题的关键.思路2例1 如图13，把等腰直角三角形ABC 沿斜边AB 旋转至△ABD 的位置，使CD=AC,图13（1）求证：平面ABD⊥平面ABC ； （2）求二面角CBDA 的余弦值.（1）证明：(证法一):由题设,知AD=CD=BD,作DO⊥平面ABC ，O 为垂足，则OA=OB=OC. ∴O 是△ABC 的外心，即AB 的中点. ∴O∈AB ，即O ∈平面ABD.∴OD ⊂平面ABD.∴平面ABD⊥平面ABC. (证法二):取AB 中点O ，连接OD 、OC,则有OD⊥AB，OC⊥AB，即∠COD 是二面角CABD 的平面角. 设AC=a ，则OC=OD=a 22, 又CD=AD=AC,∴CD=a.∴△COD 是直角三角形，即∠COD=90°. ∴二面角是直二面角，即平面ABD⊥平面ABC.（2）解:取BD 的中点E ，连接CE 、OE 、OC,∵△BCD 为正三角形，∴CE⊥BD. 又△BOD 为等腰直角三角形,∴OE⊥BD.∴∠OEC 为二面角CBDA 的平面角. 同（1）可证OC⊥平面ABD,∴OC⊥OE.∴△COE 为直角三角形. 设BC=a ，则CE=23a ，OE=21a,∴cos∠OEC=33=CE OE 即为所求.变式训练如图14，在矩形ABCD 中，AB=33,BC=3，沿对角线BD 把△BCD 折起，使C 移到C′，且C′在面ABC 内的射影O 恰好落在AB 上.图14（1）求证：AC′⊥BC′；（2）求AB 与平面BC′D 所成的角的正弦值； （3）求二面角C′BDA 的正切值.（1）证明：由题意,知C′O⊥面ABD,∵C′O ⊂ABC′, ∴面ABC′⊥面ABD.又∵AD⊥AB,面ABC′∩面ABD=AB,∴AD⊥面ABC′.∴AD⊥BC′. ∵BC′⊥C′D,∴BC′⊥面AC′D.∴BC′⊥AC′.(2)解:∵BC′⊥面AC ′D,BC′⊂面BC′D,∴面AC′D⊥面BC′D.作AH⊥C′D 于H,则AH⊥面BC′D,连接BH,则BH 为AB 在面BC′D 上的射影, ∴∠ABH 为AB 与面BC′D 所成的角.又在Rt△AC′D 中,C′D=33,AD=3,∴AC′=32.∴AH=6. ∴sin∠ABH=32=AB AH ,即AB 与平面BC′D 所成角的正弦值为32. (3)解:过O 作OG⊥BD 于G,连接C′G,则C′G⊥BD,则∠C′GO 为二面角C′BDA 的平面角.在Rt△AC′B 中,C′O=6''=∙ABBC AC ,在Rt△BC′D 中,C′G=233''=∙BD D C BC .∴OG=22C G C '-'=23.∴tan∠C′GO=22'=OGOC , 即二面角C′BDA 的正切值为22.点评:直线与平面垂直是立体几何的核心,它是证明垂直问题和求二面角的基础,因此利用平面与平面垂直的性质定理找出平面的垂线,就显得非常重要了.例2 如图15,三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=BB 1=1，直线B 1C 与平面ABC 成30°角，求二面角BB 1CA 的正弦值.图15活动:可以知道，平面ABC 与平面BCC 1B 1垂直，故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线.解：由直三棱柱性质得平面ABC⊥平面BCC 1B 1，过A 作AN⊥平面BCC 1B 1，垂足为N ，则AN⊥平面BCC 1B 1（AN 即为我们要找的垂线）,在平面BCB 1内过N 作NQ⊥棱B 1C ，垂足为Q ，连接QA ，则∠NQA 即为二面角的平面角.∵AB 1在平面ABC 内的射影为AB ，CA⊥AB，∴CA⊥B 1A.AB=BB 1=1，得AB 1=2.∵直线B 1C 与平面ABC 成30°角，∴∠B 1CB=30°，B 1C=2. 在Rt△B 1AC 中，由勾股定理,得AC=2.∴AQ=1. 在Rt△BAC 中，AB=1，AC=2，得AN=36. sin∠AQN=AQ AN =36, 即二面角BB 1CA 的正弦值为36. 