零点与极点计算和分析
关于放大器极、零点与频率响应的初步实验
1．极零点的复杂性与必要性
一个简单单级共源差分对就包含四个极点和四个零点，如下图所示：
图1 简单单级共源全差分运放极零点及频率、相位响应示意图
上图为简单共源全差分运放的极零点以及频率响应的示意图，可以看到，运放共有四个极点，均为负实极点，共有四个零点，其中三个为负实零点，一个为正实零点。后面将要详细讨论各个极零点对运放的频率响应的影响。
正在设计中的折叠共源共栅运算放大器的整体极零点方针则包括了更多的极零点（有量级上的增长），如下图所示：
图2 folded-cascode with gain-boosting and bandgap all-poles details
图3 folded-cascode with gain-boosting and bandgap all-zeros details
从上述两张图可以看到，面对这样数量的极零点数量（各有46个），精确的计算是不可能的，只能依靠计算机仿真。但是手算可以估计几个主要极零点的大致位置，从而预期放大器的频率特性。同时从以上图中也可以看到，详细分析极零点情况也是很有必要的。可以看到46个极点中基本都为左半平面极点（负极
点）而仿真器特别标出有一个正极点（RHP ）。由于一般放大器的极点均应为LHP ，于是可以预期这个右半平面极点可能是一个设计上的缺陷所在。（具体原因现在还不明，可能存在问题的方面：1。推测是主放大器的CMFB 的补偿或者频率响应不合适。 2。推测是两个辅助放大器的带宽或频率响应或补偿电容值不合适）其次可以从极零点的对应中看到存在众多的极零点对（一般是由电流镜产生），这些极零点对产生极零相消效应，减少了所需要考虑的极零点的个数。另外可以看到46个零点中45个为负零点，一个为正零点，这个正零点即是需要考虑的对放大器稳定性产生直接影响的零点。
以上只是根据仿真结果进行的一些粗略的分析，进一步的学习和研究还需要
进行一系列实验。
1． 单极点传输函数——RC 低通电路
首先看一个最简单的单极点系统——RC 低通电
路，其中阻值为1k ，电容为1p ，传输函数为：
sRC
s H +=11)( 则预计极点p0=1/（2πRC ）=1.592e8 Hz ，仿真得
到结果与此相同。
而从输出点的频率响应图中可以得到以下几个结
论：
图4 一阶RC 积分电路
1）-3dB 带宽点（截止频率）就是传输函数极点，此极点对应相位约为-45°。
2）相位响应从0°移向高频时的90°，即单极点产生+90°相移。
3）在高于极点频率时，幅度响应呈现-20dB/十倍频程的特性。
图5 一阶RC 电路极点与频率响应（R=1k C=1p ）
2． 单极点单零点系统——CR 高通电路
简单的一阶CR 电路，阻值/容值不变，传输函
数为
sRC
sRC s H +=1)( 预计系统存在单极点p0=1/2πRC ，单零点
z0=0，仿真得到单极点 1.592e8 Hz ，单零点
8.835e-6 Hz ，极点位置同RC 电路，零点位置
可以理解为一个无限趋近于零的值。
从频率响应曲线中同样有以下结论：
图6 一阶CR 电路
图7 一阶CR 电路幅频、相频响应 （C=1p R=1k ）
1）频率为0Hz （零点）时幅度为0（换算为dB 时为负无穷大，故零点只能用一个ε小数表示），-3dB 带宽（下截频）即为极点所在，对应相位45°。
2）相位响应从90°移向高频时的0°，即单极单零系统产生-90°相移。（可以这样理解，零点使系统已经从极低频的180°相移并稳定到90°，然后
单极点最终产生-90°相移，使相位最终稳定在0°）
3）零点频率之上，极点频率之下，幅度响应为+20dB/十倍频，极点频率之上为0dB 。结合单极点系统-20dB/十倍频的幅度响应特性可知，零点产生
+20dB/十倍频的特性，并且极零点对幅度响应的影响可以叠加。
（证明：
1lg(*20||sRC
sRC dB Av += 极低频时，极点不起作用，即1>>sRC
从而)lg(*20)1lg(*20)lg(*20||sRC dB sRC dB sRC dB Av ≈+?=
于是|Av|=20dB*lg(s) +C （即低频时为+20dB/十倍频）
高频时，sRC>>1，从而
11≈+sRC
sRC ，于是|Av|=0。） 3． 两阶RC 系统
以上看到的一阶RC/CR 电路均为最简单的非线性系统。R 和C 的任意组合将可能产生极为复杂的系统，分析其传输函数将是一个求解高阶线性方程组的过程，使得精确的手算分析基本不可能。但是对于实际应用的单极或多极放大器来说，其RC 拓扑结构有其特殊性，一般都是π形电容结构，如下图：
这相当于一个两级放大器的电容
电阻负载图。其中两纵向电容为两
级放大器的容性负载，横向电容为
包括Cgd 结电容和补偿电容在内
的密勒电容。而且一般来说横向电
容的值远大于两纵向电容。这将可
能使两个极点的位置相隔较远，从
而可能可以采用某种近似来估算。
因此研究这样一个系统有实际意
义。（注意一个单纯这样的网络只
图8 π形RC 网络 是一个微分器高通网络，适合放大
器的两级π模型还应该加上一个压控电流源。
首先考察没有横向电容，仅有两个纵向电容的情况。原理图如下：
图9 两阶RC 网络
这个原理图同上述π网络稍有不同。注意到如果R2不是横向连接的话系统将为单极点系统（两个C 并联为一个电容）。为了使实验结果更加清晰，对这两个电容做了量级上的处理，即两纵向电容值分别为1u 和1p ，电阻值均为1k 。这样做的理由是使两个极点分离得比较远。仿真得到系统包含两个极点
1.592e2 Hz 以及1.592e8 Hz ，正好分别是和。对于这个系统尚可用手算精确求得极点所在。运用KVL 和KCL ，最后求解极点方程：
111)2(?C R π122)2(?C R π01)1(2
21111212212=++++C R C R C R C C R C C s s 在C1>>C2的假设下，这个方程的解可以近似得到为1/R1C1和1/R2C2，与仿真结果相同。但是应该看到，在两级时间常数相近的情况下，无法运用以上近似。该传输函数的频率响应图如下：
图10 两阶RC 系统幅频、相频响应图
从上图中可以得到以下结论：
1）低频时幅度为0，相位也为0°；-3dB 带宽为159Hz ，即为第一极点所在（称为主极点），主极点对应相位为-45°；主极点之后的一段幅度响应呈
现-20dB/十倍频特性。这些结论同前面得到的结论类似。
2）由于经过设计，使两个极点分离较远，因此在频率f 满足p0< 3）幅度响应曲线存在明显的拐点。第二极点处（次极点）对应相位为-135°， 即在-90°平台的基础上再次移动-45°，在幅度响应对应次极点处向上移动3dB，可以看到近似为幅度响应曲线的拐点所在。该拐点对应的相位点无明显特征。 4）次极点之后的幅度响应呈现-40dB/十倍频的特征，可以证明为两个极点对幅度响应的效果的叠加。对相位响应，在经过一定的相移之后相位响应稳定于-180°可以预期每个极点将使相位响应最终相移-90°。 根据上述得到的幅频、相频响应曲线可以进行一些推测和思考。 1）由于极点对幅度响应的影响表现为-20dB/dec，因此对一个实际的放大器来说，如果知道了低频增益Av和主极点，如果在主极点和第二极点之间不存在其他极零点的影响（关键是主极点和次极点之间不存在一个正零点），那么知道了Av和主极点，就可以对放大器的单位增益带宽做一个预期，如采用-20dB/dec或-6dB/octave估算。但从根本上这样估算的理由是放大器的带宽增益积是一个常数。 2）值得注意的是放大器的单位增益带宽点不是也不应该是次极点，与相位的对应（关系到相位裕度）也没有直接的关系。相关实验将在后面说明。3）回想相位裕度的定义是放大器在单位增益带宽处对应的相位值同-180°（-180°还是0°需要看低频相位）的差。因此，如果放大器的单位增益带宽恰好就是次极点的所在，那么相位裕度为45°，正好够了闭环稳定性的下限。考虑到实际中45°的取值是绝对不够的，应该提供更大的相位裕度如65°，则单位增益带宽点应该在次极点之内。——这也是单位增益带宽不应该是次极点的理由。同时可以推论，次极点实际决定了放大器的最大带宽。因此，如果AC仿真的带宽范围是从低频到单位增益带宽处，应该看到-20dB/dec才是理想情况（实际中可能包含极零点对，这样的响应很难得到）。 