判断极点阶数的方法
极点及处理方法课件
对极点。
极点的作用
极点是函数性质的重要标志， 它们揭示了函数在零点附近的 阶数和变化性质。
在数学分析中，研究函数的极 点有助于理解函数的性质和行 为。
在应用领域中，例如物理学、 工程学等，研究函数的极点对 于解决实际问题具有重要的意 义。
极点研究的主要成果
经过多年的研究，科学家们在极点研究方面取得了显著的成果。这些成果包括对极点物质 的基本性质、结构特征、反应机理等方面的深入理解，为新材料的发现和应用提供了基础 数据。
极点研究的影响
极点研究不仅对基础科学研究有重要影响，还对实际应用领域具有指导意义。例如，通过 研究极点环境下的生物大分子结构与功能，有助于设计和开发新的药物和治疗方法。
详细描述
追赶法的基本步骤包括将三对角线性方程组转化为松弛形式 ，然后使用追赶过程逐步求解出前缀和，最终得到方程组的 解。该方法在处理大规模三对角线性方程组时具有较高的效 率。
04 极点处理的现代 方法
QR分解法
总结词
QR分解法是一种将矩阵分解为正交矩阵 和上三角矩阵的方法，广泛应用于极点 配置和处理问题。
05 极点处理的实际 应用
在方程组求解中的应用
线性方程组求解
对于高阶线性方程组，通过使用 极点法，可以将其转化为低阶方 程组，从而简化求解过程。
非线性方程组求解
对于非线性方程组，极点法可以 将其转化为线性方程组，然后利 用线性方程组的解来逼近非线性 方程组的解。
在最优化问题中的应用
极点搜索法
通过构造一个搜索方向，利用极点法 可以找到最优化问题的解。
对未来研究的展望
01
拓展研究领域
零点极点的计算公式
零点极点的计算公式
计算零点和极点是在控制系统和信号处理中非常重要的任务。
零点和极点是系统的特征，它们对系统的稳定性和动态响应有着重
要的影响。
在控制系统理论中，可以使用传递函数来表示系统的动
态特性。
传递函数通常表示为H(s)，其中s是复变量。
零点和极点
可以从传递函数中直接确定。
对于一个一般的传递函数H(s)，可以表示为H(s) = N(s)/D(s)，其中N(s)和D(s)分别是分子和分母多项式。
零点是使得传递函数为
零的s值，即N(s)=0的解。
极点是使得传递函数的分母为零的s值，即D(s)=0的解。
计算零点和极点的具体公式取决于传递函数的形式。
对于一阶
系统和二阶系统，可以直接从传递函数的表达式中找到零点和极点。
对于高阶系统，通常需要使用数值方法或者计算工具来找到零点和
极点。
总的来说，计算零点和极点的公式可以通过传递函数的分子和
分母多项式来确定，具体的计算方法取决于系统的阶数和形式。
在
实际工程中，通常会使用计算工具来进行零点和极点的计算，以便更准确地分析系统的特性和性能。
数学物理方法3-1
这表明，当 a k 时， z1是sinz–sina 的二阶零点， 2
1 从而是函数 sin z sin a 的二阶极点。 1 同理可证，当 a k 时，z2 是 sin z sin a 的一阶极点； 2 1 当 a k 2 时， z2 是 sin z sin a 的二阶极点。
解：sinz–sina 的n阶零点就是所给函数的n阶极点。
sin z sin a 0 sin z sin a
此三角方程有解：
z1 2n a z2 (2m 1) a (n, m 0, 1, 2,)
z1, z2 是函数sinz–sina 的零点，也就是