变式训练如图16，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC=22，M 为BC 的中点. (1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角PAMD 的大小.图16 图17(1)证明：如图17,取CD 的中点E ，连接PE 、EM 、EA, ∵△PCD 为正三角形,∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=3. ∵平面PCD⊥平面ABCD,∴PE⊥平面ABCD. ∵四边形ABCD 是矩形,∴△ADE、△ECM、△ABM 均为直角三角形.由勾股定理可求得EM=3，AM=6，AE=3,∴EM 2+AM 2=AE 2.∴AM⊥EM.又EM 是PM 在平面ABCD 上的射影,∴∠AME=90°.∴AM⊥PM. (2)解:由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM, ∴∠PME 是二面角PAMD 的平面角. ∴tan∠PME=33EM PE =1.∴∠PME=45°. ∴二面角PAMD 为45°.知能训练课本本节练习.拓展提升(2007全国高考,理18)如图18,在三棱锥S —ABC 中,侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形,∠BAC=90°,O 为BC 中点.(1)证明SO⊥平面ABC;(2)求二面角ASCB 的余弦值.图18 图19(1)证明：如图19,由题设,知AB=AC=SB=SC=SA.连接OA,△ABC 为等腰直角三角形,所以OA=OB=OC=22SA,且AO⊥BC.又△SBC 为等腰三角形,故SO⊥BC,且SO=22SA. 从而OA 2+SO 2=SA 2.所以△SOA 为直角三角形,SO⊥AO. 又AO∩BC=O,所以SO⊥平面ABC.(2)解:如图19,取SC 中点M,连接AM 、OM, 由(1),知SO=OC,SA=AC,得OM⊥SC,AM⊥SC. 所以∠OMA 为二面角ASCB 的平面角.由AO⊥BC,AO⊥SO,SO∩BC=O,得AO⊥平面SBC. 所以AO⊥OM.又AM=23SA,故 sin∠AMO=3632==AMAO. 所以二面角ASCB 的余弦值为33. 课堂小结知识总结：利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题. 作业课本习题2.3 B 组3、4.设计感想线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带，尤其是线面垂直问题是立体几何的核心，一个立体几何问题能否解决往往取决于能否作出平面的垂线；面面垂直的性质定理恰好能解决这个问题，因此它是高考考查的重点，本节不仅选用了大量经典好题，还选用了大量的2007高考模拟题以及最新2007全国各地高考真题，相信能够帮助大家解决立体几何中的重点难点问题.。
高中数学必修二《平面与平面垂直的判定》优秀教学设计
课 题：平面与平面垂直的判定【学情分析】平面与平面垂直的判定是立体几何中点、线、面的位置关系最后一节内容，在此之前，学生已经研究过线面、面面平行的判定和性质以及线面垂直的判定，能够较熟练地运用相关定理对线线、线面、面面的平行的判定和性质、线面垂直的判定进行研究与论证。
【教学目标】知识技能目标1．结合实际问题使学生了解二面角及二面角的平面角的定义； 2．学生通过具体情境分析、探索平面与平面垂直的判定定理；3．利用判定定理判定或证明简单的平面与平面垂直问题，初步掌握平面与平面垂直的判定方法。
能力目标1．结合情境，通过自主探究逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力，着重培养学生的认知能力；2．引导学生从日常生活中发现判定定理，培养学生的发现意识和能力。
【教学重点、难点】 判定定理的证明及应用． 【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】 计算机、投影仪． 【教学过程】一、复习旧知，温故知新师:初中我们学过角的概念是什么？生：由一点引两条射线所组成的几何图形叫做角。