4）进一步推论：由于单极点系统相位最终将停留在90°，故单极点系统总是闭环稳定的，即相位裕度至少为90°。 4．单级共源、电阻负载、有输入阻抗的单管放大器频率响应 左图是一个单级共源放大器，为了将问题 简单化，没有采用实际中使用的有源负载 或者二极管负载。这样可以减少负载管结 电容的影响。Rs为信号源内阻， 在计算放大器频率响应时，一般会用到密 勒定理，即对于连接输入和输出的电容（相 当于反馈电容，本例中为Cgd）Cf来说， 当考虑输入端时间常数时，等效为输入端 并联一个电容为Cm=（1+|Av|）Cf的电容， 同时可以取消反馈电容；而考虑输出端时 间常数时，等效为在输出端并联一个电容为f M C Av C )| |11(?=的电容。这样可以化为两个简单的一阶RC 系统进行估算，将问题简化。不过应该注意的是两个等效（输入端和输出端）不能同时使用，即当估算输入端时间常数时，输出端仅应并联实际的负载电容，不应再考虑Cm=（1-1/Av ）Cf 电容的影响。而且应注意密勒定理仅能用来快速估算输入、输出时间常数，而将会漏掉一个零点，即密勒定理只考虑了极点情况而没有考虑零点情况。但在实际应用中，密勒定理仍有实际价值，因为对放大器的频率响应常常更关心极点的情况。 首先采用密勒定理估算放大器的极点情况。采用analogLib n33模型仿真。 输入nmos 管为8u/0.4u ，Rs=100k ，负载电阻RL=5k 。低频增益|Av|=6.2，mos 管跨导gm=1.33485m 。其中由仿真得到输入电容Cgs=11.3661f ，Cdb=1.09277a ，Cgd=3.0496f ，Cgb=1.04188f 。仿真得到两个极点，分别为：p0=4.61588e7 Hz ，p1=1.15656e10 Hz ，得到一个零点为z0=6.82626e10 Hz 。 对于输入端，输入电容为Cin = Cgs + Cgb + Cgd （1 + |Av| ）=34.3651fF 于是7631.43651.34*100*21210e f k C R p in s ===ππ （Hz ） 输出端电容为Cout = Cdb + Cgd ( 1- 1/Av) = 2.558f 于是10244.1558.2*5*21211e f k C R p out L ===ππ (Hz) 可见上述估算基本同仿真结果相近。 （问题： 上面采用的模型为analogLib n33模型（ms018_v1p6_spe.lib: section tt ）这 是一个比较理想的模型。但当采用Print-〉DC Operating Point 查看mos 管电容参数时，发现对同一参数存在两个不同的电容值，例如对于栅漏交叠电容Cgd 来说，理想情况下应该Cgd=Cdg ，但实际列出的参数中同时包括Cgd 和Cdg 两个电容而且电容值不相同，不仅如此，对于mos 管的各寄生电容均存在上述现象。特别是当选用实际与工艺相结合的仿真库Chartered 时，某些参数差别还比较大。下面列出了对于同一W/L 的nmos 管，三种仿真库下各寄生电容的值的一个初步比较： 表1 三种工艺相同W 、L 下管寄生电容值的比较 analogLib n33 Chartered nmos_3p3 TSMC nch Cgs 11.3661f 12.1048f 16.6876f Csg 10.5613f 7.74032f 15.9375f Cgd 3.0496f 1.72643f 2.29285f Cdg 3.0669f 5.23175f 2.37264f Cdb 1.09277a 992.412a 2.22305a Cbd 4.43654a 10.191a 13.3451a 对于Cgd 和Cdg 存在两种名字，仿真器说明文档里给出的解释是d g gd dV dQ C = ，g d dg dV dQ C =。其他情况以此类推，包括列出的参数中包括的Cgg 、Cdd 、Css 、Cbb 等一系列电容。 对于同节点电容电容值有差别的原因，一方面可以采用上述公式加以解释，另一方面，还有更极端的例子，如针对40u/2u 大尺寸nmos 管，见下面列表： 表2 成对电容参数的显著性差别示例 analogLib n33 Chartered nmos_3p3 TSMC nch Cgs 283.156f 261.629f 340.625f Csg 253.674f 145.026f 330.117f Cgd 15.4306f 8.96913f 11.8801f Cdg 15.507f 97.0139f 12.1985f Cdb 44.2014a 31.7396f 68.7948a Cbd 11.0283a 15.2231a 5.42101a 注意到TSMC 的各个参数都比较接近（除了Cdb 和Cbd ——但总归都是可以忽略的量级，不产生实际影响），而注意到Chartered 的各项参数，有的已经有量级上的变化，比如Cdb 和Cbd ，其中Cdb 的这个数值已经不能忽略！可能的解释：1）Chareted 的工艺的不稳定性，比如漏电流大（？）2）0.35工艺和0.25、0.18工艺上的不同（？） 以上问题还有待进一步研究。 ） 以上是采用密勒定理对放大器极点情况进行的一个估算。但是在手算估算 阶段欲估算放大器的极点情况，则需要首先估算出各节点的电容值，特别是 Cgs 和Cgd 。公式给出TOX WL WLC C ox ox gs ε3232'==，W CGDO C gd *=，以下试验了几个不同的WL 值，分析如下： （采用Chartered nmos_3p3库进行分析） 表3 不同W 、L ，栅源电容、栅漏电容值的分析与扫描 W (um) L (um) Cgs （fF ）Cgd (fF) Cgs/(WL)Cgd/W Csg Cdg Csg/W L Cdg/W 8 1 27.27 1.374 3.409 0.1717915.56 10.04 1.946 1.255 8 1.5 39.42 1.343 3.285 0.1678922.10 14.37 1.842 1.796 8 2 51.49 1.329 3.218 0.1660928.64 18.71 1.790 2.339 8 4 99.41 1.309 3.107 0.1636154.78 36.12 1.712 4.515 16 4 200.7 2.683 3.136 0.1677 110.4 72.86 1.725 4.554 20 4 251.4 3.390 3.143 0.16951138.3 91.25 1.728 4.563 30 4 378.2 5.229 3.152 0.17429207.8 137.3 1.732 4.577 40 4 505.17.198 3.157 0.17996277.4183.5 1.733 4.587 如上表所示，对于Cgs ，Cgs/（WL ）给出的值近似为一个常数，注意到 在WL 比较小时，这个常数离平均值的偏差较大，而当WL 较大时，常数的一致性较好，这可能是由于在栅面积比较小（WL 比较小）时，边缘电容效应的影响比较大。对于Cgd ，Cgd/W 的值常数一致性尚可。说明利用上述公式来估算Cgs 、Cgd 的值还是可行的。对于Csg 参数，逆推得到的常数值同Cgs 明显不同，基本上为1.8倍关系，但在WL 较大时，常数一致性也比较好（WL 较小时分析如前），说明对于Csg ，手算估算也是可能的。但对于Cdg 电容，虽然在L=4时，常数性较好，但对于L=4以下的值，明显偏离了Cdg 同W 之间的线性预期。说明对短沟道器件，估算Cdg 是比较困难的。关于Cdg 的估算，还需要做进一步分析和扫描。 由以上分析可以看到，精确的由手算来估计Cdg 等参数的值是比较困难 的，而且后面将会看到，某些情况的极点需要采用Cdg 来进行计算，因此这是另一个问题。另外，对于Cdb 电容，书上也给出了其值的计算公式，但考虑到这个值一般都会被忽略掉（对Chartered 工艺不是这样），故没有对这个公式进行考察。 虽然用公式可能无法对Chartered 的某些电容参数进行预估，但是后面将 会看到，其影响不会太大，因为随着电路的复杂化，仅用手算来估计极点的值将是不现实的。Gray 一书推荐的正确地进行极零点分析以及进行补偿的方法是：先采用计算机模拟仿真得到原始的极零点情况，然后估计补偿电容的值，加入电路中进行仿真，观察极零点情况，然后进行进一步调整并迭代以上步骤。