1 sin z sin a
b点为φ(z)=1/ f(z) 的m阶零点。 以上讨论：极点 零点
总之，如果点b为f(z)的一个m阶零点，则b点是1/ f(z)的 一个 m 阶极点，反之亦然。
补充：判断函数f(z)极点阶数的简便方法
设b点是f(z)的m阶极点，则
(非零的有限值)
即要求b点是f(z)的几阶极点，可先求出新函数(z–b)m f(z)
孤立奇点包括：可去奇点、极点、本性奇点。
下面从函数 f(z)在该点的极限性质与洛朗级数的展开性质，
即：
这样两个方面对这三类孤立奇点进行分析 (见下表) 。
名称 的洛朗级数 可去奇点 有限值
例子
无负幂项
极点
无限大
含有限个负幂 项
本性奇点
无定值
含无限多个负 幂项
对于正幂项到底含有多少项，那是无关紧要的(解析)本 质区别在于负幂项的个数(没有、有限项、无限项)，故负幂 项部分称为级数的主要部分，它决定函数在奇点的性质。 1 . 可去奇点 z =0是 (1) 极限性质： (2) 洛朗展开 的可去奇点 ——有限值
快速判断复变函数零点和极点的几种方法
快速判断复变函数零点和极点的几种方法要快速判断复变函数的零点和极点，可以使用以下几种方法：
1.零点的判断方法：
(1)方程求解法：将复变函数的表达式置为零，求解方程得到零点。
(2)图形法：将复变函数表达式代入计算机软件绘制图形，找出所有
与x轴相交的点即为零点。
(3)求导法：对复变函数进行求导，零点出现在函数图像的极小值和
极大值处。
(4)复数取模法：将复变函数的表达式进行复数取模，求解模为零的
解即为零点。
2.极点的判断方法：
(1)方程求解法：将复变函数的分母置为零，求解方程得到极点。
(2)求导法：对复变函数进行求导，极点出现在导函数无定义的点处。
(3)裂项法：将复变函数的表达式进行裂项，对每一个裂项进行求解，求得不可简化的分母即为极点。
(4)复数取模法：将复变函数的表达式进行复数取模，求解模趋近于
无穷大的解即为极点。
需要注意的是，以上方法仅仅是初步判断复变函数的零点和极点，并
不能保证找到所有的零点和极点。
对于更复杂的函数表达式，可能需要借
助计算机软件进行辅助计算。
此外，还有一些特殊的复变函数可以直接得到它的零点和极点：
-幂函数：复变函数形如f(z)=z^n，其中n为正整数。
这种函数的零
点就是原点z=0，而没有极点。
-指数函数：复变函数形如f(z)=e^z，其中e为自然对数的底数。
这
种函数的零点不存在，而它的极点在虚轴上的所有点。
总之，判断复变函数的零点和极点需要综合运用方程求解、函数图像、导数和复数的性质等方法，具体情况需要具体分析。
五章 留数及其应用
第五章留数及其应用§1. 孤立奇点一.孤立奇点的分类1. 孤立奇点的概念定义：若函数在点不解读，但在点的某一去心邻域内处处解读.则称为的孤立奇点.一.求下列函数的奇点，并各奇点是否为孤立奇点.<1） <2）<3）<4）注意:孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤立奇点.2. 孤立奇点的分类设为的孤立奇点,在点的洛朗展式为.(ⅰ> 若有恒成立，则称为的可去奇点.(ⅱ> 若有,但对于有恒成立，则称为的m阶极点.(ⅲ> 若有,则称为的本性奇点.说明: (1>为的洛朗展式，其和函数为在点解读的函数.