记作：AOB ∠师:什么是斜线与平面所成的角？生：斜线与斜线在平面内的射影所成的角。
师: 也就是说将线面角转化为线线角。
BAO〖设计意图〗复习旧知识，为新知识学习埋下伏笔。
二、创设情境，引入新课师:取一张纸，任意一折，这样一个平面就变成两个…… 生：相交平面师:此时这两个平面就成一定的…… 生：角度师:为此，我们需要引进二面角的概念，研究两个平面所成的角。
〖设计意图〗从现实生活中，学生所熟悉的简单直观的实际问题引入，使学生易于接受。
三、类比知新，了解概念师:如何定义两个平面所成的角呢？（引导学生类比初中学的角的定义） 二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的几何图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面。
记作：二面角βα--l 、二面角βα--AB 或者二面角D BC A -- 师:生活中有许多的二面角，你能举出一些实例吗？ 生：折纸，书打开，门打开等。
8.6.3平面与平面垂直教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
平面与平面垂直（第1课时）一、教学任务分析(一)教材地位分析平面与平面垂直选自《普通高中课程标准教科书·数学（必修2）》（人教版A版）第八章第六节的内容，共需2个课时，其中“二面角与二面角的平面角”“两个平面垂直及其判定定理”属于第1课时，“平面与平面垂直的性质定理”属于第2课时。
平面与平面垂直是空间垂直关系的重点和难点内容，是转化和降维思想的重要体现。
该内容位于第八章结尾，研究内容与方法与研究平面与平面平行类似，同时，本节的学习将进一步完善空间观念。
(二)教学内容分析本节课研究的是平面与平面之间的特殊关系——垂直，因此主要以教师引导和学生自主探究相结合。
类似于定义直线与平面垂直的过程，首先给出二面角的概念，在引导学生思考二面角的度量问题，联系前面的学习经验，通过转化与降维的思想得到二面角的平面角的概念，进而实现以直线与直线垂直为基础定义平面与平面垂直。
在此基础上，引导学生结合实例观察思考并小组讨论，归纳出面面垂直的必要条件，从而得到平面和平面垂直的判定。
二、学情分析通过前面对的直线与平面平行、平面与平面平行、直线与直线垂直、直线与平面垂直等知识的学习，学生已经有了运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算来学习、研究立体几何的经验，掌握了平面化的方法，对线线、线面、面面之间的关系的转化也已经比较熟悉。
因此采用启发引导、探究和小组讨论等多元结合的教学方法，通过具体情境引发学生主动的思考和探究，借助一系列问题引导学生发现和归纳，进而实现从具体到抽象的过渡，理解和掌握定义，直观感知定理。
但本节课的抽象程度较高，故采用多媒体辅助教学，并注重借助长方体、引导学生正确作图来帮助直观感知。
三、设计理念1.立体几何的学习抽象程度较高，对直观想象、逻辑推理和数学运算等方面的要求较高，其中位置关系的研究聚焦在“平行”和“垂直”上，这是学习立体几何的两个重点部分。
而研究过程中，首先通过直观感知和操作确认来帮助学生由浅入深，有利于联系生活实际、激发学习兴趣，再进行推理论证、度量计算，从而实现由表及里、由定性到定量，深化对空间图形认识的过程，帮助学生逐步建立空间观念，体会数学源于生活，感悟数学的严谨性与逻辑性。
高中数学234平面与平面垂直的性质教案新人教A版必修2教案
高中数学234平面与平面垂直的性质教案新人教A版必修2教案教学内容：高中数学《平面与平面垂直的性质》教学设计教学目标：1.理解平面与平面垂直的定义；2.掌握平面与平面垂直的判定方法；3.运用平面与平面垂直的性质解决实际问题。
教学重点：1.平面与平面垂直的定义；2.平面与平面垂直的判定方法。
教学难点：1.运用平面与平面垂直的性质解决实际问题。
教学准备：1.多媒体设备；2.教学课件；3.板书工具。