因此包括Cgd 同Cdg 值不同，手算无法估算等问题，在实际应用中将会被仿真所解决。 Gray 一书上对上述电路给出了精确的推导和最后的极点公式，由于密勒 等效估算的结果同实际值比较接近，因此未对此精确公式（比较复杂）进行验证。但是精确的公式给出了单零点的所在：z0=gm/Cgd ，仿真给出z0=6.82626e10 Hz ，手算给出1093.60669.3*233485.120e f m C g z dg m ===ππ Hz ，精度尚可。但应注意，此处估算应该采用Cdg 而非Cgd 的电容值，比如针对一个极端例子输入管为40u/2u 的nmos_3p3 Chartered 器件，只能采用97f 的Cdg 来计算零点值，并且手算结果精度较好，当采用8f 的Cgd 值来计算零点值时，很明显产生量级上的偏差。这个例子说明仿真器的确是区分了两个电容值的，而且对Chartered 工艺，区分很显著（由于TSMC 工艺成对参数都比较一致，故无法验证）。后面的例子还将进一步给出使用Cgd 和Cdg 两种情况的比较并推测其使用场合。 下面是这个放大器的频率响应仿真曲线图：（analogLib n33库） 图12 单管共源放大器（非理想信号源）输出点频率响应曲线图 一些结论并不赘述。从图中可以进一步确定前面的几个推论： 1）主极点46.2MHz 处为-3dB 带宽，对应相位约135°（由于反相输出，初始相位为180°，主极点仍然使相位响应相移-45°）。次极点11.6GHz （对应 相位约为45°，沿第一极点产生的90°平台再产生-45°相移）向上3dB 处恰为幅度响应拐点。零点68.3GHz 处（对应相位约为-45°，即沿第二极 点产生的0°相位平台再产生-45°相移）向上3dB 处为曲线的另一个拐点。 第一拐点将幅频曲线向下拐至斜率-40dB/dec ，第二拐点将曲线重新上抬至 斜率-20dB/dec 。只是由于次极点和零点之间分的不是太开，故其间的 -40dB/dec 斜率并不准确，因为在这一频率范围内并不能忽略除主极点之外 的其他极点而将传输函数进行对数化简。（可以仿前例证明） 2）可以看到该系统的单位增益带宽为281MHz ，在主极点和次极点之间，且与相位没有直接关系。这证明了次极点并不是单位增益带宽点。该系统的 相位裕度为97.8°。可以想象，如果能将主极点和次极点以及正零点显著 分开，则系统在单位增益频率内等价为一个单极点系统，从而单位增益带 宽处，相位响应将停留在90°平台处，系统相位裕度为90°，将必然稳定。 这是放大器设计的最理想情况。对于正在设计中的折叠共源共栅放大器的 两个增益辅助放大器来说，一般应该呈现这样的幅频响应特性。同时可以 想象，如果不幸放大器的单位增益带宽点落在了次极点之外，相位裕度将 必然小于45°，放大器在闭环工作时将必然振荡。此时就需要加入补偿电 容，调节系统的极零点的值，使其满足相位裕度和稳定性的要求。 5． 单级共源放大器各种形式频率响应的实验验证 5.1 单级共源、电阻负载、有输入阻抗的单管放大器频率响应 左图为一个理想电压源驱动的单管共源放大器的原理 图。由于去掉了Rs 内阻，从而上例中输入端时间常数 不存在，即系统变为单极点、单零点系统。并且由于没 有密勒效应（因为不需要考虑输入端时间常数），使得 小信号模型比较简单，可以推得极零点的精确公式。 零点公式同前，为dg m C g z =0，注意此处仍为Cdg 。此例中mos 管参数均不变，故零点频率与上例相同，且手算 结果与仿真较接近。 图13 理想Vin 单管 对于极点计算，Baker 一书给出的计算公式为)(1 0gd out Leq C C R p +=，其中 ，除去Cgd 和Cdg 的区别，按此公式计算出的极点位置与仿真得到的偏差较大。为了得到极点的准确表示，采用将负载电容显著化的方法，首先忽略掉管寄生电容的影响，即在输出端并联1pF 电容，这将预期远大于寄生电容值。并将Cgd 同Cdg 的差别显著化，采用40u/2u 的管参数，如前所述，此参数下Cgd=9fF ，Cdg=97fF 。此时为使管正常工作，负载电容为 3.5k ，管跨导gm=1.50164m 。即221/1||||m o o Leq g r r R =5 4.481/1||||221==m o o Leq g r r R ，Rl=3.5k ，。 k r r R o o L 739.1||21==当输出端并联1pF 电容，并采用40u/2u 管参数时，仿真得到极点值为 4.394e7 Hz ，逆推可知此极点应采用公式)(110gd out C C R p += 计算，手算极点值 为4.547e7 Hz 。 去掉负载电容逆推电容的具体表示发现电容项应采用 计算较为正确 （同样可以采用将Cgd 显著化的方法验证），其中Cjd 为漏体节电容（Drain-bulk junction capacitance ）。且此公式对于TSMC 仿真库同样适用，但对于analogLib 库，以上公式均不正确且存在量级上的差别。可能原因是analogLib 仿真库并不是一个同实际工艺相结合的仿真库。另外仿真器此处采用Cjd 电容值而其他地方未采用的原因不明，不过进一步的探索意义不大。 bd jd gd out C C C C C +++=通过上面两例的比较可以看到，信号源是否为理想信号源决定了放大器极 点的具体计算方法。由于在功能设计仿真时，一般认为输入信号源为理想信号源，即输入管栅上都没有串接电阻，故由第二个例子可以看到，放大器的主极点将由输入管的栅漏交叠电容、下级负载电容以及输入级负载所决定（否则将由信号源内阻以及输入级密勒电容决定）。而实际中输入信号源的负载应该是一个比较小的值（比较接近理想情况），故实际极点的取值将比较接近第二种情况。 5.2 单管放大器有源负载等形式的验证 5.2.1 非理想信号源有源负载单级放大电路 各管参数：负载pmos 管12u/0.4u Cgs2=17.1283f ，Cbd2=7.9a ，输入nmos 管 40u/2u ，Cgd1=8.81f ，Cdg1=96.855f ， Cbd1=14a ，Cgs1=261.628f ，Csg1=145.026f 。 gm1=1.50193m ，Av=1.60， gm2=886.1u 仿真得到p0=5.31e6，p1=2.22e9，z0=2.47e9 手算零点：1 02dg m C g Z π==2.469e9 主极点：(注意此处应采用Cgs1而非Csg1) 图14 非理想信号源有源负载 ] |)|1([21110gs gd s C Av C R p ++=π=5.59e6 次极点：])||1([212 1211121bd bd gs dg m C C C Av C g p +++?=??π=1.820e9 可见结果尚在接受范围之内。 5.2.2 理想信号源有源负载单级放大电路 各管参数不变，仿真得到单极点p0=2.028e9，单零点z0=2.468e9。Cjd1=37.0427f ，Cjd2=14.5554f 零点计算公式同前，且管参数未变，省去验证步骤。 主极点][21 2121211 20bd bd jd jd gs gd m C C C C C C g p +++++=?π=2.229e9 5.2.3 理想信号源电流源负载单级放大电路 如左图，管参数全部不变，仅将有源负载换 为电流源负载，并采用与原输出电压相近的 栅极偏置电压。仿真得到Av=28.85，主极 点1.312e8，零点位置不变。 其中gm2=866.011u （不变），gds2=49.0085u ，Cds2=5.81306f ] [21 212121120bd bd jd jd ds gd ds C C C C C C g p +++++=?π=1.178e8 注意到此处应采用gds2而非gm2，即应采 图15 理想信号源电流源负载 用电流源负载的小信号输出电阻。 5.2.4 非理想信号源电流源负载单级放大电路（略） 由上述同尺寸的有源负载结构同电流源负载结构的比较中可以看出，有源负载结构的增益通常不大（可以证明当输入和输出直流电位均为中点点位（1.65V ）时，有源负载结构约为1（Chartered 工艺为0.8左右，同P 管和N 管阈值电压相关）），但因此频率性能比较好（主要是因为P 有源负载管小信号输出电阻小， 为，即输出负载电阻小），如例5.2.2中3dB 带宽达到2GHz 。