(2> 无论函数在点是否有定义，补充定义则函数在点解读.3. 孤立奇点的类型的判断(1> 可去奇点的判定方法定理1设在点的某一邻域内解读,则为的可去奇点的充分必要条件是:.定理1’设是的孤立奇点,则为的可去奇点的充分必要条件是:在内有界.(2> 极点的判定方法结论：是的m阶极点的充要条件是:其中在邻域内解读,且.定理2设在点的某一邻域内解读,则为的极点的充要条件是:是的m阶极点的充要条件是:其中为一确定的非零复常数,m为正整数.(3> 本性奇点的判定方法定理3设在点的某一邻域内解读,则为的本性奇点的充要条件是:极限与均不成立.一.判断下列函数的奇点的类型：<1） <2）<3）二. 函数的零点与极点的关系定义：若有正整数m,使得,其中在点解读且,则称为的m阶零点.定理4若在点解读,则为的m阶零点的充要条件是:但一.判断函数的零点及其阶数.定理5 若为的m阶极点,则为的m阶零点.反之亦然.一.判断函数的极点及其阶数.三.函数在无穷远点的性态定义：若存在R>0,有函数在无穷远点的邻域内解读,则称无穷远点为的孤立奇点.设在无穷远点的邻域内的洛朗展式为那么规定:(ⅰ> 若有恒成立，则称为的可去奇点.(ⅱ> 若有,但对于有恒成立，则称为的m阶极点.(ⅲ> 若有,则称为的本性奇点.定理6设在区域内解读,则为的可去奇点、极点和本性奇点的充要条件分别是:极限存在、为无穷及即不存在,也不是无穷.一.判断下列函数的奇点的类型：<1）<2）<3）<4）例6. 判断函数的孤立奇点的类型.§2. 留数一.留数的概念及留数定理定义：设为解读函数的孤立奇点,其洛朗展式为,称系数为在处的留数,记作Res.例6求在孤立奇点0处的留数.例7求在孤立奇点0处的留数.例8求在孤立奇点0处的留数.定理7(柯西留数定理> 设在区域D内除有限多个孤立奇点外处处解读,C是D内包围各奇点的任意一条正向简单闭曲线,那么说明：留数定理把计算周线上的积分的整体问题转化为函数在周线所围成的区域内的各个孤立奇点处的留数的局部问题.例9 计算积分.二. 函数在极点的留数法则Ⅰ如果为的简单极点,则Res.例10 求在各孤立奇点处的留数.法则Ⅱ设,其中在点解读,如果为的一阶零点,则为的一阶极点,且例11 求在的留数.法则Ⅲ如果为的m阶极点,则Res.例12求在孤立奇点0处的留数.例13 计算积分例14 计算积分三. 无穷远点的留数定义：设函数在区域内解读,即为函数的孤立奇点,则称为在的留数,记作Res.定理8如果函数在z平面只有有限多个孤立奇点(包括无穷远点>,设为.则在所有孤立奇点处的留数和为零.法则Ⅳ(无穷远点的留数> 若为函数的孤立奇点,则Res Res.例15 求在它各有限奇点的留数之和.例16计算积分其中C为正向圆周§3. 留数在定积分计算中的应用一.形如的积分思想方法:把定积分化为一个复变函数沿某条周线的积分 .两个重要工作:1> 积分区域的转化,2> 被积函数的转化.当从0到时,z沿单位圆的正向绕行一周.例17 计算的值.二. 形如的积分设为复函数的实值形式,其中满足条件:(1> 。
极线极点定义
极线极点定义1. 什么是极线和极点？在计算机视觉领域中，极线和极点是一种用于描述两张图像之间对应点关系的概念。
当我们有两张视角不同的图像时，比如来自不同相机或者同一个相机在不同的位置和朝向下拍摄的图像，我们希望能够找到它们之间的对应点，以便进行立体视觉、图像匹配或者SLAM等计算机视觉任务。