教学过程：Step 1：导入新知以两面相交直线的垂直为例，复习垂直线段的定义与判定方法，并引入本节课的主要内容：平面与平面垂直。
Step 2：引入新知1.解释平面与平面垂直的定义：当两个平面的交线与其中一个平面的一条直线垂直时，称这两个平面垂直。
2.图示两个平面垂直的情况，强调交线与直线垂直的关系。
Step 3：判定平面与平面垂直的方法1.利用平面与直线垂直的性质，结合两个平面所包含的直线，判定两个平面垂直。
2.指导学生通过观察图形，判定哪些平面是垂直的。
Step 4：例题讲解结合具体示例，讲解平面与平面垂直的判定方法。
例题：已知平面P与平面Q的交线与直线l垂直，l与平面Q的交线与平面R的交线垂直。
问平面P与平面R是否垂直？解题思路：由已知条件可知，平面P与平面Q的交线与直线l垂直，说明平面P与平面Q垂直；同时l与平面Q的交线与平面R的交线垂直，说明平面R与平面Q垂直。
因此，根据垂直的传递性推论，可以得出平面P与平面R垂直。
Step 5：解决实际问题给学生提供一些有关平面与平面垂直的实际问题，引导学生用所学知识解决问题。
Step 6：归纳总结总结平面与平面垂直的定义与判定方法。
Step 7：课堂练习布置一些练习题，让学生进行巩固练习。
Step 8：作业布置布置课后作业，要求学生进一步巩固所学知识。
教学反思：通过本节课的教学，学生能够理解平面与平面垂直的定义，并能够熟练运用判定方法解决问题。
同时，通过解决实际问题的训练，提高了学生的应用能力。
8.6.3平面与平面垂直的判定教学设计2023-2024学年高一下学期数学人教A版2019必修第二册
教学设计标题：平面与平面垂直的判定学情分析：学生前面已经学习了面面平行以及线面垂直，有了知识储备，并且大部分同学已经具备了一定的空间想象能力、基本的逻辑推理思维、书写的规范性等.然而，对两个平面的垂直关系还停留在感性的认识阶段，还没有上升到理论，学生还不知道应该如何定义和判定两个平面互相垂直，还未能建立起各种垂直关系之间的联系，还没有形成完整的空间知识结构体系，学生内在的知识网络还有待进一步清晰化，所以学生在学习的过程中要适时的引导，关注学生的学习过程．教学目标：1.通过实例，引导学生运用类比的思想，提出平面与平面垂直关系的判定方法，提升直观想象、数学抽象和逻辑推理素养；2.学生通过直观感知、推理论证等探究过程，领悟研究几何问题的基本思路，提高运用图形语言、符号语言和文字语言表达与交流的能力；3.学生通过对实际问题的分析和探究，能将现实空间问题抽象为数学问题，并通过研究性学习的实践与展示，体验敢于探究、乐于探索和勇于创新的科学精神．教学重难点：教学重点：二面角的概念和平面与平面垂直的判定定理教学难点：平面与平面垂直的判定定理的形成过程角，就说这两个平面互相垂直平面角例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，找出下列二面角的平面角.(1)D1-AB-D (2)C1-BD-C (3)C-C1B-B1在正方体中设置两个二面角的问题学生通过抢答的方式找二面角的平面角，借此巩固二面角及其平面角的相关概念，并通过后面两个直二面角的问题，引发对判定定理的期待. （学生答完一题后，课件上展示二面角问题的图形并揭示答案）到直角，操作性有待改善，联想其它位置关系都有判定定理，因而激发学生对平面与平面垂直的判定定理的思考和期待，进而开启下一个内容，也就是难点内容，使得教学过程更流畅自然。
探究面面垂直判定定理(三)活动探究面面垂直的判定定理情景一：转动的门跟地面情景二：建筑工人砌墙，常用铅锤检测所砌的墙面与地面是否垂直，如果系有铅锤的细线紧贴地面，就说明墙面与地面垂直，不然就不垂直。
5.2平面与平面垂直-北师大版高中数学必修第二册(2019版)教案
5.2 平面与平面垂直-北师大版高中数学必修第二册（2019版）教案一、教学目标1.能够理解平面与平面垂直的概念，并用数学语言描述；2.能够根据所给定的条件，判断两平面之间的垂直关系；3.能够通过实例分析，应用垂直条件解决相关问题。