而电流源负 载提升了增益，但因此使得频率性能有所下降（主要是因为电流源负载小信号 输出电阻大，为，因此输出负载电阻大）。这两种结构特别是电流源负载结1?m g 1?ds g 构经常用于输出级，因此研究其频率性能是有意义的。 6． 两极共源单管放大电路 图16 两极共源单管放大电路 图16为同样参数的两极单管放大电路，其中共源管尺寸为8u/1u ，负载电 阻为 3.3k 。其中一级的极零点情况为单极点 4.93e9，单零点 1.157e10。按][211110bd jd gd L C C C R p ++=π公式估算极点为4.843e9，按dg m C g z =0手算零点为1.158e10。手算结果与仿真结果相近。 忽略图中第一级的负载电容时，两极放大器产生双极点：9.719e8和 6.278e9，产生两相近零点为1.157e10和1.159e10。可见零点情况及其位置没有变化。在此种情况下估算两极点情况产生较大偏差，原因是两极点位置比较靠近，互相产生影响，而前述公式均是在无其他极零点影响的情况下推得，在推导过程中运用了一些近似。为了使结果更加清晰，将第一级负载电容显著化，从而使两极点显著分开（十倍频程以上）。为此在第一级加上大负载电容0.1pF ，从而仿真得到两极点分别为 3.299e8和 5.196e9。按照][2112110bd gs L jd gd L C C C C C R p ++++=π和] [212221bd jd gd L C C C R p ++=π分别估算极点为3.484e8和4.755e9。由此可见，当多极放大器各级产生的极零点相互分离较远时（十倍频以上），可以将每级作为单级放大器处理来估算各自的极零点位置。否则前后级极零点将相互影响。 7．两极电流源负载共源放大器及其补偿情况的相关实验 由于前面实验所看到的（以及通过证明）可知，电阻负载（或者有源负载）由于其小信号输出电阻较小（电阻负载为其阻值，有源负载为1/gm），使得其频率性能比较好，因此两极点比较靠近零点。为了显著的观察补偿电容对极点的分裂效应，参考Gray一书经过推导得出的补偿电容的两极点单零点公式，需要满足gm*R>>1的条件，这样便需加大每级的增益，于是采用电流源负载结构，这样也从另一方面提升了增益，便于观察单位增益带宽与次极点之间的互动关系（有源负载两级增益积很小，这样单位增益带宽十分接近3dB带宽，不利于实验）。 图17 两级电流源负载单管放大电路 上图为结构的电流源负载单管放大电路原理图。仿真得到双极点：p0=3.311e7，p1=2.100e8，双零点对：1.618e10，Av=56.7dB。可以看到两极点是比较靠近的，而且由于该电路增益较大（至少远大于有源负载形式的低于20dB十倍的增益），可以预期该电路的单位增益带宽点落在次极点之外，即相位裕度小于零。 图18 两级电流源负载无补偿频率响应图 上图即为该两级放大器的频率响应，由于增益较大，单位增益带宽为 2.16GHz ，对应相位为-189°，即相位裕度为-9°，如果该放大器能够闭环使用（即存在一个假想的负反馈输入端——实际无法实现从输出端到输入端的负反馈），可以想象这个闭环系统将会发生振荡。 前面已经分析，如果单位增益带宽刚好是次极点所在，则相位裕度正好是 45°，系统将闭环稳定。因此如果能够将主极点减小（减小开环3dB 带宽），就能够提早增益按-20dB/dec 下降的开始频率，这样将有可能使单位增益带宽移到次极点之内，从而满足相位裕度要求。另外，如果能将次极点增大，则也可能使次极点频率将单位增益带宽包含进去，同样也能满足相位裕度的要求。相位补偿技术通常是在两个高阻结点之间或者某个高阻结点与地之间加上一个电容，通过调节这个电容的值，就可以改变极点的位置。（为什么是高阻结点？因为根据RC τπ2=，只有高阻值才能产生较低频的极点，低阻结点产生的极点值较高，通常将被忽略。） 图18为加入补偿电容值之后的两级放大器，依次增大补偿电容的取值， 分析运放极零点情况，可以得到以下数据： 表4 补偿电容与极零点关系 补偿电容值 主极点p0 次极点p1 零点z0 零点z1 1p 2.067e5 1.215e9 1.512e8 1.618e10 2p 1.037e5 1.233e9 7.596e7 1.618e10 3p 6.921e4 1.239e9 5.072e7 1.618e10 10p 2.080e4 1.248e9 1.525e7 1.618e10 20p 1.040e4 1.250e9 7.628e6 1.618e10 图19 两级电流源负载单管放大电路及级间补偿电容 根据Gray 一书给出的存在补偿电容情况下的极零点的公式，当补偿电容 C 很大（远大于寄生电容），并且gmR1>>1，gmR2>>1（即每级增益远大于1）的情况下，有：C R R g p m 2101?≈，)(2 1121C C C C C C g p m ++?=（gm 均为第二级放大管的跨导，R1、R2为各级输出电阻）。增大C ，则p0反比例减小，p1增大，这也就是补偿电容能够使两极点产生分裂的原理。但由p1公式可得，当C 很大（远大于C1和C2）时，2 11C C g p m +→，也就是说，次极点随补偿电容的增大将逐渐趋近一个上限定值。从表4中我们可以清楚地看到这一趋势，即主极点p0随Cc 成反比例减小，次极点p1稍有增加，当Cc 很大时，近似等于定值1.25e9。在此过程中，第二级零点z0仍按公式dg m C g z = 0随Cc 呈反比例变化。 可以检验当Cc 为3p 时各极零点的估计值。其中gm2=959.039u ， gds1=28.106u ，gds2=28.0841u ，gds1m=8.64561u ，gds2m=8.65395u 。从而可以估算p0=7.473e4。而C1 = Cgd1m + Cjd1m + Cgs2m + Cjd1 = 2.352f + 7.67f + 23.3224f + 40.2883f = 73.6327f ，C2= Cgd2m + Cjd2m + Cjd2 = 2.354f + 7.671f + 40.283f = 50.308f 。从而可以估算p1=1.232e9（按极限公式估算）或1.220e9（按 标准公式估算）。而第二级零点仍为z0=gm/Cc=5.092e7。可见估算精度尚可。 从上面有关补偿电容同极零点的互动可以看到，补偿电容从原理上可以使 两极点分裂，但是在增大补偿电容的过程中（前提是补偿电容远大于寄生电容——一般的补偿情况都是这样），其主要的效应是压低了主极点，而对于次极点，除了是否存在补偿电容（即加入补偿电容之前次极点为2.100e8，加入补偿电容之后为1.23e9左右的值）能够明显影响其位置外，补偿电容值的变化对其影响不大。即一旦加入了补偿电容，则主要需要考察的指标为3dB 带宽。 另外注意到Gray 一书推导中假设Cc 很大——这一假设仅是指补偿电容 应该远大于寄生电容值。我们可以在输出级加上一个负载电容，其值为典型的2p ，则未加补偿电容时，仿真得到p0=2.75e6，p1=7.12e7。加入补偿电容之后，有下表： 表5 补偿电容与极零点关系II （负载电容2p ） 补偿电容值 主极点p0 次极点p1 零点z0 零点z1 1p 1.935e5 7.667e7 1.512e8 1.618e10 2p 1.003e5 7.688e7 7.596e7 1.618e10 3p 6.7664e4 7.695e7 5.072e7 1.618e10 10p 2.066e4 7.706e7 1.525e7 1.618e10 20p 1.037e4 7.708e7 7.628e6 1.618e10 可以看到分裂效果并没有明显的降低，明显的区别仅在于，此次由于输出 级存在一个显著的负载电容，因此是否存在补偿电容对次极点的影响并不大（相比较无负载电容的情况来说）。另外我们可以根据2 11C C g p m +→预期，负载电容越大（同补偿电容相比），补偿电容对次极点的移动作用越不明显，甚至可能会出现反向趋近于2 11C C g p m +→的现象（即使次极点减小，关于这一现象，可以将负载电容设为10p 来观察）。总之，补偿电容应该同负载电容为一个相近的值，最好是比负载电容大——这样又将带来摆率等一系列问题，需要综合考虑。 