极线表示的是在一副图像上的一个像素对应于另一副图像上的一条线。
而极点则是在另一副图像上的一个像素，它恰好属于极线。
简单来说，极线是一种几何约束，它定义了对应点必须在哪些位置上寻找，而极点则是在另一张图像上的一个确定位置。
2. 极线和极点的计算方法计算极线和极点的方法有很多种，下面我们将介绍一些常用的方法。
2.1 极线的计算给定两张图像，我们可以通过基础矩阵或本质矩阵来计算它们之间的极线。
A. 基础矩阵基础矩阵是描述了两个图像间的对应关系的一个重要矩阵。
给定一对对应点，我们可以利用这些点来计算基础矩阵。
基础矩阵F满足以下条件：•对于每一对对应点(x1, x2)，我们有 x2^T * F * x1 = 0•F的秩为2通过计算基础矩阵，我们可以得到每个像素在另一张图像上的极线。
B. 本质矩阵本质矩阵是描述了两个图像间相对运动的一个重要矩阵。
给定相机的内参矩阵，我们可以通过本质矩阵来计算相机的旋转和平移。
本质矩阵E满足以下条件：•对于每一对对应点(x1, x2)，我们有 x2^T * E * x1 = 0•E的秩为2通过计算本质矩阵，我们可以得到每个像素在另一张图像上的极线。
2.2 极点的计算在得到了极线之后，我们可以通过极线来计算极点。
对于一条极线，它可以由两个像素点确定：在第一张图像上的一个像素点和在第二张图像上的一个像素点。
这两个像素点分别属于极线，它们共同决定了极线的位置。
假设给定了一条极线和一个像素点，我们可以通过求解极线与像素点的交点来得到极点。
交点的坐标即为极点的坐标。
2.3 其他计算方法除了上述介绍的基于基础矩阵和本质矩阵的计算方法，还有其他一些方法可以计算极线和极点。
极值和零点的关系
极值和零点的关系
极点与零点深刻反映了复变函数的部分重要的性质，因此，快速判断函数的零点和极点，对于研究复变函数的性质是非常重要的。
在定义上，零点和极点有相似之处，这使得极点与零点的判别紧密相关
先来看定义
可以看到，m级极点与m级零点的区别就在于(z-z0)的幂数的正负性，而一旦判别了零点或极点，就可以推知另一者，所以可以得到z0为复变函数f(z)的m级零点是z0为复变函数
1/f(z)的m级极点的充要条件
而对于零点，则有如下判定定理
有了零点和极点的关系，我们就可以简化极点级数的求解方法
p>=q时，h(z)可以写成(z-z0)^(p-q)φ(z)，于是z0为可去奇点
p<q时，z0自然为h(z)的q-p级极点
下面来看一道例题
z的孤立奇点为2kπi(k=0,±1,±2…)
k=0时，把sinz/(e^z-1)展开
h(0)=1，于是0为f(z)的一级极点
k=±1,±2…时
sinz/z≠0，e^z-1=0，(e^z-1)'=1
于是为f(z)的一级零点，也为一级极点
直接把函数展开为洛朗级数来判断极点级数是非常难的，但是如果利用函数零点来判断极点则能大大简化计算难度。
上面介绍的方法，适用于任何函数形式的极点阶数的判定
参考资料
[1]快速判断复变函数零点和极点的几种方法.张晓斌.科学咨询.2020.7
[2]关于复变函数极点的讨论.郑富年桑明煌罗开基.九江师专学报.1997.11。
习题06奇点,留数
ζk
∞
ζ k +1
t −( k +1) ，即 ∞ 点为本性奇点。 f (1/ t ) = 2∑ k = 0 ( k + 1)( 2 k + 1) !