二、教学重难点1.教学重点：平面与平面垂直的概念、判断两平面之间的垂直关系、垂直条件的应用；2.教学难点：垂直条件的应用。
三、教学内容及课时安排1.教学内容：•平面与平面垂直的概念；•判断两平面之间的垂直关系；•判断两平面之间的垂直关系的条件；•垂直条件的应用。
2.课时安排：本节课需要2课时。
四、教学步骤和过程1. 概念教学•共面直线：在同一个平面内的两个直线相交，它们所在的平面称为共面直线；•平面：三维空间中无限多个点组成的一个平坦面，它有无限多个方向；•平面的方程：平面再三维坐标系中可以用一般式和点法式表示；•平面的垂线：从一个点出发，与平面垂直的直线称为平面的垂线；•平面与平面垂直：若两平面所在的直线互相垂直，这两个平面就是垂直的；•垂直条件：两个平面垂直的等价条件是它们的法向量的点积为零。
2. 方法讲解•如何根据垂直条件判断两个平面是否垂直；•解决实例问题的思路和方法。
3. 练习与讲解1.根据垂直条件判断以下两组平面是否垂直•x+y−z+1=0和2x+2y+2z−4=0•2x−y+3z=1和4x−2y+6z=82.某家具店的展厅长方体长为4m，宽为3m，高为2.5m。
展厅的顶棚与地面平面垂直，请问它的顶棚与每堵墙都垂直吗？五、教学反思本节数学课主要讲解了平面与平面垂直的概念、如何判断两平面之间的垂直关系以及相关的垂直条件。
在教学过程中，结合实例并让学生自己思考问题能够更好的加深理解，培养学生的分析和理解能力。
同时，通过课堂训练，学生的运用垂直条件的技能与能力得到提升。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《平面与平面垂直复习》教学设计■ 一、教学内容分析——————————————————————————————本节内容是人教 A 版必修二第 2 章第 3 节《直线、平面垂直的判定及其性质》的部分内容，平面与平面的垂直是空间两个平面的一种重要位置关系，是继教材空间平行位置关系、直线与直线的垂直、直线与平面的垂直之后的迁移与完整性拓展，而本课时是在完整学习完本节内容后的单元复习。
学生通过该复习课的学习，能加深理解平面与平面垂直的定义、定定理和性质定理、理顺知识结构体系、提高綜合能力.判■ 二、学生学习情况分析————————————————————————————在本节课之前，学生已经完整学习了高中必修 2 教材安排的所有空间位置关系知识，直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直关系已经有了初步的认识和理解，初步运用相关定理进行空间位置关系的判断与证明，在知识和方法上已经有了一定的储备，但在空间想象能力和逻辑思维能力上仍有待进一步提升.对并能■三、教学目标————————————————————————————————1、知识技能：（ 1）进一步加深理解和掌握平面与平面垂直的定义、判定定理及性质定理，并能应用定理解决相关问题.（ 2）理顺空间垂直位置关系的知识构架，并能应用相关知识对问题进行分析、转化和解决 .2 、过程与方法：通过平面与平面垂直判定和性质定理的综合应用，以及空间问题平面化的思维方式，体会化归思想方法的应用．3、情感目标：借助实物模型及计算机软件演示对空间垂直位置关系进行观察，体会学科知识的学习与实际生活以及信息技术的联系，提高学习兴趣，激发学习欲望和探究精神，养成独立思考、交流合作的良好学习习惯，增强协作共进的团队精神。
■ 四、教学重点与难点—————————————————————————————教学重点：平面与平面垂直的的判定定理和性质定理的应用.教学难点：平面与平面垂直判定定理、性质定理的应用 . 应用定理证明问题过程中表述的条理性和严谨性 .■五、教学策略分析——————————————————————————————为实现教学目标，结合学生的实际情况，这节课选用了综合型教学策略。