下图是补偿电容为3p ，无负载电容时，放大器的频率响应图： 【转】关于零点和极点的讨论 2011-08-13 19:46 转载自wycswycs 最终编辑hyleon023 一、传递函数中的零点和极点的物理意义： 零点：当系统输入幅度不为零且输入频率使系统输出为零时，此输入频率值即为零点。极点：当系统输入幅度不为零且输入频率使系统输出为无穷大（系统稳定破坏，发生振荡）时，此频率值即为极点。举例：有时你家音响或电视机壳发出一阵阵尖厉嘶嘶声，此时聪明的你定会知道机壳螺丝松了，拧紧螺丝噪声问题就解决了。其实，你所做的就是极点补偿，拧紧螺丝——你大大降低了系统极点频率。当然此处系统是指机械振动系统不是电路系统，但原理一样。抛砖引玉尔，希望更多答案。（这一段有待讨论） 二、每一个极点之处，增益衰减-3db, 并移相-45度。极点之后每十倍频，增益下降20db.零点与极点相反；每一个零点之处，增益增加3db,并移相45度。零点之后，每十倍频，增益增加20db。波特图如下： 以下是极点图，零点图与极点图相反。极点零点一般用于环路的稳定性分析。 附上一个零点图 1、由于在CMOS里面一般栅端到地的电容较大，所以一般人们就去取这个极点，也就是说输入信号频率使得节点到地的阻抗无穷大（也就是所谓的1/RC）R为到地电阻，C为到地电容（并联产生极点）零点在CMOS中往往是由于信号通路上的电容产生的，即使得信号到地的阻抗为0，在密勒补偿中，不只是将主极点向里推，将次极点向外推（增大了电容），同时还产生了一个零点（与第三极点频率接近），只不过人们一般只关心前者。 2、经验上来讲，放大器电路中高阻抗的节点都要注意，即使这点上电容很小，都会产生一个很大的极点。零点一般就不那么直观了，通常如果两路out of phase的信号相交就会产生零点，但这不能解释所有的零点。 3、个人觉得零点、极点只是电路分析中抽象出来的辅助方法，可以通过零极点分析电路动作特征，然而既然有抽象肯定有它的物理表现，极点从波特图上看两个作用：延时和降低增益，在反馈系统中作用就是降低反馈信号幅度以及反馈回去的时间，所以如果某个节点存在对地电容，必然会对电容充电，同时电容和前级输出电阻还存在分压，所以这个电容会产生极点！而要保持稳定，则要看在激励情况下反馈信号会不会持续增加？而这就需要分析信号在通过电路的过程中的衰减或增加和加快或者减慢，零极点这就表征了电路的这种特性，所以可能某个节点会产生极点，也可能整个系统不同信号通路相互作用产生零极点。 俺也谈谈我的看法： 1。零/极点的产生与反馈与否似乎没有直接联系。一个电路的小信号模型中存在某一个节点，这个节点有两条通路与其 关于放大器极、零点与频率响应的初步实验 1．极零点的复杂性与必要性 一个简单单级共源差分对就包含四个极点和四个零点，如下图所示： 图1 简单单级共源全差分运放极零点及频率、相位响应示意图 上图为简单共源全差分运放的极零点以及频率响应的示意图，可以看到，运放共有四个极点，均为负实极点，共有四个零点，其中三个为负实零点，一个为正实零点。后面将要详细讨论各个极零点对运放的频率响应的影响。 正在设计中的折叠共源共栅运算放大器的整体极零点方针则包括了更多的极零点（有量级上的增长），如下图所示： 图2 folded-cascode with gain-boosting and bandgap all-poles details 图3 folded-cascode with gain-boosting and bandgap all-zeros details 从上述两张图可以看到，面对这样数量的极零点数量（各有46个），精确的计算是不可能的，只能依靠计算机仿真。但是手算可以估计几个主要极零点的大致位置，从而预期放大器的频率特性。同时从以上图中也可以看到，详细分析极零点情况也是很有必要的。可以看到46个极点中基本都为左半平面极点（负极 点）而仿真器特别标出有一个正极点（RHP ）。由于一般放大器的极点均应为LHP ，于是可以预期这个右半平面极点可能是一个设计上的缺陷所在。（具体原因现在还不明，可能存在问题的方面：1。推测是主放大器的CMFB 的补偿或者频率响应不合适。 2。推测是两个辅助放大器的带宽或频率响应或补偿电容值不合适）其次可以从极零点的对应中看到存在众多的极零点对（一般是由电流镜产生），这些极零点对产生极零相消效应，减少了所需要考虑的极零点的个数。另外可以看到46个零点中45个为负零点，一个为正零点，这个正零点即是需要考虑的对放大器稳定性产生直接影响的零点。 以上只是根据仿真结果进行的一些粗略的分析，进一步的学习和研究还需要进行一系列实验。 1． 单极点传输函数——RC 低通电路 首先看一个最简单的单极点系统——RC 低通电 路，其中阻值为1k ，电容为1p ，传输函数为： sRC s H +=11)( 则预计极点p0=1/（2πRC ）=1.592e8 Hz ，仿真得 到结果与此相同。 而从输出点的频率响应图中可以得到以下几个结 论： 图4 一阶RC 积分电路 1）-3dB 带宽点（截止频率）就是传输函数极点，此极点对应相位约为-45°。 2）相位响应从0°移向高频时的90°，即单极点产生+90°相移。 3）在高于极点频率时，幅度响应呈现-20dB/十倍频程的特性。 图5 一阶RC 电路极点与频率响应（R=1k C=1p ） 实验四连续时间系统复频域分析和离散时间系统z域分析 一.实验目的： 1.掌握连续信号拉氏变换和拉氏反变换的基本实现方法。 2.熟悉laplace函数求拉普拉斯变换，ilaplace函数求拉氏反变换 的使用。 3.掌握用ztrans函数，iztrans函数求离散时间信号z变换和逆z 变换的基本实现方法。 4.掌握用freqs函数，freqz函数由连续时间系统和离散时间系统 系统函数求频率响应。 5.掌握zplane零极点绘图函数的使用并了解使用零极点图判断系 统稳定性的原理。 二、实验原理： 1.拉氏变换和逆变换 原函数()() ?象函数 f t F s 记作：[()]() =→拉氏变换 L f t F s 1[()]() -=→拉氏反变换 L F s f t 涉及函数：laplace,ilapace. 例如： syms t;laplace(cos(2*t)) 结果为：ans =s/(s^2+4) syms s;ilaplace(1./(s+1)) 结果为：ans = exp(-t) 2. 系统传递函数H(s)或H(z)。 12121212...()()()...m m m n n n b s b s b B s H s A s a s a s a ----+++==+++ 112112...()()()...m m m n n n b z b z b B z H z A z a z a z a --+--++++==+++ 其中，B 为分子多项式系数，A 为分母多项式系数。 涉及函数：freqz,freqs. 3. 系统零极点分布与稳定性的判定。 对于连续时间系统，系统极点位于s 域左半平面，系统稳定。 对于离散时间系统，系统极点位于z 域单位圆内部，系统稳定。 涉及函数：zplane. 三、 实验内容 1． 验证性实验 a) 系统零极点的求解和作图 增加零极点以及零极点分布对系统的影响一般说来，系统的极点决定系统的固有特性，而零点对于系统的暂态响应 和频率响应会造成很大影响。以下对于零极点的分布研究均是对于开环传递函 数。 零点一般是使得稳定性增加，但是会使调节时间变长，极点会使调节时间变短，是系统反应更快，但是也会使系统的稳定性变差。在波特图上反应为，增加一个零点会在幅频特性曲线上增加一个+20db/10倍频的曲线，幅频曲线上移，增加一个极点，会在幅频特性曲线上增加一个-20db/10倍频的曲线，幅频曲线下移。 在s左半平面增加零点时，会增加系统响应的超调量，带宽增大，能够减小系统的调节时间，增快反应速度，当零点离虚轴越近，对系统影响越大，当零点实部远大于原二阶系统阻尼系数ξ时，附加零点对系统的影响减小，所以当零点远离虚轴时，可以忽略零点对系统的影响。从波特图上来看，增加一个零点相当于增加一个+20db/10倍频的斜率，可以使的系统的相角裕度变大，增强系统的稳定性。 在s右半平面增加零点，也就是非最小相位系统，非最小相位系统的相位变化范围较大，其过大的相位滞后使得输出响应变得缓慢。因此，若控制对象是非最小相位系统，其控制效果特别是快速性一般比较差，而且校正也困难。