f ( z ) = 2∫ e
0
z
(
ζ
− e−
ζ
)d
ζ = 2 e z + e − z − 2 ，即除 ∞ 点外无其他奇点。
(
)
ez ez （1） ， z0 = 1 ； （2） ， z0 = 1 ； 121．求下列函数在指定点 z0 的留数： 2 z −1 ( z − 1)
( z − 2nπ i ) ( z − e z + 1)
z ( e z − 1)
z → 2 nπ i
z → 2 nπ i
= lim
z → 2 nπ i
所以 2nπ i （ n = ±1, ±2,
）是一阶奇点。由于 2nπ i → ∞ ，所以在 ∞ 点的任一邻域内有无
穷个奇点，即 ∞ 是非孤立奇点。 （6） f ( z ) = z −1 −
−1 −1 z = ( z − 2nπ ) ⎡ 1 − cos ( z − 2nπ ) ⎤ + 2nπ ⎡ 1 − cos ( z − 2nπ ) ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 − cos z
1 −1 ⎡ 2 4⎤ = 2 ( z − 2nπ ) ⎢1 + ( z − 2nπ ) + O ( z − 2nπ ) ⎥ ⎣ 12 ⎦ 1 −2 ⎡ 2 4⎤ +4nπ ( z − 2nπ ) ⎢1 + ( z − 2nπ ) + O ( z − 2nπ ) ⎥ ⎣ 12 ⎦
ez
（1） res f (1) = lim ( z − 1) f ( z ) = e 。
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判断极点阶数的方法
已知0z 是()z f 的n 级极点，是()z g 的m 级极点。
（一）0z 是()()z g z f 的m+n 级极点
()
的二级极点是则的一级极点的一级极点，是是例如：1
1
0;1110-=-=z z e z z e z z
（二）如果n m ≠，则0z 是()()z g z f ±的),max(n m 阶极点
的二级极点是则级极点的级极点，是的是
例如：1
110;11121022-+=-=z z e z z e z z 如果n m =，则需要把()()z g z f +通分成
()
()
z g z f 11这种形式 ()
判断。
再用下面（三）的方法通分成需要把的一级极点
却不是则的一级极点的一级极点，是是例如：,1
111111
10;1110-------=-=z
z z z z e z z
e e z e z z e z z 已知0z 是()z
f 1的n 级零点，是()z
g 1的m 级零点。
（三）0z 是
()
()
z g z f 11的m-n 级极点，其中0>-n m ， (
)
(
)
级极点的是
则级零点的级零点，是的是例如：21
sin 0;311sin 02
2
-=-=z z e z z
z e z z z
如果0≤-n m ，则0z 是
()
()
z g z f 11的可去奇点。
(
)
()
的可去奇点
是则级零点的级零点，是的是例如：1
10;21210---=---=z z z
z
e z z
e z e z z e z 判断零点阶数的方法
已知0z 是()z f 1的n 级零点，是()z g 1的m 级零点。
（四）0z 是()()z g z f 11的m+n 级零点
(
)
的二级零点
是则的一级零点的一级零点，是是例如：10;10-=-=z
z
e z z e z z
（五）如果n m ≠，则0z 是()()z g z f ±的),min(n m 阶零点
()
级零点
的是则级零点的级零点，是的是例如：110;112022-+=-=z z e z z e z z
如果n m =，则需要对()()z g z f ±用（六）的方法判断
()
级零点。
级零点，而是的却不是级零点的级零点，是的是例如：211;1110z e e z z z z ---=（六）判断0z 是()z f 1的n 级零点的方法有两个
1. 求导法，如果()()()
()0;1,,1,0,00101≠-==z f n k z f n k Λ，则0z 是()z f 1的n 级零点
简单的说，就是求导一直到在0z 点的导数不等于零了，导几次就是几级零点。
级零点的是所以例如：1sin 0,010cos 0n si ,00sin z ≠=='=
(
)级零点的是所以例如：110,011
,010
0-≠=='
-=-==z z z
z z e e e e
()
()级零点
的是所以例如：2cos 10,010cos 0n si ,00sin cos 1,00cos 10
z z z -≠=='=='-=-=(
)(
)级零点
的是所以例如：210,011
,011,0100
00
z e e e e z
e z e z z z z z z --≠=='
-=-='
--=--== 2. 级数法， 如果()()
()()
Λ+-+-=-=
+++∞
=∑1
0100
1n n n
n n
k k
k
z z c z z c z z c z f ，则0z 是()z f 1的n 级零点
也就是说()z f 1在0z 点展成泰勒级数的第一项的幂次是n ，那0z 就是()z f 1的n 级零点
级零点
的是所以例如：1sin 0,!3sin 3z z z z Λ+-=级零点的是所以例如：110,!
212
-++=-z z
e z z e Λ
()级零点的是所以例如：2cos 10,!
4121cos 14
2z z z z -+-=
-Λ （七）0z 是()k
z
f 1的n k *级零点
级零点的是级零点的是例如：2sin 0,1sin 02z z
级零点的是级零点的是例如：41,1104
--z z e e。