在内容上精编典型例题与练习，学生在通过独立思考、合作交流、互评互助学习或完成这些例题练习的过程中，实现灵活应用相关定理分析问题、解决问题目的；在形式上，采用集体教学、师生互动、分组探究、个别指导等多种形式相结合，学生在学习中既能感受轻松愉悦的参与感、又能体验被个别关注的存在感；在方法技术上，将实物模型观察、计算机软件演示、思维导图展示、幻灯片播放等引入课堂，学生既可以借助这些技术手段帮助思考，同时还可以体会学科知识的学习与实际生活以及信息技术的联系，从而提高学习兴趣，激发学习欲望和探究精神。
■ 六、教学过程设计——————————————————————————————教学环节（一）回顾知识强化记忆教学内容师生活动回顾平面与平面垂直的相关知识，展示平面与平面垂直在空间垂直位置关系之间的的地位以及知识之间的联系师生共同浏览幻灯片回顾知识；学生完成完成三种语言转化表格学案上三问题 1：请同学们完成以下表格！种语言的转化表格，教师板书判断定理和性质定理，而后放幻灯片幻灯片和学生一起核对答案设计意图学生通过浏览了解整个小节知识框架和地位，培养学生看待问题的整体意识和联系意识的习惯。
学生通过完成表格方式替代老师念读或幻灯片放映，既强化了对知识的理解和记忆，同时也在这样的学习习惯中养成自主学习意识.请大家核对答案教学环节（二）分析强调、深化理解教学内容师生活设计意图动平面与平面垂直判定定理和性质定理是平面与平面垂直的主要知识 .（1）强调定理要点判定定理：“线面→面面” ；关键字“过” 、“垂线”性质定理：“面面→线面” ；关键字“内” 、“垂直”、“交线”师生共同（ 1）对判断定理和 性 质 圈 点 强 回顾定理调，一方面可以中的转化强化对结论知识思想，圈的记忆，加深理点关键字解，另一方面也为接下来应用定 理解决问题做好 准备（ 2）通过对“三节棍”模型的回 （2）回顾定理的简单应用顾，学生可以再次经历并熟悉定理的简单应用， 问题 2：哪位同学分享一下对“三节棍”模型探究结果？同时形成部分数师生共同学问题的模型化 问题 3：在“三节棍”模型学习中我们总结的经验是什么?认识，为接下来回顾“三 的应用定理解决节棍”模 例题做好准备。
型，共同 （ 3）网络视频教分析该模 学的提前准备为 型的特点 学生进行后续学和模型中 习提供条件，二维码扫描链接使定理的应 得教学与信息技 用术充分结合，让 教与学可以在手 中信息设备上得 以实现。
使得手机的使用成为学习的一个辅助。
教学环节（三）例题练习、尝试应用教学内容师生活动 设计意图学生读题 通过数学几何体空想象几何 间形象和模型的观察认识，学生更加容体的空间 易理解题目条件， 熟 形象悉题目背景。
探究性趣味问题（ 1）的设 教师展示 置旨在调动学生课堂参与度和学习积几何模具极性。
合作交流寻求（1）熟悉题目背景几何体，理解题目条件一边看题一边想象几何体的空间形象观察模具（2）分析问题，寻找解决问题的突破口问题 4：哪位同学说说一下对问题的思考？我们分析题目所给条件寻找PO 垂直于平面ABCD 的依据强调：证明两个平面垂直就是在一个平面内找另一个平面的垂线问题 5：还有其他的解决方法吗？问题 6：从刚刚例题的学习，你学习到了什么经验？请完成解题反思垂直平面对数，增强协作共进的团队合师生共同作精神。
通过数学几何体空间形象和模借助模具型的观察认识，学生探究问题更加容易理解题目条件，熟悉题目背（ 1）景。
提问学生通过对问题进行对问题分析，学生可以（2）的思体会和应用平面考，师生与平面垂直的判共同分析定定理和性质的题目的条定理在分析问题件和问题和解决问题中的转化功能，体会应用所学知识解决问题的心理愉悦。
通过进行条件分析，学生可学生板演以养成在深入挖例题 1 的掘题目隐含条件解答过的习惯。
程，提问板演及其点评旨学生对解在规范学生的解答过程的题格式，注重表评价。
述的条理性和严提问学生谨性。
对问题的不同解学生在多种方法法。
的发掘和变式思考的过程中养成发散思维的良好习惯，体会参与课堂的成就感和教师几何愉悦感。
画板演示动画。
借助信息技术将抽象问题形象化，将空间问题学生独立平面化、可视化。
完成解题反思，师生交流解题心得老师分享问题（ 1）的探究结果学生通过解题反思的完成，总结学习经验，升华方法、思想 .最后老师分享一下我对问题（1）的探究结果：共有五对相互最后老师分享问垂直平面。