对于非最小相位系统而言，当频率从零变化到无穷大时，相位角的便变化范围总是大于最小相位系统的相角范围，当ω等于无穷大时，其相位角不等于-（n-m）×90o。非最小相位系统存在着过大的相位滞后，影响系统的稳定性和响应的快速性。 在s左半平面增加极点时，系统超调量%pσ减小，调整时间st(s)增大，从波特图上看，s左半平面增加一个极点时，会在幅频特性曲线上增加一个-20db/10倍频的曲线，也就意味着幅频特性曲线会整体下移，导致相角域度减小，从而使得稳定性下降。当极点离原点越近，就会增大系统的过渡时间，使得调节时间增加，稳定性下降，当系统影响越大当极点实部远大于原二阶系统阻尼系数ξ时，附加极点对系统的影响减小，所以当极点远离虚轴时可以忽略极点对系统的影响。 在s右半平面增加极点会导致系统不稳定。 最小相位系统 从传递函数角度看,如果说一个环节的传递函数的极点和零点的实部全都小于或等于零,则称这个环节是最小相位环节.如果传递函数中具有正实部的零点或极点,或有延迟环节,这个环节就是非最小相位环节. 对于闭环系统,如果它的开环传递函数极点或零点的实部小于或等于零,则称它是最小相位系统.如果开环传递函中有正实部的零点或极点,或有延迟环节,则称系统是非最小相位系统.因为若把延迟环节用零点和极点的形式近似表达时(泰勒级数展开),会发现它具有正实部零点. 最小相位系统具有如下性质: 1,最小相位系统传递函数可由其对应的开环对数频率特性唯一确定;反之亦然. 2,最小相位系统的相频特性可由其对应的开环频率特性唯返航一确定;反之亦然. 3,在具有相同幅频特性的系统中,最小相位系统的相角范围最小. 零点、极点和偶极子对系统性能的影响 我们知道在系统之中，适当的加入零点，极点还有偶极子，可以在某些方面提升系统的性能。但是加入某项时候，到底是如何提升的呢？为此，我们用matlab 软件来帮助我们分析，以方便我们进行比较。为了方便我们的比较，我们还将零点，极点还有偶极子对系统性能的影响分开来进行一个一个的讨论。这样我们可以更加直观的感受到他们的影响。（在分析的时候选择稳定的原始系统） 在分析的时候我们选择的原系统的闭环传递函数为： 通过matlab 编程和绘图我们可以得到()s G 的单位阶跃响应曲线如下图： 现在我们开始分析加入零点，极点和偶极子对系统性能的影响！ 一、零点 为了在方程之中添加一个零点，我们将系统的闭环传递函数变为: 我们可以通过matlab 编程，绘出 () 1s G 和()s G 的响应曲线，通过分析相应的 响应曲线，我们就可以得出相应的结论！ matlab 的编程为： n=4; d=[4,1,4]; t1=0:0.1:15; y1=step(n,d,t1); n1=[3,4]; y2=step(n1,d,t1); plot(t1,y1,'-r',t1,y2,'-g'),grid xlabel('t'),ylabel('c(t)'); title('单位阶跃响应') 两者的响应曲线为： 通过对两条响应曲线的分析我们不难得出以下的结论： （1）系统的稳定性没变，还是稳定系统； （2）系统的上升时间r t 减小； （3）系统的超调时间p t 减小； （4）系统的超调量 % p 变长； （5）系统的调节时间 s t 变长； 自觉浪费了很多时间在学校里，在我那一直延续到三十多岁的求学生涯中，仅有两门课可说修正了我的思维习惯。这两门课都发生在加州理工学院。一门是CarverMead教授的模拟IC设计，课程的内容已不再重要，只记得Mead 教授的课本开首的一句话：“我每多写一个公式，就知道这本书的读者会减少一半。”整个课本讲述一个实习生去水坝工作的所见所闻。半导体的势垒当然就是那水坝，载流子的移动是他感受到的从水坝上“飘过来”的水气。整个课本几乎没有一个公式！对知识真正的理解往往可以化作一种感觉。如果您能感觉到零点和极点的移动，普通的控制理论就不再是什么深奥的学说。另一门课是Middlebrook教授的控制理论。Middlebrook和Cuk教授是开关电源控制理论的奠基者，他们的贡献后来被我的大师兄Ericsson （虽然理论上我可以这样叫他，但与他的水平实在相差太远）写在了《Fun dame ntals of Power Electro nic》，至今我仍然认为那是一本该行业最好的教科书。上Middlebrook 的课是一种享受。记得第一堂课他让大家计算一个并不复杂的电路的传递函数，大家几乎都“做对了”。 但当他指着我们延绵了三四行的算式问我们应当调整哪些参数时，大家终于明白：一个工程师所面对的未知量几乎从来都比已知量多。我们从小做的作业和试题让我们相信多数问题都可以列出和未知数一样多的方程。那门课就是教人如何抛弃不重要的量，或假设某些量可以抛弃，再验证其合理性。最后剩下极少数可以清晰控制的未知量。计算机可以代人验证，却大多不能代替人思考。 开关电源的控制理论是个十分抽象的、有时令人望而生畏的东西。系统不稳定却是个常常会遇到的问题，如何调整？为何调好的系统大批量生产时又出问题？讲理论的材料很多，大多数人还是觉得Unitrode 的那几篇最早的应用手册最有用。 这里只想讲讲俺一些不完全需要通过上半身就能感受到的东西。哈！开个玩笑。 有了感觉再看Ericsson那几百页应当不那么困难。因是讲感觉，不周密之处难免，还望谅解。 先说极点，简单的例子是一个RC滤波。对直流C是开路，对无限高频C是短路，所以波特图的幅值在极点前是平的，极点后开始以-20dB/dec 下降。俺对极点的感觉就是一个男人。男人通常开始热情高涨，但多半经不起时间的考验。无论是对爱情，还是日渐稀松的头发，男人大抵都是如此。 请问电路中极点与零点的产生与影响 一、电路中经常要对零极点进行补偿，想问，零点是由于前馈产生的吗？ 它产生后会对电路造成什么样的影响？是说如果在该频率下，信号通过 这两条之路后可以互相抵消还是什么？？ 极点又是怎么产生的呢？是由于反馈吗？那极点对电路的影响又是什么？ 产生振荡还是什么？？ 请大家指教一下。 1．(不能这么简单的理解 其实电路的每个node都有一个极点 只是大部分的极点相对与所关心的频率范围太大而忽略了 运放中我们一般关心开环的0dB带宽那么>10*带宽频率的极点我们就不管了 因为它们对相位裕度贡献太小而被忽略; 只要输入和输出之间有两条通路就会产生一个零点: 同样的高于所关心频率范围的零点也不用管 一个在所关心频率范围内的零点需要看是左半平面还是右半平面的 左半平面的零点有利于环路稳定右半平面的则不利 具体的看拉扎维的书吧写的还是蛮详细的看不懂就多看几遍 自己做个电路仿下) 2．好问题，希望彻底了解的人仔细解答。我也同样疑惑。 但是我总觉得极点，零点并不能单单的说是由于前馈，反馈，或者串联并联一个电容产生的。 产生的原因还是和具体的电路结构相关联的。 比如一个H(s)的系统和一个电容并联或串联在输入输出之间，谁能说他一定产生一个极点或零点呢？这因该和H(s)的具体形式有关。 大多书上说的应该大多针对的是运放结构，它的结构具有特殊性。具有以点盖全的嫌疑。 还请达人细说。 3．一般的说，零点用于增强增益（幅度及相位），极点用于减少增益（幅度及相位），电路中一般零点极点是电容倒数的函数（如1/C）。 当C变大时，比如对极点来说，会向原点方向变化，造成增益减少加快（幅度及相位）～一般运放电路的米勒效应电容就是这个原理，当增益迅速下降倒－3dB时，其他的零点极点都还没对系统增益起到啥作用（或作用很小，忽略了），电路就算七窍通了六窍半了～你就可以根据自己的需要补上带宽，多少多大的裕度就KO了 极点是由于结点和地之间有寄生电容造成的,零点是由于输入和输出之间有寄生电容造成的,一般输入和输出之间的零极点考虑多一点,主要是因为输入输出有较大的电阻,造成了极点偏向原点. 4．个人的一点理解 极点决定的是系统的自然响应频率，通常在电路中就是对地电容所看进去的R和对地电容C共同决定的。 零点是由于在输入输出间存在两条信号路径，两个信号路径强度相消即可，通常在电路中表现为反馈或前馈通路。 5．一个电路中有多少个极点和多少个零点取决你的器件模型， 实验六 连续时间系统的零极点分析 实验目的： 1、学会用Matlab 求解系统函数的零极点； 2、学会用Matlab 分析系统函数的极点分布与系统稳定性的关系。 实验原理： 1、系统零极点绘制 系统函数H(s)通常是一个有理分式，其分子和分母均为多项式。利用Matlab 中的roots 函数，可以求出分子和分母多项式的根，即可计算出H(s)的零极点。 例如：多项式542)(24+++=s s s s N 的根可以由下列语句求出： N ＝[1 0 2 4 5]；r=roots(N)； 求出零极点后以零极点的实部和虚部作图，即可得出零极点的分布图。例如：执行zs=roots(b)；ps=roots(a)；（b ，a 分别为分子分母多项式系数向量），再执 行 plot(real(zs),imag(zs),’o’,real(ps),imag(ps),’x’,’markersize’,12);就能够画出系统的零极点分布图。 绘制系统零极点的分布图再Matlab 中还有一种更加简便的方法，即利用函数pzmap ，调用形式为： pzmap(sys) 它表示画出由sys 所描述的系统的零极点分布图。利用sys ＝tf(b,a)来构建系统模型，这在实验2中已经介绍过，b,a 分别为系统函数H(s)的分子分母多项式系数向量。 2、 系统函数的零极点与系统的稳定性 根据信号与线性系统中的知识我们知道：当系统函数的极点全部位于s 平面的左平面时，系统是稳定的。在绘制好系统零极点分布图后，就可以根据这个知识点判断系统的稳定性。 注意：在绘制系统零极点分布图时，可以适当变换坐标的显示围，来达到增强零极点分布图可读性的效果。 实验容： 在复平面（s＝σ＋jω）上，使传递函数G（s）→∞的点，称为G（s）的极点；使G（s）＝0的点，称为G（s）的零点。零点或极点为复数时，为复零点或复极点。实零点或实极点为实数，位于实轴（α轴）上。位于s右半平面（RHP－Right Half Plane）的正零点或正极点，称为RHP零点或RHP极点；位于s左半平面（LHP-Left Half Plane）的负零点或负极点，称为LHP零点或LHP极点。只要含有一个RI－IP极点，系统就是不稳定的；系统的全部极点都是LHP极点时，系统才是稳定的。极点和零点为虚数时，位于虚轴（J 轴）上；有虚极点的系统属于不稳定系统。 一阶系统的几种零、极点特性的比较见表 表一阶系统的几种零、极点特性的比较 以图1所示的二阶滤波电路为例来分析二阶系统的零、极点特性。其传递函数也可以写成 图1 二阶低通滤波器电路 它有两个LHP极点：-1/T1，和-1/T2。 图2所示为举例给出的某个Buck-Boost转换器控制一输出传递函数的零、极点分布。它有两个LHP极点（pole）P1、P2，P1,2＝（-1，1±j2，2）×103，还有一个RHP零点（zero）Z，z＝+6.1×103，Bode图上，相位总滞后为270°。 开关转换器的传递函数中，有时出现所谓ESR零点，它是指由于滤波电容有等效串联电阻（ESR），使传递函数包含一个ESR零点。例如式（13－9）所示二阶低通输出滤波器，设电 图2 Buck Boost转换器的零、极点分布 容C的ESR为Rc，则其传递函数为 G（s）有一个LHP零点：z=-1/RcC,称为滤波电容的ESR零点。(本文转自家居建材网：https://www.360docs.net/doc/5d11771329.html,) 1. 学会运用MATLAB 求离散时间信号的z 变换和z 反变换； 一、 实验原理及实例分析 （一）离散时间信号的Z 变换 1．利用MATLAB 实现z 域的部分分式展开式 MATLAB 的信号处理工具箱提供了一个对F(Z)进行部分分式展开的函数residuez()，其调用形式为： [r,p,k]=residuez(num,den) 式中，num 和den 分别为F(Z)的分子多项式和分母多项式的系数向量，r 为部分分式的系数向量，p 为极点向量，k 为多项式的系数向量。 【实例1】 利用MATLAB 计算321431818)(-----+z z z z F 的部分分式展开式。 解：利用MATLAB 计算部分分式展开式程序为 % 部分分式展开式的实现程序 num=[18]; den=[18 3 -4 -1]; [r,p,k]=residuez(num,den) 2．Z 变换和Z 反变换 MATLAB 的符号数学工具箱提供了计算Z 变换的函数ztrans()和Z 反变换的函数iztrans （），其调用形式为 )()(F iztrans f f ztrans F == 上面两式中，右端的f 和F 分别为时域表示式和z 域表示式的符号表示，可应用函数sym 来实现，其调用格式为 ()A sym S = 式中，A 为待分析的表示式的字符串，S 为符号化的数字或变量。 【实例2】求（1）指数序列()n u a n 的Z 变换;(2)()()2a z az z F -= 的Z 反变换。 解（1）Z 变换的MATLAB 程序 % Z 变换的程序实现 f=sym('a^n'); F=ztrans(f) 程序运行结果为： z/a/(z/a-1) 可以用simplify()化简得到 : -z/(-z+a) （2）Z 反变换的MATLAB 程序 % Z 反变换实现程序 8-6 H(z)的零、极点分析 对于阶线性时不变离散时间系统，其系统函数为 式中，均为的多项式，并分别进行因式分解后可写为 (8-60) 式中，是的零点；是的极点；为一个实常数。它们由差分方程的系数决定。 一、H(z)零、极点分布与系统的时域特性观看动画 由于系统函数与单位序列响应是一对z变换，即 所以，完全可以从的零、极点分布情况确定单位序列响应的性质。 对于具有一阶极点的系统函数，由前一节讨论可知，其单位序列响应为 式中，, 取决于的零、极点及常量。这样，上式可表示成 (8-61) 这里，极点可以是实数，也可以是成对的共轭复数。 可见，离散时间系统的时域特性可由反映，而的极点决定的性质，零点只影响的幅度与相位。 对于一阶极点的情况，极点分布与中第个分量形状之间的关系示意于图8-6。图中“×”表示的一阶单极点位置。 对于一阶单极点，若所有极点位于z平面单位圆内，即，随增大而指数衰减，当时，；当含有单位圆即上极点外，其余极点位于单位圆内时，随增大，逐渐稳定在某一有限范围内变化；当含有z平面单位圆外极点时，随增大而增大，当时，。 对于重极点，也可通过极点分布情况研究的特性，可知只要极点位于z平面单位圆内，必有，。当含有上的多重极点时，必有，。 图8-6 二、H(z)零极点分布与系统频率特性 对于线性时不变离散时间系统，当系统函数收敛域包括单位圆时，其频率特性表示为 (8-62) 式中，称为离散时间系统的幅频特性(或幅频响应)；为的幅角，称为离散时间系统的相频特性(或相频响应)。对于由实系数差分方程描述的离散系统，有 , 。 与连续时间系统正弦激励下的响应类似，也可看做离散时间系统激励为正弦序列时的稳态响应“加权”。因当时 有 仅考虑极点位于单位圆内的情况，则 式中，，对于稳态响应部分，可求得 因此，当激励是正弦序列时，系统的稳态响应也是同频率正弦序列，其幅值为激励幅值与系统幅频特性值的乘积，其相位为激励初相位与系统相频特性值之和。 关于零点和极点的讨论 一、传递函数中的零点和极点的物理意义：零点：当系统输入幅度不为零且输入频率使系统输出为零时，此输入频率值即为零点。极点：当系统输入幅度不为零且输入频率使系统输出为无穷大（系统稳定破坏，发生振荡）时，此频率值即为极点。举例：有时你家音响或电视机壳发出一阵阵尖厉嘶嘶声，此时聪明的你定会知道机壳螺丝松了，拧紧螺丝噪声问题就解决了。其实，你所做的就是极点补偿，拧紧螺丝——你大大降低了系统极点频率。当然此处系统是指机械振动系统不是电路系统，但系统原理一样。抛砖引玉尔。希望更多答案。（这一段有待讨论） 二、，每一个极点之处，增益衰减-3db, 并移相-45度。极点之后每十倍频，增益下降20db.零点与极点相反，在零点之处，增益增加3db,并移相45度。零点之后，每十倍频，增益增加20db.波德图如下： 零点图找不到合适的，不过是与极点图相反的。以下是极点图。极点零点一般用于环路的稳定性分析 附上一个零点的图，并附上一点心得 1.由于在CMOS里面一般栅端到地的电容较大，所以一般人们就去取这个极点，也就是说 输入信号频率使得节点到地的阻抗无穷大（也就是所谓的1/RC）R为到的电阻，C为到地的电容（并联产生极点） 零点在CMOS中往往是由于信号通路上的电容产生的，即使的信号到地的阻抗为0， 在密勒补偿中，不只是将主极点向里推，将次极点向外推（增大了电容），同时还产生了一个零点（与第三极点频率接近）， 只不过人们一般只关心前者。 