题（ 1）的探究结果，呼应并解答有关问题（ 1）中探究的美一对平面垂直的证明和整个例题的了前面问题的提出，同时设置了学习视屏已经发到网上，欢迎有需要的同学观看学习。
新的问题，使得将课堂学习向课外延续。
教学环节（四）课堂练习、强化应用教学内容师生活动设计意图练习 1问题 7：大家可以对这位同学的证明过程进行一下评价吗？练习 2问题 8：哪位同学能分享一下你对语句②的思考？练习 3学生观学生通过合作交流、与人分享的探察、思考、讨的氛围中倾听、思考、表述，学会合作，并在合作中懂得欣赏他人 . 应用所学知识和思想方法独立完成练习，体验成功喜悦；提高分析问题和解决问题能力 .问题的设置在题型和题量都参照对比例题，并适当降低难度，学生在完成过程中一直带有数学感，易于激发思考兴趣，有利于学师生共同生将精力重点放在定理的应用和证明完成练习的表述上 .2的学学生通过练习 2 的习，师生学习可以提高空间共同应用想象能力，熟悉和模型辅强化判定定理和性助，找反质定理应用问题 3 的设置作为例。
寻找前面例题的一个进证明依一步提高，加深平据。
面与平面垂直的认识，进一步体会本过程，师生共同对过程过程进行点评1 的解答学生练习教师投影成练习，交流，完学生独立完。
教学环节（五）课堂小结、提升思维教学内容师生活动学生小结课堂收获，通过思维导图浏览阅读师生再次共同回顾空间垂直位置关系知识 .教学环节（六）课后自测、评价反馈1.课本 73 页 A 组第 4 题；2.例题 1（ 1）继续探究，并证明；3.下列说法中：①如果平面平面，平面平面，则平面// 平面；②如果平面平面，平面平面，l ，则 l平面；③如果直线 m直线n ，n平面，则 m //平面.正确的个数有 ______个 .4．练习 3（选做）节课涉及的数学思想方法和解题方法。
学生在解决问题 3 时，需要通过计算，利用勾股定理逆定理判断垂直，也是对垂直关系证明方法的一个补充。
设计意图开放式的小结设问 ,以闲话家常的模式 ,从“情感态度”的角度 ,学生可以检验自己的课堂收获和对整堂课全局上的把握.学生通过浏览阅读思维导图，易于构建空间垂直位置关系知识框架，体会知识之间的联系性和系统性，同时也为下节课对整章复习做好准备设计意图作业 3 是对练习2的一个补充，培养学生在解决立体几何问题时应重视模型思想，注重提高自身的空间想象能力。
作业 4 选做的设置，为课堂的时间把握留有余地，同时将不同程度的学生进行学业分层教学■ 七、板书设计——————————————————————————————PPT课题三、例 1一、判定定理四、学生板演练习二、性质定理■ 八、教学结果预测————————————————————————————通过本节课的学习，结合教学目标，从知识、能力、情感三个方面预测可能会出现的结果：1、学生对于空间垂直知识框架的构建、对平面与平面垂直判定定理和性质定理的内容能够基本上掌握；但在应用定理对问题进行分析、转化、解决上，在表述的调理性、规范完整性上，估计有部分学生还会有一定的困难，需要在以后的教学中进一步培养、提升和强化。
2、由于学生的层次不同，体验与认识有所不同。
对层次较高的学生，还应引导其形成更科学、严谨、谦虚及锲而不舍的求学态度；基础较差的学生，由于不善表达，参与性较差，还应多关注，鼓励，培养他们的学习兴趣，多找些机会让其体验成功。
设计说明：1、本节课的教学通过回顾知识、深化理解结论，构建知识框架达到对平面与平面垂直的知识复习，从而实现对教学重点的突显及难点的突破，接下来通过两个例题的讲解以及若干趣味性轻松的练习问题解决来实现对所复习知识的应用，在此过程学生实现提高分析问题、解决问题的能力，同时实现提高思维的逻辑性及解答规范性的目的。
2、本复习课的处理继续遵循“直观感知—操作确认—思辨论证—度量计算”的认知习惯展开，在问题解决过程中，多次从不同角度对研究问题进行实物展示，信息技术演示等，学生通过这些不同方式易于观察、判断。
3、立体几何结论的严谨科学表述是解决立体几何证明问题的一项重要能力要求，所以在教学过程从文字语言、图形语言、符号语言各个角度对对结论进行认识理解，学生在例题讲解过程中体验规范解答，在课堂练习中动手操作、分组讨论然后进行独立表述，这些环节的经历可以增强课堂体验感。