2.经验上来讲，放大器电路中高阻抗的节点都要注意，即使这点上电容很小，都会产生一个很大的极点。零点一般就不那么直观了，通常如果两路out of phase的信号相交就会产生零点，但这不能解释所有的零点。 3.个人觉得零点、极点只是电路分析中抽象出来的辅助方法，可以通过零极点分析电路动作 请问电路中极点与零点的产生与影响 电路中经常要对零极点进行补偿，想问，零点是由于前馈产生的吗？ 它产生后会对电路造成什么样的影响？是说如果在该频率下，信号通过 这两条之路后可以互相抵消还是什么？？ 极点又是怎么产生的呢？是由于反馈吗？那极点对电路的影响又是什么？ 产生振荡还是什么？？ 请大家指教一下。 (不能这么简单的理解 其实电路的每个node都有一个极点 只是大部分的极点相对与所关心的频率范围太大而忽略了 运放中我们一般关心开环的0dB带宽那么>10*带宽频率的极点我们就不管了 因为它们对相位裕度贡献太小而被忽略; 只要输入和输出之间有两条通路就会产生一个零点: 同样的高于所关心频率范围的零点也不用管 一个在所关心频率范围内的零点需要看是左半平面还是右半平面的 左半平面的零点有利于环路稳定右半平面的则不利 具体的看拉扎维的书吧写的还是蛮详细的看不懂就多看几遍 自己做个电路仿下) 好问题，希望彻底了解的人仔细解答。我也同样疑惑。 但是我总觉得极点，零点并不能单单的说是由于前馈，反馈，或者串联并联一个电容产生的。产生的原因还是和具体的电路结构相关联的。 比如一个H(s)的系统和一个电容并联或串联在输入输出之间，谁能说他一定产生一个极点或零点呢？这因该和H(s)的具体形式有关。 3大书上说的应该大多针对的是运放结构，它的结构具有特殊性。具有以点盖全的嫌疑。 还请达人细说。 一般的说，零点用于增强增益（幅度及相位），极点用于减少增益（幅度及相位），电路中一般零点极点是电容倒数的函数（如1/C）。 当C变大时，比如对极点来说，会向原点方向变化，造成增益减少加快（幅度及相位）～一般运放电路的米勒效应电容就时这个原理，当增益迅速下降倒－3dB时，其他的零点极点都还没对系统增益起到啥作用（或作用很小，忽略了），电路就算七窍通了六窍半了～你就可以根据自己的需要补上带宽，多少多大的裕度就KO了 极点是由于结点和地之间有寄生电容造成的,零点是由于输入和输出之间有寄生电容造成的,一般输入和输出之间的零极点考虑多一点,主要是因为输入输出有较大的电阻,造成了极点偏向原点. 个人的一点理解 极点决定的是系统的自然响应频率，通常在电路中就是对地电容所看进去的R和对地电容C共同决定的。 零点是由于在输入输出间存在两条信号路径，两个信号路径强度相消即可，通常在电路中表现为反馈或前馈通路。 一个电路中有多少个极点和多少个零点取决你的器件模型， 因为一般人们只观点几个低频极点（最多到3吧），所以将高频极点忽略了， 不可少的,因为没有ESR 的LC 滤波器相位滞后大。 6.4.12. Ⅲ型误差放大器电路、传递函数和零点、极点位置 具有图6.41(b)的幅频特性电路如图6.42所示。可以用第6.4.6节Ⅱ 型误差放大器的方法推导它的传递函数。反馈和输入臂阻抗用复变量s 表示，并且传递函数简化为)(/)()(12s Z s Z s G =。传递函数经代数处理得到 )] /((1)[1)((])(1)[1()()()(212123321133112C C C C sR C sR C C sR C R R s C sR s U s U s G in o +++++++== （6-69） 可以看到，此传递函数具有 （a ） 一个原极点，频率为 ) (212110C C R f p +=π （6-70） 在此频率R 1的阻抗与电容(C 1+C 2)的阻抗相等且与其并联。 （b ） 第一个零点，在频率 1 2121C R f z π= （6-71） 在此频率，R 2的阻抗与电容C 1的阻抗相等。 （c ） 第二个零点，在频率 31331221)(21C R C R R f z ππ≈+= （6-72） 在此频率，R 1+R 3的阻抗与电容C 3的阻抗相等。 （d ） 第一个极点，在频率 2 221212121)]/([21C R C C C C R f p ππ≈+= （6-73） 在此频率，R 2的阻抗与电容C 2和C 1串联的阻抗相等。 （e ） 第二个极点，在频率 33221C R f p π= （6-74） 在此频率R 3的阻抗与电容C 3阻抗相等。 为画出图6.41(b)的幅频特性，以f z 1=f z 2，f p 1=f p 2选择RC 乘积。双零点和双极点频率的位置由k 来决定。根据k 获得希望的相位裕度。图6.41(b)中误差放大器在希望的f c 0处以斜率＋20dB/dec 处的增益（图6.41(a)）令其等于LC 滤波器的衰减量，但符号相反。 从表6.3和传递函数式（6-69），可以设置希望的零点和极点频率，设计例子如下。 6.13. 设计举例－具有3型反馈环路的正激变换器稳定性 设计一个正激变换器反馈环路，正激变换器具有如下的参数： U 0=5.0V; I o =10A; I o min =1.0A; 开关频率f s =50kHz; 输出纹波（p-p ）<20mV 。并假定输出电容按广告说的没有ESR 。 首先，计算输出LC 滤波器和它的转折频率。在6.4.9节中得到 66 103010 1020533--?=???==o o o I T V L H 假定输出电容的ESR 为零，所以由于ESR 的纹波也为零，但有小的电容纹波分量。通常很小，因此所用的电容比2型误差放大器例子中应用的2600μF 要小得多。但保守些本设计电容仍采用2600μF ，且其ESR 为零，于是 570102600103021216 6=???==--ππo o c C L f Hz C 2 o 图6.42 具有式(22)的Ⅲ型误差放大器 实验三离散系统的零极点分析 一、实验目的 1、学会使用MATLAB进行离散系统的Z域分析。 2、进一步掌握系统零极点分布与系统稳定性的关系 二、教学目标 让学生学会用Matlab对离散系统进行分析，学会对仿真结果的分析与总结，通过改变参数观察响应的变化，体会仿真的优越性。 三、实验原理 1、离散系统的零极点分布与系统稳定性 对任意有界的输入序列f(n)，若系统产生的零状态响应y(n)也是有界的，则称该离散系统为稳定系统，它可以等效为下列条件： ●时域条件：离散系统稳定的充要条件为 ∞ < ∑∞ -∞ = k n h) ( ，即系统单位响应绝对求和。 ●Z域条件：离散系统稳定的充要条件为系统函数H（Z）的所有极点位于Z平面的单位 圆内。 2、零极点分布与系统单位响应时域特性的关系 离散系统单位响应h(n)的时域特性完全由系统函数H(z)的极点位置决定。 H（z）的每一个极点将决定h(k)的一项时间序列。显然，H（z）的极点位置不同，则h(n)的时域特性也完全不同。 3、在MATLAB中，利用函数impz可绘出对应H(z) 的单位响应序列h(n)的波形。 三、实验内容 已知离散系统的零极点分布分别如下图所示，试用MATLAB分析系统单位响应h(k)的时域特性。 1、 写出上面6图对应系统的系统函数； 2编辑各系统函数的相应的.m 文件，输出冲激响应波形； 例：对图6-1所示的系统，系统函数为H （z ）=11 z ，即系统极点为单位园上实极点，则绘制单位响应时域波形的MA TLAB 命令如下： a=[1 –1]; b=[1]; impz(b,a) axis([-5,10,0,1.2]) 3分析各系统的稳定性与系统零极点位置的关系。 四、 预习要求 阅读教材相关内容，理解离散系统稳定性的含义，掌握系统函数H （Z ）的零极点分布与系统稳定性的关系，预习Matlab 相关命令。 五、 实验报告要求 1、打印程序清单及运行结果。 2、总结分析实验结果。关于零点和极点的讨论
放大器极零点与频率响应
matlab实验四 系统的零极点分析
零极点对系统的影响
零点、极点和偶极子对系统性能的影响
极点零点
电路中极点与零点的产生与影响
实验六连续时间系统的零极点分析报告
开关电源频域的极点和零点
实验Z变换、零极点分析
零极点的一系列分析
关于零点和极点的讨论
电路零极点的影响(整理)
传递函数和零点
实验三离散系统的零极点分析